VIII FRAKTALINĖ DIMENSIJA 81 Fraktalinės dimensijos samprata Ar baigtinis Norvegijos sienos ilgis? Tarkime, kad duota atkarpa, kurios ilgis lygus 1 Padalykime šia atkarpa n lygiu daliu Akivaizdu, kad kiekvienos šios dalies ilgis r := 1/n Tuomet r n = 1 Toliau, tarkime, kad duotas kvadratas, kurio kraštinė lygi 1 Padalykime š kvadrata n kopiju tokiu būdu, kad n r = 1 Bet tuomet gauname, kad r = 1/n 1/ Atlikime trimatės erdvės objekto, tiksliau kalbant kubo, dalijimo n lygiu daliu, operacija Bet kokio kubo tūris lygus jo kraštinės ilgiui trečiuoju laipsniu Taigi, kraštinės ilgis bus lygus r = 1 n 1/3, kadangi n r 3 = 1 Šia operacija apibendrinkime, bet kokio matavimo erdvės kubams Tarkime, kad d mat kuba, kurio tūris a (tūriu vadiname šio objekto mata dalijame N := N(d vienodu daliu ir kiekvienos dalies matas yra r d Aišku, kad tuomet teisinga lygybė: an r d = a Kitaip tariant, figūra išskaidėme N vienodu daliu ir jomis uždengėme nagrinėjama d mat kuba Išsprende d atžvilgiu paskutinia ja lygybe gauname, kad (1 d = ln N ln 1 r Pastebėsime, kad < r < 1, todėl d > Skaičius d vadinamas nagrinėjamo objekto fraktaline dimensija (Vėliau pateiksime ir daugiau fraktalinės dimensijos apibrėžimu Fraktalinė dimensija nusako ryš, tarp objekta dengiančiu aibiu skaičiaus ir šiu aibiu diametro Akivaizdu, kad jau nagrinėtu - tiesės, kvadrato, bei kubo fraktalinės dimensijos sutampa su atitinkamomis ju topologinėmis dimensijomis (tiesės arba jos dalies topologinė dimensija lygi 1, plokštumos arba stačiakampio -, erdvės arba kubo lygi 3 Nesunku suprasti, kad figūros dimensija parodo, kaip keičiasi objekto matas (ilgis, plotas tūris tiriamo objekto sienos matmenis keičiant kokiu nors pastoviu dydžiu Kuo didesnė dimensija, tuo labiau pakinta objekto matas, keičiant sienos matmenis Suskaičiuokime Kocho kreivės fraktaline dimensija Atkreipsime skaitytojo dėmes, kad mes nagrinėjame metrines erdves, kuriose topologija (aplinku sistema nusakome metrikos pagalba Prisiminkime Kocho kreivės konstrukcija (žr 17 pav Intervala [, 1] dalijome tris lygias dalis, kur kiekvienos ilgis lygus 1/3 Pašaline iš šio intervalo vidurinia ja dal ja pakeitėme kampu, kurio kraštinės lygios 1/3 Gavome Kocho kreive generuojančios sekos pirmaj nar Prisiminkime, kad kiti sekos nariai gaunami, ta pat veiksma atliekant su kiekviena, prieš tai gautos laužtės, dalimi Gr žkime prie pirmojo sekos nario Tad kiekviena laužtės atkarpa dalijama N = 4 dalis, o kiekvienos naujai gautos laužtės ilgis lygus 1/3 Tegu d žymi Kocho kreivės dimensija (kol kas nežinoma, o a žymi hipotetinės kreivės, kuria vadiname Kocho vardu, ilg Tada šios kreivės ilgis a = 4 ( 1/3 d a Iš pastarosios lygybės išplaukia d = ln 4 ln 3 16 Taigi, fraktalinė dimensija nebūtinai sveikas skaičius Beje, dažniausiai būtent nesveikas realus skaičius Pastebėsime, kad tuo atveju kai kreivė, plokštumos dalis, ar erdvės sritis gali būti aproksimuojamos laužčiu, stačiakampiu, ar gretasieniu sekomis atitinkamai, kuriu ribos baigtinės, tai tuo atveju nagrinėjamu figūru fraktalinė dimensija sutampa su ju topologine dimensija Šiame žanginiame skyrelyje panagrinėsime keleta praktiniu uždaviniu, kurie stimuliavo fraktalu teorijos vystyma si Kocho kreivės pavyzdys domus tuo, kad baigtine plokštumos srit ribojanti kreivė gali būti begalinio ilgio Mes tikimės, kad skaitytojas žino geografija ir sivaizduoja kaip atrodo Norvegijos arba Didžiosios Britanijos pakrantės Šiu valstybiu pakrantės labai raižytos, todėl skaičiuoti ju sienu ilgi tiksliai nėra taip paprasta, o kas labai domu, kartais ir ne manoma Sakykime Ispanijos ir Portugalijos žinynuose pateikiami skirtingi šiu valstybiu sienu ilgiai ir tai visai nesusije su šovinizmu Tiesiog skaičiavimuose naudojami skirtingi metodai Gr žkime prie Norvegijos pakrantės Kaip galime skaičiuoti šios valstybės siena? 15
