Matematika I. NTF Načrtovanje tekstilij in oblačil Zapiski ob predavanjih v šolskem letu 2006/07

Transcript

1 Mtemtik I Mtjž Željko NTF Nčrtovnje tekstilij in oblčil Zpiski ob predvnjih v šolskem letu 006/07 Izpis: mrec 009

2 Kzlo Množice in števil 4 Množice 4 Reln števil 8 3 Podmnožice relnih števil 0 4 Kompleksn števil 3 Zporedj in številske vrste 8 Zporedj 8 Številske vrste 33 3 Funkcije 4 3 Splošni pojem funkcije 4 3 Limit funkcije Zveznost Lstnosti zveznih funkcij Zveznost elementrnih funkcij Pregled elementrnih funkcij Enkomern zveznost 65 4 Diferencilni rčun 66 4 Odvod 66 4 Geometrični pomen odvod Prvil z odvjnje 7 44 Odvodi elementrnih funkcij Diferencil funkcije Višji odvodi 8 47 Lstnosti odvedljivih funkcij 8 48 Konveksnost, konkvnost, prevoji Ekstremi funkcij Risnje grfov funkcij 94 4 Odprvljnje nedoločenosti in L Hôpitlovo prvilo 99 4 Tlorjev vrst 0 5 Integrlski rčun 09 5 Nedoločeni integrl 09 5 Določeni integrl 53 Zvez med določenim in nedoločenim integrlom 5 54 Uporb integrl Numerično rčunnje določenih integrlov 45 6 Vektorsk lgebr 48 6 Vektorji 48 6 Koordintni sistem v prostoru 5 63 Premic in rvnin v prostoru 6 64 Rzdlje med točkmi, premicmi in rvninmi 64 mrec 009, 0: 5

3 7 Mtrike 68 7 Opercije z mtrikmi 68 8 Determinnte in sistemi linernih enčb 7 8 Permutcije 7 8 Determinnte Rčunnje determinnt Poddeterminnte Crmerjevo prvilo Gußov metod z reševnje sistemov linernih enčb 8 87 Rng mtrike Inverz mtrike 89 9 Funkcije več spremenljivk 93 9 Grf funkcije več spremenljivk 93 9 Odprte množice in okolice Zveznost Prcilni odvodi 0 95 Totlni diferencil Verižno prvilo Tlorjev formul 0 98 Loklni ekstremi 99 Metod njmnjših kvdrtov 7 90 Vezni ekstremi 8 0 Diferencilne enčbe 0 Splošen pojem diferencilne enčbe 0 Diferencilne enčbe prveg red 4 03 Diferencilne enčbe višjih redov 8 04 Sistemi diferencilnih enčb 34 mrec 009, 0: 5 3

4 Množice in števil Množice Množic A je določen, če obstj prvilo, po kterem je mogoče z vsko reč odločiti li je v A li ne Če spd v množico A, prvimo, d je element množice A in oznčimo A Če ni element množice A, oznčimo / A Množico lhko podmo tko, d zpišemo njene elemente: A {,, 3}, B { modr, zelen } Če je elementov zelo veliko (li celo neskončno), jih ne moremo vse nšteti Tedj rje povemo lstnost L, ki jo imjo ntnko vsi elementi množice A Slednje zpišemo kot A {; L()} Npr C {; < }, D {n; n deli število } Možno je, d noben element nim lstnosti L; tedj je A przn množic, kr zpišemo A Tko npr velj {; } Opercije z množicmi Unij množic A in B je množic A B, definirn z A B {; A li B} Presek množic A in B je množic A B, definirn z A B {; A in B} A B A B A B A B Množic A je podmnožic množice B, z oznko A B, če vsk element množice A leži tudi v množici B Če je A B in B A, imt množici A in B iste elemente in st enki Oznk: A B Rzlik množic A in B je množic A \ B, definirn z A \ B {; A in / B} A \ B A B mrec 009, 0: 5 4

5 Včsih obrvnvmo le podmnožice neke fiksne, dovolj velike množice U, ki jo v tem primeru imenujemo univerzln množic Komplement množice A (glede n univerzlno množico U) je množic A c, definirn z A c U \ A Izrek Z poljubne množice A, B in C velj Distributivnost in A (B C) (A B) (A C), A (B C) (A B) (A C) Komuttivnost in A B B A, A B B A Asocitivnost in (A B) C A (B C), (A B) C A (B C) Idempotentnost in A A A, A A A Absorbcij A (A B) A, A (A B) A Involutivnost komplement (A c ) c A De Morgnov zkon (A B) c A c B c, (A B) c A c B c Lstnost A A, A Lstnost univerzlne množice U A U U, A U A Komplementrnost U in U c, c U Lstnost komplement A A c U, A A c Zgled Izrčunj A B, A B in A \ B z A {n ; n,,, 7} in B {3n ; n,,, 7} Rešitev Ker je A {, 3, 5, 7, 9,, 3} in B {, 4, 7, 0, 3, 6, 9}, je A B {, 3, 4, 5, 7, 9, 0,, 3, 6, 9}, A B {, 7, 3} in A \ B {3, 5, 9, } Nj bo A in B Urejeni pr elementov in je množic {{}, {, }}, ki jo krjše oznčimo z (, ) Prepričmo se lhko, d iz (, ) (, ) sledi, d je in Torej je v urejenem pri vrstni red zpis pomemben Z st tko pr (, ) in (, ) rzličn, množici {, } in {, } p ne Krtezični produkt množic A in B je množic A B {(, ); A, B} Očitno je A B ntnko tedj, ko je vsj en izmed množic A in B przn Iz definicije tudi sledi, d z rzlični neprzni množici A in B velj A B B A Potenčn množic množice A je množic vseh podmnižic množice A in jo oznčimo s P(A) Torej P(A) {X; X A} mrec 009, 0: 5 5

6 P( ) { } P(P( )) {, { }} P({,, 3}) {, {}, {}, {3}, {, }, {, 3}, {, 3}, {,, 3}} Z končno množico A z n elementi velj, d im potenčn množic P(A) ntnko n elementov Preslikve med množicmi Nj bost A in B množici Preslikv f: A B je prvilo f, ki vskemu elementu množice A priredi ntnčno določen element f() množice B (Preslikvo pogosto imenujemo tudi funkcij, zlsti, če je A R in B R) f A f() B Množic A je lhko tudi przn, sj z vsko množico B obstj przn preslikv B Če p je množic B przn, obstj preslikv A, le če je tudi množic A przn Množico A imenujemo definicijsko območje li domen, množico f(a) {f(); A} p zlog vrednosti preslikve f Definicijsko območje funkcije f oznčimo tudi z D f, zlogo vrednosti p z Z f f Z f A D f B Zgled Ali st funkciji f() in g() enki? Rešitev Vpršnje je nekoliko nejsno zstvljeno Zpis f() in g() v resnici nist funkciji, mpk le funkcijsk predpis Kje st funkciji f in g, podni s predpisom f() in g(), sploh definirni? Če ju opzujemo kot funkciji f: R \ {0} R in g: R \ {0} R, st enki Njpogosteje pri funkciji, ki je podn le s predpisom, vzmemo njeno nrvno definicijsko območje; torej tisto njvečjo množico točk v R, z ktere je funkcijski predpis sploh smiseln V tem smislu st f in g nrvno definirni kot funkciji f: R \ {0} R in g: R R in nist enki, sj imt rzlični definicijski območji Preslikv f: A B je injektivn, če z vsk, A velj: če je, velj f( ) f( ) (Ekvivlentno: f je injektivn, če z vsk, A iz f( ) f( ) sledi ) f( ) f( ) mrec 009, 0: 5 6 A f f B

7 Preslikv f: A B je surjektivn, če je Z f B (Ekvivlentno: f je surjektivn, če z vsk b B obstj tk A, d je f() b) Preslikv f je bijektivn, če je injektivn in surjektivn A f b B Grf preslikve Grf preslikve f: A B je množic Γ(f) {(, f()); A} A B B f() Γ(f) A B Z grf funkcije lhko lepo rzbermo injektivnost in surjektivnost Funkcij f je injektivn, če vsk vodorvn premic v A B sek grf Γ(f) njveč enkrt Funkcij f je surjektivn, če vsk vodorvn premic v A B sek grf Γ(f) vsj enkrt Preslikvo f: A A, definirno z f(), imenujemo identičn preslikv množice A in oznčimo id A Nj bost f: A B in g: B C preslikvi Kompozitum preslikv f in g je preslikv g f: A C, definirn z (g f)() g(f()) g f A f g A f() B g(f()) C Nj bo f: A B preslikv Če obstj tk preslikv g: B A, d je g f id A in f g id B, prvimo, d je g inverz preslikve f in oznčimo f g f A g f() B Trditev Preslikv f: A B je bijektivn ntnko tedj, ko im inverz mrec 009, 0: 5 7

