Predmet : MATEMATIKA EPF MARIBOR Učno gradivo 2008/09 Miklavž Mastinšek

Transcript

1 Predmet : MATEMATIKA EPF MARIBOR Učo grdivo 2008/09 Miklvž Mstišek Grdivo je povzetek vsebi učbeikov : Mtemtik z ekoomiste. i 2.del, EPF Mribor Podi so temelji pojmi i primeri log. Popol vsebi i rešei primeri so podi v vedeih učbeikih.

2 LOGIKA IN MNOŽICE. Osove mtemtiče logike.. 2 Povezovje izjv. Logiči zki Defiicij. Negcij A (izgovrjmo "e A") izjve A je izjv, ki zik to, kr trdi izjv A. A je prvil tko tkrt, ko je A eprvil. Defiicij.2 Kojukcij A B Defiicij.3 disjukcij A B Defiicij.4 Implikcij A B Defiicij.5 Ekvivlec A B.. 5 Kvtifiktorji Defiicij. 8 Zpis: ( )A() (beri "z vsk velj A()") pomei izjvo, ki je prvil le, če je z vsk X, pri čemer je X določe možic, ki ji pripd, A() prvil izjv. Če obstj kkše, z ktereg je A() eprvil, je izjv ( )A() eprvil. Simbolu, ki g preberemo "z vsk" prvimo uiverzli kvtifiktor. Poleg simbol " "' pozmo še eksisteči kvtifiktor " " (beri "obstj vsj e" li "obstj (eksistir)"), s kterim krtko zpišemo izjvo "Obstj vsj e, d velj A()". Krjši zpis te izjve je: ( )A() Besed vsj pomei "ede li več". 2

3 Primer.5 Izjvi A: Z vsko število je 0.( je bsolut vredost števil ) B: Obstj relo število, z ktereg je Možice. 2. Osovi pojmi. Podmožice. Opercije z možicmi. Pri zpisovju možice uporbljmo po dogovoru zviti oklepj, v ktereg vpišemo elemete. Immo dv či: l. Eksplicito Nvedemo vse elemete, ki pripdjo možici; pr. M = {,b,c}, M 2 = {bel, rume, rdeč, čr}, 2. Implicito Nvedemo lstosti L i (), i =, 2,...,, ki tko določjo, kteri elemeti so v možici. Možico tedj zpišemo v obliki: M = { im lstosti L (), L 2 (),...,L ()} li M = { L () L 2 ()... L ()} Primer.8 A= { 3 0 je celo število } Število, ki pove, koliko elemetov je v možici, imeujemo moč možice. Moč možice X ozčimo z m(x). Defiicij.9 možic A podmožic (del možic) možice B, i to zpišemo A B li B A, Defiicij.0 Če velj z možici A, B A B i B A, prvimo, d st možici eki, i pišemo: A=B 3

4 Defiicij. Poteč možic, ozčujemo jo s PA, možice A je možic vseh podmožic možice A PA ={X X A} Izrek.3 Vsk možic z elemeti im 2 podmožic. Defiicij.2 Uij A B Defiicij.3 Presek A B Primer.20 Poiščimo uijo i presek možic Izrek.4 A (B C) = (A B) (A C), A (B C) = (A B) (A C) (.7) (distributivost) Defiicij.4 Rzlik A\B Defiicij.5 Komplemet C U A Krteziči product Defiicij.6 vseh urejeih dvojic (,b), A b B, Krteziči (direkti) produkt A B možic A, B je možic A B = {(,b) A b B} Primer.22 Krtezič produkt možic A = {, 2, 3, 4}, B = {, 2} st: 4

5 Krteziči produkt dveh možic lhko včsih zoro pozorimo v (prvokotem) rviskem koorditem sistemu. Primer.23 Krtezič produkt iz primer.22 st prikz v rviskem koorditem sistemu sl..8 i.9. Število elemetov: m(a A 2 )= m(a ) m( A 2 ) = 2 Grf fukcije: Nj bo f fukcij, ki je defiir možici X R. Vskemu X pripd eo relo število y = f(). Pru števil (,y) ustrez v rvii, ki smo ji vrisli prvokoti koorditi sistem, točk T(,y) z bsciso i ordito y. Ko zvzme vse vredosti iz X, dobimo v rvii y možico točk G f, ki ji prvimo grf fukcije f. Možic G f je torej možic prov (,y) G f = {(,y) y = f(), X} i je podmožic krtezičeg produkt R R, t. j. rvie y. Fukcij povprševj Povprševje po ekem blgu li storitvi v določeem čsovem itervlu je odviso od številih dejvikov, ki vldjo tržišču. Če se omejimo le odvisost povprševj od cee blg li storitve, dobimo fukcijo, ki ji prvimo fukcij povprševj: =(p) (.7) S p je ozče ce, z p povpršev količi.. V ormlih tržih rzmerh je fukcij povprševj strogo pdjoč. V učbeikih ekoomike je odvisost (.7) običjo (po dogovoru) prikz v koorditem sistemu tko, d je vodorvi osi prikzo povprševje, vpiči osi p ce; p = p(). (glej Mtem. z eko. 2.del) Defiicij.7 Krteziči produkt A A 2... A možic A, A 2,..., A je možic vseh urejeih -teric (, 2,..., ), i A i, i =, 2,..., A A... A = {(, 2,..., ) A 2 A 2... A } 2 m(a A 2... A r )= 2... r. 5

6 Primer.24 Deimo, d podjetje proizvj 0 rzličih izdelkov I, I 2,..., I Številske možice Nrv števil Omeili smo že, d dobimo pri štetju rv števil ozirom možico rvih števil N: N = {, 2, 3,...} Cel števil Rzširimo pojem števil jprej tko, d možici N dodmo število 0 ter egtiv števil -l, -2, Nrv števil, število 0 i egtiv cel števil tvorijo možico celih števil Z: Z = {..., -2, -, 0,, 2,...} Ulomki li rciol števil Ozčimo možico rciolih števil s Q, torej: p Q = q p Z q N, Geometrič upodobitev rciolih števil. Rciol števil moremo pozoriti s točkmi premice - številske premice Izrek.0 Med dvem poljubim rzličim ulomkom se hj eskočo mogo ulomkov. ( Ulomki so povsod gosti številski premici.) Rel števil To p pomei, d 2 i rciolo število; prvimo, d je irciolo. Ozčimo možico irciolih števil s Q'.Uij možic Q i Q' je možic relih števil R, torej R = { Q Q' } = Q Q' 6

7 Vskemu relemu številu pripd številski premici tko določe točk i vski točki številske premice pripd tko določeo relo število. Možico relih števil tko poistovetimo (idetificirmo) z možico točk številski premici-reli osi Itervli Nj bost i b reli števili, < b. Z jim defiirmo i ozčimo posebe podmožice R, ki jim prvimo itervli. Defiicij.24 [ b, ] = { R b} - zprti itervl (,b) = { R < < b} - odprti itervl [ b, ) = { R < b}- polodprti itervl Defiicij.25 Odprti itervl (-ε, +ε) imeujemo ε-okolic števil (točke). (Sl. 2.4) Absolut vredost releg števil Defiicij.23 Absoluto vredost releg števil, ki jo ozčujemo z, defiirmo z, če je 0 =, če je< 0 Izrek.3. = Nj bost i b poljubi reli števili. Tedj je: 2. b = b 7

8 Vs števil R, ki pripdjo ε-okolici števil, ustrezjo eečbi <ε Kompleks števil V možici relih števil e obstj obeo število, ktereg kvdrt je egtive. To pomei, d ečb 2 =, R, < 0 (.36) v možici R i rešljiv. D bi bil rešljiv tudi tk ečb, uvedemo imgir števil. Defiicij.26 Nj bo i "število" z lstostjo i 2 = - i imeujemo imgir eot, produkt bi, kjer je b R, p imgiro število. Uvedemo kompleks števil. (čisto) Defiicij.27 Če relo število povežemo z imgirim številom bi z zkom +, dobimo komplekso število (ozk z) z = +bi, R, b R = Re z je rel kompoet, b = Im z p imgir kompoet števil z. Možico kompleksih števil ozčimo s C. Defiicij.29 Števili z = +bi, z = -bi, 8

