Αριθμητική εύρεση ριζών μη γραμμικών εξισώσεων

Αριθμητική εύρεση ριζών μη γραμμικών εξισώσεων Με τον όρο μη γραμμικές εξισώσεις εννοούμε εξισώσεις της μορφής: f( ) 0 που προέρχονται από συναρτήσεις f () που είναι μη γραμμικές ως προς. Περιέχουν δηλαδή και όρους ως προς βαθμού διάφορου του πρώτου. Τέτοιες εξισώσεις μπορεί να είναι: 5 f ( ) 0 () 3 f ( ) 5 0 () f ( ) sn( ) 0 (3) Είναι φανερό ότι οι παραπάνω εξισώσεις δεν μπορούν να επιλυθούν με τις γνωστές αναλυτικές μαθηματικές μεθόδους. Όπως ήδη έχουμε αναφέρει, ο υπολογισμός των ριζών τέτοιων εξισώσεων με χρήση αριθμητικών μεθόδων στηρίζεται σε κάποια θεωρήματα. Έτσι, αποδεικνύεται ότι π.χ. η εξίσωση () έχει τουλάχιστον μία πραγματική ρίζα μέσα στο ανοιχτό διάστημα (-,). Η απόδειξη προκύπτει από το θεώρημα Bolzano, το οποίο αναφέρει ότι: Θεώρημα Bolzano: Αν μία συνάρτηση f είναι συνεχής σε ένα κλειστό διάστημα [ a, b] και ισχύει ότι f ( a) 0 τότε υπάρχει τουλάχιστον ένας πραγματικός αριθμός μέσα στο ανοιχτό διάστημα (, b) ο οποίος θα είναι ρίζα της εξίσωσης f ( ) 0. Σύμφωνα με το παραπάνω θεώρημα, αν θέσουμε a και b τότε για την εξίσωση () θα ισχύει f ( a) f ( ) και f () 3 άρα f (a) 0 και συνεπώς μέσα στο ανοιχτό διάστημα (,) θα υπάρχει τουλάχιστον μία ρίζα της εξίσωσης (). Κάτι αντίστοιχο συμβαίνει και με τις άλλες δύο εξισώσεις () και (3). Αυτό το οποίο καταφέραμε με τη χρήση του θεωρήματος είναι να ξέρουμε ότι μέσα σε

ένα συγκεκριμένο διάστημα υπάρχει τουλάχιστον μία ρίζα της εξίσωσης (). Δεν γνωρίζουμε όμως ούτε αν υπάρχει μία μόνο ή περισσότερες ρίζες, ούτε ποια είναι η τιμή της (τους). Αυτά τα δύο ερωτήματα θα απαντηθούν με την χρήση των αριθμητικών μεθόδων. Υπάρχουν διάφορες αριθμητικές μέθοδοι για την επίλυση των μη γραμμικών εξισώσεων. Μπορούμε όμως να τις χωρίσουμε σε δύο μεγάλες κατηγορίες: στις μεθόδους που χρησιμοποιούν τις διαδοχικές δοκιμές σε διαστήματα (π.χ. Διχοτόμησης, Regula Fals), και σε αυτές που χρησιμοποιούν τις επαναληπτικές μεθόδους (π.χ. Τέμνουσας, Newton). Στη συνέχεια θα προσπαθήσουμε να σκιαγραφήσουμε, όσο είναι δυνατόν, τις περιπτώσεις που χρησιμοποιούμε κάθε μία από αυτές.