8 Dokz Če je f bijektivn, z vsk B obstj A, d je f() Torej lhko s predpisom g() definirmo preslikvo g: B A Po konstrukciji je f g id Y Če bi z nek A veljlo g f(), bi imeli f() f( ) z in f ne bi bil injektivn Slednje p je v nsprotju s predpostvko trditve, kr pomeni, d je g f id X Z dokz v drugo smer vzemimo, d obstj inverz preslikve f; torej tk preslikv g: B A, d je g f id A in f g id B Preslikv f je injektivn, sj iz f() f( ) sledi g(f()) g(f( )) in Preslikv je tudi surjektivn, sj se v dni B preslik g() Zgled 3 Poišči bijektivno preslikvo med množicm A {n ; n,,, 7} in B {3n ; n,,, 7} Rešitev Njlže bo, d element oblike n preslikmo v 3n Če je torej n, je n + in 3n Nzdnje se smi prepričmo, d je f: A B, f() 3, iskn bijekcij (Bijekcij ni en sm, mpk jih je 7! 5040) Nj bo f: A B poljubn preslikv in à A podmnožic Zožitev preslikve f n podmnožico à je preslikv f à : à B, definirn z f à () f() Zgled 4 Funkcij f: R R, podn s predpisom f() +, ni bijektivn Z A {; 0} in B {; } je zožitev f A : A B funkcije f bijektivn Funkcij f ni injektivn, sj je f() f( ) z vsk R Funkcij f ni surjektivn, sj je f() z vsk R Injektivnost zožitve: Če je f A ( ) f A ( ), je + +, od koder sledi oz ( )( + ) 0 Če je + 0, je zrdi 0 in 0 lhko le 0 Če je + 0, mor biti 0, kr ns ponovno privede do edine možnosti Injektivnost zožitve: Vzemimo poljuben Tedj z velj f A () Reln števil Reln števil sestvljjo množico, ki jo oznčimo z R Med relnimi števili je definirnih več rčunskih opercij Osnovni dve st seštevnje in množenje Z poljubni dve števili R in b R obstj ntnčno določeno relno število + b, ki g imenujemo vsot števil in b Z poljubni dve števili R in b R obstj ntnčno določeno relno število b (krjše b), ki g imenujemo produkt števil in b Z seštevnje in množenje veljjo nslednji zkoni I Komuttivnost seštevnj: + b b + z vsk, b R II Asocitivnost seštevnj: ( + b) + c + (b + c) z vske, b, c R III Obstoj nevtrlneg element z seštevnje: Obstj 0 R, d je + 0 z vsk R mrec 009, 0: 5 8

9 IV Obstoj nsprotneg element z seštevnje: Z vsk R obstj število R, d je + ( ) 0 V Komuttivnost množenj: b b z vsk, b R VI Asocitivnost množenj: ( b) c (b c) z vske, b, c R VII Obstoj enote z množenje: Obstj R, d je z vsk R VIII Obstoj inverzneg element z množenje: Z vsk R \ {0} obstj R, d je IX Distributivnostni zkon: ( + b) c c + b c z vske, b, c R X Rzličnost števil 0 in : Velj 0 Množici, opremljeni z opercijm seštevnj in množenj, ki zdoščt zhtevm I X, prvimo obseg Torej je množic relnih števil obseg Odštevnje in deljenje Z vski dve relni števili in b obstj ntnčno določeno relno število (nmreč število b + ( )), d je + b Število imenujemo rzlik števil b in in oznčimo z b Velj + (b ) b Podobno z vski dve relni števili, 0, in b obstj ntnčno določeno relno število, d je b Število imenujemo kvocient števil b in in oznčimo z b Velj b b Urejenost množice R Reln števil delimo n pozitivn, negtivn in število 0 XI Če je 0, je od števil in ntnko eno pozitivno Število 0 ni ne pozitivno ne negtivno XII Če st števili in b pozitivni, st tudi števili + b in b pozitivni Množico R uredimo po velikosti z dogovorom: če je b pozitivno število, prvimo, d je število večje od b in pišemo > b Podobno, če je b negtivno število, prvimo, d je število mnjše od b in pišemo < b Če je < b li b, pišemo b Če je > b li b, pišemo b Lstnosti urejenosti: Trnzitivnost: Če je > b in b > c, je > c Zkon trihotomije: Z vski dve števili in b velj ntnko en od treh možnosti > b li < b li b Če je > b, je + c > b + c z vsk c R mrec 009, 0: 5 9

10 Če je > b in c > 0, je c > bc Če je > b in c < 0, je c < bc Med poljubnim dvem relnim številom leži vsj eno relno število Absolutn vrednost Vskemu relnemu številu lhko priredimo relno število s predpisom {, če je 0 in, če je < 0 Število je vedno nenegtivno in g imenujemo bsolutn vrednost števil Velj + + trikotnišk neenkost Geometrijsko pomeni rzdljo od točke X, ki upodblj število, do točke O n številski premici Splošneje: če st, relni števili, je rzdlj med njunim slikm n številski premici 3 Podmnožice relnih števil Nrvn števil Nj bo R enot z množenje Števil +, + 3, + 3 4, imenujemo nrvn števil Množico nrvnih števil {,, 3, } oznčimo z N Nrvn števil so induktivn množic: če je S N tk podmnožic, d je S in velj sklep: če n S, potem n + S, je S N Tej lstnosti prvimo tudi nčelo mtemtične indukcije Zgled 5 Dokži, d z vsko nrvno število n velj n n(n + ) () Rešitev Oznčimo S {n N; n n(n+) } Množic S je torej množic tistih nrvnih števil, z kter drži enkost () (Induktivn hipotez je, d formul () drži z dno število n) Njprej preverimo, d je S Privzemimo sedj, d je n S Tedj je n n(n+) Torej je ( n) + (n + ) n(n+) + (n + ) (n+)(n+), kr pomeni, d je tudi n + S Po nčelu mtemtične indukcije je S N Torej velj formul n n(n+) z vsko nrvno število n Penovi ksiomi Nrvn števil lhko vpljemo tudi s pomočjo Penovih ksiomov: je nrvno število Vskemu nrvnemu številu n pripd ntnčno določeno nrvno število n +, ki g imenujemo nslednik števil n mrec 009, 0: 5 0

11 Število ni nslednik nobeneg nrvneg števil [Nčelo indukcije] Če je S N tk podmnožic, d je S in velj sklep: če n S, potem n + S, je S N S Penovimi ksiomi lhko v množico nrvnih števil vpeljemo tudi seštevnje in množenje Cel in rcionln števil Množico celih števil oznčimo z Z N {0} { n; n N} To je njmnjš množic števil, v kteri je rešljiv enčb + b z vski nrvni števili in b Množico rcionlnih števil oznčimo z Q { ;, b Z, b 0} To je njmnjš b množic števil, v kteri je rešljiv enčb b z vski celi števili in b, 0 Med njimi velj zvez N Z Q R, kjer so vse inkluzije prve Formln izgrdnj številskih množic v resnici potek v tej smeri: Njprej vpeljemo množico nrvnih števil kot induktivno množico in definirmo osnovni rčunski operciji seštevnje in množenje Ker enčb + b v množici nrvnih števil ni vedno rešljiv, konstruirmo množico celih števil kot rzširitev množice nrvnih števil Podobno konstruirmo rcionln števil kot tko rzširitev množice celih števil, v kteri je enčb b, 0, vedno rešljiv Reln števil n koncu konstruirmo s pomočjo rcionlnih števil tko, d zdostimo ksiomu XIII (Dedekindov ksiom; glej spodj) Omejene množice relnih števil Nj bo A neprzn množic relnih števil Če obstj število M, d je M z vsk A, prvimo, d je M zgornj mej množice A Prvimo, d je množic A nvzgor omejen, če obstj kkšn zgornj mej množice A Če obstj število m, d je m z vsk A, prvimo, d je m spodnj mej množice A Prvimo, d je množic A nvzdol omejen, če obstj kkšn spodnj mej množice A Množic A je omejen, če je omejen nvzgor in nvzdol Število M je ntnčn zgornj mej množice A, če je zgornj mej množice A in če z vsk ε > 0 obstj A, d je > M ε (Ntnčn zgornj mej je torej njmnjš zgornj mej množice A) A M ε M Ntnčno zgornjo mejo množice A oznčimo s sup A in poimenujemo supremum množice A Ntnčn zgornj mej vskeg (odprteg, zprteg, polodprteg) intervl med in b je število b Število m je ntnčn spodnj mej množice A, če je spodnj mej množice A in če z vsk ε > 0 obstj A, d je < m + ε (Ntnčn spodnj mej je torej njvečj spodnj mej množice A) mrec 009, 0: 5