9 ki se rzlikujet smo v predzku imgire kompoete, imeujemo pr kojugiro kompleksih števil. V možici kompleksih števil defiirmo rčuske opercije z sledjimi obrzci: Defiicij.30 vsot: z +z 2 = (+bi)+(c+di) = (+c)+(b+d)i rzlik: z -z 2 = (+bi)-(c+di) = (-b)+(b-d)i produkt: z z 2 = (+bi) (c+bi) = (c-bd)+(bc+d)i kvociet: z z2 bi bi c di c bd bc d = + ( + )( ) + = = + c bi c di c di c d c d i, z ( + )( ) + + Opzimo, d s kompleksimi števili rčumo tko kot z dvočleiki. Pri tem upoštevmo i 2 = -. Primer.37 z = -2+3i, z 2 = 2+i Geometrič pozoritev kompleksih števil. Geometričo prikžemo kompleks števil s točkmi rvie - komplekse rvie. N številsko premico, kteri smo pozorili rel števil, tej premici bomo rekli rel os (Re), potegemo skozi točko O prvokoto premico - imgiro os (Im) i jej vzgor od O odmerimo eoto. Doblje točk pripd številu i. Obe premici ter eoti i i določjo v rvii koorditi sistem (Sl..5). Defiicij.3 Absoluto vredost z komplekseg števil z defiirmo z 2 2 z = + bi =+ zz =+ + b Geometričo pomei z rzdljo točke z v kompleksi rvii od koorditeg zčetk. Očito je z = z (Sl..5). 9

10 Primer.38 Prikžimo v kompleksi rvii števil z = 2+3i, z 2 = - 2i, z 3 = -3-2i, z 4 = i Kombitorik Številu elemetov v kompleksiji prvimo red kompleksije. Defiirmo permutcije, vricije i kombicije Osovi izrek kombitorike Nj bo dih r kočih eprzih možic. Prv j im, drug 2,..., r-t p r elemetov. Predpostvimo, d so vsi elemeti med seboj rzliči. S temi elemeti tvorimo urejee skupie li rzporedbe po r elemetov tko, d prvo mesto v skupii zsede e elemet iz prve možice, drugo mesto e elemet iz druge možice..., r-to mesto p e elemet iz r-te možice. Osovi izrek kombitorike je: Izrek.7 je eko produktu 2 r. Število vseh med seboj rzličih skupi, ki jih tvorimo opisi či, Osovi izrek kombitorike lhko pozorimo s t. i. vejim digrmom li drevesom odločj. Zmislimo si, d je eki postopek odločj sestvlje iz r med seboj eodvisih delih odločitev li fz. V prvi fzi j bo možih, v drugi 2,..., v r-ti fzi p r delih odločitev. Rezultt odločj - sestvlje odločitev - je ureje r-teric delih odločitev, to p je eki elemet krtezičeg produkt A A 2... A r, kjer smo z A i ozčili možico delih odločitev v i-ti fzi odločj (i=, 2,...,r). Število elemetov zpiseg krtezičeg produkt je m(a A 2... A r )= 2... r. Primer.52 N koliko rzličih čiov se lhko oblečemo, če immo rzpolgo 3 srjce, 3 hlče i 2 sukjič? 0

11 Permutcije brez povljj Defiicij.43 Permutcij rzličih elemetov brez povljj je tkš rzporedb elemetov mest, d vskemu mestu pripd tko e elemet. Izrek.8 Število permutcij rzličih elemetov brez povljj - ozčimo g s P - je eko produktu vseh rvih števil od do, torej P = (-)... 2 Defiicij.44 Z produkt rvih števil od do uvedemo simbol!, ki g imeujemo " fktoriel" li " fkultet". Torej! = (-)... 2 Dodto defiirmo še 0! =,! = Vricije brez povljj Defiicij.47 Če z rzličimi elemeti tvorimo kompleksije z r elemeti (r ) tko, d elemetov e povljmo i pri tem pojmujemo z rzliče kompleksije tudi tiste, ki so sicer tvorjee z istimi elemeti, vedr so le-ti rzličo rzporejei, prvimo tem kompleksijm vricije brez povljj elemetov red r. Primer.57 Vse vricije 2. red elemetov možice A = {,b,c} brez povljj Izrek.20 Število vricij brez povljj elemetov red r - to število ozčimo z V r - je V r = (-)... (-r+) =! ( r)!

12 Primer.58 Koliko trimestih števil lhko tvorimo s cifrmi 0,, 2, 3, 4 tko, d jih e povljmo? Vricije s povljjem Defiicij.48 Vricije s povljjem elemetov red r so kompleksije, ki jih tvorimo z rzličimi elemeti tko, d vsko od r mest (r ) zsedemo z eim od elemetov i pri tem dopuščmo povljje elemetov. = > < Izrek.2 Število vricij s povljjem rzličih elemetov red r je Vr( p)= r Kombicije brez povljj Defiicij.49 Če z rzličimi elemeti tvorimo kompleksije po r elemetov (r ) tko, d elemetov e povljmo i pri tem vrsti red elemetov v kompleksiji i pomembe, temveč le, kteri elemeti so v jej, prvimo tkšim kompleksijm kombicije elemetov red r brez povljj. Iz defiicije vidimo,, d lhko kombicijo elemetov red r pojmujemo kot podmožico z r elemeti, ki jo dobimo iz možice z elemeti. Elemeti podmožice se ujemjo z elemeti v kombiciji. Primer.60 Vse kombicije 2. red brez povljj, ki jih tvorimo z elemeti možice A = {,b,c,d} Glede števil kombicij brez povljj elemetov red r - to število ozčimo s K r - velj izrek: Izrek.22 K r = V r! r = r!! ( r) =! ( )...( r + ) 2... r 2

13 Defiicij.50 Uvedemo simbol (beri "biomsko d r") = r r!! ( r) =! (... ) ( r + ) 2... r, ki g imeujemo biomski simbol li biomski koeficiet. Število kombicij lhko ozčimo: K r = r Dodto defiirmo še 0 0 =, 0 =, N Primer.6 Med 50 proizvodi je 40 dobrih i 0 defektih. N koliko čiov lhko tvorimo vzorec s 5 proizvodi, v kterem bodo 3 dobri i 2 defekt? Biomski obrzec Izrek.24 Poteco dvočleik (biom) +b pri ekspoetu N izrčumo po obrzcu - biomskem obrzcu ( b) b b + = b b = = r r= 0 r r b 3

14 3. ZAPOREDJA IN VRSTE 3. Splošo o zporedju Defiicij 3. D j bo fukcij f: N R. N opisi či so tko določe števil:, 2, 3,...,,..., z kter prvimo, d tvorijo zporedje; je prvi čle, 2 je drugi,..., p je -ti li sploši čle zporedj. Števil, 2,...,,... so ideksi čleov. Primer 3. Zporedje, ki g dobimo pri preslikvi, N Če je M N ek eskoč podmožic možice N, tvorijo člei m, m M podzporedje li delo zporedje zporedj { }. V primeru, ko je M koč možic, je to podzporedje kočo. Primer 3.2 Zporedje { } s splošim čleom = + Zporedje je ugodo pozoriti s točkmi številske premice li p v prvokotem koorditem sistemu. Prikžimo člee, 2, 3, 4. Sl Omejeost zporedij Defiicij 3.2 Zporedje { } je vzdol omejeo, če obstj tkšo relo število A, d obe čle zporedj i mjši od teg števil. A imeujemo spodj mej zporedj. Njvečjo med spodjimi mejmi - ozčimo jo m li if{ } (beri "ifimum") - imeujemo tč spodj mej zporedj { }. Defiicij 3.3 Zporedje { } je vzgor omejeo, če obstj tkšo relo število B, d obe čle zporedj i večji od teg števil. B imeujemo zgorj mej zporedj. Njmjšo med gorjimi mejmi - ozčimo jo z M li sup{ } (beri "supremum") - imeujemo tč zgorj mej zporedj { }. 4

15 Defiicij 3.4 Zporedje, ki je omejeo obe stri, imeujemo omejeo zporedje. Vsi člei omejeeg zporedj se hjjo ekem kočem itervlu. Njmjši od itervlov, ki vsebuje vse člee omejeeg zporedj, je očito itervl [m,m], kjer st m i M tči meji zporedj. Primer 3.4 Poiščimo tči meji zporedj s splošim čleom = Mooto zporedj Defiicij 3.5 Zporedje { } je mootoo rstoče, če velj +, N ozirom je mootoo pdjoče, če velj +, N Če st v eečbh mesto zkov, zk z strogo eekost >, <, je zporedje strogo mootoo rstoče ozirom strogo mootoo pdjoče. Primer 3.5 Zporedje { }, = je strogo mootoo rstoče Pojem steklišč Defiicij 3.6 Nj bo { } poljubo zporedje. Število imeujemo steklišče zporedj { }, če poljub ε-okolic točke, tj. itervl ( - ε, + ε), vsebuje eskočo mogo čleov zporedj (izve te okolice je lhko kočo li eskočo mogo čleov zporedj). Primer 3.7 Poiščimo steklišč zporedj { }, ki je podo s predpisom = (-) + 5

