Curs - programul Electrotehnică Versiunea Ș. L. Mihail-Ioan Pop

Transcript

1 Fizică I Curs - programul Electrotehnică Versiunea Ș. L. Mihail-Ioan Pop 2018

2 2

3 Cuprins Introducere 5 1 Mecanică Opțional: Mărimi și unități de măsură. Sistemul Internațional (SI) Sisteme de coordonate Cinematică Viteza și accelerația Mișcarea rectilinie uniformă Mișcarea rectilinie uniform variată Dinamică Principiile dinamicii clasice Teoreme de variație și legi de conservare Oscilații mecanice Termodinamică Sisteme termodinamice și mărimi termodinamice Coeficienți calorici Gazul ideal. Transformări de stare ale gazului ideal Principiile termodinamicii Electricitate și magnetism Electrostatica Electrocinetica Câmpul magnetic Câmpul electromagnetic. Unde electromagnetice Optică 77 Bibliografie 83 3

4 4

5 Introducere Versiunea 2 Sters hodograful vitezelor Adaugat: Viteza corpului este un vector tangent întotdeauna la traiectorie. Acceleratia insă poate fi orientată oricum în raport cu traiectoria corpului + figuri la misc. rectil. Scos: Q = T ds la termodinamica Scos diferentiala energiei interne Au devenit optionale formulele cu gradienti si integrale triple la mecanica si electrostatica. Alte modificări minore Versiunea 3 Adaugari: exemple, figuri, continut la electricitate si magnetism. Alte modificari minore. Versiunea 4 Adaugari: Exemplu la unde electromagnetice, Optica Versiunea Mici modificari la Optica; mici corecturi 5

6 6

7 Capitolul 1 Mecanică 1.1 Opțional: Mărimi și unități de măsură. Sistemul Internațional (SI) Fizica studiază sistemele fizice, proprietățile lor și procesele pe care le suferă acestea. Proprietățile fizice ale unui corp sau sistem fizic pot fi clasificate în proprietăți calitative (calități care nu pot fi măsurate și pot fi evaluate subiectiv, cum ar fi culoarea, gustul, mirosul etc.) și proprietăți cantitative (acestea pot fi măsurate și deci sunt determinate obiectiv: lungime, lățime, masă, tensiune electrică etc.). Ultima categorie reprezintă așa-numitele cantități fizice. O cantitate fizică X este formată din doi termeni: valoarea numerică x și unitatea de măsură, notată [X], astfel încât cantitatea fizică poate fi scrisă: X = x [X]. (1.1) Unitatea de măsură este fixată în mod convențional. De obicei unitatea de măsură este definită prin intermediul unui etalon: un corp sau un sistem fizic care are proprietatea exprimată prin cantitatea fizică X și care, atunci cind este măsurată, are valoarea numerică x e = 1; așadar pentru un etalon X e = 1[X]. De exemplu, în Sistemul Internațional kilogramul este definit printr-un corp-etalon cu masa de 1 kg. Orice alt corp care are proprietatea X poate fi măsurat, comparând valoarea lui X asociată corpului cu valoarea etalonului: X = X X e [X] = x [X], unde x = X X e. (1.2) Așadar procesul de măsurare a unei cantități fizice reprezintă compararea cantității cu un etalon. În practică se observă că multe cantități fizice, chiar dacă reprezintă noțiuni diferite, sunt asemănătoare prin faptul că pot fi măsurate cu același aparat de măsură sau pe aceeași scară. De exemplu lungimea, lățimea și înălțimea unui obiect reprezintă toate așa-numite dimensiuni sau lungimi ale obiectului și se măsoară la fel, având aceeași unitate de măsură. Astfel de cantități fizice care sunt de același tip și se măsoară la fel 7

8 Tabelul 1.1: Internațional Mărimile fizice fundamentale și unitățile lor de măsură în Sistemul Mărimea Simbol Unitatea de măsură Simbol Lungime L metru m Timp T secundă s Masă M kilogram kg Intensitatea curentului electric I Amper A Temperatura termodinamică θ Kelvin K Cantitatea de substanță ν mol mol Intensitatea luminoasă J candelă cd Tabelul 1.2: Internațional Mărimile fizice suplimentare și unitățile lor de măsură în Sistemul Mărimea Simbol Unitatea de măsură Simbol Unghi plan α radian rad Unghi solid Ω steradian sr formează o mărime fizică. Exemple de mărimi fizice sunt lungimea, timpul, volumul, viteza, accelerația, forța, temperatura, energia etc. Fiecare mărime fizică are o unitate de măsură asociată (poate avea mai multe unitați de măsură care sunt însă legate între ele). Se observă ca unele mărimi fizice derivă din altele: viteza este raportul între distanța parcursă și timpul în care este parcursă distanța, volumul este produsul a trei lungimi. Acestea se numesc mărimi derivate. Se poate alege un set de mărimi de bază cu ajutorul cărora să se construiască toate mărimile derivate; aceste mărimi de bază se numesc mărimi fundamentale. În acest mod sunt necesare etaloane doar pentru mărimile fundamentale, care sunt în număr mult mai mic decât mărimile derivate. În Sistemul Internațional de Mărimi și Unități de Măsură (SI) sunt folosite 7 mărimi fizice fundamentale, la care se mai adaugă încă 2 mărimi suplimentare. Fiecare mărime are definită o unitate de măsură. Mărimile fundamentale sunt tratate ca niște dimensiuni independente sau axe într-un spațiu cu 7 dimensiuni. Mărimile suplimentare reprezintă cantități geometrice. Unghiul plan reprezintă deschiderea dintre 2 segmente de dreaptă care se intersectează într-un punct și se măsoară în radiani (rad). Un radian reprezintă unghiul plan cu vârful în centrul unui cerc care descrie un arc de cerc cu lungimea egală cu raza cercului. Unghiul plan care descrie un cerc complet are 2π radiani. Pentru unghiuri plane se folosește ca unitate de măsură și gradul. Știind că 180 = π rad, rezultă că 1 = π/180 rad și 1 rad = 180/π 57, 30, unde înseamnă aproximativ. Unghiul solid reprezintă deschiderea sub care se vede dintr-un punct un corp sau o suprafață aflată în spațiu. Un steradian (sr) reprezintă unghiul solid cu vârful în centrul unei sfere care descrie pe sferă o suprafață cu aria egală cu aria unui pătrat cu lungimea laturii egală cu raza sferei. O sferă completă este descrisă de un unghi solid de 4π 8

9 Figura 1.1: Unghiul plan și unghiul solid. Tabelul 1.3: Multipli și submultipli ai unităților de măsură Submultiplu Simbol Semnificație Multiplu Simbol Semnificație deci d 10 1 deca da 10 1 centi c 10 2 hecto h 10 2 mili m 10 3 kilo k 10 3 micro µ 10 6 mega M 10 6 nano n 10 9 giga G 10 9 pico p tera T femto f peta P atto a exa E steradiani. Mărimile suplimentare pot fi considerate ca mărimi derivate adimensionale (fără unitate de măsură). Astfel unghiul plan este raportul între lungimea arcului de cerc descris de unghiul cu vârful în centrul cercului și raza cercului. Așadar α = L/L = 1 și 1 rad = 1 m/m=1. Analog Ω = L 2 /L 2 = 1 și 1 sr = m 2 /m 2 = 1. Din această cauză unitățile de măsură ale mărmilor suplimentare sunt de multe ori neglijate. Pe lângă unitățile de măsură ale mărimilor fundamentale și derivate, se mai folosesc multipli și submultipli ai acestor unități. Aceștia se obțin atașând diverse prefixe la numele unității respective, care exprimă diverse puteri ale lui 10 care se înmulțesc la unitatea de măsură respectivă. Aceste prefixe sunt date în tabelul de mai jos. Multiplii și submultiplii dincolo de 10 ±9 se folosesc rar. Exemplul 1. Micrometrul (numit și micron) este un submultiplu al metrului: 1 µm = 10 6 m. Picosecunda este un submultiplu al secundei: 1 ps = s. Tona (t) este multiplu al kilogramului: 1 t = 1000 kg. Gigawattul este un multiplu al Wattului: 1 GW = 10 9 W. 9

