Μοναδιαίοι Τελεστές Μοναδιαίοι Μετασχηματισμοί Εικόνες Χρονικής Εξέλιξης

Αθανάσιος Χρ. Τζέμος Τομέας Θεωρητικής Φυσικής Μοναδιαίοι Τελεστές Μοναδιαίοι Μετασχηματισμοί Εικόνες Χρονικής Εξέλιξης Στη Φυσική ενδιαφερόμαστε για την δυναμική εξέλιξη των διαφόρων συστημάτων. Καίριο ρόλο στη δυναμική των κλειστών συστημάτων παίζει μια ιδιαίτερη ομάδα τελεστών, οι μοναδιαίοι τελεστές. Πριν μιλήσουμε για τη φυσική τους σημασία, θα πούμε κάποια λόγια για τις μαθηματικές τους ιδαιτερότητες, οι οποίες είναι πολύ σημαντικές και πολλές φορές προσπερνούνται από τους φοιτητές κατά τη διάρκεια των μαθημάτων (κυρίως στα μαθήματα Κβαντικής Φυσικής και κατά δεύτερο λόγο στη Στατιστική Φυσική). Στη Γραμμική Άλγεβρα μας ενδιαφέρει πολλές φορές να διαγωνοποιήσουμε έναν πίνακα, να τον γράψουμε δηλαδή κατά τρόπον τέτοιο ώστε όλα τα στοιχεία να είναι εκτός από αυτά της διαγωνίου. Γνωρίζουμε τότε από τη θεωρία, ότι τα διαγώνια στοιχεία είναι και οι ιδιοτιμές του πίνακα. Στην προσπάθεια μας να διαγωνοποιήσουμε έναν πίνακα χρησιμοποιούμε τους λεγόμενους μετασχηματισμούς ομοιότητος. Εάν λοιπόν έχουμε έναν πίνακα C που θέλουμε να διαγωνοποιήσουμε, τότε η διαγώνια μορφή του συνδέεται με τον C μέσω της σχέσης: D= 1 S CS Ο S είναι ένας αντιστρέψιμος πίνακας ο οποίος κατασκευάζεται με τις ιδιοτιμές του C. Τότε οι πίνακες D και C λέγονται όμοιοι και ουσιαστικά είναι η αναπαράσταση του ιδίου τελεστού ως προς διαφορετικές βάσεις (Πολλές φορές θα δείτε στα βιβλία της Κβαντομηχανικής την εξής έκφραση: «Διαλέγουμε τέτοια βάση ώστε ο πίνακας του τελεστού πχ. της Hmlonn να είναι διαγώνιος»). Εάν η πρώτη βάση είναι ορθοκανονικοποιημένη τότε θα είναι και η δεύτερη εάν και εφόσον ο πίνακας S είναι μοναδιαίος. Εάν τώρα ο C είναι Ερμιτιανός, τότε βρίσκοντας τα ιδιοδιανύσματά του έχουμε αυτομάτως μια βάση. Μέθοδος εύρεσης μετασχηματισμού ομοιότητος για έναν πίνακα C 1. Βρίσκουμε τις ιδιοτιμές και τα ιδιοδιανύσματα του C. 2. Κανονικοποιούμε τα ιδιοδιανύσματα του C. 1 3. Κατασκευάζουμε έναν νέο πίνακα S βάζοντας σαν στήλες τα ιδιοδιανύσματα του C Στην Φυσική όπως είπαμε πριν ενδιαφερόμαστε κυρίως για ερμιτιανούς και μοναδιαίους πίνακες. Σε αυτήν την περίπτωση η διαγωνοποίηση ενός ερμιτιανού πίνακα H παίρνει την μορφή

