NSINLE EKSEPLR V J mag 'n goedgekeurde, wetenskaplike sakrekenaar (nieprogrammeerbaar en niegrafies) gebruik, tens anders vermeld. Indien nodig, rond jou antwoorde tot TWEE desimale plekke af, tens anders vermeld. LGER EN VERGELYKINGS EN NGELYKHEE [] VRG. Los op vir :.. 0 ().. 6 + 0; g 0. (Laat jou antwoord korrek tot TWEE desimale plekke.) ().. ().. ( ) < 0 (). Los vir en gelktdig op: 6 en (6). Vereenvoudig, sonder die gebruik van 'n sakrekenaar: +. 8 (). Gegee: f() ( ) + en g().. Is dit moontlik dat f() g()? Gee 'n rede vir jou antwoord. ().. epaal die waarde(s) van k waarvoor f() g() + k TWEE onewe reële wortels sal ê. () [] EKSENVRESTELLE PTRNE EN RYE [6] VRG. Gegee die rekenkundige reeks: 8 + + 0 +... + 00.. epaal die aantal terme in ierdie reeks. ().. ereken die som van ierdie reeks. ().. ereken die som van al die telgetalle tot en met 00 wat NIE deelbaar is deur 6 nie. (). ie eerste drie terme van 'n oneindige meetkundige r is 6, 8 en onderskeidelik... epaal die n de term van die r. ().. epaal alle moontlike waardes van n waarvoor die som van die eerste n terme van ierdie r groter as is. ().. ereken die som tot oneindig van ierdie r. () [6] VRG. 'n Kwadratiese getalpatroon T n an + bn + c et 'n eerste term wat gelk is aan. ie algemene term van die eerste verskille word deur n + 6 gegee... epaal die waarde van a. ().. epaal die formule vir T n. (). Gegee die reeks: ( % ) + ( % 6) + (9 % 0) + ( % ) +... + (8 % 8) Skrf die reeks in sigmanotasie. (it is nie nodig om die waarde van die reeks te bereken nie.) () [0] FUNKSIES EN GRFIEKE [7] VRG. Gegee: f() +.. ereken die koördinate van die afsnit van f. ().. ereken die koördinate van die afsnit van f. () V Nasionale Eksemplaar Vraestel.. Skets die grafiek van f, en dui die asimptote en die afsnitte met die asse duidelik aan. ().. Een van die simmetrieasse van f is 'n dalende funksie. Skrf die vergelking van ierdie simmetrieas neer. (). ie grafiek van 'n stgende eksponensiële funksie met vergelking f() ab. + q et die volgende eienskappe : Waardeversameling: > ie punte (0; ) en (; ) lê op die grafiek van f... epaal die vergelking wat f definieer. ().. eskrf die transformasie van f() na (). + () [] VRG ie skets ieronder dui die grafieke van f() + en g() a + q aan. ie inklinasieoek van grafiek g is º in die rigting van die positiewe as. P is die snpunt tussen f en g, sodat g 'n raakln aan die grafiek van f b P is. P f. ereken die koördinate van die draaipunt van die grafiek van f. (). ereken die koördinate van P, die raakpunt tussen f en g. (). epaal vervolgens of andersins, die vergelking van g. (). epaal die waardes van d waarvoor die ln k() + d nie die grafiek van f sal sn nie. () [0] Kopiereg ie ntwoord g º V EKSENVRESTELLE: VRESTEL