10 Exemplul 2. Kilometrul este dat de: 1 km = 10 3 m = 1000 m. Pentru timp se mai folosesc ca unităti de măsură minutul (1 min = 60 s) și ora (1 h = 60 min = 3600 s). Pentru viteză se mai folosește kilometrul pe oră: 1 km/h = 1000 m / 3600 s = 10/36 m/s. De exemplu: 72 km h = m 3600 s 1.2 Sisteme de coordonate 10 m = s = 20m s. În mecanica clasică (newtoniană) spațiul și timpul sunt absolute, adică lungimile și duratele de timp sunt aceleași peste tot și în orice moment. Spațiul este omogen (nu se modifică de la un loc la altul) și izotrop (este același în toate direcțiile). Spațiul mecanicii clasice este plat, euclidian și tridimensional. Timpul este omogen (nu se modifică la momente diferite de timp). Ca să indicăm faptul că s-a produs un eveniment trebuie să precizăm atât locul cât și momentul de timp când a avut loc evenimentul, adică trebuie să-i precizăm coordonatele spațiale și coordonata temporală. Aceste coordonate se măsoară în raport cu un punct de referință numit origine, pe niște axe care pleacă din origine și descriu coordonatele în unitățile de măsură corespunzătoare (metru, secundă). Se construiește astfel un reper spațial, care reprezintă un sistem de obiecte (de exemplu un obiect-origine și niște etaloane pentru definirea unităților de măsură) care definesc sistemul de axe de coordonate, precum și un reper temporal, care reprezintă un proces fizic regulat, periodic (de exemplu un ceasornic) cu ajutorul căruia se definește axa temporală. Reperul spațial și reperul temporal formează împreună sistemul de referință. Într-un sistem de referință producerea unui eveniment este reprezentată printr-un punct în spațiul descris de axe. Sistemele de coordonate sunt așadar compuse din origine și axe. Axele sunt orientate (au o direcție pozitivă în care cresc coordonatele). Orientarea și unitatea lor de măsură este definită cu ajutorul unor versori (vectori al căror modul este 1 în unitatea de măsură a coordonatei), orientați în sensul pozitiv al axei. Sistemele de coordonate folosite în mecanica clasică sunt în general sisteme tridimensionale (au 3 dimensiuni spațiale). După tipul de axe din care sunt compuse, sistemele de coordonate pot fi clasificate în sisteme de coordonate rectilinii (axele sunt toate drepte) și sisteme de coordonate curbilinii (au și axe curbe). După orientarea axelor sistemele de coordonate pot fi ortogonale (axele sunt perpendiculare între ele) sau neortogonale. Sistemele de coordonate ortogonale pot fi drepte (axele sunt orientate după regula burghiului drept - v. fig. 1.2) sau stângi (axele sunt orientate invers față de regula burghiului drept). De obicei se folosesc sisteme de coordonate ortogonale și drepte. Următoarele sisteme de coordonate sunt de acest tip. Sistemul de coordonate carteziene (x, y, z) Coordonatele sunt x, y, z ( ; + ). Versorii axelor sunt i, j, k. În acest sistem de coordonate poziția unui punct P(x, y, z) este indicată de vectorul de poziție 10

11 Figura 1.2: Regula burghiului drept și un sistem de coordonate ortogonal drept (x, y, z): Ox se rotește peste Oy pe drumul cel mai scurt și regula burghiului drept dă sensul axei Oz. Figura 1.3: Sistemul de coordonate carteziene. 11

12 (raza vectoare): r = x i + y j + z k. (1.3) Lungimea sa este: r = r = x 2 + y 2 + z 2. (1.4) O deplasare infinitezimală (adică de lungime tinzând la 0) din punctul P in P este indicată de variația infinitezimală a vectorului de poziție d r = r r : d r = dx i + dy j + dz k. (1.5) Modulul său determină lungimea infinitezimală de-a lungul traiectoriei (drumul infinitezimal sau elementul de drum): ds = d r = dx 2 + dy 2 + dz 2. (1.6) Un element de suprafață (suprafață infinitezimală) situat de exemplu in planul xoy este dat de ds xy = dx dy. Elementul de volum (volumul infinitezimal) în spațiul tridimensional este dat de dv = dx dy dz. 1.3 Cinematică Viteza și accelerația Cinematica este capitolul mecanicii care studiază mișcarea corpurilor fără să țină cont de cauzele acesteia. Mecanica folosește ca model punctul material, care reprezintă un punct în care este concentrată toată masa unui corp. Daca se neglijează masa corpului, atunci punctul material reprezintă un mobil. Cinematica determină poziția și viteza corpului din ecuația de mișcare și din condițiile inițiale. Considerăm un corp care se află la momentul de timp t 1 în punctul M 1 cu vectorul de poziție r (t 1 ) = r 1, unde are viteza v 1 și se deplasează până la momentul de timp t 2 când ajunge în punctul M 2 cu vectorul de poziție r (t 2 ) = r 2 și viteza v 2. Vectorul deplasare al corpului este r = r 2 r 1 iar timpul de deplasare este t = t 2 t 1. Se definește viteza medie a corpului pe drumul M 1 M 2 : v m = r t = r2 r 1 r (t2 ) r (t 1 ) =. (1.7) t 2 t 1 t 2 t 1 Le fel, se definește accelerația medie pe traiectoria M 1 M 2 : a m = v t = v2 v 1 v (t2 ) v (t 1 ) =. (1.8) t 2 t 1 t 2 t 1 Se definește viteza momentană (instantanee) a corpului la momentul de timp t: v (t) = lim r r (t + t) r (t) v m = lim t 0 t 0 t = lim = d r t 0 t dt = r, (1.9) 12

13 Figura 1.4: Un corp în mișcare pe o traiectorie. unde d r reprezintă deplasarea corpului într-un timp infinitezimal dt (dt 0). În mod asemănător se definește accelerația momentană (instantanee) a corpului la momentul de timp t: a (t) = lim v v (t + t) v (t) a m = lim t 0 t 0 t = lim = d v t 0 t dt = v = r. (1.10) Aici s-a folosit notația pentru derivata în raport cu timpul: dx/dt = ẋ (derivata de ordinul I a lui x(t)), d 2 x/dt 2 = ẍ (derivata de ordinul II a lui x(t)). Mărimile de mai sus au unitățile de măsură în Sistemul Internațional: [r] SI = 1m, [v] SI = 1m/s, [a] SI = 1m/s 2. Vectorul de poziție descrie în timp traiectoria corpului. Viteza corpului este un vector tangent întotdeauna la traiectorie. Acceleratia insă poate fi orientată oricum în raport cu traiectoria corpului Mișcarea rectilinie uniformă Mișcarea rectilinie uniformă are ca traiectorie o linie dreaptă și viteză instantanee constantă: v = const.. Dacă alegem axa Ox de-a lungul traiectoriei iar corpul pleacă din poziția x 0 la momentul t 0, atunci la momentul t va avea poziția x = x(t). Din expresia vitezei de-a lungul axei Ox v = dx/dt obținem dx = v dt. Integrând se obține: ˆ ˆ dx = vdt x(t) = v t + C, unde C este o constantă care se obține din condiția inițială x(t 0 ) = x 0. Înlocuind în expresia de mai sus, obținem: x 0 = v t 0 + C, de unde C = x 0 v t 0. Atunci, grupând 13

