ΤΕΧΝΙΚΗ ΥΔΡΟΛΟΓΙΑ Πιθανοτική προσέγγιση των υδρολογικών μεταβλητών

ΤΕΧΝΙΚΗ ΥΔΡΟΛΟΓΙΑ Πιθανοτική προσέγγιση των υδρολογικών μεταβλητών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Πολιτικών Μηχανικών Εργαστήριο Υδρολογίας και Αξιοποίησης Υδατικών Πόρων

ΣΥΛΛΟΓΙΣΜΟΣ-ΕΠΑΓΩΓΗ (DEDUCTION INDUCTION) Ο Αριστοτέλης δίδαξε ότι κάθε πεποίθηση προέρχεται είτε από συλλογισμό είτε από επαγωγή (Αναλυτικά Πρότερα, Βιβλίο 2, Κεφαλαίο 23) Η αποδάσωση προκαλεί αύξηση του συντελεστή απορροής Δεδομένο Μοντέλο Συλλογισμός Deduction Αναμενόμενα δεδομένα Η πλημμυρική απορροή αυξάνεται με την αποδάσωση Η πλημμυρική απορροή αυξάνεται με την αποδάσωση Επαγωγικό Μοντέλο Επαγωγή Induction Παρατηρημένα δεδομένα Έχει παρατηρηθεί ότι σε αποδασωμένες λεκάνες αυξάνεται η πλημμυρική απορροή ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ Δεδομένα (γεγονότα, φαινόμενα) Συλλογισμός Deduction Επαγωγή Induction Συλλογισμός Deduction Επαγωγή Induction Υπόθεση (εικασία, θεωρία, μοντέλο) ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΤΙΚΗ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ

ΣΧΕΣΗ ΤΕΧΝΙΚΗΣ ΥΔΡΟΛΟΓΙΑΣ ΚΑΙ ΘΕΩΡΙΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ Οι περισσότερες μέθοδοι της τεχνικής υδρολογίας βασίζονται στη θεωρία πιθανοτήτων και τη στατιστική δεδομένου ότι: Η τύχη είναι άμεσα συνδεδεμένη με τα υδρολογικά φαινόμενα (πλημμύρες, ξηρασίες) με αποτέλεσμα να περιγράφονται σε μικρό ή μεγάλο βαθμό από τη θεωρία των πιθανοτήτων Η τεχνική υδρολογία στηρίζεται σε μετρήσεις φυσικών μεταβλητών που η επεξεργασία τους προϋποθέτει τη χρήση στατιστικών μεθόδων (έλεγχος των σφαλμάτων των μετρήσεων, συμπλήρωση ελλείψεων ιστορικών δειγμάτων και κυρίως επέκταση χρονοσειρών) Η λήψη αποφάσεων για το σχεδιασμό και τη βέλτιστη λειτουργία των υδραυλικών έργων και των υδατικών συστημάτων γενικότερα, γίνεται πάντοτε υπό καθεστώς αβεβαιότητας, η οποία μπορεί να ποσοτικοποιηθεί με την θεωρία των πιθανοτήτων Σημειώνεται ότι η χρήση των πιθανοτήτων δεν μπορεί να υποκαταστήσει την έλλειψη μετρήσεων των υδρολογικών μεταβλητών ή την έλλειψη αξιοπιστίας σε αυτές, χωρίς τις οποίες είναι αδύνατη η εφαρμογή οποιασδήποτε προσέγγισης.

Χρονική κλίμακα ΦΙΛΟΣΟΦΙΑ Προσδιοριστική - Στατιστική - Στοχαστική προσέγγιση Προσέγγιση της απορροής Προσδιοριστική Στατιστική Στοχαστική Χωρική κλίμακα Ικανοποιητική μοντελοποίηση Ανεπαρκής μοντελοποίηση

ΜΕΓΕΘΥΝΣΗ ΔΙΑΤΑΡΑΧΩΝ ΣΤΗ ΧΡΟΝΙΚΗ ΕΞΕΛΙΞΗ ΕΝΟΣ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΦΑΙΝΟΜΕΝΟΥ Προσδιοριστική - Στατιστική προσέγγιση Σύστημα που περιγράφεται μόνο από τη μεταβλητή X t από τη σχέση: X t =k*x t-1 *(1-x t-1 ) όπου t ο χρόνος Χρονική εξέλιξη Χ1 t, X2 t Με ελάχιστα διαφορετικές αρχικές συνθήκες X1 o =.661 X2 o =.66 και για k=3.7 Χρονική εξέλιξη Χ1 t -X2 t

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΕΙΓΜΑΤΟΣ Σχήμα στατιστικών επεξεργασιών ΠΛΗΘΥΣΜΟΣ Ν Π Δειγματοληψία ΑΠΑΝΤΗΣΗ ΕΡΩΤΗΜΑΤΩΝ ΣΧΕΤΙΚΩΝ ΜΕ ΤΟΝ ΠΛΗΘΥΣΜΟ Τι πιθανότητα έχει να εμφανιστεί μια τιμή σε συγκεκριμένο διάστημα Σε τι τιμή αντιστοιχεί κάποια πιθανότητα ΔΕΙΓΜΑ (Ν Δ < Ν Π ) Συμπύκνωση πληροφορίας Εκτίμηση πιθανοτικών μεγεθών ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΑ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ ΔΕΙΓΜΑΤΟΣ Μέση τιμή Τυπική απόκλιση Συντελεστής διασποράς Συντελεστής ασυμμετρίας Μοντελοποίηση ΠΡΟΣΑΡΜΟΓΗ ΘΕΩΡΗΤΙΚΩΝ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ Συναρτήσεις κατανομής και πυκνότητας πιθανότητας Επιλογή θεωρητικής κατανομής Στατιστικές δοκιμές καταλληλότητας

ΜΕΓΕΘΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΔΕΙΓΜΑΤΟΣ ΜΕΓΙΣΤΗ ΤΙΜΗ ΑΝΩ ΤΕΤΑΡΤΗΜΟΡΙΟ (Χ.75 ) ΔΙΑΤΕΤΑΡΤΗΜΟΡΙΑΚΟ ΕΥΡΟΣ (Χ.75 -Χ.25 ) ΔΙΑΜΕΣΟΣ ΤΙΜΗ (Χ.5 ) ΚΑΤΩ ΤΕΤΑΡΤΗΜΟΡΙΟ (Χ.25 ) 1.5*(Χ.75 -Χ.25 ) ΕΩΣ 3* (Χ.75 -Χ.25 ) ΕΛΑΧΙΣΤΗ ΤΙΜΗ Χ ΕΞΩΤΕΡΙΚΗ ΤΙΜΗ > 3* (Χ.75 -Χ.25 ) ΜΑΚΡΙΝΗ ΕΞΩΤΕΡΙΚΗ ΤΙΜΗ

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΑ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ ΔΕΙΓΜΑΤΟΣ ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΣ - ΣΧΕΣΗ n Μέση τιμή (ροπή τάξης 1) X i i 1 x n Τυπική απόκλιση n ( Xi x) i 1 sx n 1 Διασπορά (κεντρική ροπή τάξης 2) 2 s x Συντελεστής διασποράς sx x Τρίτη ροπή Τέταρτη ροπή Συντελεστής ασυμμετρίας Συντελεστής κύρτωσης Μέγιστη τιμή Ελάχιστη τιμή C k x C s x n ( 3 ) i 1 x n ( 4 ) i 1 x ( X x) i n ( X x) i n ( 3 ) 2 x n ( 2 ) 3 / 2 ( ) ( n 1) ( n 2 ) x 3 ( 4 ) n * x ( n 1) * ( n 2 ) * ( n 3 ) * n M. T. max{ X 1, X 2 i 1 3 4,..., X E. T. min{ X, X,..., X } i n 1 1 2 Χ1..Χn : Οι τιμές της μεταβλητής n : Αριθμός δεδομένων δείγματος n n } ( 2 ) x

Συχνότητα (%) Απόλυτη συχνότητα Αθροιστική συχνότητα (%) Παροχή (m3/s) Συχνότητα (%) Απόλυτη συχνότητα 4 ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΑ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ ΔΕΙΓΜΑΤΟΣ ΧΡΟΝΙΚΗ ΕΞΕΛΙΞΗ 12 4 ΙΣΤΟΓΡΑΜΜΑ ΑΠΟΛΥΤΗΣ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑΣ ΙΣΤΟΓΡΑΜΜΑ ΣΧΕΤΙΚΗΣ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑΣ 1 3 3 8 2 2 6 1 5 1 15 2 25 3 Χρόνος (έτη) 4 ΙΣΤΟΓΡΑΜΜΑ ΑΠΟΛΥΤΗΣ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑΣ ΙΣΤΟΓΡΑΜΜΑ ΣΧΕΤΙΚΗΣ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑΣ 12 1 4 1 2 1 5-1 5-1 1-15 1-15 15-2 15-2 2-25 2-25 25-3 25-3 3-35 3-35 Ετήσια παροχή (m 3 /s) Ετήσια παροχή (m 3 /s) ΑΘΡΟΙΣΤΙΚΟ ΙΣΤΟΓΡΑΜΜΑ 3 8 8 2 6 6 1 4 4 2 2 5-1 1-15 15-2 2-25 25-3 3-35 5-1 1-15 15-2 2-25 25-3 3-35 Ετήσια παροχή (m 3 /s) Ετήσια παροχή (m 3 /s) 5 1 15 2 25 3 Ετήσια παροχή (m 3 /s)

Ετήσια παροχή (m 3 /s) Ετήσια παροχή (m 3 /s) Αθροιστική συχνότητα (%) Αθροιστική συχνότητα (%) 1 8 ΕΜΠΕΙΡΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ ΕΜΠΕΙΡΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ 1 8 6 6 4 4 2 2 ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΑ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ ΔΕΙΓΜΑΤΟΣ 5 1 15 2 25 3 35 5 1 15 2 25 Ετήσια παροχή (m 3 /s) 3 35 Ετήσια παροχή (m 3 /s) 4 4 3 3 2 2 1 1 ΠΡΟΣΑΡΜΟΓΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΠΥΚΝΟΤΗΤΑΣ ΠΡΟΣΑΡΜΟΓΗΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΠΥΚΝΟΤΗΤΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ Ιστόγραμμα σχετικής συχνότητας -5 5-1 1-15 15-2 2-25 25-3 3-35 35-4 4-45 -5 5-1 1-15 15-2 2-25 25-3 3-35 35-4 4-45 4 4 3 3 2 2 1 1 8 8 6 ΠΡΟΣΑΡΜΟΓΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ ΠΡΟΣΑΡΜΟΓΗ Αθροιστικό ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ιστόγραμμα ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ 1 1 6 4 2 4 6 8 1 2 4 6 8 1 Αθροιστική συχνότητα (%) Αθροιστική συχνότητα (%) 4 2 2 5 1 15 2 25 3 35 4 45 5 1 15 2 25 3 35 4 45

ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ Χ τυχαία μεταβλήτη Συνάρτηση κατανομής (πιθανότητα μη υπέρβασης) H πιθανότητα η τυχαία μεταβλητή να είναι μικρότερη ή ίση της δεδομένης τιμής x F X ( x) F X ( P( X ) F x) X ( x) F X ( ) 1 Πιθανότητα υπέρβασης H πιθανότητα η τυχαία μεταβλητή να είναι μεγαλύτερη της δεδομένης τιμής x F 1X P( X x) 1 F X ( x) Συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας f X ( X ) dfx ( x) dx