Μέθοδοι διαδοχικών δοκιμών Η μεθοδολογία των διαδοχικών δοκιμών στηρίζεται στο ότι σε κάθε βήμα (δοκιμή) πλησιάζουμε όλο και πιο κοντά στην πραγματική ρίζα της εξίσωσης. Έστω ότι έχουμε την ακόλουθη εξίσωση: 3 f ( ) 0 () Εφαρμόζοντας το θεώρημα Bolzano βρίσκουμε ότι η εξίσωση () έχει μία πραγματική ρίζα στο ανοικτό διάστημα (,). Παρατηρώντας την, εμπειρικά, μπορούμε να συμπεράνουμε ότι η ρίζα θα είναι αρνητικός αριθμός αφού, για θετικά συνάρτηση μας δίνει άθροισμα τριών θετικών όρων, το οποίο δεν μπορεί να είναι μηδέν. Δοκιμάζουμε λοιπόν μία αρνητική τιμή, π.χ. 0. 5 και βρίσκουμε ότι: f ( 0.5) 0.375 0. η Δεδομένου ότι f ( 0.5) 0, είναι σαφές ότι η ζητούμενη ρίζα θα βρίσκεται πιο αριστερά στον άξονα των πραγματικών αριθμών από την τιμή 0.5. Δοκιμάζουμε λοιπόν, μία μικρότερη τιμή, πάντα όμως μέσα στο διάστημα (, ). Έστω λοιπόν ότι 0. 7 οπότε για την τιμή αυτή βρίσκουμε f ( 0.7) 0.043 0 Τώρα πήραμε μία αρνητική τιμή της συνάρτησης, επομένως η ρίζα θα βρίσκεται πιο δεξιά της τιμής 0.7. Πάντως, η τιμή f ( 0.7) 0. 043 κατά απόλυτη τιμή βρίσκεται πολύ κοντά στο μηδέν από την τιμή f ( 0.5) 0.375. Επομένως, η τρίτη μας δοκιμή θα είναι πολύ πιο κοντά στο 0.7, απ ότι στο 0.5. Έτσι, δοκιμάζοντας την τιμή 0.68 βρίσκουμε f ( 0.68) 0.005568 0 που είναι ακόμη πιο κοντά στο μηδέν και έτσι, δοκιμάζοντας τιμές με όλο και μικρότερες διακυμάνσεις, μπορούμε τελικά να προσεγγίσουμε τη ρίζα με αρκετά μεγάλη ακρίβεια. Είναι φανερό ότι η παραπάνω μέθοδος, στην πραγματικότητα βασίζεται στη διαίσθησή μας να μαντέψουμε σωστά τις διαδοχικές δοκιμές οι οποίες προσεγγίζουν όλο και περισσότερο την επιθυμητή ρίζα.

Οι αριθμητικές μέθοδοι τις οποίες θα αναφέρουμε στην συνέχεια αποσκοπούν ακριβώς στο να μας παράσχουν ένα συστηματικό τρόπο στο πως θα επιλέγουμε τις διαδοχικές δοκιμές, ώστε η ακολουθία των παραγόμενων δοκιμών να συγκλίνει όσο το δυνατόν ταχύτερα στην επιθυμητή ρίζα. Αναζητούμε δηλαδή κανόνα ο οποίος σε κάθε βήμα θα μας φέρνει όλο και πιο κοντά στην πραγματική τιμή της ρίζας της εξίσωσης. Ο κανόνας αυτός, θα πρέπει να έχει τη μορφή αναδρομικής συνάρτησης η οποία σε κάθε βήμα, γνωρίζοντας το κάθε προηγούμενο, θα πλησιάζει με όλο και μεγαλύτερη ακρίβεια στην πραγματική τιμή της ρίζας. Ο κανόνας αυτός λοιπόν θα μπορούσε να έχει τη μαθηματική μορφή της εξίσωσης (), n g( n ) () η οποία μας επιτρέπει να προσδιορίσουμε με συστηματικό τρόπο την προσέγγιση n της ρίζας ρ στο ( n ) -οστό βήμα, αν είναι γνωστή η προσέγγιση της ρίζας ρ n στο n-οστό βήμα και φυσικά θα πρέπει να ισχύει ότι η ακολουθία των προσεγγίσεων n, n,,... συγκλίνει προς τη ρίζα. Δηλαδή ισχύει ότι lm( n ) Ακριβώς με αυτή τη λογική θα μελετήσουμε τις ακόλουθες αριθμητικές μεθόδους για την εύρεση λύσεων μη γραμμικών εξισώσεων.

. Μέθοδος της διχοτόμησης (bsecton) Η μέθοδος της διχοτόμησης δε χρησιμοποιείται συχνά και ουσιαστικά, αποτελεί απευθείας εφαρμογή του θεωρήματος του Bolzano. Η ιδέα της μεθόδου φαίνεται στο ακόλουθο Σχ.(): Σχήμα (): Γεωμετρική ερμηνεία της μεθόδου της διχοτόμησης. Έστω ότι ζητείται η ρίζα της συνάρτησης f () του Σχ.(). Η ρίζα θα αντιστοιχεί στο σημείο τομής της γραφικής παράστασης της συνάρτησης με τον χ-άξονα. Κατασκευάζουμε τις διαδοχικές προσεγγίσεις,...,, 3 με τον εξής τρόπο: Βήμα ο ) Επιλέγουμε σημεία a, b τέτοια ώστε f ( a) 0 δηλαδή υπάρχει ρίζα στο διάστημα ( a, b) με βάση το θεώρημα Bolzano. Βήμα ο ) Ορίζουμε ως την τιμή που αντιστοιχεί στο μέσο του διαστήματος [ a, b], δηλ.: a b

