FIZICĂ Oscilatii mecanice ş.l. dr. Marius COSTACHE
3.1. OSCILAŢII. Noţiuni generale Oscilaţii mecanice Oscilaţia fenomenul fizic în decursul căruia o anumită mărime fizică prezintă o variaţie periodică sau pseudoperiodică Mărimea care variază în timpul fenomenului ν oscilator se numeşte mărime caracteristică. Valoarea la un moment dat a acestei mărimi poartă denumirea de elongaţie, iar valoarea maximă a elongaţiei se numeşte amplitudine Durata minimă în decursul căreia se efectuează o oscilaţie completă se numeşte perioadă (T). [ T ] SI 1 s ν Frecvenţa( ) numărul de oscilaţii efectuate în timp de 1 s. ν 1 T 1 1 [ν ] SI s s Hz
Oscilaţii mecanice 3.1. OSCILAŢII. Noţiuni generale Pulsaţia: ω π T [ω] SI rad s OSCILAŢII elastice, mecanice electromagnetice ideală, neamortizată reală, amortizată Def: Oscilaţia se numeşte armonică dacă se desfăşoară sub acţiunea unei forţe elastice care tinde să readucă sistemul în poziţia de echilibru de energie potenţială minimă. r F e r k k e constantă elastică e Obs: Mărimile caracteristice oscilaţiilor armonice se exprimă prin funcţii sin, cos sau funcţii exponenţiale de argument complex. 3
Oscilaţii mecanice 3.. Mişcarea oscilatorie armonică ideală (oscilaţii libere neamortizate) Oscilaţii libere nemortizate se produc în absenţa unor forţe de frecare sau de disipare a energiei > energia totală a oscilatorului este constantă în timp. Obs: Oscilaţiile libere neamortizate sunt oscilaţii ideale. 4
3.. Mişcarea oscilatorie armonică ideală (oscilaţii libere neamortizate) Oscilator mecanic: resort elastic (de constantă elastică k) şi un PM de masă m. În absenţa frecărilor (oscilaţii ideale) > mişcare periodică în jurul poziţiei de echilibru r r m a R m a > F e & y& k + y m Notăm: (pulsaţia proprie a oscilatorului) 5
3.. Mişcarea oscilatorie compusă armonică ideală (oscilaţie liberă neamortizate) Ecuaţia diferenţială a mişcării corpului: && y + ω y Soluţiile particulare sunt de forma: ± iωo t y( t) Soluţia generală este: y A amplitudinea mişcării, φ faza iniţială a mişcării, ω t ϕ o e Asin( ω t + ) ϕ (t ) ϕ + o (faza oscilaţiei) Obs: Cunoscând condiţiile iniţiale (poziţia şi viteza iniţială) se pot determina A şi φ 6
3.. Mişcarea oscilatorie compusă armonică ideală (oscilaţie liberă neamortizate) Viteza oscilatorului: v( t ) y& ( t) ω Acos( ωt + ϕ) Obs: Viteza maximă v max se obţine dacă cos( ω t + ϕ) 1 ωt + ϕ sin( ω t + ϕ) y Acceleraţia oscilatorului: r a( t) v( & t) & y ( t) ω Asin( ωt + ϕ) ω Obs: Acceleraţia maximă a max se obţine dacă sin( ω t +ϕ ) 1 y max A y 7
Reprezentarea grafică a elongaţiei, vitezei şi acceleraţiei oscilatorului ideal în funcţie de timp Reprezentarea fazorială a oscilaţiei Fazor vector rotitor în sens trigonometric, cu viteza unghiulară ω Lungimea fazorului modulul vectorului pe care-l reprezintă 8
