UNIVERSITETI I GJAKOVËS FEHMI AGANI FAKULTETI I EDUKIMIT PROGRAMI PARASHKOLLOR PUNIM DIPLOME

UNIVERSITETI I GJAKOVËS FEHMI AGANI FAKULTETI I EDUKIMIT PROGRAMI PARASHKOLLOR PUNIM DIPLOME ZHVILLIMI DHE FORMIMI I NJOHURIVE FILLESTARE TEK FËMIJËT E MOSHËS PARASHKOLLORE MBI BASHKËSITË Mentori: Prof. Ass. Dr. Ilmi Hoxha Kandidatja: Genita Bunjaku Gjakovë, 2017

Ky punim diplome u mbrojt me datë para Komisionit vlerësues në përbërje: 1. Kryetar 2. Anëtar 3. Anëtar Komisioni vlerësues e vlerësoi punimin me notën. Nënshkrimet e anëtarëve të Komisionit vlerësues: 1. Kryetar 2. Anëtar 3. Anëtar Ky punim është realizuar në Fakultetin e edukimit, me qëllim të arritjes së titullit: Bachelor i Edukimit-Programi parashkollor. 2

MIRËNJOHJE Rruga drejt përfundimit të fakultetit të edukimit ishte mjaft e gjatë dhe sfiduese. Në këtë rrugë tatëpjetat nuk kalohen dot pa ndihmën, përkrahjen, mbështetjen dhe shtytjen e personave të tjerë, të cilët, jam me fat që i kam. Në këtë drejtim, dëshiroj të shpreh falënderimet e mia për profesorin tim udhëheqës, profesorin e nderuar, Prof. Ass. Dr. Ilmi Hoxha, i cili me këshillat e tij profesionale e të vlefshme bëri që ky punim të marrë këtë formë. Një falenderim tjetër shkon për koleget, të cilat më përkrahën dhe më këshilluan, si dhe për të gjithë profesoreshat dhe profesorët tjerë për këshillat dhe përvojat e tyre që i ndanë me ne, të cilat do të jenë shembuj me vlerë në formimin tim si një edukatore shembull për brezat e rinj. Falëndërimi për të cilin është e vështirë të gjej fjalët më me peshë, fjalët që shprehin mirënjohjen time të pafund për përkrahjen, motivimin, mbështetjen e pakushtëzuar dhe ndihmën sistematike, i dedikohet familjes time. Pa të gjithë ju, çdo gjë do të ishte shumë më e vështirë. Ju faleminderit! 3

Makina mund t i zgjidhë të gjitha problemet që i shtrohen, por ajo nuk mund të formulojë, të mendojë asnjë. Këtë mund ta bëjë vetëm Matematika. Matematika është baza e çdo shkence. ALBERT EINSTEIN (1875-1954) 4

ABSTRAKT Të mësuarit e Matematikës në klasën parashkollore, siguron bazën për zotërimin eshprehive dhe shkathtësive matematikore, si dhe i përgatitë fëmijët për të qenë të suksesshëm në vitet e mëtejme të shkollimit. Fëmijët e kësaj moshe vijnë nga mjedise tëndryshme familjare dhe me zhvillime jo të njëjtë, andaj është e rëndësishme që edhe programi i Matematikës të sigurojënjë llojllojshmëri mundësish të të nxënit përmes materialeve të përshtatshme mësimore, metodologjive adekuate të mësimdhënies dhe angazhimin e përhershëm për zhvillimin e aftësive të fëmijëve. Qëllimi kryesor i këtij studimi ështëtë hulumtojë mënyrën se si zhvillohen dheformohen njohuritë e para nga fëmijët e moshës parashkollore, veçanërisht mbi bashkësitë, çfarëduhet të bëjë edukatorja që të nxisë interesin e femijëve për të mësuar konceptin bashkësi,metodat dhe teknikat që duhet përdorur, si dhe aktivitetet e lojërat që duhet zhvilluar ashtu që fëmija ta përvetësojësa më mirëkëtë koncept. Një rol dhe rëndësi të veçantë tek fëmijët parashkollorë luan edhe loja si faktor esencial për zhvillim tëgjithmbarshëm. Lojërat matematikore të organizuara dhe të udhëhequranëpërmjet formave të punës grupore apo individuale zgjojnë interesim dhe kërshëri tëveçantë te të gjithë fëmijët, pa përjashtim. Përmes tyre, reduktohen abstraksioni dhe monotonia, ndërsa përvetësohen dituri, aftësi dhe shprehi të caktuara, të cilat ka mundësitë zbatohen drejtpërdrejt në jetën e përditshme të fëmijës. Fjalët kyçe: matematikë, koncept, bashkësi, lojëra matematikore 5

PËRMBAJTJA HYRJE... 7 1. Bashkësitë... 8 1.1 Kuptimi i bashkësisë... 8 1.1.1 Mënyrat e dhënies së bashkësive... 9 1.1.2 Nënbashkësia... 12 1.1.3 Bashkësia partitive... 13 1.2 Veprimet me bashkësi... 14 1.2.1 Unioni i bashkësive... 14 1.2.2 Prerja e bashkësive... 14 1.2.3 Diferenca e bashkësive... 15 1.2.4 Diferenca simetrike... 16 1.2.5 Komplementi... 17 1.3 Vetitë e veprimeve me bashkësi... 18 1.4 Çifti i renditur. Prodhimi kartezian... 18 1.4.1 Prodhimi kartezian... 19 1.5 Bashkësitë numerike... 20 2. Zhvillimi dhe formimi i konceptit bashkësi... 22 2.1Paraqitja grafike e bashkësive... 24 2.2Metodat mësimore në procesin e formimit të konceptit bashkësi... 25 2.2.1. Metodat verbale-tekstuale... 25 2.2.2. Metodat ilustruese-demostruese... 26 3. Aktivitetet matematike-logjike dhe lojërat në funksion të formimit të konceptit bashkësi... 28 3.2. Aktivitetet matematike-logjike lidhur me bashkësitë... 28 3.3. Aktivitetet matematike-logjike lidhur me bashkësitë... 32 3.4. Loja në funksion të zhvillimit të njohurive mbi bashkësitë... 35 SHTOJCA... 40 Literatura... 48 6

HYRJE Kuptimi i bashkësisë është kuptim themelor në matematikë në mbështetje të të cilit ndërtohet pothuajse e tërë matematika bashkëkohore. Që në hapat e parë të njohjes me koncepte matematikore fëmija vihet para një zgjedhjeje: ta njohë botën përmes numrave apo përmes gjërave që janë të njohura për të. Përvoja tregon se kuptimi i bashkësisë është më i afërt për fëmijën e moshës së hershme sesa kuptimi i numrit dhe i veprimit me numra. Kështu, bashkësia e librave nuk është tjetër vetëm se një grumbull objektesh që ndodhen në çantën shkollore të secilit nxënës, bashkë me grumbuj të tjerë si: bashkësia e fletoreve, bashkësia e ngjyrave të drurit, bashkësia e lapsave etj. Kjo afërsi e kuptimit me situatën në të cilën ndodhet nxënësi bën të mundur që pika nismëtare për ta njohur matematikën të jetë pikërisht kuptimi i bashkësisë. Dallimi i vetive të përbashkëta të objekteve që do të quhen elemente të një bashkësie, nuk është gjë tjetër vetëm se shfrytëzim i përvojës që ka akumular fëmija në vitet e para të rritës së tij. Kjo bën të mundur të ndërlidhen në mes vete objektete që duam t i bëjmë bashkë për çfarëdo arsye, si dhe ato që u takojnë bashkësive të ndryshme, por kanë veti të përbashkëta. Kështu, veprimet me bashkësi i paraprijnë veprimeve me numra, sa do që fëmija mund t i bëj ato në mënyrë të pavetëdijshme. Ky punim diplome përmbanë tre kapituj kryesorë, disa nënkapituj dhe shembuj të bollshëm për të dhënë sqarimet e nevojshme lidhur me bashkësitë dhe veprimet me to, metodat dhe teknikat e përdorura, si dhe aktivitetet dhe lojërat adekuate matematiko-logjike që zhvillojnë dhe formojnë tek fëmijët konceptin bashkësi. Faza e parë e këtij studimi përfshinë fazën e hulumtimit, e cila është realizuar përmes shqyrtimit dhe evidentimit të literaturës përkatëse. Faza e dytë përfshinë mbledhjen e informacioneve të domosdoshme dhe relevante në arritjen e objektivave të këtij studimi. Në këtë fazë është mbledhur literaturë në bibliotekën universitare, burime të ndryshme nga interneti, si dhe janë bërë konsultime me edukatore kopshtesh që punojnë me grupmoshat e fëmijëve 3-4 dhe 5-6 vjeç. Literatura e përdorur përfshinë libra, dokumente zyrtare, udhëzues praktik për edukatore kopshtesh, material nga interneti dhe aktivitete të ndryshme matematiko-logjike të realizuara me fëmijët parashkollorë gjatë praktikës pedagogjike të realizuar gjatë këtyre viteve të studimeve. Faza e fundit është konkretizimi i punës hulumtuese deri në realizimin e këtij punimi, të cilin po e mbani sot në duart tuaja. 7