V EKSENVRESTELLE: VRESTEL Nasionale EksemplaarVraestel VRG 6 ie grafiek van g word gedefinieer deur die vergelking g() a. ie punt (8; ) lê op g. 6. ereken die waarde van a. () 6. Indien g() > 0, vir watter waardes van sal g gedefinieerd wees? () 6. epaal die waardeversameling van g. () 6. Skrf die vergelking van g, die inverse van g, in die vorm... neer. () 6. s () geskets word, bepaal LGERÏES die snpunt(e) van en g. () 6.6 epaal vervolgens of andersins, die waardes van waarvoor g() > (). () [] FINNSIES, GREI EN VERVL [6] VRG 7 Sipokazi et 'n uis gekoop. S et 'n deposito van R0 000 betaal, wat aan % van die verkoopprs van die uis gelkstaande is. S et 'n lening b die bank gekr om die balans van die verkoopprs te betaal. ie bank vra aar 'n rentekoers van 9% per jaar, maandeliks saamgestel. 7. epaal die verkoopprs van die uis. () 7. ie leningstermn is 0 jaar en s begin die lening een maand nadat dit toegestaan is, terugbetaal. ereken aar maandelikse paaiement. () 7. Hoeveel rente sal s oor die tdperk van 0 jaar betaal? Rond jou antwoord korrek tot die naaste rand af. () 7. ereken die balans van aar lening direk na aar 8 ste paaiement. () 7. S et finansiële probleme na die 8 ste paaiement ondervind en et vir maande geen verdere betalings gemaak nie (dit wil sê, maand 86 tot 89). ereken oeveel Sipokazi aan die einde van die 89 ste maand op aar verband skuld. () 7.6 S besluit om aar terugbetaling na R8 00 per maand te veroog van die einde van die 90 ste maand af. Hoeveel maande sal dit neem om aar verband terug te betaal na die nuwe paaiement van R8 00 per maand? () [6] Kopiereg ie ntwoord IFFERENSILREKENE [] VRG 8 8. epaal f () vanuit eerste beginsels as f(). () 8. epaal d d VRG 9 Gegee: f() + 0 indien. () [7] 9. Gebruik die feit dat f() 0 om 'n faktor van f() neer te skrf. () 9. ereken die koördinate van die afsnitte van f. () 9. ereken die koördinate van die stasionêre punte van f. () 9. Skets die grafiek van f. ui al die afsnitte met die asse en die draaipunte duidelik aan. () 9. Vir watter waarde(s) van sal f () < 0? () [] VRG 0 Twee fietsrers begin gelktdig fietsr. Een begin b punt en r direk noord na punt, terwl die ander een b punt begin en direk wes na punt r. ie fietsrer wat b begin et, r teen 0 km/ terwl die fietsrer wat b begin et teen 0 km/ r. ie afstand tussen en is 00 km. Na td t (gemeet in uur), bereik ulle punt F en onderskeidelik. F 0. epaal die afstand tussen F en in terme van t. () 0. Na oe lank sal die twee fietsrers die naaste aan mekaar wees? () 0. Wat sal die afstand tussen die twee fietsrers wees op die tdstip soos bepaal in Vraag 0.? () [0] V WRSKYNLIKHEI [6] VRG. Gebeurtenisse en is onderling uitsluitend. it word gegee dat: P() P() P( of ) 0,7 ereken P(). (). Twee identiese sakke word met balle gevul. Sak bevat pienk en geel balle. Sak bevat pienk en geel balle. it is ewe waarsknlik dat Sak of Sak gekies word. Elke bal et 'n gelke kans om uit die sak gekies te word. 'n Sak word willekeurig gekies en dan word 'n bal willekeurig uit die sak gekies... Stel die inligting deur middel van 'n boomdiagram voor. ui duidelik die waarsknlikeid aan wat deur elke tak van die boomdiagram verteenwoordig word en skrf al die uitkomste neer. ().. Wat is die waarsknlikeid dat 'n geel bal uit Sak gekies sal word? ().. Wat is die waarsknlikeid dat 'n pienk bal gekies sal word? () [] VRG eskou die woord T H S.. Hoeveel verskillende letterrangskikkings kan gevorm word as al die letters ierbo gebruik word? (). epaal die waarsknlikeid dat letter S en T altd die eerste twee letters van die rangskikkings in Vraag. sal wees. () [] T T H S S T TTL: 0