Βήμα 3 ο ) Αν f ( ) 0 τότε το είναι η ζητούμενη ρίζα και σταματάει η διαδικασία. Αυτή η περίπτωση όμως σπάνια συμβαίνει στην πράξη. Βήμα 4 ο ) Αν f ( ) 0 τότε ελέγχουμε το πρόσημο του γινομένου f ( a) f ( ) και στην συνέχεια καθορίζουμε το νέο μας διάστημα. Επομένως θα έχουμε: f ( a 0, f ( ) ώ, ) a,, b Κατά τη διάρκεια της εκτέλεσης του τέταρτου βήματος, ένα μόνο από τα δύο άκρα, α ή b θα επαναπροσδιοριστεί, και θα μεταφερθεί στο μέσο του παλαιού διαστήματος [a, b]. Στην περίπτωση της συνάρτησης του Σχ.(), παρατηρούμε ότι το f ( ) συμφωνεί με το πρόσημο της f (a). Επομένως, μετά την εκτέλεση του 4 ου βήματος, το άκρο α θα μεταφερθεί στη θέση του σημείου ενώ το άκρο b, παραμένει στη θέση του. Βήμα 5 o ) Επιστρέφουμε στο ο βήμα και επαναλαμβάνουμε την διαδικασία με το νέο διάστημα που έχει προκύψει, για να βρούμε τη νέα προσέγγιση μέχρι να εκπληρωθεί ένα από τα κριτήρια τερματισμού. Παρατηρούμε ότι στην περίπτωση του σημείου, ο έλεγχος του 4 ου βήματος θα δώσει ότι το πρόσημο της f ( ) συμφωνεί με το πρόσημο της f (b). Επομένως τώρα θα καταργηθεί το παλαιό b και θα τεθεί b, ενώ το a θα παραμείνει ως έχει. Κριτήρια τερματισμού: Όταν η απόλυτη τιμή της διαφοράς μεταξύ (τρέχουσας προσεγγιστικής ρίζας) και (προηγούμενης προσεγγιστικής ρίζας) είναι μικρότερη από την ακρίβεια λύσης tol που έχει δηλώσει ο χρήστης, δηλαδή θα έχουμε ταύτιση των σημείων. Επομένως θα ισχύει: tol όπου των δεκαδικών ψηφίων της επιθυμητής ακρίβειας. 0 k tol με k τον αριθμό

Η τιμή να είναι ρίζα της συνάρτησης f (), δηλαδή να ισχύει ότι f ( ) 0. Οι επαναλήψεις που έχει δηλώσει ο χρήστης για την εύρεση της ρίζας εξαντλήθηκαν. Το 4 ο βήμα του κανόνα, υπάρχει έτσι ώστε, κάθε φορά που επαναλαμβάνεται η διαδικασία να εξακολουθεί να ισχύει το κριτήριο του Bolzano. Στο νέο δηλαδή κλειστό διάστημα [α, b] που προκύπτει μετά την υλοποίηση του 4 ου βήματος, οι τιμές της συνάρτησης στα δύο άκρα του διαστήματος έχουν αντίθετο πρόσημο. Όπως βλέπουμε στο Σχ.(), είναι πιθανό να βρεθούμε πολύ κοντά στη ρίζα σε κάποια επανάληψη και στη συνέχεια να κινηθούμε μακριά από αυτήν έως επιστρέψουμε σε μία καλή προσέγγιση αργότερα, δηλαδή. η καμπύλη του σφάλματος ως συνάρτηση των επαναλήψεων δεν είναι μονότονα φθίνουσα. Σε κάθε επανάληψη των βημάτων από έως 4, το εύρος του αρχικού διαστήματος διαιρείται δια δύο, μια και το ένα από τα δύο άκρα του νέου διαστήματος μεταφέρεται ακριβώς στο μέσο του παλαιού διαστήματος. Έτσι, μετά από n επαναλήψεις των βημάτων από έως 4, το αρχικό εύρος M b a, έχει υποδιαιρεθεί κατά τον παράγοντα n. Επομένως, το εύρος του διαστήματος Μ(n) μετά από n επαναλήψεις όπου a, b τα όρια του αρχικού διαστήματος, θα είναι: b a M ( n). n Η παραπάνω σχέση όπου a, b τα όρια του αρχικού διαστήματος, μας δίνει το μέγιστο δυνατό σφάλμα που έχει η μέθοδος της διχοτόμησης σε κάθε επανάληψη n. Επίσης, βρίσκουμε ότι η μέθοδος της διχοτόμησης συγκλίνει γραμμικά με ρυθμό σύγκλισης. b a η επανάληψη: ( b a) b a η επανάληψη: ( b a) 4 b a 3 η επανάληψη: 3 ( b a) 8 3