1. Bashkësitë 1.1 Kuptimi i bashkësisë Bashkësia konsiderohet si kuptim themelor në matematikë, andaj nuk përkufizohet, por sqarohet me anë të shembujve. Kështu, mund të shqyrtohet: a). Bashkësia e zanoreve të alfabetit të gjuhës shqipe; b).bashkësia e numrave natyrorë më të mëdhenj se 4 e më të vegjël se 10; c). Bashkësia e shkronjave të fjalës abetarja ; ç). Bashkësia e ditëve të javës; d). Bashkësia e muajve të vitit; Objektet që e formojnë bashkësinë i quajmë elemente të asaj bashkësie. Bashkësitë i shënojmë me shkronja të mëdha të alfabetit (A, B, C, D,...), kurse elementet e tyre me shkronja të vogla të alfabetit (a, b, c, ). Në qoftë se objekti a i takon bashkësisë A, shkruajmë a A dhe e lexojmë: a është element i bashkësisë A ose a i takon bashkësisë A. Faktin që objekti a nuk i takon bashkësisë A e shënojmë a A dhe e lexojmë: a nuk është element i A-së ose a nuk i takon A-së. Figura 1: Definicioni origjinal i një bashkësie nga George Cantor Shembulli 1: Nëse me A, B, C, Ç, D i shënojmë, përkatësisht, bashkësitë nga shembulli i mësipërm a),b),c), ç) dhe d),atëherë: a). Elementet e bashkësisë A janë shkronjat a, e, ë, i, o, u, y, kështu që mund të shënojmë a A, e A, ë A, i A, o A, u A, y A; por b A, d A, f A. 8

b). Elementet e bashkësisë B janë numrat: 5, 6, 7, 8, 9, kështu që: 5 B, 6 B, 7 B, 8 B, 9 B; por 1 B, 3 B, 11 B, 15 B. c). Elementet e bashkësisë C janë shkronjat: a, b, e, t, a, r, j, a. Prandaj, a C, b C, e C, t C, r C, j C; por u C, z C, p C. ç). Elementet e bashkësisë Ç janë: e hënë, e martë, e mërkurë, e enjte, e premte, e shtunë, e dielë, d.m.th. e hënë Ç, e martë Ç, e merkurë Ç, e enjte Ç, e premte Ç, e shtunë Ç, e dielë Ç; por janari Ç, maji Ç, korriku Ç. d). Elementet e bashkësisë D janë: janari, shkurti, marsi, prilli, maji, qershori, korriku, gushti, shtatori, tetori, nëntori, dhjetori. Kështu, janari D, shkurti D, marsi D, prilli D, maji D, qershori D, korriku D, gushti D, shtatori D, tetori D, nëntori D, dhjetori D; por, e martë D, e enjte D, e dielë D. 1.1.1 Mënyrat e dhënies së bashkësive 1. Dhënia e bashkësisë me anë të emërtimit bëhet duke shënuar (emërtuar) elementet e saj brenda kllapave gjarpërore { } dhe duke i ndarë ato me presje. Shembulli 2: Bashkësitë nga shembulli 1 shënohen kështu : a). A = {a, e, ë, i, o, u, y }; b). B = {5, 6, 7, 8, 9}; c). C = {a, b, e, t, r, j}; ç). Ç = {e hënë, e martë, e mërkurë, e enjte, e premte, e shtunë, e diel}; d). D = {janari, shkurti, marsi, prilli, maji, qershori, korriku, gushti, shtatori, tetori, nëntori, dhjetori}. Kjo mënyrë e shënimit (dhënies) së bashkësive është e përshtatshme në rastin kur bashkësia nuk ka numër të madh elementesh. Nëse dëshirojmë t'i shënojmë elementet e një bashkësie të pafundme në mënyrë eksplicite (të dukshme), atëherë, pas shënimit të disa elementeve të saj vendosim tri pika të cilat tregojnë se procesi i shënimit të elementeve të asaj bashkësie (sipas një ligji (rregulle) ) vazhdon në pafundësi. Kështu p.sh. me: {1, 2, 3, 4, }, {1, 3, 5, 7, }, {2, 4, 6, }, {3, 6, 9, 12, } 9

shënohet, përkatësisht, bashkësia e të gjithë numrave natyrorë, bashkësia e të gjithë numrave tek, bashkësia e të gjithë numrave çift dhe bashkësia e të gjithë shumëfishave të numrit 3. Po ashtu, vërejmë që në shënimin e bashkësisë C të shkronjave të fjalës abetarja shkronja a është shënuar vetëm një herë (e jo tri herë sa paraqitet në fjalën abetarja ). Pra, në shënimin e bashkësisë një element shënohet vetëm një herë (d.m.th. nuk bëhet përsëritja e elementeve). Po ashtu, në shënimin e bashkësisë radhitja apo vendndodhja e elementeve nuk ka rëndësi. Kështu, p.sh. {a, b, e, t, r, j}, {a, b, e, t, a, r, j, a}, {b, e, r, a, j, t}, {t, e, a, r, j, b, a, e, r} paraqesin të njëjtën bashkësi bashkësinë C të të gjitha shkronjave të fjalës abetarja. Me marrëveshje, bashkësinë e tillë do ta shënojmë C = {a, b, e, j, r, t} duke mos përsëritur shënimin e elementeve të njëjtë dhe duke ruajtur radhitjen alfabetike të shkronjave. 2. Dhënia e bashkësive me anë të përshkrimit- bëhet duke shënuar brenda kllapave gjarpërore një shkronjë (që shënon elementet e bashkësisë) pas të cilës vendosen dy pika vertikale ose një vijë vertikale dhe pastaj përshkruhet vetia e përbashkët V e elementeve të asaj bashkësie. Shënimi i tillë ka këtë formë: {x : V(x)} ose {x V(x)}. : ose lexohet të tillë që kurse V(x) lexohet (elementi) x e ka vetinë V, ndërkaq {x : V(x)} ose {x V(x)} lexohet bashkësia e elementeve x (të tillë) që e kanë vetinë V. Në vend të shkronjave x dhe V mund të shënohen çfarëdo shkronjash tjera. Shembulli 3: Bashkësitë A, B, C, Ç, D nga shembujt e mëparshëm mund të shënohen kështu: a). A = {x : x është zanore e alfabetit tonë}; a) B ={a : a N dhe 4 < a < 10} ose B = {a N : 4 < a < 10} (N është bashkësia e numrave natyrorë). b) C = {x x është shkronjë e fjalës abetarja }; ç) Ç = {y : y është ditë e javës}; d) D = {x x është muaj i vitit} 3. Dhënia e bashkësisë me anë të diagramit të Venit bëhet duke shënuar elementet e saj brenda një vije të mbyllur në rrafsh (p.sh. elipsi, rrethi, drejtkëndëshi, trekëndëshi, etj). Shembulli 4: Bashkësitë A, B, C, Ç dhe D nga shembujt paraprak të paraqitura me diagramin e Venit duken kështu: 10

A a B C a D e 5 b ë 6 e i 7 t o 8 r u 9 j y e hënë e marte e merkure e enjte e premte e shtunë e dielë Bashkësia e cila nuk ka asnjë element quhet bashkësi e zbrazët ose bashkësi boshe dhe shënohet me. Shembulli 5: a). Bashkësia A e të gjithë njerëzve të gjallë të lindur në vitin 1840 është e zbrazët, d.m.th A =, sepse asnjë njeri i lindur më 1840 nuk është i gjallë. b). Bashkësia B e të gjitha qyteteve të Kosovës me më shumë se 1 000 000 banorë është e zbrazët sepse asnjë qytet i Kosovës nuk i ka më shumë se 1 000 000 banorë; pra B =. c). Bashkësia C e muajve të vitit që kanë 25 ditë është bashkësi e zbrazët, C =, sepse asnjë muaj nuk i ka 25 ditë. ç) Bashkësia Ç e njerëzve që jetojnë në Hënë është e zbrazët; Ç =. n( ) = 0. Me n(a) do të shënojmë numrin e elementeve të bashkësisë A. Është e qartë që A quhet bashkësi e fundme nëse A = (d.m.th. nëse n(a) = 0) ose nëse ekziston numri natyror n i tillë që n(a) = n; në të kundërtën, nëse nuk ekziston asnjë numër natyror i tillë që n(a) = n, A quhet bashkësi e pafundme. Me fjalë të tjera, A është bashkësi e fundme (e pafundme) nëse përmban (nuk përmban) numër të fundëm elementesh. Shembulli 6: Bashkësitë A = {a, b, c, d}, B = {3, 6, 9, 12, 15, 18} janë të fundme, sepse n(a) = 4 dhe n(b) = 6. Bashkësia C e numrave më të mëdhej se 7 dhe më të vegjël se 3 është e zbrazët (C = ) dhe, si e tillë, është e fundme. Ndërkaq, bashkësia N e të gjithë numrave natyrorë, bashkësia Z e të gjithë numrave të plotë, bashkësia T e të gjithë numrave tek janë të pafundme, sepse nuk ekziston asnjë numër natyrorn i tillë që n(n) = n, n(z) = n, n(t) = n. 11

