5.3 ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΡΟΟ ΟΣ

Transcript

1 5. ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΡΟΟ ΟΣ ΘΕΩΡΙΑ. Ορισµός Μια ακολουθία λέγεται γεωµετρική πρόοδος, α και µόο α κάθε όρος της προκύπτει από το προηγούµεό του µε πολλαπλασιασµό επί το ίδιο πάτοτε µη µηδεικό αριθµό.. Μαθηµατική έκφραση του ορισµού α, N γεωµετρική πρόοδος α + α λ για κάθε N α+ λ α. Περιορισµός Στη γεωµετρική πρόοδο είαι πάτοτε λ 0 και α 0 4. Τύπος του -οστού όρου : α α λ 5. Συθήκη του γεωµετρικού µέσου Οι α, β, γ 0 ισχύει β αγ είαι διαδοχικοί όροι γεωµετρικής προόδου α και µόο α Ο β, δηλαδή ο αγ, λέγεται γεωµετρικός µέσος τω α και γ 6. Άθροισµα διαδοχικώ όρω : Παρατήρηση : S v α λ λ Ότα λ, δε ισχύει ο τύπος. Είαι βέβαια α α για κάθε, οπότε S v α

2 ΣΧΟΛΙΑ ΜΕΘΟ ΟΙ. Πότε θεωρείται γωστή µια γ. πρόοδος Ότα γωρίζουµε το όρο α και το λόγο λ.. Η διπλή σηµασία του συµβόλου α Συµβολίζει τη γ.πρόοδο α ή το -οστό όρο. Εξαρτάται από τα συµφραζόµεα.. Παρατήρηση. Καθέας από τους τύπους α α λ και S α λ λ περιέχει τέσσερις µεταβλητές. Α γωρίζουµε τις τρεις, µπορούµε α βρίσκουµε τη τέταρτη λύοτας τη εξίσωση. 4. Μέθοδος Μετατρέπουµε τις υποθέσεις του προβλήµατος σε εξισώσεις και λύουµε το σύστηµα 5. Μέθοδος α) Για άρτιο πλήθος όρω, θεωρούµε τους Εδώ ο λόγος της προόδου είαι λ ή λ β) Για περιττό πλήθος όρω, θεωρούµε τους Εδώ ο λόγος της προόδου είαι λ. λ, λ, λ, λ, λ λ,,. λ, λ

3 ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Σε µία γεωµετρική πρόοδο έχουµε α 4, α 6 7 και α Να βρείτε τη πρόοδο και το πλήθος τω όρω της Προτειόµεη λύση Έστω α ο πρώτος όρος και λ ο λόγος της προόδου α 4 α 6 7 α 9477 α () () α 4 λ α λ () α 6 λ 7 α 5 λ 7 () λ 9477 () : λ 9 λ ή λ Για λ, η () α 7 α 7 Σχόλιο 4 () Για λ, η () α ( 7 ) α 7 Οµοίως βρίσκουµε 0

4 4. ύο πρόοδοι µία αριθµητική και µία γεωµετρική έχου κοιούς τους δύο πρώτους όρους. Στη αριθµητική πρόοδο ο τέταρτος όρος είαι µεγαλύτερος του δεύτερου κατά 0, εώ στη γεωµετρική κατά 0. Να βρεθού οι πρόοδοι. Προτειόµεη λύση Έστω α ο πρώτος όρος τω δύο προόδω, ω η διαφορά της αριθµητικής και λ ο λόγος της γεωµετρικής. Αρκεί α βρούµε τους α, ω, λ. Οι υποθέσεις () () : α+ωαλ α+ ωα+ω+ 0 αλ αλ+ 0 α( λ ) 5 () ω 5 () αλ λ ( ) 0 () αλ( λ )( λ+ ) 6 λ + λ 6 0 λ ή λ α(λ ) Για λ, η () α 5 και από τη () είαι ω 5 Για λ η () α 5 και από τη () είαι ω 5 4

