Prof.dr.ing. Universitatea "Politehnica" Bucureşti, Facultatea de Inginerie Electrică Suport didactic pentru disciplina Metode numerice, 017-018 1/35
Cuprins Introducere 1 Introducere Importanţa evaluării integralelor Formularea problemei integrării numerice Idei de calcul numeric Metoda dreptunghiurilor Metoda trapezelor Metoda Simpson 3 Analiza erorii Metoda trapezelor recursive Metoda Romberg /35
Importanţa evaluării integralelor Importanţa evaluării integralelor Formularea problemei integrării numerice Idei de calcul numeric Relaţii utile pentru evaluarea unor mărimi: u = E dl ϕ = B da q = C Rezolvarea ecuaţiilor diferenţiale S D ρ dv dx dt t = f(x(t), f) x(t) = x(t 0 )+ f(x(t ), t ) dt t 0 "rezolvare" = "integrare" (în acest context) 3/35
Importanţa evaluării integralelor Formularea problemei integrării numerice Idei de calcul numeric Formularea problemei - cazul cel mai simplu Se dă funcţia f : [a, b] IR (cunoscută prin date sau prin cod) Se cere evaluarea numerică a integralei definite b a f(x) dx unde f este presupusă continuă şi mărginită. Numeric: idei inspirate din matematică. 4/35
Idei de calcul numeric (I) Importanţa evaluării integralelor Formularea problemei integrării numerice Idei de calcul numeric T. fundamentală a analizei Dacă f e continuă şi F este o primitivă a ei (F = f ) atunci b a f(x) dx = F(b) F(a) În problemele reale F nu este cunoscută aplicarea acestei metode este foarte grea / imposibilă. 5/35
Idei de calcul numeric (I) Importanţa evaluării integralelor Formularea problemei integrării numerice Idei de calcul numeric T. fundamentală a analizei Dacă f e continuă şi F este o primitivă a ei (F = f ) atunci b a f(x) dx = F(b) F(a) În problemele reale F nu este cunoscută aplicarea acestei metode este foarte grea / imposibilă. :( 5/35
y y Introducere Idei de calcul numeric (II) Importanţa evaluării integralelor Formularea problemei integrării numerice Idei de calcul numeric Semnificaţia geometrică a integralei 6 1.8 5 1.6 4 1.4 1. 3 1 0.8 0.6 1 0.4 0. 0 0 4 6 8 10 1 x 0 0 4 6 8 10 1 x 6/35
y y Introducere Idei de calcul numeric (II) Importanţa evaluării integralelor Formularea problemei integrării numerice Idei de calcul numeric Semnificaţia geometrică a integralei 6 1.8 5 1.6 4 1.4 1. 3 1 0.8 0.6 1 0.4 0. 0 0 4 6 8 10 1 x 0 0 4 6 8 10 1 x În calculator funcţiile nu au reprezentări continue. 6/35
y y Introducere Idei de calcul numeric (II) Importanţa evaluării integralelor Formularea problemei integrării numerice Idei de calcul numeric Semnificaţia geometrică a integralei 6 1.8 5 1.6 4 1.4 1. 3 1 0.8 0.6 1 0.4 0. 0 0 4 6 8 10 1 x 0 0 4 6 8 10 1 x În calculator funcţiile nu au reprezentări continue. : 6/35
y y Introducere Idei de calcul numeric (III) Importanţa evaluării integralelor Formularea problemei integrării numerice Idei de calcul numeric Definiţia integralei folosind sume Darboux Partiţia P : a = x 0 < x 1 <... < x n = b 6 1.8 5 1.6 4 1.4 1. 3 1 0.8 0.6 1 0.4 0. 0 0 4 6 8 10 1 x 0 0 4 6 8 10 1 x 7/35