1.1.2 Nënbashkësia Le të jenë A dhe B dy bashkësi të çfarëdoshme. Bashkësia A është nënbashkësi e bashkësisë B, atëherë dhe vetëm atëherë kur çdo element i bashkësisë A është njëkohësisht edhe element i bashkësisë B, simbolikisht e shënojmë: A B { }. Shembulli 7: Figura 2: Nënbashkësia a). Nëse A = {Agimi, Hana, Zana, Besniku} është bashkësia e fëmijëve të një çifti bashkëshortor, atëherë bashkësia V = {Hana, Zana} e vajzave dhe bashkësia D = {Agimi,Besniku} e djemve të atij çifti bashkëshortor janë nënbashkësi të bashkësisë A, d.m.th. V Adhe D A. b). Nëse A = {a, b, c} dhe B = {a, b, c, d, e}, atëherë A B sepse çdo element i bashkësisë A është element edhe i bashkësisë B. Por, B nuk është nënbashësi e bashkësisë A sepse p.sh. ekziston d B i tillë që d A (ose, ekziston e B dhe e A). Në qoftë se A është nënbashkësi e B dhe B është nënbashkësi e A, atëherë themi se bashkësitë A dhe B janëtë barabarta. Simbolikisht shënojmë: ( A ) A=B Nëse A B dhe A B atëherë themi se A është nënbashkësi e vërtetë (e mirëfilltë) e bashkësisë B dhe simbolikisht e shënojm A. Bashkësia boshe është nënbashkësi e çdo bashkësie dhe çdo bashkësi është nënbashkësi e vetvetes. 12

Shembulli 8: a). Në qoftë se A = {a, b, c, d, e} dhe B = {c, e, d, a, b} atëherë A = B, sepse çdo element i A është element i B (d.m.th. A B ) dhe çdo element i B është element i A (d.m.th. B A ). b). Nëse A = {2, 4, 5, 5, 6, 6}, B = {2, 2, 4, 5, 6} dhe C ={2, 4, 5, 6} atëherë që të tri këto bashkësi përbëhen prej elementeve të njëjtë dhe, si të tilla, janë të barabarta, d.m.th. A = B = C. c). Në qoftë se A = {a, b, c, 3, 4, 5} dhe B = {1, 3, 4, 5, a, b, c}, atëherë çdo element i bashkësisë A është element edhe i bashkësisë B (që d.m.th. se A B ) por elementi 1 B dhe 1 A (që d.m.th. se B nuk është nënbashkësi e bashkësisë A); prandaj, A B. 1.1.3 Bashkësia partitive Le të jetë A një bashkësi e çfarëdoshme. Bashkësia e të gjitha nënbashkësive të bashkësisë A quhet bashkësi partitive dhe simbolikisht shënohet P(A). Shembulli 9: Le të jetë A={a,b,c}, atëherë: P(A)= { } P(A) = {, {a}, {b}, {c}, {a,b}, {a,c}, {b,c}, {a,b,c}}. Në shembullin 9, bashkësia A ka tri elemente, ndërsa P(A) ka 8=2 3 elemente. Në përgjithësi, vlen pohimi: Në qoftë se bashkësia e fundme A ka n-elemente, atëherë P(A) ka 2 n elemente. (n N) 13

1.2 Veprimet me bashkësi 1.2.1 Unioni i bashkësive Le të jenë A dhe B dy bashkësi të çfarëdoshme. Union ose bashkim të bashkësive A dhe B e quajmë bashkësinë e të gjitha elementeve të cilat ndodhen në bashkësinë A ose në B, ose në të dyja bashkësitë A dhe B 1. Simbolikisht shënojmë: A U B = {x / } Figura 3: Unioni i bashkësive Shembull 10: Janë dhënë bashkësitë:a={1, 2, 3, 4} dhe B={3, 4, 5, 6, 7}. Të gjendet: A U B. Zgjidhje: A U B = {1, 2, 3, 4} U {3, 4, 5, 6, 7} = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} 1.2.2 Prerja e bashkësive Le të jenë A dhe B dy bashkësi të çfarëdoshme. Prerje të bashkësive A dhe B e quajmë bashkësinë e të gjitha elementeve që gjenden edhe në bashkësinë A, edhe në bashkësinë B. Simbolikisht shënojmë: A B = {x / } 1 F. Kabashi, Detyra të zgjidhura në Matematikë, Prizren, 2012, f. 14 14

Figura 4: Prerja e bashkësive Bashkësitë që nuk kanë elemente të përbashkëta quhen bashkësi disjunkte. Shembulli 11:Janë dhënë bashkësitë: A = {a, b, c, d, f} dhe B = {b, d, e, f, g, h, i}. Të gjendet: A B. Zgjidhje: A B = {a, b, c, d, f} {b, d, e, f, g, h, i} = {b, d, f} Shembulli 12: Në qoftë se A është bashkësia e shkronjave të fjalës abetarja, kurse B bashkësia e shkronjave të fjalës dritarja, të gjendet prerja dhe unioni i tyre. Zgjidhje: Meqë A = {a, b, e, t, r, j} dhe B = {d, r, i, t, a, j}, përfundojmë që: A B = {a, t, r, j}= {a, j, r, t} dhe A B = { a, b, e, t, r, j, d, i }= {a, b, d, e, i, j,r, t}. 1.2.3 Diferenca e bashkësive Le të jenë A dhe B dy bashkësi të çfarëdoshme. Diferencë ose ndryshim të bashkësive A dhe B quajmë bashkësinë e të gjitha elementeve që janë në bashkësinë A dhe nuk janë në bashkësinë B. Simbolikisht shënojmë: A \ B={x : } 15

Figura 5: Diferenca e bashkësive Shembulli 13: Janë dhënë bashkësitë: A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} dhe B = {2, 4, 8, 9, 10}. Të gjendet: A \ B. Zgjidhje: A \ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} \ {2, 4, 8, 9, 10} = {1, 3, 5, 6, 7} 1.2.4 Diferenca simetrike Le të jenë A dhe B dy bashkësi të çfarëdoshme. Diferencë simetrike të dy bashkësive A dhe B quajmë bashkësinë, e cila përmban unionin e diferencave A \ B dhe B\ A. Simbolikisht shënojmë: A Δ B = (A \ B) U (B\ A) Figura 6: Diferenca simetrike e bashkësive 16

Shembulli 14: Janë dhënë bashkësitë:a = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} dhe B = {2, 4, 8, 9, 10}.Të gjendet: A Δ B. Zgjidhje: A Δ B = (A \ B) U (B\ A) = {1, 3, 5, 6, 7} U {8, 9, 10} = {1, 3, 5, 6, 7, 8, 9, 10}. Shembulli 15: Në qoftë se A është bashkësia e nxënësve të një klase dhe B bashkësia e djemve të asaj klase, atëherë: A \ B = V është bashkësia e vajzave të asaj klase dhe V A; A \ V = B është bashkësia e djemëve të asaj klase dhe B A; B (A \ B) = B V = A (unioni i bashkësisë B të djemve dhe bashkësisë V të vajzave të një klase është bashkësia A e të gjithënxënësve të asaj klase). B (A \ B) = B V = (prerja e bashkësisë B të djemëve dhe bashkësisë V të vajzave të një klase është bashkësi e zbrazët). Nënbashkësitë e tilla B, V të bashkësisë A (për të cilat vlen B V = A dhe B V = ) quhen nënbashkësi plotësuese të bashkësisë A. 1.2.5 Komplementi Le të jenë A dhe B dy bashkësi të çfarëdoshme. Nëse A, atëherë diferenca B\ A quhet komplement 2 i bashkësisë A në bashkësinë B. Simbolikisht shënojmë: C B A ose A C Figura 7: Komplementi i bashkësisë Shembulli 16: Janë dhënë bashkësitë: A = {a, b, c, d, f} dhe B = {b, d, e, f}. Të gjendet: A C. Zgjidhje: A C = {e} 2 Po aty, f. 15 17

1.3 Vetitë e veprimeve me bashkësi Le të jetë U bashkësi univerzale dhe A, B, C U. Nga përkufizimi i unionit, prerjes dhe komplementit të bashkësive rrjedh se për nënbashkësitë e çfarëdoshme A, B, C vlejnë vetitë(ligjet): 1) Ligji komutativ për unionin dhe prerjen A U B = B U A A B = B A 2) Ligji asociativ për unionin dhe prerjen (A U B) U C = A U (B U C) (A B) C = A (B C) 3) Ligji i absorbimit të prerjes ndaj unionit dhe anasjelltas A (A U B) = A A U (A B) = A 4) Ligji distributiv i prerjes ndaj unionit dhe anasjelltas A (B U C) = (A B) U (A C) A U (B C) = (AU B) (A U C) 5) Ligji i idempotencës për unionin dhe prerjen 6) Ligjet e De Morganit A U A = A A A = A (A U B) C = A C B C (A B) C = A C U B C 1.4 Çifti i renditur. Prodhimi kartezian Shpeshherë për elementet e një bashkësie është e rëndësishme të saktësohet renditja e tyre (elementi i parë, i dytë, i tretë etj.). Që të arrihet kjo, në matematikë futet kuptimi i çiftit(dyshes) të renditur. P.sh. (a,b) shënon çiftin e renditur. Elementi (komponenti, koordinata) i parë është a, ndërsa elementi i dytë është b. 18

