Ανεξαρτησία Ανεξαρτησία για οικογένειες συνόλων και τυχαίες μεταβλητές

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Ανεξαρτησία Ανεξαρτησία για οικογένειες συνόλων και τυχαίες μεταβλητές"

Transcript

1 10 Ανεξαρτησία 10.1 Ανεξαρτησία για οικογένειες συνόλων και τυχαίες μεταβλητές Στην παράγραφο αυτή δουλεύουμε σε χώρο πιθανότητας (Ω, F, P). Δίνουμε καταρχάς τον ορισμό της ανεξαρτησίας για ενδεχόμενα, σύνολα ενδεχομένων, και τυχαίες μεταβλητές. Ορισμός Εστω (A i ) στοιχεία της F. Τα (A i ) λέγονται ανεξάρτητα αν για κάθε J I πεπερασμένο ισχύει ότι P ( i J A i ) = P(A i ). (10.1) Η τομή και το γινόμενο στην τελευταία ισότητα έχουν πεπερασμένο πλήθος όρων. Ορισμός Εστω (F i ) οικογένεια υποσυνόλων της F (δηλαδή F i F για κάθε i I). Η οικογένεια (F i ) λέγεται ανεξάρτητη αν για κάθε J I πεπερασμένο και A i F i για κάθε i J ισχύει η (10.1). Λέμε επίσης ότι τα (F i ) είναι ανεξάρτητα. Ορισμός Εστω {(E i, E i ) : i I} μετρήσιμοι χώροι και (X i ) οικογένεια τυχαίων μεταβλητών με X i : Ω E i για κάθε i I. Οι (X i ) λέγονται ανεξάρτητες αν η οικογένεια των σ-αλγεβρών (σ(x i )), που είναι υποσύνολα της F, είναι ανεξάρτητη. i J Παρατήρηση Ο Ορισμός 10.3, σύμφωνα με τον Ορισμό 10.2, απαιτεί P(X i1 A i1, X i2 A i2,..., X in A in ) = P(X i1 A i1 ) P(X i2 A i2 ) P(X in A in ) (10.2) για κάθε n 2, κάθε επιλογή δεικτών i 1, i 2,..., i n I, και κάθε A i1 E i1,..., A in E in, αφού κάθε στοιχείο μιας σ(x i ) είναι της μορφής Xi 1 (A i ) = {X i A i } με A i E i. Το ενδεχόμενο στο αριστερό μέλος της (10.2) είναι συντομογραφία του ενδεχομένου Xi 1 1 (A i1 ) Xi 1 2 (A i2 ) Xi 1 n (A in ). Σύμβαση: Στο εξής, όποτε λέμε ότι κάποιες τυχαίες μεταβλητές είναι ανεξάρτητες, θα εννοείται ότι ορίζονται στον ίδιο χώρο πιθανότητας, δηλαδή έχουν το ίδιο πεδίο ορισμού. Αυτό εξασφαλίζει ότι το ενδεχόμενο Xi 1 1 (A i1 ) Xi 1 2 (A i2 ) Xi 1 n (A in ) στο αριστερό μέλος της (10.2) είναι στοιχείο της F, που είναι το πεδίο ορισμού της P. Παράδειγμα 10.5 (Δυό ανεξάρτητες τυχαίες μεταβλητές). Θεωρούμε το πείραμα δύο ρίψεων ενός νομίσματος που φέρνει κορώνα με πιθανότητα p. Το σύνηθες μέτρο που μοντελοποιεί το πείραμα είναι τέτοιο ώστε τα αποτελέσματα των δύο ρίψεων να είναι ανεξάρτητες τυχαίες μεταβλητές. Πιο συγκεκριμένα, ο δειγματικός μας χώρος είναι ο Ω = {K, Γ} {K, Γ} και σ-άλγεβρα η F = P(A). Για ω Ω θέτουμε p(1 p) αν ω = (K, Γ) ή (Γ, K), p ω = p 2 αν ω = (K, K), (1 p) 2 αν ω = (Γ, Γ). 58

2 10.1 Ανεξαρτησία για οικογένειες συνόλων και τυχαίες μεταβλητές 59 Εστω P το μοναδικό μέτρο πιθανότητας στην F με P(ω) = p ω. Εστω E = {K, Γ} και E = P(E). Θεωρούμε τις τυχαίες μεταβλητές X, Y : Ω E, με X ( (x, y) ) = x και Y ( (x, y) ) = y. Δηλαδή, η X είναι η ένδειξη της πρώτης ρίψης και η Y η ένδειξη της δεύτερης. Ισχυρισμος: Οι X, Y είναι ανεξάρτητες. Θα δείξουμε ότι για κάθε A, B E ισχύει Αν A = ή B =, η (10.3) ισχύει. P(X A, Y B) = P(X A) P(Y B). (10.3) Αν A = {K, Γ}, τότε {X A, Y B} = {Y B}, και P(X A) = 1. Αρα η (10.3) πάλι ισχύει. Αν B = {K, Γ}, η (10.3) αποδεικνύεται όμοια. Τέλος, μένουν οι περιπτώσεις που τα A, B είναι μονοσύνολα. Για παράδειγμα, αν A = {K} και B = {Γ}, έχουμε Ομως P(X = K, Y = Γ) = P(X 1 ({K}) Y 1 ({Γ})) = P({(K, Γ), (K, K)} {(K, Γ), (Γ, Γ)}) = P({K, Γ}) = p(1 p). P(X = K) = P({(K, Γ), (K, K)}) = p(1 p) + pp = p P(Y = Γ) = P({(K, Γ), (Γ, Γ)}) = p(1 p) + (1 p) 2 = 1 p, που το γινόμενό τους είναι p(1 p) = P(X = K, Y = Γ), και έτσι η (10.3) ισχύει πάλι. Ομοια αποδεικνύονται και οι υπόλοιπες περιπτώσεις όπου τα A, B είναι μονοσύνολα. Το επόμενο θεώρημα διευκολύνει τον έλεγχο ανεξαρτησίας δύο τυχαίων μεταβλητών. Θεώρημα Εστω (E, E), (G, G) μετρήσιμοι χώροι και X : Ω E, Y : Ω G τυχαίες μεταβλητές. Θεωρούμε τη σχέση P(X A, Y B) = P(X A) P(Y B). ( ) Τα εξής είναι ισοδύναμα: (i) Οι X, Y είναι ανεξάρτητες. (ii) Η ( ) ισχύει για κάθε A E και B G. (iii) Η ( ) ισχύει για κάθε A C, B D, όπου C, D οικογένειες κλειστές στις πεπερασμένες τομές με σ(c) = E, σ(d) = G. Σημαντική είναι η ισοδυναμία των (i) και (iii). Δηλαδή αρκεί να ελέγξουμε την ( ) για λιγότερα σύνολα από ότι απαιτεί η (ii) ώστε να διαπιστώσουμε την ανεξαρτησία των X, Y. Απόδειξη. Η (ii) είναι αναδιατύπωση του ορισμού της ανεξαρτησίας και προφανώς συνεπάγεται την (iii). Μένει να δείξουμε ότι η (iii) συνεπάγεται την (ii). Εστω A C και D 1 (A) := {B G : η ( ) ισχύει για τα A, B}. Εχουμε ότι D D 1 (A) από υπόθεση και η D 1 (A) είναι κλάση Dynkin (Ασκηση 3.1). Αρα δ(d) D 1 (A). Επειδή η D είναι κλειστή στις πεπερασμένες τομές, το θεώρημα π-λ δίνει ότι σ(d) = δ(d). Αρα σ(d) D 1 (A), δηλαδή η ( ) ισχύει για κάθε A C και B G. Τώρα για B G θέτουμε D 2 (B) := {A E : η ( ) ισχύει για τα A, B}. Ομοια, όπως με το D 1 (A), δείχνουμε ότι D 2 (B) = E, και έτσι αποδείχθηκε η (ii).