y y Introducere Idei de calcul numeric (III) Importanţa evaluării integralelor Formularea problemei integrării numerice Idei de calcul numeric Definiţia integralei folosind sume Darboux Partiţia P : a = x 0 < x 1 <... < x n = b 6 1.8 5 1.6 4 1.4 1. 3 1 0.8 0.6 1 0.4 0. 0 0 4 6 8 10 1 x 0 0 4 6 8 10 1 x 7/35
Idei de calcul numeric (III) Importanţa evaluării integralelor Formularea problemei integrării numerice Idei de calcul numeric Definiţia integralei folosind sume Darboux Partiţia P : a = x 0 < x 1 <... < x n = b m i = inf{f(x) : x i x x i+1 } L(f,P) = n 1 i=0 m i(x i+1 x i ) M i = sup{f(x) : x i x x i+1 } U(f,P) = n 1 i=0 M i(x i+1 x i ) L(f,P) b a f(x) dx U(f,P) Dacă inf P U(f,P) = sup P L(f,P) atunci această valoare este integrala (Riemann). :) T. Orice funcţie continuă, mărginită, definită pe un domeniu închis este integrabilă Riemann. 7/35
Idei de calcul numeric (recap.) Importanţa evaluării integralelor Formularea problemei integrării numerice Idei de calcul numeric Metodele de integrare numerică Sunt inspirate de metodele care calculează arii; Cea mai simplă metodă - aria e aproximată de o reuniune de dreptunghiuri. f g, unde g este constantă pe porţiuni şi b a f(x) dx b a g(x) dx Aproximări mai rafinate pentru g pot conduce la rezultate mai bune. 8/35
Idei de calcul numeric Importanţa evaluării integralelor Formularea problemei integrării numerice Idei de calcul numeric Algoritmii depind de modul în care este definită funcţia: printr-un tabel de valori {x k, y k = f(x k )}, k = 0, n prin cod f(x) poate fi evaluat în orice x din domeniul de definiţie. 9/35
y Introducere Metoda dreptunghiurilor - Ideea Metoda dreptunghiurilor Metoda trapezelor Metoda Simpson 6 6 5 5 4 4 3 3 1 y i Li yi+1 1 y i+1 yi Ui x 0 0 4 6 8 10 1 i i+1 x 0 0 4 6 8 10 1 xi i+1 x L i = (x i+1 x i ) min(y i, y i+1 ) U i = (x i+1 x i ) max(y i, y i+1 ) n 1 L = L i i=0 n 1 U = i=0 U i 10/35
Metoda dreptunghiurilor Metoda trapezelor Metoda Simpson Metoda dreptunghiurilor - Algoritm funcţie integrala_dreptunghi(n,x,y) ; calculează integrala numerică prin metoda dreptunghiurilor întreg n tablou real x[n], y[n] ; tabelul de valori, indici de la 0 L = 0 U = 0 pentru i = 0, n 1 m i = min(y i, y i+1 ) M i = max(y i, y i+1 ) h = x i+1 x i L = L + mh U = U + Mh val.l = L val.u = U întoarce val 11/35
Metoda dreptunghiurilor Metoda trapezelor Metoda Simpson Metoda dreptunghiurilor - Algoritm funcţie integrala_dreptunghi(n,x,y) ; calculează integrala numerică prin metoda dreptunghiurilor întreg n tablou real x[n], y[n] ; tabelul de valori, indici de la 0 L = 0 U = 0 pentru i = 0, n 1 m i = min(y i, y i+1 ) M i = max(y i, y i+1 ) h = x i+1 x i L = L + mh U = U + Mh val.l = L val.u = U întoarce val T = O(5n) M = O(n) 11/35
