ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ Ενότητ 6 ΑΡΙΘΜΟΙ ΘΕΩΡΙΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΩΝ Ορισµό ΑΟΡΙΣΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ Έστω f µί συνάρτηση ορισµένη σε έν διάστηµ. Αρχιή συνάρτηση ή πράουσ f στο ονοµάζετι άθε συνάρτηση F που είνι πρωίσιµη στο ι ισχύει : F () = f (), ι άθε. Θεώρηµ Έστω f µί συνάρτηση ορισµένη σε έν διάστηµ. Αν F είνι µι πράουσ της f στο, τότε: Υπάρχουν άπειρες ι µάλιστ είνι όλες της µορφής : G() = F() +, R, ι µόνο υτές. Αόριστο ολολήρωµ Το σύνολο όλων των προυσών της f σε έν διάστηµ ονοµάζετι όριστο ολολήρωµ της f στο ι συµολίζετι f ()d= F() +, R όπου F µι πράουσ της f στο. Ιδιότητε όριστου ολοληρώµτο Αν οι συνρτήσεις f ι g έχουν πράουσ σε έν διάστηµ, τότε : λ f ()d=λ f ()d ι άθε λ R* ± = ±. [f () g()]d f ()d g()d f ()d= f () +, R ι ( f ()d) = f () όπου f πρωίσιµη συνάρτηση σε έν διάστηµ. 5
ΠΙΝΑΚΑΣ ΑΟΡΙΣΤΩΝ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΩΝ. 0d= 7. συν d=ηµ +. ld= + 8. ηµ d= συν + 3. d = ln + 9. d =εϕ + ι συν + 4. d= +, R { } 0. d = σϕ + + ηµ 5. e d= e +. d = +, > 0 6. d= +,0< ln Οι πρπάνω τύποι ισχύουν σε άθε δ ι ά σ τ η µ. ln d= ln +, > 0 (+εϕ )d=εϕ +,στο οποίο οι συνρτήσεις που εµφνίζοντι µέσ στ ολοληρώµτ έχουν νόηµ. Εάν στους πρπάνω τύπους το ντιτστθεί πό το +λ, 0 τότε το Β µέλος πολλπλσιάζετι µε το.π.χ. = + +λ +λ e d e, d= ln +λ +, +λ συν( +λ )d = ηµ ( +λ ) +,... ΠΙΝΑΚΑΣ ΑΟΡΙΣΤΩΝ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΩΝ ΣΥΝΘΕΤΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ f () f (). d = ln f () + 6. d f () f () = σϕ + ηµ f () v+ v f (). f ()f ()d= +, v N f () f () v+ 7. f ()e d= e + 3. f () συν f ()d=ηµ f () + 8. = + < ln 4. f () ηµ f ()d= συν f () + f () 9. d = f () +,f () > 0 f () f () f () 5. d=εϕ f () + 0. d συν f () = + f () f () f () f () f () d,0 ΘΕΩΡΙΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΩΝ 6
. Η F λέετι ι ντιπράωος ή εννήτρι της f στο.. Η στθερά λέετι ι στθερά ολολήρωσης. 3. Στο όριστο ολολήρωµ η στθερά φορά ΜΟΝΟ έν διάστηµ του πεδίου ορισµού ι όχι ένωση διστηµάτων. Έτσι ν = A A ι F ρχιή της f τότε ισχύει : F() +, A f ()d=,όπου A A F() +, A =. f (), 4. Αν f () = f (), > F () +, F() = F () +, > ώστε F συνεχής στο. συνεχής στο, τότε έχει ρχιή,όπου, έχουν τέτοι σχέση ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ ΣΧΟΛΙΑ 5. Ισχύει 6. Κάθε συνεχής συνάρτηση σε έν διάστηµ έχει µι πράουσ (άρ άπειρες) στο διάστηµ υτό. Υπάρχουν ι 8, συνρτήσεις που δεν έχουν Αρχιές π.χ. f () =,διότι 3, < δεν υπάρχει ρχιή της,πρ/µη στο 0 =. 7. Το όριστο ολολήρωµ είνι µι οιοένει συνρτήσεων, οι οποίες ι άθε έχουν ίσες πρώους, άρ ίσες λίσεις. 8. Αν έχουµε το f ()d τότε η µετλητή ως προς την οποί υπολοίζουµε το ολολήρωµ φίνετι πό το d ι όχι πό την f (). Έτσι ι πράδειµ : ηµ d= συν +. Ενώ ηµ dt=ηµ ldt = ( ηµ )t+. f () g()d= f ()d g()d f () f ()d d 9. εν ισχύουν : = g() g()d [ f ()d] = f ()d 7