16 3.2 Koverget zporedj 3.2. Limit i kovergec Defiicij 3.7 Če im omejeo zporedje { } eo smo steklišče, prvimo, d je zporedje kovergeto, steklišču p limit zporedj. N krtko to zpišemo z: = lim li, ko Prvimo tudi, d zporedje { } kovergir k številu. Izrek 3.2 Število je limit zporedj { } tko tedj, če z vsk ε > 0 jdemo tkšo število 0 N (to število je v splošem odviso od ε), d je eečb < ε izpolje z vsk ideks > 0. Izrek 3.3 ) Mootoo rstoče i omejeo zporedje { } je kovergeto i lim = M, M - tč zgorj mej. b) Mootoo pdjoče i omejeo zporedje { } je kovergeto i = m, m - tč spodj mej. lim Izreki o kovergetih zporedjih Izrek 3.5 Nj bo { } kovergeto zporedje z limito. Velj:. Če zporedju dodmo li odvzmemo kočo mogo čleov, im ovo zporedje spet limito. 2. Vsko eskočo podzporedje je kovergeto i im limito. 3. lim k = k lim = k b 4. lim = = ( 0, 0) lim zrek 3.6 Nj bost { } i {b } kovergeti zporedji: lim =, lim b = b S seštevjem, odštevjem, možejem i deljejem istoležih čleov dobimo ov zporedj, z kter velj: 5. ( ) lim + b = lim + lim b = + b 6

17 6. lim ( b) = lim lim b = b 7. li ( ) m b = lim lim b = b lim 8. li m = b lim b Primer 3.2 Zporedje s splošim čleom = =,, b b 0 b Poseb zporedj 3.3. Aritmetičo zporedje Defiicij 3.9 Zporedje { } imeujemo ritmetičo, če je rzlik (diferec) dveh zporedih čleov stl: 2 - = 3-2 =... = + - =... Če ozčimo difereco z d, je sploši čle ritmetičeg zporedj = + (-)d, (3.6) Primer 3.5 Izrčujmo vsoto prvih rvih števil. (3.8) Geometričo zporedje Defiicij 3.0 Zporedje { } imeujemo geometričo, če je količik (kvociet) dveh zporedih čleov stle: + = q z N Če ozčimo kvociet s q, lhko sploši čle geometričeg zporedj izrzimo s prvim čleom i kvocietom: = q - (3.9) Glede kovergece geometričeg zporedj velj: 7

18 Izrek 3.8 Geometričo zporedje je kovergeto z vse vredosti q (-,], tj. - < q ; z vse druge vredosti q je divergeto. Velj: če q < lim q = 0 oz. lim q 0 = Poiščimo vsoto s prvih čleov geometričeg zporedj Z q dobimo: q s =, (3.2) q Število e V mtemtiki i tudi v drugih vedh im pomembo vlogo posebo število, ki g ozčimo s črko e. To število je defiiro z limito zporedj { }, ki im sploši čle = + Velj mreč sledji izrek: Izrek 3.9 Zporedje { } ) omejeo b) mootoo rstoče, = + je Obe lstosti zporedj { } zgotvljt, d je zporedje kovergeto. Njegovo limito ozčimo z e. Število e je irciolo; približek s 5 decimlkmi je: e 2,7828 Kot smo že omeili, je e osov rvih logritmov. 3.4 Vrste 3.4. Kovergec vrste Defiicij 3. Če povežemo člee zporedj { } z zkom +, dobimo vrsto : = = imeujemo sploši čle vrste. 8

19 Primer 3.7 Vzemimo vrsto: , (3.3) 2 2 ki jo dobimo iz geometričeg zporedj,,,,... Ker je v vrsti eskočo mogo čleov, s seštevjem e moremo ugotoviti, kolikš je jihov vsot, tj. vsot vrste. Zto mormo defiirti, kj je vsot vrste. Vrsti = priredimo zporedje delih vsot: s = s 2 = s = i postvimo defiicijo. Defiicij 3.2 Če je zporedje {s } kovergeto i je jegov limit s, prvimo, d je vrst koverget, število s p imeujemo vsot vrste. Če je {s } divergeto zporedje, prvimo, d je tudi vrst diverget Geometrič vrst Defiicij 3.4 Vrst + q q = q =, (3.7) ki im z člee geometričo zporedje, se imeuje geometrič vrst. Število q je kvociet geometriče vrste. Glede kovergece velj izrek: Izrek 3.3 Geometrič vrst (3.7) je koverget, če je q <. Z vse druge q je diverget. Zpišimo še ekrt: 2 s=( + q+ q +... q +...) =, q q < (3.8) 9

20 ZAPOREDJA IN OBRESTOVANJE 5. Obresto obrestovje - splošo Nj bo G 0 zčet glvic, ki jo vložimo v bko zčetku določeeg let. Izrčujmo vredost te vloge skupj z obrestmi po preteku let od dtum vloge. Sl.5. Kot že vemo, je vredost po preteku eeg let ek G i velj: p G = G 0 + G 0 00 = G 0 p + 00 Vredost po preteku dveh let (to je tko ob kocu drugeg let) je G 2, kjer je: G 2 = p p G + = G Zrdi pregledosti bomo fktor + 00 p r = + 00 p posebej ozčili s simbolom r : (5.3) koč vredost glvice G 0 po preteku let ek G, kjer je : G = G 0 r =, 2, 3... (5.5) Ker je zporedje geometričo i r >, vidimo, d glvic pri večletem obrestovju ršč ekspoeto. Rst je tem hitrejš čim večji je r (i s tem p). Primer 5. Podjetje je jelo posojilo v višii DEM, ki jih mor vriti v ekrtem zesku čez tko pet let. Let obrest mer je 2 %. Izrčujmo, koliko bo treb vriti. Do sedj smo s formulo (5.5) izrčuli kočo vredost G, če smo pozli zčeto vredost G 0. Nlogo seved lhko tudi obremo: kolikš je zčet vredost glvice G 0, če pozmo jeo kočo vredost. Ečbo (5.5) delimo z r i dobimo: G 0 = G r (5.9) Primer 5.3 Dolžik, ki bi morl čez 5 let vriti DEM, je priprvlje porvti dolg des, če mu dolg diskotirmo (rzobrestimo) s 6 % leto obresto mero. Poglejmo, kolikš bi bil dšj vredost dolg. Dve omilo rzliči glvici, ki dospet ozirom vlutirt ob rzličih termiih, je smiselo med sbo primerjti le, če upoštevmo tudi obrestovje. Zrdi teg govorimo, d st dve glvici ekovredi, kdr zju velj: 20

21 čelo ekvivlece glvic: dve glvici st ekvivleti - ekovredi, kdr imt po reducirju pri isti obresti meri v istem termiu isto vredost. Primer 5.6 Vzemimo, d glvic G = DEM dospe ob zčetku 2. let, glvic G ' = DEM p dospe ob kocu 6. let. Dokžimo, d st glvici pri 2 % leti obresti meri (i po predpostvki pri leti kpitlizciji) ekvivleti. Nvedeo prvilo m omogoč, d lhko termi, ktereg reducirmo glvice, kdr jih med sbo primerjmo, poljubo izberemo. Prvilo je še posebej pomembo, kdr immo več glvic, ki dospevjo ob rzličih termiih. Primer 5.7 Podjetje je jelo posojilo v višii DEM ob zčetku let 994. Koec let 995 je vrilo DEM, vedr je ob zčetku let 997 jelo še dodtih DEM posojil. Dolg bo porvlo ob kocu 999 i 2000 z dvem ekim obrokom. Izrčujmo višio posmezeg obrok, če je let obrest mer 8 % i je kpitlizcij let. Zčet vredost periodičih zeskov Posojilo v višii D 0, jeto ob zčetku let, bomo vrili z ekih periodičih zeskov ob kocu vskeg let (postumerdo), kot kže slik 5.5 D 0 = r + r r (5.4) D 0 = r ( ) r ( r ) (5.43) Ečb (5.42) predstvlj prvzprv vredost vseh zeskov, reducirih treutek E. Ečb (5.43) p dje t. i. zčeto vredost D 0 periodičih postumerdih zeskov. Če iz zdje ečbe izrzimo, dobimo višio posmezeg obrok - t. i. uiteto (postumerdo). = D 0 r r ( r ) (5.44) Primer 5.23 Posojilo v višii DEM, jeto ob zčetku let 995, je treb odplčti v 5 ekih obrokih ob kocu let 997, 998, 999, 2000 i 200. Izrčujmo višio obrok, če je kpitlizcij let z leto obresto mero 8 %. Nrišimo skico: 2

