List za mlade matematike, fizike, astronome in računalnikarje. Peter Šemrl: LINEARNE PRESLIKAVE RAVNINE IN 2 x 2 MATRIKE

Transcript

1 Lit za mlade matematike, fizike, atonome in ačunalnikaje ISSN Letnik 32 (24/25) Številka 4 Stani 9 12 Pete Šeml: LINEARNE PRESLIKAVE RAVNINE IN 2 2 MATRIKE Ključne beede: matematika, lineana algeba, matike, elikave avnine. Elektonka vezija: htt:// c 25 Duštvo matematikov, fizikov in atonomov Slovenije c 21 DMFA založništvo Ve avice idžane. Razmnoževanje ali eoducianje celote ali oameznih delov bez oejšnjega dovoljenja založnika ni dovoljeno.

2 Lineane elikave avnine in 2 2 matike \ Uvod Ta etavek je namenjen dijakom ednjih šol, ki že oznajo vektoje. Ob eševanju uoabne matematične naloge e bomo eznanili z onovnimi idejami lineane algebe. Denimo, da avnino, oemljeno avokotnim koodinatnim itemom, najej zavtimo okoli izhodišča za kot 3 v ozitivni mei, jo nato avokotno ojiciamo na emico y = 2, otem jo ezcalimo čez imetalo dugega in čettega kvadanta te jo na koncu še zaukamo okoli izhodišča za avi kot v negativni mei. Kje konča točka (,y), ko oavimo ve štii oiane tanfomacije? Zakaj bi loh eševali tako zaletene naloge? Pi ačunalniških igicah je ogoto otebno zaotiati liko na zalonu okoli neke ediščne točke ali a jo ezcaliti eko emice, ki oteka kozi to ediščno točko. Včaih nam koiti tudi ojicianje otoa (ki je na zalonu edtavljen avninko) na kakšno teno (ki je na liki edtavljena z daljico, ta daljica a eveda določa emico). In eveda je ogoto otebno izveti več takih tanfomacij zaoedoma. Kaj e otem zgodi liko na zalonu? Pi ikanju odgovoa na tako vašanje nam omaga, če vemo, kaj e zgodi z vako točko na zalonu. To a omeni, da moamo ešiti nalogo, odobno zgoaj zatavljenemu oblemu. S oodnimi matematičnimi oblemi e ečujejo etavljalci ogamke oeme, namenjene ahitektom, oblikovalcem, odajnim alonom ohištva. 9 Tako kot i vaki zahtevnejši matematični nalogi bomo tudi voj uvodni oblem azbili v manjše, lažje obvladljive naloge. Vašali e bomo, kaj e zgodi oljubno točko (,y) i otaciji avnine okoli izhodišča za kot, kaj e zgodi točko i zcaljenju eko emice, ki oteka kozi izhodišče, in še kam e elika točka (,y) i avokotnem ojicianju na emico kozi izhodišče koodinatnega itema. Pi tem bomo oazili nekatee odobnoti med navedenimi azličnimi oblemi in te odobnoti izkoitili i njihovem eševanju. To na bo ieljalo do onovnih idej lineane algebe. Končali bomo z nekaj oombami o možnih ološitvah na toazežni oto in višje dimenzije. \ Matike V tem oglavju i bomo iavili oodje, ki bo oenotavilo ačunanje i eševanju zatavljenega oblema. Matika je tabela števil. Oglejmo i najej nekaj imeov: ,, 7 3. π Pva matika ima dve vtici in ti tolce, duga štii vtice in štii tolce, zadnja a eno amo vtico in dva tolca. Rečemo, da je velikot ve matike 2 3, dugi matiki ečemo 4 4 matika, zadnji a 1 2 matika. V tem članku bomo večinoma otebovali 2 2 in 2 1 matike. Matika velikoti 2 2 je tabela štiih števil, azoejenih v dve vtici in dva tolca: a 11 a 12 a 21 a 22. Število a ij imenujemo (i, j )-ti člen matike. Pvi indek ove, v katei vtici leži ta člen, dugi a v kateem tolcu. Matika y

