ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ:........................................... ΤΜΗΜΑ:....... ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ:.... / 0 / 20 ΘΕΜΑ A. Έστω μεταβλητή Χ, με τιμές x, x 2,...., x k, που αφορά τα άτομα ενός δείγματος μεγέθους ν, με k, ν μη μηδενικοί φυσικοί αριθμοί και k ν. α. Τι ονομάζεται απόλυτη συχνότητα ν i, που αντιστοιχεί στην τιμή x i, με i =, 2,., k β. Να αποδείξετε ότι: f + f 2 + + f k =, όπου f i η σχετική συχνότητα της τιμή x i. 2. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας στο τετράδιό σας τη λέξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση. α. Η σχετική συχνότητα της τιμής x i μιας μεταβλητής Χ είναι αρνητικός αριθμός. ΘΕΜΑ B β. Στην κανονική κατανομή το 68 % των παρατηρήσεων βρίσκεται στο διάστημα ( x sx, + 2s), όπου x είναι η μέση τιμή των παρατηρήσεων και s η τυπική τους απόκλιση. γ. Η διακύμανση είναι μέτρο διασποράς και είναι καθαρός αριθμός, δηλαδή δεν έχει μονάδες. Μονάδες 9 Οι ετήσιοι μισθοί (σε χιλιάδες ) των υπαλλήλων μιας εταιρείας έχουν ομαδοποιηθεί σε κλάσεις ίσου πλάτους c. Δίνεται ότι η συχνότητα της ης κλάσης είναι 9-πλάσια της ης κλάσης και ο παρακάτω πίνακας: Κλάσεις x i v i f i N i F i f i % F i % [α, β) 8 [, ) 3 0 [, ) [, ) 7 Σύνολο ---------- 0 ---------- ---------- ---------- α) Να βρεθούν το πλάτος c και τα άκρα α, β της ης κλάσης. Μονάδες 0 Αν α = 0, β = 2 και c = 2 τότε: β) Να συμπληρωθεί ο παραπάνω πίνακας. Μονάδες 2 γ) Υποθέτοντας ότι ο αριθμός των υπαλλήλων κατανέμεται ομοιόμορφα στις κλάσεις να βρεθεί το διάστημα στο οποίο ανήκουν οι 0 υψηλότερα αμοιβόμενοι υπάλληλοι της εταιρείας. δ) Να κατασκευάσετε το πολύγωνο αθροιστικών σχετικών συχνοτήτων (%).
ε) Να υπολογίσετε την μέση τιμή, τη διάμεσο καθώς και το συντελεστή μεταβολής του παραπάνω δείγματος. (Δίνεται ότι: 2,75 =,66) Μονάδες ΘΕΜΑ Γ Το μήκος των ράβδων που κατασκευάζει μια βιομηχανία, ακολουθεί κανονική ή σχεδόν κανονική κατανομή με τυπική απόκλιση 2 cm. Αν το 2,5 % από τις ράβδους έχει μήκος μεγαλύτερο των 00 cm τότε: α) Να βρεθεί το μέσο μήκος των ράβδων και ο συντελεστής μεταβλητότητας. Μονάδες 0 β) Να βρεθεί το ποσοστό από τις ράβδους που έχει μήκος από 92 cm έως 00 cm. Μονάδες 5 γ) Αν ο κατασκευαστής αποφασίσει να επιμηκύνει κατά 0% το μήκος κάθε ράβδου, να προσδιορίσετε το νέο μέσο μήκος και να εξετάσετε αν μεταβάλετε ο συντελεστής μεταβλητότητας CV. Δίνεται: k 2 2 s = xi vi v i= k i= xivi v 2
ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ:........................................... ΤΜΗΜΑ:....... ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ:.... / 0 / 20 ΘΕΜΑ A. Έστω μεταβλητή Χ, με τιμές x, x 2,...., x k, που αφορά τα άτομα ενός δείγματος μεγέθους ν, με k, ν μη μηδενικοί φυσικοί αριθμοί και k ν. α. Τι ονομάζεται απόλυτη συχνότητα ν i, που αντιστοιχεί στην τιμή x i, με i =, 2,., k β. Να αποδείξετε ότι: f + f 2 + + f k =, όπου f i η σχετική συχνότητα της τιμή x i. 2. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας στο τετράδιό σας τη λέξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση. α. Η σχετική συχνότητα της τιμής x i μιας μεταβλητής Χ είναι αρνητικός αριθμός. β. Στην κανονική κατανομή το 68 % των παρατηρήσεων βρίσκεται στο διάστημα ( x sx, + 2s), όπου x είναι η μέση τιμή των παρατηρήσεων και s η τυπική τους απόκλιση. γ. Η διακύμανση είναι μέτρο διασποράς και είναι καθαρός αριθμός, δηλαδή δεν έχει μονάδες. Μονάδες 9 ΘΕΜΑ A (Λύσεις). α. Σχολικό βιβλίο σελ. 65 (8Μ) β. Σχολικό βιβλίο σελ. 65 (8Μ) 2. α. Λάθος β. Λάθος γ. Λάθος (3Χ3 Μ) ΘΕΜΑ B Οι ετήσιοι μισθοί (σε χιλιάδες ) των υπαλλήλων μιας εταιρείας έχουν ομαδοποιηθεί σε κλάσεις ίσου πλάτους c. Δίνεται ότι η συχνότητα της ης κλάσης είναι 9-πλάσια της ης κλάσης και ο παρακάτω πίνακας: Κλάσεις x i v i f i N i F i f i % F i % [α, β) 8 [, ) 3 0 [, ) [, ) 7 Σύνολο ---------- 0 ---------- ---------- ---------- α) Να βρεθούν το πλάτος c και τα άκρα α, β της ης κλάσης. Μονάδες 0 Αν α = 0, β = 2 και c = 2 τότε:
β) Να συμπληρωθεί ο παραπάνω πίνακας. Μονάδες 2 γ) Υποθέτοντας ότι ο αριθμός των υπαλλήλων κατανέμεται ομοιόμορφα στις κλάσεις να βρεθεί το διάστημα στο οποίο ανήκουν οι 0 υψηλότερα αμοιβόμενοι υπάλληλοι της εταιρείας. δ) Να κατασκευάσετε το πολύγωνο αθροιστικών σχετικών συχνοτήτων (%). ε) Να υπολογίσετε την μέση τιμή, τη διάμεσο καθώς και το συντελεστή μεταβολής του παραπάνω δείγματος. (Δίνεται ότι: 2,75 =,66) Μονάδες ΘΕΜΑ Β (Λύσεις) α) Οι κλάσεις έχουν τη μορφή [α, β) όπου β = α + c, όπου c το πλάτος της κλάσης. Γνωρίζουμε ότι οι κεντρικές τιμές διαφέρουν μεταξύ τους κατά c. Οπότε ισχύει ότι: 3 + c + c = 7 c = 2. (Μ) Επίσης ισχύει ότι: β + 2 c = 3 β = 2 και α + c = β α = 2 2 = 0.(6Μ) Άρα οι κλάσεις είναι: [0, 2), [2, ), [, 6) και [6, 8). β) Εχουμε ότι Ν = 8, οπότε και ν = 8. Επειδή ν = 9ν παίρνουμε ότι: ν = v 8 = =2. 9 9 Επίσης f = 8 =0,5, οπότε και F = 0,5. 0 Αφού f 2 = 0, τότε F 2 = F + f 2 = 0,5 + 0, = 0,85. Επειδή ν = 9ν f = 9 f. Οπότε f = 0,5 =0,05 9. Επίσης fi = f+ f 2+f 3+f = f3 = f f2 f = 0,. i= Άρα ν 3 = f 3 v = 0, 0 = Επίσης i= v = 0 v + v+v +v = 0 v = 0 v v v = 6 i 2 3 2 3 Έτσι συμπληρώνεται ο παρακάτω πίνακας.
