TORSIUNEA BARELOR DREPTE

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "TORSIUNEA BARELOR DREPTE"

Ημέρα Καζαντζής
6 χρόνια πριν
Προβολές:

1 7.1. Generliăţi CAPITOLUL 7 TORSIUNEA BARELOR DREPTE Torsiune (răsucire) ese solicire redominnă din rborii mşinilor, dr ese înâlniă şi în le czuri, de exemlu l şsiurile de uovehicole, consrucţiile melice le vionelor, ec. Acesă solicire ese rodusă de forţele cre nu înâlnesc x longiudinlă brei şi nu sun rlele cu ces. Solicire de orsiune ese rodusă de eforul momen de orsiune, cre re vecorul dirij în lungul xei longiudinle brei. Brele solicie l orsiune se numesc rbori. Sudiul orsiunii ese simlu enru secţiune circulră su inelră, dr fore comlic enru le forme de secţiuni. 7.. Sre de ensiune l forfecre ură Fig.7.1 Se consideră o sre lnă de ensiune (Fig.7.1.), l cre e cele ru feţe le rleliiedului elemenr de volum, vând c normle xele Ox şi Oy, cţioneză numi ensiuni ngenţile egle, conform rinciiului duliăţii ensiunilor ngenţile. Se sune că ces elemen de volum se flă în sre de forfecre ură. Aces elemen se deformeză schimbându-şi unghiurile, dr fără -şi modific lungimile lurilor.

2 Torsiune brelor dree 91 Vom deermin ensiunile e o secţiune înclină cu unghiul α fţă de x Oy (Fig.7.1.b). S- no cu A ri feţei CD, deci fţ OC v ve ri Acosα, ir fţ OD ri Asinα. Se scriu ecuţiile de echilibru le elemenului de volum. Ecuţi de roiecţii forţelor e direcţi ensiunii normle σ v fi: σ A ( A cosα) sin α ( Asin α) cosα 0 yx xy Ecuţi de roiecţii forţelor e direcţi ensiunii ngenţile v fi: A ( A cosα) cosα ( Asin α) sin 0 yx xy Conform rinciiului duliăţii ensiunilor ngenţile, xy yx, deci rezulă: σ + xy xy sin α cosα (7.1) Fig.7. Se observă că e secţiune înclină cu unghiul α 5 ensiune normlă ese o o σ 5 xy, ir ensiune ngenţilă 5 0. De semene, e o secţiune erendiculră e ces, deci enru α 15, rezulă: σ o 15 - xy şi o Acese concluzii sun ilusre în Fig.7... Reciroc, dcă se consideră sre lnă din Fig.7..b, cu ensiunile σ x şi σ y -σ x, e secţiunile încline cu α ± 5 re loc sre de forfecre ură.

3 9 Ciolul Tensiuni în br de secţiune circulră soliciă l orsiune Rezolvre roblemei se fce nlizând deformţiile roduse de un momen de orsiune ( x ), vând vecorul dirij duă x longiudinlă Ox brei dree (Fig. 7.). Trsând e conurul cilindric l brei generore şi cercuri rlele se obţine o reţe de ărăţele curbilinii, c în Fig.7.. Fig.7. În urm licării momenului de orsiune se consă urmăorele: - O secţiune normlă lnă (AB) rămâne o lnă şi normlă l x brei (A'B'), deci ese licbilă ioez secţiunilor lne lui Bernoulli. - Părăţelele curbilinii (bcd) se rnsformă în romburi curbilinii ('b'c'd'), modificându-şi dor unghiurile fără -şi modific dimensiunile lurilor, cee ce dovedeşe că ese vorb de o sre de forfecre ură. Considerăm br dreă încsră din Fig.7.., de secţiune circulră cu rz R şi lungime l. Generore CB se înclină cu unghiul γ mx, uncul C fiind un unc fix din încsrre. În ces im, o rză orecre OB secţiunii rnsversle de că se roeşe cu unghiul ϕ, jungând în oziţi OB'. Unghiul ϕ se numeşe unghi de răsucire. În Fig.7..b. s- rerezen un elemen de bră de lungime infini mică dx, cu rz secţiunii rnsversle r < R, deci un elemen cenrl din bră din vecinăe încsrării. În im ce generore cb se înclină cu unghiul γ, rz ob se v roi cu un unghi dϕ. Din considerţii de deformţii se oe scrie că lungime rcului bb' ese:

4 Torsiune brelor dree 9 Din exresi de mi sus rezulă: bb ' γdx rdϕ dϕ γ r rθ (7.) dx Fig.7. În relţi (7.) s- defini unghiul de răsucire secific θ c fiind unghiul cu cre se roesc un fţă de cellă două secţiuni rnsversle infini roie: dϕ θ (7.) dx Alicând lege lui Hooke enru solicire de orsiune se obţine exresi ensiunii ngenţile : G γ G θ r (7.) G ese modulul de elsicie rnsversl l merilului brei. Relţi (7.) rerezină lege de vriţie ensiunii ngenţile e secţiune circulră brei. Se observă că ensiune ngenţilă ese nulă în cenrul secţiunii, enru r 0, vriză linir cu rz r, fiind mximă e conurul secţiunii, enru rr. Vlore mximă ensiunii ngenţile ese: mx G θ R (7.5) Se obţine sfel digrm de vriţie ensiunii ngenţile din Fig În bz rinciiului duliăţii ensiunilor ngenţile se roduc ensiuni ngenţile şi în secţiunile longiudinle le brei (Fig.7.5.b).

5 9 Ciolul 7 Fig.7.5 Penru sbili legăur înre momenul de orsiune şi ensiune ngenţilă se scrie că momenul de orsiune ese sum momenelor uuror forţelor elemenre dfda fţă de cenrul secţiunii O (Fig.7.6). Fig.7.6 rdf ( da)r G θ r da Gθ r da G θ I A A A A

6 Torsiune brelor dree 95 Din relţi de echivlenţă se obţine relţi (7.) rezulă: G θ I. Înlocuind cesă exresie în r I (7.6) Pe conur se obţine vlore mximă ensiunii ngenţile: R mx (7.7) I I W În cesă relţie s- defini modulul de rezisenţă olr W l secţiunii: I W R (7.8) Penru secţiune circulră de dimeru d modulul de rezisenţă olr ese: R W π d π d d 16 (7.9) Penru secţiune inelră cu dimerul exerior D şi dimerul inerior d, modulul de rezisenţă olr ese: W D d π π ( D d ) 1 D πd d ( 1 k ), unde k (7.10) D D 16 D Formul (7.7) se oe scrie sub urmăorele forme: ) Formulă de dimensionre: W nec

7 96 Ciolul 7 b) Formulă de verificre: mx W c) Formulă de deerminre momenului de orsiune cbil: c W În cese relţii ese ensiune ngenţilă dmisibilă merilului brei. 7.. Clculul deformţiilor l solicire de orsiune Din formulele (7.) şi (7.6) se oe deermin unghiul de răsucire secific: θ G r r I G r GI rd mm (7.11) Pe de lă re, din relţi (7.) rezulă unghiul de răsucire dϕ enru o bră de lungime dx: dϕ θ dx dx (7.1) GI Asfel, unghiul de răsucire ol enru br de lungime l v fi: Δϕ l l dϕ dx [rd] (7.1) GI GI l 0 Uneori, l roiecre rborilor de rnsmisie se imun numie vlori limiă, dmisibile, enru unghiul de răsucire secific (θ ). În cese czuri formul (7.11) devine formulă de dimensionre din condiţi de rigidie. Asfel, enru o secţiune circulră cu dimerul d formul de dimensionre din condiţi de rigidie v fi: I nec Gθ πd nec d nec πgθ Observţii:

8 Torsiune brelor dree 97 1) De obicei vlorile unghiului de răsucire secific dmisibil θ sun de în sndrde în [ /m] şi rebuie rnsforme, în vedere unui clcul corec, în [rd/mm], sfel: θ π rd mm π 1,8 10 rd mm [ m] θ θ / 5 ) În czurile rcice curene se cunosc uerile diferielor mşini cre consumă su roduc energie e rbore, recum şi urţiile cesor. Penru un moor de uere P [CP] şi urţie n [ro/min], culul l rbore ese d de relţi: [ KNm] 7,16 n Dcă uere ese dă în KW: P[ CP] [ ro / min] [ ] P KW [ KNm] 9,550 n[ro / min] 7.5. Torsiune brelor de secţiune dreunghiulră Brele cu secţiuni diferie de secţiune circulră su inelră solicie l orsiune nu mi resecă ioez secţiunilor lne lui Bernoulli. O secţiune lnă normlă e x brei înine de deformre devine srâmbă duă licre momenului de orsiune. În uncele secţiunii u loc delsări inegle în lungul xei brei, cee ce cuzeză delnre secţiunii. Sudiul orsiunii brelor cu secţiuni orecre consiuie un dinre roblemele clsice le eoriei elsiciăţii, rezolvre cesei fiind dă de Brré de Sin-Vénn. Se vor rezen dor concluziile cesui sudiu enru secţiune dreunghiulră. Prezenre deliă sudiului se găseşe în mnulele de eori elsiciăţii.