3 je 2 1 matika členoma in y. Taki matiki bomo ekli tudi matični tolec. \ Lineane elikave avnine Naj bo avnina R oemljena avokotnim koodinatnim itemom. Potem vaki točki T v avnini iada uejen a koodinat (,y). V okviu tega etavka bomo nameto običajnega zaia (,y) koodinati točke T vedno iali v matičnem tolcu y. Vekto z začetno točko v izhodišču koodinatnega itema in končno točko T imenujemo kajevni vekto točke T. Koodinati tega vektoja ta y (glej liko 1). Slika 2. T ' ' T T(,y) (2 ) 2 Slika 1. Najej obavnavajmo otacijo avnine za kot okoli koodinatnega izhodišča. Pi tej otaciji e točka T koodinatama y tanfomia v točko T koodinatama ' y'. Ponavadi i avnino edtavljamo kot množico točk. Mi a jo aje obavnavajmo kot množico uteznih kajevnih vektojev. Potem je otacija avnine za kot okoli koodinatnega izhodišča tanfomacija, ki vak kajevni vekto zauka za kot (lika 2). Slika 3. 2 Označimo to otacijo z. Potem išemo = ' ali y = ' y'. Vekto najej odaljšamo faktojem 2 in ga otem zavtimo za kot (lika 3). Dobimo enak ezultat kot v imeu, ko vekto najej zavtimo za kot in ga otem odaljšamo faktojem 2 (lika 4). V vem imeu mo najej vekto tanfomiali v vekto 2 in otem o zauku dobili vekto (2 ). Slika 4. 1

4 V dugem imeu a mo v vem koaku išli do vektoja in tega otem odaljšali do vektoja 2. Ke mo obakat dobili ito, velja (2 ) = 2. Nameto kalajem 2 bi lahko vekto omnožili kateimkoli ozitivnim kalajem t in z enakim azmilekom ugotovili, da velja (t ) = t( ). (1) Vekto najej nadometimo z naotnim vektojem in otem tega zavtimo za kot (lika 5). dometimo z naotnim vektojem (lika 6). Zato velja ( ) = za vak vekto. Za vak vekto a je e tudi ( )==. S tem mo dognali, da fomula (1) velja za vako ealno število t in vak vekto. V nalednjem koaku a emilimo, kako otacija deluje na voto vektojev +. Vektoja in najej eštejemo in otem njuno voto zavtimo okoli izhodišča za kot (lika 7). ( +) ( ) + Slika 5. Slika 7. + Slika 6. Dobimo enak ezultat kot v imeu, ko vekto najej zavtimo za kot in otem dobljeni vekto na- 11 Slika 8.

5 Dobimo enak ezultat kot v imeu, ko najej zavtimo vektoja in in otem zavtena vektoja eštejemo (lika 8). Ugotovili mo, da za oljubna vektoja in velja ( + )= +. Tanfomacijo A : R R imenujemo lineana elikava, če za vako ealno število t in vak a vektojev in velja + Z Z A(t )= t(a ) in A( + )=A + A Pavka mo ugotovili, da je otacija za kot okoli izhodišča lineana elikava. Naj bo dana emica, ki oteka kozi izhodišče koodinatnega itema. Označimo z Z tanfomacijo avnine, ki vako točko ezcali eko emice. Slika 9 in lika 1 na eičata, da je tudi Z : R R lineana elikava. Slika 1. t Z +Z =Z (+) P tp =P (+ ) t Z tz =Z (t) Slika 11. Slika 9. In končno naj bo P : R R tanfomacija, ki vako točko avnine avokotno ojicia na emico. Tudi to je lineana tanfomacija avnine (lika 11 in lika 12). + P +P =P (+ ) Pete Šeml 12 Slika 12.