5 5. Ο πρώτος, ο δεύτερος, ο τέταρτος και ο -στός όρος µιας αριθµητικής προόδου µε ω 0 έχου άθροισµα 45 και είαι διαδοχικοί όροι γεωµετρικής προόδου. Να ορίσετε τις δύο προόδους. Προτειόµεη λύση Έστω α ο πρώτος όρος και ω η διαφορά της αριθµητικής προόδου. α, α + ω, α + ω γ.πρόοδος (α + ω) α(α + ω) α + αω + ω αω 0 ω(ω α) 0 ω α + αω ω α αφού ω 0 () α + ω, α + ω, α + ( )ω γ.πρόοδος (α + ω) (α + ω) (α + ω ω) ( ) (α + α) (α + α) (α + α α) (4α) α α 6α α και αφού α ω 0, 6 8 Άθροισµα 45 α + α + ω + α + ω + α + ( )ω 45 ( ) α + α + α + α + α + α + (8 )α 45 5α 45 α ω Η αρ.πρόοδος είαι, 6, 9,,... Η γ.πρόοδος είαι, 6,, 4, Μεταξύ τω αριθµώ και α παρεµβάλετε 4 άλλους, έτσι ώστε η ακολουθία που θα προκύψει α είαι γεωµετρική πρόοδος. Προτειόµεη λύση Έστω,,, 4 οι τέσσερις εδιάµεσοι τότε η ακολουθία,,,, 4, είαι γεωµετρική πρόοδος µε α, 6 και α 6. α 6 α λ 5 λ 5 λ 5 λ Άρα, 4, 4 8, Σχόλιο 4

6 6 5. Έστω η ακολουθία α µε α + α + 4, N και α 5 i) είξτε ότι η ακολουθία β α, N είαι γεωµετρική πρόοδος µε λόγο και πρώτο όρο β 5 ii) Να βρείτε συαρτήσει του τους -στούς όρους τω α και β Προτειόµεη λύση i) β β ii) + α+ α α α α ( α ) α 6 5( α ) ( α ) 5( α ) 5 Είαι β β λ - ( ) 5 () Από τη υπόθεση β α α β + άρα η ακολουθία β είαι γεωµετρική πρόοδος µε λόγο λ 5 και β α ( ) α + 5

7 7 6. Μίας ακολουθίας α ο -στος όρος είαι α +, N i) είξτε ότι η ακολουθία είαι γεωµετρική πρόοδος της οποίας α βρείτε το πρώτο όρο και το λόγο. ii) Ποια είαι η µικρότερη τιµή του για τη οποία ισχύει α > 550; Προτειόµεη λύση i ) α+ Για κάθε N είαι + + α Εποµέως η ακολουθία είαι γεωµετρική πρόοδος µε α + και λ ii) α > > > 550 Όµως 7 8 και 8 56 () - > 8 - > 7 > 7 > 8 9 9, ()

8 Να απλοποιηθεί το κλάσµα Κ Προτειόµεη λύση Ο αριθµητής είαι άθροισµα + όρω γεωµετρικής προόδου µε α και λ Άρα ο αριθµητής είαι Α α λ λ ( + ) + Ο παροοµαστής επίσης είαι άθροισµα + όρω γεωµετρικής προόδου µε α και λ +. Άρα ο παροοµαστής είαι Π α ( λ ) + λ ( ) Εποµέως Κ + + ( )( ) + + ( )( ) ( ) 8. Α οι ρητοί αριθµοί α, β, γ είαι διαδοχικοί όροι γεωµετρικής προόδου δείξτε ότι η εξίσωση β α(4α γ) έχει ρίζες ρητούς αριθµούς. Προτειόµεη λύση β α(4α γ) β α(4α γ) 0 () 4β + 4α(4α γ) 4β + 6α 4αγ Όµως α, β, γ γ. Πρόοδος, άρα β α γ, οπότε 4αγ + 6α 4αγ 6α () β± 4 α β ± α Q αφού α, β ρητοί