D= U HU 1 Αυτή η σχέση ισχύει επειδή U = U για κάθε μοναδιαίο πίνακα. Ένας τέτοιος μετασχηματισμός λέγεται μοναδιαίος μετασχηματισμός (unry operon). Μια άλλη πολύ σημαντική ιδιότητα των μοναδιαίων πινάκων είναι ότι οι γραμμές ή στήλες σχηματίζουν ορθοκανονικοποιημένο σύνολο. Επίσης οι ιδιοτιμές τους έχουν μέτρο ίσο με τη μονάδα, δηλαδή 2 = 1, όπου είναι μια ιδιοτιμή του μοναδιαίου πίνακα. n n Τέλος οι μοναδιαίοι τελεστές διατηρούν το εσωτερικό γινόμενο, δηλαδή Ux, Uy = x, y. Όταν σας ζητηθεί ο ορισμός των μοναδιαίων τελεστών μπορείτε να πείτε όλα τα παραπάνω ή να γράψετε απλώς UU = U U = I Παράδειγμα Να βρεθεί ο μοναδιαίος μετασχηματισμός που διαγωνοποιεί τον πίνακα C = 2 1. 1 2 Λύση Βρίσκουμε τις ιδιοτιμές και τα ιδιοδιανύσματα του C. 2 λ 1 2 2 =Ο 4+ λ 4λ 1= λ 4λ+ 3= λ1 = 1, λ2 = 3 1 2 λ 1 1 x Για την λ=1 έχουμε: = x = y. 1 1 y Ομοίως για λ=3 έχουμε x = y. Δύολοιπόν κανονικοποιημένα ιδιοδιανύσματα είναι τα 1 1 2 1 και 1 1 2 1. 1 1 1 Άρα ο πίνακας U θα είναι ίσος με U = και όπως είναι φανερό στην 2 1 1 προκειμένη περίπτωση είναι ίσος με τον U. Άρα έχουμε 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 3 1 1 6 D = = = 2 1 1 1 2 1 1 2 1 1 3 1 2 2 3 Συνεπώς D =, ο οποίος είναι διαγώνιος και έχει σαν στοιχεία διαγωνίου τις 1 ιδιοτιμές του C κάτι που περιμέναμε. Επειδή τώρα όπως βλέπουμε ο C είναι ερμιτιανός, τα δύο ιδιοδιανύσματα που βρήκαμε αποτελούν μια βάση ως προς την οποία διαγωνοποιείται.

Προχωρώντας τη συζήτησή μας λίγο παραπέρα, τονίζουμε ότι οι μοναδιαίοι πίνακες διαστάσης n n συγκροτούν ομάδα με πράξη εσωτερικής σύνθεσης τον πολλαπλασιασμό πινάκων. Η ομάδα αυτή συμβολίζεται σαν U( n). Εάν τώρα διαλέξουμε μοναδιαίους πίνακες με ορίζουσα ίση με τη μονάδα, τότε περνάμε σε SU ( n) (specl unry group). Αυτά όμως ξεφεύγουν από το σκοπό των σημειώσεων αυτών. Συνεχίζοντας την ανάλυση μας, πρέπει να πούμε κάποια λόγια για τη χρησιμότητα των μετασχηματισμών αυτών. Μπορεί δηλαδή να φαίνονται πολύ ιδιαίτεροι από την πλευρά των Μαθηματικών (έχουν αξιοσημείωτες ιδιότητες, που καθιστούν ευκολότερη τη διαγωνοποίηση των πινάκων), αλλά πρέπει να έχουν και μεγάλη φυσική σημασία για να ασχολούμαστε τόσο πολύ μ αυτούς. Πράγματι, η μεγάλη τους σημασία στηρίζεται στο ότι διατηρούν το εσωτερικό γινόμενο. Από που ξεκινάει όμως αυτή η ανάγκη για τη διατήρηση του εσωτερικού γινομένου; Όλη η Κβαντική Φυσική στηρίζεται στην παραδοχή ότι ο συνήθης χώρος είναι ισότροπος και ομογενής. Δεν υπαρχει δηλαδή καμιά προεξάρχουσα θέση στο χώρο. Όλες οι θέσεις είναι ισοδύναμες. Η παραπάνω ιδέα λέγεται «Ευκλείδειος Αρχή της σχετικότητος». Πολλοί από σας θα φανταστείτε ότι η ιδέα αυτή δεν είναι σωστή σκεπτόμενοι τη βαρύτητα, η οποία επιβάλλει την κάθετη διεύθυνση