y y Introducere Metoda dreptunghiurilor Metoda trapezelor Metoda Simpson Metoda dreptunghiurilor - Pe scurt În metoda dreptunghiurilor f este aproximată cu o funcţie g constantă pe porţiuni care încadrează inferior/superior funcţia. Variante mai bune g este liniară pe porţiuni - metoda trapezelor; g parabolă pe porţiuni - metoda Simson 6 1.8 5 1.6 4 1.4 1. 3 1 0.8 0.6 1 0.4 0. 0 0 4 6 8 10 1 x Dreptunghiuri - L 0 0 4 6 8 10 1 x 1/35
y y Introducere Metoda dreptunghiurilor Metoda trapezelor Metoda Simpson Metoda dreptunghiurilor - Pe scurt În metoda dreptunghiurilor f este aproximată cu o funcţie g constantă pe porţiuni care încadrează inferior/superior funcţia. Variante mai bune g este liniară pe porţiuni - metoda trapezelor; g parabolă pe porţiuni - metoda Simson 6 1.8 5 1.6 4 1.4 1. 3 1 0.8 0.6 1 0.4 0. 0 0 4 6 8 10 1 x Dreptunghiuri - U 0 0 4 6 8 10 1 x 1/35
y y Introducere Metoda dreptunghiurilor Metoda trapezelor Metoda Simpson Metoda dreptunghiurilor - Pe scurt În metoda dreptunghiurilor f este aproximată cu o funcţie g constantă pe porţiuni care încadrează inferior/superior funcţia. Variante mai bune g este liniară pe porţiuni - metoda trapezelor; g parabolă pe porţiuni - metoda Simson 6 1.8 5 1.6 4 1.4 1. 3 1 0.8 0.6 1 0.4 0. 0 0 4 6 8 10 1 x Trapeze 0 0 4 6 8 10 1 x 1/35
Metoda trapezelor - Ideea Metoda dreptunghiurilor Metoda trapezelor Metoda Simpson T i = 1 (y i + y i+1 )(x i+1 x i ) 1.8 1.6 1.4 1. 1 0.8 0.6 0.4 0. y i T i y i+1 0 0 4 x 6 8 10 1 i x x i+1 n 1 T = i=0 T i T = 1 n 1 (y i +y i+1 )(x i+1 x i ) i=0 Obs: T = (L+U)/ 13/35
Metoda trapezelor - Ideea Metoda dreptunghiurilor Metoda trapezelor Metoda Simpson T = 1 n 1 (y i + y i+1 )(x i+1 x i ) i=0 În cazul unui pas echidistant x i+1 x i = h, i = 0,...,n 1: ( n 1 ) T = h n 1 (y i + y i+1 ) = h n 1 y i + y i+1 = i=0 i=0 i=0 ( = h n 1 ) ( ) n y i + y i = h n 1 n 1 y 0 + y i + y i + y n = i=0 i=1 ( ) 1 = h y n 1 0 + y i + 1 y n i=1 i=1 i=1 (1) 14/35
Metoda trapezelor - Pe scurt Metoda dreptunghiurilor Metoda trapezelor Metoda Simpson Integrala numerică este o combinaţie liniară a valorilor funcţiei. În metoda trapezelor coeficienţii sunt: y 0 y 1 y y n y n 1 y n h h h h h h Formulele de integrare numerică se mai numesc şi reguli de cuadratură. 15/35
Metoda trapezelor - Algoritm Metoda dreptunghiurilor Metoda trapezelor Metoda Simpson funcţie integrala_trz(n,x,y) ; calculează integrala numerică prin metoda trapezelor întreg n tablou real x[n], y[n] ; tabelul de valori, indici de la 0 T = 0 pentru i = 0, n 1 h = x i+1 x i T = T +(y i + y i+1 )h întoarce T 16/35
Metoda trapezelor - Algoritm Metoda dreptunghiurilor Metoda trapezelor Metoda Simpson funcţie integrala_trz(n,x,y) ; calculează integrala numerică prin metoda trapezelor întreg n tablou real x[n], y[n] ; tabelul de valori, indici de la 0 T = 0 pentru i = 0, n 1 h = x i+1 x i T = T +(y i + y i+1 )h întoarce T T = O(4n) M = O(n) 16/35
