ΑΝΩΤΑΤΟ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΟ Ι ΡΥΜΑ ΠΑΤΡΩΝ ΣΧΟΛΗ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΩΝ ΥΓΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΡΟΝΟΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΝΟΣΗΛΕΥΤΙΚΗΣ ΕΞΑΜΗΝΟ : Ε ΑΚΑ ΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ : - ΜΑΘΗΜΑ «ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ» ΚΕΦ. ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ρ. Ευστρατία Μούρτου ρ. Ευστρατία Μούρτου
. ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΙΑΚΡΙΤΩΝ ΚΑΙ ΣΥΝΕΧΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ Μια τυχαία µεταλητή ονοµάζεται διακριτή, τότε και µόνον όταν µπορεί να λάει ένα ορισµένο και πεπερασµένο πλήθος τιµών, χωρίς να παίρνει ενδιάµεσες τιµές. Για παράδειγµα η τυχαία µεταλητή Χ που συµολίζει τον αριθµό των παιδιών ενός ζευγαριού µπορεί να πάρει τις τιµές χ,,,, δεν µπορεί όµως να πάρει την τιµή. 5. Μια τυχαία µεταλητή ονοµάζεται συνεχής, τότε και µόνον όταν µπορεί να λάει ένα µη ορισµένο και πεπερασµένο πλήθος τιµών, παίρνοντας και ενδιάµεσες τιµές. Για παράδειγµα η τυχαία µεταλητή Χ που συµολίζει το άρος ενός ενηλίκου ατόµου µπορεί να πάρει τιµές σε ένα συνεχές διάστηµα [, ], δηλαδή µπορεί να πάρει και την τιµή 6.5. Το ίδιο συµαίνει µε την µεταλητή που περιγράφει την ώρα. Παρατηρείστε ότι µε Χ (κεφαλαίο συµολίζεται η τ.µ., ενώ µε χ (πεζό συµολίζονται οι τιµές που παίρνει η Χ... ΙΑΚΡΙΤΕΣ ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ Για διακριτές τ. µ. η κατανοµή πιθανότητας περιγράφεται µε τον πίνακα της πιθανότητας εµφάνισης των αποτελεσµάτων, δηλαδή απλά µε την σχετική συχνότητα f αυτών. Τότε ορίζεται η συνάρτηση πιθανότητας, ως η πιθανότητα µε την οποία η διακριτή τ.µ. Χ µπορεί να πάρει την τιµή χ, για,,,n και η οποία συµολίζεται µε P(Χ χ P(χ. Για την συνάρτηση πιθανότητας ισχύουν οι παρακάτω ιδιότητες:. P(Χ χ και n. P( Χ Για τις διακριτές τυχαίες µεταλητές ορίζονται οι παρακάτω τρεις ασικές παράµετροι: ρ. Ευστρατία Μούρτου
[]. Ο µέσος µ ή η µαθηµατική ελπίδα Ε(Χ ή η αναµενόµενη µέση τιµή της τ.µ. Χ: Ορίζεται ως το σταθµικό άθροισµα όλων των δυνατών τιµών χ µε,,,n και σταθµιστές τις αντίστοιχες πιθανότητες αυτών και δίνεται από την σχέση: E( X µ n P( X []. Η διακύµανση σ της τ.µ. Χ, (αντίστοιχα s για ένα δείγµα του πληθυσµού συµολίζεται µε V(X και ορίζεται ως ο σταθµισµένος µέσος όρος των τετραγωνισµένων αποκλίσεων από την µέση τιµή και δίνεται από την σχέση: n V( X s ( * PX ( µε µ για ένα δείγµα του πληθυσµού []. Η τυπική απόκλιση σ (διασπορά της τ.