22 5.5 Koformo obrestovje Poiščimo četrtleto koformo obresto mero. Ozčili jo bomo p k,q (q - qurtus). Pri štirikrti kpitlizciji bo dl efektivo iste obresti kot omil let obrest mer p %. To pomei, d mor veljti ečb: 4 p k,q p G 0 + = G Če ozčimo ustrezi koformi četrtleti obrestovli fktor z r k,q, velj: (5.24) p r k,q = k,q + i r 4 k,q = r i r 00 4 k,q = r (5.26) Primer 5.7 Če je let obrest mer 2 %, veljjo ečbe: 4 r k, =,2 q rk,q = 4 2, =, p k,q = 2,87 Koform četrtlet obrest mer je 2,87 %, če zokrožimo dve decimlki. Pri -krtem pripisu obresti iste lete obresti, kkor bi jih dl let obrest mer p %. Tko izpodleto obresto mero bomo imeovli koform (četrtlet, meseč, dev...) obrest mer. Ozčili jo bomo s simbolom: p k, % Ustrezi obrestovli fktor: r k, = + p k, 00 bomo imeovli koformi obrestovli fktor. (5.28) Torej veljt formuli: r k, = Primer 5.8 r i (5.30) p k, = 00 ( r ) (5.3) Let obrest mer zš 8 %. Izrčujmo koformo mesečo i devo obresto mero. Ozčili ju bomo p k,m i p k,d. Ker si lžje zpomimo pricip kkor p formulo, zpišimo jprej ečbo z kočo vredost glvice. V primeru meseče kpitlizcije velj ečb: Primer 5.25 Posojilo v višii D 0 = DEM mormo vriti v 36 ekih (postumerdih) mesečih obrokih. Let obrest mer je 4 %, uporblj se koformo obrestovje z mesečo kpitlizcijo. Poiščimo višio posmezeg obrok. 22

23 MATEMATIKA 2.DEL FUNKCIJE ENE SPREMENLJIVKE. Osovi pojmi Fukcij f : X Y je preslikv li upodobitev, ki možico X preslik v možico Y. Torej pripd vskemu elemetu X pri preslikvi f e sm elemet y Y: X, y Y Elemetu y prvimo slik elemet pri preslikvi f. To zpišemo z: y = f() (.) Ukvrjli se bomo le s fukcijmi, pri kterih st možici X, Y podmožici možice relih števil R: X R, Y R. Možici X prvimo defiicijsko območje, možici vredosti, ki jih zvzme y, p zlog vredosti fukcije f. Primer.. Fukcij f:x R j bo defiir itervlu X = [0,3] s predpisom f() = 2 - Poiščimo zlogo jeih vredosti. Primer.2 Z fukcijo y = f() = Ko zvzme vse vredosti iz X, dobimo v rvii y možico točk G f, ki ji prvimo grf fukcije f. Možic G f je torej možic prov (,y) G f = {(,y) y = f(), X} i je podmožic krtezičeg produkt R R, t. j. rvie y. Grf fukcij iz primerov. i.2 st ris sl..2, b. Pojem posrede (idirekte) fukcije X, Y j bost dve podmožici možice relih števil R i 23

24 f: X Y, g: Y R ( ) To pomei, d je vskemu številu X pridružeo število z = gf ( ) gf) ( ( ) = h(), torej je s predpisom opredelje fukcij iz X v R. Tej fukciji prvimo posred (idirekt) li sestvlje fukcij. Pri fukciji h() igr spremeljivk y vlogo posredujoče spremeljivke. Primer.5 Vzemimo fukciji f() = 2 -, g() = Obrt li iverz fukcij Deimo, d je fukcij f:x Y bijektiv (v [0], točk.2.3.2). Z vsk y Y obstj torej e sm X, ki ustrez ečbi y = f(). y = f - (), Y (.2) Z ečbo (.2) je defiir obrt li iverz fukcij fukcije f. Fukciji f:x Y i f - : Y X st e drugi iverzi. Primer.6 Z fukcijo y = f() = 2 -, R Grf G f i G f dveh med seboj obrtih fukcij st simetrič glede premico y =..2 Sploše lstosti fukcij.2. Mootoost fukcij Defiicij. Fukcij f: X R je možici X rščjoč, če velj z vsk pr, 2 X, < 2 f( ) f( 2 ) (.3) i je pdjoč, če velj: < 2 f( ) f( 2 ) (.4) 24

25 Primer.7 Fukcij f() = 2 je itervlu (-, 0] strogo pdjoč, itervlu [0, ) p strogo rščjoč. (sl..7).2.2 Omejeost fukcij Defiicij.2 Fukcij f: X R je omeje vzdol, če obstj število A R tko, d velj: X f() A i je omeje vzgor, če obstj število B R z lstostjo X f() B Fukcij, ki je omeje obe stri, se imeuje omeje fukcij. 2 Primer.8 Fukcij f() = Sode i lihe fukcije Defiicij.3 Nj bo fukcij f: X R defiir itervlu X = (-, ). Fukcij f je sod (pr) če velj: f(-) = f(), (-, ) ozirom je lih (epr), če je: f(-) = -f(), (-, ) Grf sode fukcije je simetriče glede os y, grf lihe fukcije p je simetriče glede koordito izhodišče. (sl..8) Primer.9 Fukcij f() = mreč f(-) = f() i g(-) = -g(), R. 2 - je sod, fukcij g() = 3 p je lih. Velj.2.4 Koveksost i kokvost fukcije 25

26 Defiicij.4 Fukcij f: [, b] R, ki je defiir itervlu [, b], je tem itervlu koveks, če velj z vsk pr, 2 [, b] i λ [0, ]: f(λ + (-λ) 2 ) λf( ) + (-λ)f( 2 ) (.5) ozirom je kokv, če velj: f(λ + (-λ) 2 ) λf( ) + (-λ)f( 2 ) (.6) Pokžimo, kko se strog koveksost ozirom kokvost održ grfu fukcije (sl..9).3 Elemetre fukcije.3. Cele rciole fukcije li poliomi P () = Število, ki določ stopjo poliom, je rvo število li 0. Koeficietu prvimo vodili koeficiet. Poliomi so defiiri vsej možici relih števil R. Število =, pri kterem je P ( ) = 0, je ičl poliom P (). Ko, 0; zto z veliko vredost velj P () Primer.0 Z poliom 3. stopje P 3 () = Primer. Nrišimo še kvlittivi grf poliom P 4 (), ki je zpis v rstvljei obliki: P 4 () = 2 (+)(-)(-2) Ulomljee rciole fukcije f() = P m( ) m = 0, P ( ) b b+ b m 0 Ničlm imeovlc prvimo poli ulomljee rciole fukcije. Ulomlje rciol fukcij f() je torej defiir vsej možici relih števil rze v polih. Njee ičle p dobimo z rešitvijo ečbe 26

27 P m () = m m = 0 Primer.2 Z fukcijo f() = Primer.3 Obrvvjmo še fukcijo: f() = Obrvv primer kžet, d lhko im ulomlje rciol fukcij vpiče simptote (v polih), vodorvo li poševo simptoto. Sploš prvil. Pri m <, tj. stopj poliom v števcu je ižj od stopje poliom v imeovlcu, immo f() 0, ko kr pomei, d je simptot fukcije os. 2. Pri m = (stopji poliomov se ujemt) velj f() m b, ko Fukcij im vodorvo simptoto z ečbo y = m b 3. Če je m = + (stopj poliom v števcu je tko z večj od stopje poliom v imeovlcu), lhko fukcijo f() izrzimo v obliki f() = k + + P r ( ), r < P ( ) Fukcij im poševo simptoto z ečbo y = k Irciole fukcije Nj bo u = u() ek rciol fukcij (cel li ulomlje). S korejejem jeih vredosti pridemo do irciole fukcije. Če je kore kvdrti, dobimo 27

28 y = f() = 2 u() Fukcij f() je posred fukcij, u je posredujoč spremeljivk. Oglejmo si le dv primer. Primer.5 f() = 2 + 2, u() = Ekspoete fukcije y = f() = kjer je osov eko pozitivo, od rzličo relo število. Primer.7 Oglejmo si ekspoeti fukciji pri = 2 i = 2, torej f () = 2, f 2 () = 2 2 = Grf obeh fukcij se hjt sl..7. Omeimo še dv poseb primer ekspoetih fukcij: y = e = ep y 2 = e - = ep(-) (.0) (e = lim + 2,7828) Prv fukcij je strogo rščjoč, drug p strogo pdjoč. Grf obeh st sl..7 b. Npr.: ) pri zvezem obrestovju (5. poglvje učbeik [0]) smo imeli fukcijo oblike G () = G 0 e p 00 b) v sttistiki se kot regresijsk krivulj li tred pogosto pojvlj krivulj z ečbo y = e b (.) kjer st i b prmetr, ki ju je treb določiti osovi podtkov. Obrvvjmo še 2 primer: Primer.8 Fukcij f() = + e 28