ΥΨΟΣ ΒΡΟΧΗΣ (mm) ΥΨΟΣ ΒΡΟΧΗΣ (mm) ΕΜΠΕΙΡΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ FX ( x) Ν: το σύνολο των στοιχείων του δείγματος n x : o αριθμός των τιμών του δείγματος που δεν υπερβαίνουν την τιμή χ n x N 1 8 6 4 2 1 8 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 2 21 22 23 24 25 F x (8)=18/25=.72=72% F 1 (8)=7/25=.28=28% Όμως: F x (1)=25/25=1=1% F 1 (1)=/25==% 6 4 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 2 21 22 23 24 25 F X ( x) Για αυτό: N n x 1

Συνάρτηση Πυκνότητας Πιθανότητας Συνάρτηση Πυκνότητας Πιθανότητας ΕΠΙΔΡΑΣΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΩΝ ΔΕΙΓΜΑΤΟΣ Συνάρτηση Πυκνότητας Πιθανότητας Συνάρτηση Πυκνότητας Πιθανότητας ΕΠΙΔΡΑΣΗ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ Μέση τιμή 1 < Μέση τιμή 2 Τυπική απόκλιση 1 = Τυπική αποκλιση 2 Συντελεστής ασυμμετρίας 1 = Συντελεστή ασυμμετρίας 2 = Συντελεστής κύρτωσης 1 = Συντελεστη κύρτωσης 2 ΕΠΙΔΡΑΣΗ ΤΥΠΙΚΗΣ ΑΠΟΚΛΙΣΗΣ Μέση τιμή 1 =Μέση τιμή 2 Τυπική απόκλιση 1 < Τυπική αποκλιση 2 Συντελεστής ασυμμετρίας 1 = Συντελεστή ασυμμετρίας 2 = Συντελεστής κύρτωσης 1 = Συντελεστη κύρτωσης 2 Τιμές μεταβλητής Τιμές μεταβλητής ΕΠΙΔΡΑΣΗ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗ ΑΣΥΜΜΕΤΡΙΑΣ Μέση τιμή 1 = Μέση τιμή 2 Τυπική απόκλιση 1 = Τυπική αποκλιση 2 Συντελεστής ασυμμετρίας 1 = -Συντελεστή ασυμμετρίας 2 Συντελεστής κύρτωσης 1 = Συντελεστη κύρτωσης 2 ΕΠΙΔΡΑΣΗ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗ ΚΥΡΤΩΣΗΣ Μ.Τ. 1 = Μ.Τ. 2 Τ.Α. 1 = Τ.Α. 2 Σ.Α. 1 = Σ.Α. = Συντελεστής κύρτωσης 5 Συντελεστής ασυμμετρίας > Συντελεστής ασυμμετρίας < Συντελεστής κύρτωσης 2 Συντελεστής κύρτωσης 3 Τιμές μεταβλητής Τιμές μεταβλητής

ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΕΠΑΝΑΦΟΡΑΣ - ΔΙΑΚΙΝΔΥΝΕΥΣΗ Περίοδος επαναφοράς,τ μιας δεδομένης τιμής x της τυχαίας μεταβλητής Χ είναι ο μέσος αριθμός χρονικών διαστημάτων (εν προκειμένω υδρολογικών ετών) που μεσολαβεί μεταξύ 2 διαδοχικών εμφανίσεων της τυχαίας μεταβλητής με μέγεθος μεγαλύτερο ή ίσο της δεδομένης τιμής x. Πιθανότητα υπέρβασης σε ένα έτος: Πιθανότητα μη υπέρβασης σε ένα έτος: Πιθανότητα μη υπέρβασης σε n έτη: F 1 =1/Τ F=1-F 1 =(1-1/Τ) (1-1/Τ) n Διακινδύνευση είναι η πιθανότητα R να πραγματοποιηθεί μέσα σε n έτη τιμή που αντιστοιχεί σε περίοδο επαναφοράς Τ. Πιθανότητα υπέρβασης σε n έτη (Διακινδύνευση): R=1-(1-1/Τ) n Παράδειγμα Τ=5 έτη, n=1 έτη R=1-(1-1/5) 1 =.18=18%

Ετήσια παροχή (m 3 /s) ΠΡΟΣΑΡΜΟΓΗ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ 4 3 2 1 2 4 6 8 1 Αθροιστική πιθανότητα (%)

25 ΦΙΛΟΣΟΦΙΑ Φειδωλία (Parsimony) και Αποτελεσματικότητα (Efficiency) Παρατηρημένα δεδομένα Y 2 15 1 5 Προσαρμογή Υ=f(X): 1. Συνάρτησης 5 ου βαθμου 2. Συνάρτησης 1 ου βαθμου 1 2 3 4 5 6 X 25 2 15 1 5 1 2 3 4 5 6 1. Υ=.38*Χ 5-4.2*Χ 4 +11.92*Χ 3 + +.37*Χ 2-36.8*Χ+33.72 2. Υ=3.6*Χ+.8

ΦΙΛΟΣΟΦΙΑ Φειδωλία (Parsimony) και Αποτελεσματικότητα (Efficiency) 25 2 15 1 5 Πρόβλεψη συνάρτησης 5 ου βαθμού Για Χ=1.5 Υ=2.43 Για Χ=4.5 Υ=11.37 1 2 3 4 5 6 16 12 8 4 Για Χ=5.5 Υ=55.6 Για Χ=6. Υ=14.95 1 2 3 4 5 6