ΜΕΘΟ ΟΙ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗΣ Ολολήρωση τά πράοντε Αν οι συνρτήσεις f, g είνι πρωίσιµες µε συνεχείς πρώους, τότε ισχύει : f ()g ()d= f ()g() f ()g()d. Πρδείµτ: Είνι : Είνι : e d = (e ) d= e () e d= e e d= e e +. ln d = () ln d= ln (ln ) d= ln d= ln + Μορφές ολοληρωµάτων που υπολοίζοντι µε τη µέθοδο προντιής ολολήρωσης +. I= e P()d όπου Ρ( ) πολυώνυµο. I = ηµ ( +) Ρ()d 3. I = συν( +) Ρ()d 4. I = Ρ ()d, 0< k 5. I= f () ln Q()d, όπου f(),q() 6. I= e ηµ ( +)d πολυώνυµ του k 7. I= e συν( +)d 8. I= f ()d 9. I= f ()d 0. I= f ()d συν ηµ Ολολήρωση µε λλή µετλητή (ντιτάστση) Με τη µέθοδο υτή υπολοίζουµε ολοληρώµτ που έχουν ή µπορούν ν πάρουν τη µορφή : I f (g())g ()d =. όπου u g() Ισχύει τότε : I= f (g())g ()d= f (u)du = ι du= g ()d. ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ ΣΧΟΛΙΑ 0. Η προντιή µέθοδος εφρµόζετι ότν το προς νζήτηση ολολήρωµ είνι ινόµενο πλών συνρτήσεων ι µπορεί ν πάρει τη µορφή f ()g ()d. Φυσιά θ πρέπει το ολολήρωµ του µέλους του τύπου της προντιής ολολήρωσης ν είνι ευολότερο πό υτό του µέλους.. Η µέθοδος της ντιτάστσης εφρµόζετι συνήθως σε τύπους σύνθετων συνρτήσεων. f (). Χρτηριστιή τηορί : I= d= ln f () +. f () ΘΕΩΡΙΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΩΝ 8
ΟΡΙΣΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ Ορισµό εµδού επίπεδου χωρίου Έστω µι συνεχής συνάρτηση f σε έν διάστηµ [, ] µε f () 0 ι άθε [, ] ι Ω το χωρίο που ορίζετι πό τη C f, τον άξον ι τις ευθείες =, =. Γι ν ορίσουµε το εµδόν του χωρίου Ω ερζόµστε ως εξής : Χωρίζουµε το διάστηµ [, ] σε ν ισοµήη υποδιστήµτ µήους = 0 < < <... < v =. Σε άθε υποδιάστηµ [, ],,,..., v =, µε τ σηµεί v = επιλέουµε υθίρετ έν σηµείο ξ ι σχηµτίζουµε τ ορθοώνι που έχουν άση ι ύψη f (ξ ). Το άθροισµ των εµδών υτών ισούτι µε : Sv = f ( ξ) + f ( ξ) +... + f ( ξv). Αποδεινύετι ότι το lim S υπάρχει ι είνι πρµτιός ριθµός νεξάρτητος πό την v + v επιλοή των σηµείων ξ. Το όριο υτό ονοµάζετι εµδόν του χωρίου Ω ι συµολίζετι µε Ε(Ω). Είνι φνερό ότι Ε(Ω) 0. 9
ΕΜΒΑ ΟΝ ΕΠΙΠΕ ΟΥ ΧΩΡΙΟΥ Εµδόν Ε του χωρίου που ορίζετι πό τη ρφιή πράστση Cf ΜΙΑΣ ΣΥΝΕΧΟΥΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ, τον άξον ι τι ευθείε =, =. ) Αν f () 0 ι άθε [, ] τότε E f ()d =. ) Αν f () 0 ι άθε [, ] τότε E= f ()d. ) Αν η f δεν έχει στθερό πρόσηµο στο [, ]. p p p E= f ()d f ()d+ + f ()d p Γενιά πάντως ι ι τις τρεις περιπτώσεις ισχύει : E= f () d. Ειδιές περιπτώσεις Αν ζητείτι το εµδόν µετξύ C f ι άξον τότε : ρίσουµε τις ρίζες έστω ρ < ρ < ρ 3 ι είνι : ρ3 ρ ρ3 E= f ()d = f ()d f ()d ρ ρ ρ Αν ζητείτι το εµδόν µετξύ C f, =, τότε εννοείτι ότι το άλλο άρο του ολοληρώµτος που θ µς δώσει το εµδόν είνι η ρίζ ρ της εξίσωσης : f () = 0. Έτσι : E = f () d, στο ρ διάστηµ [ρ, ] ι f ( ρ ) = 0. Αν ζητείτι το εµδόν µετξύ C f,, y y τότε το έν άρο του ολοληρώµτος είνι = 0 ι το άλλο η ρί ρίζ = ρ όπου ρ η ρίζ της f () = 0, ρ E = f () d, στο 0 διάστηµ [0, ρ ]. 35