29 Sl..8 ki predstvlj posebi primer zelo ze logističe fukcije.3.5 Logritemske fukcije Ekspoet fukcij y = zvzme smo pozitive vredosti i je pri > strogo rščjoč, pri 0 < < p strogo pdjoč. Z vsk y > 0 obstj torej e sm, ki je logritem števil y pri osovi = log y Če med seboj zmejmo ozki spremeljivk, dobimo fukcijo y = log (.3) ki ji prvimo logritemsk fukcij z osovo. Torej je logritemsk fukcij obrt (iverz) ekspoeti. Grf obeh fukcij st glede premico y = zto simetrič (sl..9,b)..3.6 Trigoometriče (kote) fukcije Običjo jih defiirmo s pomočjo krožice polmer. Sl..22 Defiirli smo štiri fukcije: y = si, y = cos, y = tg, y = ctg Ekspoete, logritemske, trigoometriče i ciklometriče fukcije spdjo med trscedete fukcije..4 Limit fukcije i zvezost Primer.22 Fukcij f() = pri = 2 i defiir. Če bi hoteli izrčuti 2 f(2), bi dobili f(2) = 0, kr je edoloče izrz. Ali im fukcij limito, ko 2? Z 0 deljejem ( ) : ( - 2) dobimo: f() = + 5, 2 zto je lim f () = =

30 Podobo defiirmo tudi limito fukcije z A = lim f ( ) li f ( ) A, ko Primer.24 Z fukcijo f () = + e (primer.8) immo limf () =, lim f () = 0, Defiicij zvezosti fukcije. Fukcij f() je zvez v točki 0 (pri = 0 ) defiicijskeg območj, če im v tej točki limito i se t ujem s fukcijsko vredostjo: lim f () = f ( 0 ) 0 Z fukcijo f(), ki je zvez v vski točki defiicijskeg območj, prvimo, d je zvez fukcij. Geometričo pomei to, d je grf i ikjer pretrg. Primer.26 Fukcij f() = 2 je zvez vsej možici R, fukcij g() = 2, 0, g(0) = -, p je zvez možici R\{0}..5 Vžejše ekoomske fukcije V tem rzdelku bomo izli le ektere odvisosti med ekoomskimi spremeljivkmi, i sicer odvisosti, ki jih zpišemo s fukcijmi ee spremeljivke. Tke fukcije imeujemo ekoomske fukcije..5. Fukcij povprševj Povprševje po ekem blgu li storitvi v določeem čsovem itervlu je odviso od številih dejvikov, ki vldjo tržišču. Če se omejimo le odvisost povprševj od cee blg li storitve, dobimo fukcijo, ki ji prvimo fukcij povprševj. = (p) (.7) 30

31 S p je ozče ce, z p povprševje. V ormlih tržih rzmerh je fukcij povprševj strogo pdjoč. V učbeikih ekoomike je odvisost (.7) običjo (po dogovoru) prikz v koorditem sistemu tko, d je vodorvi osi prikzo povprševje, vpiči osi p ce; p = p(). Predost tkšeg prikzovj je v tem, d ektere druge fukcije (pr. fukcij prihodk, fukcij dobičk), v kterih stop povprševje, prikžemo tko, d je povprševje vodorvi osi, vpiči p odvis spremeljivk. Primer.28 Oglejmo si dve fukciji povprševj po sldkorju iz []. = 75 5 p p = = 20 p p = Fukcij poudbe Količi ekeg blg, ozčimo jo z ), ki jo proizvjlci v določeem čsovem obdobju poudijo tržišču, je odvis predvsem od cee (p) teg blg i seved tudi od drugih vplivov. Če se omejimo le odvisost od cee, dobimo fukcijo ) ) = (p) (.8) ki ji prvimo fukcij poudbe z izbro blgo. V ormlih tržih rzmerh je t fukcij strogo rščjoč. Podobo kot pri fukciji povprševj lhko odvisost med ) i p prikžemo v obliki p = p ( ) ), ki je tudi strogo rščjoč fukcij. Med logmi v učbeiku [] jdemo fukcijo poudbe, ki jo obrvv tle primer. ) Primer.29 = 00 p Tržo rvovesje. Rvotežo ceo (p e ) dobimo z rešitvijo ečbe (p) = ˆ (p) S p e p je določe tudi rvotež količi e. 3

32 Primer.30 Nj bost obe fukciji lieri: = + bp, b < 0 ) = c + dp, d > Fukcij prihodkov Prihodki (P) od prodje določeeg blg (li storitve) v izbrem čsovem itervlu so eki zmožku med prodo količio (povprševjem) i ceo P = p (.9) Če immo do fukcijo povprševj = (p), lhko prihodke izrzimo v odvisosti od cee: P = (p) p = P(p) (.20) Če p izrzimo fukcijo povprševj v obliki p = p(), dobimo prihodke izržee v odvisosti od količie (povprševj): P = p() = P() (.2) Primer.3 Poiščimo fukcijo prihodkov v obliki (.2), če je fukcij povprševj = 75 5p. V koorditem sistemu je pozorje s prbolo (sl..32)..5.4 Fukcij stroškov S to fukcijo izržmo odvisost med celotimi stroški (totl cost) S v odvisosti od proizvedee količie. S = S() (.22) Celoti stroški so vsot fiksih stroškov S 0 i vribilih stroškov S v S() = S 0 + S v () (.23) Fukcije, ki so primere z prikz celotih stroškov S() imjo sledje oblike ([]):. S() = + b 2. S() = 2 + b + c 32

33 3. S() = + b + c 4. S() = 3 b 2 + c + d + b 2 + b 4. S() = + d 6. S() = + d + c + c 7. S() = e b 8. S() = e b+c + d kjer so, b, c, d pozitive kostte. Če fukcijo celotih stroškov S() delimo s proizvedeo količio, dobimo fukcijo povprečih stroškov li fukcijo stroškov eoto proizvodje S() S () = 2 DIFERENCIALNI RAČUN 2. Defiicij odvod fukcije Nj bo fukcij y = f(), ki je defiir itervlu (,b), zvez v točki 0 (,b). Kvociet ( + ) ( ) Δy f h f = Δ h 0 0 (2.) prvimo mu difereči kvociet, geometričo pomei smeri koeficiet premice - sekte, ki je določe s točkm T 0 ( o, f( 0 )), T ( 0 +h, f( 0 +h)) (sl. 2.). Ali im t kvociet limito, ko h 0? Defiicij. Če obstj limit diferečeg kvociet (2.), ko h 0, prvimo tej limiti odvod fukcije y = f() pri = 0 ; z fukcijo f() p prvimo, d je pri = 0 odvedljiv. Odvod fukcije v 0 ozčimo z f '( 0 ) li y '( 0 ), torej: f '( 0 ) = ( + ) ( ) f h f lim h 0 h 0 0 (2.2) 33

34 tget grf fukcije f() pri = 0. Nje smeri koeficiet tg α (α - kloski kot tgete) je zto ek limiti (2.2). Zpišimo še ekrt: tgα = f ' ( ) 0 f = lim h 0 ( + h) f ( ) 0 Ečb tgete, ki je določe s točko T 0 i smerim koeficietom tg α, je torej y - y 0 = f '( 0 )(- 0 ) h 0 Primer 2. Izrčujmo odvod fukcije f() = 2-2 Fukciji, ki je odvedljiv v vski točki defiicijskeg območj, prvimo odvedljiv fukcij. Tkš je pr. fukcij iz primer 2.. Pri defiiciji odvod pri = 0 je bistveo, d je fukcij v tej točki zvez. 2.2 Prvil z rčuje odvodov ) Odvod vsote i rzlike. Nj bost fukciji u(), v() defiiri istem itervlu. Odvod vsote fukcij f() = u() + v() izrčumo po defiiciji: (u + v) ' = u ' + v ' (2.3) b) Odvod produkt f() = u() v() dobimo, če izrčumo limito (uv) ' = u ' v + uv ' (2.5) c) Odvod kvociet f() = u ( ) v ( ) (pri v() 0) u ' u' v uv' = v 2 v (2.6) d) Odvod posrede (idirekte) fukcije. F() = f[u()] Velj F '() = f '(u) u ' () (2.7) 34

35 2.3 Odvodi elemetrih fukcij ) Odvod kostte. Z fukcijo f() = c (c - kostt) izrčumo: f ( + h) f () c c f '() = lim = lim = 0 h 0 h h 0 h b) Odvod potece f() =, pri kteri je ekspoet rvo število: ( )' = - (2.9) veljve tudi pri poljubem relem ekspoetu. c) Odvod ekspoete fukcije f() = ( )' = e l lim = l t 0 t t (2.0) (e )' = e (2.0) Odvode (2.9) - (2.9) elemetrih fukcij združimo v tbelo f() f '() f() f '() - tg 2 cos l ctg 2 si e e rc si 2 log rc cos - l l rc ctg

