. Detemite Detemit je peslikv i posto mtik v posto elih števil. Opecije detemitmi: - seštevje: Dve detemiti lhko seštejemo če se likujet le v ei vstici li eem stolpcu. To vstico (stolpec) pepišemo ostle seštejemo. - možeje s številom: Detemito pomožimo s številom tko d jim pomožimo eo vstico li e stolpec. - mejv: Če mejmo dve vstici li dv stolpc se pedk detemiti spemei. Rčuje vedosti detemite d c c d podukti pej - podukti j Detemito pevedemo goje tikoto: - vstici (stolpcu) pištejemo s številom pomožeo vstico (stolpec) - mejmo vstici (stolpc) i spemeimo pedk. M O L M O O L L Detemito vijemo po vstici li stolpcu L L L M k M L L ki L L L M k M i ( ) k i ki ki Cmejev metod eševje sistemov lieih eč: v v Sistem pišemo v mtiči oliki. Mtik j je mtik v ktei smo j -ti stolpec mejli v j. otem je j.
Ilustcij lstosti detemit pimeih: ( ) NLOGE:. Z sledjo detemito piši poddetemito i kofktoj!. Ičuj sledji detemiti vojem po vstici li stolpcu. Ičuj sledjo detemito s pevedo goje tikoto.
. Reši s pomočjo Cmejeve metode: ) t t t ) t t t c) REŠITVE:. ) ( ) (... ) t ) t c)
. Mtike Opecije mtikmi: - seštevje: Dve mtiki seštejemo tko d seštejemo istoleže elemete. - možeje s številom: Mtiko pomožimo s številom tko d jim pomožimo vse elemete mtike. - tspoije: Elemet ij poste elemet ji. Vlog vstice i stolpc se mejt. - možeje mtik: Nj o C. otem je c ij skli podukt i -te vstice mtike i j -teg stolpc mtike. Možeje mtik i komuttivo toej v splošem. T T Z tspoije i možeje mtik velj ekost ( ) T. Ive mtik mtike je tk mtik d velj E. Ive mtik ostj smo pi kvdtih mtikh. Ičumo jo lhko dv či:. mtiko kofktojev : - iču detemite; - iču mtike kofktojev; - tspoije mtike kofktojev; - deljeje vedostjo detemite.. elemetimi tsfomcijmi: Mtiko šiimo eotsko mtiko. E elemetimi tsfomcijmi euedimo šijeo mtiko [ ] vstich i doimo [ ] E. Fomul ičuvje ivee mtike pi mtikh ed. c d d d c c Mtiče eče ešujemo podoo kot vde eče piti p momo ekomuttivost možej i možeje iveo mtiko mesto deljej. Rg mtike je velikost jvečje eičele poddetemite. Določimo g tko d mtiko elemetimi tsfomcijmi petvoimo v stopičsto oliko (vsk vstic če v ksejšem stolpcu). otem je g mtike ek številu eičelih vstic.
NLOGE:. Di st mtiki i Ičuj mtiko.. Di st mtiki i Določi mtiko X tko d o veljlo X!. Ičuj podukt i če je i!. N pimeu mtik i pevei d velj tspoicijo podukt pvilo ( ) T T T!. Nj o M. oišči vse mtike N ktee je MN! Nmig: oišči pogoje poljuo mtiko.. oišči kvdte mtik i C!. okži d mtiki i komutit!. Z poliom ( ) p i mtiko M pokži d je ( ) M p.. S popolo idukcijo dokži d velj!