Energia mecanică a oscilatorului ideal E mv ky + mω A cos ( ω t + ϕ ) ka + sin ( ωt + ϕ) ka const. Obs: energia mecanică a oscilatorului ideal se conservă Graficul energiei mecanice totale E şi al energiei potenţiale U 9
3.3 Compunerea mişcărilor oscilatorii armonice 1. Compunerea oscilaţiilor paralele Oscilaţiile armonice independente: Oscilaţia armonică rezultantă: y(t) y 1 + y Not: Se obţine: y(t) a(t) sinωt + b(t) cosωt Elongaţia oscilaţiei rezultante va fi de forma: y(t) A(t) sin(ωt+φ(t)) > y(t) A(t) sin(ωt+φ(t))a sinωt cosφ + A cosωt sinφ 1
1. Compunerea oscilaţiilor paralele a(t) A cos φ b(t) A sin φ a (t) + b (t) A > Cazuri particulare: a) Dacă ω 1 ω > ω > tgφ Pentru φ 1 - φ n. π > AA 1 +A (oscilaţiile sunt în fază) Pentru ω şi φ 1 - φ (n+1)π > A l A 1 -A l (oscilaţiile sunt în opoziţie de fază) 11
1. Compunerea oscilaţiilor paralele b) Dacă ω 1 ω dar ω << ω (ω 1 +ω )/ şi φ 1 φ > A A1 + A + A1 A cos( ω t) Pentru A 1 A A > Obs: amplitudinea este modulată şi ia valori cuprinse între + A şi - A Elongaţia oscilaţiei rezultante: y(t) A sin(ωt) y( t) A cos( ωt) sin( ωt) 1
1. Compunerea oscilaţiilor paralele y( t) A cos( ωt) sin( ωt) Def: Succesiunea în timp a valorilor max şi min ale amplitudinii mişcării periodice, rezultată prin compunerea a oscilaţii armonice cu pulsaţii apropiate constituie fenomenul de bătăi. 13
1. Compunerea oscilaţiilor paralele Pulsaţia şi perioada bătăilor : ω π T T b b π ω π ω 1 ω Frecvenţa bătăilor : Pulsaţia şi perioada oscilaţiei rezultante: π ω T T π ω π ω 1 + ω > T << T b 14
3.3 Compunerea mişcărilor oscilatorii armonice. Compunerea oscilaţiilor perpendiculare de aceeaşi frecvenţă Ecuaţiile elongaţiilor pe cele direcţii: Determinăm traiectoria PM Ecuaţia traiectoriei PM: 15
3.3 Compunerea mişcărilor oscilatorii armonice. Compunerea oscilaţiilor perpendiculare de aceeaşi frecvenţă Traiectoria este o elipsă rotită faţă de axele de coordonate şi înscrisă într-un dreptunghi de laturi A 1 şi A Cazuri particulare: a) > > Ecuaţia elongaţiei mişcării rezultante: 16
3.3 Compunerea mişcărilor oscilatorii armonice. Compunerea oscilaţiilor perpendiculare de aceeaşi frecvenţă Cazuri particulare: b) > > (traiectoria este o dreaptă) c) > (traiectoria este o elipsă nerotită faţă de axe) > Dacă: (traiectoria este un cerc de rază A o ) 17
BIBLIOGRAFIE F. BARVINSCHI Fizică Generală, Ed. Orizonturi Universitare, Timişoara, 4 www.et.upt.ro>catedre>bfi>cadredidactice>barvinschif>downloadstudenţi M. CRISTEA, D. POPOV, F. BARVINSCHI, I. DAMIAN, I. LUMINOSU, I. ZAHARIE Fizică. Elemente fundamentale, Ed. Politehnica, Timişoara, 6 I. LUMINOSU Fizică. Elemente fundamentale Ed. Politehnica, Timişoara,4 S. PRETORIAN, M. COSTACHE, V. CHIRIŢOIU Fizică. Elemente fundamentale. Aplicaţii, Ed. Politehnica, Timişoara, 6 Luminosu I., Pop N., Chiritoiu V., COSTACHE Marius Fizică. Teorie, probleme şi teste grilă, Ed. Politehnica, Timişoara, 1 18