Συνάρτηση Πυκνότητας Πιθανότητας ΚΑΝΟΝΙΚΗ ΚΑΤΑΝΟΜH Συνάρτηση Κατανομής f ( x) 2 1 e x.5*( 2 ) F( x) 1 2 x 1 x 2 ( ) 2 e xdx x( x( ) ) max min x( x( ) ) z z (1 (1 )/ 2 )/ 2 S S T T Όρια εμπιστοσύνης S T ˆ 1 ( T) 2 2 K ( T) Z(1 1/ T ) S T η τυπική απόκλιση του x T Z (1+α)/2 η μεταβλητή της τυποποιημένης κανονικής κατανομής όταν το επίπεδο είναι α% ˆ N η τυπική απόκλιση του δείγματος ο αριθμός των παρατηρήσεων του δείγματος

Βήματα Προσαρμογής Κανονικής Κατανομής 1. Εύρεση στατιστικών χαρ/κών δείγματος (μέση τιμή, τυπική απόκλιση). 2. Κατάταξη δείγματος σε φθίνουσα σειρά και αρίθμηση των παρατηρήσεων. 3. Προσδιορισμός Περιόδου Επαναφοράς από τον τύπο του Weibull T=(N+1)/m. 4. Υπολογισμός πιθανότητας μη υπέρβασης F = 1-1/T (εμπειρική). 5. Εύρεση τυποποιημένης μεταβλητής Ζ από πίνακα για κάθε F. 6. Εκτίμηση τιμών μεταβλητής από τα Ζ. X x Z * 7. Σχεδίαση θεωρητικής κατανομής και δείγματος με τα Ζ στον οριζόντιο άξονα. 8. Έλεγχος x 2 για την καταλληλότητα της κατανομής. S x

ΑΠΟΣΠΑΣΜΑ ΠΙΝΑΚΑ ΚΑΝΟΝΙΚΗΣ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ

Αθροιστική συνάρτηση κατανομής F(x) (%) για Ζ 3.9

Αθροιστική συνάρτηση κατανομής F(x) (%) για -3.9 Ζ -.1

ΡΥΘΜΙΣΗ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ Κανονική κατανομή Σε δείγμα τιμών Χi με μέση τιμή μ και τυπική απόκλιση σ η παράμετρος z=(xi-μ)/σ ακολουθεί κανονική κατανομή με μ=, σ=1 (τυπική κανονική κατανομή) Δείγμα έχει μ=1, σ=5 και ακολουθεί κανονική κατανομή Ποια είναι η περίοδος επαναφοράς Τ της τιμής Χi=15 z=(15-1)/5=1 Ποια είναι η τιμή Χi που αντιστοιχεί σε περίοδο επαναφοράς Τ = 1.5 έτη F=1-(1/1.5)=,333 F=84,1% Πίνακας (,1) z=1, F=,8413 F=33.3% Πίνακας (,1) Για F=1-.333 z=.43 Για F=.333 z=-.43 z=1 Τ=1/(1-,8413) 6 έτη z=-.43 (Xi-1)/5=-.43 άρα Xi=7.85

Ετήσια παροχή (m3/s) ΧΑΡΤΙ ΚΑΝΟΝΙΚΗΣ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ 4 Περίοδος επαναφοράς (έτη) 1.2 1.2 1.2 2 6.2 43.5 5 Πιθανότητα υπέρβασης (%) 99.8% 97.7% 84% 5% 16% 2.3%.2% 3 2 1-4 -3-2 -1 1 2 3 4 Ανηγμένη μεταβλητή Gauss.2% 2.3% 16% 5% 84% 97.7% 99.8% Συνάρτηση κατανομής (%)

Βήματα ελέγχου x 2 1. Υπολογίζονται οι παράμετροι της κατανομής που πρόκειται να προσαρμοστεί (για την κανονική κατανομή r=2, μ και σ). 2. Χωρίζεται το δείγμα των στοιχείων σε k ισοπίθανες κλάσεις (κριτήριο συνήθως να έχω τουλάχιστον 5 στοιχεία σε κάθε κλάση). 3. Υπολογίζεται ο βαθμός ελευθερίας της κατανομής ν= k-r-1. 4. Υπολογίζεται η πιθανότητα (p i ) μίας τυχαίας τιμής της κατανομής x 2 να ανήκει σε κάθε κλάση (γι αυτό χρειάζεται τουλάχιστον μία παρατήρηση σε κάθε κλάση). 5. Προσδιορίζεται το Z που αντιστοιχεί στην αθροιστική πιθανότητα κάθε κλάσης και τα όρια των κλάσεων. 6. Υπολογίζεται ο αναμενόμενος (θεωρητικός) αριθμός παρατηρήσεων για κάθε κλάση με τη συγκεκριμένη κατανομή, E i = n*p i (πολλαπλασιάζεται το p i με το μέγεθος του δείγματος n).

Βήματα ελέγχου x 2 7. Γίνεται καταμέτρηση των πραγματικών παρατηρήσεων N i από το δείγμα που πέφτουν μέσα σε κάθε κλάση. 8. Υπολογίζεται η στατιστική παράμετρος, D (όταν η τιμής είναι πολύ μεγάλη, αναμένεται ότι η κατανομή δεν προσαρμόζεται καλά στη x 2 ). D = Σ[(N i -E i ) 2 / Ε i ] 7. Συγκρίνεται η τιμή της παραμέτρου D με την τιμή που προκύπτει από τους πίνακες x 2 για το συγκεκριμένο ν και συγκεκριμένες πιθανότητες - επίπεδα σημαντικότητας α x 2 α. 8. Η μηδενική υπόθεση (ότι το δείγμα ακολουθεί τη θεωρητική κατανομή στην οποία προσαρμόστηκε (π.χ. την κανονική)) γίνεται δεκτή σε κάποιο επίπεδο σημαντικότητας α, αν D< x 2 α.