Metoda trapezelor - Algoritm Metoda dreptunghiurilor Metoda trapezelor Metoda Simpson funcţie integrala_trz_uniform(n,x,y) ; calculează integrala numerică prin metoda trapezelor, pas echidistant întreg n tablou real x[1], y[n] ; tabelul de valori, indici de la 0 T = (y 0 + y n)/ h = x 1 x 0 pentru i = 1, n 1 T = T + y i întoarce Th 17/35
Metoda trapezelor - Algoritm Metoda dreptunghiurilor Metoda trapezelor Metoda Simpson funcţie integrala_trz_uniform(n,x,y) ; calculează integrala numerică prin metoda trapezelor, pas echidistant întreg n tablou real x[1], y[n] ; tabelul de valori, indici de la 0 T = (y 0 + y n)/ h = x 1 x 0 pentru i = 1, n 1 T = T + y i întoarce Th T = O(n) M = O(n) 17/35
y Introducere Metoda dreptunghiurilor Metoda trapezelor Metoda Simpson Metoda trapezelor - Eroarea de trunchiere 1.8 1.6 1.4 1. 1 0.8 0.6 0.4 locală - pe fiecare interval; globală - pe întreg domeniul. 0. 0 0 4 6 8 10 1 x 18/35
Metoda dreptunghiurilor Metoda trapezelor Metoda Simpson Metoda trapezelor - Eroarea de trunchiere Eroarea locală absolută: e loc = xk+1 x k f(x) dx xk+1 x k g(x) dx () e loc = e loc = f (ζ) xk+1 x k (f(x) g(x)) dx = xk+1 e interp (x) = f (ζ) (x x k)(x x k+1 ) xk+1 x k x k e interp (x) dx (x x k )(x x k+1 ) dx = f (ζ) 1 (x k+1 x k ) 3 e loc Ch 3 unde h = x k+1 x k e loc = O(h ) 19/35
Metoda dreptunghiurilor Metoda trapezelor Metoda Simpson Metoda trapezelor - Eroarea de trunchiere Eroarea globală absolută: e g = b a e g = b n 1 (f(x) g(x)) dx = a b f(x) dx g(x) dx (3) a k=0 xk+1 n 1 (f(x) g(x)) dx = x k e g nch 3 = b a h Ch3 = O(h ) k=0 e loc,k 0/35
y Introducere Metoda Simpson - Ideea Metoda dreptunghiurilor Metoda trapezelor Metoda Simpson 70 60 50 40 30 0 10 0 0 1 3 4 5 6 7 8 x S i = xi+1 x i 1 g(x) dx unde g este polinomul de interpolare locală de ordin. S = S 1 + S 3 + +S n 1 Numărul de puncte din tabel trebuie să fie impar. 1/35
Metoda Simpson - Pe scurt Metoda dreptunghiurilor Metoda trapezelor Metoda Simpson În cazul unui pas echidistant, se demonstrează că ( 1 S i = h 3 y i 1 + 4 3 y i + 1 ) 3 y i+1 y 0 y 1 y y 3 y 4 y n y n 1 y n h 3 4h 3 h 3 4h 3 h h 3 3 4h 3 h 3 e g = O(h 4 ) OBS: dacă funcţia e definită prin cod, este mai eficient să ajungem la o astfel de eroare folosind extrapolarea Richardson. /35
Metoda trapezelor - eroare Analiza erorii Metoda trapezelor recursive Metoda Romberg Pasul de integrare poate fi ales de utilizator. Eroarea globală de trunchiere O(h ) scade atunci când h scade; Dar rotunjirile? 3/35
Metoda trapezelor - eroare Analiza erorii Metoda trapezelor recursive Metoda Romberg Dacă pp. e yk /y k < eps şi e h = 0 atunci ( ) n h 1/ e y0 +1/ e yn + e yk e r h ( k=1 1/ y 0 eps+1/ y n eps+ ) n y k eps k=1 ChnM 0 eps = C(b a)m 0 eps = O(1) Integrala este mult mai robustă decât derivarea numerică. Nu numai că erorile de trunchiere sunt mai mici pentru acelaşi tip de funcţie de intepolare (lpp), dar şi efectul erorilor de rotunjire este mai mic. 4/35