µ. Χ, (αντίστοιχα s για ένα δείγµα του πληθυσµού δίνεται από την σχέση: σ σ και s s αντίστοιχα. Υπάρχουν πολλοί τύποι ιακριτών κατανοµών όπως οι παρακάτω: Bernoull ιωνυµική Αρνητική διωνυµική NB(r,p Γεωµετρική Υπεργεωµετρική Posson Po(λ ρ. Ευστρατία Μούρτου
... Παράδειγµα για µια διακριτή τ.µ. ασθενείς επισκέφτηκαν ένα καρδιολογικό τακτικό εξωτερικό ιατρείο ενός νοσοκοµείου κατά την διάρκεια 6 µηνών. Έστω Χ η διακριτή τυχαία µεταλητή που εκφράζει το πλήθος των επισκέψεων κάθε ασθενή σε αυτό το χρονικό διάστηµα. Να ρεθεί η κατανοµή πιθανότητας της τ.µ. Χ. Πλήθος επισκέψεων ( Συχνότητα εµφάνισης της τιµής (ν 7 8 5 ΣΥΝΟΛΟ ΛΥΣΗ Για να υπολογισθεί η κατανοµή πιθανότητας της τ.µ. Χ. θα πρέπει να συµπληρωθεί ο πίνακας κατανοµής σχετικών συχνοτήτων, οπότε η P(Χ χ θα είναι ίση µε την f(. Έτσι κατασκευάζουµε τον παρακάτω πίνακα για τον οποίο : n P( Χ και P(Χ χ ρ. Ευστρατία Μούρτου
Πλήθος επισκέψεων ( Συχνότητα εµφάνισης της τιµής (ν Σχετική Συχνότητα (f Πιθανότητα P(X ι 7,75,75 8,,,5,5,5,5 5,5,5 ΣΥΝΟΛΟ Από τον παραπάνω πίνακα µπορούν να υπολογιστούν πολλές πληροφορίες, όπως τα παρακάτω ερωτήµατα: Α «ποια η πιθανότητα να υπάρξουν έως και επισκέψεις». Τότε P(X P(+ P( + P(,75+,+,5,7 B «Ποια η πιθανότητα να υπάρξουν περισσότερες από επισκέψεις». Τότε P(X > - P ( X,5,675 Γ Να υπολογισθεί η αναµενόµενη τιµή (ή η µέση τιµή ή η µαθηµατική ελπίδα για τον πληθυσµό του πλήθους των επισκέψεων. Τότε εφαρµόζοντας τον τύπο: n E( X µ P( X, Έχουµε E(X µ *,75 + *, + *,5 + *,5 + 5 *,5,75 +, +,75 + +,5,8 Ε(Χ µ,8 Να υπολογισθεί η διακύµανση s για τον πληθυσµό του πλήθους των επισκέψεων. Τότε εφαρµόζοντας τον τύπο: ρ. Ευστρατία Μούρτου 5
n V ( X s ( µ * PX (, Έχουµε τον παρακάτω πίνακα: χ P(X µ -µ (-µ (-µ*p(x,75,8 -,8,,567,,8 -,8,6,8,5,8,,,,5,8,,,6 5,5,8,,8, ΣΥΝΟΛΟ,, Άρα η διακύµανση του πληθυσµού είναι : V(Χ s, Ε Να υπολογισθεί η τυπική απόκλιση s για τον πληθυσµό του πλήθους των επισκέψεων. Τότε εφαρµόζοντας τον τύπο: s s, s, έχουµε: ρ. Ευστρατία Μούρτου 6