Dy dyshe të renditura (a 1,b 1 ) dhe (a 2,b 2 ) janë të barabarta atëherë dhe vetëm atëherë nëqoftë se komponentet në vende të njëjta i kanë të barabarta. 3 Pra: (a 1,b 1 ) = (a 2,b 2 ) (a 1 =a 2 ) (b 1 =b 2 ) a Shembulli 17: b Figura 8: Çifti i renditur a). (x, y) = (1,3), atëherë dhe vetëm atëherë, kur x = 1 dhe y = 3; b).(2x 1, 3y -2) = (x + 3, y - 4), atëherë dhe vetëm atëherë, kur 2x 1 = x + 3 dhe 3y -2 = y - 4 d.m.th., atëherë dhe vetëm atëherë, kur x = 4 y = -1. 1.4.1 Prodhimi kartezian Le të jenë dhënë dy bashkësi A dhe B. Prodhim kartezian quhet bashkësia e të gjitha dysheve të renditura (a,b) ashtu që elementi i parë i takon bashkësisë A (a A) dhe elementi i dytë i takon bashkësisë B (b B). Simbolikisht shënojmë: A x B = {(a,b) / a A b B} Shembulli 18: Janë dhënë bashkësitë:a = {a, b, c} dhe B = {x, y, z}.të gjendet: A x B. Zgjidhje: A x B = {(a,x), (a,y), (a,z), (b,x), (b,y), (b,z), (c,x), (c,y), (c,z)}. Shembulli 19: Në qoftë se A = {1, 2, 3} dhe B = {a,b} atëherë: A B = {(1, a), (1, b), (2, a), (2, b), (3, a), (3, b)} dhe B A = {(a, 1), (a, 2), (a, 3), (b, 1), (b, 2), (b, 3)}. Prodhimi kartezian i bashkësisë A me vetveten quhet katrori (kartezian) i bashkësisë A dhe shënohet me A 2, d.m.th. A A = A 2. Prodhimi kartezian A B mund të paraqitet me anë të 3 I. Shehu/R. Gjergji/ M. Kadriu, Matematika 10, Prishtinë, 2004, f. 32 19

diagramit të Venit duke bashkuar me shigjetë çdo pikë të bashkësisë A me çdo pikë të bashkësisë B. P.sh. bashkësia A B nga shembulli 19 paraqitet me diagramin vijues të Venit: 1 a 2 3 b Figura 9: Diagrami i Venit për shembullin 19 Shembulli 20: Një person i ka tri palë pantollona një palë të zi (z), një palë të kaltër (k), një palë të hirtë (h) dhe tri këmisha një të bardhë (b), një të verdhë (v) dhe një të gjelbër (g). Në sa mënyra të ndryshme mund të vishet ai person dhe cilat (kombinime) janë ato? Zgjidhje: Shënojmë me P = {z, k, h} bashkësinë e pantollonava dhe me K = {b, v, g} bashkësinë e këmishëve të atij personi. Atëherë, P K = {(z, b), (z, v), (z, g), (k, b), (k, v), (k, g), (h, b), (h, v),(h, g)} është bashkësia e të gjitha mënyrave (kombibimeve) të mundëshme të veshjes së atij personi; p.sh. (z,b) shënon kombinimin e pantallonave të zi me këmishën e bardhë. Meqë n(p) = 3 dhe n(k) = 3, përfundojmë që personi në fjalë mund të vishet në: n(p K) = n (P) n(k) = 3 3 = 9 mënyra të ndryshme. 1.5 Bashkësitë numerike Janë disa bashkësi numerike të cilat kanë rëndësi të madhe në matematikë. Ato janë 4 : Bashkësia e numrave natyralë: = {1, 2, 3,,, +1, } Bashkësia e numrav të plotë: = {, -2, -1, 0, 1, 2, 3,,,, 1, } 4 https://sq.wikipedia.org/wiki/bashk%c3%absit%c3%ab 20

Bashkësia e numrave racional: ={ } Bashkësia e numrave real: ={ } Bashkësia e numrave kompleks: ={ } Bashkësia e numrave qift: += {2 } } Bashkësia e numrave tek: -={ } = {1, 3, 5, 7, 9, } 21

2. Zhvillimi dhe formimi i konceptit bashkësi Në formimin e koncepteve fillestare matematike, në shkallën e edukimit formal (parashkollor), pikënisje e arsimit tradicional ishte aftësimi i fëmijëve për të numëruar. Mirëpo, ecuria e tillë nuk ishte në pajtim me strukturën intelektuale të fëmijëve. Fëmija i moshës 4-5 vjeçare nuk është i aftë t i kuptojë konceptet abstrakte plotësisht. Deri te këto përfundime arriti Pijazhe. 5 Në pajtim me zhvillimin e natyrshëm mendor të fëmijës, mësimi i matematikës paranumerike u shndërrua në domosdoshmëri. Kështu, para se të fillojë formimi i konceptit numër u shtrua kërkesa e njohjes së një vargu të tërë konceptesh të matematikës elementare, mbështetur në teorinë e bashkësive. Duke pranuar faktin se ndërmjet botës reale dhe botës së numrave është bota e bashkësive 6 u pranua që koncepti bashkësi paraqet shkallën e parë nëtë cilën qëndron fëmija, para se të formojë koncepte të tjera matematike. Me nocionin bashkësi njeriu është shërbyer përpara se t i njohë numrat. Sa interesant, po aq edhe i çuditshëm mbetet fakti: Edhe pse njeriu që nga lashtësia e njohu konceptin bashkësi, (duke vështruar grumbullin e sendeve dhe gjallesave rreth vetes, pikërisht si fëmija në fazën e njohurive paramatematikore), megjithatë Teoria e bashkësive filloi të zhvillohet në fund të shek. XIX. Bashkësia si nocion mund të trajtohet në aspektin cilësor dhe sasior. Duke u nisur nga koncepti i thjeshtë i krahasimit të bashkësive, Cantor-it i përket merita, që i pari mori në shqyrtim aspektin sasior të bashkësive 7. Themelues i Teorisë së bashkësive konsiderohet matematikani gjerman, Georg Cantor, i cili pas vetes ka lënë këtë përkufizim: Bashkësia është bashkimi i objekteve të ndryshme në një tërësi. Megjithatë, bashkësia është koncept themelor dhe nuk përkufizohet, prandaj ai nuk mund të shndërrohet në koncepte më të thjeshta. Për ta theksuar që çfarëdo objekte të grumbulluara në një tërësi sajojnë bashkësinë, Rasel në pyetjen: Çka është bashkësia? është përgjigjur: Bashkësia është një kokë lakër, një gomar dhe një ministër. Duke ironizuar, Rasel ka qartësuar që lidhja ndërmjet elementeve të bashkësive nuk është e domosdoshme. 8 Bashkësia është një nga kuptimet themelore në matematikë. Kuptimi i saj jepet me anë të shembujve konkretë. Mu në fillim për kuptimin e bashkësisë përdoren terma nga jeta e përditshme, si p.sh. grupi, grumbulli, klasa, koleksioni etj. Koncepti bashkësi përdoret në të folurën e përditshme dhe në mësimin e matematikës. Në këto dy rrafshe bashkësia nuk e ka kuptimin e njëjtë. Deri sa në përditshmëri, me konceptin bashkësi mund të nënkuptohet një 5 Jean Pijaget,( 1899-1980), psikolog zviceran 6 M. Latkovic Metodika pocetnih matematickih pojmova, Beograd, 1984, f. 86 7 B. Jaka Metodika e mësimit elementar të matematikës, Prishtinë, 2003, f. 265 8 B. Jaka Lojërat matematike me metodikë, Prizren, 2013, f. 93 22

grumbull i pacaktuar i objekteve, në matematikë bashkësia është e përcaktuar mirë. Me fjalën bashkësi kuptojmë tërësinë me shumë, me pak, me një dhe madje me asnjë element. Nocionet bashkësi, element dhe i përket janë tri koncepte themelore, të cilat nuk përkufizohen. Me fjalë të tjera, bashkësia paraqet tërësinë e objekteve të ngjashme apo të ndryshme të jetës reale ose imagjinare, ashtu që çdo element i saj mund të dallohet nga elementet e tjerë, të emërtohet dhe shënohet. 9 Shembulli 1: Emërto bashkësitë e dhëna në figurën 10. Zgjidhje: a). Kope delesh b).tufë zogjsh c).grumbull njerëzish d).grumbull nxënësish e).bashkësi lapsash f).bashkësi topash Figura 10 9 Xh.Thaçi, S.Tahiri, Metodika e koncepteve fillestare matematike, Prishtinë, 2002, f. 161 23