Analiza erorii Metoda trapezelor recursive Metoda Romberg Metoda trapezelor - efort de calcul În cazul funcţiilor date prin cod operaţia de referinţă este evaluarea funcţiei de integrat. Numărul de evaluări de funcţii creşte cu atunci când h scade. Trebuie făcut un compromis între pasul de integrare şi efortul de calcul. Notasem: E mai bine să notăm acum: T = h (y n 1 0 + y n )+h i=1 y i 5/35
Analiza erorii Metoda trapezelor recursive Metoda Romberg Metoda trapezelor - efort de calcul În cazul funcţiilor date prin cod operaţia de referinţă este evaluarea funcţiei de integrat. Numărul de evaluări de funcţii creşte cu atunci când h scade. Trebuie făcut un compromis între pasul de integrare şi efortul de calcul. Notasem: E mai bine să notăm acum: T = h (y n 1 0 + y n )+h i=1 T = h (f(x n 1 0)+f(x n ))+h f(x i ) i=1 y i 5/35
Analiza erorii Metoda trapezelor recursive Metoda Romberg Metoda trapezelor - efort de calcul În cazul funcţiilor date prin cod operaţia de referinţă este evaluarea funcţiei de integrat. Numărul de evaluări de funcţii creşte cu atunci când h scade. Trebuie făcut un compromis între pasul de integrare şi efortul de calcul. Notasem: E mai bine să notăm acum: T = h (y n 1 0 + y n )+h i=1 T(f,P) = h (f(x n 1 0)+f(x n ))+h f(x i ) y i i=1 5/35
Analiza erorii Metoda trapezelor recursive Metoda Romberg Metoda trapezelor - efort de calcul În cazul funcţiilor date prin cod operaţia de referinţă este evaluarea funcţiei de integrat. Numărul de evaluări de funcţii creşte cu atunci când h scade. Trebuie făcut un compromis între pasul de integrare şi efortul de calcul. Notasem: E mai bine să notăm acum: T = h (y n 1 0 + y n )+h i=1 T(f,P) = h (f(x n 1 0)+f(x n ))+h f(x i ) unde P este o partiţie a domeniului: a = x 0, x 1,...,x n = b y i i=1 5/35
Trapeze recursive - Ideea Analiza erorii Metoda trapezelor recursive Metoda Romberg Se înjumătăţesc intervalele până când valoarea integralei nu se mai modifică; La fiecare pas se evaluează funcţia numai în punctele în care nu a mai fost evaluată. Partiţia iniţială: P 0 : a = x 0, x 1 = b Pasul iniţial: h 0 = b a Prima aproximaţie a integralei: T 0 = T(f,P 0 ) = b a (f(a)+f(b)) 6/35
Trapeze recursive - Ideea Analiza erorii Metoda trapezelor recursive Metoda Romberg P 1 : a = x 0, x (1) 1 = (a+b)/, x = b h 1 = (b a)/ T 1 = T(f,P 1 ) = h 1 (f(a)+f(b))+h 1f(x (1) 1 ) o evaluare nouă P : a = x 0, x () h = (b a)/ două evaluari noi 1, x(), x() 3, x 4 = b T = T(f,P ) = h (f(a)+f(b))+h 3 i=1 f(x () i ) 7/35
Trapeze recursive - Ideea Analiza erorii Metoda trapezelor recursive Metoda Romberg P m : a = x 0, x (m) 1, x (m),...,x m = b h m = (b a)/ m T m = T(f,P m ) = h m (f(a) + f(b))+h m 1 m (x (m) i ) i=1 Algoritmul se bazează pe următoarea relaţie de recurenţă: T m = 1 T m 1 m 1 + h m f(a+(i 1)h m ) T 0, T 1, T, T 3,... şi se opreşte atunci când diferenţa dintre două aproximaţii consecutive este mai mică decât o toleranţă impusă. i=1 8/35