9 9 9. Α S,S, S είαι τα αθροίσµατα τω,, όρω γεωµετρικής προόδου, δείξτε ότι S (S S ) (S S ). Προτειόµεη λύση Είαι S ( α λ ), S λ Αρκεί S (S S ) (S S ) α λ λ ( ), S α λ λ ( ) α( λ ) λ α( λ ) α( λ ) λ λ α( λ ) α( λ ) λ λ ( α ) λ λ α( λ ) α( λ ) α( λ ) α( λ ) λ λ ( α ) λ λ α λ α λ λ αλ αλ λ α ( λ )( λ λ ) ( λ ) α ( λ λ ) ( λ ) ( )( ) λ λ λ ( λ λ ) λ λ λ +λ λ λ +λ 4 4 η οποία είαι προφαής 0. Α οι αριθµοί α, β, γ είαι διαδοχικοί όροι γεωµετρικής προόδου, δείξτε ότι α β γ ( + + ) α +β +γ α β γ Προτειόµεη λύση α β γ β γ α γ α β ( + + ) + + α β γ α β γ (). Από υπόθεση είαι β α γ, ατικατάσταση στη () α β γ ( + + ) α β γ 4 αγγ β α αγ + + α +β +γ α β γ

10 0. Α οι αριθµοί α, β, είαι διαδοχικοί όροι αριθµητικής προόδου, δείξτε ότι γ β β οι αριθµοί α,, β γ είαι διαδοχικοί όροι γεωµετρικής προόδου. Προτειόµεη λύση α, β, γ αριθµητική πρόοδος β α + γ Αρκεί α αποδείξουµε β β β α γ β αβ βγ β 4 αγ αγ + 4 αβ γβ + β αγ α+γ που ισχύει β αγ α+γ. Α οι αριθµοί, y, ω αποτελού αριθµητική πρόοδο και οι αριθµοί, λy, ω γεωµετρική, δείξτε ότι οι αριθµοί,, αποτελού αριθµητική πρόοδο. λ y ω Προτειόµεη λύση, y, ω αριθµητική πρόοδος y + ω (), λy,ω γεωµετρική πρόοδος λ y ω () Αρκεί α αποδείξουµε λ y + ω λ y +ω ω λόγω τω () και () λ y y λ y λ y λ y που ισχύει Απαλλαγή από τα, ω

11 . Α οι αριθµοί α, β, γ, δ είαι διαδοχικοί όροι γεωµετρικής προόδου, δείξτε ότι (α + δ)(β + γ) (α + γ)(β + δ) (β γ) Προτειόµεη λύση Από τη υπόθεση είαι β αλ, γ αλ, δ αλ (α + δ)(β + γ) (α + γ)(β + δ) (β γ) Εκφράζουµε τους β, γ, δ συαρτήσει τω α, λ (α + αλ )( αλ + αλ ) (α + αλ )( αλ + αλ ) (αλ αλ ) α ( + α λ [( + + λ + λ ) αλ ( + λ) α ( + λ + λ ) ( + λ) ( + 4 λ λ λ λ ) αλ ( + λ ) [αλ ( λ)] λ ) ( + λ ) ] 4 λ λ ( λ + α λ ( λ + λ ) λ ) λ λ + λ λ λ + λ που ισχύει 4. Α οι αριθµοί α, β, γ, δ είαι διαδοχικοί όροι γεωµετρικής προόδου, δείξτε ότι (β γ) + (γ α) + (δ β) (α δ) Υπόδειξη : Άσκηση

12 5. Ο πληθυσµός µιας πόλης σήµερα είαι κάτοικοι και ελαττώεται κάθε χρόο κατά %. Α α είαι ο πληθυσµός της πόλης µετά χρόια i) Να βρείτε πόσος θα είαι ο πληθυσµός µετά από + χρόια ii) Να βρείτε πόσος θα είαι ο πληθυσµός µετά από 0 χρόια iii) Μετά από πόσα χρόια ο πληθυσµός θα είαι Προτειόµεη λύση i) Αφού α είαι ο πληθυσµός της πόλης µετά από χρόια, µετά από + χρόια θα είαι α + α 00 α α ( 0,0) 0,98α. Άρα η ακολουθία α του πληθυσµού είαι γεωµετρική πρόοδος µε λόγο λ 0,98 και πρώτο όρο α το πληθυσµό της πόλης στο τέλος της πρώτης χροιάς, που είαι α , , ii) Μετά από 0 χρόια ο πληθυσµός θα είαι α 0 α λ (0,98) iii) Έστω ότι ο πληθυσµός θα είαι σε µ χρόια. α µ α (0,98) µ (0,98) µ (0,98) µ 0, 677 Με κοµπιουτεράκι βρίσκουµε ότι περίπου.