. Di mtiki poišči iveo mtiko!. Ičuj!. Reši mtičo ečo X i [ ].. Reši mtičo ečo C X če so i C.. S pomočjo keg itj loke eši.. Določi g mtike!. Določi g mtike v odvisosti od!. S pomočjo elemetih tsfomcij poišči iveo mtiko.. Reši sistem lieih eč s pomočjo ivee mtike )
). oišči vse tiste mtike X ki hkti ustejo sledjim pogojem: ) komutijo mtiko ) c) ( ) det X. Nmig: oišči pogoje poljuo mtiko.. Reši mtičo ečo D CX X kje je D C REŠITVE:.. Iimo X i eče i doimo X.. i. Zdi ekomuttivosti možej mtik st podukt lič.. ( ) T T i T T.. Nj o d c N. otem i d c d c MN doimo pogoj c i d. Toej je d c d c N polju R d c.
i mtikh toej i MN e sledi ( ) ( ) N M.. C. Ičumo i te ju pimejmo. i toej je.. Ičumo ) ( E M M M p.. ;.... Ečo X desi (ekomuttivost!) pomožimo i doimo [ ] [ ] X.. Ečo C X di ekomuttivosti pomožimo levi i desi. Tko doimo C X.. omožimo F D Y X C i doimo F D CY Y X. Sledi D Y X i F CY. I eč iimo ( ) Y D X F C Y. Doimo Y i X. Toej je.
. Toej je ( ).. Toej je ( ) i ( )... ) ). Vemimo. d c X Zdi ) je. c X Komutije pomei d mo iti X X. Sledi i c. Toej je. X Zdi c) je X. Doimo i. Toej st mtiki ki doščt pogojem X i X.. N levi jpej ipostvimo X i doimo ( ) D X C. N levi pomožimo ( ) C i desi. Doimo ( ) D C X.
. Sistemi lieih eč Sistem lieih eč pišemo v mtiči oliki X kje je mtik koeficietov X vekto ek i vekto kostt dese sti eč. ~ Defiimo šijeo mtiko [ ]. Sistem je ešljiv tko tkt ko je ~ ( ) ( ). Sistem je eoličo ešljiv če je ( ) ek številu ek i pmetičo ešljiv če je ( ) mjši od števil ek. i pmetičo ešljivem sistemu eke delimo iče i pmete te iče eke iimo s pmeti. Homoge sistem sistem smo tivilo ešitev sistem pmetičo ešitev. X je vedo ešljiv. Če je ( ) X če p je ( ) ek številu ek im mjši od števil ek im Reši sistem lieih eč ~ Ršije mtik je. ~ Rg ( ) (e djeg stolpc) i ( ). Ke st g lič sistem i ešljiv. Kkš i mol iti des st duge eče d i il sistem ešljiv? Sistem o ešljiv ko ost g ek. D o dug vstic peolikove mtike i smih ičel mo iti des st ek. ~. Rg st ek toej je sistem ešljiv. Število ek je to je sistem pmetičo ešljiv. Če ičo eko vmemo je ešitev polju R. NLOGE:. Reši sistem lieih eč
. Reši sistem lieih eč w w w w. liij ešljivost sistem lieih eč v odvisosti od vedosti pmetov i!. Reši homoge sistem lieih eč. Določi tko d o imel sistem etivilo ešitev i jo piši.. Reši sistem. Sistem u t v t v u t peolikuj tko d odo iče eke t u! REŠITVE:. ~ Rg ( ) ( ) ~ sistem je ešljiv. Število ek je toej immo eo ešitev..
Vektoski pis ešitve X.. To je pmetičo ešljiv sistem ke ( ) ( ) ~ i immo eke. R w. ~. Glede vedosti i ločimo sledje ti pimee: ) ( ) ( ) ~ sistem je pmetičo ešljiv ) ( ) ( ) ~ sistem i ešljiv c) R ( ) ( ) ~ sistem je eoličo ešljiv. ~ Ke je ( ) ( ) ~ im poleg tivile ešitve tudi pmetičo ešitev. Z pmete vmemo i doimo ešitev X R.. ~ Netivilo ešitev immo ko je ( ) < toej X.