36 si cos cos - si rc ctg Primer 2.3 Izrčujmo odvod poliom Npr. P 2 () = Primer 2.4 Odvod fukcije f() = ( 2 - ) e 3 Primer 2.5 Fukcijo y = l Diferecil fukcije Iz defiicije odvod fukcije y = f () v točki Δy f f '() = lim lim ( + h ) f ( ) = Δ 0Δ h 0 h Δy je približo ek produktu f '() h, ki mu prvimo diferecil fukcije i g ozčimo z dy li z df; dy = f '() d (2.2) Geometriči pome diferecil. Z odvodom fukcije y = f() pri = 0 je določe smeri koeficiet tgete grf fukcije skozi točko T 0 ( 0,y 0 ) (sl. 2.4) f '( 0 ) = tg α Diferecil fukcije je ek spremembi ordite tgeti, ko se = 0 spremei z d. f( 0 + d) f( 0 ) + f ' ( 0 ) d (2.23) 36

37 Lev str v (2.23) je vredost fukcije v točki T, des str p je vredost tgeti. Obrzec (2.23) je uporbe pri ocejevju fukcijske vredosti z uporbo diferecil. Oglejmo si primer. Primer 2.6: e h + h 2.5 Višji odvodi i diferecili Z odvjjem fukcije y = f() pridemo do fukcije y ' = f '(). Če je f '() spet odvedljiv, dobimo po jeem odvjju ovo fukcijo, ki ji prvimo drugi odvod li odvod 2. red fukcije y = f(). Po dogovoru ozčimo drugi odvod z y '' li f ''(). Podobo defiirmo tretji odvod ozirom odvod 3. red fukcije y = f(). Ozčimo g z y ''' li f '''(). Primer 2.8 Izrčujmo še odvode poliom P 3 () = Tylorjev formul Pri lizi fukcije y = f() im zelo pomembo vlogo Tylorjev formul f( 0 +h) = f( 0 ) + f '( 0) f''( 0) 2 f ( 0 ) h + h h + R (2.32)! 2!! ( ) T obrzec imeujemo Tylorjev formul. Prvimo tudi, d je fukcij f() rzvit v Tylorjevo vrsto okrog točke 0. Zdjemu čleu R prvimo ostek vrste. Zgodi se lhko, d je ostek vrste mjho število, ki g lhko zemrimo. Tedj immo približo formulo: f( 0 +h) f( 0 ) + f '( 0) f''( 0) 2 f ( 0 ) h + h h (2.33)! 2!! ( ) Fukcijsko vredost f( 0 +h) smo torej izrzili približo z vredostjo poliom T (h). 37

38 Kko izrčuti ostek vrste R? R = ( + ) (*) h +! f + ( ) kjer je * ek točk iz itervl ( 0, 0 +h). (Z fukcijo f() smo privzeli, d je (+)- krt zvezo odvedljiv.) V posebem primeru, ko je 0 = 0 i h =, im formul (2.32) obliko: ( ) f() = f(0) + f '( 0) f ( 0) R (2.35)!! ki je z pod imeom Mcluriov vrst. (C. Mcluri, ). Primer 2. Z ekspoeto fukcijo f() = e 2 e = (2.36)! 2!! Fukcij e je rzvit v vrsto, ki ji prvimo ekspoet vrst. Aliz fukcije 2.7. Mootoost fukcij 3. Nj bo f '() 0 z vsk [,b]. Tedj pri poljubo izbrih točkh, 2 iz [, b] i < 2 velj f( 2 ) f( ) kr pomei, d je fukcij itervlu [, b] rščjoč. 4. Če je f '() 0 z vsk [,b], potem je fukcij f() itervlu [, b] pdjoč; Primer 2.2 Poiščimo itervle mootoosti z fukcijo f() = Koveksost, kokvost, prevoje točke 38

39 . Nj bo f ''() > 0 itervlu [, b] Tedj je fukcij f() tem itervlu strogo koveks. 2. Če je f ''() < 0 [,b], sledi, d je f() itervlu [, b] strogo kokv. 3. Točkm, v kterih preide fukcij f() iz stroge kokvosti v strogo koveksost li iz stroge koveksosti v strogo kokvost, prvimo prevoje točke fukcije. Rečemo tudi, d im v tkih točkh fukcij prevoj (obrčj). Potrebi pogoj (z dvkrt odvedljive fukcije), d je 0 prevoj točk fukcije f(), je f ''( 0 ) = 0 (2.43) Zdosti pogoj, d je 0 prevoj točk fukcije f(), je f ''( 0 ) = 0, f '''( 0 ) 0 Primer 2.3 Z fukcijo f() = iz primer 2.2 je drugi odvod ek f ''() = Ekstremi fukcije Nj bo f() zvez fukcij itervlu [, b]. Nje grf prikzuje sl N osi smo ozčili 6 točk,, 2, 3, 4, b, v kterih im fukcij f() bodisi jvečjo li jmjšo vredost glede okolice teh točk. Prvimo, d doseže fukcij v teh točkh lokli ekstrem, bodisi mksimum li miimum. Defiicij. Zvez fukcij f() doseže pri = 0 lokli mksimum, če obstj okolic točke 0, torej itervl ( 0 -δ, 0 +δ), d z vsk h < δ, h 0, velj eečb f( 0 +h) f( 0 ) < 0 (2.45) Nvedimo jprej potrebi pogoj, d im fukcij f() ekstrem. 39

40 Če im odvedljiv fukcij f() v točki = 0 ekstrem, je odvod v tej točki ek 0 : f '( 0 ) = 0. Točkm, v kterih je odvod fukcije f() ek 0, prvimo stciore točke. Izrčumo jih, če rešimo ečbo f '() = 0 (2.47) Zdoste pogoj z stop ekstrem. V stciori točki 0 im fukcij f() miimum, če je f ''( 0 ) > 0 ; ozirom im mksimum, če je f ''( 0 ) < 0. Če je f ''( 0 ) = 0, o stopu ekstrem odločjo višji odvodi. Primer 2.4 Alizirjmo fukcijo f() = (-)( ) Primer 2.5 Alizirjmo še fukcijo f() = l ( 2 +) 2.8 Elstičosti fukcije Sprememb Δy je bsolut sprememb spremeljivke y, d = Δ je bsolut sprememb spremeljivke. Poleg bsolute pozmo tudi reltivo spremembo. Če se spremeljivk ( 0) spremei z Δ, je je reltiv sprememb ek kvocietu Δ. V literturi se je uveljvil ozk E y, = y' = f '() (2.50) y f () 40

41 Primer 2.7 Z fukcijo f() = 2 Δy y E y, Δ (2.5) Δ Če vzmemo = 0,0 = %, sledi Δy E y y, % (2.52) kr pomei, d je reltiv sprememb (v %) spremeljivke y približo ek elstičosti fukcije v točki. Povejmo še ekrt: Elstičost fukcije v točki pove približo z koliko % se spremei vredost fukcije, če se poveč z %. Če izrčumo elstičost z fukcijo povprševj = (p), ki je pdjoč, dobimo E, p p d = 0. V primeru, ko je E,p >, prvimo, d je povprševje elstičo; če dp < je E,p <, je eelstičo, pri E,p = p je meji elstičosti. Primer 2.8 Z fukcijo povprševj = 0 2p je fukcij elstičosti 2.9 Meje (mrgile) fukcije V ekoomski lizi se srečujemo z mejimi (mrgilimi) količimi. Do jih pridemo, ko iščemo odgovor vpršje: z koliko eot se spremei spremeljivk y = f(), če se eodvis spremeljivk pri izbri vredosti poveč z eoto. Δy dy = f ' () Δ Fukciji f '() prvimo zto mej li mrgil fukcij fukcije f(). 4

42 2.9. Fukcij mejih prihodkov V točki.5 smo fukcijo prihodkov zpisli dv či (ečbi (.9) i (.20): P = (p) p = f(p), P = p() = P() Zvez med mejimi prihodki i elstičostjo povprševj. Ečbo (2.53) lhko zpišemo v obliki: dp dp p = '(p) p + (p) = ' + dp dp = ( E ) (2.55),p + Iz ekosti (2.55) ugotovimo: dp. Če je povprševje eelstičo, tj. - < E,p < 0, je meji prihodek > 0, kr dp pomei, d se s povečevjem cee povečuje tudi prihodek. dp Če je povprševje elstičo, tj. E,p < -, je < 0 ; pri povečevju cee se dp prihodek zmjšuje. Primer 2.9 Nj bo fukcij povprševj = 75-5p. Elstičost fukcije prihodkov. Zpišimo prihodke v odvisosti od cee P = (p) p Elstičost E P,p je ek p P dp dp p p E P,p = = ( ' p + ) = E,p Fukcij mejih stroškov 42