Ετήσια παροχή (m 3 /s) ΔΟΚΙΜΗ x 2 για κανονική κατανομή Αριθμός κλάσεων (k): 5 Αριθμός παραμέτρων κανονικής κατανομής: 2 4 Βαθμοί ελευθερίας κατανομής χ 2 : 5-2-1 Πιθανότητα κλάσης (p i ): 1/5=2% Θεωρητικός αριθμός σημείων κλάσης (Ν*p i ): 3*.2=6 3 2 1 27.7 24. 2.8 17.1 6 Αριθμός σημείων ανά κλάση (Ν i ) 6 7 2 4 6 8 1 Αθροιστική πιθανότητα (%) 5 Κλάση 1 2 3 4 5 N i 6 6 7 5 6 6 N*p i =Ε i 6 6 6 6 6 (N i -Ε i ) 2 /Ε i,167,167 D =,33 2 % 2 % 2 % 2 % 2 %

Πιθανότητα (%) 1 ΕΛΕΓΧΟΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΥΠΟΘΕΣΗΣ 1. Η μεταβλητή χ 2 ακολουθεί την κατανομή χ 2 με 2 βαθμούς ελευθερίας 2. Από τα δεδομένα του δείγματος υπολογίζεται η στατιστική παράμετρος D 3. Η μηδενική υπόθεση (Η ) ότι το δείγμα ακολουθεί κανονική κατανομή γίνεται δεκτή σε κάποιο επίπεδο σημαντικότητας α αν D<χ 2 α 8 6 4 2 D =,33 Q.1 = 4.6 Q.5 = 6. Q.1 = 9.2 2 4 6 8 1 12 Μεταβλητή χ2 Το D (.33) είναι μικρότερο από το χ 2 α για τα συνήθη επίπεδα σημαντικότητας 1% (9.2), 5% (6.), 1% (4.6). Άρα η μηδενική υπόθεση (Η ) ότι το δείγμα ακολουθεί κανονική κατανομή γίνεται δεκτή στα συνήθη επίπεδα σήμαντικότητας.

ΠΙΝΑΚΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ x 2 Μ.Α. Μιμίκου, Τεχνολογία υδατικών πόρων, Σελίδες 393-41

ΠΙΝΑΚΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ x 2

ΕΦΑΡΜΟΓΗ: Αποτελέσματα δοκιμής x 2 (5 κλάσεις) a=1% a=5% a=1% a Παράμετρος D Κανονική ΔΕΝ ΑΠΟΡ. ΔΕΝ ΑΠΟΡ. ΔΕΝ ΑΠΟΡ. 11,5% 4,33 Κανονική (L-Ροπές) ΔΕΝ ΑΠΟΡ. ΔΕΝ ΑΠΟΡ. ΔΕΝ ΑΠΟΡ. 11,5% 4,33 Λογαριθμοκανονική ΔΕΝ ΑΠΟΡ. ΔΕΝ ΑΠΟΡ. ΔΕΝ ΑΠΟΡ. 26,4% 2,67 Galton ΔΕΝ ΑΠΟΡ. ΔΕΝ ΑΠΟΡ. ΑΠΟΡΡΙΨΗ 8,3% 3, Εκθετική ΔΕΝ ΑΠΟΡ. ΔΕΝ ΑΠΟΡ. ΔΕΝ ΑΠΟΡ. 16,% 3,67 Εκθετικήl (L-Ροπές) ΔΕΝ ΑΠΟΡ. ΔΕΝ ΑΠΟΡ. ΔΕΝ ΑΠΟΡ. 13,5% 4, Γάμμα ΔΕΝ ΑΠΟΡ. ΔΕΝ ΑΠΟΡ. ΔΕΝ ΑΠΟΡ. 31,1% 2,33 Pearson III ΔΕΝ ΑΠΟΡ. ΔΕΝ ΑΠΟΡ. ΑΠΟΡΡΙΨΗ 8,3% 3, Log Pearson III ΔΕΝ ΑΠΟΡ. ΔΕΝ ΑΠΟΡ. ΔΕΝ ΑΠΟΡ. 12,7% 2,33 ΑΤ1-Max (Gumbel) ΔΕΝ ΑΠΟΡ. ΔΕΝ ΑΠΟΡ. ΔΕΝ ΑΠΟΡ. 31,1% 2,33 ΑΤ2-Max ΔΕΝ ΑΠΟΡ. ΑΠΟΡΡΙΨΗ ΑΠΟΡΡΙΨΗ 1,6% 8,33 ΑΤ1-Min (Gumbel) ΔΕΝ ΑΠΟΡ. ΔΕΝ ΑΠΟΡ. ΔΕΝ ΑΠΟΡ. 11,5% 4,33 ΑΤ3-Min (Weibull) ΔΕΝ ΑΠΟΡ. ΔΕΝ ΑΠΟΡ. ΔΕΝ ΑΠΟΡ. 43,5% 1,67 ΓΑΤ-Max ΔΕΝ ΑΠΟΡ. ΔΕΝ ΑΠΟΡ. ΔΕΝ ΑΠΟΡ. 12,7% 2,33 ΓΑΤ-Min ΔΕΝ ΑΠΟΡ. ΔΕΝ ΑΠΟΡ. ΔΕΝ ΑΠΟΡ. 19,7% 1,67 Pareto ΔΕΝ ΑΠΟΡ. ΔΕΝ ΑΠΟΡ. ΔΕΝ ΑΠΟΡ. 31,7% 1, ΓΑΤ-Max (L-Ροπές) ΔΕΝ ΑΠΟΡ. ΔΕΝ ΑΠΟΡ. ΔΕΝ ΑΠΟΡ. 12,7% 2,33 ΓΑΤ-Min (L-Ροπές) ΔΕΝ ΑΠΟΡ. ΔΕΝ ΑΠΟΡ. ΔΕΝ ΑΠΟΡ. 31,7% 1, ΑΤ1-Max (L-Ροπές) ΔΕΝ ΑΠΟΡ. ΔΕΝ ΑΠΟΡ. ΔΕΝ ΑΠΟΡ. 31,1% 2,33 ΑΤ2-Max (L-Ροπές) ΑΠΟΡΡΙΨΗ ΑΠΟΡΡΙΨΗ ΑΠΟΡΡΙΨΗ,9% 9,33 ΑΤ1-Min ( L-Ροπές) ΔΕΝ ΑΠΟΡ. ΔΕΝ ΑΠΟΡ. ΔΕΝ ΑΠΟΡ. 11,5% 4,33 ΑΤ3-Min ( L-Ροπές) ΔΕΝ ΑΠΟΡ. ΔΕΝ ΑΠΟΡ. ΔΕΝ ΑΠΟΡ. 43,5% 1,67 Pareto (L-Ροπές) ΔΕΝ ΑΠΟΡ. ΔΕΝ ΑΠΟΡ. ΔΕΝ ΑΠΟΡ. 12,7% 2,33 ΓΑΤ-Max (κ καθ.) ΔΕΝ ΑΠΟΡ. ΔΕΝ ΑΠΟΡ. ΑΠΟΡΡΙΨΗ 9,7% 4,67 ΓΑΤ-Min (κ καθ.) ΔΕΝ ΑΠΟΡ. ΔΕΝ ΑΠΟΡ. ΔΕΝ ΑΠΟΡ. 22,3% 3, ΓΑΤ-Max (L-Ροπές) ΔΕΝ ΑΠΟΡ. ΔΕΝ ΑΠΟΡ. ΔΕΝ ΑΠΟΡ. 26,4% 2,67 ΓΑΤ-Min (L-Ροπές) ΔΕΝ ΑΠΟΡ. ΔΕΝ ΑΠΟΡ. ΔΕΝ ΑΠΟΡ. 22,3% 3,