NSINL EKSEPLR V J mag 'n goedgekeurde, wetenskaplike sakrekenaar (nieprogrammeerbaar en niegrafies) gebruik, tens anders vermeld. Indien nodig, rond jou antwoorde tot TWEE desimale plekke af, tens anders vermeld. STTISTIEK [] VRG Twaalf atlete et geoefen om aan die proewe van die plaaslike atletiekklub se 00 mnaelloopitem deel te neem. Sommige van ulle et die oefeninge meer ernstig as die ander opgeneem. ie volgende tabel en spreidiagram toon die getal dae wat 'n atleet geoefen et en die td wat dit geneem et om die naelloop te voltooi. ie te wat aangeteken is, in sekondes, is tot een desimale plek afgerond. Getal dae geoefen Td geneem (in sekondes) Td geneem (in sekondes) 0 8 6 0 0 70 0 60 60 0 0 90 00 60 0 0,9, 7,0, 8, 6,,,7 0,,7 7,, Spreidiagram 8 0 0 0 60 80 00 0 Getal dae geoefen. espreek die neiging van die data wat versamel is. (). Identifiseer enige uitskieter(s) in die data. (). ereken die vergelking van die kleinstekwadrateregressie ln. (). Voorspel in watter td 'n atleet wat dae geoefen et, die 00 mnaelloop sal voltooi. (). ereken die korrelasiekoëffisiënt. ().6 Lewer kommentaar op die sterkte van die verband tussen die veranderlikes. () [] VRG ie tabel ieronder toon die td (in uur) wat leerders tussen en 8 jaar gedurende weke van die vakansie voor die televisie deurgebring et. Td (uur) Kumulatiewe frekwensie 0 t < 0 0 t < 0 69 0 t < 60 9 60 t < 80 7 80 t < 00 66 00 t < 0 7. Skets 'n ogief (kumulatiewe frekwensiekurwe) op die assestelsel ieronder om die gegewe data voor te stel. () Kumulatiewe Frekwensie 70 60 0 0 0 0 0 00 90 80 70 60 0 0 0 0 0 0 gief (Kumulatiewe frekwensiekurwe) 0 0 0 0 0 0 60 70 80 90 00 0 0 Td (in uur). Skrf die modale klas van die data neer. (). Gebruik die ogief (kumulatiewe frekwensiekurwe) om die getal leerders te bepaal wat meer as 80% van die td televisie gekk et. () V Nasionale Eksemplaar Vraestel. epaal die gemiddelde td (in uur) wat die leerders tdens weke van die vakansie voor die televisie deurgebring et. () [0] NLITIESE EETKUNE [7] VRG In die diagram ieronder is, T(; ), N(; ) en P(7; ) oekpunte van trapesium TNP met TN P. Q(; ) is die middelpunt van P. PK is 'n vertikale ln en SPK ˆ θ. ie vergelking van NP is + 7. T(; ) S Q(; ) N(; ). Skrf die koördinate van K neer. (). epaal die koördinate van. (). epaal die gradiënt van P. (). ereken die grootte van θ. (). Vervolgens, of andersins, bereken die lengte van PS. ().6 epaal die koördinate van N. ().7 s (a; ) in die artesiese vlak lê:.7. Skrf die vergelking neer van die reguitln wat die moontlike posisies van voorstel. ().7. Vervolgens, of andersins, bereken die waarde(s) van a waarvoor TQ ˆ º. () [] θ K P(7; ) Kopiereg ie ntwoord V EKSENVRESTELLE: VRESTEL
V Nasionale Eksemplaar Vraestel VRG In die diagram ieronder word die sirkel, met middelpunt, se vergelking gegee deur ( + ) + ( + ) 9. R is 'n punt op koord sodat R koord alveer. T is 'n raakln aan die sirkel met middelpunt N(; ) b punt T(; ). R N(; ) T(; ). eskou die identiteit: 8 sin(80º ) cos( 60º ) tan sin sin (90º + ).. ews die identiteit. (6).. Vir watter waarde(s) van in die interval 0º < < 80º is die identiteit nie gedefinieerd nie? (). epaal die algemene oplossing van cos θ + sin θ sin θ 0. (7) [] VRG 6 In die diagram ieronder is die grafieke van f() tan b en g() cos( 