CAPITOLUL 3 CINEMATICA MIŞCĂRII COMPUSE A PUNCTULUI MATERIAL

CAPITOLUL 3 CINEMATICA MIŞCĂRII COMPUSE A PUNCTULUI MATERIAL În plicţiile concee se înâlnesc siuţii când ese necesă sudiee mişcăii unui cop (S) ce efecueză o mişce în po cu un l cop (S ), fl l ândul său în mişce fţă de un epe fi ( R) Oz Copul (S) căui i se sudiză mişce poe fi un igid, (Fig 31), su poe e dimensiuni mici, cz în ce copul ese simil cu un punc meil P, (Fig 31b) În edee sudieii mişcăii copului (S), cesui i se şeză inibil un sisem cezin ioogonl dep ( R ) Q z, i igidului (S ) i se şeză epeul ( R ) z ( R) O z ( R ) ( R ) z z Q Q Q ( S ) (S) ( R) O z ( R ) z P ( S ) b Fig 31

149 Penu sudiee mişcăii puncului P, se enunţă l epeul ( R ) Q z, ces nu mi e sens fiind ob despe un punc meil, i igidului (S ) i se şeză epeul ( R ) z Mişce eliă ese mişce igidului (S) su puncului meil P, în po cu epeul ( R ) z Mişce de nspo ese mişce igidului (S), su puncului meil P, efecuă odă cu copul (S ), especi odă cu epeul ( R ) z ş inibil copului (S ), în po cu epeul fi ( R) Oz, în ipoez supimăii mişcăii lui elie Mişce bsoluă, ese mişce igidului (S), su puncului meil P, poă l epeul fi (R) În cese siuţii, se poe spune că igidul (S), su puncul meil P, eecuă o mişce compusă, dică mişce fţă de epeul fi ( R) Oz ezulă din suppunee celo două mişcăi: mişce eliă şi mişce de nspo 31 Mişce eliă puncului Mişce eliă unui cop simil cu un punc meil P ese mişce emcă de un obseo inibil leg de epeul mobil ( R" ) " "z", (Fig 32); din ces moi epeul ( R" ) ese conside fi, esoii i, j şi k i elo epeului ( R" ) o fi consideţi consnţi penu ces ip de mişce Poblemele cinemicii mişcăii elie sun semănăoe cu poblemele cinemicii mişcăii bsolue puncului pezene în Cpiolul 1 l lucăii, de cesă dă fiind ob de deemine iecoiei, iezei şi cceleţiei puncului fţă de epeul ( R" ) Penu sudiee mişcăii elie se fc umăoele pecizăi: Se folosi indicele infeio ( ) penu oe măimile cinemice ce se efeă l cesă mişce Opeţiile de deie în bz { i,,k } folosie penu definie dieselo măimi cinemice, o fi efecue din puncul de edee l obseoului inibil ş epeului ( R ), deci esoii

15 i, j şi k sun consnţi; în ces cz deiele poă denumie de deie elie şi în czul unei funcţii ecoile oece (), dei eliă ei se no sub fom: d d Fig 32 Pmeii de poziţie i puncului P Pmeii de poziţie sun epezenţi pin coodonele lui fţă de epeul ( R" ) " "z", dică, şi z, ce deemină ecoul de poziţie = + z k (31) Ecuţiile mişcăii elie Mişce eliă puncului P în po cu epeul ( R ) ese comple deemină unci când se cunosc pmeii de poziţie c

151 funcţie de imp, ezulând sfel umăoele ecuţii pmeice le mişcăii elie = (); = (); z = z () (32) Tiecoi eliă puncului P Pin elimine pmeului din ecuţiile (32), se obţine iecoi eliă puncului P, cub ( Γ ) de inesecţie două supfeţe de ecuţii ( ) { f (",",z" ) =, f (",",z" ) } : 1 2 = Γ, (33) în czul mişcăii spţile şi o cubă de ecuţie " = f(" ) su f(", " ) =, (34) în czul mişcăii puncului în plnul "" Viez eliă puncului P Viez eliă puncului P se obţine pin deie eliă în po cu impul ecoului de poziţie, d de elţi (31) d = = (& ) = & + z& k, (35) d ţinându-se sem că esoii i, j şi k sun consideţi consnţi Acceleţi eliă puncului P Se plică fomul de definiţie cceleţiei unui punc şi se efecueză dei eliă în po cu impul iezei elie d = = (& ) = && + && + & z k (36) d