στη Γη σαν προτιμητέα. Λογικό. Όμως στην Κβαντομηχανική μελετούμε την ύλη σε πολύ μικρές κλίμακες, όπου τα βαρυτικά φαινόμενα είναι αμελητέα. Τότε γυρνώντας το σύστημά μας σε διάφορες γωνίες μπορούμε να ελέγξουμε την ισοτροπία του χώρου. Εάν πάλι δεν μπορούμε να αγνοήσουμε τα βαρυτικά φαινόμενα (όπως σε μερικά πολύ ευαίσθητα συμβολόμετρα νετρονίων) τότε και πάλι δε χάνουμε τίποτα με το να θεωρήσουμε τη Γη σαν μέρος του όλου μηχανικού συστήματος λαμβάνοντας υπ όψιν και το βαρυτικό της πεδίο στις διάφορες στροφές που μπορούμε να κάνουμε σε οιαδήποτε γωνία επιθυμούμε. Δεν έχει βρεθεί ποτέ παραβίαση της Ευκλειδείου Αρχής σε εργαστηριακό πείραμα. Η συζήτηση μπορεί να συνεχιστεί πολύ προσπαθώντας να δούμε τι ισχύει για τη Φυσική του πολύ πρώιμου Σύμπαντος, αλλά εδώ μας ενδιαφέρει η «σημερινή Κβαντική Φυσική», στην οποία έχουμε απόλυτη ισχύ της παραπάνω αρχής. Ένας μετασχηματισμός που αφήνει αναλλοίωτες τις σχέσεις μεταξύ φυσικών ποσοτήτων λέγεται μετασχηματισμός συμμετρίας (symmery operon) ή πιο συχνά συμμετρία. Η Ευκλείδειος Αρχή οδηγεί στο συμπέρασμα ότι οι γεωμετρικές μετατοπίσεις και στροφές είναι μετασχηματισμοί συμμετρίας. Σαν απλό παράδειγμα μπορούμε να πάρουμε τις περιστροφές γύρω από άξονα η σημείο. Έστω λοιπόν ένα κβαντικό σύστημα με διάνυσμα κατάστασης Ψ, το οποίο στρέφεται στο χώρο σε μια διαφορετική διεύθυνση της αρχικής με διάνυσμα Ψ. Η Ευκλείδειος Αρχή απαιτεί να μην αλλάζουν οι πιθανότητες υπό την επίδραση του μετασχηματισμού. Με άλλα λόγια όλα τα εσωτερικά γινόμενα δύο στραμμένων καταστάσεων παραμένουν αναλλοίωτα ως προς την απόλυτο τιμή τους. Έχουμε λοιπόν μια «εσωτερική απεικόνιση» (και τα αρχικά διανύσματα και τα τελικά ανήκουν στον ίδιο χώρο) Ψ Ψ, τέτοια ώστε ( Ψ, Φ ) = ( Ψ, Φ ) 2 2

για κάθε ζεύγος καταστατικών διανυσμάτων. Μια απεικόνιση τέτοιου είδους λέγεται ισομετρία (somery). Προφανώς η απεικόνιση αυτή πρέπει να είναι αντιστρέψιμη, διότι θα μπορούσαμε να ξεκινήσουμε από την τελική κατάσταση και να καταλήξουμε στην αρχική, αφού δεν υπάρχει κανένας φυσικός περιορισμός. Τέτοιες περιστροφές που περιγράφουν δύο διαφορετικές ισοδύναμες καταστάσεις λέγονται ενεργητικοί μετασχηματισμοί (cve rnsformons), εν αντιθέσει με μετασχηματισμούς που αφορούν δύο διαφορετικές θεωρήσεις μίας κατάστασης ενός συστήματος (από δύο διαφορετικά συστήματα αναφοράς), που λέγονται παθητικοί μετασχηματισμοί. Εν γένει δεν απαιτούμε το αναλλόιωτο των εσωτερικών γινομένων που είναι το σήμα κατατεθέν των μοναδιαίων