12 m m + ε A Ntnčno spodnjo mejo množice A oznčimo z inf A in poimenujemo infimum množice A Ntnčn spodnj mej vskeg (odprteg, zprteg, polodprteg) intervl med in b je število XIII (Dedekindov ksiom) Vsk neprzn nvzdol omejen podmnožic relnih števil im ntnčno spodnjo mejo Aksiom XIII je ekvivlenten trditvi, d im vsk neprzn nvzgor omejen podmnožic relnih števil ntnčno zgornjo mejo T ksiom rzloči med relnimi in rcionlnimi števili Množic A {; > in > 0} v množici rcionlnih števil nmreč nim ntnčne spodnje meje, v množici relnih števil p je ntnčn spodnj mej (ircionlno) število Zgled 6 Število je ircionlno Dokz s protislovjem Recimo, d je p q, kjer je p q okrjšn ulomek Potem je p q Torej p p in p q Sledi q q in p q p q v resnici ni okrjšn ulomek Izrek 3 (Arhimedov lstnost) < n Če st, R in je > 0, obstj tk n N, d je Dokz Recimo, d tkeg n ni Potem je n z vsk n in je zto zgornj mej množice A {n; n N} Oznčimo z M njeno ntnčno zgornjo mejo Potem obstj tk n N, d je n > M Sledi (n+) > M Ker je (n+) A, je to v protislovju s predpostvko, d je M ntnčn zgornj mej množice A Posledic 4 Z vsko relno število in vsk ε > 0 obstj rcionlno število p, d je q p < ε q Prvimo, d je množic rcionlnih števil gost v množici relnih števil Intervli in okolice Nj bost in b, b, poljubni relni števili Definirjmo: [, b] { R; b} (, b] { R; < b} [, b) { R; < b} (, b) { R; < < b} zprt intervl od do b polodprt intervl od do b polodprt intervl od do b odprt intervl od do b [, b] (, b] [, b) (, b) b b b b mrec 009, 0: 5

13 Pri b je [, ] {}, ostli intervli so przne množice Definirmo lhko tudi neskončne intervle, ki so pri vedno odprti, sj sploh ni število: Z vsk R in ε > 0 imenujemo intervl ε-okolic točke (, b] { R; < b} (, b) { R; < < b} [, ) { R; < } (, ) { R; < < } (, ) { R; < < } R ( ε, + ε) { R; ε < < + ε} ε + ε Številsk premic Reln števil si lhko ponzorimo s točkmi n številski premici Številsk premic je poljubn premic, n kteri smo si izbrli dve rzlični točki O in E Točko O imenujemo koordindtno izhodišče in upodblj število 0 Točk E upodblj število 0 O E Z nnšnjem dljice OE v eno li v drugo strn od koordintneg izhodišč dobimo slike celih števil Z enostvno geometrijsko konstrukcijo (rzmerj) lhko upodobimo rcionln števil Velj p še več: Izrek 5 Vskemu relnemu številu pripd ntnko en točk n številski premici Vsk točk n številski premici je slik ntnko eneg relneg števil 4 Kompleksn števil Poiskti želimo tko število, d je oz želimo vpeljti tkšn števil, d bo kvdrtn enčb z relnimi koeficienti vedno rešljiv Kompleksno število z je pr relnih števil: z (, b) Množico vseh kompleksnih števil oznčimo s C Število imenujemo reln komponent števil z in oznčimo Re(z) Število b imenujemo imginrn komponent števil z in oznčimo Im(z) Z kompleksni števili z (, b) in w (c, d) lhko definirmo njuno vsoto in produkt: z + w ( + c, b + d) z w (c bd, d + bc) Prepričmo se lhko, d z seštevnje in množenje kompleksnih števil veljjo običjni rčunski zkoni: komuttivnost, socitivnost, distributivnost mrec 009, 0: 5 3

14 Število (0, 0) je nevtrlni element z seštevnje, število (, 0) p nevtrlni element z množenje Če je z (, b) (0, 0), se lhko prepričmo, d z število ( ) z b + b, + b velj z z (, 0) Tko definirno število z imenujemo inverz kompleksneg števil z Ker z kompleksni števili z (, 0) in w (c, 0) velj z + w ( + c, 0) z w (c, 0), lhko kompleksno število (, 0) identificirmo z relnim številom V smislu te identifikcije tudi velj, d je R C Velj (0, b) (0, b) ( b, 0) Torej je z b 0 kvdrt kompleksneg števil (0, b) negtivno relno število Število (0, b) imenujemo čisto imginrno število Med čisto imginrnimi števili je število i (0, ) odlikovno in znj velj i (0, ) (0, ) (, 0) Število i imenujemo imginrn enot Ker je z (, b) (, 0) + (0, b) (, 0) (, 0) + (b, 0) (0, ), lhko zpišemo z + bi (0, b) bi (, b) + bi i O (, 0) R Če kompleksn števil pišemo v tej obliki, jih seštevmo in množimo kot binome Pri množenju upoštevmo, d je i Konjugirn vrednost kompleksneg števil z + bi je število bi, ki g oznčimo z z Kompleksno število z je relno ntnko tedj, ko je enko svoji konjugirni vrednosti Kvocient kompleksnih števil z + bi in w c + di, c + di 0, izrčunmo tko, d števec ulomk z w + bi pomnožimo s konjugirmo vrednostjo imenovlc: c + di z w + bi c + di ( + bi)(c di) (c + di)(c di) c + bd d + ibc c + d c + d Absolutn vrednost kompleksneg števil z + bi je (nenegtivno) relno število z z z + b Če je z relno število, se gornj definicij ujem z običjno definicijo bsolutne vrednosti Podobno kot z reln števil velj z w z w z z w w z + w z + w trikotnišk neenkost mrec 009, 0: 5 4

15 z z Dokžimo npr prvo formulo Z z +bi in w c+di je zw (c bd)+(d +bc)i in zw (c bd) + (d + bc) c + d + b c + b d ( + b )(c + d ) z w Zgled 7 Nj bo z 3 + 4i, w i Izrčunj z, z, z, z + w, z w, zw in z w Rešitev z 3 4i z z z (3 + 4i)(3 4i) i z i 4 5 z + w (3 + 4i) + ( i) (3 + ) + (4 )i 4 + i z w (3 + 4i) ( i) (3 ) + (4 ( ))i + 6i zw (3 + 4i) ( i) ( )i + (3 ( ) + 4 )i i z w 3 + 4i (3 + 4i)( + i) 5 + 0i + i i ( i)( + i) + 4 Geometrijsk interpretcij kompleksneg števil Kompleksnemu številu z + ib priredimo točko Z (, b) v rvnini R Reln komponent števil z ustrez bscisi točke Z, imginrn komponent p ordinti točke Z Seštevnje števil z + ib in w c+id rzumemo kot seštevnje vektorjev, sj velj +ib+c+id (+c)+i(b+d) z + w w di bi i z c O R Absolutn vrednost z + b meri rzdljo od točke Z do koordintneg izhodišč Kot, ki g s pozitivno smerjo bscisne osi oklep vektor od izhodišč do točke Z, imenujmo rgument kompleksneg števil z in g oznčimo z rg z bi O + b ϕ z + bi R mrec 009, 0: 5 5