43 Nj bo S = S() = S 0 + S v () fukcij celotih stroškov (ečb (.22)). Odvod S'() je fukcij mejih stroškov. Pri izbrem je vredost odvod S'() približo ek dodtim stroškom ΔS, ki stejo pri proizvodji dodte eote, torej ΔS S'() Pri kteri proizvodji so stroški eoto S() S () = jmjši. Odgovor to vpršje zmo poiskti. Iščemo miimum fukcije S () : S'() S() S'() = 2 S() S'() = = S() (2.56) Primer 2.20 Nj bo fukcij stroškov 2 S() =

44 3 INTEGRALNI RAČUN 3. Nedoločei itegrl Primer 3.0 V podjetju so pri proizvodji določeeg izdelk zbeležili sledjo fukcijo mejih stroškov: 3 2 S'() = f() = (3.0) 0 Kko bi lhko izrčuli fukcijo celotih stroškov S()? Iščemo torej tko»prvoto«fukcijo S(), ktere odvod bo ek fukciji f(), podi v (3.0). Dobimo: 3 2 S() = Ker so fiksi stroški kostti, je jihov odvod ek ič. Zto e vplivjo meje stroške: S'() = S ' () = f() v 3.. Defiicij edoločeeg itegrl Defiicij 3. Fukcij F(), z ktero velj: F'() = f() (3.) se imeuje edoločei itegrl fukcije f(). Dejstvo, d je F() edoločei itegrl fukcije f(), tedj simboličo zpišemo z itegrlskim zkom tkole: F() = f ()d (3.2) 44

45 Primer d = 3 d = l Izrek 3. Če je F() edoločei itegrl fukcije f(), potem je F() + c tudi edoločei itegrl fukcije f() pri poljubi kostti c. Še več, vsk edoločei itegrl fukcije f() im obliko F() + c Tbel osovih itegrlov +. d = + c, + d 2. d = = l + c (3.4) 3. d = + c l 4. e d = e + c 5. cos d = si + c 6. si d = cos + c d 7. = rc si + c 2 d 8. = rc tg + c 2 + d 2 9. l = c 2 + Povejmo še, d iz prve formule dobimo tudi itegrl: d =. 45

46 3..3 Prvil z itegrirje Izrek 3.2 Z di fukciji f(), g() ter kostto k veljt formuli: [ () g() ] d = f ()d f ± ± g() d (3.5) kf ()d = k f () d Primer d = Primer d = Izrek 3.3 Nj obstj edoločei itegrl fukcije f() i j bo = (t) odvedljiv fukcij ove spremeljivke t. Tedj obstj tudi edoločei itegrl fukcije f[(t)] '(t) i velj formul: [ (t) ] f ()d = f '(t) dt (3.6) Zgorje prvilo se imeuje vpeljv ove spremeljivke li tudi substitucij. Primer 3.5 ( 3 2) 4 d = Primer d = ( 2 + 3) 2 d = Izrek 3.4 (Itegrcij po delih li per prtes) Nj bost u() i v() odvedljivi fukciji. Tedj velj formul: u dv = uv v du (3.7) Primer 3.8 (2 )e d = 46

47 3.2 Določei itegrl 3.2. Uvod i geometrijski pome Nj bo fukcij f() itervlu [, b] zvez ter eegtiv. Nje grf pozrj krivulj, ki leži d bsciso osjo v koorditem sistemu. Glej sl. 3.. Nš log bo izrčuti ploščio P ztemjeeg lik. Plošči posmezeg prvokotik je ek produktu f(ξ i )Δ i, i =, 2,,, jihov skup plošči S p je ek vsoti posmezih plošči: S = f ( ξ i= ) Δ i i Defiicij določeeg itegrl S D, ξ f ( = i= ξ ) Δ i i (3.) Imeujemo jo Riemov li itegrlsk vsot fukcije f() z do delitev itervl D [, b] poditervle [ i-, i ] i izbiro točk ξ i. Defiicij 3.2 Če obstj limit I itegrlskih vsot S D,ξ, ko gredo dolžie poditervlov Δ i proti 0 eodviso od delitve itervl i izbire točk ξ i, jo imeujemo določei itegrl fukcije f() itervlu [, b]. Določei itegrl fukcije f() itervlu [, b] ozčimo tkole: I = b f ()d (3.3) Primer 3.0 Z pozoritev defiicije izrčujmo določei itegrl fukcije f() = 2 itervlu [0, ]. Lstosti določeeg itegrl 47

48 ) Nj bo f() zvez itervlu [, b], c p j bo poljub točk iz teg itervl, c b. Tedj velj: b f ()d = f ()d + f ()d (3.2) c b c Ploščio lik d itervlom [, b] dobimo mreč tudi tko, d seštejemo ploščii disjuktih likov d [, c] i [c, b]. Nrišite sliko! Izrek o povpreči vredosti fukcije Fukcijsko vredost y = f ( ξ), defiiro z itegrlom: b y = f ( ξ) = f ()d (3.23) b imeujemo povpreč vredost fukcije f() itervlu [, b]. 3.3 Zvez med določeim i edoločeim itegrlom Izrek 3.8 Nj bo F() poljube edoločei itegrl zveze fukcije f() : F() = f () d +c Tedj velj ečb: b f ()d = F(b) F() (3.25) Pri rčuju določeeg itegrl običjo uporbljmo sledjo simboličo pisvo: b b f ()d = F() = F(b) F() (3.26) Primer 3. 2 d = 0 Primer 3.3 D je fukcij f() = Izrčujmo povprečo vredost itervlu [0, 00]. 3.4 Uporb edoločeeg i določeeg itegrl 48

49 3.4. Fukcij mejih i celotih stroškov, mrgile i celote količie Kkor smo spozli že v uvodem poglvju, je mogoče podlgi pozvj fukcije mejih i fiksih stroškov izrčuti tudi fukcijo celotih stroškov (primer 3.0). S() = S '() d Itegrcijsk kostt m tedj predstvlj rvo fikse stroške. Primer 3.4 Vzemimo, d je fukcij mejih stroškov ek: S '() = 0, fiksi stroški p zšjo 300 d. e. Ker je mrgil fukcij po defiiciji odvod fukcije F(), lhko izrčumo fukcijo F() logo kkor celote stroške kot edoločei itegrl mrgile fukcije F '(): F() = F'()d (3.28) Primer 3.5 Vzemimo, d je d fukcij mejih prihodkov P '() = -0, Ploščie krivočrtih likov Izrčujmo ploščio lik, ki je omeje s krivuljm y = f() i y = g() odseku [, b], kkor kže sl. 3.6 Ni težko prepozti, d dobimo isko ploščio tko, d od ploščie pod krivuljo y = f() odštejemo ploščio pod krivuljo y = g(). To pomei, d je plošči lik med obem krivuljm ek itegrlu: P f ( ) g( ) d (3.29) = b Primer 3.6 Izrčujmo ploščio lik med krivuljm y = 2 i y =, kkor kže sl

50 3.4.3 Deri tok čsovem itervlu Tokrt si oglejmo primer, kjer opisuje fukcij f(t) velikost določeeg dereg tok (priliv derj čsovo eoto) v poljubem treutku t iz opzoveg čsoveg itervl [0, T]. Primer 3.8 Poglejmo še, kkš bi bil sedj vredost skupeg dohodk v čsu od 0 do T let, če je f(t) = D 0 -cost. (leti pritok dohodk je kostte) i če zeske tudi diskotirmo. 50

51 4 MATRIKE 4. Osovi pojmi Pri formulirju mtemtičih modelov z opisovje poslovih i drugih procesov si pogosto pomgmo z mtrikmi. Primer 4. Pri izdelvi izdelkov I, I 2, I 3, I 4 uporbljmo tri elemete posloveg proces E, E 2, E 3. Potrebo količio elemetov posloveg proces z eoto posmezeg izdelk zpišemo v obliki tbele: Defiicij 4. Mtrik rzsežosti (m,) je prvokot shem m števil ij (i =, 2,, m; j =, 2,, ), rzporejeih v m vrstic i stolpcev. 2 K j L 2 22 L 2 j L 2 M M M M A = (4.) i i2 L ij L i M M M M m m2 L mj L m Primer 4.2 A = Mtriko (4.) lhko krjše zpišemo tkole: A = [ ij ] (m,) li še krjše A = [ ij ] 4.2 Posebi tipi mtrik 5

