lim f (x) = +. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ Μη πεπερασμένο όριο στο x 0 R

Transcript

1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΜΗ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟ ΟΡΙΟ ΣΤΟ R - ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΤΟ ΑΠΕΙΡΟ - ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟ ΟΡΙΟ ΑΚΟΛΟΥΘΙΑΣ [Κεφ..6: Μη Πεπερασμέο Όριο στο R - Κεφ..7: Όρια Συάρτησης στο Άπειρο του σχολικού βιβλίου]. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ Μη πεπερασμέο όριο στο R Έστω συάρτηση f της οποίας η γραφική παράσταση κοτά στο R φαίεται στο «Σχήμα». Παρατηρούμε ότι καθώς το πλησιάζει το με οποιοδήποτε τρόπο οι τιμές f() αυξάοται απεριόριστα και γίοται μεγαλύτερες από κάθε θετικό πραγματικό αριθμό Μ. Σε κάθε τέτοια περίπτωση θα λέμε ότι η συάρτηση f έχει στο όριο το + και θα γράφουμε ότι lim f () = +. Σχήμα Έστω συάρτηση f της οποίας η γραφική παράσταση κοτά στο R φαίεται στο «Σχήμα». Παρατηρούμε ότι καθώς το πλησιάζει το (από τα αριστερά και από τα δεξιά) οι τιμές f() ελαττώοται απεριόριστα και γίοται μικρότερες από κάθε αρητικό πραγματικό αριθμό Μ (Μ>). Σε κάθε τέτοια περίπτωση θα λέμε ότι η συάρτηση f έχει στο όριο το - και θα γράφουμε ότι lim f () =. Σχήμα 7 Αάλογοι ορισμοί μπορού α διατυπωθού ότα («Σχήμα 3») και + («Σχήμα 4»).

2 Σχήμα 73 Σχήμα 74 Στα άπειρα όρια τω συαρτήσεω οι οποίες ορίζοται σε έα σύολο της μορφής ( α, ) (, β ) ισχύου ατίστοιχες ισοδυαμίες όπως και στα πεπερασμέα όρια: lim f () = + lim f () = lim f () = + + lim f () = lim f () = lim f () = +

3 Ιδιότητες Α α Α α lim f () = +, τότε f() > κοτά στο, εώ lim f () =, τότε f() < κοτά στο. lim f () lim f () = +, τότε lim ( f ()) =, τότε lim ( f ()) =, εώ = +. Α lim f () = + ή lim f () =, τότε lim =. f() Α lim f () = και f() > κοτά στο, τότε lim = +, f() εώ α lim f () = και f() < κοτά στο, τότε lim =. f() Α lim f () = + ή lim f () =, τότε lim f () = +. Α lim f () = +, τότε lim κ f () = +, κ {,}. Με τη βοήθεια τω παραπάω ιδιοτήτω προκύπτει: * lim = + και γεικά lim = +, lim = + και γεικά lim = +, lim = και γεικά lim =, + Επειδή lim lim, δε υπάρχει το lim, + 3

4 Θεωρήματα για τα όρια αθροίσματος και γιομέου δύο συαρτήσεω: ΘΕΩΡΗΜΑ ο (όριο αθροίσματος) Α στο R το όριο της f είαι: α R α R + + και το όριο της g είαι: τότε το όριο της f +g είαι: + + ; ; ΘΕΩΡΗΜΑ ο (όριο γιομέου) Α στο R το όριο της f είαι: και το όριο της g είαι: τότε το όριο της f g είαι: α> α< α> α< ; ; + + Όπου υπάρχει ερωτηματικό στους παραπάω πίακες, σημαίει ότι το όριο (α υπάρχει) εξαρτάται κάθε φορά από τις συαρτήσεις που παίρουμε. Σε αυτές τις περιπτώσεις θα λέμε ότι έχουμε απροσδιόριστη μορφή (*Παράδειγμα). Δηλαδή, απροσδιόριστες μορφές για τα όρια αθροίσματος και γιομέου συαρτήσεω είαι οι: ( + ) + ( ) και ( ± ). Επειδή f g = f + ( g) και f = f, προκύπτει ότι απροσδιόριστες μορφές για τα όρια g g της διαφοράς και του πηλίκου συαρτήσεω είαι οι: ( + ) ( + ), ( ) ( ) και, ± ±. 4

5 Παράδειγμα 5 5 Έστω οι συαρτήσεις f() =, g() =, και h() = + 6. Επειδή lim f () = +, lim g() =, limh() = +, η εφαρμογή του πρώτου θεωρήματος (όριο αθροίσματος) για τα όρια τω συαρτήσεω f g h g και + στο χ = μας οδηγεί σε απροσδιοριστία της μορφής ( ) ( ) Εξάλλου: 5 4 ( f + g )() = = 5 5 h + g () = + 6 = 6 ( ) Oπότε: 4 lim( f + g )() = lim 4 lim 4 ( ) = = + = ( ) lim h + g () = lim 6 = 6 5