Από το ακόλουθο Σχ.() είναι φανερό γιατί η μέθοδος της διχοτόμησης εντοπίζει μία ρίζα αλλά όχι όλες τις ρίζες που βρίσκονται στο διάστημα [ a, b]. Σχήμα (): Η μέθοδος της διχοτόμησης εντοπίζει μία ρίζα. Συνοπτικά Πλεονεκτήματα Μειονεκτήματα μεθόδου Πλεονέκτημα: ) Η μέθοδος διχοτόμησης συγκλίνει πάντα, γιατί σε κάθε βήμα πρέπει να ισχύει το θεώρημα Bolzano. Μειονεκτήματα: ) Ύπαρξη ρίζας στο αρχικό διάστημα a, b. ) Υλοποιείται με διχοτόμηση διαστημάτων και έτσι είναι η πιο αργή από όλες τις άλλες μεθόδους. 3) Όταν έχουμε άρτιο αριθμό ριζών τότε έχουμε πρόβλημα γιατί δεν ισχύει f ( a) 0. Αυτό που μπορούμε να κάνουμε είναι να χωρίσουμε το αρχικό διάστημα σε μικρότερα.

Παράδειγμα διχοτόμησης Έστω ότι έχουμε να υπολογίσουμε την ρίζα της f ( ) 3 με τη μέθοδο της διχοτόμησης. Με δεδομένα το διάστημα εύρεσης ρίζας τα άκρα του οποίου είναι a και b, την παράμετρο επιθυμητής ακρίβειας e 0 0, και τον μέγιστο αριθμό των επαναλήψεων 00, χρησιμοποιούμε το πρόγραμμα όπου βρίσκουμε μετά από 35 επαναλήψεις την προσεγγιστική ρίζα 0. 68378039. Ας δούμε στην συνέχεια τι αποτελέσματα δίνουν οι πέντε πρώτες επαναλήψεις της μεθόδου και πως αλλάζουν τα όρια a και b του διαστήματος [ a, b] που μας ενδιαφέρει. Έτσι λοιπόν στον Πίνακα () φαίνονται οι τιμές των,, 3,..., οι αντίστοιχες τιμές της συνάρτησης. a b f ( ) Αλλαγή ορίου -.0000000000.0000000000 0.0000000000.0000000000 b -.0000000000 0.0000000000-0.5000000000 0.3750000000 b 3 -.0000000000-0.5000000000-0.7500000000-0.78750000 a 3 4-0.7500000000-0.5000000000-0.650000000 0.308593750 b 4 5-0.7500000000-0.650000000-0.6875000000-0.04578 a 5 Πίνακας (): Αποτελέσματα 5 πρώτων επαναλήψεων της μεθόδου διχοτόμησης κατά την επίλυση.

. Μέθοδος Regula Fals Η μέθοδος Regula Fals βασίζεται στον προσδιορισμό διαδοχικών διαστημάτων ολοένα και μικρότερου εύρους, της μορφής [ a, b], στα οποία ικανοποιείται το κριτήριο του θεωρήματος Bolzano. Θεωρώντας ότι η συνάρτηση που μας ενδιαφέρει να υπολογίζουμε τη ρίζα της είναι της μορφής του Σχ.(3), οι διαδοχικές προσεγγίσεις,, 3,... μέχρι να υπολογιστεί η ρίζα με την απαιτούμενη από τον χρήστη ακρίβεια υπολογίζονται με τον εξής τρόπο: Σχήμα (3): Γεωμετρική ερμηνεία της μεθόδου Regula Fals. Βήμα ο ) Επιλέγουμε σημεία a, b τέτοια ώστε f ( a) 0 δηλαδή υπάρχει ρίζα στο διάστημα ( a, b) με βάση το θεώρημα Bolzano. Βήμα ο ) Υπολογίζουμε το σημείο τομής της ευθείας που διέρχεται από τα σημεία ( a, f ( a)),( b, ), με τον χ-άξονα και δίνεται από την b ( b a) f ( a) Τα βήματα που ακολουθούν είναι παρόμοια με τη μέθοδο της διχοτόμου. Δηλαδή:

Βήμα 3 ο ) Αν f ( ) 0 τότε το είναι η ζητούμενη ρίζα και σταματάει η διαδικασία. Αυτή η περίπτωση όμως σπάνια συμβαίνει στην πράξη. Βήμα 4 ο ) Αν f ( ) 0 τότε ελέγχουμε το πρόσημο του γινομένου f a) f ( ) ( και καθορίζουμε το νέο μας διάστημα. Επομένως θα έχουμε: f ( a 0, f ( ) ώ, ) a,, b Στην περίπτωση της συνάρτησης του Σχ.(3), παρατηρούμε ότι το f ( ) δεν συμφωνεί με το πρόσημο της f (a). Επομένως, μετά την εκτέλεση του 4 ου βήματος, το άκρο b θα μεταφερθεί στη θέση του σημείου ενώ το άκρο α, παραμένει στη θέση του. Βήμα 5 o ) Επιστρέφουμε στο ο βήμα και επαναλαμβάνουμε την διαδικασία με το νέο διάστημα που έχει προκύψει για να βρούμε τη νέα προσέγγιση, μέχρι να εκπληρωθεί ένα από τα κριτήρια τερματισμού. Κριτήρια τερματισμού: Όταν η απόλυτη τιμή της διαφοράς μεταξύ (τρέχουσας προσεγγιστικής ρίζας) και (προηγούμενης προσεγγιστικής ρίζας) είναι μικρότερη από την ακρίβεια λύσης tol που έχει δηλώσει ο χρήστης, δηλαδή θα έχουμε ταύτιση των σημείων. Επομένως θα ισχύει: tol όπου αριθμό των δεκαδικών ψηφίων της επιθυμητής ακρίβειας. 0 k tol με k τον Η τιμή να είναι ρίζα της συνάρτησης f (), δηλαδή να ισχύει ότι f ( ) 0. Οι επαναλήψεις που έχει δηλώσει ο χρήστης για την εύρεση της ρίζας εξαντλήθηκαν.

Συνοπτικά Πλεονεκτήματα Μειονεκτήματα μεθόδου Πλεονέκτημα: ) Η μέθοδος Regula - Fals συγκλίνει πάντα, γιατί σε κάθε βήμα πρέπει να ισχύει το θεώρημα Bolzano. ) Είναι σαφώς ταχύτερη από την μέθοδο της διχοτόμησης. Μειονεκτήματα: ) Ύπαρξη ρίζας στο αρχικό διάστημα a, b. ) Όταν έχουμε άρτιο αριθμό ριζών τότε έχουμε πρόβλημα γιατί δεν ισχύει f ( a) 0. Αυτό που μπορούμε να κάνουμε είναι να χωρίσουμε το αρχικό διάστημα σε μικρότερα. Παράδειγμα Regula Fals Υπολογίζουμε την ρίζα της f ( ) 3 με τη μέθοδο Regula Fals. Με δεδομένα το διάστημα εύρεσης ρίζας τα άκρα του οποίου είναι a και b, την παράμετρο επιθυμητής ακρίβειας 0 0 e, και τον μέγιστο αριθμό των επαναλήψεων 00, χρησιμοποιούμε το πρόγραμμα όπου βρίσκουμε μετά από 7 επαναλήψεις την προσεγγιστική ρίζα 0. 68378038. Ας δούμε στην συνέχεια τι αποτελέσματα δίνουν οι οχτώ πρώτες επαναλήψεις της μεθόδου και πως αλλάζουν τα όρια a και b του διαστήματος [ a, b] που μας ενδιαφέρει. Έτσι λοιπόν στον Πίνακα () φαίνονται οι τιμές των,, 3,..., οι αντίστοιχες τιμές της συνάρτησης a b f ( ) Αλλαγή ορίου -.0000000000.0000000000-0.5000000000 0.3750000000 b -.0000000000-0.5000000000-0.6363636364 0.059353869 b

3 -.0000000000-0.6363636364-0.679565 0.0648879 b 3 4 -.0000000000-0.679666464-0.679666464 0.006375484 b 4 5 -.0000000000-0.6869003-0.6869003 0.0055358 b 5 6 -.0000000000-0.6875860-0.6875860 0.0003644 b 6 7 -.0000000000-0.6895330-0.6895330 0.000086980 b 7 8 -.0000000000-0.6839484-0.6839484 0.000007444 b 8 Πίνακας (): Αποτελέσματα 8 πρώτων επαναλήψεων της μεθόδου Regula Fals κατά την επίλυση.