Tarkime, kad mūsu žingsnis yra pastovus, ir tegu jo ilgis lygus δ Be to, mums prireikė N := N(δ žingsniu šiai sienai išmatuoti Tuomet apytikslis šios sienos ilgis yra L(δ = N δ Tikimės, kad tikslus sienos ilgis bus gautas, kai žingsnio ilg neaprėžtai mažinsime Bet prieš pradėdami šios pakrantės ilgio analize gr žkime prie (1 formulės Tarkime, kad kreivės ilgis lygus a Tuomet N δ d = a Iš pastarosios mes gauname apytiksle pakrantės ilg reiškiančia formule : L(δ = N(δ δ = a δ δ d = a δ1 d Norvegijos pakrantės fraktalinė dimensija buvo suskaičiuota ir gauta, kad d 159 Beje, D Britanijos pakrantės fraktalinė dimensija lygi d 13 Taigi, šiu valstybiu sienu fraktalinės dimensijos didesnės negu Kocho kreivės fraktalinė dimensija Žemiau mes apytiksliai suskaičiuosime Kocho kreivės bei Britanijos sienos fraktalines dimensijas Mes norėtume panagrinėti ir kiek kitokio pobūdžio aibiu, tarkime Kantoro aibės, fraktalines dimensijas Bet prieš tai prisiminkime kai kurias svarbias sa vokas 8 Nulinio mato aibės Nulinio mato aibiu denginiai Šiame skyrelyje sutapatinsime mato, bei ilgio sa vokas, tiesėje Minėtasis matas, tai Borelio matas, apibrėžtas atviru (uždaru intervalu generuotoje σ algebroje Sakysime, kad aibės F ilgis L(F = jeigu jos Borelio matas m(f = Sakysime, kad aibė E [, 1] yra nulinio mato, jeigu visiems ɛ > galime nurodyti tokia intervalu šeima {U i ; i N }, kad E n U n, L(U n ɛ n Tarkime, kad E = {x n, n N } yra realiu ju seka Ši seka yra nulinio mato aibė, nes bet kokiam ɛ > ši aibė E U n, kur Nesunku matyti, kad U n = [ n=1 x n n N ] ɛ n+1, x n + ɛ n+1 ɛ L(U n = n = ɛ Matome, kad apibrėžimo sa lygos tenkinamos, vadinasi, aibė E yra nulinio mato Nesunku suprasti, kad bet kokia aibė, kuri ekvivalenti natūraliu ju aibei, yra nulinio mato Antra vertus aibės matas nenusako jos topologiniu savybiu, kadangi nulinio mato aibėmis mes galime aproksimuoti ne nulinio mato aibes Pvz racionaliu ju bei realiu ju aibiu santykis Priminsime, kad aibė F vadinama tobula, jeigu ji begalinė, uždara, netuščia ir neturi izoliuotu tašku Bet kokiam metrinės erdvės elementui x priskirkime rutul B ɛ (x, su centru taške x bei spinduliu ɛ Tuomet, bet kokio šios erdvės kūno P tūr apytiksliai galime pakeisti rutuliu, kuriais uždengiame ši kūna, tūriu suma Perėje prie ribos, kai rutuliu spindulys artėja nul (o tuo pačiu rutuliu skaičius neaprėžtai auga 16 n=1
gauname, kad šio kūno tūris lygus minėta jai sumai, kai dėmenu skaičius neaprėžtai auga, jeigu ši sumu seka turi riba Ši kūno P dengin (4 P (ɛ = B ɛ (x, x P vadinsime Minkovskio denginiu ir trumpai žymėsime D M Pavyzdžiui, bet kokio realiu ju intervalo [a, b] D M sudaro (4 sajunga, kai B ɛ (x = [x ɛ, x + ɛ] Beje, intervalo P (ɛ ilgis ne mažesnis už ɛ Pastebėkime, kad ɛ tikslumu, aibės E užimama vieta metrinėje erdvėje galime pakeisti aibe E(ɛ, ty D M, kurios ilgis (plotas, tūris L(E(ɛ Jeigu aibė E uždara nulinio mato aibė, tai L(E(ɛ, kai ɛ Tačiau nesunku suprasti, kad priklausomai nuo to, kokiu greičiu vienos ar kitos aibės D M ilgis artėja nul, mes galime spre sti apie tos aibės dyd ir klasifikuoti