152 În czul puncului meil, oţiile elie sun foe lene şi c ume iez unghiulă eliă ω şi cceleţi unghiulă eliă ε se consideă egle cu zeo 32 Mişce de nspo Mişce puncului P, efecuă odă cu epeul mobil ( R ), fţă de epeul fi (R), în bsenţ mişcăii elie puncului fţă de epeul ( R ) z, poă numele de mişce de nspo Pin ume, se consideă că puncul P ese solid cu epeul (R"), (Fig 33), siuţie în ce iez de nspo şi cceleţi de nspo le puncului P o fi celeşi cu iez şi cceleţi puncului D din igidul (S*), cu ce puncul P coincide l un momen Din ces moi, în sudiul mişcăii de nspo se o plic fomulele din Cpiolul 2, ce conţine cinemic mişcăii igidului ( R) z (R ) z ( R ) z i k O j D N P D ψ ϕ n θ k i ε ω j ( S ) Fig 33

153 Se consideă siuţi în ce igidul (S*), şi împeună cu el epeul ( R ) z, eecuă o mişce genelă Toe măimile ce se efeă l mişce de nspo se o no cu indicele infeio ( ) Pmeii de poziţie Poziţi epeului ( R ) fţă de epeul fi (R) ese deemină unci când se cunosc cei şse pmei de poziţie: coodonele polului (,,z ) fţă de epeul (R), ce deemină ecoul de poziţie = i + j z k; (37) + unghiuile lui Eule ψ, ϕ, θ Ecuţiile pmeice le mişcăii de nspo ψ = (); = ψ (); ϕ = (); = ϕ (); z = z() θ = θ() (38) Tbelul cosinusuilo diecoe le elo epeului mobil ( R ) fţă de ele epeului fi (R) ese de fom: i j k z i j k z z z zz (39) Pmeii cinemici de odinul I u epesiile

154 ω = & = & i j + z& = ψ& k + ϕ& k + θ& n k, (31) în ce ese iez de nslţie de nspo, ω ese iez unghiulă de nspo, i n epezină esoul liniei noduilo coespunzăoe mişcăii de nspo (inesecţi dine plnul "" cu plnul plel l plnul O, ce conţine polul ) Pmeii cinemici de odinul II sun de fom = & = && i + && j + && z k ( su = ), ε = ω& = ω & + ω & j k ( su ) + ω & = z (311) unde, ese cceleţi de nslţie de nspo i ε ese cceleţi unghiulă de nspo Deemine iecoiei de nspo Tiecoi l momenul, puncului P fi epezenă chi pin iecoi puncului D din epeul ( R ) cu ce coincide în cel momen puncul P Confom Fig 33, se poe scie umăoe ecuţie ecoilă iecoiei de nspo l momenul = + = + + z k (312) Vecoul de poziţie din elţi(312) epezină loe funcţiei ecoile ( ) coespunzăoe momenului în ce s- defini mişce de nspo, deci coodonele, şi z o fi considee consne, ând loile ce coespund momenului Ecuţiile pmeice le iecoiei de nspo puncului P se obţin din ecuţi ecoilă (312), pin înmulţie sclă ei, pe ând cu esoii i, j şi k, ezulând umăoe fomă lo:

155 = P : = z = z + + + z + z + z + z + z z z zz (313) Viez de nspo puncului P Viez de nspo puncului P, noă, l momenul, epezină iez puncului D l epeului ( R ) cu ce coincide în cel momen puncul P, deci se pue scie umăoe elţie = & = & + & = + ω (314) D Acceleţi de nspo puncului P Acceleţi de nspo puncului P, noă, l momenul, ese eglă cu cceleţi puncului D l epeului ( R ), deoece l momenul puncul P coincide cu puncul D În bz elţiei (314), se obţine umăoe fomă penu cceleţi de nspo = & = + ε + ω ( ω ) (315) Obseţie: Aâ în elţi (313), câ şi în elţi (314), componenele ecoului, dică măimile,, z u loile coespunzăoe momenului 33 Mişce bsoluă puncului P Mişce bsoluă puncului P ese mişce lui emcă de un obseo inibil leg de epeul fi (R) Cunoscând ecuţiile pmeice (32) le mişcăii elie puncului şi ecuţiile pmeice (38) le mişcăii de nspo, se po ezol cele ei pobleme fundmenle le cinemicii mişcăii bsolue puncului P fl în mişce compusă şi nume: deemine iecoiei bsolue puncului P;

156 deemine iezei bsolue puncului P; deemine cceleţiei bsolue puncului P Tiecoi bsoluă puncului Ecuţi ecoilă iecoiei bsolue puncului P ese cu fom nliică = +, (316) i + j + z k = i + j + zk + + z k Ţinând sem de belul cosinusuilo diecoe (39), pin poiece pe ele epeului fi ecuţiei neioe, se obţin ecuţiile pmeice le iecoiei bsolue puncului P: = P : = z = z + + + z z + z + z + z z z zz = () = (), = z() (317) în ce, şi z sun funcţii de imp Viez bsoluă puncului P Penu obţine epesi iezei bsolue puncului P, noă, se dei în po cu impul elţi (316), cu obseţi că penu obseoul leg solid cu epeul fi, esoii consideţi ibili în imp i, j şi k sun i = (); = (); k = k () (318) În bz fomulelo lui Poisson, se po scie elţiile & = ω ; & = ω ; k & = ω k (319)

157 Viez bsoluă puncului P, ţinând sem de (316), ese = & + & = + &, (32) în ce & epezină dei bsoluă funcţiei ecoile ( ), penu ce se poe sbili umăoe epesie: d d & = () = ( + z k ) = d d (321) & & & = & + z& k + + z k Pin considee elţiilo (31) şi (35), epesi neioă se poe scie sub fom finlă & = + ω ( + z k ) = + ω, (322) din ce ezulă că dei bsoluă funcţiei ecoile ( ) ese eglă cu dei eliă funcţiei, dună cu dei de nspo, epezenă pin podusul ecoil ω Înlocuind elţi (322) în (32), ţinând sem şi de elţi (314), se obţine epesi iezei bsolue puncului P = + + ω = (323) + Clculul iezei bsolue puncului P în plicţii se poe fce cu juoul poiecţiilo ei pe ele epeului ( R ) Mi înâi, se scie sub fomă nliică epesi ecoilă (323) k = & + z& k + & i j + z& k +, (324) z z după ce se poieceză pe ele epeului ( R ), muliplicând-o pe ând, scl, cu esoii i, j şi k Se obţin, sfel, umăoele loi le poiecţiilo iezei bsolue puncului P pe ele epeului ( R ) :

158 : z = & + & = & + & = z& + & z z + z& + z& + z& z z zz + zω + z z z ω (325) Deemine cceleţiei bsolue Epesi cceleţiei bsolue puncului P, noă, se obţine pin deie în po cu impul elţiei (323), efecuă din puncul de edee l obseoului leg solid cu epeul fi, penu ce esoii i, j şi k sun ibili, deci se pue scie epesi d = ( + + ω ) = & + & + ω& + ω &, (326) d în ce & & = d d = ( ) = (& + z& k ) = d d = && i + && + && z k + & & i & + z& & k = = =, ω& + & ( ω = ε, & = ) ( ω + ω, ) + z& ( ω + ω (& + z& k ) = k ) = + ω, (327) ulim epesie fiind scisă pin considee elţiilo (35), (36) şi (319) Pin înlocuie în elţi (326) măimilo (327), se obţine penu cceleţi bsoluă puncului P, epesi finlă = = + ω + + + ε + ω + ε + ω ( ω ( ) + 2ω + ω ) = + (328) Ulimul emen din elţi (328) poă numele de cceleţie Coiolis su cceleţie complemenă noă