ΕΦΑΡΜΟΓΗ: Αποτελέσματα δοκιμής x 2 (6 κλάσεις) a=1% a=5% a=1% a Παράμετρος D Κανονική ΔΕΝ ΑΠΟΡ. ΔΕΝ ΑΠΟΡ. ΔΕΝ ΑΠΟΡ. 57,2% 2, Κανονική (L-Ροπές) ΔΕΝ ΑΠΟΡ. ΔΕΝ ΑΠΟΡ. ΔΕΝ ΑΠΟΡ. 57,2% 2, Λογαριθμοκανονική ΔΕΝ ΑΠΟΡ. ΔΕΝ ΑΠΟΡ. ΑΠΟΡΡΙΨΗ 5,5% 7,6 Galton ΔΕΝ ΑΠΟΡ. ΔΕΝ ΑΠΟΡ. ΔΕΝ ΑΠΟΡ. 36,8% 2, Εκθετική ΔΕΝ ΑΠΟΡ. ΑΠΟΡΡΙΨΗ ΑΠΟΡΡΙΨΗ 4,6% 8, Εκθετικήl (L-Ροπές) ΔΕΝ ΑΠΟΡ. ΔΕΝ ΑΠΟΡ. ΔΕΝ ΑΠΟΡ. 13,3% 5,6 Γάμμα ΔΕΝ ΑΠΟΡ. ΔΕΝ ΑΠΟΡ. ΔΕΝ ΑΠΟΡ. 15,8% 5,2 Pearson III ΔΕΝ ΑΠΟΡ. ΔΕΝ ΑΠΟΡ. ΔΕΝ ΑΠΟΡ. 36,8% 2, Log Pearson III ΔΕΝ ΑΠΟΡ. ΑΠΟΡΡΙΨΗ ΑΠΟΡΡΙΨΗ 5,% 6, ΑΤ1-Max (Gumbel) ΔΕΝ ΑΠΟΡ. ΔΕΝ ΑΠΟΡ. ΔΕΝ ΑΠΟΡ. 15,8% 5,2 ΑΤ2-Max ΔΕΝ ΑΠΟΡ. ΑΠΟΡΡΙΨΗ ΑΠΟΡΡΙΨΗ 2,7% 9,2 ΑΤ1-Min (Gumbel) ΔΕΝ ΑΠΟΡ. ΑΠΟΡΡΙΨΗ ΑΠΟΡΡΙΨΗ 4,6% 8, ΑΤ3-Min (Weibull) ΔΕΝ ΑΠΟΡ. ΔΕΝ ΑΠΟΡ. ΔΕΝ ΑΠΟΡ. 84,9%,8 ΓΑΤ-Max ΔΕΝ ΑΠΟΡ. ΔΕΝ ΑΠΟΡ. ΔΕΝ ΑΠΟΡ. 36,8% 2, ΓΑΤ-Min ΔΕΝ ΑΠΟΡ. ΔΕΝ ΑΠΟΡ. ΔΕΝ ΑΠΟΡ. 67,%,8 Pareto ΔΕΝ ΑΠΟΡ. ΔΕΝ ΑΠΟΡ. ΔΕΝ ΑΠΟΡ. 11,1% 4,4 ΓΑΤ-Max (L-Ροπές) ΔΕΝ ΑΠΟΡ. ΔΕΝ ΑΠΟΡ. ΔΕΝ ΑΠΟΡ. 11,1% 4,4 ΓΑΤ-Min (L-Ροπές) ΔΕΝ ΑΠΟΡ. ΔΕΝ ΑΠΟΡ. ΔΕΝ ΑΠΟΡ. 2,2% 3,2 ΑΤ1-Max (L-Ροπές) ΔΕΝ ΑΠΟΡ. ΔΕΝ ΑΠΟΡ. ΔΕΝ ΑΠΟΡ. 15,8% 5,2 ΑΤ2-Max (L-Ροπές) ΔΕΝ ΑΠΟΡ. ΑΠΟΡΡΙΨΗ ΑΠΟΡΡΙΨΗ 3,8% 8,4 ΑΤ1-Min (L-Ροπές) ΔΕΝ ΑΠΟΡ. ΔΕΝ ΑΠΟΡ. ΔΕΝ ΑΠΟΡ. 15,8% 5,2 ΑΤ3-Min (L-Ροπές) ΔΕΝ ΑΠΟΡ. ΔΕΝ ΑΠΟΡ. ΔΕΝ ΑΠΟΡ. 84,9%,8 Pareto (L-Ροπές) ΔΕΝ ΑΠΟΡ. ΔΕΝ ΑΠΟΡ. ΔΕΝ ΑΠΟΡ. 11,1% 4,4 ΓΑΤ-Max (κ καθ.) ΔΕΝ ΑΠΟΡ. ΔΕΝ ΑΠΟΡ. ΔΕΝ ΑΠΟΡ. 11,2% 6, ΓΑΤ-Min (κ καθ.) ΔΕΝ ΑΠΟΡ. ΔΕΝ ΑΠΟΡ. ΔΕΝ ΑΠΟΡ. 42,3% 2,8 ΓΑΤ-Max (L-Ροπές) ΔΕΝ ΑΠΟΡ. ΔΕΝ ΑΠΟΡ. ΔΕΝ ΑΠΟΡ. 22,1% 4,4 ΓΑΤ-Min (L-Ροπές) ΔΕΝ ΑΠΟΡ. ΔΕΝ ΑΠΟΡ. ΔΕΝ ΑΠΟΡ. 57,2% 2,