nulinio mato aibes pagal š požym Sakysime, kad aibės E užpildymo laipsnis aukštesnis negu aibės F, jeigu dydžio L(E(ɛ konvergavimo nulin eilė mažesnė negu L(F (ɛ, kai ɛ, ty L(E(ɛ = o(l(f (ɛ Dabar esame pasiruoše pateikti, bet kokios aibės E R, fraktalinės dimensijos apibrėžima Aibės E fraktaline dimensija vadinsime riba log N(ɛ (E = lim, log ɛ jeigu pastaroji egzistuoja Dažnai patogu tolydu parametra ɛ pakeisti diskrečia nykstama seka, kuri tenkina tam tikras sa lygas 81 Lema Tarkime, kad {ɛ n } nykstama realiu seka, kuri turi savybe : lim n log ɛ n log ɛ n+1 = 1 Tada aibės E R fraktaline dimensija galime skaičiuoti taip: (E = lim n log N(ɛ n log ɛ n Mums pakanka parodyti, kad bet kokiam ɛ > ir n N, ɛ n+1 < ɛ < ɛ n Bet kokiam fiksuotam ɛ > parinkime sekos numer n taip, kad būtu teisingos nelygybės: N(ɛ n N(ɛ, N(ɛ N(ɛ n+1 Taigi gauname, kad ir log N(ɛ n log log ɛ n+1 log N(ɛ log ɛ log N(ɛ n+1 + log log ɛ n kai n Iš pirmosios nelygybės gauname, kad ln ɛ n (ln N(ɛ n ln ln N(ɛ ln ɛ n+1 ln ɛ n ln ɛ n ln ɛ ln ɛ n+1 (ln N(ɛ n+1 ln, ln ɛ n ln ɛ n+1 ln ɛ n+1 lim sup n ln N(ɛ n ln ɛ n 17
Iš antrosios išplaukia lim inf n ln N(ɛ n ln ɛ n Tarkime, kad nagrinėjama aibė yra tobula Be to tarkime, kad ω n = ω n (F yra uždaru aibiu, kuriu ilgiai n ir kuriose yra bent vienas aibės F elementas, skaičius Tuomet šios aibės fraktalinė dimensija lygi ln ω n (F (F = lim n n ln Paminėsime kelias dimensijos savybes, kurias siūlome skaitytojui rodyti pačiam Laikysime, kad nagrinėjamu aibiu matai baigtiniai 1 Tarkime, kad E F Tada (E (F Tarkime, kad E yra aibės E uždarinys Tada (E = (E 3 E, 1 4 E, F (E F = max{ (E, (F } 5 Tarkime, kad T (E kokia tai aibės E afininė transformacija Tada teisinga lygybė (T (E = (E 83 Hausdorfo- Besiechovičiaus dimensija (H-B H-B ir fraktalinės dimensijos ryšys Praeitame skyrelyje nagrinėjome erdvės R aibes Šiame skyrelyje aptarsime fraktalinės dimensijos problema, aukštesniu matavimu erdvėse Tarkime duota fraktalu erdvė virš metrinės erdvės (R 3, ρ 3 Šioje fraktalu erdvėje išskirkime tokius kompaktiškus elementus: baigtinio ilgio kreive, juosta, kurios du kraštai yra kreivė, bei erdvės kūnas, kurio dvi sienas sudaro nurodytoji juosta Kaip praktiškai matuojamas šiu elementu ilgis, plotas, bei tūris, atitinkamai I kreive brėžkime vienodo ilgio δ laužtes Tarkime ju skaičius N(δ Tuomet apytikslis kreivės ilgis L(δ = N(δδ Tarkime, kad kreivė ištiesinama, tuomet Iš paskutiniosios lygybės išplaukia, kad lim N(δδ = δ (δ L N(δ L δ I juosta brėžkime vienodus kvadratus, kuriu kraštinės ilgis δ Laikydami, kad ši juosta mati, gauname, kad lim δ N(δδ = S Antra vertus, matome, kad paskutinia ja lygybe galime užrašyti ir taip: S = lim δ (N(δ δ δ = lim δ (L(δ δ Matome, kad N(δ (S 1/δ Analogiškai nagrinėdami erdvin kūna, gauname, kad šio kūno tūris yra lygus Be to, N(δ V /δ 3 V = lim δ N(δδ 3 18
Taigi, gauname, kad (5 L = S δ 1 + o(1, arba S δ Iš pastaru ju sa ryšiu išplaukia labai svarbi savybė: plokštumos dalies negalime uždengti baigtiniu skaičiumi atkarpu, tuo tarpu begaline kreive užkloti plokštuma galime Analogiška išvada galime padaryti ir plokštumos ir erdvės santykiui Tarkime, kad S kokia nors metrinės erdvės X aibė ir be to h(δ = γ(δδ d kokia nors funkcija, kuria konstruojame mata M d = h(δ Jeigu S atkarpa, kvadratas ar kubas, tai γ(d = 1 Tad kas gi toji funkcija M d Ši aibiu funkcija reiškia aibiu, kuriomis uždengiame nagrinėjama aibe, mata, o funkcija h(δ = γ(δδ d yra denginio