3 60 Ανεξαρτησία Στις στοιχειώδεις πιθανότητες μαθαίνουμε (χωρίς απόδειξη) ότι δύο τυχαίες μεταβλητές X, Y είναι ανεξάρτητες αν και μόνο αν η από κοινού συνάρτηση κατανομή τους, F X,Y, γράφεται ως F X,Y (x, y) = F X (y)f Y (y) για κάθε x, y R. Τώρα είμαστε σε θέση να το αποδείξουμε. Πόρισμα Εστω X, Y : Ω R τυχαίες μεταβλητές. Τότε οι X, Y είναι ανεξάρτητες αν και μόνο αν για κάθε x, y R. P(X x, Y y) = P(X x) P(Y y) Απόδειξη. Προκύπτει από το Θεώρημα 10.6 αν πάρουμε C = D = {(, a] : a R}. Θεώρημα Εστω X, Y : Ω [, ] ανεξάρτητες τυχαίες μεταβλητές μη αρνητικές ή με E X, E Y <. Τότε E(XY) = E(X) E(Y). Απόδειξη. Το σχέδιο της απόδειξης είναι να δείξουμε κάτι φαινομενικά ισχυρότερο. Δηλαδή το εξής. Ισχυρισμος: E{ f (X)g(Y)} = E( f (X)) E(g(Y)) (10.4) για κάθε f : [, ] [, ], g : [, ] [, ] μετρήσιμες που είναι μη αρνητικές ή ικανοποιούν E f (X), E g(y) <. Θα δείξουμε την (10.4) σταδιακά με τον γνωστό τρόπο (Τυπική Μηχανή). Βήμα 1. Αν f = 1 A και g = 1 B, όπου A, B B([, ]), έχουμε ότι E( f (X)g(Y)) = E(1 X A 1 Y B ) = E(1 {X A} {Y B} ) = P(X A, Y B) = P(X A) P(Y B) = E(1 X A ) E(1 Y B ). Η τέταρτη ισότητα ισχύει γιατί οι X, Y είναι ανεξάρτητες. Και έτσι προκύπτει η (10.4) για τις συγκεκριμένες f, g. Βήμα 2. Αν f, g 0 απλές μετρήσιμες, έστω f = m a i 1 Ai, g = σε κανονική μορφή, όπου A i, B j B([, ]), τότε i=1 E( f (X)g(Y)) = E ( m i=1 n b j 1 B j, j=1 n a i b j 1 Ai (X)1 B j (Y) ). Και λόγω γραμμικότητας και του προηγούμενου βήματος, η τελευταία μέση τιμή ισούται με m i=1 j=1 n a i b j E(1 Ai (X)) E(1 B j (Y)) = E( f (X)) E(g(Y)). j=1 Βήμα 3. Αν f, g 0 μετρήσιμες, τότε υπάρχουν αύξουσες ακολουθίες (r n ) n N και (s n ) n N μη αρνητικών απλών συναρτήσεων έτσι ώστε lim r n = f, lim s n = g. n n Συνεπώς, από τα προηγούμενα έχουμε ότι E(r n (X)s n (Y)) = E(r n (X)) E(s n (Y)) για κάθε n N. Επειδή οι ακολουθίες (r n ) n N και (s n ) n N είναι αύξουσες, για n, από το θεώρημα μονότονης σύγκλισης έχουμε ότι E( f (X)g(Y)) = E( f (X)) E(g(Y)).