0º) op dieselfde assestelsel geskets vir 80º [ [ 80º. ie punt P(90º; ) lê op f. Gebruik die diagram om die volgende vrae te beantwoord. VRG 7 7. ews dat in enige skerpoekige Δ is sin sin. () a b 7. ie raamwerk van 'n konstruksie bestaan uit 'n koordevieroek PQRS in die orisontale vlak en 'n vertikale paal TP soos in die figuur aangetoon. ie oogteoek van T, soos gemeet vanaf Q, is º. PQ PS k eenede, TP eenede en SRQ ˆ º. T. Skrf die koördinate van neer. (). epaal die vergelking van T in die vorm m + c. () f P(90º; ) P Q EKSENVRESTELLE: VRESTEL. Indien verder gegee word dat R 0 eenede, bereken die lengte van. Laat jou antwoord in vereenvoudigde wortelvorm. (). ereken die lengte van N. (). 'n nder sirkel met middelpunt N raak die sirkel met middelpunt b punt K. epaal die vergelking van die nuwe sirkel. Skrf jou antwoord in die vorm + + + + E 0 () [] TRIGNETRIE [] VRG. Gegee dat sin α en 90º < α < 70º. SNER om 'n sakrekenaar te gebruik, bepaal die waarde van elk van die volgende, in die eenvoudigste vorm:.. sin (α) ().. cos α ().. sin (α º) () 80º g 80º 6. epaal die waarde van b. () 6. Skrf die koördinate van, 'n draaipunt van g, neer. () 6. Skrf die vergelking van die asimptoot/asimptote van tan b( + 0º) vir [80º; 80º] neer. () 6. epaal die waardeversameling van as () g() +. () [6] k S 7.. Toon aan, met redes, dat ˆ PSQ. () 7.. ews dat SQ k cos. () 7.. 6cos ews vervolgens dat SQ. tan () [] R Kopiereg ie ntwoord V
EUKLIIESE EETKUNE EN ETING [] Gee redes vir jou bewerings in VRG 8, 9 en 0. VRG 8 8. Voltooi die volgende bewering: VRG 9 In die diagram is die middelpunt van die sirkel en middelln is verleng na. E is loodreg op getrek sodat E 'n raakln aan die sirkel b is. E en koord sn in F.. Nasionale Eksemplaar Vraestel 0. In die diagram is E 'n drieoek met E en E GF. Verder word ook gegee dat : E :, eenede, EF 6 eenede, F eenede en G eenede. V ie oek tussen 'n raakln en 'n koord b die raakpunt is gelk aan... () 8. In die diagram is,,, en E punte op die omtrek van die sirkel sodat E. E en verleng ontmoet in F. GH is 'n raakln aan die sirkel b. ˆ 68º en ˆF 0º. G F E 6 ereken, met redes: 0.. die lengte van () F G H 68º epaal die grootte van elk van die volgende: E 0º 8.. E ˆ () 8.. ˆ () 8.. ˆ () 8.. E ˆ () 8.. Ĉ () [9] F 9. s ˆ, skrf, met redes, TWEE ander oeke neer wat gelk is aan. () 9. ews dat 'n raakln b is aan die sirkel wat deur, E en gaan. () 9. ews dat F 'n koordevieroek is. () 9. ews dat. () 9. ews dat Δ ΔF. () 9.6 epaal vervolgens die waarde van. F () [9] VRG 0 0. In die diagram lê punte en E op onderskeidelik se en van Δ sodat E. Gebruik Euklidiese meetkundemetodes om die stelling te bews wat beweer dat E. E E V E (6) 0.. die waarde van () 0.. die lengte van () area Δ 0.. die waarde van () [] area ΔGF TTL: 0 Kopiereg ie ntwoord EKSENVRESTELLE: VRESTEL
