ΠΑΝΕΛΛΑ ΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ HMEΡΗΣΙΩΝ ΚΑΙ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ (ΟΜΑ Α A ) ΚΑΙ ΜΑΘΗΜΑΤΩΝ ΕΙ ΙΚΟΤΗΤΑΣ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ (ΟΜΑ Α Β ) ΤΡΙΤΗ 3 IOYNIOY 014 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι ΗΜΕΡΗΣΙΑ ΘΕΜΑ Α Α1. ίνεται µία συνάρτηση f : [α,] R. Να δώσετε τον ορισµό της συνέχειας της f στο διάστηµα [α,]. Μονάδες 6 Ορισµός, σχολικό ιλίο σελ. 138 Α. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας, δίπλα στο γράµµα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση, τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή ή τη λέξη Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασµένη. α) Αν η f είναι συνεχής στο [α,] και η F είναι µία παράγουσα της f, τότε ισχύει: ΣΩΣΤΟ f ( ) d= F( ) F( ) (Μον. ) ) Το εύρος των τιµών µιας µεταλητής δεν επηρεάζεται από τις ακραίες τιµές της. (Μον. ) ΛΑΘΟΣ γ) Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη στο R και c R µία σταθερά, τότε ισχύει: (c f) ()=f ()+c (Μον. ) ΚΕΝΤΡΙΚΗ ΙΕΥΘΥΝΣΗ: Γούναρη 35 & Κανακάρη, Τηλ: 610-79 - 873, 610-6-855 emil: ormh@otenet.gr
ΛΑΘΟΣ =, > 0, R + 1 * δ) ( ) ΛΑΘΟΣ ε) Αν η f είναι συνεχής στο [α,], τότε ισχύει: ΣΩΣΤΟ f ( ) d= f ( ) d (Μον. ) (Μον. ) Μονάδες 10 Α3. Να µεταφέρετε και να συµπληρώσετε στο τετράδιό σας τις παρακάτω ισότητες: α)αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιµες στo R, τότε: ( f g) ( ) =... (Μον. 3) ( f g) ( ) = f ( ) g ( ) ) συν d=... [ ] συν d= ηµ = ηµ ηµ γ) Αν lim f ( ) = l, l R, τότε lim f ( ) =... o lim f ( ) =l o o (Μον. 3) (Μον. 3) ΚΕΝΤΡΙΚΗ ΙΕΥΘΥΝΣΗ: Γούναρη 35 & Κανακάρη, Τηλ: 610-79 - 873, 610-6-855 emil: ormh@otenet.gr
ΘΕΜΑ Β ίνεται η συνεχής συνάρτηση f : R R, για την οποία ισχύει: f ( ) f ( ) = 4 για κάθε R.. Β1. Να δείξετε ότι: f ( ) = 4, για. Μονάδες 7 Κάνοντας πράξεις στην ισότητα που δίνεται προκύπτει 4. ( ) f ( ) f ( ) = 4 f ( ) = 4 f ( ) = Β. Να ρείτε το lim 4. lim 4 ( + )( ) = lim ( ) ( ) = lim + = 4. Β3. Να ρείτε το f(). Αφού η f είναι συνεχής στο R, θα είναι συνεχής και στο, οπότε f () = lim f ( ) f () = 4 ΘΕΜΑ Γ Στον παρακάτω πίνακα παρουσιάζονται οι ηλικίες των υπαλλήλων µίας εταιρείας: Γ1. Να µεταφέρετε στο τετράδιό σας τον παραπάνω πίνακα και να τον συµπληρώσετε. Μονάδες 7 ΚΕΝΤΡΙΚΗ ΙΕΥΘΥΝΣΗ: Γούναρη 35 & Κανακάρη, Τηλ: 610-79 - 873, 610-6-855 emil: ormh@otenet.gr