4 Δηλαδή η (10.4) ισχύει για τις f, g. Βήμα 4. Αν οι f, g είναι μετρήσιμες με E f (X), E g(y) <, έχουμε E{ f (X)g(Y)} = E{( f + (X) f (X))(g + (Y) g (Y))} 10.2 Ανεξαρτησία και ομαδοποίηση 61 = E{ f + (X)g + (Y)} E{ f + (X)g (Y)} E{ f (X)g + (Y)} + E{ f (X)g (Y)} = E( f + (X)) E(g + (Y)) E( f + (X)) E(g (Y)) E( f (X)) E(g + (Y)) + E( f (X)) E(g (Y)) = E( f (X)) E(g(Y)). Στην τρίτη ισότητα χρησιμοποιήσαμε το ότι η (10.4) ισχύει για μη αρνητικές μετρήσιμες. Επίσης στον τελευταίο υπολογισμό δεν εμφανίζεται πουθενά κάποια απροσδιόριστη μορφή γιατί οι f, g ικανοποιούν E f (X), E g(y) <. Ετσι ο ισχυρισμός αποδείχθηκε. Επιστρέφουμε τώρα στην απόδειξη του θεωρήματος. Αν X, Y 0, εφαρμόζουμε τον ισχυρισμό για x αν x [0, ], f (x) = g(x) = 0 αν x [, 0). Στην περίπτωση που E X, E Y <, εφαρμόζουμε τον ισχυρισμό για f (x) = g(x) = x για κάθε x [, ]. Παρατήρηση Ανάλογα των Θεωρημάτων 10.6, 10.8 ισχύουν αν αντί δύο έχουμε περισσότερες ανεξάρτητες τυχαίες μεταβλητές, έστω X 1, X 2,..., X n. Για παράδειγμα, η αντίστοιχη της (10.4) είναι η E{ f 1 (X 1 ) f 2 (X 2 ) f n (X n )} = E{ f 1 (X 1 )} E{ f 2 (X 2 )} E{ f n (X n )} με τις f 1, f 2,..., f n μετρήσιμες και μη αρνητικές ή με E f k (X k ) < για κάθε k. Η απόδειξη των αντίστοιχων αυτών ισχυρισμών γίνεται με επαγωγή. Υπενθυμίζουμε εδώ ότι για (X k ) 1 k n τυχαίες μεταβλητές στον ίδιο χώρο πιθανότητας, με πραγματικές τιμές και με E(Xk 2 ) < για κάθε k {1, 2,..., n}, ισχύει Var(X 1 + X X n ) = Var(X 1 ) + + Var(X n ) + 2 Cov(X i, X j ). (10.5) 1 i< j n Η απόδειξη γίνεται όπως ακριβώς την έχουμε δει στις στοιχειώδεις πιθανότητες. Οταν οι (X k ) 1 k n είναι ανεξάρτητες, το προηγούμενο θεώρημα δίνει ότι όλες οι συνδιακυμάνσεις είναι 0, οπότε Var(X 1 + X X n ) = Var(X 1 ) + + Var(X n ). (10.6) 10.2 Ανεξαρτησία και ομαδοποίηση Αν οι τυχαίες μεταβλητές X, Y, Z, V, W είναι ανεξάρτητες μεταξύ τους, περιμένουμε και οι X +Y, Z 2 W, V να είναι ανεξάρτητες εφόσον χρησιμοποιούν διαφορετικά ανεξάρτητα συστατικά. Θα διατυπώσουμε ένα θεώρημα που δίνει αποτελέσματα αυτής της μορφής. Προηγουμένως, διατυπώνουμε το αντίστοιχο αποτέλεσμα για οικογένειες συνόλων. Η απόξειξή του δίνεται στο Παράρτημα Βʹ. Θεώρημα Εστω (F i ) ανεξάρτητη οικογένεια υποσυνόλων της F και {I j : j J} διαμέριση 1 του συνόλου δεικτών I. Για κάθε j J θεωρούμε τη σ-άλγεβρα Οι (G j ) j J είναι ανεξάρτητες. G j := σ ( j F i ). 1 Δηλαδή τα I j ( j J), είναι μη κενά, ξένα ανα δύο, και έχουν ένωση το I.

5 62 Ανεξαρτησία Και το αποτέλεσμα που αφορά τυχαίες μεταβλητές είναι το εξής. Θεώρημα Εστω (X i ) ανεξάρτητες τυχαίες μεταβλητές, {I j : j J} διαμέριση του συνόλου δεικτών I, και για κάθε j J, μετρήσιμη συνάρτηση f j : R I j R. Για κάθε j J θεωρούμε τη συνάρτηση Y j := f j ((X i ) j ) : Ω R. Οι (Y j ) j J είναι ανεξάρτητες τυχαίες μεταβλητές. Για αυτό το θεώρημα, σε πρώτη ανάγνωση καλό είναι να υποθέσει κανείς ότι τα σύνολα I, I j είναι πεπερασμένα και επομένως οι συναρτήσεις f j ορίζονται σε χώρους της μορφής R d. Σε όλες τις περιπτώσεις θεωρούμε ότι ο R I j είναι εφοδιασμένος με τη σ-άλγεβρα γινόμενο j B(R) (όλοι οι όροι του γινομένου είναι ίδιοι). Η απόξειξη και αυτού του θεωρήματος δίνεται στο Παράρτημα Βʹ. Εφαρμόζοντάς το έχουμε, για παράδειγμα, ότι αν οι τυχαίες μεταβλητές (X n ) n 1 είναι ανεξάρτητες, τότε και οι (Y n ) n 1 με Y n := 2 n+1 i=2 n +1 X i για κάθε n 1 είναι ανεξάρτητες. Ομοια, είναι ανεξάρτητα και τα σύνολα {X 2n + X 2n+1 > 0}, n Ανεξαρτησία=Μέτρο γινόμενο Πρόταση Εστω X := (X 1, X 2,..., X n ) τυχαία μεταβλητή με τιμές στον R n. Τότε οι X 1, X 2,..., X n είναι ανεξάρτητες αν και μόνο αν P X = P X 1 P X 2... P X n. Απόδειξη. Η τιμή του μέτρου P X σε έναν μετρήσιμο κύλινδρο A := A 1 A 2 A n του R n είναι P X (A) = P(X 1 A 1,, X n A n ) = P(X 1 A 1 ) P(X 2 A 2 ) P(X n A n ) = P X 1 (A 1 ) P X 2 (A 2 ) P X n (A n ). Στη δεύτερη ισότητα χρησιμοποιήσαμε την ανεξαρτησία των X 1,..., X n. Ομως το P X 1 P X 2... P X n είναι το μοναδικό μέτρο που παίρνει την τιμή P X 1 (A 1 ) P X 2 (A 2 ) P X n (A n ) στο A. Η ζητούμενη ισότητα έπεται. Ελέγχουμε τη σχέση (10.2). Εστω A 1, A 2,..., A n B(R). Τότε P(X 1 A 1,, X n A n ) = P X 1 P X 2... P X n (A 1 A 2 A n ) = P X 1 (A 1 ) P X 2 (A 2 ) P X n (A n ) = P(X 1 A 1 ) P(X 2 A 2 ) P(X n A n ). Στην πρώτη ισότητα χρησιμοποιήσαμε την υπόθεση και στη δεύτερη τον ορισμό του μέτρου γινομένου. Η προηγούμενη πρόταση σε συνδυασμό με τα θεωρήματα Tonelli και Fubini μας δίνει τον πιο συνηθισμένο τρόπο υπολογισμού της μέσης τιμής ποσοτήτων που είναι συναρτήσεις ανεξάρτητων τυχαίων μεταβλητών. Ο τρόπος αυτός φαίνεται στο επόμενο παράδειγμα. Παράδειγμα Εστω X, Y ανεξάρτητες τυχαίες μεταβλητές ώστε X Exp(2) και Y U(0, 1). Θα υπολογίσουμε τη μέση τιμή E(e XY ). Από την Πρόταση και το Θεώρημα Tonelli έχουμε ότι E(e XY ) = e xy d P X (x) d P Y (y) = g(y) d P Y (y) = E(g(Y)) όπου g(y) = e xy d P X (x) = E(e Xy ). Αυτό σημαίνει ότι βρίσκουμε τη μέση τιμή σε δύο βήματα. Πρώτα σταθεροποιούμε την τυχαία μεταβλητή Y και παίρνουμε μέση τιμή μόνο ως προς την X. Το αποτέλεσμα είναι η τυχαία μεταβλητή g(y). Επειτα παίρνουμε τη μέση τιμή της g(y). Οι υπολογισμοί έχουν ως εξής: g(y) = E(e Xy ) = 2 2 y