NSINLE EKSEPLR V LGER EN VERGELYKINGS EN NGELYKHEE [].. 0 ( ) 0 0 of 0.. 6 + 0 % ) 6 + 0.. 6 ± 8 (6) ± ( 6) ()() () j,6 of 0, Neem : Veref tot mag :.. ( ) < 0 < 0... ± ±8 <... (+)() () F: ( ) 8 aar, ontou dat 'n ewe wortel geneem is want is positief vir alle reële waardes van. ±8 EKSENE'S.... ➊ 6... ➋. Stel ➊ en ➋ gelk: 6 0 ( + )( ) 0 of ➊: s : () s : () 6 ie oplossing : (; ) of (; 6) 6 6 + ( ) + ( ). +. 8. LW.: Elk van die vrae benodig slegs 'n punt antwoord! Lang algebraïese vergelkings (sien die alternatiewe metodes) sal nie gepas wees nie! 'n Rowwe skets van f en g:.. Nee ; ie INIU waarde van f() f en g et geen snpunte nie.. k >... g() + k moet > wees, sodat 'n ln g() + k (parallel aan die as) f twee keer sal sn. F: Stel ➋ in ➊ in g ( 6), ens. f (; ) Eksamenmemo's: Vraestel F: lgebraïese metodes, wat meer td benodig!.. Nee ; f() g() ( ) + ( ) ( ), wat onmoontlik is, want 'n kwadraat kan nie negatief wees nie. F: ( + ) + 6 + + 6 + 0 (6) ± (6) ()() () 6 ± 6 aar is geen oplossings vir die vergelking f() g() nie... f() g() + k ( ) + + k ( + ) + k 0 Δ (6) ()( k) 6 60 + k k 6 + ( k) 0 s ons (reële & ongelke) wortels wil ê, dan moet Δ positief wees: k > 0 k > k > ie skets is baie makliker. Δ Δ is niereëel Kopiereg ie ntwoord EKSENE'S: VRESTEL
EKSENE'S: VRESTEL Eksamenmemo's: Vraestel PTRNE EN RYE [6]. 8 + + 0 +... + 00.. ie reeks is rekenkundig : a 8 ; d 6 ; n? T n a + (n )d 00 8 + (n )(6) 8 6(n ) 6) n 7 n 8 8 terme F: it is 'n lineêre reeks Kopiereg ie ntwoord ie algemene term, T n an + b waar a die ste verskil 6 & b T 0 T n 6n + Stel 6n + 00 6n 88 n 8 8 terme.. ie som, S n n (a + T n) waar n 8 (van..) ; a 8 & T 8 00 S 8 8 (8 + 00) 7 6 F: S n n [a + (n )d] waar n 8; a 8 & d 6 S n 8 [(8) + (8 )(6)] 7 6.. ie som van al die telgetalle tot en met 00 (0 +) + + +.... + 00 00 ( + 00)... S n n (a + T n) 0 vanaf.. ie benodigde som 0 (6 + + 7 6) 7 00..R.: 6; 8; ;..... T n ar n waar a 6 & r 8 6 T n 6. n.( ) n. n + n + n of 8.. eskou 6 + 8 + + + d.w.s. S S n > n > F: S n.. S n a( r ) r ( ) n 6 waar a 6 & r ( ) n 6 n S n > %() a r n n n 6 6 > > > < n > LW.: it is aanvaarbaar om te skrf: n 6 want n N... ie terme: ste verskille: (0) + 6 () + 6 () + 6 6 0 de verskille: a a.. T n an + bn + c T 0 c n + 6 T a + b + c... F: Eerste ste verskil: + b a + b 0 b () + b 0 T n n + n b. ie eerste faktore van elke term: ; ; 9 ; ;... ; 8 waar a en b T 0 lgemene term: T n n ie n de term, T n 8 n 8 n 8 n ie tweede faktore van elke term: ; 6 ; 0 ; ;... Elke term is net meer as die vorige reeks T n n tot b n Sigmanotasie: n (n )(n ) FUNKSIES EN GRFIEKE [7]. f().. afsnit: is 'n lineêre reeks T n an + b... Stel 0 dan is + (0; ).. afsnit: Stel 0... f() 0 dan is 0 + + 0 +... f(0) + ; 0 F:.R. T n a + (n )d, ens. J kon ierdie vraag geeel en al deur inspeksie gedoen et!
.. f ➊. f() a.b + q.... q... waardevers.: > Vergelking: a. b Stel (0; ): a.b 0 a Vergelking: b Stel (; ): b b ie vergelking van ln ➋ is + ( ;0) Vergelking: (; ) (0; ) ➋ Lne ➊ en ➋, deur (; ) is die simmetrieasse. Ln ➊ is 'n afnemende funksie. Vergelking van ln ➊: ( + ) F: Stel (; ) in + c Let Wel : aar is onbekendes wat bepaal moet word. ie volgorde van die proses is belangrik: asimptoot, afsnit, dan die ander punt... () + +.... + Skuif f eeneid links en eenede op F: (). + ( ) + 7... Vergroot f met 'n faktor van, skuif dit dan 7 eenede op. f() + aks. kom voor wanneer b a () F: wanneer f '() 0, d.w.s. 0 aksimum raaipunt: ; 9 8 + 9 8 F: f() + + 6 9 6 9 + 8 raaipunt 9 ; 8. P is die gradiënt van f, f (), gelk aan die gradiënt van die raakln (g) f () tan º & f() () () + + + 6 P(; 6) m en f in verband te bring, moet die ele f() vergroot word.. Vergelking van g: a + q a die gradiënt van g Stel P(; 6) in: 6 () + q q + q Vgl. van g : +. d >... afsnit, d moet > wees 6. Vergelking van g: a (8; ) op g a(8)... Kwadreer albei kante : 6 8a a 6. g() is gedefinieer vir 0 6. 