funkcija Pavyzdžiui, kai dengin sudaro atkarpos, tai h(δ = δ, kvadrato atveju h(δ = δ ir taip toliau Kitaip tariant h(δ yra denginio vienetas Tarkime, kad A apskritimas, o S - sfera Tad denginio vienetus, atitinkamai, parinkime taip: h(δ = π 4 δ, h(δ = π 6 δ3 Prisiminkime (5 sa ryšius Tad galime padaryti išvada, kad kai δ, tai bendras denginio matas M d yra arba lygus nuliui, arba Aibės S Hausdorfo - Besiechovičiaus (toliau H-B dimensija vadinsime tok D, kuriam teisingi sa ryšiai: M d = { γ(δδ d = lim γ(δn(δδ d, jei d > D, = δ, jei d < D D vadinamas kritiniu skaičiumi, M d vadinamas aibės S, d matu Atkreipsime skaitytojo dėmes tai, kad kai d = D, matas M d dažnai yra baigtinis, bet ne būtinai Praeitame skyrelyje nagrinėti aibiu denginiai turėjo viena savybe - denginiu diametrai buvo vienodi Skaičiuojant aibės (H-B dimensija denginio rutuliu diametru lygybė nebūtina Svarbu tik, kad spinduliai nebūtu didesni už δ Tuomet dimensija skaičiuojama imant apatine riba, kai δ Aišku, kad tuo atveju, kai nagrinėjami objektai yra atkarpos, kvadratai arba kubai bei šiais minėtais objektais aproksimuojamos figūros, tai ju (H-B dimensija lygi 1,, 3 - atitinkamai Jau anksčiau esame minėje, kad aibe vadiname fraktalu, jeigu jos topologinė dimensija mažesnė už fraktaline Pavyzdžiui, Kantoro aibės topologinė dimensija lygi nuliui, tuo tarpu fraktalinė- teigiama Arba Kocho kreivės topologinė dimensija lygi 1, o jos fraktalinė dimensija didesnė už 1 Apskaičiuokime Kocho kreivės (H-B dimensija Prisiminkime, kad fraktalinė jos dimensija lygi ln 4/ln 3 Žinome, kad šios kreivės n os generacijos laužtės ilgis L(δ = (4/3 n, δ = 3 n Iš paskutiniosios lygybės gauname, kad generacijos numeris n = ln δ ln 3 Tuomet L(δ = exp ( ln δ (ln 4 3 = δ 1 D ln 3 19
Iš paskutiniosios išplaukia, kad D = ln 4 ln 3 Tuomet segmentu skaičius n ojoje iteracijoje lygus N(δ = 4 n = δ D, kur D Kocho kreivės fraktalinė dimensija Tarkime, kad h(δ = δ d Suskaičiuokime dyd M d Turime M d = h(δ = N(δh(δ = δ D δ d Taigi, šiuo atveju akivaizdu, kad kritinis skaičius yra D = d Tai reiškia, kad šiuo atveju fraktalinė ir (H-B dimensijos sutampa Gr žkime prie fraktalu erdvės Tarkime, kad (X, ρ - pilna metrinė erdvė, o (H(X, h(ρ kaip paprastai fraktalu erdvė Prisiminkime keleta, anksčiau naudotu žymėjimu Tarkime, kad ɛ > bet koks teigiamas fiksuotas skaičius Rutuliu aibėje A H(X, kurio spindulys ɛ ir centras taške x, mes pavadinome aibe B(x, ɛ = {x A; ρ(x, x ɛ} Tarkime, kad N(A, ɛ yra mažiausias natūralusis skaičius M toks, kad A M B(x n, ɛ, k=1 čia x n kokia nors metrinės erdvės X elementu seka Ar toksai M egzistuoja? Bet kokiam parinktam elementui x A, priskirkime atvira ɛ spindulio rutul, čia pastarasis priklauso kokiam nors aibės A denginiui Aibė A kompaktiška, todėl iš šio denginio galime išskirti baigtin podengin, sudaryta iš,tarkime M 1, atviru rutuliu Paėme kiekvieno šio rutulio uždarin gausime dengin, sudaryta iš M 1 uždaru aibiu, dengiančiu aibe A Pažymėkime raide C šiu uždaru denginiu aibe Matome, kad aibė C netuščia Tegu f : C {1,,, M 1 }, čia c C, f(c reiškia rutuliu, priklausančiu denginio aibei C, Tuomet {f(c; c C} yra baigtinė, teigiamu aibė Bet minėtoji aibė turi mažiausia elementa, kur ateityje žymėsime N(ɛ := N(A, ɛ 81 Teorema Tarkime, (X, ρ pilna metrinė erdvė, o A H(X Sakykime, kad ɛ n = c r n, čia < r < 1, c >, n N Jeigu {ln(n(ɛ n } D = lim n ln( 1 ɛ n egzistuoja, tai fraktalo A fraktalinė dimensija lygi D Šios teoremos rodymas niekuo nesiskiria nuo 6 Lemos rodymo, todėl jo nekartosime 8 Teorema (Dėžiu teorema Sakykime, kad A H(R m, kur R m m matė euklidinė erdvė Tarkime, kad ši erdvė uždengta uždarais kubais, kuriu kraštinės ilgis lygus 1/ n Sakykime, kad N n (A žymi kubu, kuriu kraštiniu ilgis 1/ n, minimalu, kuris reikalingas atraktoriui A uždengti Tarkime, kad D 1 = lim n {ln(n n (A} ln( n egzistuoja Tada aibės A fraktalinė dimensija (A = D 1 11