159 = 2ω (329) C Ţinând sem de epesi (315) cceleţiei de nspo, cceleţi bsoluă (328) puncului P se pue scie sfel = + (33) + Relţi (33) epimă eoem lui Coiolis, căei i se poe fomul umăoul enunţ: Acceleţi bsoluă unui punc în mişce compusă ese eglă cu sum geomeică celo ei componene le ei: cceleţi eliă, cceleţi de nspo şi cceleţi Coiolis Clculul, în plicţii, l cceleţiei bsolue puncului P se fce, cel mi dese, cu juoul poiecţiilo ei pe ele epeului ( R ) Penu ces, se scie elţi (328) nliic, sub fom C = && + && + && z k + && i + && j + && z k + ε && ε k ε z z + + z ω ω z z j z k z + (331) + 2 & && j & k z& z, după ce se înmulţeşe pe ând, scl, cu esoii i,, k şi ezulă epesiile poiecţiilo cceleţiei bsolue pe ele epeului ( R ) :

16 : z = && + && + 2(z& = && + && z + 2(& = && z + && z + 2(& + ( + (z ω + && & + ( + && z& z z z + && z ω & ); ); ) + && z ) + && z ) ω z z + && z ) ( z z z ( zz (z + z ε z + ε z ε z ε ) + z ε ) + ε ) + z + + + (332) CAZURI PARTICULARE I Cinemic mişcăii compuse puncului meil în czul când mişce de nspo ese o mişce pln plelă Mişce eliă Pmeii de poziţie i puncului P sun epezenţi pin coodonele lui fţă de epeul ( R" ) " ", dică şi, ce deemină ecoul de poziţie Ecuţiile mişcăii elie = j (333) Mişce eliă puncului P în po cu epeul ( R ) ese comple deemină unci când se cunosc pmeii de poziţie c

161 funcţie de imp, ezulând sfel umăoele ecuţii pmeice le mişcăii elie = (); = () (334) Tiecoi eliă puncului P Pin elimine pmeului din ecuţiile (334), se obţine iecoi eliă puncului P, dic se obţine o cubă de ecuţie Viez eliă puncului P f (,) = (335) Viez eliă puncului P se obţine pin deie eliă în po cu impul ecoului de poziţie d = = (& ) = & j, (336) d ţinându-se sem că esoii i şi j sun consideţi consnţi Acceleţi eliă puncului P Acceleţi eliă se obţine efecuând dei eliă în po cu impul iezei elie d = = (& ) = && + & j (337) d Mişce de nspo Ecuţiile pmeice le mişcăii Mişce de nspo epezină mişce epeului mobil ( R ) fţă de epeul fi ( R) O, Fig 34 Poziţi epeului ( R ) fţă de epeul fi (R) ese deemină unci când se cunosc ei pmei de poziţie şi nume:

162 coodonele şi le polului fţă de epeul fi (R), ce deemină ecoul de poziţie = i j; (338) + unghiul de oţie de nspo ϕ ( R) ( R ) P D ω ε O = D ϕ Fig 34 Ecuţiile pmeice le mişcăii de nspo sun: = (); = (); ϕ = ϕ () (339) Tbelul cosinusuilo diecoe le elo epeului ( R ) fţă de ele epeului (R) e fom simplifică de mi jos i j k i j cosϕ sinϕ sinϕ cosϕ (34) k 1

163 Pmeii cinemici de odinul I ω = & = ϕ& k = & i j (341) Pmeii cinemici de odinul II = & = && i + && j, ( su ε = ω& = ϕ&& k, ( su = ) = ) (342) În Fig 34 sun epezenţi ecoii şi în plnul O, i ecoii ω şi ε u diecţi pependiculă pe plnul O (s- ecus l conenţi de epezene lo penu czul pln) Deemine iecoiei de nspo puncului P Pecizăile făcue cu pilejul sudiului cinemic l mişcăii de nspo în czul puncului fl în mişce compusă genelă, îşi păseză lbilie şi în ces cz, deci iecoi de nspo, iez de nspo şi cceleţi de nspo l momenul, unui punc P o epezen chi iecoi, iez şi cceleţi puncului D din epeul ( R ) cu ce coincide în cel momen puncul P Ecuţi ecoilă iecoiei de nspo ese de fom = + = + j, (343) căei îi coespund umăoele ecuţii pmeice = P : = + cosϕ + sinϕ sinϕ cosϕ, (344) în ce coodonele şi o fi considee consne, ele ând loile coespunzăoe momenului