V i Χρησιµοποιώντας ότι: fi % = 100% ρίσκουµε την τελευταία στήλη Α/Α Ηλικίες v i i i. v i f i % 1 η κλάση [5,35) 100 30 3000 50 η κλάση [35,45) 50 40 000 5 3 η κλάση [45,55) 40 50 000 0 4 η κλάση [55,65) 10 60 600 5 Σύνολα - V=00-7600 100 V Γ. Να υπολογίσετε τη µέση ηλικία των υπαλλήλων. 1v 1+ v + 3v3 + 4v4 7600 = = = 38 έτη v 00 Μονάδες 5 Γ3. Να υπολογίσετε το ποσοστό των υπαλλήλων που έχουν ηλικία τουλάχιστον σαράντα πέντε (45) ετών. Μονάδες 4 Το ζητούµενο ποσοστό είναι: f 3 %+f 4 %=0%+5%=5% Γ4. Από την εταιρεία αποχωρούν πέντε (5) υπάλληλοι της 4ης κλάσης, πέντε (5) υπάλληλοι της ης κλάσης και ταυτόχρονα προσλαµάνονται δέκα (10) υπάλληλοι µε ηλικίες στην 1η κλάση. Να υπολογίσετε τη νέα µέση τιµή της ηλικίας των υπαλλήλων. ΚΕΝΤΡΙΚΗ ΙΕΥΘΥΝΣΗ: Γούναρη 35 & Κανακάρη, Τηλ: 610-79 - 873, 610-6-855 emil: ormh@otenet.gr
Για να υπολογίσουµε τη νέα µέση τιµή κατασκευάζουµε καινούριο πίνακα. Προσοχή το µέγεθος του δείγµατος ν=00 και οι κεντρικές τιµές δε µεταάλλονται. Αλλάζουν οι συχνότητες όπου ν 1 =110, ν =45, ν 4 =5. Α/Α Ηλικίες v i i. i v i 1 η κλάση [5,35) 100 30 3300 η κλάση [35,45) 45 40 1800 3 η κλάση [45,55) 40 50 000 4 η κλάση [55,65) 5 60 300 Σύνολα - V=00-7400 1v 1+ v + 3v3 + 4v4 7400 = = = 37 έτη v 00 ΘΕΜΑ f ( ) = e 1, R. ίνεται η συνάρτηση ( ) 1. Να αποδείξετε ότι: f ( ) = f ( ) + e. f ( ) = [ e ( 1)] = ( e ) ( 1) + e ( 1) = = e ( 1) + e 1= e e + e f ( ) = e Μονάδες 6. Να µελετήσετε τη συνάρτηση f ως προς τη µονοτονία και να ρείτε τα τοπικά της ακρότατα. Θέτουµε ΚΕΝΤΡΙΚΗ ΙΕΥΘΥΝΣΗ: Γούναρη 35 & Κανακάρη, Τηλ: 610-79 - 873, 610-6-855 emil: ormh@otenet.gr
e > 0 f ( ) = 0 e = 0 = 0 8 8 Η f είναι γνησίως αύξουσα στο διάστηµα [0,+ ) Η f είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστηµα (-, 0] Η f παρουσιάζει τοπικό ελάχιστο για =0 και η ελάχιστη τιµή είναι f(0)=-1 3. Αν g( ) = f ( ) + e, R, να υπολογίσετε το εµαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης g, τον άξονα και τις ευθείες µε εξισώσεις = 1 και =1. Μονάδες 10 Το ζητούµενο εµαδόν είναι ( ) 1 1 0 1 E= g( ) d= f ( ) d = f ( ) d+ f ( ) d= 1 1 1 0 0 1 0 1 1 0 [ f ( ) ] [ f ( ) ] e ( 0 1) e ( 1 1) e ( 1 1) e ( 0 1) = + = + + = 1 0 e = 1 + 1 = τ. µ. e e ΚΕΝΤΡΙΚΗ ΙΕΥΘΥΝΣΗ: Γούναρη 35 & Κανακάρη, Τηλ: 610-79 - 873, 610-6-855 emil: ormh@otenet.gr