0 6. Vergelking van g: Vgl. van g : Eksamenmemo's: Vraestel ; 0 6. () g()... ( ) 8 + 6 0 + 6 0 ( )( 8) 0 of 8 R, vir : LK () en RK g() + Slegs 8... Sien die skets: en 8 of (8) ie snpunt is (8; ) F: Stel die gradiënt en die punt (; 6) in m( ): 6 ( + ) 6 + s 'n punt op 'n grafiek lê, bevredig die koördinate van die punt die vergelking van die grafiek. Sien die sketse van g en g ieronder: g it is belangrik om die refleksies van die inverse funksies, g en g, in die ln te verstaan. LW.: 0 ie punt (; ) kan nie op g lê nie. Kopiereg ie ntwoord g EKSENE'S: VRESTEL
Eksamenmemo's: Vraestel 6.6 0 < < 8 loewel j die snpunt algebraïes bepaal et, is dit belangrik om ierdie ele V6 grafies ook te verstaan. 7. ie bedrag rente ie bedrag oor 0 jaar betaal die oorspronklike bedrag (0 % R6 79,9) R78 000 R 6 88 R78 000 R867 88 7. ie bedrag verskuldig na 89 maande ie opgelope bedrag vir die maande na maand 8 LW.: Geen betalings is gemaak nie, so daar was R6 09,7 + niks om af te trek nie. FINNSIES, GREI EN VERVL [6] 7. % van die verkoopprs R0 000 % van die verkoopprs R0 000 00% van die verkoopprs (R0 000 ) % 00 R80 000 7. ie balans van die verkoopprs R78 000 ( die lening) etode : Huidige waarde P v 78 000 n ( + i) i 0 +. 78 000 Hierdie is die vinniger metode! waar P v R78 000;? i 9% ; n 0 % 0 STor,9 in 7. T 0 T 8 T 0 maande etode : Huidige waarde Na die 8 ste paaiement, is die aantal oorblwende paaiemente 0 8 & die balans van die lening, dan 6 79,9 + R6 09,7 ie 'uidige' etode : Toekomstige waarde T 0 T 8 T 0 7.6 R6 8,8... ie uidige waarde van die annuïteit na maand 89 moet gelk wees aan die bedrag op ierdie stadium verskuldig. n 8 00 + F: 6 8,8 % en 8 00: n + 0,97.... 0,060 + n R6 8,8 indien die bedrag van etode in 7. gebruik is. T 0 T 89 T 0 maande ( + i) P v i n waar 8 00 EKSENE'S: VRESTEL j R6 79, etode : Toekomstige waarde ie Toekomstige waarde van die lening : F v P v ( + i) n waar P v R78 000; n 0 % 0 0 78 000 + en i 9% R 9 8, STor in en F v n ( + i) i ( + ) 0. j R6 79,0 ie bedrag verskuldig... 78 000 + 66,7 STor in ie bedrag betaal... F v p ierdie stadium: ie waarde van die lening, 8 terwl: ie waarde van die annuïteit, 8 6 79,9 + R796,96 STor in ie balans van die lening F v R6 09,77 F v R6 09,77... die oorblwende bedrag om te betaal n log 0,060 log ( + ) 09,7... n j 0 maande F: log 0,060 log + log 0,060 n log + log 0,060 n log ( + ) n ens....... a b log b a log a log b log log log log Kopiereg ie ntwoord
IFFERENSILREKENE [] 8. f() f( + ) ( + ) ( + + ) + 6 + f( + ) f() 6 + f( + ) f( ) 6 + f () f( + ) f( ) lim 0 8. d d 0..... 8 8... 