6 και έπειτα 10.4 Κατασκευή ανεξάρτητων τυχαίων μεταβλητών με δεδομένη κατανομή 63 E{g(Y)} = 1 0 g(y) dy = 2 log 2. Βέβαια θα μπορούσαμε να κάνουμε την ολοκλήρωση με άλλη σειρά. Δηλαδή να πάρουμε πρώτα μέση τιμή ως προς Y (με το X σταθερό) και μετά ως προς X Κατασκευή ανεξάρτητων τυχαίων μεταβλητών με δεδομένη κατανομή Υπάρχουν ανεξάρτητες τυχαίες μεταβλητές; Πώς μπορούμε να κατασκευάσουμε τέτοιες και βέβαια τον χώρο πιθανότητας στον οποίο αυτές ορίζονται; Τη λύση σε αυτά τα προβλήματα δίνουν οι χώροι γινόμενο, τους οποίους είδαμε στην Παράγραφο Σε αυτή την παράγραφο θα τους χρησιμοποιήσουμε για να κατασκευάσουμε ανεξάρτητες τυχαίες μεταβλητές με επιθυμητές ιδιότητες. Υπενθυμίζουμε ότι αν (E, E) είναι μετρήσιμος χώρος και X : Ω E τυχαία μεταβλητή, κατανομή της X λέμε το μέτρο πιθανότητας P X που ορίζεται στον (E, E) με P X (A) = P(X 1 (A)) για κάθε A E. Εστω I σύνολο δεικτών και (E i, E i, P i ) οικογένεια χώρων πιθανότητας. Θέλουμε να κατασκευάσουμε έναν χώρο πιθανότητας (Ω, F, P) και τυχαίες μεταβλητές X i : Ω E i έτσι ώστε (α) Η κατανομή της X i να είναι η P i για κάθε i I. (β) Η (X i ) να είναι οικογένεια ανεξάρτητων τυχαίων μεταβλητών. Το να κάνουμε ένα από τα (α) ή (β) είναι εύκολο. Αυτό που είναι μη τετριμμένο είναι να κάνουμε και τα δύο μαζί. Και το κατορθώνουμε με χρήση του χώρου γινομένου ως εξής. Εστω Ω = E i, F = E i, και P το μέτρο γινόμενο των P i, i I. Για κάθε r I ορίζουμε X r : Ω E r ως X r ( (ωi ) ) = ωr, δηλαδή η X r είναι η προβολή στην r-συντεταγμένη. Εύκολα βλέπουμε ότι η X r είναι τυχαία μεταβλητή γιατί για A E r έχουμε Xr 1 Ω αν i r, (A) = A i, με A i = A αν i = r. Αρα Xr 1 (A) F ως μετρήσιμος κύλινδρος. Θα δείξουμε τώρα ότι πράγματι αυτή η κατασκευή ικανοποιεί τις απαιτήσεις του προβλήματος. Πρόταση Εστω (Ω, F, P), (E i, E i, P i ) όπως πριν και X r : Ω E r, r I, η r-προβολή. Τότε (i) Η X r έχει κατανομή P r. (ii) Οι (X r ) r I είναι ανεξάρτητες. Απόδειξη. (i) Εστω A E r. Εχουμε, P X r (A) = P(X 1 r (A)) = P ( ) A i = P i (A i ) = P r (A), γράφοντας το X 1 r (A) ως μετρήσιμο κύλινδρο όπως προηγουμένως. Αρα, P X r = P r. (ii) Εστω J = { j 1, j 2,..., j n } I, και B j1 E j1, B j2 E j2,..., B jn E jn. Τότε P({X j1 B j1 } {X j2 B j2 } {X jn B jn }) = P ( ) A i,

7 64 Ανεξαρτησία όπου Ω i αν i I\J, A i = B i, αν i J. Από τον ορισμό του P έχουμε ότι P ( ) A i = P(A i ) = P(A i ) = P j1 (B j1 ) P j2 (B j2 )... P jn (B jn ) i J = P(X j1 B j1 ) P(X j2 B j2 ) P(X jn B jn ). Συνεπώς οι {X r : r I} είναι ανεξάρτητες. Μια συνέπεια της Πρότασης είναι ότι για δεδομένη κατανομή Q σε έναν μετρήσιμο χώρο (E, E) και σύνολο I υπάρχει σύνολο ανεξάρτητων και ισόνομων τυχαίων μεταβλητών (X i ) που καθεμία έχει κατανομή Q. Ασκήσεις Στις ασκήσεις πιο κάτω, εκτός αν δηλώνεται διαφορετικά, οι τυχαίες μεταβλητές που εμφανίζονται παίρνουν τιμές στο R Εστω F 1, F 2 F σ-άλγεβρες στον (Ω, F, P). Αν για κάθε A F 1 ισχύει ότι P(A) = 0 ή P(A) = 1, να δείξετε ότι οι F 1, F 2 είναι ανεξάρτητες Εστω X, Y όπως στη διατύπωση του Θεωρήματος Να δειχθεί ότι τα εξής είναι ισοδύναμα: (α) Οι X, Y είναι ανεξάρτητες. (β) Οι f (X), g(y) είναι ανεξάρτητες για κάθε f : E R, g : G R μετρήσιμες Εστω X, Y ανεξάρτητες τυχαίες μεταβλητές ώστε P(X = Y) = 1. Να δειχθεί ότι υπάρχει c R ώστε P(X = c) = 1, δηλαδή με πιθανότητα 1 η X είναι σταθερή τυχαία μεταβλητή Εστω X, Y ανεξάρτητες ισόνομες τυχαίες μεταβλητές με πεπερασμένη δεύτερη ροπή (δηλαδή E(X 2 ), E(Y 2 ) < ) και διασπορά σ 2. Να δειχθεί ότι E{(X Y) 2 /2} = σ Εστω X, Y τυχαίες μεταβλητές με πεπερασμένη δεύτερη ροπή ώστε οι X, X Y να είναι ανεξάρτητες αλλά και οι Y, X Y να είναι ανεξάρτητες. Να δειχθεί ότι υπάρχει c R ώστε P(X Y = c) = 1. [Υπόδειξη: Y = X (X Y).] 10.6 Εστω X, Y ανεξάρτητες τυχαίες μεταβλητές με E X + Y <. Να δειχθεί ότι E X < και E Y <. 10.7* Εστω X τυχαία μεταβλητή και f, g : R R αύξουσες συναρτήσεις. Υποθέτουμε ότι οι μέσες τιμές E{ f (X)g(X)}, E{ f (X)}, E{g(X)} ορίζονται και είναι πραγματικοί αριθμοί. Να δειχθεί ότι E{ f (X)g(X)} E{ f (X)} E{g(X)}. Αυτή είναι ειδική περίπτωση της ανισότητας FKG (Fortuin-Kasteleyn-Ginibre. 1971) Εστω X 1, X 2,..., X n ανεξάρτητες τυχαίες μεταβλητές με X i exp(a i ) για κάθε i = 1, 2,..., n όπου a 1, a 2,..., a n (0, ) είναι σταθερές. Ποια η κατανομή της m := min{x 1, X 2,..., X n }; 10.9 Εστω (X n ) n N ακολουθία ανεξάρτητων και ισόνομων τυχαίων μεταβλητών έτσι ώστε E(X 1 ) = 0, E(X 2 1 ) = 1, E(X 4 1 ) = c <. Θέτουμε S n = n k=1 X k για κάθε n 1. Να δείξετε ότι (α) E(S 2 n) = n. (β) E(S 4 n) = nc + 3n(n 1). (γ) S P n n 0 καθώς n. [Υποδειξη για το (γ): Χρησιμοποιήστε την ανισότητα Markov και το (α).]