ΔΟΚΙΜΗ Kolmogorov-Smirnov Βασίζεται στη διαφορά μεταξύ της αθροιστικής συνάρτησης κατανομής F x (x) και του παρατηρημένου αθροιστικού ιστογράμματος F*(x) F*(Χ (i) )=i/n όπου είναι η i μεγαλύτερη παρατηρημένη τιμή σε δείγμα με μέγεθος n Από τα δεδομένα του δείγματος υπολογίζεται η στατιστική παράμετρος D D max i n 1 F *( X ( i) ) Fx( X max Fx( X Η μηδενική υπόθεση (Η ) ότι το δείγμα ακολουθεί κανονική κατανομή γίνεται δεκτή σε κάποιο επίπεδο σημαντικότητας α αν D<c ( i) ) i n 1 i n ( i) ) ΤΙΜΕΣ ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΥ c Μέγεθος α=.1 α=.5 α=.1 δείγματος 5.51.56.67 1.37.41.49 15.3.34.4 2.26.29.35 25.24.26.32 3.22.24.29 4.19.21.25 >4 1.22/n 1/2 1.36/n 1/2 1.63/n 1/2

ΕΦΑΡΜΟΓΗ: Αποτελέσματα δοκιμής Kolmogorov-Smirnov a=1% a=5% a=1% a DMax Κανονικήl ΔΕΝ ΑΠΟΡ. ΔΕΝ ΑΠΟΡ. ΔΕΝ ΑΠΟΡ. 96,9%,8 Κανονική (L-Ροπές) ΔΕΝ ΑΠΟΡ. ΔΕΝ ΑΠΟΡ. ΔΕΝ ΑΠΟΡ. 96,9%,8 Λογαριθμοκανονική ΔΕΝ ΑΠΟΡ. ΔΕΝ ΑΠΟΡ. ΔΕΝ ΑΠΟΡ. 78,1%,11 Galton ΔΕΝ ΑΠΟΡ. ΔΕΝ ΑΠΟΡ. ΔΕΝ ΑΠΟΡ. 99,%,7 Εκθετική ΔΕΝ ΑΠΟΡ. ΔΕΝ ΑΠΟΡ. ΔΕΝ ΑΠΟΡ. 18,2%,19 Εκθετικήl (L-Ροπές) ΔΕΝ ΑΠΟΡ. ΔΕΝ ΑΠΟΡ. ΔΕΝ ΑΠΟΡ. 49,2%,14 Γάμμα ΔΕΝ ΑΠΟΡ. ΔΕΝ ΑΠΟΡ. ΔΕΝ ΑΠΟΡ. 98,5%,8 Pearson III ΔΕΝ ΑΠΟΡ. ΔΕΝ ΑΠΟΡ. ΔΕΝ ΑΠΟΡ. 99,4%,7 Log Pearson III ΔΕΝ ΑΠΟΡ. ΔΕΝ ΑΠΟΡ. ΔΕΝ ΑΠΟΡ. 55,1%,14 ΑΤ1-Max (Gumbel) ΔΕΝ ΑΠΟΡ. ΔΕΝ ΑΠΟΡ. ΔΕΝ ΑΠΟΡ. 95,5%,9 ΑΤ2-Max ΔΕΝ ΑΠΟΡ. ΔΕΝ ΑΠΟΡ. ΑΠΟΡΡΙΨΗ 5,%,24 ΑΤ1-Min (Gumbel) ΔΕΝ ΑΠΟΡ. ΔΕΝ ΑΠΟΡ. ΔΕΝ ΑΠΟΡ. 42,6%,15 ΑΤ3-Min (Weibull) ΔΕΝ ΑΠΟΡ. ΔΕΝ ΑΠΟΡ. ΔΕΝ ΑΠΟΡ. 1,%,6 ΓΑΤ-Max ΔΕΝ ΑΠΟΡ. ΔΕΝ ΑΠΟΡ. ΔΕΝ ΑΠΟΡ. 99,%,7 ΓΑΤ-Min ΔΕΝ ΑΠΟΡ. ΔΕΝ ΑΠΟΡ. ΔΕΝ ΑΠΟΡ. 1,%,6 Pareto ΔΕΝ ΑΠΟΡ. ΔΕΝ ΑΠΟΡ. ΔΕΝ ΑΠΟΡ. 97,%,8 ΓΑΤ-Max (L-Ροπές) ΔΕΝ ΑΠΟΡ. ΔΕΝ ΑΠΟΡ. ΔΕΝ ΑΠΟΡ. 99,5%,7 ΓΑΤ-Min (L-Ροπές) ΔΕΝ ΑΠΟΡ. ΔΕΝ ΑΠΟΡ. ΔΕΝ ΑΠΟΡ. 99,2%,7 ΑΤ1-Max (L-Ροπές) ΔΕΝ ΑΠΟΡ. ΔΕΝ ΑΠΟΡ. ΔΕΝ ΑΠΟΡ. 99,2%,7 ΑΤ2-Max (L-Ροπές) ΔΕΝ ΑΠΟΡ. ΔΕΝ ΑΠΟΡ. ΔΕΝ ΑΠΟΡ. 2,5%,19 ΑΤ1-Min (L-Ροπές) ΔΕΝ ΑΠΟΡ. ΔΕΝ ΑΠΟΡ. ΔΕΝ ΑΠΟΡ. 42,6%,15 ΑΤ3-Min (L-Ροπές) ΔΕΝ ΑΠΟΡ. ΔΕΝ ΑΠΟΡ. ΔΕΝ ΑΠΟΡ. 99,9%,6 Pareto (L-Ροπές) ΔΕΝ ΑΠΟΡ. ΔΕΝ ΑΠΟΡ. ΔΕΝ ΑΠΟΡ. 97,5%,8 ΓΑΤ-Max (κ καθ.) ΔΕΝ ΑΠΟΡ. ΔΕΝ ΑΠΟΡ. ΔΕΝ ΑΠΟΡ. 54,7%,14 ΓΑΤ-Min (κ καθ.) ΔΕΝ ΑΠΟΡ. ΔΕΝ ΑΠΟΡ. ΔΕΝ ΑΠΟΡ. 76,2%,11 ΓΑΤ-Max (L-Ροπές) ΔΕΝ ΑΠΟΡ. ΔΕΝ ΑΠΟΡ. ΔΕΝ ΑΠΟΡ. 78,8%,11 ΓΑΤ-Min (L-Ροπές) ΔΕΝ ΑΠΟΡ. ΔΕΝ ΑΠΟΡ. ΔΕΝ ΑΠΟΡ. 76,2%,11