0 9. f() + 0 9. f() 0 is 'n faktor van f() s k n ; dan is d d n k. n 9. < <... Eksamenmemo's: Vraestel 0. Na t ure: 0t ; 00 0t ; F 0t F F + (0t) + (00 0t) 900t + 0 000 8 000t + 600t 00 t 8 000t + 0 000 F 00t 8 000t + 0 000 vir ierdie waardes van is die gradiënt van f negatief F: lim (6 + ) 0 6 9. f() ( )(.... )... Toets: ( )( )... + ( )( )( + ) 0. in F kom voor wanneer F 'n minimum is t b a 8000 ( 00),6... Na uur en 6 min F: die afgeleide (van F ) 0 000t 8 000 0, ens. f () f( + ) f( ) lim 0 ( + ) ( ) lim 0 ( + + ) + ) lim 0 lim + 6 + 0 lim 6 + 0 lim 6 + 0 6 J moet een van ierdie uiteensettings kies. J kan of die komponente benodig vir die definisie van 'n afgeleide eerste bepaal en dan die definisie toepas. F: egin met die definisie, ontou om lim op elke reël te eraal totdat j 0 die limiet in die laaste reël bepaal et. is die belangrikste om die definisie te verstaan. f() 0 of of Koördinate van afsnitte: (; 0), (; 0) & (; 0) 9. die stasionêre punte: f () 0 9. 8 0 ( )( + ) 0 of f + 0 j,8 & f() () () () + 0 6 Koördinate van stasionêre punte : (; 6) en ;,8 (; 6) (0; 0) ( ; 0) (; 0) (; 0) ;,8 f 0. in F 00(,6) 8 000(,6) + 0 000 60 km WRSKYNLIKHEI [6]. P( of ) P() + P()... & is onderling uitsluitend.. 0,7 P() + P()..., P() 0,7 P() 0,8 9 9 P G P P() P() P() P() ie Uitkomste :, P :, G :, P G :, G Kopiereg ie ntwoord EKSENE'S: VRESTEL
Eksamenmemo's: Vraestel.. P(, G) %.. P(Pienk) P(, P) + P(, P) % + % 9 + 0 6 8 NSINLE EKSEPLR V STTISTIEK []. Hoe meer die getal dae van oefening, oe minder td geneem om die naelloop te voltooi. F: Soos die getal dae van oefening vermeerder, so et die td om die naelloop te voltooi, verminder. F: Hoe minder dae geoefen, oe langer et dit geneem om die naelloop te voltooi. die steilste kurwe oor ierdie. 0 t < 60... interval dui die grootste getal leerders aan. 80% van die td 80% van 0 96. ie getal leerders wat 96 spandeer et, is 6... sien grafiek ie getal leerders wat > 96 spandeer et, is 7 6 7 Td (ure) Kumulatiewe frekwensie Frekwensie per interval 0 t < 0. keuses keuses keuses keuses keuse ie aantal verskillende letterrangskikkings % % % %! 0. maniere manier maniere maniere manier S of T ie aantal letterrangskikkings wat begin met ST _ of TS _. (60; 8,). Vergelking van die regressieln: + waar 7,89... & 0,0706... (Sakrekenaar) ie vergelking: 7,8 0,07. Td geneem 7,8 0,07(),67 sekondes. ie korrelasiekoëffisiënt, r j 0,7.6 ie verband tussen die veranderlikes is redelik sterk.. gief (Kumulatiewe frekwensiekurwe) 0 t < 0 69 0 t < 60 9 60 60 t < 80 7 8 80 t < 00 66 9 00 t < 0 7 6 ie gemiddelde td 0 + 0 + 60 0 + 8 70 + 9 90 + 6 0 7 8 000 7 j 6, uur (of, met sakrekenaar) EKSENE'S: VRESTEL! %! ie WRSKYNLIKHEI iervan!! 0 0 Kopiereg ie ntwoord... P(E) n(e) n(s) Kumulatiewe Frekwensie 70 6 60 0 0 0 0 0 00 90 80 70 60 0 0 0 0 0 0 96 0 0 0 0 0 0 60 70 80 90 00 0 0 Td (in uur) 6 NLITIESE EETKUNE [7]. K(7; 0). (; )... Q middelpunt van P. m P 7 6. tan ˆ PSK w P ˆ PSK 8,º θ 7,7º... ø e van ΔPSK. In ΔPSK: cos θ PK PS cos 7,7º PS PS cos 7,7º F: sin 8,º... j 9,9 eenede PS, ens. a k b b k a
.6 N(; ) op die ln + 7 Punt N is (; + 7) m NT m P... NT P in trapesium + 7 () + + 6 + 6 + N(; 7) 7 & () + 7 7 F: epaal die vergelking van TN: Stel m en (; ) in m( ) F m + c Vergelking is +. N is die snpunt van TN en NP Los die vergelkings op..7. ie vergelking: (a; ).7. ie gradiënt van Q tan º of tan º a of a ± a ± a of. (; ). NT T... raakln radius m NT m T Stel m en T(; ) in m( ) of m + c ( ) T( ; ) º ()() + c, ens. º º º Q(; ) º N(; ) R º (a; ) T(; ). R... R is die ln vanaf die middelpunt na die middelpunt van koord In ΔR: R R... Stelling van Ptag. 9 0... r 