Κλάσεις x i v i f i N i F i f i% F i% [0, 2) 8 0,5 8 0,5 5 5 [2, ) 3 6 0,0 3 0,85 0 85 [, 6) 5 0,0 38 0,95 0 95 [6, 8) 7 2 0,05 0 5 00 Σύνολο ---------- 0 ---------- ---------- 00 ---------- γ) Αφού ο αριθμός των υπαλλήλων κατανέμεται ομοιόμορφα στις κλάσεις, οι 0 υψηλότερα αμοιβόμενοι υπάλληλοι θα είναι το άθροισμα των δύο τελευταίων κλάσεων και (0 ( + 2)) υπάλληλοι από την κλάση [2, ). Αφού οι 6 υπάλληλοι αντιστοιχούν σε πλάτος 2 ( 2) τότε οι υπάλληλοι θα αντιστοιχούν σε πλάτος k. Άρα k = 2 0,5 6 =. Οπότε οι 0 υψηλότεροι θα ανήκουν στο διάστημα [3,5, 8). δ) Κατασκευάζουμε το πολύγωνο αθροιστικών σχετικών συχνοτήτων. ΠΟΛΥΓΩΝΟ ΑΘΡΟΙΣΤΙΚΩΝ ΣΧΕΤΙΚΩΝ ΣΥΧΝΟΤΗΤΩΝ ΓΙΑ ΤΟΥΣ ΕΤΗΣΙΟΥΣ ΜΙΣΘΟΥΣ ΤΩΝ ΥΠΑΛΛΗΛΩΝ ΤΗΣ ΕΤΑΙΡΕΙΑΣ F i % 00 95 85 Ε 60 50 5 Α Γ x 5 Β 0 Δ 20 0 2 δ 6 8 x i Χιλιάδες ευρώ ε) Ισχύει ότι : 500 x = xv i i= ( 8 + 3 6 + 5 + 7 2) = ( 98 + 208 + 60 + 3) = = 2,5 v i = 0 0 0 χιλιάδες ευρώ ( ή 2.500 ). (Μ)
Για τον υπολογισμό της διαμέσου, έχουμε: Επειδή το 5% είναι μικρότερες ή ίσες του 2, θα προσδιορίσουμε το μέρος της ομάδας [2, ), στο οποίο αντιστοιχεί το επόμενο 5%, έστω x, ώστε να προσδιορίσουμε την διάμεσο, στην οποία αντιστοιχεί η τιμή με F i % = 50%. Σε πλάτος 2 ( 2) αντιστοιχεί ποσοστό 0%. Σε πλάτος x αντιστοιχεί ποσοστό 5%. Άρα 5 x = 2 = 0, 25. 0 Οπότε η δ = 2 + x = 2,25 χιλιάδες ευρώ ( 2.250 ) (Μ) Παρατήρηση: Την διάμεσο μπορούμε να την υπολογίσουμε και από τους λόγους των πλευρών που δημιουργούνται από την ομοιότητα των τριγώνων ΑΒΓ και ΑΔΕ. Για να προσδιορίσουμε το CV χρειαζόμαστε την τυπική απόκλιση των τιμών. Οπότε: 2 2 xv i i 2 i= 2 S = xv i i = = xv i i ( x) = 0 i= 0 0 i= άρα S = 6.360 2,5 = 2,75, 0 ( ) 2 2,75 =,66 χιλιάδες ευρώ ή.660. (Μ) Έτσι ο CV = s, 66 00% 00% x = 2,5 = 3,28%. (2Μ) ΘΕΜΑ Γ Το μήκος των ράβδων που κατασκευάζει μια βιομηχανία, ακολουθεί κανονική ή σχεδόν κανονική κατανομή με τυπική απόκλιση 2 cm. Αν το 2,5 % από τις ράβδους έχει μήκος μεγαλύτερο των 00 cm τότε: α) Να βρεθεί το μέσο μήκος των ράβδων και ο συντελεστής μεταβλητότητας. Μονάδες 0 β) Να βρεθεί το ποσοστό από τις ράβδους που έχει μήκος από 92 cm έως 00 cm. Μονάδες 5 γ) Αν ο κατασκευαστής αποφασίσει να επιμηκύνει κατά 0% το μήκος κάθε ράβδου, να προσδιορίσετε το νέο μέσο μήκος και να εξετάσετε αν μεταβάλετε ο συντελεστής μεταβλητότητας CV.
ΘΕΜΑ Γ (Λύσεις) α. Αφού το 2,5% αντιστοιχεί σε ράβδους με μήκος μεγαλύτερο των 00 cm και τα μήκη ακολουθούν κανονική κατανομή, γνωρίζουμε ότι: x +2s = 00, οπότε με s = 2, έχουμε ότι x = 96 cm. (7Μ) Έτσι ο CV = 2 00% 2,08 96 % (3Μ) β. Το διάστημα 92 cm έως 00 cm αντιστοιχεί στο ( x 2s, x + 2s), άρα το αντίστοιχο ποσοστό είναι 95%. (5Μ) γ. Αν ψ, η νέα μεταβλητή με ψ = x + 0,x =,x, τότε γνωρίζουμε ότι: ψ =, x και S ψ =, S x, οπότε: ψ =, 96 = 05,6 cm (2Μ) και CV ψ = s ψ ψ,sx = = CVx, δηλαδή δεν μεταβάλλεται ο CV. (5Μ),x