99,95% 99,9% 99,8% 99,5% 99% 98% 95% 9% 8% 7% 6% 5% 4% 3% 2% 1% 5% 2% 1%,5%,2%,1%,5% ΕΦΑΡΜΟΓΗ Προσαρμογή κανονικής κατανομής Weibull Normal Δειγματικά όρια 95% Όρια διαστήματος εμπιστοσύνης ΚΑΝΟΝΙΚΗ 95% ΚΑΤΑΝΟΜΗ Πιθαν ότητα υπέρβασης (%) - κλίμακα: Καν ον ική καταν ομή 8 75 7 65 6 55 5 45 4 35 3 25 2 15 1 5

99,95% 99,9% 99,8% 99,5% ΜΕΣΕΣ ΕΤΗΣΙΕΣ ΠΑΡΟΧΕΣ Προσαρμογή 16 θεωρητικών κατανομών 99% 98% 95% 9% 8% 7% 6% 5% 4% 3% 2% 1% 5% 2% 1%,5%,2%,1%,5% Weibull Normal LogNormal Galton Exponential Gamma PearsonIII LogPearsonIII Gumbel Max EV2-Max Gumbel Min Weibull GEV Max GEV Min Pareto GEV-Max (k spec.) GEV-Min (k spec.) Πιθαν ότητα υπέρβασης (%) - κλίμακα: Καν ον ική καταν ομή 44 42 4 38 36 34 32 Κανονική κατανομή (Gauss) Kατανομή Gumbel μεγίστων 3 28 26 24 22 2 18 16 14 12 1 8 6 4 2

x: τιμή της μεταβλητής μ: μέση τιμή σ: τυπική απόκλιση ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΣΕ ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ Κανονική κατανομή NORMDIST(x ; μ ; σ ; TRUE) Επιστρέφει τη συνάρτηση κατανομής, F (από έως 1) x: τιμή της μεταβλητής μ: μέση τιμή σ: τυπική απόκλιση NORMDIST(x ; μ ; σ ; FALSE) Επιστρέφει τη συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας, f F: συνάρτηση κατανομής μ: μέση τιμή σ: τυπική απόκλιση NORMINV(F ; μ ; σ) Επιστρέφει την τιμή της μεταβλητής, x F: συνάρτηση κατανομής NORMSINV(F) Επιστρέφει την τιμή της τυποποιημένης μεταβλητής Z Z: τιμή της τυποποιημένης μεταβλητής NORMSDIST(Z) Επιστρέφει τη συνάρτηση κατανομής, F

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΣΕ ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ Κατανομή x 2 F 1 : πιθανότητα υπέρβασης n: βαθμοί ελευθερίας CHIINV(F 1 ; n) Επιστρέφει την τιμή της μεταβλητής x: τιμή της μεταβλητής n: βαθμοί ελευθερίας CHIDIST(x ; n) Επιστρέφει την πιθανότητα υπέρβασης (από έως 1)