8 10.4 Κατασκευή ανεξάρτητων τυχαίων μεταβλητών με δεδομένη κατανομή Εστω (X n ) n 1 ακολουθία ανεξάρτητων και ισόνομων τυχαίων μεταβλητών καθεμία με κατανομή την ομοιόμορφη στο (0, 1). Για κάθε n 1 θεωρούμε τις τυχαίες μεταβλητές m n = min{x 1, X 2,..., X n }, M n = max{x 1, X 2,..., X n }. Να δειχθεί ότι m n 0 και M n 1 κατά πιθανότητα καθώς n Για κάθε πίνακα A C n n, η ορίζουσα του και η permanent του ορίζονται από τους τύπους det(a) := sgn(π)a 1,π(1) a 2,π(2) a n,π(n), (10.7) π S n per(a) := a 1,π(1) a 2,π(2) a n,π(n). (10.8) π S n S n είναι το σύνολο των μεταθέσεων στο {1, 2,..., n} και sgn(π) είναι το πρόσημο της μετάθεσης π (1 για άρτια μετάθεση και 1 για περιττή). Εστω A = (a i, j ) 1 i, j n C n δεδομένος πίνακας. Θεωρούμε ανεξάρτητες τυχαίες μεταβλητές {u i, j : 1 i, j n} με τιμές στο R ώστε καθεμία έχει μέση τιμή 0 και διασπορά 1. Ορίζουμε τον πίνακα B = (u i, j ai, j ) 1 i, j n όπου a i, j είναι μία τετραγωνική ρίζα του a i, j. Να δειχθεί ότι E(det(B 2 )) = per(a).

Ανεξαρτησία Ανεξαρτησία για οικογένειες συνόλων και τυχαίες μεταβλητές

Ανεξαρτησία Ανεξαρτησία για οικογένειες συνόλων και τυχαίες μεταβλητές 10 Ανεξαρτησία 10.1 Ανεξαρτησία για οικογένειες συνόλων και τυχαίες μεταβλητές Στην παράγραφο αυτή δουλεύουμε σε χώρο πιθανότητας (Ω, F, P). Δίνουμε καταρχάς τον ορισμό της ανεξαρτησίας για ενδεχόμενα,

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγικά. 1.1 Η σ-αλγεβρα ως πληροφορία

Εισαγωγικά. 1.1 Η σ-αλγεβρα ως πληροφορία 1 Εισαγωγικά 1.1 Η σ-αλγεβρα ως πληροφορία Στη θεωρία μέτρου, όταν δουλεύει κανείς σε έναν χώρο X, συνήθως έχει διαλέξει μια αρκετά μεγάλη σ-άλγεβρα στον X έτσι ώστε όλα τα σύνολα που εμφανίζονται να ανήκουν

Διαβάστε περισσότερα

Ανεξαρτησία Ανεξαρτησία για οικογένειες συνόλων και τυχαίες μεταβλητές

Ανεξαρτησία Ανεξαρτησία για οικογένειες συνόλων και τυχαίες μεταβλητές 10 Ανεξαρτησία 10.1 Ανεξαρτησία για οικογένειες συνόλων και τυχαίες μεταβλητές Στην παράγραφο αυτή δουλεύουμε σε χώρο πιθανότητας (Ω, F, P). Δίνουμε καταρχάς τον ορισμό της ανεξαρτησίας για ενδεχόμενα,

Διαβάστε περισσότερα

5.1 Μετρήσιμες συναρτήσεις

5.1 Μετρήσιμες συναρτήσεις 5 Μετρήσιμες συναρτήσεις 5.1 Μετρήσιμες συναρτήσεις Ορισμός 5.1. Εστω (Ω, F ), (E, E) μετρήσιμοι χώροι. Μια συνάρτηση f : Ω E λέγεται F /Eμετρήσιμη αν f 1 (A) F για κάθε A E. (5.1) Συμβολίζουμε το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

Παντού σε αυτό το κεφάλαιο, αν δεν αναφέρεται κάτι διαφορετικό, δουλεύουμε σε ένα χώρο πιθανότητας (Ω, F, P) και η G F είναι μια σ-άλγεβρα.

Παντού σε αυτό το κεφάλαιο, αν δεν αναφέρεται κάτι διαφορετικό, δουλεύουμε σε ένα χώρο πιθανότητας (Ω, F, P) και η G F είναι μια σ-άλγεβρα. 2 Δεσμευμένη μέση τιμή 2.1 Ορισμός Παντού σε αυτό το κεφάλαιο, αν δεν αναφέρεται κάτι διαφορετικό, δουλεύουμε σε ένα χώρο πιθανότητας (Ω, F, P) και η G F είναι μια σ-άλγεβρα. Ορισμός 2.1. Για X : Ω R τυχαία

Διαβάστε περισσότερα

Εστω X σύνολο και A μια σ-άλγεβρα στο X. Ονομάζουμε το ζεύγος (X, A) μετρήσιμο χώρο.