. X R. ~ Stolpce ki pipdjo ičim ekm pemkemo levo. Neke si potem sledijo v u t. ~ v v u v t
Komitoik Osovi iek komitoike: Če je poces odločj sestvlje i več eodvisih f odločj se števil možosti io v posmeih fh možijo. vilo vsote: Če se pi iiju odločmo med dvem edužljivim možicm ioov se število možosti sešteje. emutcije e povljj: ličih elemetov poejmo mest elemeti se e smejo povljti vsti ed je pomeme:!! ) (! L emutcije s povljjem: elemetov od kteih jih je k m m m K ekih poejmo mest vsti ed je pomeme:!!!! k m m m m m m k L K Vicije e povljj: ličih elemetov poejmo mest ( ) elemeti se e smejo povljti vsti ed je pomeme: )! (! V Vicije s povljjem: ličih elemetov poejmo mest elemeti se lhko povljjo vsti ed je pomeme: p V Komicije: i možice ličimi elemeti ieemo podmožico elemeti vsti ed i pomeme: )!!(! C iomski iek voj potece dvočleik: ( ) L V voju potece dvočleik je k ti čle ek: k k k. NLOGE:. Immo možico { } D C. Koliko je vseh možih ) pemutcij; ) vicij dugeg ed e povljj; c) vicij dugeg ed s povljjem; d) komicij dugeg ed.
. Koliko ličih vocev doimo če postvljmo v vsto mode i dečih kogel?. N koliko čiov lhko gostitelj poedi vo mio sedem žesk če st dve skegi i e smet sedeti skupj?. N koliko čiov lhko gostitelj poedi okoglo mio sedem žesk če st dve skegi i e smet sedeti skupj?. N koliko čiov lhko poedimo polici deče elee i či kjigi če: ) immo htev; ) deče četku; c) deče skupj; d) istove skupj.. Koliko možosti mo (v jslšem pimeu) peikusiti tt če želi odkleiti ključvico ki jo odpe šif dvem čkm žčetku i temi številkmi?. Sestvljmo petmest števil. Koliko je ) pvih (se e čejo ) ) pvih ličimi števkmi c) pvih ki imjo pvih dveh mestih lihi števki d) pvih ličimi števkmi ki imjo pvih dveh mestih lihi števki e) pvih ki imjo pvih dveh mestih sodi števki f) pvih ličimi števkmi ki imjo pvih dveh mestih sodi števki g) pvih ki so deljiv s h) pvih ličimi števkmi ki so deljiv s.. Reši ečo V V V!. Koliko elemetov imš polgo če veš d je jim mogoče sestviti komicij dugeg ed?. N koliko čiov lhko i šktle v kteih je dečih elih i čih kogel ieemo deči elo i či kogli?. Odo im člov od teg so žeske. N koliko čiov lhko sestvimo tičlsko pedsedstvo če j o v jem vsj e žesk?. Med idelki je defektih. N koliko čiov lhko v voec sestvlje i idelkov ieemo doe i defekt idelk?. Rvij iom ( )!. Ičuj peti čle v voju iom ( ) REŠITVE:
. ) ) c) d)!.!!.!!!..!!!. )! )!! c)!! d)!!!!.... ). ). c). d). e). f). g). h). ( )! ( )! ( )!. ( )! ( )! ( )! ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Zdi defiiosti fkultete je.!. C ( )!( )! ( ) ( ) Zdi defiiosti fkultete je....
...!!!!!!. ( )..