9 9 0 R... R 6 een..... N ( ) + ( ) N eenede. N eenede... in. & K eenede... rad. van? KN eenede Vergelking van 'nuwe'?n: ( ) + ( ) 6 + 9 + + + 6 + 9 0 TRIGNETRIE []. sin α X & 90º < α < 70º X X X α is in die de Kwadrant.. sin(α) sin α Pt α.. cos α ( ;.. sin(α º) sin α cos º cos α sin º + 0 7 (; ) N(; ) K 8 sin.. LK. cos sin cos. sin cos cos sin ( ). sin cos tan RK.. it sal ongedef. wees as cos 0 wanneer 90º + n(80º) º + n(90º) º F º. ( sin θ) + sin θ sin θ 0 sin θ of Eksamenmemo's: Vraestel sin θ sin θ 0 ( sin θ + )(sin θ ) 0... sin θ θ 0º + n(60º) θ 0º + n(60º), n Z 6. b... tan (90º) tan º... sien pt. P 6. (0; )... cos( 0º 0º) cos 0º 6. ie asimptote van f: 80º en 80º ie benodigde asimptoot is 60º... Let op dat 00º buite die definisieversameling val. 6. g()... %) g() + g() + F: Wanneer tan ongedef. is. ieselfde oplossing. ä sin θ kan slegs waardes tussen en ê ie asimptote beweeg 0º links. ie waardeversameling van g ie waardeversameling van : Kopiereg ie ntwoord EKSENE'S: VRESTEL
EKSENE'S: VRESTEL Eksamenmemo's: Vraestel 7. Konstruksie: & Trek die oogteln of vanaf Ĉ (die oek nie in die formule betrokke nie) ews: In Δ: b sin b sin... ➊ In Δ: a sin a sin... ➋ Vanaf ➊ & ➋ : b sin a sin... beide gelk aan ab) sin a 7.. ˆ SPQ 80º PSQ ˆ + PQS ˆ ˆ PSQ 7.. In ΔSPQ: 7.. In ΔTPQ: ˆ PQS SQ sin(80º ) F: Kon die kosinusreël ook gebruik et. PQ Kopiereg ie ntwoord sin b... teenoors. ø e van kv.... ø e in Δ... ø e teenoor gelke se sin... sin(80º ) sin sin k. sin cos sin k cos... ➊ SQ k sin tan k tan %) k tan... k PQ... ➋ ➋ in ➊ : SQ. tan. cos 6 cos tan a b EUKLIIESE EETKUNE EN ETING [] 8.... die oek onderspan deur die koord in die verwisselende segment. 8.. E ˆ ˆ 68º 8.. ˆ E ˆ 68º... raaklnkoord stelling... verw. ø e ; E 8.. ˆ ˆ... buiteø van koordevieroek 68º 8.. E ˆ ˆ + 0º 88º... buiteø van Δ 8.. Ĉ 80º E ˆ... teenoors. ø e van koordevk. 9º 9. Â... raaklnkoord stelling ˆ... ø e teenoor gelke se 9. ˆ ˆ + ˆ... buiteø van Δ ˆ 90º... E & E ˆ 90º... radius raakln E Ê ˆ Ê... ø e van ΔE is 'n raakln b aan?e 9. ˆ 90º & ˆ 90º ˆ ˆ E... ø in semi?... E F is 'n koordevk.... buiteø teen. binneø 8 F 9. Stel a ; dan is a a... radiusse In Δ: ˆ 90º... radius raakln (a) (a) 9a a a 9. In Δ e en F () ˆ F ˆ... buiteø van kv. F teen. binneø () ˆ ˆ... beide Δ ΔF... øøø 9.6 F 0. Konstruksie: Verbind en E en oogtes en ews: area van ΔE. area van ΔE. area van ΔE & area van ΔE... eweredige se... sien 9.... gelke oogtes E. E. E E aar, area van ΔE area van ΔE... area van ΔE area ΔE area van ΔE area ΔE E E 0.. Stel p ; dan is E p In ΔE: p... ewer. stelling; p E % ) 9 eenede E E... gelke oogtes 6 dies. basis E & tussen dies. lne, d.w.s. dies. oogte F G
0.. G ; dus is G 9 9 In ΔE:... ewer. stelling ; E GF + 6 6 + 9 9 NTS Eksamenmemo's: Vraestel 0.. In Δ e en E () Â is gemeen () ˆ Ê... ooreenk. ø e ; E Δ ΔE E E 9 p p... øøø... eweredige se % 9) 9 eenede 0.. area van Δ area van ΔGF. sin ˆ G. F sin ˆ 9...sin ˆ......sin ˆ 9 9 6 ooreenk. ø e ; E area van Δ F: area van ΔE. p..sin ˆ. p..sin ˆ 6 area van Δ 6 area van ΔE... ➊ area van ΔGF & area van ΔE... sin ˆ.. 9. sin ˆ area van ΔGF area van ΔE 9. area van Δ ➊ ➋: area van ΔGF 6 9 9 6 9.. ➋ area van Δ E area van Δ E EKSENE'S: VRESTEL 9 Kopiereg ie ntwoord