Εστω X σύνολο και A μια σ-άλγεβρα στο X. Ονομάζουμε το ζεύγος (X, A) μετρήσιμο χώρο. 2 Μέτρα 2.1 Μέτρα σε μετρήσιμο χώρο Εστω X σύνολο και A μια σ-άλγεβρα στο X. Ονομάζουμε το ζεύγος (X, A) μετρήσιμο χώρο. Ορισμός 2.1. Μέτρο στον (X, A) λέμε κάθε συνάρτηση µ : A [0, ] που ικανοποιεί τις

Διαβάστε περισσότερα

Αναλυτικές ιδιότητες

Αναλυτικές ιδιότητες 8 Αναλυτικές ιδιότητες 8. Βαθμός συνέχειας* Ξέρουμε ότι η κίνηση Brown είναι συνεχής και θα δείξουμε αργότερα ότι είναι πουθενά διαφορίσιμη. Πόσο ομαλή είναι λοιπόν; Μια ασθενέστερη μορφή ομαλότητας είναι

Διαβάστε περισσότερα

Ανελίξεις σε συνεχή χρόνο

Ανελίξεις σε συνεχή χρόνο 4 Ανελίξεις σε συνεχή χρόνο Σε αυτό το κεφάλαιο είναι συγκεντρωμένοι ορισμοί και αποτελέσματα από τη θεωρία των στοχαστικών ανελιξεων συνεχούς χρόνου. Με εξαίρεση την Παράγραφο 4.1, η οποία είναι εντελώς

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμογές στην κίνηση Brown

Εφαρμογές στην κίνηση Brown 13 Εφαρμογές στην κίνηση Brown Σε αυτό το κεφάλαιο θέλουμε να κάνουμε για την πολυδιάστατη κίνηση Brown κάτι ανάλογο με αυτό που κάναμε στην Παράγραφο 7.2 για τη μονοδιάστατη κίνηση Brown. Δηλαδή να μελετήσουμε

Διαβάστε περισσότερα

Ο Ισχυρός Νόμος των Μεγάλων Αριθμών

Ο Ισχυρός Νόμος των Μεγάλων Αριθμών 1 Ο Ισχυρός Νόμος των Μεγάλων Αριθμών Στο κεφάλαιο αυτό παρουσιάζουμε ένα από τα σημαντικότερα αποτελέσματα της Θεωρίας Πιθανοτήτων, τον ισχυρό νόμο των μεγάλων αριθμών. Η διατύπωση που θα αποδείξουμε

Διαβάστε περισσότερα

Αποδεικτικές Διαδικασίες και Μαθηματική Επαγωγή.

Αποδεικτικές Διαδικασίες και Μαθηματική Επαγωγή. Αποδεικτικές Διαδικασίες και Μαθηματική Επαγωγή. Mαθηματικό σύστημα Ένα μαθηματικό σύστημα αποτελείται από αξιώματα, ορισμούς, μη καθορισμένες έννοιες και θεωρήματα. Η Ευκλείδειος γεωμετρία αποτελεί ένα

Διαβάστε περισσότερα

Martingales. 3.1 Ορισμός και παραδείγματα

Martingales. 3.1 Ορισμός και παραδείγματα 3 Martingales 3.1 Ορισμός και παραδείγματα Εστω χώρος πιθανότητας (Ω, F, P). Διήθηση σε αυτό τον χώρο λέμε μια αύξουσα ακολουθία (F n ) n 0 σ-αλγεβρών, η καθεμία από τις οποίες είναι υποσύνολο της F. Δηλαδή,

Διαβάστε περισσότερα

Επίλυση ειδικών μορφών ΣΔΕ

Επίλυση ειδικών μορφών ΣΔΕ 15 Επίλυση ειδικών μορφών ΣΔΕ Σε αυτό το κεφάλαιο θα δούμε κάποιες ειδικές μορφές ΣΔΕ για τις οποίες υπάρχει μέθοδος επίλυσης. Περισσότερες μπορεί να δει κανείς στο Kloeden and Plaen (199), 4.-4.4. Θα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟN ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΟ ΛΟΓΙΣΜΟ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟN ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΟ ΛΟΓΙΣΜΟ Δημήτρης Χελιώτης ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟN ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΟ ΛΟΓΙΣΜΟ B τ u(x):=e x {f(b τ ) u(x) = } x ii ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΧΕΛΙΩΤΗΣ Επίκουρος καθηγητής Τμήμα Μαθηματικών Εθνικό και Καποδιστριακό Πανεπιστήμιο Αθηνων Εισαγωγή στον

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟN ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΟ ΛΟΓΙΣΜΟ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟN ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΟ ΛΟΓΙΣΜΟ Δημήτρης Χελιώτης ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟN ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΟ ΛΟΓΙΣΜΟ B τ u(x):=e x {f(b τ ) u(x) = } x ii ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΧΕΛΙΩΤΗΣ Επίκουρος καθηγητής Τμήμα Μαθηματικών Εθνικό και Καποδιστριακό Πανεπιστήμιο Αθηνων Εισαγωγή στον

Διαβάστε περισσότερα

Κατασκευή της κίνησης Brown και απλές ιδιότητες

Κατασκευή της κίνησης Brown και απλές ιδιότητες 5 Κατασκευή της κίνησης Brown και απλές ιδιότητες 51 Ορισμός, ύπαρξη, και μοναδικότητα Ορισμός 51 Μια στοχαστική ανέλιξη { : t } ορισμένη σε έναν χώρο πιθανότητας (Ω, F, P) και με τιμές στο R λέγεται (μονοδιάστατη)

Διαβάστε περισσότερα

Μεγάλες αποκλίσεις* 17.1 Η έννοια της μεγάλης απόκλισης

Μεγάλες αποκλίσεις* 17.1 Η έννοια της μεγάλης απόκλισης 7 Μεγάλες αποκλίσεις* 7. Η έννοια της μεγάλης απόκλισης Εστω (X ) ανεξάρτητες και ισόνομες τυχαίες μεταβλητές ώστε P(X = ) = P(X = ) = /2 και S = k= X k το άθροισμα των πρώτων από αυτές. Ο νόμος των μεγάλων