. Osove vejetosteg ču število ugodih Defiicij: ( ) število vseh Vedosti: ( ) Nemogoč dogodek: ( N). Gotov dogodek: ( G). Vejetost spoteg dogodk: ( ) ( ). Vsot dogodkov se godi ko se godi li. odukt dogodkov se godi ko se godit i. Vejetost vsote dogodkov: ( ) ( ) ( ) ( ) ( C) ( ) ( ) ( C) ( ) ( C) ( C) ( C) Vejetost podukt dogodkov: Če st i eodvis dogodk je ( ) ( ) ( ). ( ) ogoj vejetost: ( ) ( ) >. ( ) Dvofi poskusi so sestvljei i dveh f iij. Elemete dogodke v pvi fi iij imeujemo hipotee i jih očimo H i. opol vejetost dogodk : ( ) ( H) ( H) ( H ) ( H ) L ( H ) ( H ) ( H i ) ( H i ) esov oec: ( H i ). ( ) eoullijev fomul: Vejetost d se dogodek vejetostjo p v poskusih godi tko k kt je k iomsk podelitev. Njvejetejše število dogodkov je: p q Z k p q k p p p q Z kje je k p q jmjše celo število ki je večje od. k k ( ; p k) p ( p). Tej podelitvi ečemo sclov oec: Vejetost d se dogodek vejetostjo p v k k godi tko k tič je p ( p). k tem poskusu! ; p ; L p. k m osploše eoullijev oec: ( ) K pm k K km p k! Lkm! k m
NLOGE:. Loteij im sečk od teg jih de. Ičuj vejetosti sledjih dveh dogodkov: slučjo i sečk dee; od dveh slučjo iih sečk tko e dee!. V šktli so štii koglice ki so oštevilčee i. N slepo iimo po eo. Ičuj vejetost d doimo piso letico! ) koglice e včmo ) koglice včmo. Tomol im ploščic s številkmi od do. N slepo ivlečemo eo ploščico. Kkše so vejetosti sledjih dogodkov: število ploščici je deljivo s ; število ploščici je deljivo s ; C število ploščici je deljivo s li s.. V šktli immo elih dečih i čih (sice p ekih) kogel. Hkti slepo potegemo ti kogle i šktle. Ičuj vejetosti sledjih dogodkov: vse ti kogle so ele; e kogl je deč dve p či; C oe kogl i el.. Med idelki so pokvjei. N slepo ieemo v voec (istočso) štii idelke. Kolikš je vejetost d st v iem vocu tko dv idelk pokvje?. Loteij je dl v podjo M N sečk od kteih jih de tko N. Kolikš je vejetost d med k kupljeimi sečkmi de tko q sečk?. V šktli immo elih i če kogle; slepo tikt potegemo po eo koglo i jo vemo v šktlo. Kolikš je vejetost d so vse ti kogle če?. Kolikš je vejetost d pi metu kock pde pet ličih vedosti; kock vsko število pik pde po dvkt?. Med elemeti je defektih. N slepo ieemo ti elemete. Kolikš je vejetost d je med jimi vsj e defekte?. Vejetost d pvi stelec dee tčo je ( Z ) dugeg p ( Z ) Ičuj vejetosti dogodkov: pvi stelec geši; o stelc deet; C tč je det (vsj ekt); D tč i det; E tč je det tko ekt! i tej i soodih log pedpostvljmo d st dogodk Z i Z eodvis!.
. Nj odo i C med seoj eodvisi dogodki i ( ) ( ) ( C) Ičuj vejetosti dogodkov i C!.. Kolikš je vejetost d dveh kockh v pvem metu doimo vsoto li če se to i godilo v poovljeem metu vsoto?. etdesetkt ustelimo poti tči vejeost detk pi posmeem stelu je ( Z ) i se e spemij. Kolikš je vejetost dogodk d je v teh stelih tč vsj ekt det?. Kolikš mo iti vejetost detk pi posmeem stelu d lhko pi petih stelih vejetostjo večjo od pičkujemo vsj e detek?. V šktli je elih i dečih koglic. N slepo štiikt potegemo po eo koglico i jo vskič vemo v šktlo. Kolikš je vejetost d se šele v čettem poskusu pokže deč koglic?. Dv iglc mečet kovec dug dugim. Zmg tisti pi kteem se pej pojvi g kolikš je vejetost d mg iglec ki je igo čel?. Nepismeemu človeku dmo listke s čkmi N N S i g posimo j jih postvi v vsto. Kolikš je vejetost d ste esed NNS?. V posodi immo ele deči i mode kogle. N slepo iimo po eo koglo dokle jih e mjk. Ivlečee kogle odlgmo v vsto. Ičuj vejetost dogodk d odo v kočem»vočku«kogle eke ve stle skupj!. Med jolki je čvivih. N slepo ieemo imed jolk. Kolikš je vejetost d je vsj eo čvivo?. Sočso vžemo dve kocki. Kolikš je vejetost dogodk d vsj ei pde šestic?. Ti pve delujejo eodviso dug od duge. Vejetosti d jih v letu di e o te popvljti šjo po vsti i. Določi vejetost dogodk d o v letu di vsj e delovl e okve!. Lovec stelj lisico dlje metov vejetost d jo de je. Če geši mu lisic uide dljo metov pede lhko stelj jo. Ičuj vejetost d je lisic (s pvim li dugim stelom) det če je pi teh oddljeostih vejetost detek oto some kvdtu dlje!. I šktle s elimi i dečimi koglmi vlečemo po eo kglo i ivlečeih kogel e včmo. Ičuj vejetost dogodkov: ivlečemo štii deče kogle poed; ivlečemo jpej eli to deči kogli.. Kolikš je vejetost d je pi istočsem metu dveh pošteih iglih kock pdl vsj e tojk če vemo d je il vsot pik oeh kockh ek?