2.1Paraqitja grafike e bashkësive Duhet theksuar se veçoria e përbashkët e elementeve të një bashkësie futet në një qarkim përkatës, nëpërmjet një vije të mbyllur që quhet Diagrami i Venit. Përdorimi i Diagramit të Venit fëmijën e çon në paraqitjen grafike të bashkësive. Me marrëveshje është pranuar që elementet e bashkësisë ndodhen brenda rrethimit (vijë e thjeshtë e mbyllur), ndërsa elementet të cilët nuk i përkasin bashkësisë, duhet kërkuar jashtë rrethimit. Lidhur me paraqitjen grafike të bashkësisë ekziston e dhëna që figura ose skica përmban disa veçori, të cilat bashkësia nuk i përmban. Kështu për shembull, bashkësia përmban vetëm elemente, ndërsa figura përmban edhe vijën e mbyllur dhe një sipërfaqe të kufizuar. Gjatë punës, edukatorja do t i theksojë vetëm veçoritë kryesore. Formimin e konceptit bashkësi e mundëson edhe materiali didaktik i strukturuar: blloqet logjike, thuprat e ngjyrosura, trupat dhe figurat gjeometrike. Fillimisht fëmija formon bashkësi me një veti të përbashkët, më pas me dy e tri veti të përbashkëta. Puna me bashkësi duhet të jetë e përzgjedhur, me veti të caktuara të elementeve, të cilat nuk janë me dy kuptime. Shembulli 2: Formo bashkësi duke rrethuar figurat e të njëjtit lloj. Figura 11 24

2.2Metodat mësimore në procesin e formimit të konceptit bashkësi Nocioni metodë mësimore përfaqëson tërësinë e mjeteve mësimore, të aparateve të prodhuara nga teknologjia bashkëkohore, së bashku me metodat mësimore, në kërkim të nxënies. Filozofia nëpërmjet të cilës ndërtohen metodat mësimore bashkëkohore mbështesin supozimin: Fëmijët mësojnë më mirë kur marrin njohuri duke vepruar. Në mësimin elementar të matematikës, deri në fund të shek. XX është aplikuar ky grup i metodave mësimore: I. Verbale-tekstuale II. Demonstruese-ilustruese III. Teknike-punuese Aplikimi i grup-metodave mësimore në procesin e formimit të koncepteve fillestare matematike, duhet të jetë në funksion edhe të: Ritmit të lojës dhe punës së vet fëmijëve Zënies fill të punës individuale Evidencimit të fëmijëve të prapambetur, në lojëra dhe nxënie Aplikimit praktik dhe politeknik të lojës Shpërblimit të interesimeve dhe preferencave të fëmijëve Loja në procesin e formimit të koncepteve fillestare matematike është funksion praktik me shumë ndryshore. Edukatorja ka për detyrë, për orët e caktuara mësimore dhe pjesët e saj, të hulumtojë, të kërkojë, të aplikojë dhe të kombinojë ato metoda, teknika, lojëra dhe strategji mësimore, të cilat nxisin admirim dhe kërshëri te fëmijët, duke shtuar interesimin e tyre për mësimin fillestar të matematikës. 10 2.2.1. Metodat verbale-tekstuale Për fëmijët e moshës parashkollore, shpjegimi më shpesh paraqitet si rrëfim(kallëzim), i cili reflekton efekte të shumta në punën edukative-arsimore. Rrëfimi mund të shërbejë si themel për shtjellimin e koncepteve fillestare, veçanërisht po që se përcillet me demonstrim (film, diafilm ose material tjetër didaktik). 10 B.Jaka Lojërat matematike me metodikë, Prizren, 2013, f.134 25

Forma më e shpeshtë e kësaj metode është sqarimi, i cili është më i shkurtër se rrëfimi dhe ndërlidhet me pyetje të cekëta e të ngushta. Duhet theksuar se në punën me fëmijët e moshës parashkollore, ligjërimi nuk shfrytëzohet. Gjatë aplikimit të metodave verbale-tesktuale, edukatorja nuk duhet t iu largohet shprehjeve: bashkësi, nënbashkësi, element, graf, anëtar, i përket, diagram, vizatim, skicë, simbol, shenjë, relacion, figurë, ndërtim, konstruktim. 2.2.2. Metodat ilustruese-demostruese Demonstrimi dhe ilustrimi pranohen si dy nocione të veçanta, të cilat dallohen në mbështetje të karakterit dinamik, përkatësisht statik të tyre. Formimi dhe përvetësimi i koncepteve fillestare matematike, zakonisht vete me këtë radhitje: 1. Loja dhe puna me gjësende konkrete 2. Loja dhe puna me objekte të vizatuara 3. Loja dhe puna me simbole konkrete 4. Loja dhe puna me simbole të vizatuara 5. Loja dhe puna me mjete didaktike. 11 Metodat demonstruese-ilustruese ndihmohen dhe plotësohen në mënyrë të ndërsjellë. Fillimisht, koncepti bashkësi shtjellohet nëpërmjet elementeve konkrete (bashkësisë së fëmijëve, librave, fletoreve,... të cilat fëmija mund t i prekë me dorë.) Në hapin pasues, mund të skicohen(vizatohen) elementet (të cilat më parë i preknin me dorë) dhe së fundi, vizatohen simbolet e tyre. Me anë të demonstrimit zënë fill konceptet elementare matematike: bashkësia, elementet e një bashkësie, bashkësia boshe, nënbashkësia, sendet, gjallesat, si dhe shumë koncepte të tjera. Vlera reale e demonstrimit varet nga: -gatishmëria dhe shkathtësia e edukatores për të demonstruar -shkathtesia dhe aftësia e fëmijëve për t i mbajtur në mend ato, me shumë detaje -koha e mjaftueshme për demonstrim -pozita ballore e demonstrimit -gatishmëria dhe pjesëmarrja e fëmijëve për të demonstruar, me dorën e vet. 11 Po aty, f.142 26

Demonstrimi këndell, nxitë, zhvillon dhe përparon të menduarit funksional. Ekziston material i panumërt didaktik, përmes të cilit mund të demonstrohet, ku bëjnë pjesë edhe blloqet logjike dhe thuprat e ngjyrosura. Përmes tyre zhvillohet, zgjohet dhe shtohet shumë shpejtë inteligjenca e fëmijëve. 12 Figura 12: Blloqet logjike dhe thuprat e ngjyrosura 12 Po aty, f.144 27

3. Aktivitetet matematike-logjike dhe lojërat në funksion të formimit të konceptit bashkësi 3.2. Aktivitetet matematike-logjike lidhur me bashkësitë (Grupmosha 3-4 vjeç) Kuptimi i bashkësisë është abstraksioni i parë matematik të cilin fillojnë ta formojnë fëmijët e moshës 3 dhe 4 vjeçare. Gjatë zhvillimit të kuptimit të bashkësisë, preferohet që aktivitetet në lidhje me bashkësitë të bëhen duke u nisur nga situatat e zakonshme, nga mjedisi ku jetojnë fëmijët, siç janë: familja, kopshti dhe nga objektet që e rrethojnë, siç janë: lodrat, mobiliet e fëmijëve në shtëpi dhe kopsht, objekte të ndryshme në natyrë, materiali didaktik etj. Edukatorja duhet të përqëndrojë kureshtjen e fëmijëve në faktet e shumta si: bashkohen fëmijët në kopsht, bashkohen anëtarët e familjes në shtëpi, mund të mblidhen të gjitha lodrat në këndin e tyre, mblidhen pemët në shportë, mblidhen zogjtë nëpër tela etj. Koncepti i bashkësisë, i cili kryesisht zhvillohet me anë të aktiviteteve të orientuara në kopshtet e fëmijëve, mund të zhvillohet edhe në mënyra të tjera, si p.sh. gjatë aktiviteteve të lira, në kopsht, gjatë shëtitjeve etj. Grupimet e objekteve, e në këtë kontekst edhe veprimet e formimit dhe të zbërthimit të bashkësive, kanë vlerë të madhe si pedagogjike, ashtu edhe arsimore. Aftësia e të hetuarit të ndonjë cilësie të veçantë të një objekti dhe aftësia e bashkimit të objekteve në bazë të cilësive të përbashkëta të objekteve, është hap i rëndësishëm i zhvillimit logjik të fëmijës. Me qëllim të tërheqjes së vëmendjes së fëmijës në objektet të cilat kanë cilësi të caktuara, praktikohet zbatimi i ushtrimeve logjike. Këto ushtrime zhvillohen për të dalluar cilësitë e objekteve, për të gjetur ngjashmëritë dhe dallimet ndërmjet tyre. Më pas bëhet grupimi i objekteve sipas kriterit të dhënë. Kjo mënyrë e grupimit të objekteve bën që fëmija, duke menduar, t i dallojë objektet që kanë një cilësi të caktuar dhe atë cilësi e shfrytëzon si kriter për grupim. Ky proces paraqet formimin e bashkësisë. Gjatë zhvillimit të aktiviteteve të grupimit të objekteve, fëmija gradualisht arrin të hetojë se bashkësia përbëhet prej objekteve të veçanta, do të thotë prej elementeve. Për këtë qëllim, fëmijën duhet nxitur që në mënyrë praktike, duke menduar, të dijë të dallojë çdo element të grupit (bashkësisë). Poashtu, ai duhet të vërejë dallimet ndërmjet bashkësive si dhe objekteve të veçanta brenda të njëjtës bashkësi. Në këtë mënyrë, fëmija aftësohet të identifikojë çdo element të bashkësisë. 13 Në vazhdim do të paraqesim një model të ecurisë metodike dhe punës edukativoarsimoreqë mund të zhvillohet në entet parashkollore: 13 Xh.Thaçi, S.Tahiri Metodika e koncepteve fillestare matematike, Prishtinë, 2002, f. 163 28

