Cus FIZICĂĂ II SIM ş.l. d. ing. Liliana Peda 7 UNDE ELECTROMAGNETICE Cupins: 6.7. Reflexia şi efaţia undelo eletomagnetie 6.7.. Cazul inidenţei nomale pe intefaţa dinte două mateiale dieltie 6.7.. Cazul inidenţei oblie pe intefaţa dinte două medii dieletie 6.7.3. Reflexia şi efaţiaa la intefaţa dinte un dieleti şi un onduto 6.7. Reflexia şi efaţiaa undelo eletomagnetie 6.7.. Cazul inidenţei nomale pe intefaţa dinte două mateiale dieltie Să onsideăm o undă eletomagnetiă amoniă plană, u fevenţa ω şi amplitudinea âmpului eleti E, polaizată în dieţia axei Ox, ae se popagă în dieţia axei Oz, nomală la intefaţa elo două medii dieletie liniae, omogene şi izotope. În figua 6.8 se epezintă: unda inidentă ei tei vetoi E, B ă pin şii K ; und Figua 6.8: Reflexia şi tansmisia unei unde E da efletat ', B tă pin ve ' şi K etoii şi unda eletomagnetie u inidenţă nomalăă pe o tansmisă în mediul al intefaţă S ae sepaă mediile dieletie u indiii de efaţie n şi n pin vetoii E, B şi K doilea. La teeea undei eleto-magnetie dint-un mediu în elălalt sunt satisfăute ondiţiile la limită pezentate în paagaful 5..3 euaţia 5. 46. Daă unda inidentăă plană şi monoomatiă ae ele două âmpui sise sub foma
8 i( K z t ω i( Kz ωt E = Ei e şi B = B je (6.73 atuni unda efletată este epezentată pin i( K z t +ω i( Kz+ωt E' = E' i e şi B' = B' je (6.74 şi unda tansmisă ae foma i( K z t ω i( Kz ωt E = Ei e şi B = B je (6.75 unde i şi j sunt vesoii axelo Ox şi espetiv Oy ia amplitudinile âmpuilo eletie sunt legate de ele ale âmpuilo magnetie pin E ne nω B = =, ia K =. v O ondiţie la limită se efeă la ontinuitatea omponentei tangenţiale a âmpului eleti la z =. Din expesiile (6.73 6.75 aeastă ondiţie devine E E' = E (6.76 Aeastă ondiţie impliă ă ele tei unde tebuie să aibă aeeaşi fevenţă ω pentu a ea să fie satisfăută la oie moment t. O a doua ondiţie la limită expimă ontinuitatea omponentelo tangenţiale ale lui H = B la z =. În azul nostu ea se sie sub foma μ B' B B + = (6.77 ne sau, folosind elaţia B =, n ( E + E' = ne (6.78 Rezolvăm sistemul de euaţii (6.76 şi (6.78 pentu a obţine E' n n E n p = = şi t p = = (6.79 E n E n unde p este oefiientul de eflexie şi t p este oefiientul de tansmisie. Relaţiile (6.79 sunt elaţiile lui Fesnel pentu inidentă nomală. Indiele p aată ă undele sunt plan polaizate. Daă ne inteesează intensităţile undelo efletate şi tansmise în apot u intensitatea undei inidente este neesa să definim efletanţa R şi tansmitanţa T pin elaţiile: S' S R = şi T = (6.8 S S unde S, S' şi S sunt mediile tempoale ale intensităţilo undelo inidentă, efletată şi espetiv, tansmisă (vezi paagaful 5.4, euaţia 5.7 n E Deoaee S = euaţiile (6.78, (6.8 ondu la μ n R = p şi T = t p (6.8 n
Cus FIZICĂĂ II SIM ş.l. d. ing. Liliana Peda Din onsevaea enegiei tebuie a R + T = eea baza elaţiilo (6.79 şi (6.8. 9 e se veifiă pe 6.7... Cazul inidenţei oblie pe intefaţa dinte două medii dieletie În aest az unda inidentă este polaizată înt-un plan oaeaee ae onţine dieţia de popagae. Pentu analiza eflexiei şi efaţiei se desompune unda inidentă în două omponente: o omponentă în planul de inidenţă numită polaizaea p şi altă omponentă polaizatăă nomal la planul de inidenţă numită polaizaea s. În figua 6.9 sunt shiţate unda inidentă u polaizaea p, unda efletată şi ea tansmisă u polaizaea tot în planul p. Planul p este fomat de aza inidentă şi nomala la supafaţă şi onţine vetoul â undă âmp eleti K E în el şi veto. Vetoul B ul de este Figua 6.9: Reflexia şi efaţia pependiula pe planul p. Planul de undei u polaizae p în azul inidenţei oblie polaizae p oinide în azul nostu u planul paginii. În onfomitate u notaţiile din figua 6. 9 ele tei unde au âmpuile eleti şi magneti de foma: Unda inidentă i(k ωt Ee n i ; k ( K ωt u Ee (6.8 Unda efletată E ' i e ( K ωt n ; k i( u E ' ' e ( K ωt (6.83 Unda tansmisă i(k ωt Ee n i ; k ( K ωt u Ee (6.84 unde k u, k ' u şi k u sunt vesoii dieţiilo de popagae ale elo tei unde. Aeşti vesoi sunt oientaţi în die intefaţă a şi vetoii de undă K ţiile θ,θ', K ' şi K şi θ în ap. Vetoii ot u nom E, E ' şi E mala la sunt amplitudinile elo 3 âmpui şi sunt oientaţi a în figua 6.9. Să apliăm ondiţiile la limită la planul z = a şi în azul inidenţei nomale. Condiţia de ontinuitate a omponentei tangenţiale a âmpului eleti la z = se sie:
3 ik ik ' os e E' os θ' e = E os ik e E θ θ (6.85 unde am ţinut ont de expesiile (6.8 (6.84 ale âmpuilo elo 3 unde şi am notat u vetoul de poziţie al âmpului în planul z =, ae onstituie intefaţa dinte ele două medii u indiii de efaţie n şi n. A doua ondiţie de ontinuitate a omponentei tangenţiale a intensităţii âmpului magneti, H, se sie: ik Ee ne ' ik ' ik e n + e = ne (6.86 Aeastă elaţie ezultă din euaţiile (6.8 (6.84 ae aată ă induţia magnetiă (dei şi H este pependiulaă pe planul p pentu toate ele 3 unde. Remaăm ă euaţiile (6.85 şi (6.86 difeă faţă de elaţiile (6.76 şi (6.78 din azul inidenţei nomale, pin fatoii de fază ik e ik ', e şi ik e. Pentu a ele două ondiţii de ontinuitate (6.85 şi (6.86 să fie satisfăute pentu oie punt de veto de poziţie de pe intefaţă este neesa a aeşti fatoi de fază să fie aodaţi şi apoi amplitudinile elo tei unde să fie oelate oespunzăto. Aest aod de faze impliă elaţiile K = K' = K (6.87 ae intoduse în (6.85 şi (6.86 ondu la E osθ E' osθ' = E osθ, n ( E + E' = ne (6.88 unde θ,θ' şi θ sunt unghiuile de inidenţă, eflexie şi espetiv, efaţie. Să analizăm mai întâi onseinţele aodului de fază dat de elaţiile (6.87. Deoaee vetoul poate fi sis u ajutoul vesoului nomalei la intefaţă n (u dieţia şi sensul axei Oz sub foma = n ( n podusul sala dinte un veto de undă K şi devine K = K[ n ( n ] = ( K n ( n (6.89 În onfomitate u euaţia (6.89, elaţiile (6.87 devin ( K n ( n = ( K' n ( n = ( K n ( n sau (6.9 K n = K' n = K n Foma vetoială a aestoelaţii eafimă pesupuneea iniţială ă vetoii K, K ' şi K sunt oplanai. Cu alte uvinte, azele luminoase inidente, efletate şi tansmise sunt oplanae. În plus, elaţiile (6.9 ondu la K sin θ = K' sin θ' = K sin θ (6.9 ae expimă egalitatea măimilo elo tei vetoi din euaţiile (6.9. Din auză ă unda inidentă şi ea efletată se popagă în aelaşi mediu, vetoii lo de undă tebuie să fie egali în măime: adiă K = K' şi pima egalitate din (6.9 ondue la θ = θ (6.9 '
Cus FIZICĂ II SIM ş.l. d. ing. Liliana Peda 3 Adiă unghiul de inidenţă este egal u unghiul de eflexie. Aeastă elaţie ω niω expimă legea eflexiei. În plus, deoaee Ki = = u i =, din (6.9 vi deduem legea efaţiei (sau legea lui Snell n sin θ = n sin θ (6.93 Să ne întoaem la elaţiile (6.88 dinte amplitudinile elo tei unde E' din ae soatem apoatele E şi ae epezintă oefiienţii de eflexie E E p şi espetiv de tansmisie t p. Din (6.88 obţinem n os θ n os θ n os θ p =, t p = (6.94 n os θ os θ n os θ os θ Aestea pot fi tansfomate pin utilizaea elaţiei (6.93 ae seveşte la eliminaea indiilo n şi n. În final, elaţiile (6.94 se siu tg( θ θ os θ os θ p =, t p = (6.95 tg( θ + θ sin( θ + θ os( θ θ Aestea sunt elaţiile lui Fesnel pentu undele polaizate în planul de inidenţă, notate u p. În azul ând avem undă polaizată în planul nomal pe planul de inidenţă, adiă avem o polaizae în planul s, pint-un aţionament asemănăto u el din azul undelo u polaizaea p, ajungem la elaţiile lui Fesnel de foma sin ( θ θ os θ sin θ, t = ( θ + θ sin( θ + θ s = s (6.96 sin ae expimă oefiientul de eflexie, s, şi espetiv de tansmisie, t s pentu undele polaizate (u vetoul âmp eleti în planul s. Inidenţa nomală disutată în 6.7.. poate fi dedusă a un az patiula al inidenţei oblie. În aest az θ = θ = şi elaţiile lui Fesnel (6.95 şi (6.96 ondu la n n n p = s = şi t p = ts = (6.97 n n Aest ezultat oinide u el dat de fomulele (6.79. Refletanţa R şi tansmitanţa T sunt aeleaşi pentu ambele polaizăi deoaee ele depind de pătatele oefiienţilo şi t în onfomitate u euaţia (6.8. π Inidenţa azantă În aest az unghiul de inidenţă este θ astfel ă euaţiile lui Fesnel (6.94 şi (6.96 ondu la p = s = t p = ts = (6.98 Dei R p = R s = şi T p = T s = adiă avem eflexie totală pentu ambele polaizăi.