.. Συνεχείς τυχαίες µεταλητές Για συνεχείς τ. µ. η κατανοµή πιθανότητας περιγράφεται µε το εµαδόν της περιοχής που περικλείεται από την καµπύλη f( και του ορισµένου διαστήµατος [α, ] του άξονα χχ. Τότε ορίζεται η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας F(, ως: F ( P ( f ( d Για την συνάρτηση αυτή ισχύουν οι παρακάτω ιδιότητες:. f(, (, + +. f P ( ( d X. f(d P( X. f ( d Η τελευταία ιδιότητα σηµαίνει απλά ότι η πιθανότητα να πάρει η τ.µ. X µια ακριώς τιµή χ είναι µηδέν και γιαυτό θα πρέπει η πιθανότητα αυτή να αναζητείται σε ένα διάστηµα (α, ως το αντίστοιχο εµαδόν, όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήµα:. ρ. Ευστρατία Μούρτου 7
Για τις συνεχείς τυχαίες µεταλητές ορίζονται οι παρακάτω τρεις ασικές παράµετροι: []. Ο µέσος µ ή η µαθηµατική ελπίδα Ε(Χ ή η αναµενόµενη µέση τιµή της τ.µ. Χ: Ορίζεται ως το παρακάτω ολοκλήρωµα: + E ( X µ f ( d []. Η διακύµανση σ της τ.µ. Χ, συµολίζεται µε V(X και ορίζεται ως ο σταθµισµένος µέσος όρος των τετραγωνισµένων αποκλίσεων από την µέση τιµή και δίνεται από την σχέση: + V ( X σ ( µ f ( d Για τον υπολογισµό της διακύµανσης (ή διασπορά µπορεί να χρησιµοποιηθεί και ο τύπος: V ( X σ E(X [ E( X ] []. Η τυπική απόκλιση σ της τ.µ. Χ, δίνεται από την σχέση: σ σ... Παράδειγµα για µια συνεχή τ.µ. ίνεται µια τ.µ. Χ µε κατανοµή πιθανότητας την συνάρτηση f (, όπου [,] Α Να αποδειχθεί ότι η f( αποτελεί µια συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας. ΛΥΣΗ ρ. Ευστρατία Μούρτου 8
Για να αποτελεί µια συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας η f(, πρέπει να πληροί τις ιδιότητες: f(, (, + και + f ( d Πράγµατι είναι f (, [,] και + f ( d d d ( 7 7 Β Να υπολογισθεί η P ( X ΛΥΣΗ Εφαρµόζουµε την σχέση µε α και. Τότε έχουµε: P( P ( X X f ( d d d 6 ( 7 f(d Γ Να υπολογισθεί η αναµενόµενη τιµή (ή η µέση τιµή ή η µαθηµατική ελπίδα ΛΥΣΗ Εφαρµόζουµε την σχέση ρ. Ευστρατία Μούρτου
ρ. Ευστρατία Μούρτου + d d f d f X E ( ( ( µ d Άρα Ε(Χ µ / Να υπολογισθεί η διακύµανση σ (διασπορά. ΛΥΣΗ Εφαρµόζουµε την σχέση + d d X V ( ( f ( ( µ σ + + d d 6 8 ( 6 8 ( + d d d 6 8 * * + + * 6 * 5 * 6 5 5 5,75 Άρα η διακύµανση είναι : V(Χ σ,75
Και η πολύ µικρή τιµή της δείχνει ότι οι δυνατές τιµές της τυχαίας µεταλητής του παραδείγµατος είναι πολύ κοντά διεσπαρµένες στην µέση τιµή. Ε Να υπολογισθεί η τυπική απόκλιση s ΛΥΣΗ Εφαρµόζουµε την σχέση σ σ,75 Υπάρχουν πολλοί τύποι Συνεχών κατανοµών όπως οι παρακάτω: Οµοιόµορφη Κανονική Εκθετική Γάµµα Βήτα Cuchy Webull Από τις παραπάνω κατανοµές, θα αναπτυχθούν λεπτοµερώς οι πλέον σηµαντικές από κάθε περίπτωση, υπό την έννοια ότι χρησιµοποιούνται ευρέως στη ιοστατιστική, και οι οποίες είναι οι παρακάτω: για τις διακριτές: η διωνυµική κατανοµή πιθανότητας και για τις συνεχείς: η κανονική κατανοµή ρ. Ευστρατία Μούρτου
.. Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΥΠΟΙ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΩΝ Α. ΑΟΡΙΣΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΟΡΙΣΜΟΣ Αν η συνάρτηση f είναι ορισµένη σε ένα διάστηµα και αν υπάρχει µια άλλη συνάρτηση F (αρχική ή παράγουσα συνάρτηση της f, που είναι παραγωγίσιµη στο, τέτοια ώστε F f (, (, τότε το αόριστο ολοκλήρωµα της f στο ορίζεται ως : f ( d F ( + c,, c R ΤΥΠΟΙ d + c + + d + c, e d e + c ln d + c,< 5 d ln + c 6 ηµ d -συν+ c 7 συν d ηµ+ c 8 d εφ+ c συν σφχ+ c ηµ d ρ. Ευστρατία Μούρτου
Β. ΟΡΙΣΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΟΡΙΣΜΟΣ Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής σε ένα διάστηµα [α, ] και είναι f ( στο ίδιο διάστηµα τότε το ορισµένο ολοκλήρωµα της f από το α στο ισούται µε το Εµαδόν Ε(Ω του χωρίου Ω που περικλείεται από το γράφηµα της f, τον οριζόντιο άξονα χχ και τις κάθετες στον χχ ευθείες µε εξισώσεις χα και χ, δηλαδή: b f ( d Ε ( Ω f( α Ω ρ. Ευστρατία Μούρτου
ΤΥΠΟΙ f ( t dt G(- G( [ G ( ], ό που G παράγουσα της f στο [ α, ] f ( d f(d - f(d f(d f ( d + γ γ f(d 5 λf ( d λ α f(d, λ R 6 [ λf( + µg(]d λf(d+ µ g(d, µ,λ α R ρ. Ευστρατία Μούρτου
.. Η διωνυµική κατανοµή πιθανότητας Β(n, p H διωνυµική κατανοµή θεωρείται η σπουδαιότερη διακριτή κατανοµή στην Στατιστική κυρίως γιατί πολλά πειράµατα τύχης και αρκετά πραγµατικά στατιστικά θέµατα περιγράφονται από αυτήν. Η µελέτη της πραγµατοποιήθηκε από τον Ελετό µαθηµατικό Bernoull Jmes (65-75, ο οποίος και εισήγαγε την έννοια των δοκιµών Bernoull. Η κατανοµή αυτή εφαρµόζεται για κάθε διαδικασία η οποία µπορεί να έχει µόνο δυνατά αποτελέσµατα (ενδεχόµενα ασυµίαστα µεταξύ τους. Για παράδειγµα η ρίψη ενός νοµίσµατος έχει µόνο δυο πιθανά αποτελέσµατα (Κορώνα ή Γράµµατα, το φύλο ενός πληθυσµού µπορεί να είναι Άνδρας ή Γυναίκα, ένα άτοµο µπορεί να είναι φορέας µεσογειακής Αναιµίας ή όχι, τα άτοµα ενός ατυχήµατος µπορεί να επιιώσουν ή όχι, ένα άτοµο µπορεί να µολύνθηκε µε ηπατίτιδα ή όχι κ.τ.λ. Όλες οι ανωτέρω περιπτώσεις που περιγράφονται και µελετώνται µέσω της διωνυµικής κατανοµής, ονοµάζονται διωνυµικά πειράµατα ή δοκιµές Bernoull ή πειράµατα Bernoull. Για να χαρακτηρίζεται ένα πείραµα τύχης ως διωνυµικό (Bernoull πρέπει να ικανοποιεί τις παρακάτω συνθήκες:. Κάθε δοκιµή θα πρέπει να έχει ως αποτέλεσµα µόνο ένα από τα δυο πιθανά ενδεχόµενα, τα οποία θα πρέπει να είναι ασυµίαστα µεταξύ των. Τα ενδεχόµενα αυτά ονοµάζονται