-Para fëmijëve sillet një numër i objekteve, për shembull një shportë me kapakë të plastikës, aq sa është numri i fëmijëve në grupin edukativ. Fëmijët do të konstatojnë se në shportë ka shumë kapakë. -Pastaj çdo fëmijë duhet të marrë nga një kapak. Edukatorja do të theksojë vetëm një kapak dhe më tej shtron pyetjen: Nga sa kapakë keni secili prej jush?. Përgjigjja e pritur është nga një. Kështu, konstatohet se në shportën e cila tani është e zbrazët nuk ka mbetur asnjë kapak. -Tani nga fëmijët kërkohet të kthejnë nga një kapak në shportë dhe u shtrohet pyetja: Nga sa kapakë ju kanë mbetur? -Përgjigjja do të jetë asnjë. Vazhdohet me pyetjen Sa kapakë ka në shportë? -Përgjigjja do të jetë shumë. Gjatë zhvillimit të këtyre aktiviteteve, edukatorja duhet të drejtojë vëmendjen e fëmijëve në ndryshimet e numrit të elementeve në bashkësi dhe t i nxisë ata që vet të konstatojnë se bashkësia zvogëlohet kur nga ajo marrim elemente, ndërsa rritet kur asaj i shtojmë elemente. Aktivitete të ngjajshme mund të zhvillohen edhe me materiale të tjera,(p.sh. duke marrë një shportë me molla, koleksion lapsash etj.) ashtu që fëmijët do të mund të parashikojnë rezultatin e veprimit praktik të tyre. Për këtë qëllim, janë të përshtatshme pyetjet e tipit: -Çka duhet të bëjmë që të kemi më shumë?-nga sa... duhet të kthejë në shportë secili fëmijë? etj. Me këtë grupmoshë të fëmijëve, krahas koncepteve një dhe asnjë, mund të zhvillohet dhe të formohet edhe koncepti i bashkësisë dyelementëshe, e mandej zhvillohet kuptimi i dyshes së renditur do të thotë bashkësi dy elementëshe me renditje të caktuar të elementeve të saj. 14 Ecuria metodike e zhvillimit të kuptimit të bashkësisë dyelementëshe mund të bëhet ngjashëm me ecurinë që do të tregojmë në vazhdim: -Nga fëmijët kërkohet që të zgjedhin ndonjë objekt nga mjedisi i tyre. Pastaj zgjedhinedhe nga një objekt tjetër. Në këtë mënyrë, ata formojnë bashkësi prej dy elementeve(çift). Nëse e kthejnë njërin objekt aty ku e kanë marrë, konstatojnë se atyre u ka mbetur një objekt. Nëse kthehet edhe objekti tjetër, atëherë konstatojnë se atyrë nuk u ka mbetur asnjë objekt. Në këtë mënyrë mund të shpjegohet kuptimi i bashkësisë së zbrazët (boshe). Fëmijët udhëzohen që të japin shembuj të çifteve, siç janë: prindërit,fëmijët në shtëpi (dy vëllëzër, dy motra,një motër e një vëlla), rrotat e biçikletës, dy duar, dy këmbë, dy sy, dy veshë etj. Grupimi i objekteve sipas ndonjë karakteristike të përbashkët të tyre, paraqet aktivitet fillestar matematiko-logjik gjatë të cilit fëmija, me vetëdije, dallon karakteristikën e objektit sipas të cilit bën grupimin. Për shembull, janë dhënë objekte të ndryshmë dhe pemë. Fëmija ka për detyrë që të rrethojë me një vijë të mbyllur të gjitha që i takojnë bashkësisë së pemëve. Karakteristika e tillë i shërben fëmijës si kriter për të bërë klasifikimin e tillë. Këto aktivitete bëhen duke filluar me objekte dhe lëndë konkrete për të arritur në fund te paraitj e tyre me anë të fotografive dhe vizatimeve. Për ne, nuk është me rëndësi karakteristika kualitative e elementeve 14 Po aty, f. 164 29

të bashkësisë, por karakteristika kuantitative e tyre, prandaj bashkësisë së elementeve konkrete i shoqërojmë bashkësinë e pikave- çdo elementi i shoqërojmë një pikë. Në aktivitetet e lira, p.sh. përmes lojës Blerësi dhe shitësi, në këndin e matematikës, fëmija formon bashkësi nga grupet e gjësendeve që shiten dhe blihen dhe i kupton si tërësi. Me udhëheqje të drejtë të fëmijëve nga edukatorja, ata do të vërejnë se bashkësia përbëhet prej elementeve. Në aktivitetet e orientuara, në fazën përgatitore, fëmijëve mund t iu tregohet ndonjë tregim i përshtatshëm me të cilin mund të motivohen për të kuptuar konceptin e bashkësisë. Fëmijët mund të angazhohen në mbledhjen e frutave apo luleve për buqeta etj. E gjithë kjo mund të përgatitet me anë të aplikacioneve. Mund të zgjidhen tregime të përshtatshme në të cilat bashkësi të ndryshme formohen nga materiale simbolike(objekte të vizatuara). Mund të jepen edhe fleta me figura të ndryshme në të cilat fëmijët do tërrethojnë p.sh. gjërat që mund të hahen, figurat me formë të njëjtë, mjetet për shkrim etj. Shembulli 1: Rretho figurat me të njëjtën formë. Figura 13 Në fazën e fundit, formimi i bashkësive bëhet me anë të të menduarit, duke formuar bashkësi nga objektet të cilat nuk shihen. Kështu p.sh. mund të formohet bashkësia e anëtarëve të familjes, bashkësia e orendive të shtëpisë, si dhe bashkësi të tjera nga mjedisi i fëmijës. 30

Sa herë që të flasim për një bashkësi, duhet të shqyrtohen elementet e saj. Në këtë mënyrë formohet koncepti, i cili nënkupton përkatësinë e elementit: i takon apo nuk i takon bashkësisë. Duke theksuar përkatësinë e elementeve të bashkësisë së dhënë, zhvillohen më pastaj konceptet një, asnjë dhe shumë. Fëmijët e kësaj grupmoshe nuk janë ende në gjendje që të vizatojnë apo të paraqesin grafikisht bashkësitë. Megjithatë, nga fletat e punës mund të formojnë bashkësi të llojllojshme duke qarkuar. Me anë të blloqeve me sukses zhvillohet aftësia e formimit të bashkësive. Kështu, nga kompleti i blloqeve logjike, fëmijëve mund t iu shtrohet p.sh. kjo detyrë: Brenda rrethit, të grupohen blloqet të cilat kanë vetinë e caktuar (p.sh. të grupohen blloqet me ngjyrë të kuqe, blloqet me formë rrethore etj.). Edhe ushtrimet për formimin e bashkësive (grupimin e objekteve) duhet të lidhen me përmbajtje të tjera matematike. P.sh. mund të bëhet grupimi sipas lartësisë, sipas trashësisë, sipas formave gjeometrike etj. Lojërat me blloqe logjike janë karakteristikë e fëmijëve të moshës parashkollore. Veprimet me bashkësi fëmijërt i përvetësojnë, duke formuar bashkësi nga dy bashkësi të tjera (kjo më vonë u shërben edhe për veprimet me numra). Kështu, p.sh. nga dy buqeta lulesh, formohet një buqetë e re. Bashkësia e re, e ndërtuar në këtë mënyrë, ka më shumë elemente se secila nga bashkësitë nga të cilat është krijuar. Gjatë veprimeve të ndryshme me bashkësi, fëmija do të përvetësojë edhe relacionet i barabartë, më pak, më shumë etj. Në këtë fazë të zhvillimit të fëmijëve, të menduarit matematik fillon me anë të zbatimit të pasqyrimeve, në formë të pasqyrimeve bijektive apo të shoqërorizimit bijektiv. Pikërisht, me anë të pasqyrimeve të bashkësive, te fëmijët zhvillohet të kuptuarit e relacioneve më shumë, më pak dhe barabartë. Nëse gjatë përgatitjes së fëmijëve për të ngrënë drekën, në tavolinë vendosen më pak pjata se sa është numri i fëmijëve, ata do të konstatojnë se ka më shumë fëmijë se pjata. Prandaj, për t u barazuar numri i fëmijëve me numrin e pjatave, duhet sjellur edhe disa pjata në tavolinë. Këtë barazim, fëmijët e kuptojnë duke vënë korrespodencën 1-1 ndërmjet bashkësisë së fëmijëve dhe bashkësisë së pjatave në tavolinë. 31