9 98 Ciolul 7 Fig.7.7 În secţiune dreunghiulră, de- lungul xelor de simerie şi de- lungul lurilor conurului, ensiunile ngenţile vriză cum se ră în Fig.7.7. Ce mi mre ensiune ngenţilă re în roiere conurului, l mijlocul lurii mri, ir vlore s ese: mx yx mx (7.1) αhb L mijlocul lurii mici ensiune ese: η (7.15) zxmx yxmx Unghiul de răsucire secific re urmăore exresie: βghb θ (7.16)

10 Torsiune brelor dree 99 Ceficienţii α, β, η sun dţi în belul 7.1, în funcţie de rorul h/b l lurilor dreunghiului. Numiorul exresiei (7.16), cre se oe no GI Gβhb se numeşe rigidie l orsiune brei. Penru br de secţiune circulră su inelră I I, ir enru le secţiuni I I. Tbelul 7.1 h/b 1 1, α 0,08 0,1 0,6 0,67 0,8 0,99 0,07 0,1 0, β 0,11 0,196 0,9 0,6 0,81 0,99 0,07 0,1 0, η 1,000 0,859 0,795 0,75 0,75 0,7 0,7 0,7 0, Alicţii 1) Să se dimensioneze rborele inelr l unei mşini cunoscând uere P 000 CP şi urţi n 00 ro/min. Se cunoşe rorul k d/d 0,8 şi ensiune ngenţilă dmisibilă merilului rborelui 0 N/mm. omenul de orsiune se clculeză în funcţie de uere şi urţie cu relţi cunoscuă: P 000 7,16 7,16 71,6KNm n 00 Din relţi de dimensionre v rezul modulul de rezisenţă olr l secţiunii rborelui: 6 71, Wnec 17, mm (1) 0 În funcţie de dimensiunile secţiunii, modulul de rezisenţ olr v fi: W nec [ 1 k ] πd nec () 16 Din relţiile (1) şi () v rezul D nec : πd 16 d nec nec [ 1 k ] 199,mm 5 17, D nec 5 17, ,0mm π [ 1 0,8 ] Se leg enru cele două dimere vlorile rounjie: D 50 mm, d 00 mm

11 100 Ciolul 7 ) Arborele din Fig.7.8, cre se roeşe cu o urţie n 60 ro/min, rimeşe rin ro moore (r.m.) o uere P 90 KW şi une în mişcre consumorii cre consumă rin roţile 1 şi ueri egle P 1 P 5 KW, ir rin ro o uere P 0 KW. Porţiune r.m.- rborelui re secţiune inelră cu D 90 mm şi kd/d0,7, ir orţiune r.m.- re secţiune circulră cu dimerul d 80 mm. Se cer: ) Digrm coă momenului de orsiune e rbore; b) Verificre rborelui cunoscând 70 N/mm, θ 0,5 /m şi G 8 10 N/mm ; c) Roire relivă înre ro moore şi ro, reseciv ro moore şi ro. ) omenele de orsiune: P[ KW] [ ro / min] Fig.7.8 9,550,875 KNm 87,5 Nm n 1 P [ KW] [ ro / min] 1 9,550 0,66 KNm 66, Nm n P [ KW] [ ro / min] 9,550 1,0611KNm 1061,1 Nm n Digrm de vriţie momenului de orsiune ese rerezenă în Fig.7.9. Verificre rborelui resuune verificre orţiunilor de rbore: - r.m.-, de secţiune inelră, l momenul de orsiune mxim e cesă orţiune rborelui mx , Nm - r.m.-1, de secţiune circulră, l momenul de orsiune 1061,1 Nm.

12 Torsiune brelor dree 101 Fig.7.9 b.1)porţiune r.m.- Verificre l rezisenţă: mx W mx Verificre l rigidie: 16, 10 π [ 1 0,7 ] 1,19 N mm θ mx GI mx 16, 10 π [ 1 0,7 ], rd mm 0,19 / m θ b) Porţiune r.m.- Verificre l rezisenţă mx ' W ' 1061,`1 10 π ,6 N mm

13 10 Ciolul 7 Verificre l rigidie θ mx 1061,1 10 ' GI ' π , 10 6 rd mm 0,189 / m θ c) Roire relivă dinre ro moore şi ro : Δϕ , ,65 10 GI ' π rd 0,09 Roire relivă dinre ro moore şi ro ese sum lgebrică roirilor relive dinre ro moore şi ro 1, reseciv ro 1 şi ro : , Δϕ + GI GI GI π Δϕ ' 1,96 10 rd 0,11 [ ] 1 0,7

Σχετικά έγγραφα

RĂSUCIREA (TORSIUNEA)

RĂSUCIREA (TORSIUNEA) 5 RĂSUCREA (TORSUNEA) 5 Generliăţi Secţiune unei bre cu ouă xe e simerie ese suusă l răsucire ură că orsorul forţelor ce cţioneză e secţiune brei, clcul în ror cu cenrul e greue l secţiunii, se reuce l