επιτυχία (µε πιθανότητα p και αποτυχία (µε πιθανότητα q-p.. Το αποτέλεσµα κάθε δοκιµής δεν πρέπει να επηρεάζει και να επηρεάζεται από τα αποτελέσµατα άλλων δοκιµών. Η πιθανότητα επιτυχία ή αποτυχίας να είναι ίδια σε κάθε δοκιµή. Να υπάρχει ο ίδιος αριθµός επαναλήψεων (n. Τότε ορίζεται η συνάρτηση πιθανότητας της διωνυµικής κατανοµής, ως η πιθανότητα µε την οποία εµφανίζονται επιτυχίες (µε πιθανότητα p και n- αποτυχίες (µε πιθανότητα q-p, για n δοκιµές Bernoull (επαναλήψεις, ως : ρ. Ευστρατία Μούρτου 5
P( X n p q n για χ,,,,n. (. Στη σχέση (, η παράσταση και υπολογίζεται ως : n ονοµάζεται συνδυασµός των n ανά χ n ( n, όπου n ***... * n Για την ανωτέρω συνάρτηση πιθανότητας ισχύουν οι παρακάτω ιδιότητες:. P(Χ χ και n. P( Χ... ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ ΤΗΣ ΙΩΝΥΜΙΚΗΣ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ []. Η πιθανότητα επιτυχίας p []. Η πιθανότητα αποτυχίας q -p []. Ο µέσος µ ή η µαθηµατική ελπίδα Ε(Χ ή η αναµενόµενη µέση τιµή της τ.µ. Χ: ίνεται από την σχέση: E ( X µ n * p []. Η διακύµανση σ της τ.µ. Χ: ίνεται από την σχέση: V ( X σ n *p*q n*p*(-p [5]. Η τυπική απόκλιση σ της τ.µ. Χ, (αντίστοιχα s για ένα δείγµα του πληθυσµού δίνεται από την σχέση: σ σ ρ. Ευστρατία Μούρτου 6
... Παράδειγµα Άσκηση στην διωνυµική κατανοµή Έστω ότι πραγµατοποιούµε ρίψεις ενός αµερόληπτου νοµίσµατος κατά τις οποίες παρουσιάζεται «κεφαλή» σε Χ από αυτές. Ζητείται η πιθανότητα να παρουσιάζεται «κεφαλή» σε ακριώς ρίψεις. b Η µέση τιµή c Η τυπική απόκλιση ΛΥΣΗ α Σύµφωνα µε τα δεδοµένα η τυχαία µεταλητή Χ που αντιπροσωπεύει τον αριθµό των ρίψεων µε την ένδειξη «κεφαλή» αποτελεί µια διακριτή τ.µ. διότι µπορεί να λάει ένα ορισµένο και πεπερασµένο πλήθος τιµών («κεφαλή» ή «γράµµατα», χωρίς να παίρνει ενδιάµεσες τιµές και ταυτόχρονα ακολουθεί την διωνυµική κατανοµή διότι έχει µόνο δυνατά αποτελέσµατα, τα οποία είναι ενδεχόµενα ασυµίαστα µεταξύ τους. Άρα Χ ~ Β(n, p, µε n, πιθανότητα επιτυχίας p ½,5 και πιθανότητα αποτυχίας q -p,5,5. Άρα Χ ~ Β(,.5 και η συνάρτηση πιθανότητας της τ.µ. Χ είναι: P( X n p q n P( X (,5 (,5 [6]. P X (,5 ( ( * *...* * *...* ** *...* (,5 ρ. P(X Ευστρατία,76 Μούρτου 7
Η µέση τιµή δίνεται από την σχέση: E ( X µ n * p Άρα αντικαθιστώντας έχουµε: Ε(Χ µ *,5 E ( X µ c Η διακύµανση της τ.µ. Χ, δίνεται από την σχέση: V ( X σ n *p*q n*p*(-p Άρα αντικαθιστώντας έχουµε: V(X *,5 *,5 5 Συνεπώς η τυπική απόκλιση είναι : σ 5 ρ. Ευστρατία Μούρτου 8