16 S slike rzberemo, d je z + bi r(cosϕ + i sin ϕ), kjer je z r in rg z ϕ Zpis z r(cosϕ + i sin ϕ) imenujemo polrni zpis kompleksneg števil Če je z r (cos ϕ + i sin ϕ ) in z r (cosϕ + i sin ϕ ), je z z r r (cos(ϕ + ϕ ) + i sin(ϕ + ϕ )) () Če je r, rzumemo množenje s številom z cosϕ + i sin ϕ kot vrtež okoli koordintneg izhodišč z kot ϕ Če v formuli () postvimo z z z, dobimo z cos ϕ + i sin ϕ Z indukcijo preverimo, d velj Formuli (3) prvimo Moivrov formul Zgled 8 Izrčunj ( + i 3) Rešitev Z z + i 3 izrčunmo r z z n cosnϕ + i sin nϕ (3) ( ) + ( 3) in tg ϕ 3, od koder sledi ϕ π 3 + π 3 π, sj leži točk (, 3) v drugem kvdrntu Sedj po Moivrovi formuli izrčunmo z r (cos ϕ + i sin ϕ) (cos 8π + i sin 8π) Koreni enote Dno je kompleksno število w Iščemo vse rešitve enčbe z n w (4) Pišimo z r(cosϕ + i sin ϕ) in w R(cos Φ + i sin Φ) Po Moivrovi formuli velj od koder sledi z n r n (cosnϕ + i sin nϕ) R(cos Φ + i sin Φ), r n R cosnϕ + i sin nϕ cos Φ + i sin Φ Ker je r 0 in R 0, iz prve enčbe sledi r n R Iz druge enčbe sledi, d je cosnϕ cos Φ in sin nϕ sin Φ Torej se kot nϕ in Φ rzlikujet z večkrtnik polneg kot Sledi nϕ Φ + kπ in ϕ (Φ + kπ) Vse rešitve enčbe n zn w so z k n ( R cos Φ + kπ + i sin Φ + kπ ) z k 0,,, n (5) n n Te točke so oglišč nekeg n-kotnik v kompleksni rvnini z π n Φ n z 0 n R z n R mrec 009, 0: 5 6

17 Pri w immo R in Φ 0 Enčb z n im rešitve ζ k cos kπ n + i sin kπ n z k 0,,, n, (6) ki jih imenujemo koreni enote Korene enote si lhko v rvnini C predstvljmo kot oglišč prvilneg n-kotnik, ktereg središče leži v koordintnem izhodišču, eno oglišče p v točki (Polmer krožnice, očrtne temu n-kotniku, je ) Zgled 9 Zpiši vse rešitve enčbe z 5 3 Rešitev Gre z enčbo oblike z n w, kjer je n 5 in w pozitivno relno število Torej so vse rešitve oblike z k 5 3ζ k ζ k, kjer so ζ k cos kπ + i sin kπ z k 0,,, 3, običjni peti koreni enote Zgled 0 Zpiši vse rešitve enčbe z 4 Rešitev Gre z enčbo oblike z n w, kjer je n 4 in w Torej mormo njprej pretvoriti w v polrni zpis: w cosπ + i sin π, od koder sledi R in Φ π Vse rešitve gornje enčbe so z k 4 ( cos π + kπ + i sin π + kπ ) z k 0,,, 3, 4 4 kr lhko poenostvimo v z 0 cos π 4 + i sin π 4 + i z cos 3π 4 + i sin 3π 4 + i z cos 5π 4 + i sin 5π 4 i z 3 cos 7π 4 + i sin 7π 4 i Te točke so oglišč nekeg kvdrt v kompleksni rvnini z i z 0 R z z 3 mrec 009, 0: 5 7

18 Zporedj in številske vrste Zporedj Zporedje relnih števil je preslikv : N R Običjno nmesto (n) pišemo n Število n imenujemo n-ti člen zporedj, število n p indeks člen n Zporedje s splošnim členom n oznčimo z ( n ) Zporedje je lhko podno eksplicitno: s pomočjo funkcijskeg predpis n f(n) implicitno oz rekurzivno: zpišemo prvih nekj členov zporedj in prvilo, kko izrčunmo nslednji člen s pomočjo prejšnjih Zporedje lhko ponzorimo s sliko množice točk { n ; n N} n relni osi li z grfom Γ() N R funkcije : N R Zgledi zporedij Zporedje s splošnim členom n n je,, 3, Zporedje ( n ) (,,, ) im splošni člen n ( ) n cos(nπ) Aritmetično zporedje Podmo in rzliko d med poljubnim sosednjim členom: n+ n d Sledi n + (n )d Ugodneje n 0 + nd Geometrično zporedje Podmo in kvocient q med poljubnim sosednjim členom: n+ n q Sledi n q n Ugodneje: n 0 q n Fibonccijevo zporedje Podmo in n+ n+ + n Velj n (,,, 3, 5, 8, 3, ) Zporedje je nrščjoče, če je n+ n z vsk indeks n R N n n n+ R Zporedje je pdjoče, če je n+ n z vsk indeks n Zporedje je monotono, če je nrščjoče li pdjoče Zporedje je nvzgor omejeno, če obstj M R, d je n M z vsk n Število M imenujemo zgornj mej zporedj mrec 009, 0: 5 8

19 R M N n n+ n M R Zporedje je nvzdol omejeno, če obstj m R, d je n m z vsk n Število m imenujemo spodnj mej zporedj Zporedje je omejeno, če je nvzgor in nvzdol omejeno Iz definicije vidimo, d je nrščjoče zporedje nvzdol omejeno, pdjoče p nvzgor omejeno Zgled Rzišči zporedje s splošnim členom n 4 n + R n n + 4 N Zporedje im člene 5, 4 6, 4 3 7, Ker je 4 n+ n 4 nrščjoče Torej je nvzdol omejeno Zporedje ni nvzgor omejeno > 0, je zporedje Zgled Rzišči zporedje s splošnim členom n n R n n Zporedje im člene,, 3, Ker je 3 n+ n < 0, je n(n+) zporedje pdjoče Torej je nvzgor omejeno Ker je n > 0 z vsk n N, je zporedje tudi nvzdol omejeno Torej je zporedje omejeno Oglejmo si množico A { n ; n N} vseh členov zporedj ( n ) Spomnimo se, d je število M ntnčn zgornj mej množice A, če je M zgornj mej množice A in če z vsk ε > 0 obstj A, d je > M ε Torej lhko rečemo, d je število M ntnčn zgornj mej zporedj ( n ), z oznko M sup n N n, če je n M z vsk n in če z vsk ε > 0 obstj indeks k, d je k > M ε N mrec 009, 0: 5 9

20 R M M ε k N n M ε k M R Povsem nlogno definirmo, d je število M ntnčn spodnj mej zporedj ( n ), z oznko M inf n N n, če je n M z vsk n in če z vsk ε > 0 obstj indeks k, d je k < M + ε R M + ε M k N M k M + ε n R Po ksiomu XIII vidimo, d im vsko omejeno zporedje ntnčno zgornjo in spodnjo mejo Opozoriti velj, d inf n ne pomeni njmnjši člen zporedj Tudi če inf n obstj, ni nujno, d je inf n N z neki N N Podobno tudi sup n ne pomeni njvečji člen zporedj Tudi če sup n obstj, ni nujno, d je sup n N z neki N N Obrtn trditev p drži Če njmnjši člen zporedj obstj (oznčimo g z min n), je seved inf n min n Podobno je tudi sup n m n, če le njvečji člen zporedj obstj (oznčimo g z m n ) Zgled 3 Določi ntnčno zgornjo in spodnjo mejo zporedj s splošnim členom n (n+)( ) n n R n (n+)( )n n N Zporedje s členi n n+ + je pdjoče k Torej je (pod)zporedje s sodimi n n indeksi pdjoče k, (pod)zporedje z lihimi p nrščjoče k Torej je sup n m n 3 in inf n min n mrec 009, 0: 5 0

21 Steklišče zporedj Število je steklišče zporedj ( n), če z vsk ε > 0 in obstj neskončno indeksov m, d je m < ε Drugče povedno, število je steklišče zporedj ( n ), če je v vski njegovi okolici neskončno členov teg zporedj R + ε ε N ε m + ε R Zgled 4 Zporedje s splošnim členom n n 0 ni člen teg zporedj im (edino) steklišče v točki 0 Število R n n Zgled 5 Zporedje s splošnim členom n ( ) n im steklišči v točkh in, ki st tudi člen zporedj N R n cos(nπ) N Zgled 6 Zporedje s splošnim členom n n + nim steklišč 4 R n n + 4 N Zgled 7 Zporedje s splošnim členom n + n n+ cos(nπ ) im steklišč v točkh 0, in Točk je tudi člen teg zporedj mrec 009, 0: 5