μετασχηματισμών, αλλά μόνο των απολύτων τιμών. Υπάρχει όμως ένα πολύ σημαντικό θεώρημα που μας αναγκάζει να ενσκύψουμε στους μοναδιαίους μετασχηματισμούς (αλλά και στους αντιμοναδιαίους). ΘΕΩΡΗΜΑ ώστε Έστω μια εσωτερική απεικόνιση Ψ Ψ ενός διανυσματικού χώρου, τέτοια ( Ψ, Φ ) = ( Ψ, Φ ) 2 2 Τότε μπορεί να βρεθεί μια δεύτερη ισομετρική απεικόνιση Ψ Ψ, η οποία ουσιαστικά είναι μια αλλαγή φάσης κάθε διανύσματος του τύπου ( Ψ ) Ψ = e Ψ τέτοια ώστε το διάνυσμα Ψ=Ψ +Ψ b απεικονίζεται στο Ψ =Ψ +Ψ b. Το παραπάνω θεώρημα μας οδηγεί σε βασική ιδιότητα των γραμμικών τελεστών: το άθροισμα των μετασχηματισμών των δύο διανυσμάτων είναι ίσο με το μετασχηματισμό του αθροίσματος των διανυσμάτων. Από το θεώρημα προκύπτει ότι 2 2 ( Ψ, Ψ +Ψ b) = ( Ψ, Ψ +Ψ b) Χρησιμοποιώντας τώρα τη συνθήκη ισομετρίας που είπαμε πιο πριν, τότε έχουμε * * ( Ψ +Ψ b) + ( Ψ +Ψ b) = ( Ψ +Ψ b) + ( Ψ +Ψ b) ή ισοδύναμα Re Ψ, Ψ = Re Ψ, Ψ ( ) ( ) b b Απ τη στιγμή τώρα που η απόλυτος τιμή του εσωτερικού γινομένου ( Ψ, Ψb είναι αναλλοίωτη, έχουμε Im ( Ψ, Ψ b) =± Im ( Ψ, Ψ b) Το θετικό πρόσημο σημαίνει ( Ψ, Ψ b) = ( Ψ, Ψ b) και ( λψ ) = λψ (1) ενώ το αρνητικό πρόσημο σημαίνει Ψ, Ψ = Ψ, Ψ ( ) ( ) * b b )

και Ψ = Ψ (2) * ( λ ) λ Η (1) αποτελεί τη δεύτερη βασική ιδιότητα γραμμικού τελεστού, ενώ η (2) αντιγραμμικού τελεστού. Το που μας οδηγεί το παραπάνω θεώρημα είναι πολύ εύκολο να το δει κανείς. Τα καταστατικά διανύσματα που διαφέρουν μόνο κατά έναν παράγοντα φάσης, αναπαριστούν την ίδια κατάσταση. Με άλλα λόγια ένας μετασχηματισμός που αλλάζει μόνο τη φάση δεν έχει φυσική σημασία. Αυτό που πρέπει να μας μείνει από την παραπάνω ανάλυση είναι ότι η μελέτη των πολύπλοκων μετασχηματισμών συμμετρίας των διαφόρων συστημάτων μπορεί να αναχθεί σε γραμμικούς και αντιγραμμικούς μετασχηματισμούς, οι οποίοι είναι αμοιβαίως αποκλειόμενοι. Σημειωτέον ότι το «rephsng» είναι εν γένει μη μοναδιαίος μετασχηματισμός, επειδή διαφορετικά καταστατικά διανύσματα πολλαπλασιάζονται γενικά με διαφορετικές φάσεις. Επίσης πρέπει να τονίσουμε ότι όταν ο μετασχηματισμός είναι μια περιστροφή, τότε δεν μπορούμε να έχουμε αντιγραμμικότητα, διότι οι περιστροφές μπορούν να παραχθούν κατά συνεχή τρόπο από τον ταυτοτικό τελεστή, ο οποίος δεν είναι συνεπής με τη μιγαδική συζυγία ενός πολλαπλασιαστού. ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΤΕΛΕΣΤΩΝ Η συνάρτηση που εξαρτάται από έναν τελεστή μπορεί να βρεθεί με τη βοήθεια του αναπτύγματος Tylor: n f A = A ( ) n= Ένα πολύ συχνό φαινόμενο στα βιβλία Φυσικής είναι να δείτε τελεστές στα ορίσματα A εκθετικών συναρτήσεων, δηλαδή στη μορφή e. Η δράση αυτής της συνάρτησης θα βρεθεί με ανάπτυγμα Tylor: n = + + +... + 2! n! +... A A= AA και έχει φασματικό ανάπτυγμα 2 n A 2 n e I A A A Εάν τώρα ένας τελεστής Α είναι κανονικός ( ) που δίνεται από τη σχέση A= u u, τότε ισχύει f ( A) = f ( ) u u (Α) Αποδεικνύεται επίσης εύκολα ότι εάν Η είναι ερμιτιανός τότε ο U H = e ε (Β) όπου το ε είναι ένα βαθμωτό είναι μοναδιαίος τελεστής. Αν τώρα H = ϕ ι u u, χρησιμοποιώντας τη σχέση (Α) βρίσκουμε ότι

ε H ϕ U e e ι u u = = Γράφοντας το ανάπτυγμα κατά Tylor της (Β) και κρατώντας τους δύο πρώτους όρους βρίσκουμε τον απειροστό μοναδιαίο μετασχηματισμό U = I + ε H Τότε ο Η λέγεται γεννήτορας του μετασχηματισμού. ΑΞΙΩΜΑ ΚΒΑΝΤΙΚΗΣ ΦΥΣΙΚΗΣ Ένα απ τα βασικότερα αξιώματα της Κβαντικής Φυσικής είναι αυτό που αφορά τη χρονική εξέλιξη ενός κλειστού απομονωμένου συστήματος, το οποίο ως γνωστόν εξελίσσεται σύμφωνα με την εξίσωση Schrödnger h/ H ψ = ψ Εάν το αρχικό καταστατικό διάνυσμα δίνεται τη χρονική στιγμή =, τότε η λύση της παραπάνω εξίσωσης μπορεί να γραφεί μέσω ενός τελεστού χρονικής εξέλιξης, δηλαδή Ο ψ ( ) = U(, ) ψ ( = ) U ) ικανοποιεί την ίδια ακριβώς εξίσωση με την ψ ( ) (, με αρχική συνθήκη την ( ) () (), δηλαδή U(, ) = H() U(, ) h / U, = 1. Τότε από την προηγούμενη σχέση έχουμε ( UU ) = ( UHU UHU ) h/ Εάν τώρα H = H η παραπάνω παράγωγος μηδενίζεται και έχουμε UU= 1 συνεχώς και κατά συνέπεια ο U(, ) είναι μοναδιαίος μετασχηματισμός δεδομένου ότι ο η είναι ερμιτιανός. Εάν η Hmlonn είναι χρονοανεξάρτητη, τότε (, ) U = e ( ) H/ h/ Εάν η Hmlonn είναι χρονοεξαρτημένη τότε δεν υπάρχει μια απλή κλειστή μορφή στην οποία μπορεί να γραφεί ο U(, ). Η κατάσταση του συστήματος μετά από χρόνο θα δίνεται από τη σχέση ψ H ( ) ( )/ h = e / ψ ( )

Λέμε λοιπόν ότι η χρονική εξέλιξη του συστήματος καθοδηγείται από ένα μοναδιαίο τελεστή H / h/ U = e Στην περίπτωση μιας καθαρής κατάστασης η εξίσωση για τη χρονική μεταβολή ενός πίνακα πυκνότητας μπορεί να γραφεί πολύ εύκολα: () () ( ) U(, ) ( ) ( ) U (, ) ρ = ψ ψ = ψ ψ Άρα ρ() = U(, ) ρ( ) U (, ) Έχουμε τώρα ρ () () () () d d ψ ψ ρ () () () () d ψ ψ ψ d ψ = = + Χρησιμοποιώντας τώρα την h/ H ψ = ψ μια φορά για το ψ και μια για το ψ. Προκύπτει λοιπόν η θεμελιώδους σημασίας εξίσωση ρ h/ (εξίσωση εξέλιξης) () = H(), ρ() Προσοχή!!! Οι δύο παραπάνω σχέσεις στα κίτρινα πλαίσια βγήκαν για καθαρές καταστάσεις. Υποθέτουμε