14 Figura 1.5: Un corp în mișcare rectilinie uniformă. termenii: Dacă inițial t 0 = 0 atunci avem: x = x 0 + v (t t 0 ). (1.11) x = x 0 + v t. (1.12) Ecuația (1.11) sau (1.12) este ecuația mișcării rectilinii uniforme. Exemplul 3. Două automobile pleacă în același timp din 2 localități A și B, unul spre celălalt. Primul automobil are viteza v 1 =36 km/h, iar al doilea v 2 =72 km/h. Știind că distanța dintre cele 2 localități este d=100 km, să se determine după cât timp se întâlnesc cele 2 automobile si la ce distanță de A. Figura 1.6: Exemplul 3. În SI: v 1 = 36 km 1000 m h = s = 10 m s, v 2 = 20 m s, d = m. Alegem o axă Ox pe direcția de la A la B, cu originea în A și timpul inițial t 0 = 0 s. Știind că mișcarea automobilelor este rectilinie uniformă, ecuațiile mișcării celor 2 automobile sunt: x 1 (t) = v 1 t, x 2 (t) = d v 2 t, deoarece pozițiile inițiale sunt x 10 = 0, x 20 = d și al doilea automobil se deplasează în sensul negativ al axei, deci va avea viteza negativă v 2. Condiția de întâlnire a celor 2 automobile este: x 1 (t) = x 2 (t). De aici se determină timpul de întâlnire t i și distanța la care se întâlnesc x i față de origine: d v 1 t = d v 2 t (v 1 + v 2 )t = d t = t i =, v 1 + v 2 t i = , (s), t i 56 min. 14

15 x i = x 1 (t i ) = v 1 t i = v 1 v 1 + v 2 d, x i = (m), x i 33 km Mișcarea rectilinie uniform variată Și acest tip de mișcare are traiectoria o linie dreaptă, dar are accelerația instantanee constantă: a = const. Pe axa Ox așezată de-a lungul traiectoriei: a = const.. Deoarece a = dv/dt se obține dv = a dt și prin integrare v(t) = a t + C, unde C este o constantă. Dar cum v(t) = dx/dt se obține, înmulțind cu dt: dx = vdt = a tdt + Cdt. Integrând se obține: ˆ ˆ dx = ˆ a tdt + Cdt x(t) = a t2 2 + C t + D, unde D este altă constantă. Constantele C și D se obțin din condițiile inițiale: x(t 0 ) = x 0,v(t 0 ) = v 0. Înlocuind în expresiile lui x(t) și v(t) se obține un sistem de 2 ecuații cu 2 necunoscute: x 0 = a t2 0 + C t 0 + D, 2 v 0 = a t 0 + C. Rezolvând se obține C = v 0 a t 0, D = x 0 v 0 t 0 + a t Rezultă atunci: Dacă t 0 = 0 aceste formule devin: x = x 0 + v 0 (t t 0 ) + a (t t 0) 2, (1.13) 2 v = v 0 + a (t t 0 ). (1.14) x = x 0 + v 0 t + at2 2, (1.15) v = v 0 + at. (1.16) Ecuația (1.13) sau (1.15) este ecuația mișcării rectilinii uniform variate, iar (1.14) sau (1.16) este ecuația vitezei în mișcarea rectilinie uniform variată. Se poate obține o ecuație a vitezei în funcție de distanța parcursă. Pentru aceasta se obține timpul din ecuația (1.14): (t t 0 ) = (v v 0 )/a și se introduce în (1.13). Rezultă: (v v 0 ) x x 0 = v 0 a = (v v 0) 2a = (v v 0) (v + v 0 ) 2a + (v v 0) 2 2a = [2v 0 + (v v 0 )] = ( v 2 v0) 2 = 2a. 15

16 Figura 1.7: Un corp în mișcare rectilinie uniform variată. Dacă notăm drumul parcurs de corp d = x x 0, se obține relația: v 2 = v ad. (1.17) Formula (1.17) se numește formula lui Galilei și dă legătura între viteza corpului și distanța parcursă în mișcarea rectilinie uniform variată. Exemplul 4. Un automobil are o viteză v 1 =36 km/h. La un moment dat frânează. Distanța pe care se oprește este d 1 =10 m. Care este distanța de frânare d 2 dacă automobilul are o viteză de 2 ori mai mare v 2 = 2v 1 =72 km/h? În SI: v 1 =10 m/s, v 2 =20 m/s. La frânare viteza finală este v f =0 m/s. Accelerația de frânare, aceeași pentru toate vitezele, este îndreptată în sens invers sensului de deplasare și deci va fi negativă. Din formula lui Galilei rezultă: Împărțind cele 2 ecuații se obține: v 2 f = v2 1 2ad 1 = 0 v 2 1 = 2ad 1, v 2 2 = 2ad 2. d 2 d 1 = ( v2 v 1 ) 2 ( ) 2 v2 d 2 = d 1. Cum v 2 = 2v 1 rezultă că d 2 = 4d 1. Așadar distanța de frânare crește cu pătratul vitezei inițiale, nu cu viteza, la viteze mai mari fiind mai mare decât ar spune intuiția. v Dinamică Principiile dinamicii clasice Dinamica studiază interacțiunile între corpuri, care reprezintă cauzele mișcării acestora. Măsura interacțiunii dintre corpuri este dată de o mărime numită forță. La baza dinamicii clasice (newtoniene) stau 3 principii emise de Isaac Newton. Principiile dinamicii clasice sunt: 1. Principiul inerției: Un corp se află în repaus sau se mișcă rectiliniu uniform atât timp cât asupra lui nu acționează nici o forță. 16

17 2. Principiul fundamental al dinamicii sau principiul forței: Dacă asupra unui corp acționează o forță, aceasta imprimă corpului o accelerație direct proporțională cu forța și invers proporțională cu masa corpului. 3. Principiul acțiunii și reacțiunii: Dacă un corp acționează asupra altui corp cu o forță, numită acțiune, atunci al doilea corp acționează asupra primului cu o forță egală și de sens opus, numită reacțiune. Conform celui de-al doilea principiu, dacă m este masa corpului atunci accelerația a depinde de forța F care acționează asupra corpului prin relația: a = F m. (1.18) Această relație se mai poate scrie: F = m a. (1.19) Dacă se cunoaște accelerația corpului atunci se poate determina ecuația sa de mișcare r = r (t) în cadrul cinematicii. Unitatea de măsură a forței este Newtonul: [F ] SI = 1N. (1.20) O unitate de măsură a forței des folosită în tehnică este kilogramul-forță (kgf). O forță de 1 kgf este egală cu greutatea unui corp cu masa de 1 kg în câmpul gravitațional de la suprafața Pământului: 1kgf = 1kg g = 9, N 9, 8 N. Aici g este accelerația gravitațională a Pământului g = 9, m/s 2. Inerția unui corp (capacitatea lui de a rămâne în repaus sau în mișcare rectilinie uniformă) este măsurată de o mărime numită impuls mecanic: p = m v, (1.21) unde m este masa corpului iar v este viteza lui la un moment dat de timp. În practică se constată că relația (1.19) nu este valabilă atunci când masa corpului este variabilă, deci nu poate fi considerată ca o definiție a forței. În general forța se definește prin relația: d p F = dt, (1.22) forța reprezentând astfel viteza de variație a impulsului mecanic al corpului. Unitatea de măsură a impulsului este [p] SI = 1 kg m/s = 1 N s. Exemplul 5. Un corp cu masa m = 1 kg coboară pe un plan înclinat cu unghiul la bază α = 45. Între corp și planul înclinat acționează o forță de frecare cu coeficientul de frecare µ = 0, 5. Care este accelerația corpului? Asupra corpului acționează mai multe forțe: greutatea corpului G, forța normală la suprafața planului înclinat N care împiedică mișcarea corpului în interiorul planului 17