22 R n + n n+ cos(nπ ) 0 Z n 4k ± velj n + 4k± 0 4k±+ Z n 4k velj n + 4k 4k+ Z n 4k + velj n + 4k+ ( ) 0 4k+3 Kot kžejo zgornji primeri, im lhko zporedje nič, eno li več steklišč Tudi če je zporedje omejeno, im lhko več steklišč Z nekoliko trud lhko konstruirmo tudi zporedje, ki im neskončno steklišč D bi zporedje relnih števil ne imelo nobeneg steklišč, mor biti neomejeno, sj velj: Izrek 6 Vsko omejeno zporedje im steklišče Dokz Nj bo m inf n in M sup n Množic A { R; n < z njveč končno n} je neprzn, sj je m A Je omejen, sj < M z vsk A Torej im ntnčno zgornjo mejo sup A N ε končno členov neskončno členov + ε R Število je steklišče zporedj Z ε > 0 je ε A in + ε / A Levo od ε je končno mnogo členov zporedj, levo od + ε p neskončno Torej jih je n intervlu ( ε, + ε) neskončno Alterntiven dokz: Ker je zporedje ( n ) omejeno, obstjt števili A in B, d je A n B z vsk n Rzpolovimo intervl Ker je zporedje neskončno, n vsj enem od podintervlov [A, A +B ] in [ A +B, B ] leži neskončno členov zporedj Oznčimo t podintervl z [A, B ] Ko intervl [A, B ] rzpolovimo, n vsj enem izmed dobljenih podintervlov (oznčimo g z [A 3, B 3 ]) leži neskončno členov zporedj Postopek ponvljmo Dobimo neskončno zporedje intervlov, pri kterem vsk ndljnji intervl leži v prejšnjem in je od njeg pol krjši Lev krjišč torej sestvljjo nrščjoče in nvzgor (z B ) omejeno zporedje, desn p pdjoče in nvzdol (z A ) omejeno zporedje Oznčimo A sup A n in B inf B n Potem je A A A B B B (Enkost A B velj zto, ker gredo dolžine intervlov proti 0) mrec 009, 0: 5

23 Dokžimo, d je točk s A B iskno steklišče Nj bo ε > 0 Ker je s sup A n, obstj n, d je A n > s ε Ker je s inf B n, obstj n, d je A n < s+ε Oznčimo m m{n, n } Torej leži intervl [A m, B m ] v celoti v ε-okolici točke s Po konstrukciji p v intervlu [A m, B m ] leži neskončno členov zporedj Opomb Videli smo že, d im vsko omejeno zporedje im ntnčno zgornjo in spodnjo mejo Če je zporedje monotono, je en od teh dveh mej tudi steklišče Zporedje,, n n z n p im steklišče 0, vendr je sup n in inf n Limit zporedj Število je limit zporedj n, z oznko lim n n, če z vsk ε > 0 obstj N N, d je n < ε z vsk n N Drugče povedno, je limit zporedj n, če v vski njegovi okolici ležijo vsi členi od nekeg člen dlje Torej je vsk limit tudi steklišče, obrt p ne drži, sj im lhko zporedje več steklišč Zporedje je konvergentno, če obstj limit teg zporedj Zporedje je divergentno, če ni konvergentno Zgled 8 Dokži, d z zporedje n velj lim n n 0 Od ktereg člen dlje n ležijo vsi členi v ε-okolici limitne točke z ε Rešitev Z dni ε > 0 oznčimo N [ ]+ Torej je < ε in je zto ε N n N < ε N z vsk n N Posebej, pri ε ležijo v ε-okolici limitne točke vsi členi od vključno 00 člen 0 dlje 00? Zgled 9 Izrčunj limito zporedj s splošnim členom n n+ n+3 Rešitev Ker je n+ n+, domnevmo, d bo lim n+3 n+3 n n+3 R n n+ n+3 Nj bo ε > 0 D bi vsi členi od N-teg dlje ležli v ε-okolici točke, mor veljti n < ε z n N Torej mor biti < ε oz n > Če torej izberemo n+3 ε poljubno tko nrvno število N, d je N >, bo z vsk n N veljlo ε n < ε V skldu z definicijo je limit zporedj tudi njegovo steklišče, obrt p ne drži Zporedje im lhko več steklišč in zto ni konvergentno Izrek 7 Vsko konvergentno zporedje je omejeno Dokz Nj bo lim n n Torej leži izven intervl (, + ) le končno mnogo členov zporedj n Množic A {, + } { n ; n / (, + )} je končn in im ntnčno spodnjo in zgornjo mejo: m in M Sledi m n M z vsk n Zporedje, ki ni omejeno, ne more biti konvergentno Prv tko ne more biti konvergentno zporedje, ki im več kot eno steklišče N mrec 009, 0: 5 3

24 Izrek 8 Zporedje je konvergentno ntnko tedj, ko je omejeno in im ntnko eno steklišče s ε s s + ε s ε s s + ε R Dokz Recimo, d je zporedje konvergentno in oznčimo njegovo limito z s Po že dokznem je omejeno V skldu z definicijo je limit zporedj tudi njegovo steklišče Recimo, d im zporedje še eno steklišče, ki g oznčimo z s Oznčimo ε s s Potem znotrj ε-okolic z s in s leži neskončno členov teg zporedj, kr pomeni, d noben izmed točk s in s ni limit teg zporedj Zgled 0 Zporedje s splošnim členom n ( ) n ni konvergentno, ker im dve steklišči Zporedje s splošnim členom n n ni konvergentno, ker nim steklišč (To zporedje je nmreč monotono in neomejeno) Cuchjevo zporedje Zporedje je Cuchjevo, če z vsk ε > 0 obstj N N, d je n m < ε z vsk m, n N Izrek 9 Zporedje je konvergentno ntnko tedj, ko je Cuchjevo Dokz Privzemimo njprej, d je zporedje n konvergentno Oznčimo z njegovo limito Nj bo ε > 0 Ker je zporedje konvergentno, obstj N N, d je n < ε z vse n N Če st torej m, n N, je m n m + n m + n ε + ε ε Z dokz v drugo smer p privzemimo, d je zporedje Cuchevo Potem obstj N 0, d je m n < z vse m, n N 0 Posebej to pomeni, d je m N0 < z vse n N 0 in je zporedje omejeno Torej im vsj eno steklišče, ki g oznčimo z Dokžimo, d je limit zporedj ( n ) Izberimo in fiksirjmo ε > 0 Obstj nek N, d je m n < ε z vse m, n N Vzemimo sedj poljuben n N Potem leži n n intervlu ( N ε, N + ε) in zto leži steklišče n intervlu [ N ε, N + ε ] Sledi Torej je limit zporedj ( n ) n n N + N ε + ε ε Izrek 0 Vsko monotono in omejeno zporedje je konvergentno Dokz Nj bo ( n ) npr nrščjoče zporedje Ker je zporedje omejeno, obstj njegov ntnčn zgornj mej, ki jo oznčimo z Potem z vsk ε > 0 obstj N, d je ε < N Ker je zporedje monotono in nvzgor omejeno z, je ε < n z vsk n N Torej ležijo v ε-okolici števil vsi členi od N-teg dlje in je zto lim n n mrec 009, 0: 5 4

25 Rekurzivno podn zporedj Zporedje je podno z rekurzivno zvezo red k, če so podni členi,, k in prvilo, kko z vsk n s pomočjo členov n,, n+k določino n+k, tj n+k f( n, n+,, n+k ) Zgled Dokži, d je rekurzivno podno zporedje, n+ ( n + 4 n ), konvergentno in izrčunj njegovo limito Rešitev Oznčimo f() ( + 4 ) Zpišimo nekj njegovih členov: 05, , , , 5 00, R f() 4 3 R Kot kže slik, lhko domnevmo, d je od člen dlje zporedje pdjoče in nvzdol omejeno z Zporedje je pdjoče: n+ n 4 n n < 0, če je n > Zporedje je nvzdol omejeno z : n+ (n ) n > 0 Ker je zporedje pdjoče in nvzdol omejeno, je po izreku 0 konvergentno Oznčimo lim n Sledi (+ 4 ), od koder sledi n 4 in, ker je > 0 Zgled Izrčunj limito zporedj, podneg z n }{{} n korenov Rešitev Oznčimo f() + Zporedje lhko podmo rekurzivno z zčetnim členom in zvezo n+ f( n ) Oznčimo f() + R f() 3 R mrec 009, 0: 5 5