όμως (παραδοχή) ότι ισχύουν και για γενικές καταστάσεις. Σε περίπτωση δηλαδή που έχουμε μια μείξη καθαρών καταστάσεων οι παραπάνω ισχύουν επειδή τα επιμέρους τμήματα είναι καθαρές καταστάσεις. Γνωρίζουμε όμως από τη θεωρία των πινάκων πυκνότητας ότι μια μεικτή κατάσταση μπορεί να γραφεί σαν προϊόν συνδυασμού καθαρών καταστάσεων με περισσότερους του ενός τρόπους. Υπάρχει λοιπόν μια ασάφεια, η οποία της περισσότερες φορές δεν μας απασχολεί. Όσον αφορά τώρα τη φυσική σημασία, αυτή αποδίδεται κυρίως στην κατανομή πιθανότητας των παρατηρησίμων και ιδιαιτέρως στις μέσες τιμές. Η χρονική εξάρτηση της μέσης τιμής του μεγέθους R που αναπαρίσταται από τον τελεστή R δίνεται από τη σχέση ( ρ ( ) ) R = Tr R Αντικαθιστώντας τώρα τη σχέση ρ( ) U(, ) ρ( ) U ( ) =, στην παραπάνω και εκμεταλλευόμενοι το αναλλοίωτο του ίχνους ενός γινομένου υπό την επίδραση μιας κυκλικής μετάθεσης, παίρνουμε τις κάτωθι ισοδύναμες σχέσεις: ( (, ) ρ ( ) (, ) ) R = Tr U U R

( ρ ( ) (, ) (, )) R = Tr U RU Από τις παραπάνω δύο εκφράσεις προκύπτουν δύο διαφορετικοί φορμαλισμοί για τη χρονική εξάρτηση στην Κβαντομηχανική, η εικόνα Schrödnger και η εικόνα Hesenberg. Eικόνα Schrödnger: Σε αυτή την εικόνα η χρονική εξάρτηση βρίσκεται στο καταστατικό διάνυσμα. Οι τρεις πρώτοι όροι στο ίχνος της σχέσης R = Tr U, ρ U, R ( ( ) ( ) ( ) ) λαμβάνονται σαν ο χρονικώς εξαρτημένος τελεστής ρ ( ) που δίνεται από την ρ () U(, ) ρ( ) U (, ) = d Η διαφορική εξίσωση είναι η ( ρ () ) = H(), ρ() d h/ για τον πίνακα πυκνότητας ρ() και h/ H ψ = ψ για το καταστατικό διάνυσμα ψ καθαρής κατάστασης. Εικόνα Hesenberg: Στην προσέγγιση αυτή ομαδοποιούμε τους τρεις R = Tr ρ U, RU, και γράφουμε ( ) τελευταίους τελεστές της σχέσης ( ) ( ) ( ) R = Tr ( ρ ( ) RH ( ) ) με το RH ( ) να ορίζεται από τη σχέση H ( ) = (, ) (, ) R U RU (Αυτός ο τελεστής λέγεται τελεστής του Hesenberg και αντιστοιχεί στον τελεστή R του Schrödnger.) Στην εικόνα αυτή η κατάσταση είναι χρονοανεξάρτητη και η εξάρτηση από το χρόνο βρίσκεται στις δυναμικές μεταβλητές. Διαφορίζοντας τον RH () ως προς το χρόνο και χρησιμοποιώντας τη σχέση U(, ) = H() U(, ) προκύπτει h / εύκολα η σχέση drh () R = ( U HRU U RHU) + U U d h/ η οποία μπορεί να γραφτεί και ως () drh R = H (), R () + d h/ H H H Η παραπάνω είναι η εξίσωση κίνησης στην εικόνα Hesenberg. Εισαγάγαμε τον HH () = U HU σε αναλογία με την RH ( ) = U (, ) RU(, ). Ο τελευταίος όρος R R = U (, ) U(, ) υφίσταται μόνο όταν ο R εξαρτάται εκπεφρασμένα από H το χρόνο. Από πλευράς Φυσικής αυτό σημαίνει ότι έχουμε ένα εξωτερικό μεταβλητό