Visu pirma pastebėkime, kad, kai m = 1,,, tai m N n 1 N(A, 1 n N k(n galioja visiems n = 1,, Be to k(n yra mažiausias natūralusis skaičius, kuriam teisinga nelygybė: k n 1 + 1/ log (m Pirmoji nelygybė galioja, kadangi rutulys, kurio spindulys 1/ n, kertasi su nedaugiau kaip n kubu, kuriu kraštiniu ilgiai 1/ n 1 Antroji nelygybė išplaukia iš to, kad kubai, kuriu kraštinės ilgis s, gali būti patalpinti rutul, kurio spindulys r, kadangi iš Pitagoro teoremos turime, kad Jei k(n n, tai Lygiai taip pat lim n lim n r ( s + ( s (ln N k(n = lim ln n n + ( s ln k(n ln n ( s = m (ln N k(n = ln k (n (ln( m N n 1 (ln N n 1 = lim = ln n n ln n 1 Tegu r = 5 Iš 81 Teoremos išplaukia šios teoremos rodymas Žinoma, nėra būtina naudoti kubus, kuriu kraštiniu ilgiai lygūs 1/ n Ta pat rezultata gautume ir paėme kubus, kuriu kraštinės ilgis c r n, c >, < r < 1 Pateiksime keleta dimensijos skaičiavimo pavyzdžiu 1 Tarkime, kad K R, K = { x, y 1, x, y R } Tada N 1 (K = 4, N (K = 16, N n (K = 4 n, n N gauname, kad Tada, ln(n n (K (K = lim n ln n = Sakykime, kad nagrinėjamoji aibė yra Sierpinskio trikampis, erdvėje R Matome, kad N 1 ( = 3, N ( = 3, N n ( = 3 n, n = 1,, ( = lim n ln(3 n ln( n = ln 3 ln Naudodamiesi 81 Lema fraktaline dimensija galime skaičiuoti apytiksliai Kiek plačiau apie tai Tarkime kad kūbo kraštinės ilgis yra lygus r 1 Tada nagrinėjamas objektas patenka n 1 kūba Sumažinkime kūbo kraštine Tarkime ši kraštinė yra lygi r, o nagrinėjamas objektas patenka n kūbus Tada apytikslė fraktalinės dimensijos reikšmė bus lygi: = ln n 1 ln n ln r ln r 1 Siūlome skaitytojui, naudojant šia formule apskaičiuoti apytiksle D Britanijos sienos (81 pav fraktalinės dimensijos reikšme, kai r 1 = 1/1, o r = 1/3 83 Teorema Tarkime, kad erdvės (X 1, ρ 1, (X, ρ yra metriškai ekvivalenčios Tarkime, kad transformacija θ := X 1 X yra izometrija Tegu, kad A 1 H(X 1, ir (A 1 = D Tada aibė A = θ(a 1 turi ta pačia dimensija kaip ir aibė A 1, ty (A 1 = (θ(a 1 111
Kadangi nagrinėjamos erdvės metriškai ekvivalenčios, tai egzistuoja konstantos e 1 < 1 < e tokios, kad e 1 ρ ( θ(x, θ(y < ρ1 ( x, y < e ρ ( θ(x, θ(x, x, y X1 Bet tuomet (6 ρ ( θ(x, θ(y < ρ 1 ( x, y Remdamiesi pastara ja nelygybe gauname, kad e 1, x, y X 1 (7 θ ( B(x, ɛ B(θ(x, ɛ e 1, x X 1 Naudodamiesi N(A 1, ɛ apibrėžimu, gauname, kad egzistuoja taškai {x 1, x,, x n } X 1 ir aibė N := N(A 1, ɛ tokie, kad uždaru rutuliu aibė {B(x n, ɛ; n = 1, N} dengia aibe A 1 Bet tada aibė {θ{b(x n, ɛ}; n = 1, N} dengia aibe A Iš sa ryšio (7 išplaukia, kad N(A, ɛ/e 1 N(A 1, ɛ Tada kadangi ɛ < 1 Vadinasi, (8 lim sup Iš (6 nelygybės išplaukia, kad ln(n(a, ɛ e 1 ln ( 1 ɛ ln N(A 1, ɛ ln( 1 ɛ, ln(n(a, ɛ e 1 ln(n(a, ɛ e ln ( 1 ɛ = lim sup 1 ln ( 1 ɛ ln N(A 1, ɛ ln( 1 ɛ = (A 1 ρ 1 ( θ 1 (x, θ 1 (y < ɛ ρ 1 ( x, y x, y X1 81 pav 11