13 6. Έα εργοστάσιο θέλει α οικιάσει µία αποθήκη για χρόια µε οίκι 5000 το χρόο. Έχει α επιλέξει µεταξύ τω προσφορώ : Α) Να πληρώει σταθερή ετήσια αύξηση 00 Β) Να πληρώει αύξηση στο οίκι 4% κάθε χρόο Για κάθε προσφορά : i) Να βρείτε το οίκι που θα πληρώσει το ο χρόο ii) Να βρείτε το οίκι που θα πληρώσει το -οστό χρόο συαρτήσει του iii) Να βρείτε το οίκι που θα πληρώσει για τα χρόια Ποια προσφορά συµφέρει καλύτερα ; ίεται ότι (,04) 0,48 Προτειόµεη λύση Α) προσφορά i) Έστω α 5000 είαι το οίκι του πρώτου χρόου Το δεύτερο χρόο θα πληρώσει α α ii) Οι τιµές του εοικίου κάθε έτος, σχηµατίζου αριθµητική πρόοδο µε πρώτο όρο α 5000 και διαφορά ω 00. Άρα το -οστό χρόο θα πληρώσει α α + ( )ω ( ) iii) Το συολικό οίκι που θα πληρώσει για τα χρόια είαι ίσο µε το S της παραπάω προόδου : S [ α + ( )ω] [ ] [ ] Β) προσφορά i) Έστω β 5000 το οίκι του πρώτου έτους. 4 Το δεύτερο χρόο θα πληρώσει β β + 00 β β (+ 0, 04), 04 β, ii) Οι τιµές του εοικίου κάθε έτος σχηµατίζου γεωµετρική πρόοδο µε πρώτο όρο β 5000 και λόγο λ,04. Άρα µετά από χρόια θα πληρώσει β β λ (,04) - iii) Το συολικό ποσό για τα χρόια είαι ίσο µε το Σ της προόδου :

14 4 Σ β λ λ (, 04) 5000,04 0 (, 04) (, 04) ,04,48 (,04) , ,54 0, ,54 0, , Όπως είαι φαερό συµφέρει η δεύτερη προσφορά.

15 5 7. Το άθροισµα τω πρώτω όρω µιας ακολουθίας α δίεται από το τύπο S ( ) για κάθε N i) Να βρείτε συαρτήσει του το S - ii) Να βρείτε το α συαρτήσει του iii) Να αποδείξετε ότι η ακολουθία είαι γεωµετρική πρόοδος της οποίας α βρείτε το α και το λόγο. Προτειόµεη λύση i) S - ( ) ( ) ii) S (α + α + α + + α - ) + α S S - + α α S S - α ( ) α + α α α iii) + α+ Είαι, άρα η ακολουθία α είαι γ.πρόοδος µε λόγο α και α S ( )

16 6 8. Το γιόµεο τω πρώτω όρω µίας ακολουθίας α δίεται από το τύπο P για κάθε N + i) Να βρείτε το Ρ - συαρτήσει του ii) Να βρείτε το -στο όρο της ακολουθίας συαρτήσει του iii) Να δείξτε ότι η ακολουθία είαι γεωµετρική πρόοδος, της οποίας α βρείτε το α και το λόγο λ. Προτειόµεη λύση i) Ρ - ( ) ( ) + για κάθε ii) P (α α α α - ) α P Ρ - α Ρ α Ρ α + + Εξάλλου α Ρ 9, άρα α - για κάθε N iii) ( + ) α+ α 9 Οπότε η ακολουθία (α ) είαι γεωµετρική πρόοδος µε α 9 και λόγο λ 9