μαγνητικό πεδίο και ο R είναι το δυναμικό ή ο R είναι το στοιχείο ενός τανυστού που ορίζεται με βάση ένα κινούμενο σύστημα συντεταγμένων. Όπως παρατηρούμε στην εικόνα Hesenberg η εξέλιξη μεταφέρεται μέσω των τελεστών που αφορούν δυναμικές μεταβλητές, ενώ η καταστατική κυματοσυνάρτηση περιγράφει την αρχική κατάσταση (αρχική συνθήκη σε ένα πρόβλημα αρχικών τιμών). Στη δε εικόνα Schrödnger η κυματοσυνάρτηση υπηρετεί και τους δύο ρόλους. Οι δύο εικόνες είναι ισοδύναμες επειδή η ποσότητα R που έχει και τη φυσική σημασία εξαρτάται μόνο από τη σχετική κίνηση των ρ και R. Δεν έχει διαφορά όταν το ρ κινείται «προς τα εμπρός» (εικόνα Schrödnger) ή το R κινείται «προς τα πίσω» (εικόνα Hesenberg). Είναι η αντίθεση των δύο αυτών κινήσεων που είναι υπεύθυνη για το διαφορετικό πρόσημο ανάμεσα στις d d () h/ (Schrödnger εξέλιξη) ( ρ() ) = H(), ρ() drh R = H (), R () + d h/ H H H (Hesenberg εξέλιξη) Πρέπει τώρα να τονίσουμε ότι οι δύο παραπάνω σχέσεις είναι αμοιβαίως αποκλειόμενες και δεν μπορούν να χρησιμοποιηθούν μαζί. Διαλέγουμε με ποια εικόνα θέλουμε να δουλέψουμε και μετά την ακολουθούμε πιστά. Ο ρυθμός τώρα μεταβολής της μέσης τιμής ενός μεγέθους έχει παρόμοια μορφή και στις δυο εικόνες. Απ τη σχέση R = Tr ( ρ ( ) R ) της εικόνας Schrödnger παίρνουμε d R ρ R = Tr R + ρ d d R R = Tr ( H ρr ρhr) + ρ d h/ d R R = Tr ( ρrh ρhr) + ρ d h/ Οπότε τελικά έχουμε d R R = Tr ρ()[ H, R] + ρ() d h/ (Εικόνα Schrödnger) Απ την άλλη πλευρά στην εικόνα Hesenbreg έχουμε

και τελικά d R d = Tr ρ = ( ) dr d d R R = Tr ρ( = ) H, RH ( ) + ρ( = ) d h / (Εικόνα Hesenberg) H H Τα παραπάνω αποτελέσματα μπορούν να γραφούν στην ειδική περίπτωση που έχουμε καθαρή κατάσταση συναρτήσει του καταστατικού διανύσματος. Εάν λοιπόν είναι Ψ το αρχικό καταστατικό διάνυσμα τη χρονική στιγμή =. Τότε στην εικόνα Schrödnger έχουμε όπου ( ) ( ) R = Ψ R Ψ ( ) U(, ) Ψ = Ψ Αντικαθιστώντας την παραπάνω έκφραση σε αυτή στο πλαίσιο παίρνουμε (, ) (, ) R U RU = Ψ Ψ που στην εικόνα Hesenberg μπορεί να γραφτεί σαν με H ( ) R = Ψ R Ψ H ( ) = (, ) (, ) R U RU Η ισοδυναμία των δύο εικόνων είναι προφανής. Βιβλιογραφία 1) Qunum Mechncs, by E. Merzbcher (Wley) 2) Qunum Mechncs, by L.Bllenne (World Scenfc) 3) Qunum Compung Explned, by D. Mc Mhon (Wley) 4) Qunum Mechncs Demysfed, by D. Mc Mhon (Wley) 5) Inroducon To Qunum Informon Theory, by V. Vedrl (Oxford Unversy Press) 6) Προσωπικές Σημειώσεις