Iš pastarosios nelygybės gauname, kad Kitaip tariant, N(A 1, ɛe N(A, ɛ Bet ɛ < 1, ir Iš paskutiniosios ir (8 lygybiu išplaukia, kad θ 1( B(x, ɛ B(θ 1 (x, ɛ e, x X ln(n(a 1, ɛ e ln ( 1 ɛ ln N(A, ɛ e ln( 1 ɛ, ln(n(a 1, ɛ ln(n(a 1, ɛe (A 1 = lim ln ( 1 ɛ = lim ln ( 1 ɛ lim inf ln N(A, ɛ ln( 1 ɛ Vadinasi, lim inf ln(n(a, ɛ ln ( 1 ɛ = (A 1 = lim sup ln N(A, ɛ ln( 1 ɛ (A = lim ln N(A, ɛ ln( 1 ɛ = (A 1 Taigi, jeigu du atraktoriai metriškai ekvivalentūs, tai ju fraktalinės dimensijos sutampa Pateiksime pavyzd Tarkime metrinėje erdvėje (R, ρ M apibrėžtos dvi IAS { } R ; ω 1 (x, y, ω (x, y, ω 3 (x, y ir { } R ; ω 4 (x, y, ω 5 (x, y, ω 6 (x, y, čia ω 1 (x, y = ( 1 1 ( 1 ( x + y ( 1, ( x ω (x, y = 1, y ( 1 ( ( ω 3 (x, y = x 1 + y 1 ( 1 ( ( ω 4 (x, y = x 1 + y ( 1 ( ω 5 (x, y = x 1, y ( 1 ( ω 6 (x, y = x 1 + y,, ( 1 1 Sakykime, kad A 1, A yra šiu IAS atraktoriai Parodysime, kad šiu atraktoriu fraktalinės dimensijos sutampa 113
Pirmosios aibės atraktorius yra Sierpinskio trikampis, kurio dešinysis kampas taške (,, o žambinė jungia taškus (1, ir (,1, o antrosios - Sierpinskio trikampis, kurio statusis kampas taške (1,1, o žambinė jungia taškus (, ir (, Šiu IAS atraktoriai metriškai ekvivalentūs, kadangi juos viena kita galime transformuoti afinine transformacija ( ( ( 1 1 x 1 θ(x, y = + 1 1 y 1 Apibendrinsime fraktalinės dimensijos apibrėžima tokiu būdu Tarkime, kad (X, ρ pilna metrinė erdvė, A H(X Lai, be to, N(ɛ žymi minimalu rutuliu, kuriu spindulys lygus ɛ,, kuriais uždengiame aibe A Tuomet ribine reikšme { ln N(δ } (A := lim sup ln( 1 δ ; δ (, ɛ, jeigu ji egzistuoja, vadinsime fraktaline dimensija Galima parodyti (atlikite tai!, kad paskutinysis apibrėžimas ekvivalentus (A apibrėžimui 84 Teorema Tarkime, kad nagrinėjame metrine erdve (R m, ρ Tada bet kokiai aibei A H(R m fraktalinė dimensija (A egzistuoja Jeigu B H(R m, ir A B, tai (A (B Be to, visuomet teisinga nelygybė: (A m Tarkime, kad m = Nemažindami bendrumo galime laikyti, kad A K Kitaip tariant, bet kokia aibe patalpiname kube Vadinasi, N(A, ɛ N(B, ɛ, ɛ > Taigi visiems ɛ > Nesunku matyti, kad lim sup ln N(A, ɛ ln N(B, ɛ ln( 1 ɛ ln( 1 ɛ ln N(A, ɛ ln( 1 ɛ lim sup ln N(B, ɛ ln( 1 ɛ Bet dešiniosios pusės riba egzistuoja ir yra lygi, taigi ir kairioji riba egzistuoja, be to, aprėžta tuo pačiu skaičiumi Akivaizdu, kad (A Ta pat galime pasakyti ir apie aibe B Taigi (A ir D(B egzistuoja Kadangi A B tai šiai aibei uždengti reikia ne didesnio aibiu skaičiaus Vadinasi (A (B 85 Teorema Tarkime, kad A, B H(R m, m Tegu (A aibės A fraktalinė dimensija Jeigu (B < (A, tai tada (A B = (A Iš 84 Teoremos išplaukia, kad (A B = (A Pastebėkime, kad N(A B, ɛ N(A, ɛ + N(B, ɛ Vadinasi, { ln(n(a B, ɛ } (A B = lim sup ln( 1 ɛ { ln(n(a, ɛ + N(B, ɛ } lim sup ln( 1 ɛ 114
( { ln(n(a, ɛ } ln 1 + N(B,ɛ N(A,ɛ lim sup ln( 1 ɛ + lim sup ln( 1 ɛ I rodymas bus baigtas, jeigu parodysime, kad santykis po logaritmo ženklu mažesnis už vieneta, pakankamai mažam ɛ Pastebėkime, kad { ln(n(b, δ } sup ln ( 1 δ ; δ < ɛ yra mažėjanti argumento ɛ funkcija Vadinasi, kai ɛ pakankamai mažas, tai ln N(B, ɛ ln( 1 ɛ < (A Turime, kad riba egzistuoja, todėl pakankamai mažam ɛ gauname Bet iš paskutiniosios nelygybės išplaukia, kad ln(n(b, ɛ ln N(A, ɛ ln ( 1 ɛ < ln( 1 ɛ N(B, ɛ N(A, ɛ < 1 Naudodamiesi šia teorema darome tokia išvada : silpnesnės aibės prijungimas, nepakeičia pradinės aibės fraktalinės dimensijos 86 Teorema Sakykime, kad {R m ; ω 1, ω N } - IAS, kurios atraktorius yra A Tarkime, kad ω n yra SA, kurios sk yra s n, n {1,, N} Jeigu IAS yra visiškai nesusijusi arba besiliečianti, tai šios IAS atraktoriaus fraktalinė dimensija (A ir H B dimensija D(A sutampa, be to, abi šios dimensijos yra lygties N s i D = 1, D [, m], D := (A = D(A, i=1 sprendinys Jeigu D >, tai tada M D(A yra realus teigiamas skaičius Teorema rodysime tuo atveju, kai N(A, ɛ C e D Visu pirma atkreipsime dėmes, kad s i >, i {1,, N} Tegu ɛ > bet koks laisvai parinktas skaičius Kadangi ω i yra SA tai ši transformacija uždarus rutulius vaizduoja uždarus, ty Kadangi ω i apverčiami, tai Iš pastaru ju lygybiu gauname, kad Iš paskutiniosios nelygybės išplaukia ω 1 i ω i (B(x, ɛ = B(ω i (x, s i ɛ (B(x, ɛ = B(ω 1 i (x, s i 1 ɛ N(A, ɛ = N(ω 1 i (A, s i ɛ (3 N(ω i (A, ɛ = N(A, s i 1 ɛ, i {1,, N} Užrašykime aibės A atraktoriu tokiu būdu : A = ω 1 (A ω n (A, 115
čia ω i (A, i = 1,, N, yra kompaktiškos aibės Tarkime, kad ɛ > tiek mažas, kad x R m, ir i {1,, N} tokie, kad B(x, ɛ ω i (A ir B(x, ɛ ω j (A =, j {1,, N}, j Vadinasi, jeigu ɛ >, pakankamai mažas, tai N(A, ɛ = N(ω 1 (A, ɛ + + N(ω N (A, ɛ Remdamiesi (3 lygybe, gauname, kad pakankamai mažiems ɛ > teisinga lygybė N(A, ɛ = N(A, s 1 1 ɛ + + N(A, s N 1 ɛ Turėjome, kad Tada, N(A, ɛ C ɛ D C ɛ D C s 1 D ɛ D + + C s N D ɛ D Iš paskutiniosios lygybės ir to, kad ɛ mažas ir pasirinktas laisvai gauname, 1 = s 1 D + + s n D Atkreipsime dėmes, kad aibiu ω j denginiai skirtingiems j gali būti skirtingi, ty e i nebūtinai lygus e j kai i j Pateiksime kelis pavyzdžius Sierpinskio trikampis yra IAS, kuria sudaro trys SA, su sk lygiais 5, atraktorius Iš paskutiniosios teoremos išplaukia, kad Taigi gauname, kad D = ln 3/ln Arba, pavyzdžiui, Kantoro aibė yra IAS 5 D + 5 D + 5 D = 1 {[, 1]; ω 1 (x = x 3 ; ω (x = x 3 + 3, } atraktorius, čia sk lygus 1/3 Naudodamiesi paskutinia ja teorema, gauname, kad ( 1 3 D + ( 1 3 D = 1 Suskaičiave gauname, kad D 1874 Kyla klausimas, kodėl kartu su fraktaline dimensija nagrinėjame ir H-B dimensija? Pasirodo, kad H-B dimensija yra subtilesnė už fraktaline ta prasme, kad jos dėka galime palyginti tas aibes, kuriu fraktalinės dimensijos sutampa Pateiksime kita, literatūroje dažnai sutinkama H-B dimensijos apibrėžima Tarkime, kad (X, ρ = (R m, ρ m, m N Be to tarkime, kad A R m, kokia nors aprėžta aibė Tegu, be to ɛ >, m < Raide A pažymėkime visu aibės A denginiu klase, trumpai A = { A i A; A = 116 } A i i=1
kur Pažymėkime M(A, p, ɛ = inf { (d(a i p ; A i A, d(a i < ɛ, i = 1,, }, i=1 d(a = sup{ρ(x, y; x, y A} be to, laikome, kad ( d( = Vadinasi, Pažymėkime f A,p (ɛ := M(A, p, ɛ [, ] M(A, p = sup M(A, p, ɛ ɛ> Tada, p [, ] dyd M(A, p vadinsime aibės A Hausdorfo p - dimensija 87 Teorema Tarkime, kad A aprėžta aibė, ɛ > Tada funkcija f A,ɛ (ɛ yra nedidėjanti, p [, ] Šios teoremos ne rodinėsime Tarkime C Kantoro aibė intervale [, 1] Tada M(C, = ir M(C, 1 = Pastebėkime, kad, jeigu p =, tai pasirinktam ɛ = 1/3 n yra ne daugiau negu n poaibiu, kuriu diametrai mažesni už ɛ ir kurie dengia aibe C Be to, n nesikertančiu intervalu, kuriu diametrai 1/3 n galiniai taškai priklauso aibei C, taigi šie taškai negali būti tuose poaibiuose (poaibiai atviri Vadinasi, kai ɛ, tai M(A, p, ɛ Kadangi M(C, yra šiu viršutinė riba, tai M(C, = Tarkime, kad p = 1 Tuomet duotam ɛ > mes galime parinkti tok numer n, kad 1/3 n < ɛ ir C dengin sudarys n poaibiu, kuriu diametrai < ɛ Tuomet apatinė riba pagal tuos ɛ yra lygi ribai pagal n, Kadangi M(C, p, ɛ =, tai M(C, 1 = n lim n 3 n = 88 Teorema Sakykime, kad A R m aprėžta aibė Tuomet egzistuoja vienintelis realus skaičius D H [, m], kuriam teisinga lygybė M(A, p = { ; p < DH p [, ], ; p > D H p [, Šios teoremos rodymo nepateiksime Skaičius D H := D H (A vadinamas aibės A H-B dimensija Pastarasis H-B dimensijos apibrėžimas reiškia ta pat, kaip ir anksčiau pateiktasis Paskutinioji teorema užtikrina, kad mūsu naudotas apibrėžimas turiningas 89 Teorema Tarkime a R m aprėžta aibė Tuomet šios aibė fraktaline dimensija (A bei H-B dimensija D H (A sieja nelygybės: D H (A (A m Tarkime ɛ > aibe A dengiančiu rutuliu diametrai, o N(ɛ ju skaičius Tuomet D(A = lim N(ɛ ɛ 117