18 Figura 1.8: Exemplul 5. înclinat și forța de frecare F f. Rezultanta acestor forțe este F R = G + N + F f, iar potrivit principiului fundamental al dinamicii aceasta este legată de accelerația corpului: F R = m a, de unde se obține accelerația: F R G + N + F a = m = f. m Accelerația este orientată de-a lungul planului înclinat (singura direcție pe care corpul se poate mișca). Pentru a afla valoarea sa descompunem forțele după axele Ox, Oy ale unui sistem de coordonate ales ca în figură și aplicăm principiul fundamental al dinamicii. Forțele orientate în sensul pozitiv al axelor de coordonate sunt pozitive, cele orientate invers sunt negative. Accelerația pe Oy este 0. Ox : G x F f = ma, Oy : N G y = 0 Forțele sunt date de expresiile: G = mg, unde g 9, 8 m/s 2 este accelerația gravitațională; G x = G sin α, G y = G cos α; F f = µn. Pe Oy se obține atunci: N = G y = mg cos α. Pe Ox vom avea atunci: ma = mg sin α µmg cos α. 18

19 Împărțind la m și scoțând în factor pe g se obține accelerația: a = g (sin α µ cos α). Cu valorile din enunț: sin α = cos α = 2/2 0, 7, a 9, 8 0, 7 (1 0, 5) 3, 4( m/s 2 ). Exemplul 6. Un corp de masă m 1 = 1 kg este situat pe un plan înclinat, fiind legat printr-un fir trecut peste un scripete de un corp de masă m 2 = 2 kg, care se depasează vertical sub acțiunea câmpului gravitațional. Planul înclinat are unghiul la bază α = 45 și pe suprafața sa coeficientul de frecare este µ = 1/2. Să se calculeze accelerația sistemului și tensiunea în fir. Figura 1.9: Exemplul 6. Deoarece m 2 > m 1 putem presupune că m 2 îl trage pe m 1, sistemul mișcându-se cu accelerația a. Pentru m 1 alegem un sistem de coordonate xoy cu Ox în sensul de deplasare. Atunci avem pe cele 2 axe: Ox : T G 1x F f = m 1 a, Oy : N G 1y = 0 N = G 1y. Forțele sunt G 1 = m 1 g, G 1x = G 1 sin α, G 1y = G 1 cos α, F f obține atunci pe Ox: = µn = µg 1 cos α. Se T G 1 sin α µg 1 cos α = m 1 a T m 1 g (sin α µ cos α) = m 1 a. (1.23) Pentru m 2 alegem o axă Oy verticală, îndreptată în jos; atunci: G 2 T = m 2 a m 2 g T = m 2 a. (1.24) 19

20 Adunând ecuațiile (1.23) și (1.24) se obține: m 2 g m 1 g (sin α µ cos α) = (m 1 + m 2 ) a a = g m 2 m 1 (sin α µ cos α) m 1 + m 2. Dar sin α = cos α = 2/2 0, 7. Se obține numeric: 2 0, 7 (1 0, 5) 1, 65 a = 9, 8 = 9, 8 = 5, 39 (m/s 2 ). 3 3 Tensiunea din fir se obține din ecuația (1.24): ( T = m 2 (g a) = m 2 g 1 m ) 2 m 1 (sin α µ cos α) 1 + sin α µ cos α = m 1 m 2 g, m 1 + m 2 m 1 + m , 7 0, 5 T = 2 9, 8 = 8, 82 (m/s 2 ) Teoreme de variație și legi de conservare Pentru anumite tipuri de interacțiuni se pot identifica mărimi care rămân constante în timpul mișcării (se conservă). Aceste mărimi se mai numesc invarianți ai mișcării și pot fi utile în determinarea ecuației de mișcare a corpului. Teorema impulsului mecanic Integrând relația (1.22) în raport cu timpul de la un moment t 1 la t 2 se obține: ˆ t2 t 1 F dt = p 2 p 1 = p. (1.25) Integrala t 2 t 1 F dt se numește impulsul forței F. Rezultatul (1.25), care este echivalent cu (1.22) poate fi exprimat în forma: Teorema de variație a impulsului mecanic: Impulsul forței rezultante aplicate unui punct material este egal cu variația impulsului mecanic al punctului material. Sau: Teorema de variație a impulsului mecanic: Forța rezultantă aplicată unui punct material este egală cu viteza de variație a impulsului mecanic al punctului material. Formula (1.22) reprezintă forma diferențială a acestei teoreme, iar formula (1.25) este forma sa integrală. Dacă F = 0 atunci p 1 = p 2. Are loc astfel: Legea de conservare a impulsului mecanic: Dacă asupra unui punct material nu acționează nici o forță atunci impulsul punctului material este constant (se conservă). Exemplul 7. Un corp cu masa m = 1 kg este acționat de o forță F (t) = 2 sin(2t) N pentru un timp t = π/4 s. Știind că viteza inițială a corpului este v 0 = 0 m/s, să se calculeze viteza sa finală v. 20

21 Considerăm că mișcarea corpului și forța sunt de-a lungul axei Ox, astfel încât putem lucra cu mărimi scalare în loc de vectori. Din teorema de variație a impulsului mecanic rezultă ca: p = p(t) p 0 = Dar cum v 0 = 0 m/s, rezultă p 0 = 0 Ns și p(t) = mv = ˆ t Teorema energiei cinetice 0 F dt = ˆ t 0 ˆ t 0 F dt. 2 sin(2t)dt = cos(2t) t 0 = 1 cos(2t), v = 1 cos(2t), m v = 1 cos(π/2) = 1 (m/s). 1 Dacă o forță F acționează asupra unui punct material, producându-i o deplasare pe distanța infinitezimală d r, atunci se definește lucrul mecanic infinitezimal efectuat de forța F : dw = F d r. (1.26) Lucrul mecanic efectuat de F pe traiectoria C parcursă de corp de la timpul t 1 la t 2 este: ˆ W = C ˆ t2 F d r = t 1 F d r. (1.27) Lucrul mecanic se poate scrie din definiția forței și din faptul că d r = v dt: dw = d p dt d r = d dt (m v ) v dt = d (m v ) ( m ) v 2 v = d. 2 Ultima cantitate conține energia cinetică a punctului material: E c = m v 2 2 S-a obținut așadar dw = de c, de unde prin integrare rezultă: = mv2 2. (1.28) W = E c = E c2 E c1. (1.29) Teorema de variație a energiei cinetice: Lucrul mecanic efectuat de forța rezultantă aplicată unui punct material este egal cu variația energiei cinetice a punctului material. Legea de conservare a energiei cinetice: Dacă asupra unui punct material nu acționează nici o forță atunci energia cinetică a punctului material este constantă (se conservă). 21

