Σχεδίαση Σ.Α.Ε: Σχεδίαση µε το Γεωµετρικό Τόπο Ριζών

ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος ΚΕΣ Αυτόµατος Έλεγχος Σχεδίαση Σ.Α.Ε: Σχεδίαση µε το Γεωµετρικό Τόπο Ριζών ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος Βιβλιογραφία Ενότητας Παρασκευόπουλος []: Εφαρµογές, Κεφάλαιο 9: Ενότητες 9.-9.4 DiStefao [99]: Chapte 4, Chapte : Sectios. -.6 Tewai []: Chaptes : Sectio.

ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος Εισαγωγή Κατά τη σχεδίαση Σ.Α.Ε αν οι προδιαγραφές δίνονται σε συνάρτηση µε το περιθώριο φάσης και το εύρος ζώνης η µέθοδος σχεδίασης που ακολουθείται. Αν δίνονται προδιαγραφές σε σχέση µε τη µέγιστη υπερύψωση, την ταχύτητα απόκρισης τη συχνότητα συντονισµού και τη σταθερά απόσβεσης τότε επιλέγεται ο Γ.Τ.Ρ ως µέθοδος σχεδίασης. Με τη βοήθεια του Γ.Τ.Ρ µπορούµε να: Βρούµε τους προεξάρχοντες πόλους του Προσεγγίσουµε ένα κλειστό σύστηµα υψηλότερης τάξης µε ένα δευτεροβάθµιο σύστηµα από το οποίο µπορούµε εύκολα να υπολογίσουµε τη σταθερά απόσβεσης ζ, και τη φυσική συχνότητα ω. Ελέγξουµε αν ένα πρόβληµα σχεδίασης έχει λύση σε σχέση µε τις ζητούµενες προδιαγραφές και το διαθέσιµο δίκτυο αντιστάθµισης (δίκτυο προήγησης φάσης, ελεγκτής PID, κλπ) ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος Αντιστάθµιση µε ακύρωση πόλων Αν από το Γ.Τ.Ρ προκύπτει ότι κάποιος πόλος µπορεί να οδηγήσει το κλειστό σύστηµα σε αστάθεια ή σε µη επιθυµητή συµπεριφορά ο συγκεκριµένος πόλος µπορεί να ακυρωθεί µε την εισαγωγή ενός µηδενικού πλησίον αυτού (και πάντοτε αριστερότερα από αυτόν) µε τη βοήθεια ενός: Ελεγκτή PD Ελεγκτή PID ικτύου προήγησης φάσης ικτύου προήγησης καθυστέρησης φάσης Παράδειγµα: Να σχεδιαστεί ελεγκτής PD (G c (K P +K D ώστε το κλειστό σύστηµα µε συνάρτηση µεταφοράς βρόχου s( s + )( s + 6) να έχει (α) σφάλµα στη µόνιµη κατάσταση e µον (t)<. m/sec όταν η είσοδος είναι η συνάρτηση ράµπας ω(t)t, (β) µέγιστη υπερύψωση <3%. Για να έχουµε το ζητούµενο σφάλµα στη µόνιµη κατάσταση χρειάζεται Κ p >4. Έστω ότι επιλέγουµε Κ p 4..

ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος Αντιστάθµιση µε ακύρωση πόλων (ΙΙ) Imagiay Axis - - Root Locus - - - - - Real Axis System: h Gai: 4. Pole: -.37 +.6i D ampig:.38 Oveshoot (%): 64. Fequecy (ad/sec):.8 Κατασκευάζοντας το Γ.Τ.Ρ της (βλέπε σχήµα) παρατηρούµε ότι για Κ p 4. έχουµε υπερύψωση (oveshoot) 64.% άρα η χρήση µόνο αναλογικού αντισταθµιστή δεν επιτυγχάνει τις προδιαγραφές της σχεδίασης. Επειδή κατά κύριο λόγο υπεύθυνος για την υπερύψωση είναι ο προεξάρχων πόλος (ο πόλος της που βρίσκεται αριστερότερα) εισάγουµε ένα µηδενικό πλησίον του πόλου s και αριστερότερα αυτού αλλά δεξιότερα του πόλου s-. Εποµένως πρέπει να επιλέξουµε KP < < KD ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος Αντιστάθµιση µε ακύρωση πόλων (ΙΙI).8.6 Step Respose egulated system o egulated s ystem εδοµένου ότι Κ P 4. η επιλογή Κ D 8. εισάγει ένα µηδενικό στη θέση s-..4..8 Από τη βηµατική απόκριση του αντισταθµισµένου (µπλε) και του µη αντισταθµισµένου (πράσινο) παρατηρούµε ότι υπάρχει σαφής βελτίωση στην υπερύψωση µε την εξουδετέρωση του προεξάρχοντος πόλου..6.4. 3 3

Amp litud e.8.6.4. ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος Αντιστάθµιση µε ακύρωση πόλων (ΙV) Step Respose Στο σχήµα βλέπουµε µε µπλε χρώµα τη βηµατική απόκριση του µε συνάρτηση µεταφοράς: H ( + ( s + )( s + ) και µε πράσινο χρώµα τη βηµατική απόκριση του µε συνάρτηση µεταφοράς: H ( + ( s + ) 3 4 6 Παρατηρούµε ότι η ταχύτητα της χρονική απόκριση του βελτιώνεται σηµαντικά µε την απαλοιφή του πόλου στο s- (προεξάρχων πόλος). ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος Αντιστάθµιση Φάσης Η διαδικασία απαλοιφής του προεξάρχοντος πόλου µπορεί να διεκπεραιωθεί και µε τη χρήση αντισταθµιστών προήγησης φάσης. Στην περίπτωση αυτή το µηδενικό επιλέγεται και πάλι πλησίον (αλλά αριστερότερα) του πόλου που πρέπει να εξουδετερωθεί ενώ ο πόλος εισάγεται αρκετά αριστερότερα λαµβάνοντας υπόψη το σφάλµα στη µόνιµη κατάσταση. Επίδραση του δικτύου προήγησης φάσης: Root locus of o-egulated system Root locus of egulated system System: h Gai: 7.97 Pole:.4 + 3.46i Dampig: -.39 Oveshoot (%): Fequecy (ad/sec): 3.46 System: h Gai: 9.3 Pole: -.8 + 7.83i Dampig:.64 Oveshoot (%): 99.9 Fequecy (ad/sec): 7.83 Imagiay Axis - System: h Gai:. Pole: -.63 +.78i Dampig:.3 Oveshoot (%): 33.9 Fequecy (ad/sec):.89 Imagiay Axis - System: h Gai:. Pole: -.88 + 4.i Dampig:.4 Oveshoot (%): 4. Fequecy (ad/sec): 4. - - - - - - - - Real Axis - - - - - - Real Axis 4

ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος Αντιστάθµιση Φάσης (ΙΙ) Παράδειγµα: Για το σύστηµα του σχήµατος να σχεδιαστεί αντισταθµιστής προήγησης φάσης ώστε: Το σφάλµα στη µόνιµη κατάσταση e µον (t), όταν η είσοδος είναι η συνάρτηση ράµπας ω(t) t, t, να είναι µικρότερo από. m/sec. Η µέγιστη υπερύψωση να είναι µικρότερη από 3% Λύση e Το κλειστό σύστηµα και µετά την αντιστάθµιση είναι τύπου j, άρα για είσοδο ω(t) Vt t το σφάλµα είναι: µον V V ( t) a K K p K C b p Άρα για e µον ( t) <. χρειάζεται K P 4. Έστω K P 4. ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος Αντιστάθµιση Φάσης (ΙΙΙ) Root Locus Κατασκευάζοντας το Γ.Τ.Ρ της (βλέπε σχήµα) παρατηρούµε ότι για Κ p 4. έχουµε υπερύψωση (oveshoot) 6%. Imagiay Axis System: h Gai: 4.3 Pole: -.349 +.8i Dampig:.34 Oveshoot (%): 6.4 Fequecy (ad/sec):.6 Επιλέγουµε a.. Προφανώς ισχύει <a<, δηλαδή το µηδενικό (z -a) εισάγεται αριστερότερα του προεξάρχοντος πόλου (p ) αλλά δεξιότερα του αµέσως πιο ισχυρού πόλου (p -) - - Επιλέγουµε b8 ώστε ο πόλος που εισάγεται (p 4 -b) να βρίσκεται αριστερότερα του πιο αδύναµου πόλου του (p -6) - - - - - Real Axis

ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος Αντιστάθµιση Φάσης (ΙV).8.6.4..8.6.4. Step Respose 3 Regulated plat No-egulated plat Από τη βηµατική απόκριση του αντισταθµισµένου (µπλε) και του µη αντισταθµισµένου κλειστού (πράσινο) παρατηρούµε ότι υπάρχει σαφής βελτίωση στην υπερύψωση µε την εξουδετέρωση του προεξάρχοντος πόλου. Εντούτοις η επιθυµητή υπερύψωση δεν έχει επιτευχθεί. Για το σκοπό αυτό µετακινούµε τόσο το µηδενικό όσο και τον πόλο ακόµα δεξιότερα (φροντίζοντας ώστε το µηδενικό να µην περάσει στα αριστερά του δεύτερου πιο ισχυρού πόλου δηλαδή ζητάµε πάντα να ισχύει <α<) ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος Αντιστάθµιση Φάσης (V).8.6.4. Step Respose Regulated plat No-egulated plat Επιλέγοντας a., b, και υπολογίζοντας ξανά τη βηµατική απόκριση αντιαταθµισµένου (µπλε) και µη (πράσινο) παρατηρούµε ότι επιτυγχάνεται ο στόχος της µέγιστης υπερύψωσης µικρότερης από 3%.8.6.4. Εποµένως θα έχουµε τελικά: K C a b > K G C K p C K 4. p s +. ( 3.8 s + b 4. 8 3.8 a 3 6

ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος Θέση µηδενικών.6.4..8.6.4. Step Respose 3 4 6 H H H3 Στο διπλανό διάγραµµα απεικονίζεται η βηµατική απόκριση του αντισταθµισµένου κλειστού µε συνάρτηση µεταφοράς βρόχου: s( s + )( s + 6) και G ( K C C s + a s + b Με µπλε χρώµα έχουµε το αντισταθµισµένο σύστηµα Η (a, b8) µε πράσινο χρώµα έχουµε την Η (a., b), και µε κόκκινο χρώµα έχουµε Η3 (a.7, b4). Σε όλες τις περιπτώσεις έχουµε το ίδιο σφάλµα στη µόνιµη κατάσταση επιλέγοντας a K C K p 4 b ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος Θέση µηδενικών (ΙΙ).6.4..8.6.4 Step Respose H H H3 Από τα διαγράµµατα της βηµατικής απόκρισης είναι φανερό ότι η ταχύτητα απόκρισης αυξάνει όσο µειώνεται η επίδραση του προεξάρχοντος πόλου (δηλαδή όσο το µηδενικό εισάγεται πλησιέστερα στον προεξάρχοντα πόλο) βλέπε σύστηµα Η. Αντίθετα η ευρωστία (εποµένως και η µέγιστη υπερύψωση) του αυξάνει όσο αριστερότερα εισάγεται το µηδενικό βλέπε σύστηµα Η3. 3 4 6 7

ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος Προσέγγιση µε σύστηµα ης τάξης Επειδή η χρονική συµπεριφορά συστηµάτων ης µε συζυγείς πόλους έχει µελετηθεί διεξοδικά σε πολλές περιπτώσεις η διαδικασία σχεδίασης διευκολύνεται όταν ένα σύστηµα ανώτερης τάξης µπορεί να προσεγγισθεί από ένα δευτεροβάθµιο. Έστω το σύστηµα µε συνάρτηση µεταφοράς βρόχου: ω p i i ( s + p )...( s + p )( s + ζω s + ω ) Έστω p a +jb ο αριστερότερος πόλος πλην των συζύγων πόλων, δηλαδή a mi( a ) i i τότε το ανωτέρω σύστηµα µπορεί να προσεγγισθεί από το δευτεροβάθµιο σύστηµα ω ( s + ζω s + ω ) εφόσον ισχύουν τα επόµενα: ζ >. a > ζω ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος Παραδείγµατα.7.6 Step Respose d ode appoximatio p (<zw) p 8 (zw) p 3 (>zw) Έστω το σύστηµα µε συνάρτηση µεταφοράς βρόχου (ω 4, ζ.87): 6 p ( s + p )( s + 7s + 6)..4.3 στα διαγράµµατα φαίνονται οι βηµατικές αποκρίσεις του κλειστού H ( +.. για διάφορες τιµές του p καθώς και το δευτεροβάθµιο σύστηµα (µπλε... Παρατηρούµε ότι όσο ισχύει p >ζω το δευτεροβάθµιο σύστηµα προσεγγίζει το σύστηµα ανώτερης τάξης ως προς τον χρόνο ανόδου και τη µέγιστη υπερύψωση 8

ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος Παράδειγµα Ι (συν.) Step espose - ope system.4 d ode appoximatio p (<zw) p8 (zw). p3 (>zw).8.6.4...4.6.8..4.6 Στο διπλανό διάγραµµα φαίνονται οι βηµατικές αποκρίσεις του ανοικτού H ( του προηγούµενου παραδείγµατος για διάφορες τιµές του p καθώς και το δευτεροβάθµιο σύστηµα (µπλε Παρατηρούµε ότι ως προς τον χρόνο ανόδου η προσέγγιση από δευτεροβάθµιο σύστηµα είναι χειρότερη από την αντίστοιχη για το κλειστό σύστηµα ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος Παράδειγµα ΙΙ.7.6 Step espose - closed loop system d ode appoximatio p6 (<zw) p (<zw) p (>zw) Έστω το σύστηµα µε συνάρτηση µεταφοράς βρόχου (ω 4, ζ.6): 6 p ( s + p )( s + s + 6)..4.3 στα διαγράµµατα φαίνονται οι βηµατικές αποκρίσεις του κλειστού H ( +..... 3 3. 4 4. για διάφορες τιµές του p καθώς και το δευτεροβάθµιο σύστηµα (µπλε Παρατηρούµε και εδώ ότι όσο ισχύει p >ζω το δευτεροβάθµιο σύστηµα προσεγγίζει το σύστηµα ανώτερης τάξης ως προς τον χρόνο ανόδου και τη µέγιστη υπερύψωση 9

ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος Παράδειγµα ΙΙ (συν.).4..8.6.4. Step espose - ope system... d ode appoximatio p6 (<zw) p (<zw) p (>zw) Στο διπλανό διάγραµµα φαίνονται οι βηµατικές αποκρίσεις του ανοικτού H ( του προηγούµενου παραδείγµατος για διάφορες τιµές του p καθώς και το δευτεροβάθµιο σύστηµα (µπλε Παρατηρούµε και εδώ ότι ως προς τον χρόνο ανόδου η προσέγγιση από δευτεροβάθµιο σύστηµα είναι χειρότερη από την αντίστοιχη για το κλειστό σύστηµα. Αντίθετα έχουµε καλύτερη προσέγγιση σε σχέση µε τη µέγιστη υπερύψωση ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος Παράδειγµα ΙΙΙ.8.7.6 Step espose - closed loop system d ode appoximatio p6 (<zw) p7. (zw) p (>zw) Έστω το σύστηµα µε συνάρτηση µεταφοράς βρόχου (ω 4, ζ.37 <.): 6 p ( s + p )( s + 3s + 6)..4.3.. 3 4 6 7 8 9 στα διαγράµµατα φαίνονται οι βηµατικές αποκρίσεις του κλειστού H ( + για διάφορες τιµές του p καθώς και το δευτεροβάθµιο σύστηµα (µπλε Παρατηρούµε ακόµη και όταν ισχύει ισχύει p >ζω το δευτεροβάθµιο σύστηµα δεν προσεγγίζει το σύστηµα ανώτερης τάξης ως προς τη µέγιστη υπερύψωση εξαιτίας του γεγονότος ότι ζ<.

ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος Παράδειγµα ΙΙΙ (συν.).4..8.6.4. Step espose - ope system... 3 3. 4 d ode appoximatio p6 (<zw) p7. (zw) p (>zw) Στο διπλανό διάγραµµα φαίνονται οι βηµατικές αποκρίσεις του ανοικτού H ( του προηγούµενου παραδείγµατος για διάφορες τιµές του p καθώς και το δευτεροβάθµιο σύστηµα (µπλε Παρατηρούµε ότι σε αντίθεση µε το κλειστό σύστηµα η προσέγγιση από δευτεροβάθµιο σύστηµα είναι ικανοποιητική κια για ζ<. κυρίως όσον αφορά τη µέγιστη υπερύψωση ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος Προσέγγιση µε σύστηµα ης τάξης Αφαίρεση µηδενικού Τα µηδενικά σε ένα δευτεροβάθµιο σύστηµα µε συζυγείς πόλους µπορούν να αγνοηθούν ώστε να διευκολυνθεί η διαδικασία σχεδίασης εφόσον πληρούνται κάποιες συνθήκες. Έστω το σύστηµα µε συνάρτηση µεταφοράς βρόχου: ω ( s + z)( s + z ) z i ( s + ζωs + ω ) i Έστω z a +jb το αριστερότερο µηδενικό, δηλαδή a mi( a ) i i τότε το ανωτέρω σύστηµα µπορεί να προσεγγισθεί από το δευτεροβάθµιο σύστηµα ( s ω + ζω s + ω ) εφόσον ισχύουν τα επόµενα: ζ >. a > ζω

ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος Παράδειγµα ΙV.7.6 Step espose - closed loop system d ode appoximatio z6 (z<zw) z. (zzw) z (z>zw) Έστω το σύστηµα µε συνάρτηση µεταφοράς βρόχου (ω 4, ζ.6): 6( s + z ) z ( s + s + 6)..4.3 στα διαγράµµατα φαίνονται οι βηµατικές αποκρίσεις του κλειστού H ( +..... για διάφορες τιµές του z καθώς και το δευτεροβάθµιο σύστηµα (µπλε Παρατηρούµε και εδώ ότι όσο ισχύει z >ζω το δευτεροβάθµιο σύστηµα προσεγγίζει το σύστηµα ανώτερης τάξης ως προς τον χρόνο ανόδου (κυρίως) και τη µέγιστη υπερύψωση ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος Παράδειγµα ΙV(συν.).4..8.6.4. Step espose - ope system... d ode appoximatio z 6 (<zw ) z. (zw) z (>zw) Στο διπλανό διάγραµµα φαίνονται οι βηµατικές αποκρίσεις του ανοικτού H ( του προηγούµενου παραδείγµατος για διάφορες τιµές του z καθώς και το δευτεροβάθµιο σύστηµα (µπλε Παρατηρούµε ότι ως προς τον χρόνο ανόδου η προσέγγιση από δευτεροβάθµιο σύστηµα είναι χειρότερη από την αντίστοιχη για το κλειστό σύστηµα