Vadinasi, Todėl (A ln 1 ɛ ln N(ɛ N(ɛ ɛ (A N(ɛ ɛ (A i N ɛ (A Žinome, kad A i parinktas taip, kad A i = B i A Taigi d(a i B i ir parinktam ɛ turime M(A, D H, ɛ < Bet (A yra sekos riba, todėl ɛ > turi galioti nelygybė: lim i=1 ( d(ai p 1, kai p = (A Jeigu suma lygi nuliui, tai D H (A (A, o kitu atveju D H (A = (A Pabaigai pastebėkime, kad tuo atveju, kai M(A, (A =, tai nelygybė triviali Tarkime, kad duotas Sierpinskio trikampis (, 1, (,, (1, I vertinkime dyd M(, p, ɛ, kai p [, 1] vairioms ɛ > reikšmėms Tegu ɛ =, n =, 1, n Pastebėkime, kad šis trikampis gali būti padengtas 3 n diskais, kuriu spinduliai lygūs n Tada Tada M(A, p, n = ( p 3n, n = 1, np M(, p = lim n (3n ( p np =, p < ln 3 ( ln ln 3, p = ln 3, p > ln 3 ln, ln, ln Sierpinskio trikampio fraktalinė dimensija yra lygi ln 3 ln Bet šios aibės H-B dimensija lygi M(, D H ( = ln ln 3 Jeigu ta pat atliktume su trikampiu (,, (, 1, ( 1, tai gautume, kad M( 1, D H ( 1 = 1 Matome, kad paskutiniojo trikampio Hausdorfo dimensijos matas mažesnis už pirmojo Bet tai reiškia, kad atraktoriai nėra metriškai ekvivalentūs 81 Teorema Tarkime, kad A, B R m Be to sakykime, kad šios aibės metriškai ekvivalenčios Tada šiu aibiu Hausdorfo -Besiechovičiaus dimensijos sutampa 118
Sakykime, kad f : A B Kadangi šios aibės metriškai ekvivalenčios, tai egzistuoja teigiamos konstantos c 1, c tokios, kad d(f(b 1 c 1 d(b 1, d(f(b 1 c d(b 1 Tuomet jeigu M(A 1, p =, tai bet kokiam aibiu rinkiniui turime, kad d p (C i = i=1 Tuomet, bet kokiam aibiu rinkiniui dengiančiam aibe B Vadinasi, c d p (Ci = i=1 M(B, p = Tarkime, kad M(A, p = Tuomet apatinė riba, pagal ɛ reikšmes renkamas visiems poaibiams, lygi nuliui Taigi, bet kokiam δ >, galime nurodyti aibiu rinkin {C i } tok, kad d(c i < ɛ ir M(A, p, ɛ < δ, kai ɛ > Renkame aibiu rinkin, kuriu diametru suma mažesnė už δ c 1 Naudodamiesi aibiu metriniu ekvivalentumu gauname, kad ir antrajai aibei teisinga lygybė M(B, p = Imdami funkcijos f atvirkštine, bei keisdami konstantu role ta pat atliekame ir su aibe B Bet šiu abieju aibiu apatinė riba lygi nuliui, o M(A, p reikšmė fiksuotai aibei yra vienintelė, taigi D H (A = D H (B Užduotys 1 Sakykime, kad duota metrinė erdvė (X, ρ Be to tarkime, kad A = {x 1, x, x 3 } ir A X Kam lygi aibės A fraktalinė dimensija? Tarkime, kad nagrinėjamoji metrinė erdvė yra Euklidinė plokštuma Tarkime, kad aibė A sudaro kokie nors 5 plokštumos taškai Parodykite, kad šiuo atveju, M(A, = 7, ir M(A, p =, p > 3 Tarkime, kad A kokia tai begalinė, skaiti plokštumos tašku aibė Parodykite, kad M(A, = ir M(A, p =, p > 4 Parodykite, kad Kantoro aibei K yra teisingos lygybės: M(K, =, M(K, 1 = 5 Tarkime, kad S yra Sierpinskio trikampis I rodykite, kad M(S, 1 = ir M(S, = Suskaičiuokite M(S, ln 3/ln 6 Naudodami 8 dėžiu teorema apskaičiuokite 8 ir 83 pav pateiktu kreiviu fraktalines dimensijas 7 Naudodami 8 pav dėžes apytiksliai apskaičiuokite Kantoro aibės fraktaline dimensija 8 Apskaičiuokite Kantoro aibės, kuri gaunama iš intervalo [, 1] išmetant vidurin, vienetinio ilgio intervala 119
8 pav 83 pav 1