Διαβάστε περισσότερα

Χαρακτηριστικές συναρτήσεις

Χαρακτηριστικές συναρτήσεις 13 Χαρακτηριστικές συναρτήσεις 13.1 Μετασχηματισμός Fourier μέτρου πιθανότητας στο R Εστω (Ω, F, µ) χώρος μέτρου και f : Ω C Borel-μετρήσιμη συνάρτηση. Το πραγματικό και φανταστικό μέρος της f, που τα

Διαβάστε περισσότερα

Δημήτρης Χελιώτης ΕΝΑ ΔΕΥΤΕΡΟ ΜΑΘΗΜΑ ΣΤΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

Δημήτρης Χελιώτης ΕΝΑ ΔΕΥΤΕΡΟ ΜΑΘΗΜΑ ΣΤΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Δημήτρης Χελιώτης ΕΝΑ ΔΕΥΤΕΡΟ ΜΑΘΗΜΑ ΣΤΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ii ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΧΕΛΙΩΤΗΣ Επίκουρος καθηγητής Τμήμα Μαθηματικών Εθνικό και Καποδιστριακό Πανεπιστήμιο Αθηνων Ενα δεύτερο μάθημα στις πιθανότητες Ενα δεύτερο

Διαβάστε περισσότερα

Η εξίσωση Black-Scholes

Η εξίσωση Black-Scholes 8 Η εξίσωση Black-Scholes 8. Μια απλή αγορά Θεωρούμε ότι έχουμε μια αγορά που έχει μόνο δύο προϊόντα. Το ένα είναι η δυνατότητα κατάθεσης σε μια τράπεζα (ισοδύναμα, αγορά ομολόγων της τράπεζας) και το

Διαβάστε περισσότερα

Ο τύπος του Itô. f (s) ds (12.1) f (g(s)) dg(s). (12.2) t f (B s ) db s + 1 2

Ο τύπος του Itô. f (s) ds (12.1) f (g(s)) dg(s). (12.2) t f (B s ) db s + 1 2 12 Ο τύπος του Itô Για συνάρτηση f : R R με συνεχή παράγωγο, έχουμε d f (s) = f (s) ds που σε ολοκληρωτική μορφή σημαίνει f (b) f (a) = b a f (s) ds (12.1) για κάθε a < b. Αν επιπλέον και η g : R R έχει

Διαβάστε περισσότερα

Αναγνώριση Προτύπων. Σήμερα! Λόγος Πιθανοφάνειας Πιθανότητα Λάθους Κόστος Ρίσκο Bayes Ελάχιστη πιθανότητα λάθους για πολλές κλάσεις

Αναγνώριση Προτύπων. Σήμερα! Λόγος Πιθανοφάνειας Πιθανότητα Λάθους Κόστος Ρίσκο Bayes Ελάχιστη πιθανότητα λάθους για πολλές κλάσεις Αναγνώριση Προτύπων Σήμερα! Λόγος Πιθανοφάνειας Πιθανότητα Λάθους Πιθανότητα Λάθους Κόστος Ρίσκο Bayes Ελάχιστη πιθανότητα λάθους για πολλές κλάσεις 1 Λόγος Πιθανοφάνειας Ας υποθέσουμε ότι θέλουμε να ταξινομήσουμε

Διαβάστε περισσότερα

{ i f i == 0 and p > 0

{ i f i == 0 and p > 0 ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ - ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Σχεδίαση και Ανάλυση Αλγορίθμων Διδάσκων: Ε. Μαρκάκης, Φθινοπωρινό εξάμηνο 014-015 Λύσεις 1ης Σειράς Ασκήσεων

Διαβάστε περισσότερα

Μεγάλες αποκλίσεις* 17.1 Η έννοια της μεγάλης απόκλισης

Μεγάλες αποκλίσεις* 17.1 Η έννοια της μεγάλης απόκλισης 7 Μεγάλες αποκλίσεις* 7. Η έννοια της μεγάλης απόκλισης Εστω (X ανεξάρτητες και ισόνομες τυχαίες μεταβλητές ώστε (X = = (X = = /2 και S = k= X k το άθροισμα των πρώτων από αυτές. Ο νόμος των μεγάλων αριθμών

Διαβάστε περισσότερα

Εξαναγκασμένες ταλαντώσεις, Ιδιοτιμές με πολλαπλότητα, Εκθετικά πινάκων. 9 Απριλίου 2013, Βόλος

Εξαναγκασμένες ταλαντώσεις, Ιδιοτιμές με πολλαπλότητα, Εκθετικά πινάκων. 9 Απριλίου 2013, Βόλος ιαφορικές Εξισώσεις Εξαναγκασμένες ταλαντώσεις, Ιδιοτιμές με πολλαπλότητα, Ατελείς ιδιοτιμές Εκθετικά πινάκων Μανόλης Βάβαλης Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Τηλεπικοινωνιών και ικτύων Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας 9 Απριλίου

Διαβάστε περισσότερα

602. Συναρτησιακή Ανάλυση. Υποδείξεις για τις Ασκήσεις

602. Συναρτησιακή Ανάλυση. Υποδείξεις για τις Ασκήσεις 602. Συναρτησιακή Ανάλυση Υποδείξεις για τις Ασκήσεις Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Αθηνών Αθήνα 2018 Περιεχόμενα 1 Χώροι με νόρμα 1 2 Χώροι πεπερασμένης διάστασης 23 3 Γραμμικοί τελεστές και γραμμικά

Διαβάστε περισσότερα

Ας υποθέσουμε ότι ο παίκτης Ι διαλέγει πρώτος την τυχαιοποιημένη στρατηγική (x 1, x 2 ), x 1, x2 0,

Ας υποθέσουμε ότι ο παίκτης Ι διαλέγει πρώτος την τυχαιοποιημένη στρατηγική (x 1, x 2 ), x 1, x2 0, Οικονομικό Πανεπιστήμιο Αθηνών Τμήμα Στατιστικής Εισαγωγή στην Επιχειρησιακή Ερευνα Εαρινό Εξάμηνο 2015 Μ. Ζαζάνης Πρόβλημα 1. Να διατυπώσετε το παρακάτω παίγνιο μηδενικού αθροίσματος ως πρόβλημα γραμμικού

Διαβάστε περισσότερα

Στοχαστικές διαφορικές εξισώσεις

Στοχαστικές διαφορικές εξισώσεις 14 Στοχαστικές διαφορικές εξισώσεις 14.1 Γενικά Στοχαστική διαφορική εξίσωση λέμε μια εξίσωση της μορφής dx = µ(, X ) d + σ(, X ) db, X = x, (14.1) με µ, σ : [, ) R R μετρήσιμες συναρτήσεις, x R, και B