52 . Mtrik rzsežosti (m,), torej mtrik, ki im le e stolpec, se imeuje stolpi vektor, mtrik rzsežosti (,), to je mtrik, ki im le eo vrstico, p se imeuje vrstiči vektor. Elemetom tke mtrike rečemo kompoete vektorj. Vektor z kompoetmi je torej ureje -teric števil, zpisih v vrstici li stolpcu. 2. Mtriko, ki im vse elemete eke 0, imeujemo ičel mtrik. Ozčujemo jo z O. 3. Mtriko rzsežosti (,) imeujemo kvdrt mtrik red. 4. Elemeti, 22,,, sestvljjo glvo digolo kvdrte mtrike red. Kvdrti mtriki, ki im ei stri glve digole sme ičle, prvimo trikot mtrik. 5. Kvdrt mtrik, ki im od ič rzliče elemete le glvi digoli, se imeuje digol mtrik. 6. Digolo mtriko, ki im vse digole elemete eke, bomo imeovli sklr. 7. Mtrič eot je sklr mtrik, ki im vse elemete glvi digoli eke. Ozčujemo jo z E li I. 0 0 Primer 4.3 Mtrik E = 0 0 je mtrič eot red Opercije z mtrikmi 4.. Trspoirje mtrik Defiicij 4.2 Če v mtriki A = [ ij ] ( m, ) zmejmo vrstice s stolpci, tko d preide prv vrstic v prvi stolpec, drug vrstic v drugi stolpec itd. m-t vrstic v m-ti stolpec, rečemo, d smo mtriko A trspoirli. Dobljeo mtriko A T imeujemo trspoirk mtrike A Primerjje mtrik Primerjmo lhko le mtrike ekih rzsežosti. Defiicij 4.3 Mtriki A = [ ij ] ( m, ) i B = [ b ] ij ( m, ideks i i j elemet ij mtrike A ek elemetu b ij mtrike B. ) st eki, če je z poljub Seštevje mtrik 52

53 Seštevmo lhko le mtrike ekih rzsežosti. Defiicij 4.5 Vsot dveh mtrik rzsežosti (m,) je mtrik rzsežosti (m,), ktere elemeti so vsote ekoležih elemetov obeh mtrik. Nj bost A = [ ij ] ( m, ) i B = [ b ] ij ( m, ) di mtriki i C ju vsot. Tedj je C = A + B = [ c ij ] ( m, ) = [ ] ij + b ij ( m,) Primer Odštevje mtrik Defiicij 4.6 Rzlik C = A B mtrik A = [ ij ] ( m, ) i B = [ b ] ij ( m,) je ek vsoti mtrik A i B. C = A B = A + (-B) = [ c ij ] ( m, ) = [ ] ij + ( bij) ( m,) Možeje mtrike s številom Defiicij 4.7 Produkt mtrike A s številom je mtrik, ktere elemeti so z pomožei elemeti mtrike A. Nj bo A = [ ij ] ( m, ) d mtrik i relo število. Tedj je A = [ ij ] ( m, ) = [ ] ij ( m,) Primer 4.0 Primer 4. Z izdelvo ee eote izdelk A potrebujejo 00 eot surovie S, 200 eot surovie S 2 i 50 eot surovie S 3 ; z izdelvo ee eote izdelk B p 20 eot surovie S, 80 eot surovie S 2 i 200 eot surovie S 3. Zpišimo vektor, ki prikzuje porbo surovi, potrebih z proizvodjo 000 eot izdelk A i 500 eot izdelk B! Možeje mtrik 53

54 Defiicij 4.0 Produkt mtrik A = [ ij ] ( m, ) i B = [ b ] ij (, p določimo tkole: ) je mtrik C, ki jo C = AB = [ c ij ] ( m,p) kjer je c ij = ik k= b kj = i b j + i2 b 2 j + L + i b j Elemet c ij mtrike C = AB je torej sklri produkt i-te vrstice mtrike A i j-teg stolpc mtrike B. Primer 4.4 Iz primerov 4.5 i 4.6 vidimo, d možeje mtrik v splošem i komuttivo.. Pri možeju mtrik velj zko socitivosti: (AB)C = A(BC) 2. Veljt distributivost zko: (A+B)C = AC + BC A(B+C) = AB + AC 3. Trspoirk produkt dveh mtrik je ek produktu trspoirk fktorjev, zpisih v obrtem vrstem redu. (AB) T = B T A T (4.3) Velj: AE = EA = A Splošo defiirmo A : A = AA 4243 K A fktorjev Primer 4.8 Iz dveh surovi M i M 2 izdelujejo v prvi proizvodi fzi polizdelke P, P 2, P 3. V drugi fzi uporbljjo te polizdelke z koč izdelk K i K 2. Porb M i M 2 z eoto P, P 2, P 3 ter porb P, P 2, P 3 z eoto K i K 2 st di v tbelh. 54

55 4.3.7 Iverz mtrik Med mtrikmi im mtrič eot E eko vlogo kot število med relimi števili, sj smo se že prepričli, d velj AE = EA = A. Defiicij 4. Nj bo A kvdrt mtrik, E p mtrič eot isteg red. Če obstj kvdrt mtrik X, ki zdošč pogojem AX = E i XA = E (4.6) jo imeujemo iverz li obrt mtrik mtrike A. Ozčimo jo z A -. Mtrik, pri kteri obstj iverz mtrik, se imeuje obrljiv. Primer 4.9 Velj: (A - ) - = A (AB) - = B - A Determite 4.5. Defiicij determite Nj bo A kvdrt mtrik red. Priredimo ji število, ki g imeujemo determit, ozčimo z det A i zpišemo v obliki sheme: det A = 2 M 2 22 M 2 K K K 2 M (4.9) Zrdi teg zpis včsih površo govorimo o vrstich i stolpcih determite. 55

56 Kko determito izrčumo? Posebej si bomo ogledli jprej determito mtrike red 2 i determito mtrike red 3, potem p še sploši primer. Defiicij 4.2 Determit mtrike A = je število, ki g izrčumo tko: det A = = Primer 4.23 Defiicij 4.3 Determit mtrike A = je defiir kot: det A = = = (4.0) Primer 4.24 Zpisu (4.) prvimo rzvoj determite po prvi vrstici. Nj bo A kvdrt mtrik red. Če prečrtmo i-to vrstico i j-ti stolpec mtrike A, tvorijo preostli elemeti kvdrto mtriko red (-). Determito, ki pripd tej mtriki, imeujemo poddetermit elemet ij. Pomožimo jo z (-) i+j i t produkt imeujemo kofktor A ij elemet ij. Izrz (4.) bi torej lhko pisli: 56

57 det A = A + 2 A A 3 (4.2) Defiicij 4.4 Determit, ki pripd kvdrti mtriki red, je ek sklremu produktu eke vrstice li ekeg stolpc v mtriki z vrsto pripdjočih kofktorjev. Rzvoj po i-ti vrstici: det A = i A i + i2 A i2 + + i A i = k= (4.3) Rzvoj po j-tem stolpcu: ik A ik det A = j A j + 2j A 2j + + j A j = (4.4) k= kj A kj Primer 4.25 Izrčujmo determito mtrike A z rzvojem po prvem stolpcu! 2 5 A = Rčuje iverze mtrike Iverzo mtriko obrljive mtrike red 2 lhko izrčumo direkto po defiiciji. 7 3 Primer 4.30 Poiščimo iverzo mtriko mtrike A =. 2 Izrek 4.8 Nj bo A = [ ij] kvdrt mtrik red i det A je determit. Če je izpolje pogoj det A 0 so elemeti iverze mtrike A - = [ b ij] eoličo določei z ečbo: 57

58 b ij = A ji det A i, j =, 2,, kjer je A ji kofktor, ki pripd elemetu ji. Primer 4.3 Določimo iverzo mtriko mtrike A = (4.7) Mogi ekoomski problemi se djo zpisti v obliki mtriče ečbe, to je ečbe, ki povezuje ze mtrike (podtke) z ezo mtriko. Kko te ečbe rešujemo, si bomo ogledli treh primerih. Primer 4.32 Rešimo ečbo A T X - 2 X = B 3 X 4 (4.20) če je: A = 5 2 B = Elemetre trsformcije mtrik Defiicij 4.5 Če v mtriki zmejmo dve vrstici li dv stolpc, pomožimo eko vrstico li stolpec z od ič rzličim številom, prištejemo k eki vrstici s poljubim številom pomožeo kko drugo vrstico li k ekemu stolpcu s poljubim številom pomože kk drug stolpec, rečemo, d smo mtriki izvedli elemetro trsformcijo. 58