3.3. Aktivitetet matematike-logjike lidhur me bashkësitë (Grupmosha 5-6 vjeç) Në moshën 5-7 vjeç, duhet të vazhdohet me zhvillimin e njohurive të filluara lidhur me formimin dhe klasifikimin e bashkësive. Kjo arrihet duke zgjedhur probleme më të vështira. Për këtë arsye, numri i formimit të bashkësive do të jetë më i madh. Në këtë rast, do të merren në shqyrtim edhe kritere për elementet e bashkësive, të cilat deri më tani kanë qenë të papranueshme për fëmijët. Në këtë moshë përdoren edhe mjete dhe materiale të tjera e sidomos materiali specifik didaktik, blloqet logjike, të cilat për shkak të vetive të tyre specifike (tri ngjyra, dy madhësi, dy trashësi dhe katër forma), mundësojnë klasifikimin e bashkësive në bazë të një, dy, tri e më tepër kritereve njëkohësisht. Më tej, mund të shfrytëzohen edhe detyra nga fletët e punës, me anë të të cilave klasifikimi i objekteve mund të ndërlidhet me përmbajtje të tjera matematike. Fletët e punës mund të shfrytëzohen edhe për formimin dhe zbërthimin e bashkësive. Poashtu, mundësohet edhe zhvillimi i aftësisë së fëmijës për paraqitjen grafike të bashkësive. Paraqitja grafike e bashkësive realizohet gradualisht me një varg aktivitetesh, siç janë vendosja e objekteve të një bahskësie në një enë, në një rreth, apo në një vend tjetër të kufizuar(rrethuar me litar) etj. Se diagramet e Venit duhet të përdoren në arsimimin matematik të fëmijëve të moshës parashkollore, thekson edhe matematikani holandez Frojdental, i cili thekson një shembull të përshtatshëm në këtë kontekst: vija e mbyllur e lakuar mund ta paraqesëtavolinën, ndërsa pikat brenda vijës mund të paraqesin gjërat në tavolinë. 15 Te fëmijët e moshës parashkollore, paraqitja grafike e bashkësive, në zhvillimin e konceptit të bashkësisë ka rëndësi të madhe. Meqë, njohuritë e fëmijëve, në këtë moshë, ende janë të lidhura me objekte konkrete, për të formuar konceptin e bashkësisë si kategori abstrakte, duhet bërë grupimin e objekteve me anë të paraqitjeve grafike.në këtë mënyrë kalohet nga bashkësitë konkrete në ato abstrakte(të menduara). Kështu, nëse elementet e një bashkësie të formuar me grupimin e objekteve të cilat kanë ndonjë veti të përbashkët (pak a shumë të theksuarë apo të vërejtur), i vendosim brenda ndonjë rrethoje të kufizuar p.sh. me një litar, me një vijë shkumësi apo në një mënyrë tjetër, atëherë fëmijëve mund t iu drejtohemi: Ja, kjo është një bashkësi. Në këtë rast theksi vihet pikërisht në rrethojën e atyre objekteve, e cila, në këtë rast, paraqitet si faktor kryesor në përcaktimin e bashkësisë, edhe pse në fakt bashkësia ekziston edhe pa rrethojën. Paraqitja grafike e bashkësive vazhdohet duke marrë shembuj të ndryshëm. Në shembujt e paraqitur, fëmijët vet do të rrethojnë bashkësi. P.sh. Fëmijëve u shpërndahen figurat e kafshëve shtëpiake dhe atyre të egra. Nga fëmijët kërkohet që të ndajnë (rrethojnë) bashkësinë e kafshëve shtëpiake brenda një rrethoje, ndërsa kafshët tjera do të mbesin jashtë rrethojës. 15 Po aty, f. 168 32

Ngjashëm mund të kërkojmë nga fëmijët që në aplikacionet në të cilat ndodhen figura të ndryshme gjeometrike, të rrethohen figurat që kanë një veti të përbashkët. Në këtë moshë, fëmijët mund të vizatojnë bashkësi, me kusht që t u ndihmohet dhe t u jepen sqarimet e nevojshme. Në këtë moshë, fëmijët poashtu arrijnë të kuptojnë edhe shoqërizimin(pasqyrimin) e elementeve të një bashkësie me elementet e një bashkësie tjetër. Meqenëse, kuptimi i korrespodencës paraqet fillimin e të menduarit matematik, përvetësimi i kuptimit të shoqërizimit në aktivitetet logjike-matematike, ka rëndësi edukativo-arsimore. Se si mund të bëhet aftësimi i fëmijëve, për vendosjen e korrespodencës (një-një), do të tregomë përmes dy shembujve: Shembulli 1: Në vende të ndryshme në dhomë vendosen disa grupe të lodrave. Secilit grup të lodrave u shtohet i njëjti numër i objekteve të caktuara duke iu shoqëruar çdo lodre një objekt të tillë. Numri i lodrave nëpër grupe të ndryshme mund të jetë i ndryshëm, por jo më i madh se pesë. Në këtë rast, fëmijët do të konstatojnë se: - Numri i lodrave mund të jetë i ndryshëm - Bashkësitë përbëhen prej objekteve të veçanta - Duhet bërë barazimin numerik (sasior) ndërmjet bashkësive të krahasueshme Efektet njohëse të fëmijëve do të jenë më të mëdha nëse ata nxiten që të theksojnë dhe të tregojnë se çka kanë bërë. (P.sh. Çdo kukulle i kam shoqëruar një mollë ). Lojërat e tilla duhet të përsëriten duke ndryshuar mjetet e punës- materialin didaktik, lodrat etj. Shembulli 2: Organizimi i aktiviteteve në të cilat figurat mbulohen me lodra të vogla apo aplikacione të tjera, ndihmon me sukses zhvillimin e kuptimit të korrespodencës ndërmjet elementeve të bashkësive të ndryshme. Kështu, mund të shfrytëzohen: Shiriti nga letra e fortë me gjatësi 8-10 cm, i ndarë horizontalisht në dy pjesë. Në pjesën e sipërme vendosen fotografi të objekteve interesante për fëmijët apo figura gjeometrike. Pjesa e poshtme është e lirë. Ecuria metodike është kjo: -Së pari edukatorja do të demonstrojë duke sqaruar mënyrën e punës-zgjidhjes së detyrës, dhe duke sqaruar kuptimin e fjalës aq sa ( vendosa aq lule sa flutura ). Mandej, fëmijëve iu shpërndahen lodrat e vogla (secilit i shpërndahen nga dy apo tri lodra më tepër se numri i fotografive në shirit) me të cilat do të mbulohen fotografitë në shiritin e letrës. Nga fëmijët kërkohet që të mbulojnë fotografitë duke i vënë lodrat (apo aplikacionet) nga e majta në të djathtë. Gjatë realizimit të këtyre ushtrimeve lidhur me korrespodencën, zakonisht shfaqen gabime në të cilat kalohet një figurë pa u mbuluar, prandaj mund të praktikohet që në pjesën e poshtme të shiritit për çdo figurë të ndërtohet katrori përkatës. Në mënyrë që fëmijët të zhvillojnë këto aktivitete jo vetëm mekanikisht, por edhe duke angazhuar të menduarit, materialet dhe lodrat duhet të jenë interesante dhe tërheqëse për fëmijët. Veprimet me bashkësi fëmijët i përvetësojnë nëpërmjet formimit të bashkësisë së re nga dy bashkësi të dhëna më parë. Nga aplikacionet (figurat, lodrat etj.) që mbajnë dy apo më shumë fëmijë, kur i bashkojnë ato, formohet një bashkësi e re. Bashkësia e re, e formuar në këtë 33

mënyrë, ka më shumë elemente se secila prej bashkësive nga të cilat u krijua. Poashtu, kur nga dy fëmijë, të cilët kanë elemente të bashkësive të lodrave (p.sh. blloqe logjike) të njëjta, mund të kërkohet formimi i bashkësisë së re nga ato elemente të njëjta, me këtë rast kryhet veprimi i prerjes së bashkësive. Shembulli 3: Nga dy bashkësi të dhëna me figura gjeometrike me forma të ndryshme, formo bashkësinë e cila përmbanë vetem trekëndësha. A B A B Figura 14 Gradualisht, fëmijët do të mund të formojnë bashkësi edhe me elemente të ndryshme. Duke formuar bashkësi të ndryshme dhe duke i krahasuar elementet e tye, fëmijët vërejnë se disa nga elementet u takojnë bashkësive të ndryshme. Në këto rase, fëmijët, në mënyrë intuitive kuptojnë prerjen e bashkësive. Duke i krahasuar bashkësitë, të përbëra prej objekteve të ndryshme duke i formuar dhe zbërthyer ato, fëmijët do të zbulojnë mundësinë e renditjes së bashkësive nga bashkësia më e madhe deri në bashkësinë më të vogël dhe anasjelltas. Kështu, deri sa klasifikimi nënkupton grupimin e objekteve pa marrë parasysh si renditen ato në grup, renditja nënkupton vënien e raportit të caktuar ndërmjet tyre. 34