Εµδόν Ε του χωρίου που περιλείετι πό τι ρφιέ πρστάσει Cf, Cg ΥΟ ΣΥΝΕΧΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ι τι ευθείε =, =. ) Αν f () g(), ι άθε [, ] τότε : E = [f () g()]d. ) Αν f () g(), ι άθε [, ] τότε : E = [g() f ()]d. ) Έστω ότι η διφορά f () g() δεν έχει στθερό πρόσηµο στο διάστηµ [, ]. Γι πράδειµ f () g() ν [, ] ι f () g() ν [, ] τότε : Ε = Ε + Ε = = [f () g()]d + [g() f ()]d Γενιά πάντως ι ι τις τρεις περιπτώσεις ισχύει : E= f () g() d Ειδιές περιπτώσεις Εµδόν του χωρίου που περιλείετι πό τις C f, C g. Στην περίπτωση υτή λύνουµε την εξίσωση f () = g() ι ρίσουµε έτσι τις τετµηµένες των οινών πρστάσεων C f, C g έστω ι πράδειµ ρ < ρ < ρ 3 τότε ρ ρ3 E = [f () g()]d + [g() f ()]d ρ ρ Γενιά ισχύει : ρma E= f () g()d ρmin όπου ρ min, ρ ma η µιρότερη ι η µελύτερη ρίζ ντίστοιχ της εξίσωσης f () = g(). E= f ()d+ g()d E= f ()d g()d ή E= f ()d + [f () g()]d ΘΕΩΡΙΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΩΝ 36
ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΩΝ 6.. ΜΕΘΟ ΟΙ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗΣ ) Βσιά όριστ ολοληρώµτ: Ανλύουµε το ολολήρωµά µς σε άθροισµ πλούστερων ολοληρωµάτων άνοντς πράξεις µέσ στο ολολήρωµ µε επιµεριστιή, ιδιότητες δυνάµεων, χρήση τυτοτήτων,διιρεση πολυωνύµων, διάσπση ή πλοποίηση λάσµτος,τύπους τριωνοµετρίς, ι έπειτ χρησιµοποιούµε τους τύπους των σιών όριστων ολοληρωµάτων ι τις ιδιότητες υτών. Ειδιά µε τον τύπο : + P() P() d= +, R { } υπολοίζοντι πολλές µορφές όπως,,,. + ν ν Ασήσεις 6.,6.3,6.5,6.6. ) Μορφή f ( +λ)d, 0 : Εφρµόζουµε τους σιούς τύπους µόνο που το µέλος πολλπλσιάζετι µε.π.χ e +λ d = e +λ +, d= ln +λ +, +λ συν ( +λ )d = ηµ ( +λ ) +, + ( +λ) ( +λ ) d= +. + Ειδιός χωρισµός λάσµτος: δ ( + ) + δ δ d= d =... = ( + )d = + n + + +δ δ δ ( + ) + + 6 + 3 3+ 6 6 d= d= d = [ + ]d = + n 3+ 5 5 5 3 5 3 5 3 5 5 l π.χ. l Άσηση 6.4 3) Μορφή f ()d= f () + : Προσπθούµε ν εµφνίσουµε µέσ στο ολολήρωµ την πράωο µις συνάρτησης (άθροισµ, ινόµενο, πηλίο ή πράωο σύνθετης συνάρτησης). Ασήσεις 6.7,6.8,6.9. Γι πράδειµ : [f () ± g ()]d = [f () ± g()] d + =, [f ()g() f ()g ()]d [f ()g()] d, f ()g() f ()g () f () d = [ ] d g () g(), f () f () f ()e d = [e ] d, f () d = [ln f () ] d f ().λπ. 37
4) Προντιή Ολολήρωση f ()g ()d= f ()g() f ()g()d., όπου οι f, g είνι πρωίσιµες µε συνεχείς πρώους. Ασήσεις 6.3-6.36. Μορφές ολοληρωµάτων που υπολοίζοντι µε τη µέθοδο προντιής ολολήρωσης ΜΟΡΦΗ = όπου Ρ( ) πολυώνυµο + I e P()d. I = ηµ ( +) Ρ()d 3. I = συν( +) Ρ()d 4. I = Ρ ()d, 0< 5. I= f () ln Q()d, 6. 7. πολυώνυµ = ηµ + k I e ( )d = συν + k I e ( )d όπου f(),q() ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ + I = (e ) Ρ()d, ο τύπος της πρ. ολολ. εφρµόζετι τόσες φορές όσες ο θµός του Ρ( ) I = ( συν( +)) Ρ()d, ο τύπος της πρ. ολολ. εφρµόζετι τόσες φορές όσες ο θµός του Ρ( ) I = ( ηµ ( +)) Ρ()d, ο τύπος της πρ. ολολ. εφρµόζετι τόσες φορές όσες ο θµός του Ρ( ) I = ( ) Ρ()d ln I= F () ln Q()d όπου F () = f () 8. I= f ()d I (ln ) f ()d 9. I= f ()d I = ( εϕ) f ()d συν 0. I= f ()d ηµ I = ( σϕ) f ()d k I = (e ) ηµ ( +)d k ο τύπος της πρ. ολολ. εφρµόζετι πάντοτε δυο φορές ι τλήουµε σε εξίσωση ως προς το ρχιό ολολήρωµ. k I = (e ) συν( +)d k, ο τύπος της πρ. ολολ. εφρµόζετι πάντοτε δυο φορές ι τλήουµε σε εξίσωση ως προς το ρχιό ολολήρωµ. = ΘΕΩΡΙΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΩΝ 38