164 Deemine iezei de nspo Viez de nspo puncului P, l momenul, epezină iez puncului D l epeului ( R ) cu ce coincide puncul P în cel momen şi, c ume, epesi iezei de nspo e o fom = + ω d cu şi ω dţi de elţiile (341) i = j Deemine cceleţiei de nspo L momenul conside, P D, cceleţi de nspo puncului P ese eglă cu cceleţi puncului D şi epesi ei ese o de fom (315) ce, în czul mişcăii pln plele, deine: = = = + ε + ω + ε ω ( ω 2 ) = + ε + ( ω ) ω ω 2 = (345) Mişce bsoluă puncului P Deemine iecoiei bsolue Ecuţi ecoilă iecoiei bsolue puncului P, ese o de fom = +, cu = i = (), componenele şi fiind funcţii de imp Pin poiece pe ele epeului fi cesei elţii ecoile, ţinând sem de belul cosinusuilo diecoe (34), se obţin ecuţiile pmeice le iecoiei = P : = () + ()cosϕ ()sinϕ () = () () + ()sinϕ ()cosϕ () = () (346) Deemine iezei bsolue Viez bsoluă puncului P ese dă o de elţi = +

165 În czul mişcăii compuse pln plele, = & j şi = + ω, deci se pue scie cesă elţie sub fom k = & i + & i j + ϕ& (347) Pin poiece elţiei (347) pe ele epeului mobil se obţin poiecţiile iezei bsolue puncului P pe ele cesui epe: = = = i = & + & = & & cosϕ sinϕ sinϕ cosϕ ϕ& + ϕ& (348) Deemine cceleţiei bsolue Acceleţi bsoluă puncului P se clculeză cu juoul elţiei (328), ce penu mişce compusă pln plelă deine: 2 = + + = + + ε ω + 2ω (349) C Clculul cceleţiei bsolue se fce cu juoul poiecţiilo ei pe ele epeului ( R ) ; se scie elţi (349) sub fom = && + && + && i + && j + i j k ϕ&& (35) ϕ& 2 ( ) + 2 & & k ϕ&, după ce se înmulţeşe pe ând, scl, cu esoii i şi j, ezulând poiecţiile cceleţiei bsolue puncului P pe ele mobile:

166 : = && + && = && && cosϕ sinϕ + && + && sinϕ cosϕ ϕ&& ϕ& + ϕ&& ϕ& 2 2 2ϕ& & + 2ϕ& & (351) II Cinemic mişcăii compuse puncului meil în czul când mişce de nspo ese o mişce de nslţie În ces cz igidul (S ) şi odă cu el şi epeul ( R ) z, efecueză o mişce de nslţie în po cu epeul fi (R), Fig 35 Fig 35

167 În mişce de nslţie fiind sisfăcuă condiţi ϕ =, cu consecinţele ω = ; ε = ; o = ; o = ; (352) = ; = 2ω =, C iez bsoluă şi cceleţi bsoluă puncului P u fomele especi, = + =, (353) + = + = (354) + III Cinemic mişcăii compuse puncului meil în czul când mişce de nspo ese o mişce de oţie unifomă în juul unei e fie În Fig 36 se pezină ces cz de mişce compusă Fig 36

168 Aceă mişce se efecueză în condiţiile cu consecinţele =, deoece O ; ω = cons; ε = ω&, (351) = o = ; = ε = ; = (352) În cese condiţii, elţi (312), ce epimă ecuţi ecoilă iecoiei bsolue, i fom simplifică =, (353) i epesiile iezei şi cceleţiei bsolue le puncului P dein = + ω (354) = + ω ( ω ) + 2ω (355)