22 Se observă că energia cinetică se conservă și dacă asupra punctului material acționează o forță perpendiculară pe traiectoria sa. Într-adevăr, dacă F d r atunci dw = F d r = F dr cos(π/2) = 0. O asemenea forță este forța normală la o suprafață solidă cu care suprafața acționează asupra corpului; aceasta este întotdeauna perpendiculară la suprafață și nu exercită lucru mecanic, deci nu modifică energia cinetică a corpului. Puterea efectuată de forța F asupra corpului este definită ca: Se observă că P = F d r /dt, de unde: P = dw dt. (1.30) P = F v. (1.31) Unitățile de măsură ale energiei și puterii în Sistemul Internațional sunt: [E c ] SI = 1J (Joule), [P ] SI = 1W (Watt). Pentru energie se mai folosește ca unitate de măsură kilowattul-oră (kwh), care este egal cu energia produsă cu o putere de 1 kw timp de 1 oră: 1kWh = 1000W 3600s = 3, J. Puterea se mai măsoară în cai-putere (CP). 1 cal-putere este egal cu puterea dezvoltată de un cal care trage cu o funie o masă de 75 kg, ridicând-o cu viteza constantă de 1 m/s: 1CP = 75kg g 1m/s 735, 5W, unde g este accelerația gravitațională la suprafața Pământului. Forțe conservative. Teorema energiei mecanice O forță conservativă este o forță al cărei lucru mecanic nu depinde de traiectorie sau de viteza corpului, ci numai de poziția inițială și poziția finală. Lucrul mecanic al unei forțe conservative F care deplasează un punct material din punctul 1 în punctul 2 poate fi scris atunci: W = G 2 G 1 = 2 1 dg, unde G = G( r ) este o funcție de poziție. De obicei această funcție este aleasă cu semnul minus și se numește energie potențială: G = E p ( r ) = E p (x, y, z). Atunci lucrul mecanic devine: Dar cum: W = (E p2 E p1 ) = E p = W = rezultă, comparând ultimele 2 formule: ˆ 2 1 F d r ˆ 2 1 de p. (1.32) de p = F d r. (1.33) Așadar forța este derivata lui E p în raport cu poziția. Atunci, prin integrare se obține energia potențială E p ( r ) într-un punct de vector de poziție r în raport cu energia potențială E p ( r ref ) într-un punct de referință r ref : E p ( r ) E p ( ˆ r r ref ) = F d r. (1.34) r ref 22

23 Astfel energia potențială nu este o mărime absolută, ci este relativă la un punct de referință ales de noi. De obicei punctul de referință se alege astfel încât E p ( r ref ) = 0. Atunci: E p ( ˆ r r ) = F d r. (1.35) r ref Opțional: Gradientul energiei potențiale Dezvoltând diferențiala energiei potențiale în raport cu diferențialele coordonatelor: se obține: de p (x, y, z) = E p x dx + E p y dy + E p z dz = ( ) Ep E p E p ( = i + j + k dx i + dy j + dz ) k = x y z = E p d r, W = ˆ 2 1 ˆ 2 F d r = E p d r. Aici s-a folosit operatorul nabla, notat și egal cu: Acesta definește gradientul energiei potențiale: 1 = i + j + k. (1.36) x y z E p = grad E p = E p x i + E p y E p j + k. (1.37) z Gradientul este un vector în spațiul de coordonate x, y, z, orientat în direcția în care valoarea lui E p crește. Rezultă că forța conservativă F este dată de relația: F = Ep. (1.38) Așadar o forță conservativă este dată de gradientul unei energii potențiale, care este funcție de coordonatele corpului. Se poate nota formal: E p = de p /d r (gradientul lui E p este formal derivata lui E p în raport cu vectorul de poziție). Energia mecanică Un corp aflat într-un câmp de forțe conservative va avea energia mecanică: E = E c + E p. (1.39) Dacă corpul este acționat atât de forțe conservative F C cât și neconservative F N, astfel încât forța rezultantă este F R = F C + F N, atunci lucrul mecanic efectuat de forța rezultantă va fi: W = ˆ 2 1 F R d ˆ 2 r = F C d ˆ 2 r + F N d r = W C + W N

24 Dar din relația (1.32) pentru forțe conservative W C = E p și din teorema de variație a energiei cinetice W = E c. Se obține atunci: Așadar: E c = E p + W N (E c + E p ) = W N. W N = E = E 2 E 1. (1.40) Are loc astfel: Teorema de variație a energiei mecanice: Lucrul mecanic efectuat de forțele neconservative asupra unui punct material este egal cu variația energiei mecanice a punctului material. Legea de conservare a energiei mecanice: Dacă asupra unui punct material nu acționează nici o forță sau acționează doar forțe conservative atunci energia mecanică a punctului material este constantă (se conservă). Exemple de forțe conservative 1. Forța gravitațională este o forță de atracție care acționează între oricare 2 corpuri care au masă. Această forță este relativ slabă și are efecte vizibile lângă corpurile cu masă mare (planete, stele). Dacă considerăm 2 corpuri de mase m și M și notăm cu r vectorul de poziție al masei m față de masa M, atunci forța gravitațională cu care acționează M asupra lui m este: K M m r F = r 2 r, (1.41) unde K este constanta atracției universale și are mărimea K = 6, N m 2 /kg 2. In modul forța gravitațională este: F = K M m r 2. (1.42) În același timp corpul m acționează asupra lui M cu o forță de atracție egală cu F, conform principiului acțiunii și reacțiunii. Se poate enunța astfel: Legea atracției universale (Newton): Două corpuri sunt atrase unul spre celălalt cu o forță direct proporțională cu produsul maselor celor două corpuri și invers proporțională cu pătratul distanței dintre ele. Forța gravitațională derivă dintr-o energie potențială: E p = K M m r (1.43) în raport cu un punct de referință situat la infinit. Acest lucru poate fi verificat calculând gradientul energiei potențiale, știind că r = r = x 2 + y 2 + z 2. Mărimea: K M r a = r 2 (1.44) r 24

25 Figura 1.10: Forța gravitațională F între 2 corpuri cu masele M și m aflate la distanța r. reprezintă accelerația corpului m sub acțiunea forței gravitaționale. Dacă M este masa Pământului și r = R P este raza Pământului atunci a = g = 9, 80665m/s 2 9, 8m/s 2 este accelerația gravitațională la suprafața Pământului. Aceasta variază foarte puțin cu înălțimea h măsurată vertical de la suprafața Pământului dacă h este mic comparativ cu R P, putându-se considera g const. Atunci energia potențială a unui corp de masă m aflat la înălțimea h deasupra suprafeței Pământului se obține din (1.35): E p = m g h. (1.45) Aceasta este pozitivă deoarece înălțimea h este măsurată vertical în sus iar accelerația gravitațională g este orientată în jos. Punctul de referință este suprafața Pământului, unde E p = Forța electrostatică apare între sarcini electrice. Dacă q și Q sunt 2 sarcini electrice (măsurate în Coulombi (C)) și r este vectorul de poziție al sarcinii q față de Q atunci forța electrostatică cu care acționează sarcina Q asupra sarcinii q este: k e Q q r F = r 2 r, (1.46) unde k e este o constantă dată de k e = 1/(4πε), ε fiind o proprietate de material numită permitivitate electrică. În vid k e Nm 2 /C 2, deci forța electrostatică este relativ mare. Deoarece sarcinile electrice pot fi atât pozitive cât și negative, forța electrostatică între sarcini de același semn este o forță de respingere și între sarcini de semne opuse este o forță de atracție. Energia potențială a forței electrostatice raportată la un punct de referință situat la infinit este: E p = k e Q q. (1.47) r 3. Forța elastică apare la deformarea unui mediu elastic. Considerăm un resort elastic cu constanta elastică k, cu un capăt legat la un perete și cu celălalt capăt legat de o masă m care se poate mișca liber pe orizontală (fig. 1.11). O deformare a resortului va da naștere în acesta la o forță elastică care tinde să aducă resortul la starea nedeformată. Așadar forța elastică se opune deformării. Dacă notăm cu x deplasarea corpului m față de poziția de echilibru, atunci forța elastică poate fi scrisă F e = k x sau pe scurt, ca mărime a forței: F e = k x. (1.48) 25