3 Inidenţa itiă Reflexia intenă totală Unghiul de inidenţă iti se obţine ând unda estee inidentă pe o intefaţăă dint-o egiune u indie de efaţie mai mae şi ând unghiul de efaţie devine θ π =. Din euaţiile π ( 6.94 şi (6.96 în aest az în ae n > n şi θ = obţinem p =, s = sau (6.99 R p = Rs = Aeste elaţii indiă ă intensitatea undei efletate este aeeaşi u intensitatea undei inidente, sau u alte uvinte, unda inidentă a sufeit o eflexie totală. Unghiul de inidenţă de la ae ae lo eflexia totalăă este π numit unghiul iti θ şi este dat de legea lui Snell în ae θ =. Din euaţia (6.93 obţinem n sin θ = n sau θ = n asin u n > n (6. n Se poate aăta uşo ăă eflexia totală ae lo pentu toate unghiuile de inidenţă mai mai deât unghiul iti. Reflexia totală este utilizată în Figua 6.: Popagaeaa luminii pint-o fibă optiăă popagaea luminiii pin ilindiă fibe optie ae au miezul u un indie de efaţie n mai mae deât el al ămăşii. (vezi figua 6.. 6.7.3.. Reflexia şii efaţia la intefaţa dinte un dieleti şi un onduto În aest paagaf vom analizaa eflexia şi efaţia la intefaţa dinte un dieleti şi un mediu onduto. De exemplu, eflexia undelo ae vin din ae pe o supafaţă plană ae fomează o oglindăă pentu undele luminoase sau pentu miounde. În paagaful 6.4. am aătat ă popagaea undelo eletomagne etie înt-unn mediu onduto este desisă oet daă se utilizează indiele de efaţie omplex, n şi vetoul de undă omplex K. Expesiile aesto măimi omplexe sunt [euaţiaa (6.46 şi (6.59]
Cus FIZICĂ II SIM ş.l. d. ing. Liliana Peda 33 / n σ = n + i = n + ik εω şi ω K = n (6. şi depind de fevenţa undei ω şi de ondutivitatea σ a mediului. Patea eală n a indielui de efaţie omplex n ia în onsideaţie natua efativă a mediului, în timp e patea imaginaă k epezintă absobţia undei în mediu. Abodaea aestei pobleme este asemănătoae u ea din 6.7..- ae se efeea la intefaţa dinte două medii neondutoae. Rezultatele sunt asemănătoae u deosebiea ă indiii de efaţie nu mai sunt numee eale i sunt omplexe. De exemplu, elaţiile (6.79 devin n n n = n t = + n (6. n din ae se obsevă ă şi oefiienţii lui Fesnel devin măimi omplexe. O altă fomă onvenabilă a elaţiilo (6. se obţine daă substituim n = n (dieleti şi n = n + ik (onduto. Obţinem ( n n + ik n =, t = (6.3 ( n + ik ( n + ik Din auză ă şi t sunt numee omplexe ezultă ă undele efletată şi tansmisă sunt defazate faţă de unda inidentă. În sopul de a detemina defazajele menţionate mai sus vom sie oefiienţii lui Fesnel în oodonate polae sub foma iφ iφt = e, t = t e (6.4 Din ompaaţia elaţiilo (6.3 u (6.4 obţinem ( n n ( n + n /, + k n = t + k = (6.5 [( n ] / + k şi nk k tgφ = tgφ t = (6.6 n n + k n Din elaţiile de mai sus ezultă atât măimea oefiienţilo lui Fesnel ât şi defazajele φ şi φ t pentu unda efletată şi espetiv, tansmisă faţă de unda inidentă. Cunosând oefiienţii lui Fesnel putem alula efletivitatea R = = (6.7 şi absobţia A = R deoaee tansmitanţa T este faţiunea din intensitatea inidentă tansmisă pin intefaţă şi apoi absobită în mediul onduto. Din definiţiile de mai sus obţinem 4nn 4nn A = şi R = (6.8 ( n + k ( n + k De exemplu, pentu metale n >> şi din (6.8 obţinem