26 Recimo, d limit zporedj obstj Oznčimo lim n n Sledi +, od koder izpeljemo 0 in (Rešitev odpde, sj je + 0) Z grf rzberemo, d je zporedje ( n ) nrščjoče in nvzgor omejeno z Dokžimo z indukcijo, d je nvzor omejeno z Očitno je Če je n, je + n 4 in n+ + n Dokžimo, d je zporedje nrščjoče Dokzti, je potrebno, d je n+ n 0 Pogoj je ekvivlenten z + n n, kr lhko preoblikujemo v + n n oz ( n )( n + ) 0 Slednje drži, sj je 0 n z vsk indeks n Dokzli smo, d je zporedje ( n ) nrščjoče in nvzgor omejeno, torej konvergentno Limit lim n n res obstj in po že dokznem je Opercije z zporedji Izrek Če st zporedji ( n) in (b n ) konvergentni, so tudi zporedj ( n +b n ), ( n b n ) in ( n b n ) konvergentn ter velj lim ( n + b n ) n lim ( n b n ) n lim ( nb n ) n lim n + lim b n, n n lim n lim b n, n n lim n lim b n n n Če velj še b n 0 z vsk n in lim n b n 0, je konvergentno tudi zporedje ( n b n ) in velj n lim n b n lim n n lim b n n Dokz Nj bo lim n n in b lim n b n Če je n < ε in b n b < ε, je ( n + b n ) ( + b) n + b n b < ε ε Torej je lim ( n +b n ) lim n + lim b n Podobno dokžemo, d je tudi lim ( n b n ) n n n n lim n lim b n n n Z dokz konvergentnosti zporedj n b n ocenimo n b n b ( n )(b n b) + ( n )b + (b n b) ( n )(b n b) + ( n )b + (b n b) < < ε + ( + b )ε, kjer smo privzeli, d je n < ε in b n b < ε Torej lhko izberemo tk ε > 0, d je vrednost izrz n b n b poljubno mjhn in je zto res lim ( n b n ) lim n lim b n n n n Z dokz četrte formule p njprej dokžimo, d je lim n b n Ocenimo b b n b b b n ε < bb n b ( b ε) < ε b mrec 009, 0: 5 6

27 z ε < b Po že dokznem p je lim n n bn lim n n b n b b Opomb Predpostvk o konvergentnosti zporedij n in b n je bistven Če npr postvimo n ( ) n in b n ( ) n+, je seved n + b n 0, n b n, z vsk n in lim ( n + b n ) 0, lim ( n b n ), zporedji n in b n p seved nist konvergentni n n Posledic Če je zporedje ( n) konvergentno, je tudi zporedje c n konvergentn in velj lim (c n) c lim n n n Dokz Postvimo b n c z vsk n in uporbimo gornji izrek Zgled 3 Izrčunj lim n (n ) 3n + n + Rešitev Ker je (n ) n n+ 3n +n+ 3n +n+ potenco; torej z n Dobimo (n ) 3n +n+ n n+ je, delimo števec in imenovlec teg ulomk z njvišjo n + 3n n +n+ 3+ n + lim n n 0, n Ker je lim ( n + n ) lim lim n n n n + lim n n 0 0, sj vse limite n desni obstjjo Podobno je tudi (3 + n + n ) Sledi lim n lim n lim 3 + lim n n n + lim n (n ) 3n + n + lim + n n n n n Zgled 4 Izrčunj lim n n n Rešitev Čeprv lhko zpišemo +++n n +++n k,,, n, ne smemo sklepti, d je lim n n lim ( n +b n ) lim n + lim n n n lim ( + ) n n n lim (3 + + ) 3 n n n n k in je lim n n n n 0 z vsk n Izrek b n lhko sicer rzširimo n poljubno, vendr fiksno število n členov, v izrzu +++n p število členov ni fiksno, mpk se spreminj hkrti z n Z n rešitev mormo torej ubrti drugčno pot Kot smo že videli, je n n(n+), zto lhko zpišemo Torej je n n n lim n n n(n + ) n + n n + n lim ( + ) n n lim n mrec 009, 0: 5 7

28 Izrek 3 (Izrek o sendviču) Če st zporedji ( n) in (b n ) konvergentni in imt enki limiti ter je n c n b n z vsk n N, je tudi zporedje (c n ) konvergentno in velj lim ( n) lim (b n ) lim (c n ) n n n R A Oznčimo lim ( n ) lim (b n ) A Nj bo ε > 0 Potem obstj n, d je n > A ε n n z n n Potem obstj n, d je b n < A + ε z n n Torej z n n 0 m{n, n, N} velj A ε < n c n b n < A + ε Sledi lim n c n A Zgled 5 Izrčunj limito zporedj s splošnim členom Očitno je n n +n n n n + + n n + n n n Ker je lim + n n lim n +n n N n n, je tudi lim + n n Potence in koreni Nj bo R in n N Produkt n enkih fktorjev imenujemo n-t potenc števil in oznčimo z n Število je osnov, število n p eksponent Z indukcijo preverimo, d velj m+n m n ( m ) n m n (b) m m b m ( m b) m m n b m m n (V zdnjih dveh formulh smo privzeli, d je 0 b, v zdnji p še dodtno, d je m > n) Če dodtno postvimo m m in 0, veljjo gornje formule z vse celoštevilske eksponente m in n mrec 009, 0: 5 8

29 Izrek 4 Nj bo R Tedj z < zporedje s splošnim členom n n konvergir k 0, z zporedje ( n ) konvergir k, v vseh ostlih primerih p je zporedje ( n ) divergentno Dokz Če je 0, je očitno lim n 0 Nj bo > 0 Če je <, je zporedje n n pdjoče in nvzdol omejeno Torej je konvergentno in oznčimo njegovo limito z α Ker se zporedje n+ rzlikuje od zporedj n le v prvem členu, je tudi im enko limito kot n Sledi α lim n+ lim n lim lim n α, n n n n od koder zrdi 0 sledi α 0 Če je, je očitno lim n Če je > in je n zporedje n omejeno, je konvergentno Oznčimo njegovo limito z β Torej je β > Sedj podobno kot v primeru 0 < < dokžemo, d je β β Ker p je β > in >, t enčb ni smiseln Če je < < 0, velj lim n n 0, od koder izpeljemo, d je tudi lim n n 0 Z p im zporedje neskončno členov n intervlu (, ] in neskončno členov n intervlu [, ), zto ni konvergentno Koreni Nj bo pozitivno relno število in n nrvno število Koren n je tisto število, ktereg n-t potenc je enk Dokzti je možno, d velj nslednji izrek: Izrek 5 Z vsko pozitivno relno število in nrvno število n obstj ntnko eno pozitivno število, d je n Ker je korenjenje obrtn opercij od potencirnj, velj n b m n n n b mn b m n ( m ) n Če je nrvno število p deljivo z nrvnim številom q, velj q p p q To ugotovitev vzmemo z definicijo potence z rcionlnim eksponentnom Če je r p q rcionlno število, definirmo r q p Prepričmo se lhko, d je definicij dobr, tj če je p p, je tudi q q q p q p Izrek 6 (Bernoullijev neenkost) Z vsko pozitivno število in nrvno število n > velj ( + ) n > + n Dokz Trditev bomo dokzli z indukcijo Z n ni kj dokzovti V dokzu indukcijskeg kork p privzemimo, d je ( + ) n > + n Tedj velj ( + ) n+ ( + ) n ( + ) > ( + n)( + ) + (n + ) + n > + (n + ), sj je n > 0 S pomočjo Bernoullijeve neenkosti lhko dokžemo nslednjo trditev mrec 009, 0: 5 9

30 Izrek 7 Nj bo pozitivno relno število Potem je lim n n Dokz Z ni kj dokzovti Če je >, lhko pri fiksnem n > zpišemo + n, kjer je > 0 Tedj po Bernoullijevi neenkosti velj n ( + ) n > + n, n n od koder sledi Ker je lim (+ n n pišemo b + n > n > ), iz gornje ocene sledi, d je tudi lim n Če p je 0 < <, n in po že dokznem velj lim n b Torej je tudi n lim n n lim n n b lim n n b Izrek 8 Z vsk ε > 0 obstj δ > 0, d z vsko rcionlno število q, q < δ, velj q < ε Dokz Nj bo ε > 0 Ker je lim n, obstj tk n, d je n < ε Ker n je lim n, obstj tk n, d je n < ε Postvimo n m{n, n } n Če je sedj 0 q <, je n q < n < ε Z < q < 0 p ocenimo n q < n < ε Torej lhko postvimo δ n Vzemimo sedj poljubno relno število r Rdi bi definirli r, če je pozitivno relno število Obstj zporedje (r n ) rcionlnih števil, d je lim r n r Pokžimo, d n je zporedje rn Cuchjevo Nj bo ε > 0 Z r m > r n velj rm rn rn ( rm rn ) Ker je zporedje r n konvergentno, je omejeno in je zto tudi rn M z vse n Po prejšnjem izreku obstj δ > 0, d je q < ε z vse q < δ Ker je zporedje r M n konvergentno, je Cuchevo in obstj N N, d je r n r m < δ z m, n N Torej je rm rn rn rm rn < M ε M ε z vse m, n N Zporedje je zto Cuchjevo in obstj lim rn Dobljeno vrednost n oznčimo z r Če immo še eno zporedje r n, z ktero je lim r n r, velj lim (r n r n ) 0 in zto n n lim n r n Ker p je n r lim n r n r n lim n r n lim n rn, od tod sledi lim r n lim rn Torej je vrednost r neodvisn od zporedj rcionlnih n n števil, ki konvergir k r Nzdnje omenimo, d veljjo vs prvil z rčunnje s potencmi, ki smo jih izpeljli z rcionlne eksponente, tudi z relne eksponente mrec 009, 0: 5 30