26 Figura 1.11: Corp sub acțiunea unei forțe elastice. O este poziția de echilibru a corpului, în care resortul este nedeformat și x este mărimea deformării resortului. Forța elastică derivă din energia potențială: E p = k x2 2 (1.49) măsurată de la punctul de referință x = 0. Acest fapt rezultă imediat din relația F = de p /dx. Exemplul 8. Un corp este aruncat vertical de la sol cu viteza inițială v 0 = 100 m/s. Să se determine viteza corpului v la înălțimea h = 180 m. La ce înălțime maximă h max va ajunge corpul? Se consideră g 10 m/s 2. Figura 1.12: Exemplul 8. Alegem o axă verticală Oy pe care se deplasează corpul, cu originea la nivelul solului. Corpul urcă până în punctul A aflat la înălțimea h, unde are viteza v și apoi mai departe 26

27 până la punctul B de înălțime maximă h max, unde viteza lui este v B = 0 m/s. Deoarece corpul este acționat doar de forțe gravitaționale care sunt forțe conservative, energia totală se conservă: E = E c + E p = mv2 + mgh = const. 2 E A = E B = E C mv2 0 2 = mv2 2 + mgh = mgh max v2 0 2 = v2 2 + gh = gh max. De aici se obține v 2 = v 2 0 2gh, v = v 2 0 2gh, v = = 6400 = 80 (m/s). Înălțimea maximă este h max = v2 0 2g, h max = = 500 (m). Exemplul 9. Un corp cu masa m = 1 kg este atârnat cu un fir cu lungimea R = 10 cm de un punct fix. Să se determine ce viteză orizontală v trebuie să aibă înițial corpul pentru ca: a) să ajungă în punctul cel mai de sus al traiectoriei circulare; b) să parcurgă o traiectorie circulară completă și să revină în poziția inițială. Să se determine în cazul b) viteza corpului în punctul de înălțime maximă și tensiunea maximă de-a lungul traiectoriei. Figura 1.13: Exemplul 9. Corpul se deplasează sub acțiunea forței gravitaționale, care este o forță conservativă și a tensiunii din fir, care acționează perpendicular pe traiectoria corpului, astfel 27

28 încât lucrul mecanic efectuat de tensiune este 0 și aceasta nu modifică energia corpului. Rezultă că energia mecanică totală a corpului se conservă. a) Pentru ca corpul să ajungă în punctul B este suficient ca în acest punct viteza lui să fie v B = 0 m/s. Dacă considerăm că în A energia potențială este 0 (măsurăm înălțimile de la punctul A), atunci dn conservarea energiei mecanice rezultă: E A = E B mv2 2 = 2mgR v 2 = 4gR v = 4gR, unde s-a folosit faptul că h B = 2R. Cu R = 10 cm = 0, 1 m se obține v = 4 9, 8 0, 1 1, 98 (m/s). b) Pentru ca corpul să se miște pe o traiectorie circulară completă este necesar ca firul să rămână întins în tot timpul mișcării. Punctul critic în care trebuie îndeplinită această condiție este punctul de înălțime maximă B, deoarece aici viteza corpului este minimă și firul poate să nu fie întins complet. După ce trece de această poziție, viteza corpului crește și firul se întinde iar. În punctul B corpul este acționat de greutatea sa G și de forța de tensiune T în raport cu un punct fix (cum ar fi C); suma acestor forțe reprezintă chiar forța centripetă F cp care ține corpul pe traiectoria circulară și care în modul este F cp = mv 2 B /R. În raport cu corpul însuși (sistem de referință neinerțial), mișcarea acestuia pe o traiectorie circulară doar sub acțiunea forțelor G și T nu poate fi explicată decât dacă se introduce o forță suplimentară perpendiculară la traiectorie: forța centrifugă F cf = F cp, F cf = F cp = mvb 2 /R. În ambele cazuri obținem că în B G + T = mvb 2 /R. La limită T = 0 în B și rezultă mvb 2 /R = mg, de unde v2 B = gr, v B = v max = gr, v max 0, 99 m/s. Din conservarea energiei se obține: E A = E B mv2 2 = mv2 B mgr +2mgR = mgR = 5 2 mgr v2 = 5gR v = 5gR, v 2, 21 (m/s). Tensiunea maximă se obține în punctul A, unde T = G + F cf, T = 58, 8 N. T = G + F cf = mg + mv2 R = 6mg, Exemplul 10. Un resort cu constanta elastică k = 1 N/m, aflat în poziție orizontală, este prins cu un capăt de un perete. De capătul celălalt este prins un corp cu masa m = 10 g. Inițial resortul este nedeformat iar corpul m se mișcă cu viteza v 0 = 1 m/s pe orizontală. Să se determine deformarea maximă a resortului. În SI m = 10 g = kg = 10 2 kg. Corpul m este acționat de forțe elastice, care sunt forțe conservative, astfel încât energia mecanică totală se conservă. Notând cu x deformarea resortului, are loc: E 0 = E M mv kx2 0 2 = mv2 M kx2 M 2.

29 Figura 1.14: Exemplul 10. Alegem punctul O în starea inițială și punctul M la alungirea maximă a resortului; atunci x 0 = 0 m, v M = 0 m/s. Se obține: mv = kx2 M 2 x 2 M = v0 2 m m k x M = v 0 k, x M = 10 2 = 10 1 = 0, 1 (m) Oscilații mecanice O oscilație este mișcarea unui corp de o parte și de alta a unui punct fix, de obicei punctul de echilibru al corpului. Cele mai simple oscilații sunt oscilațiile armonice. Acestea apar în cazul corpurilor acționate de forțe elastice. Să considerăm un corp de masă m legat de un capăt al unui resort cu constanta elastică k, celălalt capăt al resortului fiind legat de un perete. Corpul se poate deplasa liber pe orizontală. Corpul se găsește în echilibru când asupra lui nu acționează nici o forță, adică resortul nu este deformat (punctul O). Dacă resortul este deformat atunci el va acționa asupra corpului cu forța elastică F = k x, unde x este deformarea resortului. Corpul va executa atunci oscilații în jurul punctului de echilibru O. Din principiul fundamental al dinamicii F = m a se obține: sau împărțind la m: m a = k x a + k/m x = 0. Notăm ω 2 = k/m. Accelerația poate fi scrisă ca a = ẍ = d 2 x/dt 2. Se obține: ẍ + ω 2 x = 0. (1.50) Aceasta este ecuația diferențială a oscilațiilor armonice. Pentru rezolvarea sa se caută o soluție de forma x(t) = e rt, unde r este o constantă care trebuie determinată. Introducând această soluție în ecuația (1.50), se obține, după simplificare: r 2 + ω 2 = 0. (1.51) 29