. Tikt poed vžemo pošteo iglo kocko. Kolikš je vejetost dogodk d pvič pde sodo število pik dugič šestic i tetjič mj kot pik?. Idelke isteg tip idelujet dve tovi pv % i dug % od celote poivodje. Med idelki pve tove je % idelkov pve i % idelkov duge kvlitete; med idelki duge tove je pvovstih % ostli so duge kvlitete. Nj pomei dogodek d je slepo i idelek idel v pvi tovi p dogodek d je slepo i idelek pve kvlitete. Ičuj vejetosti dogodkov: / / / / i vskeg od jih podoo opiši esedmi! Koliko je pvovstih idelkov?. odjetje kdidi posel dveh eodvisih tečjih. N pvem doi posel vejetostjo % dugem p %. Vejetost d im doiček če doi posel smo pvem tečju je % d im doiček če doi posel smo dugem tečju je % če doi o posl p %. Kkš je vejetost d im doiček? Če im doiček kkš je vejetost d je doil posel smo pvem tečju?. Immo ti eke šktle; v pvi či i elo koglico v dugi ele i či v tetji elo i če koglice. N slepo sežemo v eo od šktel i slepo ivlečemo eo koglico. Kolikš je vejetost d je t koglic č?. I šktle v ktei je elih i čih kogel pedeemo slepo dve kogli v žo elim i čimi koglmi to p i te slepo ivlečemo eo koglo. Kolikš je vejetost d je t kogl č?. N ipit i mtemtike je pišlo študetov od kteih jih je peštudilo poglvje o vejetostem čuu. N ipitu je tudi e log i vejetosteg ču. Vejetost d to logo pivede do pvileg eultt študet ki je poglvje peštudil je ; vejetost d im pvile eultt študet ki teg poglvj i peštudil p je (pepisovje»teuti vdih«ipd.). Ičuj vejetost d ključo ii študet pvilo eši logo? Kkš je vejetost d študet ki pvilo eši logo sovi i peštudil?. Jeovi uspehi pi skoku v dljio so močo odvisi od veme. Če je lepo veme mg džvem pvestvu vejetostjo če p dežuje je vejetost mgo smo. V Celju kje je povpečo e tetji septemeskih di deževih je. septem osvojil slov džveg pvk. Kolikš je vejetost d je. septem v Celju deževlo?. Imed števil slepo ieemo dve števili. Ičuj vejetost dogodk d st oe števili lihi če je ju vsot sodo število!. Desetkt poedom vžemo kovec. Kolikš je vejetost d g: - pde tko dvkt; - e pde več kot dvkt; C - pde vsj dvkt?. i metju kovc je šestidvjsetkt poedom pdel g. Kolikš je vejetost d pde g v sedemidvjsetem poskusu?