31 Število e Oglejmo si zporedji n ( + n) n in bn ( n) n Dokzti je možno, d je zporedje n nrščjoče in nvzgor omejeno, zporedje b n p pdjoče in nvzdol omejeno Torej st obe zporedji konvergentni Iz zveze b n+ p sledi, d je ( ) (n+) n + lim b n lim b n+ lim n n n n ( n + n ) n+ ( + n) n ( + ) ( n + ) n n ( + ) ( lim n lim + ) lim n, n n n n n kr pomeni, d imt zporedji n in b n isto limito, ki jo oznčimo z e Skrtk ( e lim + n ( lim n n) n ( lim + n n) n n n) Število e je ircionlno in velj e 78 Dokzti je možno, d je ( e lim + ( lim + ) ) tudi, ko teče po relnih številih Če sedj pišemo h, nm primer in skupj dst lim ( + h) h e h 0 Zgled 6 Izrčunj lim n ( n+ n+) n Rešitev Ker je n+ n+ n+, lhko zpišemo n+ n+ n+ n+ Od tod sledi n in h lim n ( ) n n + lim n + ( ( + h 0 h) h lim ( + h) h ( + h) h 0 lim h 0 ( + h) h Zgled 7 Izrčunj lim n ( 3n) n Rešitev Rčunjmo ( lim ) n ( lim n 3n n 3n ( lim m lim ( + h 0 h) e + h, kjer je h n+ ) ) ( 3n ( 3 ( ) lim ) ) 3n 3 n 3n ( ) ) m 3 m e 3 mrec 009, 0: 5 3

32 Opomb V rčunu smo uporbili, d je lim n 3 n ( lim n n kjer je bilo n konvergentno zporedje Slednje bi lhko izpeljli iz izrek o produktu limit, vendr bomo v poglvju o zveznih funkcijh dokzli še močnejši izrek, ki g tu nvedimo brez dokz: ) 3, Izrek 9 Če je lim n n in f zvezn funkcij v točki, je lim n f( n ) f() Logritem Vzemimo, d st v enčbi števili in znni, p ne Rešitev te enčbe zpišemo v obliki log in preberemo je logritem števil z osnovo Številu prvimo logritmnd, število p osnov logritm D se dokzti, d je z dni pozitivni števili in,, število, ki zdošč enčbi, enolično določeno Iz definicije logritm sledi, d je log 0 in log Logritem ni definirn, če je 0 li Če je >, je funkcij log nrščjoč in nvzgor neomejen Iz prvil z rčunnje s potencmi izpeljemo podobn prvil z rčunnje z logritmi Če v formulo U+V U V vstvimo U log u in V log v, dobimo Iz U V U V izpeljemo log (uv) log u + log v log u v log u log v Iz ( U ) V UV p s podobnim prijemom izpeljemo log u v v log u Čeprv je lhko osnov logritm kterokoli pozitivno relno število,, njpogosteje uporbljmo logritme z osnovo e li 0 Logritem z osnovo e imenujemo nrvni logritem in oznčimo log e ln Logritem z osnovo 0 imenujemo desetiški li Briggsov logritem in oznčimo log 0 log V novejšem čsu se uporbljjo tudi logritmi z osnovo, ki jih imenujemo dvojiški logritmi Iz enkosti log b log b z logritmirnjem sledi log log log b log b, od koder izpeljemo log b log log b Posebej velj in log log 0 log e log e 0 ln ln 0 ln log e log 0 log 0 e log log e mrec 009, 0: 5 3

33 Številske vrste Nj bo,, zporedje relnih števil Izrz imenujemo številsk vrst (oznk k k), števil,, p členi te vrste Z vsk n definirmo s n n k k Število s n imenujemo n-t deln vsot vrste k k Vrst je konvergentn, če konvergir zporedje delnih vsot Če vrst ni konvergentn, prvimo, d je divergentn Limito zporedj delnih vsot imenujemo vsot vrste Zgled 8 Vrst k k s splošnim členom k k je divergentn, ker je zporedje delnih vsot s n + + n n n(n+) neomejeno Zgled 9 Vrst k ( )k s splošnim členom k ( ) k je divergentn, ker im zporedje delnih vsot {, če je n liho število, s n 0, če je n število, dve steklišči Zgled 30 Dokži, d je vrst k k(k+) konvergentn in izrčunj njeno vsoto Rešitev Ker je, lhko izrz z n-to delno vsoto zpišemo kot k(k+) k k+ s n n k ( k(k + ) ) ( + ) ( n ) n + n + Torej je s n Ker je lim ( ), je vrst konvergentn in im vsoto n+ n n+ Zgled 3 Dokži, d je vrst ln( + ) divergentn k k Splošni člen je k ln( + ) Izrčunjmo delno vsoto: k s n n k k n ln( + ) k k ln( + ) + ln( + ) + + ln( + n ) ln ( ( + )( + )( + ) ( + )) 3 n ln ( 3 4 ) n+ 3 n ln(n + ) Vrst je divergentn, ker je zporedje delnih vsot neomejeno Geometrijsk vrst je vrst q k s splošnim členom k q k k0 Če je q, velj s n n k0 q k + q + q + + q n qn+ q Vemo, d z q < zporedje q n konvergir k 0 in tedj je lim n s n q mrec 009, 0: 5 33

34 Če je q, je s n n (n + ) in to zporedje je neomejeno k0 Torej geometrijsk vrst q k konvergir ntnko tedj, ko je q < Tedj velj k0 q k k0 q Zgled 3 Izrčunj k 4 3 k Njprej premknimo sumcijski indeks: k0 4 3 k k k 3 k Torej je 4 in q Sledi 3 k0 Zgled 33 (Legend o šhu) Legend prvi, d je krlj Šhrm želel ngrditi modrec Sis Ben Dhiro, ki g je nučil šh Modrec je bil skromen in mu je rekel, d nj mu d toliko žit, kot g gre n šhovsko ploščo, če položi n prvo polje zrno, n drugo zrni, n tretje 4, Ali mu je krlj lhko izplčl želeno ngrdo? N šhovnico bi bilo potrebno položiti zrn žit Če vzmemo, d zrno žit teht 0 mg (tj 0 5 kg), bi vse žito skupj tehtlo kg oz 36 0 ton (Svetovn letn proizvodnj žit je ton) Izrek 0 (Cuchjev kriterij) Vrst k k je konvergentn ntnko tedj, ko z vsk ε > 0 obstj N N, d z vsk m > n N velj m kn+ k < ε Dokz Po definiciji je vrst konvergentn ntnko tedj, ko je konvergentno zporedje delnih vsot Zporedje p je konvergentno ntnko tedj, ko ustrez Cuchjevemu pogoju: Z vsk ε > 0 obstj N N, d je s m s n < ε z vsk m, n N Trditev je tko dokzn, sj je s m s n m kn+ k Posledic Če je vrst k k konvergentn, je lim k k 0 Dokz V Cuchjevem pogoju pišemo m n + in dobimo, d z vsk ε > 0 obstj N N, d je m < ε z vsk m N To p rvno pomeni, d je lim k k 0 Zgled 34 Hrmoničn vrst k k je divergentn mrec 009, 0: 5 34

35 Rešitev Oglejmo si delne vsote: s n s n n + + n n + n n + n + n + n + n + n Torej zporedje delnih vsot ne ustrez Cuchjevemu pogoju Opozorilo Očitno je lim 0 Videli p smo, d je hrmoničn vrst divergentn k k Torej je pogoj lim 0 z konvergenco vrste potreben, ni zdosten k k Izrek (Primerjlni kriterij) Če z vsk indeks k velj k b k in je vrst k b k konvergentn, je tudi vrst k k konvergentn Dokz Ker je vrst k b k konvergentn, po Cuchjevem kriteriju z dni ε > 0 obstj N N, d je m kn+ b k < ε z vse m > n N Torej je m m m k k b k < ε kn+ kn+ kn+ in je vrst k k konvergentn, sj ustrez Cuchjevemu kriteriju Zgled 35 Dokži, d je vrst k0 sin k konvergentn z vsko relno število k Rešitev Ker z vsko relno število velj sink, lhko ocenimo sin k k k Torej smo člene vrste k0 sin k nvzgor ocenili s členi konvergentne geometrijske k vrste k0 k Pri primerjlnem kriteriju mormo vrsto k k primerjti s kkšno znno vrsto Njpogosteje uporbljmo geometrijsko vrsto li p vrsto α Izrek 3 Nj bo α R poljubno število Vrst α > Z α dobimo (divergentno) hrmonično vrsto tem primeru vrst k k k k z primerno relno število kα konvergir ntnko tedj, ko je kα Ker z α < velj > k k, je v α k divergentn Dokz konvergentnosti vrste z α > izpustimo kα Izrek 4 (Kvocientni oz d Alembertov kriterij) Nj bo k k tk vrst s pozitivnimi členi, z ktero obstj lim, ki jo oznčimo s q Če je q <, je vrst n+ n n konvergentn Če je q >, je vrst divergentn mrec 009, 0: 5 35