Trapeze recursive - Alte notaţii Analiza erorii Metoda trapezelor recursive Metoda Romberg Alte notaţii, utile pentru ce urmează: (R - de la Romberg) T m = R(m, 0) R(m, 0) = 1 m 1 R(m 1, 0)+h f(a+(i 1)h) unde h = (b a)/ m. i=1 9/35
Extrapolarea Richardson - Ideea Analiza erorii Metoda trapezelor recursive Metoda Romberg La trapeze, eroarea globală este O(h ): I(h) = I 0 + Ch 1 Evaluăm integrala pentru h 0 : 0 I 1 = I 0 + Ch 0 00 180 160 140 10 100 80 60 40 0 0 h/ 0 0 1 3 4 5 6 7 8 9 10 h Reducem pasul la jumătate: I = I 0 + C I 0 = 4I I 1 3 ( ) h0 30/35
Extrapolarea Richardson Analiza erorii Metoda trapezelor recursive Metoda Romberg Obs: Formula care se obţine este exact formula Simpson (nr. impar de noduri). I 0 nu este chiar valoarea exactă (nici într-o aritmetică precisă), deoarece se demonstrează că eroare de trunchiere este mai precis I(h) = I 0 + c h + c 4 h 4 + c 6 h 6 + Mai corect este să aplicăm extrapolarea Richardson, aşa cum am procedat la derivare. 31/35
Analiza erorii Metoda trapezelor recursive Metoda Romberg Extrapolare Richardson - Ideea generală Se poate aplica pentru aproximarea cu acurateţe din ce în ce mai mare a unei mărimi I, pentru care există o funcţie ϕ(h). a.î. I = lim h 0 ϕ(h) ϕ(h) poate fi evaluată pentru orice h; are loc proprietatea: ϕ(h) = I a k h k (4) k=1 unde coeficienţii a k nu sunt cunoscuţi. Se alege un h potrivit şi se calculează numerele R(i, 0) = ϕ(h/ i ), i = 0,...,n. (5) 3/35
Analiza erorii Metoda trapezelor recursive Metoda Romberg Extrapolare Richardson - Ideea generală R(i, 0) reprezintă estimări ale lui I, dar estimări mai precise se pot obţine prin extrapolare Richardson. Se demonstrează că [Cheney]: R(i, j) = R(i, j 1)+(R(i, j 1) R(i 1, j 1))/(4 i 1), j = 0,...,i. (6) R(0, 0) R(1, 0) R(1, 1) R(, 0) R(, 1) R(, )... R(n, 0) R(n, 1) R(n, ) R(n, n) (7) 33/35
Metoda Romberg Analiza erorii Metoda trapezelor recursive Metoda Romberg Metoda Romberg = extrapolare Richardson pentru evaluarea integralelor Se dau: funcţia dată prin cod f ; informaţia despre ordinul erorii la care dorim să ajungem n. pentru i = 0, n R i,0 =... ; apel trapeze pentru j = 1, i R i,j = R i,j 1 +(R i,j 1 R i 1,j 1 )/(4 i 1) h = h/ 34/35
Lectură recomandată Analiza erorii Metoda trapezelor recursive Metoda Romberg Obligatoriu: Cap.8 din [1], Mihai Rebican, Daniel Ioan - Metode numerice in ingineria electrica - Indrumar de laborator pentru studentii facultatii de Inginerie electrica, Editura Printech, 013, disponibil la http://mn.lmn.pub.ro/indrumar/indrumarmn_printech013.pdf Facultativ: Cap 5 din [Cheney] Ward Cheney and David Kincaid, Numerical Mathematics and Computing, Brooks/Cole publishing Company,000. http://www.physics.brocku.ca/courses/5p10/references/cheneykincaid.pdf 35/35