Lidhur me zhvillimin, përvetësimin dhe përforcimin e njohurive për bashkësitë dhe veprimet me bashkësi, mund të përdoren me sukses fletët e punës. 3.4. Loja në funksion të zhvillimit të njohurive mbi bashkësitë Në literaturën matematike ka mjaft shembuj për lojërat matematike të cilat, te fëmijët e moshës parashkollore, zhvillojnë me sukses njohuritë për bashkësitë dhe aftësitë e formimit dhe shformimit të tyre. Meqenëse loja paraqet aktivitetin primar te fëmijët e moshës parashkollore, në vazhdim po japim disa shembuj të lojërave të shumta matematike. Këto lojëra mund të realizohen me sukses në procesin edukativo-arsimor në entet parashkollore. Me qëllim të zhvillimit të njohurive dhe aftësive të veprimeve logjike me objekte konkrete dhe me qëllim të zhvillimit të aftësisë për formimin e bashkësive, në fillim shfrytëzohen lojërat e lira imitative të cilat nuk kanë rregulla rigoroze. Fëmijët në këtë rast nxiten që të vërejnë bashkësitë e objekteve të ndryshme, të emërtojnë objektet dhe vetitë e tyre, të vërnë ngjashmëritë dhe dallimet ndërmjet tyre etj. Më poshtë janë dhënë disa shembuj të përshtatshëm: 1. Për të vërejtur dallimin e objekteve, mund të shfrytëzohet loja e ashtuquajtur: Gjeje dallimin. Një variant i kësaj loje, me fëmijët e moshës 3-5 vjeç, mund të zbatohet për të zhvilluar aftësinë e të dalluarit të objekteve sipas vetive (formës, ngjyrës, madhësisë, trashësisë etj.). Mjetet e lojës: Lodra dhe objekte të llojllojshme nga mjedisi i fëmijës: Të buta: leshi, buka, plastelina etj. Të forta: druri, lëndë metalieke, arra, lajthia, hallkat etj. Të holla: fleta e letrës, faculeta, kartolina, libri i hollë, pjesë së dërrasës së hollë etj. Të rënda:guri, çekiçi etj. Të lehta: balona e fryer, stiropori, gota e plastikës etj. Të rrumbullakëta: topi, rrethi, unaza, cilindri, gota etj. Të brinjëzuara: kubi, katrori, libri, çanta, dërrasa etj. Ecuria e lojës: Edukatorja, së pari, duhet të demonstrojëme materialet te të cilat fëmijët do të dallojnë një veti (p.sh. të mëdha dhe të vogla). Më vonë futen në përdorim edhe objete të tjera me të cilat rritet numri i vetive. Loja mund të ndryshojë varësisht nga ecuria metodike, duke mbajtur në nivel interesimin e fëmijëve dhe motivimin e tyre për lojë. 35

Foto: Loja Gjeje dallimin 2. Me anë të lojërave te të cilat zhvillohet vrojtimi i dallimeve ndërmjet objekteve të ndryshme, zhvillohet edhe aftësia e grupimit elementar sipas vetisë së vërejtur të objekteve të dhëna. Për këtë qëllim, me fëmijët e moshës 3-5 vjeç mund të shfrytëzohet loja e ashtuquajtur: Gjeje të njëjtën. Mjetet e lojës: figura gjeometrike, kubet e ngjyrosura, toptha të ngjyrosur, lodra të llojllojshme, kukulla, vetura-lodra etj Ecuria e lojës: Në një tavolinë, edukatorja përgatitë disa objekte të zgjedhura, ndërsa në afërsi të tavolinës, në një raft, rendit objektet plotësisht të njëjta me ato në tavolinë. Pastaj, thërret fëmijët me radhë. Fëmija, i cili në tavolinë ka zgjedhur një lodër-objekt, duhet të shkojë te rafti të zgjedhë një objekt të njëjtë me të(ose më shumë nëse ka më tepër objekte të njëjta). Objektet e zgjedhura fëmijët i mbajnë në duar deri sa edukatorja të kontrollojë se a i kanë zgjedhur apo jo si duhet objektet. Edukatorja do t u ndihmojë fëmijëve të cilët nuk i kanë gjetur objektet e njëjta, Loja mund të përsëritet edhe herëve të tjera në mënyrë që numri i objekteve të rritet, ndërsa madhësia e tyre të zvogëloet (d.m.th. lodrat mund të jenë të madhësisë së vogël) dhe në lojë të futen objektet-lodra me të cilat fëmijët njihen për herë të parë. 36

Foto: Loja Gjeje të njëjtën 3. Ushtrimet e formimit dhe shformimit (zbërthimit) të bashkësive te fëmijët e rritur (rreth 6 vjeç) mund të zhvillohen edhe me të ashtuquaturën lojën: Kush më mirë e kush më shpejt. Mjetet e lojës: Zhetonat, elemente të materialit konstruktiv në tavolinë, figura gjeometrike etj. Ecuria e lojës:fëmijët ndahen në dy grupe të njëjta dhe ulen në tavolinë përballë njëri-tjetrit. Para çdo fëmije vendosen aq elemente për formimin e bashkësisë, aq sa kërkohet nga edukatorja (p.sh. të formohet bashkësia me 7 elemente). Në shenjën për fillimin e lojës, lojtari i parë, nga 7 elemente sa ka para vetes, arrin të vendosë 4 elemente (sipas ndonjë kriteri të cilin e cakton edukatorja varësisht nga lloji i materialeve). Partneri i tij, i cili ndodhet përballë, mund të vendosë vetëm edhe 3 elemente, për të formuar kështu bashkësinë 7 elementëshe. Nëse, eventualisht, ndonjë fëmijë i grupit të parë, arrin të vendosë të gjitha 7 elementet, atëherë partnerit të tij nuk i mbetet vend për asnjë element. Loja përsëritet 4 herë, duke u ndërruar renditja e grupeve. Do të fitojë grupi, i cili ka pasur më së paku gabime. Loja mund të përsëritet edhe duke e vështirësuar atë, me futjen e elementeve të ngjyrave, formave, madhësive të ndryshme etj. 37

4. Me qëllim të përvetësimit sa më të drejtë të konceptit të bashkësisë, me mjaft sukses zbatohet loja e ashtuquajtur: Tregtorja. Mjetet e lojës: Lodra të ndryshme. Ecuria e lojës: Edukatorja u propozon fëmijëve të mbledhin të gjitha lodrat në mes të dhomës. Duke i vendosur ato në mes të dhomës, ata kujdesen që të mos sillen gjëra të cilat nuk janë lodra (edukatorja ka kërkuar vetëm lodra). Fëmijët ulen rreth grumbullit të lodrave dhe i emërtojnë ato (kukulla, topi, treni, kamioni etj.). Me fëmijët mund të bisedohet se kush cilën lodër e dëshiron, ku do ta blinte etj. Në fund, arrihet propozimi që të luajnë lojën e tregtores. Para se të fillohet loja kryesore, duhet rregulluar lodrat si në tregtore: veçmas kukullat, veçmas kubet, veçmas automobilat etj. Në këtë mënyrë, fëmijët bëjnëklasifikimin e lodrave dhe i vendosin ato në vende të veçanta. Gjatë kryerjes së këtyre përgatitjeve për lojë, edukatorja do t i shpërblejë fëmijët me të holla. Tani mund të fillojë loja në tregtoren e improvizuar të lodrave të fëmijëve. Në të, fëmijët me të hollat e fituara, do të blejnë lodra duke bërë ndërrimin një me një (një pare për një lodër) dhe duke përdorur shprehjet e mirësjelljes: mirëdita, urdhëroni, faleminderit, urdhëroni herën tjetër etj. 5. Lidhur me krahasimin e bashkësive dhe korrespodencën ndërmjet tyre, këshillohet e ashtuquajtura loja: Kopshti zoologjik (i fëmijëve). Mjetet e lojës: Lodra të ndryshme, të cilat paraqesin kafshë nga kopshti zoologjik. Ecuria e lojës: Zgjidhen dy fëmijë të cilët do të luajnë rolin e dy vëllëzërve: Genti dhe Trimi. Genti dhe Trimi kanë nga një kopsht zoologjik. Edukatorja pyet: Më tregoni, nëse këta dy djem kanë numër të njëjtë të kafshëve?. Me këtë pyetje fëmijët shtyten që të konstatojnë raportin e numrit të kafshëve. Edukatorja vazhdon: Të shohim: një Genti, një Trimi, edhe një Genti, edhe një Trimi.... Edukatorja vazhdon kështu duke vënë korrespodencën ndërmjet elementeve të njërës bashkësi (kafshëve të Gentit) me elementet e bashkësisë tjetër (kafshëve të Trimit), duke konstatuar se Genti dhe Trimi kanë numër të njëjtë të kafshëve. Edukatorja do të vazhdojë: Deri sa Genti dhe Trimi kanë qenë në kopsht, motra e tyre Valëza, i ka dhuruar shoqes së vet një kafshë. Por ne nuk e dimë se kujt ja ka marrë kafshën, Gentit apo Trimit. Si do ta gjejmë se kujt i mungon një kafshë? Ndërkohë, edukatorja nga njëri kopsht zoologjik, pa u hetuar, do të largojë një (apo më shumë) kafshë. Më pas, vazhdohet loja duke vënëkorrespodencë1-1 ndërmjet kafshëve të Gentit dhe kafshëve të Trimit. Në fund të vënies së korrespodencës, fëmijët do të konstatojnë lehtë se cili kopsht ka më shumëkafshë (cili kopsht ka më pak kafshë), për sa kafshë ka më tepër (ose më pak) njëri kopsht se kopshti tjetër etj. 38

Foto: Loja Kopshti zoologjik (i fëmijëve) 39

SHTOJCA 40

AKTIVITETE ME BASHKËSI TË ZHVILLUARA NË KLASË Foto: Formimi i bashkësive 41

Foto: Nënbashkësia Foto: Prerja e bashkësive 42

Foto: Komplementi i bashkësisë 43

FLETË PUNE LIDHUR ME BASHKËSITË EMRI: Rretho kafshët e të njëjtit lloj. 44

EMRI: Formo bashkësinë e gjërave që përdorim për tu veshur. 45

EMRI: Një objekt në secilin rresht ka nga një pjesë që i mungon. Vizato atë. 46

EMRI: Lidh bashkësinë me numrin përkatës. 47