. V ži je eko število elih i čih kogel. Osemkt poedom ivlečemo ( slepo) po eo koglo i jo spet vemo v žo. Kolikš je vejetost d smo pi tem šestkt ivlekli čo koglo?. Ktei dogodek im večjo vejetost: štije gi pi sedmih metih kovc li; šest gov pi devetih metih?. odjetje im štii tovojke okve posmeeg tovojk so eodvise od okv ostlih tovojkov. Vejetost d se v določeem čsovem itevlu posmee tovojk pokvi š. Kolikš je vejetost dogodk d se pokvijo vsi štije tovojki; d se e pokvi vsj e tovojk; C d se pokvi vsj e tovojk?. Kteo število gov je jolj vejeto če vžemo kovec ) tidesetkt; ) petitidesetkt?. Kolikokt momo veči kocko d o vejetostjo vsj vsj ekt pdl šestic?. V šktli immo ele če i deči kogli. Šestkt slepo ivlečemo po eo koglo i jo vskič vemo v šktlo. Kolikš je vejetost d se pi tem po dvkt pojvi kogl posmee ve?. Vojk ki dev vejetostjo im polgo ojev. Z poitivo oceo poteuje šest detkov. Kolikš je vejetost d to omo doseže djim ojem? REŠITVE:.... ( ) ( )!. ) ( ) ) ( ). ( ) ( )
( C) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ). ( ). ( ). N M q k q ( ) N M k. ( ). ( )! (!) ( ) p V. K oede defekte ( ) ( )
. ( ) ( Z ) ( Z ) ( ) ( Z Z ) ( Z ) ( Z ) Upoštevmo eodvisost! ( C) Z Z ) ( Z ) ( Z ) ( Z ) ( Z ) ( D) ( Z Z ) ( ( Z )) ( ( Z )) li ( D) ( C) Z ZZ ( ZZ ) ( ZZ ) ( ZZ Z ) ( E) ( Z ) Z ( ) ( C ). ( ). vsot devet v pvem metu; vsot sedem v dugem metu; ( ). K oe detek ( ) ( ) ( ZZZ... Z ) ( ( Z ) ( Z ). ( ) ( ) p > p > p >. ( ) ( R) ( ) ( ) ( ) ( R) ( ) ( ). ( ) ( G) ( ŠŠG) ( ŠŠŠŠG) ( ŠŠŠŠŠŠG)......!!!. m ( )!. m!!!! ( ). ( ) &
. ( ). ( ). p ; je dvkt večje od di kvdte vee je p štiikt mjše od p toej p. p p p ( ) ( ). ( ) ( R R R R ) ( R ) ( R R ) ( R R R ) ( R R R R ) ( ) ( R R ) ( ) ( ) ( R ) ( R R ). vsj e tojk vsot pik ( ) ( ) ( ). sodo število pik (v pvem poskusu); šestic (v dugem poskusu); mj kot pik (v tetjem poskusu). Neodvisi dogodki: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ). Vsti ed čuj:. ( ) ( ) pomo;. vse štii podukte;. vsoti po stolpcih ( ( ) ( ));. pogoje vejetosti po ocu. vovstih idelkov je %.. H - smo pvi posel H - smo dugi posel H - o posl H - oe posel ( H ) ( H ) ( H ) ( H )
- im doiček ( H ) ( H ) ( H ) ( H ) ( ) ( H ) ( H ) ( H ) ( ). H - pv šktl H - dug šktl H - tetj šktl ( H ) ( H ) ( ) H ( Č H ) ( Č H ) ( Č ) H ( Č). H - či H - č i el H - eli ( H ) ( H ) ( ) ( Č H ) ( Č) H ( Č H ) ( Č ) H. H - je študil H - i študil pvilo eši ( H ) ( H ) ( H ) ( H ) ) ( ) ( H ) ) ( H ) ( ). H - lepo veme H - dežuje mg ( H ) ( H ) ( H ) ( H ) ( H ) ( H ) ( H ) ( ). oe števili lihi vsot ivlečeih števil je sodo število ( ) ( ) ( )
ivlečemo dve sodi li dve lihi števili () Dogodek je či dogodk to je ( ) ( ) i to ( ).. ( ) ; ( ) ( )... ; ;... ; ; ; C. Vejetost d pde g v sedemidvjsetem poskusu je sj so poskusi eodvisi.. ( ). štije gi v sedmih metih šest gov v devetih metih ( ) ( ) >. ( ) ( )... ; ; ( ) ( ) ( ) ( ) ; ; C. ) q p to i celo število k ; ) q p celo število k i ' k.. ( ) ; ; ;
log log log log otei so vsj štije meti.. ( )!!!!. ( ) ( ) k k p p k