30 Această ecuație se numește ecuația carcteristică a ecuației diferențiale (1.50). Aceasta poate fi rezolvată, găsind r 2 = ω 2, r 1,2 = ±iω, unde i = 1. Așadar ecuația (1.50) admite 2 soluții complexe x 1 (t) = e iωt și x 2 (t) = e iωt. Soluția generală a ecuației (1.50) este o combinație liniară a celor 2 soluții de forma x(t) = C 1 x 1 (t) + C 2 x 2 (t), unde C 1, C 2 sunt 2 constante complexe: x(t) = C 1 e iωt + C 2 e iωt. (1.52) Deoarece e iωt = cos (ωt) + i sin (ωt) și x(t) ia valori reale, în locul soluțiilor x 1 (t) și x 2 (t) putem pune sin (ωt) și cos (ωt): x(t) = C 1 sin (ωt) + C 2 cos (ωt), (1.53) unde C 1 și C 2 sunt alte constante, de data aceasta reale. Soluția de mai sus poate fi scrisă în general în forma: x(t) = A cos (ωt + ϕ 0 ), (1.54) unde C 1 și C 2 sunt înlocuite de constantele A și ϕ 0. Într-adevăr, se vede că desfăcând funcția cos din (1.54) se obține o expresie de forma (1.53). Ecuația (1.54) este ecuația oscilațiilor armonice. În această ecuație apar următorii termeni: x: elongația oscilației A: amplitudinea oscilației ωt + ϕ 0 : faza ϕ 0 : faza inițială ω: pulsația Pulsația ω poate fi scrisă ca: ω = 2π T = 2πν, (1.55) unde T se numește perioada iar ν = 1/T este frecvența oscilației. Perioada oscilației este intervalul de timp după care valorile elongației se repetă: x(t + T ) = x(t). Unitatea de măsură a frecvenței se numește Hertz (Hz): [ν] SI = 1 Hz = 1 s 1. Unitatea de măsură a pulsației este [ω] SI = 1 rad/s = 1 s 1. Constantele necunoscute A, ϕ 0 (sau C 1, C 2 ) se determină din condițiile inițiale, care pot fi date sub forma unei poziții și a unei viteze inițiale: x(t 0 ) = x 0, v(t 0 ) = v 0. Viteza și accelerația mișcării oscilatorii armonice sunt: v(t) = ẋ(t) = ωa sin (ωt + ϕ 0 ), (1.56) a(t) = ẍ(t) = v(t) = ω 2 A cos (ωt + ϕ 0 ) = ω 2 x(t). (1.57) 30

31 Figura 1.15: Corp care execută o oscilație armonică. Energiile cinetică și potențială și energia mecanică a corpului m sunt: E c = mv2 2 = mω2 A 2 2 sin 2 (ωt + ϕ 0 ) = ka2 2 sin2 (ωt + ϕ 0 ), (1.58) E p = kx2 2 = ka2 2 cos2 (ωt + ϕ 0 ), (1.59) E = E c + E p = ka2 2. (1.60) Energia mecanică este constantă deoarece corpul este acționat de o forță conservativă. Exemplul 11. Un corp este supus la o oscilație armonică cu ecuația mișcării x(t) = 10 cos (100πt + π/4) (cm). Să se determine amplitudinea, perioada, frecvența, faza înițială a oscilației și accelerația maximă a corpului. Care este timpul t 1 pentru care x(t 1 ) = 5 cm? Dar t 2 pentru care viteza este v(t 2 ) = 500π cm/s? Comparând cu ecuatia generală a unei oscilații armonice (1.54) și identificând termenii, se obține amplitudinea A = 10 cm = 0, 1 m, pulsația ω = 100π rad/s și faza inițială ϕ 0 = π/4 rad. Dar ω = 2π/T = 2πν, ν = 1/T, de unde se obține perioada T = 2π/ω, T = 1/50 s = 0, 02 s, ν = 50 Hz. Accelerația corpului se obține derivând de 2 ori ecuația de mișcare în raport cu timpul și este dată de ecuația (1.57). Accelerația maximă este atunci a max = ω 2 A, deoarece funcția cos variază între -1 și 1; a max = 0, π , 6 (m/s 2 ). Se observă că accelerața maximă este foarte mare (comparativ cu accelerația gravitațională g 9, 8 m/s 2, o accelerație moderată). Dacă x(t 1 ) = 5 cm = A/2, se obține din ecuația mișcării că cos (100πt 1 + π/4) = 1/2. Pentru a obține 1 valoare a t 1 putem pune condiția: 100πt 1 + π/4 = π/3 rad = 60, 31

32 Figura 1.16: Reprezentarea grafică a unei oscilații armonice. de unde rezultă 100πt 1 = π/12 rad, t 1 = 1/1200 s. În general însă 100πt 1 + π/4 = ±π/3 + 2kπ rad, k Z, de unde se obține t 1 = (24k 3 ± 4) /1200 s, k Z, așadar un număr infinit de valori pentru t 1. Derivând ecuația de mișcare în raport cu timpul (sau identificând în (1.56) se obține viteza: v(t) = 1000π sin (100πt + π/4) (cm/s). Din condiția v(t 2 ) = 500π cm/s se obține sin (100πt 2 + π/4) = 1/2. O soluție se obține dacă 100πt 2 + π/4 = π/6 rad = 30, de unde t 2 = 5/1200 s. În general 100πt 2 + π/4 = π/6 + 2kπ rad sau 100πt 2 + π/4 = 5π/6 + 2kπ rad, k Z de unde t 2 = (24k 5) /1200 s sau t 2 = (24k 13) /1200 s, k Z. Opțional: Diagrama fazorială a unei oscilații armonice De multe ori se folosește o reprezentare vectorială atașată unei oscilații armonice. Pentru aceasta, fie o oscilație de-a lungul axei Ox cu ecuația: x(t) = A cos (ωt + ϕ 0 ). Acesteia i se poate asocia o oscilație pe axa Oy: y(t) = A sin (ωt + ϕ 0 ). Cele 2 oscilații determina un punct P (x(t), y(t)) în planul xoy care se mișcă pe un cerc de rază A cu viteza unghiulară ω. Atunci putem asocia oscilației x(t) un vector A = OP, cu modulul egal cu amplitudinea oscilației A = A, care se rotește în timp. Acest vector rotitor se numește fazorul oscilației x(t). Oscilația se obține atunci proiectând fazorul pe axa Ox: x(t) = A x (t). În mod asemănător oscilației Oy i se asociază același fazor A, dar oscilația se obține acum proiectând fazorul pe axa Oy: y(t) = Ay (t). În mod convențional, în diagrama fazorială se reprezintă fazorii la momentul iniîal t = 0, cu faza egală cu faza înițială ϕ 0. Reprezentarea oscilațiilor prin fazori este utilă la compunerea (adunarea) mai multor oscilații, aceasta transformându-se într-o sumă de vectori (v. mai jos). 32