34 A şi R (6.9 k k Daă oefiientul de absobţie, k, este mi (um este azul oglinzilo de agint atuni A şi R adiă apoape toată lumina inidentă nomal este efletată. Mai exat, daă înlouim oefiientul de absobţie u expesia din paagaful 6.4 obţinem elaţiile εω εω A =, R = (6. σ σ unosute sub numele de fomula Hagen-Rubens, ae este valabilă pentu ondutoii buni la fevenţe mai mai de 5 Hz (optie ia pentu ondutoii modeaţi este valabilă la fevenţele de 9 Hz (miounde. Cazul undei u inidenţă obliă pe o intefaţă dieleti-onduto este mult mai ompliat deât azul oespunzăto al intefeţei dieletidieleti. Aeastă ompliaţie apae din faptul ă unghiuile devin omplexe a şi vetoul de undă şi indiele de efeţie. Deşi este geu să tagem onluzii fizie din fomulele matematie u unghiui omplexe vom sie legea lui Suell n sinθ = n sin θ (6. şi oefiienţii lui Fesnel n osθ n os θ n os θ p =, t p = n osθ os θ (6. n os θ os θ n osθ n os θ =, n os θ s t s = (6.3 n osθ + n os θ n os θ + n os θ în ae mediul onduto este epezentat pin indiele de efaţie omplex, n şi unghiul de efaţie omplex θ,. Aeste elaţii sunt asemănătoae u elaţiile (6.93 şi (6.94 din azul intefeţei dieleti-dieleti. Cu elaţiile (6.7 putem alula din (6. şi (6.3 oefiienţii de eflexie de la o intefaţă dieleti-onduto, însă ele nu sunt onvenabile pentu a detemina dieţia de popagae, deoaee ele impliă unghiui omplexe şi poduse de antităţi omplexe. Pin umae, este neesa să definim un unghi eal de efaţie în mediul onduto. În aest sop se poneşte de la aodul de fază la intefaţă dat de euaţiile (6.87 (6.9 ae în azul nostu le siem K = K (6.4 K n = K n (6.5 u vetoul de undă K omplex şi n vesoul nomalei la intefaţă. Adiă el poate fi desompus înt-o pate eală K şi alta imagină K i = K + ik (6.6 K i
Cus FIZICĂĂ II SIM ş.l. d. ing. Liliana Peda 35 Intoduem K (6.6 în (6.5 şi egal n = K n lăm păţile eale şi ele imaginae şi K i n = (6.7 Aeste euaţii ne funiz imaginae ale lui K zează atât dieţiile ât şi măimile păţiloeale şi. Se obsevă ă: Atât K ât şii K i se aflăă în planul de inidenţă; K i este în dieţia nomalei la supafaţa (deoaee K i n = şi putem sie K i = K i n ; 3 Măimea pimei elaţii din (6.7 impliă a K sin θ = K sin φ (6.8 unde φ este unghiul eal dinte K şi nomala la intefaţă. În figua 6.. se shiţează popagaea undei eletomagne etie pin mediul onduto. Se obsevă planele de amplitudine nomale la onstantă, ae sunt K şi planelee de fază onstantă ae sunt nomale la K i. Aestea fa un unghi φ înte ele. La inidenţă nomală aest unghi este zeo. Rămâne de deteminat măimile: unghiul Figua 6.: Repezentaea shematiă a eal φ, patea eală K şi patea efaţiei la intefaţa dinte un dieleti şi un imaginaă, undă K K i, ale vetoului de onduto. Planele de fază onstantă sunt înlinate la unghiul φ faţă de ele de. Aest alul nu îl vom amplitudine onstantă fae aii, i vom menţiona ezultatele K φ = os R e K θ os (6.9 K = i I m K os θ (6. K ω os θ = ( n + ik (6. unde n şi k sunt alulate din onstantele optie ale mateialului date de euaţia (6.9. În final se obţine ω K = n + n sin θ şi ω i K i = k (6. Daă se defineşte indiele de efaţiee eal şi efetiv al mediului onduto
36 ( θ = n sin θ N (6.3 euaţia (6.8 devine N ( θ sin φ = n sin θ şi N ( θ osφ = n (6.4 Pima euaţie din (6.4 este asemănătoae u legea lui Snell pentu mateiale dieletie şi pemite deteminaea unghiului de efaţie φ în funţie de indiele de efaţie efetiv alulat u (6.3.