6 Όρια συάρτησης στο άπειρο Έστω τρεις συαρτήσεις f, g, h και οι γραφικές τους παραστάσεις σε έα διάστημα της μορφής ( a, + ) (Σχήματα 5,6,7). Στη γραφική παράσταση της συάρτησης f («Σχήμα 5»), παρατηρούμε ότι καθώς το αυξάεται απεριόριστα με οποιοδήποτε τρόπο, το f() προσεγγίζει όσο θέλουμε το πραγματικό αριθμό l. Σε κάθε τέτοια περίπτωση λέμε ότι η f έχει στο + όριο το l και γράφουμε: Σχήμα 5 lim f () = + Στη γραφική παράσταση της συάρτησης g («Σχήμα 6»), παρατηρούμε ότι καθώς το αυξάεται απεριόριστα με οποιοδήποτε τρόπο, το g() αυξάεται απεριόριστα. Σε κάθε τέτοια περίπτωση λέμε ότι η g έχει στο + όριο το + και γράφουμε: lim g() = + + Σχήμα 6 6

7 Στη γραφική παράσταση της συάρτησης h («Σχήμα 7»), παρατηρούμε ότι καθώς το αυξάεται απεριόριστα με οποιοδήποτε τρόπο, το h() ελαττώεται απεριόριστα. Σε κάθε τέτοια περίπτωση λέμε ότι η h έχει στο + όριο το - και γράφουμε: lim h() = + Σχήμα 7 Από τα παραπάω, γίεται φαερό ότι για α έχει όημα η ααζήτηση του ορίου μιας συάρτησης στο +, πρέπει η συάρτηση α είαι ορισμέη σε διάστημα της μορφής ( α, + ). Αάλογα α f, g, h τρεις συαρτήσεις τω οποίω οι γραφικές τους παραστάσεις σε έα διάστημα της μορφής (, β ) φαίοται στα παρακάτω σχήματα, παρατηρούμε ότι : Στη γραφική παράσταση της συάρτησης f («Σχήμα 8»), παρατηρούμε ότι καθώς το ελαττώεται απεριόριστα με οποιοδήποτε τρόπο, το f() προσεγγίζει όσο θέλουμε το πραγματικό αριθμό l. Σε κάθε τέτοια περίπτωση λέμε ότι η f έχει στο όριο το l και γράφουμε: Σχήμα 8 lim f () = 7

8 Στη γραφική παράσταση της συάρτησης g («Σχήμα 9»), παρατηρούμε ότι καθώς το ελαττώεται απεριόριστα με οποιοδήποτε τρόπο, το g() αυξάεται απεριόριστα. Σε κάθε τέτοια περίπτωση λέμε ότι η g έχει στο όριο το + και γράφουμε: lim g() = + Σχήμα 9 Στη γραφική παράσταση της συάρτησης h («Σχήμα»), παρατηρούμε ότι καθώς το ελαττώεται απεριόριστα με οποιοδήποτε τρόπο, το h() ελαττώεται απεριόριστα. Σε κάθε τέτοια περίπτωση λέμε ότι η h έχει στο όριο το - και γράφουμε: Σχήμα lim h() = Φαερά για α μπορέσουμε α ααζητήσουμε το όριο μιας συάρτησης στο, πρέπει η, β. συάρτηση α είαι ορισμέη σε διάστημα της μορφής ( ) 8

9 Όρια πολυωυμικής και ρητής συάρτησης Για τη πολυωυμική συάρτηση P() =α +α + +α με α ισχύει: lim P() = lim ( α ) και + + lim P() = lim ( α ) Για τη ρητή συάρτηση ισχύει: f() = α +α + +α +α β κ +β + +β +β κ κ κ με α, β κ α lim f () = lim κ β + + κ και α lim f () = lim κ β κ Όρια εκθετικής - λογαριθμικής συάρτησης Α α> τότε: lim α =, lim α = + + lim log =, α lim log = + + α Α <α< τότε: lim α = +, lim α = + lim log = +, α lim log = + α 9

10 Πεπερασμέο όριο ακολουθίας Ορισμοί: Ακολουθία οομάζεται κάθε πραγματική συάρτηση α: Ν R Θα λέμε ότι η ακολουθία ( α ) έχει όριο το l R και θα γράφουμε lim α =, + ότα για κάθε ε >, υπάρχει N τέτοιο, ώστε για κάθε > α ισχύει: α <ε Σημείωση: Στα όρια ακολουθιώ ισχύου όσες ιδιότητες έχου ααφερθεί στα όρια συαρτήσεω στο +.

11 Σηματικές παρατηρήσεις ) Ισχύει ότι: lim + = + και lim =, + *, lim +, α άρτιος =, α περιττός και lim =, * ) Οι γωστές ιδιότητες τω ορίω ισχύου και για τα όρια στο +, με τη προϋπόθεση ότι οι συαρτήσεις είαι ορισμέες σε κατάλληλα σύολα και δε καταλήγουμε σε απροσδιόριστη μορφή. 3) Οι τριγωομετρικές συαρτήσεις ηµ, συ,. εφ, * 4) i) lim = +, και lim = + ( ) ii) Επειδή lim =, lim = +,, + ( ) + + ( ) δε υπάρχει το lim,. + ( ) 5) Ότα + τότε μπορούμε α θεωρούμε ότι ( α, + ), α > σφ δε έχου όριο στο + και στο οπότε μπορούμε α γράφουμε: = =. Αάλογα, ότα τότε μπορούμε α θεωρούμε ότι (, β), β <, οπότε μπορούμε α γράφουμε: = =. 6) Α α> γωρίζουμε ότι lim α = και lim α = +, + άρα lim = + α και lim =. α + 7) Α <α< άρα γωρίζουμε ότι lim = και α + lim α = + και lim = +. α lim + α =, Ημερομηία τροποποίησης: 5/8/