33 Figura 1.17: Diagrama fazorială a unei oscilații armonice x(t) = A cos (ωt + ϕ 0 ). Opțional: Compunerea oscilațiilor cu aceeași frecvență Un corp poate fi supus la mai multe oscilații în același timp. În acest caz trebuie determinată mișcarea generală a corpului, care reprezintă o compunere a mișcărilor oscilatorii la care este supus. Considerăm că un punct material este supus la 2 oscilații cu aceeași frecvență ν (sau aceeași pulsație ω), ambele producându-se de-a lungul aceleiași direcții Ox. Cele 2 oscilații au ecuațiile: x 1 (t) = A 1 cos (ωt + ϕ 1 ), (1.61) x 2 (t) = A 2 cos (ωt + ϕ 2 ). (1.62) Mișcarea rezultantă a punctului material este dată de suma celor 2 oscilații: x(t) = x 1 (t) + x 2 (t). (1.63) Vom determina pe x(t) prin metoda fazorială. Pentru aceasta construim diagrama fazorială a celor 2 oscilații x 1 (t), x 2 (t), cărora li se asociază fazorii A 1, A 2. Suma vectorială a celor 2 fazori vor da un nou fazor: A = A 1 + A 2. (1.64) Proiecția acestuia pe axa Ox reprezintă chiar oscilația rezultantă. Modulul fazorului A este: A = A A A 1A 2 cos ϕ, (1.65) unde ϕ = ϕ 2 ϕ 1 este unghiul dintre A 1 și A 2. Pentru a determina faza inițială a lui A facem suma lui A 1 și A 2 pe cele 2 axe: Ox : A x = A 1x + A 2x A cos ϕ = A 1 cos ϕ 1 + A 2 cos ϕ 2, Oy : A y = A 1y + A 2y A sin ϕ = A 1 sin ϕ 1 + A 2 sin ϕ 2. 33

34 Figura 1.18: Diagrama fazorială pentru compunerea a 2 oscilații armonice cu aceeași frecvență. Împărțind a doua ecuație la prima se obține: tg ϕ = sin ϕ cos ϕ = A 1 sin ϕ 1 + A 2 sin ϕ 2 A 1 cos ϕ 1 + A 2 cos ϕ 2, (1.66) de unde se poate obține unghiul ϕ. Se observă că fazorul A se rotește cu aceeași viteză unghiulară ω ca fazorii A 1, A 2. Rezultă că x(t) este o oscilație armonică cu pulsația ω, cu ecuația: x(t) = A cos (ωt + ϕ 0 ). (1.67) Exemplul 12. Două oscilații armonice de-a lungul axei Ox au ecuațiile: x 1 (t) = 0, 3 cos (100πt + π/6) m, x 2 (t) = 0, 4 cos (100πt + 2π/3) m. Care este oscilația rezultantă din compunerea celor două oscilații? Oscilația rezultantă este x(t) = x 1 (t) + x 2 (t). Folosind formulele de la metoda fazorială, avem: ϕ = ϕ 2 ϕ 1, ϕ = 2π/3 π/6 = π/2 (rad) și amplitudinea rezultantă A = A A2 2, A = 0, 5 m; defazajul inițial este dat de tg ϕ = ( ) / ( ), tg ϕ 8, 3, de unde ϕ 1, 45 rad = 1, π 83. Oscilația rezultantă are ecuația: x(t) = 0, 5 cos (100πt + 1, 45) m. 34

35 Capitolul 2 Termodinamică 2.1 Sisteme termodinamice și mărimi termodinamice Termodinamica studiază sistemele termodinamice, adică acele sisteme fizice care sunt mărginite printr-o frontieră prin care pot face schimburi cu mediul exterior. Schimburile pot fi sub formă de substanță sau energie (căldură, lucru mecanic). Un sistem termodinamic este izolat dacă nu efectuează schimburi cu exteriorul, este închis dacă efectuează doar schimburi de energie cu mediul exterior și este deschis daca face schimburi de substanță și energie cu mediul exterior. Starea unui sistem termodinamic este descrisă de mărimi numite parametri de stare. Exemple de parametri de stare pentru un gaz sunt presiunea p, volumul V, temperatura T, numărul de atomi (molecule) N. Se observă că unii din acești parametri depind de extinderea sistemului (de exemplu de volumul său), pe când altii nu depind de extinderea sa. Astfel, dacă sistemul termodinamic este împărțit în 2 sisteme, atunci presiunea și temperatura sistemelor mai mici vor fi identice cu cele ale sistemului mai mare, în schimb volumul și numărul de particule din sistemele mai mici vor fi proporțional mai mici decât aceleași mărimi din sistemul mare. Parametrii care nu depind de extinderea sistemului se numesc parametri intensivi, iar cei care depind de extinderea sistemului se numesc parametri extensivi. O mărime importantă a unui sistem termodinamic este energia internă U, care reprezintă suma energiilor particulelor componente ale sistemului. Energia internă este extensivă. Parametrii de stare sunt legați între ei prin ecuații de stare. Ecuațiile de stare se obțin experimental sau prin calcule, considerând interacțiunea între particulele care formează sistemul. În mod uzual sistemele termodinamice sunt caracterizate de 2 ecuații de stare: ecuația termică de stare care leagă presiunea și volumul de temperatură, de forma: f(p, V, T ) = const. (2.1) și ecuația calorică de stare care dă expresia energiei interne în funcție de parametrii de stare: U = U(p, V, T ). (2.2) 35

36 Un sistem termodinamic este într-o stare de echilibru termodinamic dacă valorile parametrilor de stare nu se modifică în timp. Un sistem termodinamic poate suferi procese termodinamice, care reprezintă transformări de stare în cursul cărora parametrii de stare își modifică valoarea. Procesele termodinamice pot fi clasificate în procese cvasistatice, în care trecerea de la starea inițială la starea finală se face prin stări intermediare de echilibru și procese necvasistatice, în care stările intermediare nu sunt toate stări de echilibru. Un proces în care sistemul evoluează de la starea inițială la starea finală prin niște stări intermediare iar în sens invers trece prin aceleași stări intermediare se numește proces reversibil; dacă evoluția în sens invers se face prin alte stări intermediare (pe alt drum) atunci procesul se numește proces ireversibil. Dacă starea inițială și starea finală coincid atunci procesul este un proces ciclic, altfel este proces neciclic. O mărime care depinde doar de starea curentă a unui sistem termodinamic, nu și de stările anterioare se numește mărime de stare (funcție de stare). O mărime care depinde atât de starea curentă, cât și de stările anterioare se numește mărime de proces. În cursul unui proces termodinamic, mărimile de stare variază dar variația lor depinde doar de starea inițială și de starea finală, nu și de drumul parcurs de proces (stările intermediare); o mărime de proces depinde însă și de drumul parcurs. Parametrii de stare sunt mărimi de stare; la fel este și energia internă a sistemului. Căldura și lucrul mecanic schimbate în timpul procesului sunt mărimi de proces. Într-un proces infinitezimal (în care parametrii de stare variază cu valori infinitezimale, care tind la 0), variația unei mărimi de stare X se notează cu dx; de exemplu variația infinitezimală a energiei interne e du. Variația infinitezimală a unei mărimi de proces Y se notează cu δy, pentru a o diferenția de variația unei mărimi de stare; de exemplu δl este lucrul mecanic infinitezimal și δq este căldura infinitezimală. Substanța conținută într-un sistem termodinamic poate fi măsurată cantitativ prin mai multe mărimi: numărul de particule componente (atomi, molecule ) N, masa sistemului m etc. O mărime folosită în mod obișnuit este cantitatea de substanță ν. Cantitatea de substanță se exprimă în moli: [ν] SI = 1 mol sau mai potrivit în kilomoli (kmol). Cantitatea de substanță este legată de numărul de particule constituente ale sistemului prin relația: ν = N N A, (2.3) unde N A = 6, mol 1 = 6, kmol 1 este constanta lui Avogadro; N A 6, mol 1. Masa sistemului poate fi exprimată în funcție de masa particulelor componente m 0 dacă acestea sunt identice: m = N m 0. (2.4) Exprimând pe N = νn A se obține m = ν N A m 0. Valoarea M = N A m 0 este masa molară și reprezintă masa unui mol (kmol) de substanță; aceasta depinde de tipul substanței. Atunci m = ν M sau ν = m M. (2.5) 36