36 Dokz Oglejmo si njprej primer, ko je q < Izberimo poljubno število r, q < r < Tedj obstj število N, d z vsk indeks n N velj n+ n r Torej je n+ r n z vsk n N Zpišimo N+ r N, N+ r N+ r N, N+k r k N Torej je vrst k k konvergentn, sj lhko njene člene od N-teg dlje nvzgor ocenimo s členi konvergentne vrste k0 rk N : k }{{ N + } N + r N + r N + }{{} končno členov konvergentn vrst k V drugem primeru p nj bo q > Izberimo poljubno število r, < r < q Tedj obstj število N, d z vsk indeks n N velj n+ n r Torej je n+ r n z vsk n N in podobno kot zgorj velj N+ r N N, N+ r N+ r N N, N+k N Sedj p vidimo, d pogoj lim n n 0, ki mu zdošč vsk konvergentn vrst (posledic ), ne more biti izpolnjen Zgled 36 Z vsko relno število je vrst k k konvergentn k! Rešitev Če je 0, je vrst očitno konvergentn Če p je 0, pišimo n n n! Tedj je q lim n n+ n lim n n+ (n+)! n n! kr zrdi q < pomeni, d vrst konvergir z vsk Zgled 37 Dokzli smo že, d je vrst k teg ne ugotovi Rešitev Z n n(n+) immo q lim n n+ n lim n k(k+) (n+)(n+) n(n+) lim n n + 0, konvergentn D Alembertov kriterij n lim n n + Zgled 38 Dokzli smo že, d je vrst k k ne ugotovi divergentn D Alembertov kriterij teg mrec 009, 0: 5 36

37 Rešitev Z n n immo q lim n n+ n lim n Zgled 39 Rzišči konvergenco vrste k Rešitev Z n n! n n immo Ker je e q lim n n+ n <, je vrst konvergentn lim n n+ n k! k k (n+)! (n+) n+ n! n n n lim n n + n n lim n (n + ) n e Zgled 40 Rzišči konvergenco vrste Z n n (+)(+ ) (+ n ) immo k k ( + )( + ) ( + k ) z > 0 q lim n n+ n lim n n+ (+)(+ ) (+ n )(+ n+ ) n (+)(+ ) (+ n ) Ker je {, če je <, q lim n +, če je, n+ 0, >, je z vsk > 0 gornj vrst konvergentn lim n + n+ Izrek 5 (Korenski oz Cuchjev kriterij) Nj bo k k tk vrst s pozitivnimi členi, z ktero obstj lim n n, ki jo oznčimo s q Če je q <, je vrst konvergentn n Če je q >, je vrst divergentn Dokz Oglejmo si njprej primer, ko je q < Izberimo poljubno število r, q < r < Tedj obstj število N, d z vsk indeks n N velj n n r Torej je n r n z vsk n N Torej je vrst k konvergentn, sj je lhko nvzgor ocenimo s konvergentno k vrsto: k N + r }{{}} N + r N+ {{ + r N+ + } k končno členov konvergentn vrst V drugem primeru p nj bo q > Izberimo poljubno število r, < r < q Tedj obstj število N, d z vsk indeks n N velj n n r Torej je n r n z vsk n N Torej je vrst k divergentn, sj je lhko nvzdol ocenimo z divergentno k geometrijsko vrsto (tj r > ): k N + r }{{}} N + r N+ {{ + r N+ + } k končno členov divergentn vrst mrec 009, 0: 5 37

38 Zgled 4 Rzišči konvergenco vrste Ker je lim n n n, velj k k z > 0 k n n q lim n lim n n n n Torej je po korenskem kriteriju vrst konvergentn z < (tj > ) in divergentn z > (tj < ) Če je, korenski kriterij ne odloč o konvergenci Divergenco vrste p lhko v k tem primeru uvidimo kr iz vrste sme Vrst k nmreč divergir k k Korenski kriterij z ugotvljnje konvergence vrste k k uporbljmo njpogosteje tedj, ko je izrz n n ugoden z limitirnje Korenski kriterij p ni izboljšv kvocientneg, sj velj: Izrek 6 Nj bo ( n ) zporedje s pozitivnimi členi Če obstj limit lim tudi limit lim n n n in st enki k n+ n n, obstj Torej nim smisl poskusiti s korenskim kriterijem, če smo pri kvocientnem kriteriju izrčunli lim n+ n n, sj bomo izrčunli tudi lim n n n Alternirjoče vrste Vrst k k je lternirjoč, če je k k+ < 0 z vsk k Izrek 7 (Leibnitzov kriterij) Če v lternirjoči vrsti bsolutne vrednosti členov pdjo in konvergirjo k 0, je vrst konvergentn Dokz Nj vrst k k ustrez pogojem izrek Oznčimo b k k Privzeti smemo, d je > 0 Torej immo vrsto k ( )k+ b k, kjer je b k b k+ > 0 z vsk k in lim b k 0 Ker je k s n+ s n + (b n+ b n+ ) s }{{} n, 0 je zporedje (s n ) n sodih delnih vsot nrščjoče Zrdi s n b (b b 3 ) (b }{{} 4 b 5 ) (b }{{} n b n ) b }{{} n b }{{}, je zporedje nvzgor omejeno Torej je zporedje sodih delnih vsot konvergentno Oznčimo s lim s n Ker je s n+ s n + b n+ in je lim b n+ 0, je konvergentno n n tudi zporedje (s n+ ) n lihih delnih vsot in s lim s n+ Torej je konvergentno tudi n zporedje (s n ) in velj s lim s n n mrec 009, 0: 5 38

39 Izrek 8 Deln vsot s n lternirjoče vrste n+ k se od vsote vrste rzlikuje z mnj kot Oglejmo si dokz Leibnitzoveg izrek podrobneje Če je > 0, smo dokzli, d je zporedje sodih delnih vsot nrščjoče Ker je konvergentno, je nvzgor omejeno s svojo limito Podobno dokžemo, d je zporedje lihih delnih vsot pdjoče Ker je konvergentno, je nvzdol omejeno s svojo limito Sledi s n < s < s n+, od koder izpeljemo 0 < s s n < s n+ s n n+ Podobno je s n+ < s < s n+, od koder izpeljemo s n+ s n+ n+ < s s n+ < 0 Torej z vsk indeks n velj, d je s s n < n+ k Zgled 4 Dokži, d je vrst k ( )k+ k konvergentn Rešitev Oznčimo k ( ) k+ Ker je k k k+ < 0 in k(k+) k k+, po Leibnitzovem kriteriju vrst konvergir k+ Zgled 43 Dokži, d je vrst k ( ) k ln k d bi izrčunli vsoto vrste n ntnčno? 00 k+ < konvergentn Koliko členov mormo sešteti, Vrst je konvergentn, sj je zporedje pdjoče Ker se npk delne vsote rzlikuje lnk od vsote vrste z mnj kot je bsolutn vrednost prveg izpuščeneg člen, mormo poiskti tk k, d je < Slednje je ekvivlentno s k > ln k 00 e Torej smo ugotovili, d vrst sicer konvergir, je konvergenc precej počsn Zgled 44 Ali je vrst konvergentn? Leibnitzoveg kriterij ne smemo uporbiti, sj bsolutne vrednosti členov vrste konvergirjo k 0, vendr ne monotono Z vsk k nmreč velj k > k+ < k+ (Slednje je ekvivlentno z k + k < ) k+ in R n Izrčunjmo sode delne vsote gornje vrste: s n n n+ ( )( + +) ( 3 )( ) ( n )( n+) n 3 n k Torej so sode delne vsote s n neomejeno podzporedje v zporedju delnih vsot k N mrec 009, 0: 5 39