Διαβάστε περισσότερα

Μεγάλες αποκλίσεις* 17.1 Η έννοια της μεγάλης απόκλισης

Μεγάλες αποκλίσεις* 17.1 Η έννοια της μεγάλης απόκλισης 7 Μεγάλες αποκλίσεις* 7. Η έννοια της μεγάλης απόκλισης Εστω (X ανεξάρτητες και ισόνομες τυχαίες μεταβλητές ώστε P(X = = P(X = = /2 και S = k= X k το άθροισμα των πρώτων από αυτές. Ο νόμος των μεγάλων

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμική Ανεξαρτησία. Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Τηλεπικοινωνιών και ικτύων Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας. 17 Μαρτίου 2013, Βόλος

Γραμμική Ανεξαρτησία. Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Τηλεπικοινωνιών και ικτύων Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας. 17 Μαρτίου 2013, Βόλος Γραμμικές Συνήθεις ιαφορικές Εξισώσεις Ανώτερης Τάξης Γραμμικές Σ Ε 2ης τάξης Σ Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία Μανόλης Βάβαλης

Διαβάστε περισσότερα

Οι γέφυρες του ποταμού... Pregel (Konigsberg)

Οι γέφυρες του ποταμού... Pregel (Konigsberg) Οι γέφυρες του ποταμού... Pregel (Konigsberg) Β Δ Β Δ Γ Γ Κύκλος του Euler (Euler cycle) είναι κύκλος σε γράφημα Γ που περιέχει κάθε κορυφή του γραφήματος, και κάθε ακμή αυτού ακριβώς μία φορά. Για γράφημα

Διαβάστε περισσότερα

Η ανισότητα α β α±β α + β με α, β C και η χρήση της στην εύρεση ακροτάτων.

Η ανισότητα α β α±β α + β με α, β C και η χρήση της στην εύρεση ακροτάτων. A A N A B P Y T A Άρθρο στους Μιγαδικούς Αριθμούς 9 5 0 Η ανισότητα α β α±β α + β με α, β C και η χρήση της στην εύρεση ακροτάτων. Δρ. Νίκος Σωτηρόπουλος, Μαθηματικός Εισαγωγή Το άρθρο αυτό γράφεται με

Διαβάστε περισσότερα

Πιθανότητες ΙΙ 1 o Μέρος. Οικονομικό Πανεπιστήμιο Αθηνών

Πιθανότητες ΙΙ 1 o Μέρος. Οικονομικό Πανεπιστήμιο Αθηνών Πιθανότητες ΙΙ o Μέρος Μιχάλης Ζαζάνης Τμήμα Στατιστικής Οικονομικό Πανεπιστήμιο Αθηνών 4 Απριλίου 7 Κεφάλαιο Συνεχείς Τυχαίες Μεταβλητές. Η εκθετική κατανομή Η πυκνότητα πιθανότητας της εκθετικής κατανομής

Διαβάστε περισσότερα

HY 280. θεμελιακές έννοιες της επιστήμης του υπολογισμού ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ. Γεώργιος Φρ.

HY 280. θεμελιακές έννοιες της επιστήμης του υπολογισμού ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ. Γεώργιος Φρ. HY 280 «ΘΕΩΡΙΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ» θεμελικές έννοιες της επιστήμης του υπολογισμού ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Γεώργιος Φρ. Γεωργκόπουλος μέρος Α Εισγωγή, κι η σική θεωρί των πεπερσμένων

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ. Εαρινό Εξάμηνο

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ. Εαρινό Εξάμηνο ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΕΠΛ231: Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι Εαρινό Εξάμηνο 2017-2018 Φροντιστήριο 3 - Λύσεις 1. Εστω ο πίνακας Α = [12, 23, 1, 5, 7, 19, 2, 14]. i. Να δώσετε την κατάσταση

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο Η εκθετική κατανομή. Η πυκνότητα πιθανότητας της εκθετικής κατανομής δίδεται από την σχέση (1.1) f(x) = 0 αν x < 0.

Κεφάλαιο Η εκθετική κατανομή. Η πυκνότητα πιθανότητας της εκθετικής κατανομής δίδεται από την σχέση (1.1) f(x) = 0 αν x < 0. Κεφάλαιο Συνεχείς Τυχαίες Μεταβλητές. Η εκθετική κατανομή Η πυκνότητα πιθανότητας της εκθετικής κατανομής δίδεται από την σχέση f(x) = λe λx αν x, αν x

Διαβάστε περισσότερα

Ευρωπαϊκά παράγωγα Ευρωπαϊκά δικαιώματα

Ευρωπαϊκά παράγωγα Ευρωπαϊκά δικαιώματα 17 Ευρωπαϊκά παράγωγα 17.1 Ευρωπαϊκά δικαιώματα Ορισμός 17.1. 1) Ευρωπαϊκό δικαίωμα αγοράς σε μία μετοχή είναι ένα συμβόλαιο που δίνει στον κάτοχό του το δικαίωμα να αγοράσει μία μετοχή από τον εκδότη

Διαβάστε περισσότερα

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 2. Σάμης Τρέβεζας

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 2. Σάμης Τρέβεζας ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 2 Σάμης Τρέβεζας ii ΣΑΜΗΣ ΤΡΕΒΕΖΑΣ Λέκτορας Τμήμα Μαθηματικών Εθνικό και Καποδιστριακό Πανεπιστήμιο Αθηνων Πιθανότητες ΙΙ Σημειώσεις σε εξέλιξη... (02/03) Περιεχόμενα 1 Δομές σε Οικογένειες

Διαβάστε περισσότερα

Σχέσεις και ιδιότητές τους

Σχέσεις και ιδιότητές τους Σχέσεις και ιδιότητές τους Διμελής (binary) σχέση Σ από σύνολο Χ σε σύνολο Υ είναι ένα υποσύνολο του καρτεσιανού γινομένου Χ Υ. Αν (χ,ψ) Σ, λέμε ότι το χ σχετίζεται με το ψ και σημειώνουμε χσψ. Στην περίπτωση

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1. Πίνακες και απαλοιφή Gauss

Κεφάλαιο 1. Πίνακες και απαλοιφή Gauss Κεφάλαιο 1 Πίνακες και απαλοιφή Gauss Γύρω απ το γινομένου πινάκων Κάτι σαν τυπολόγιο Αν AB = C, τότε: 1 (C) i j = (i-γραμμή A) ( j-στήλη B) Το συμβολίζει εσωτερικό γινόμενο 2 (i-γραμμή C) = k(a) ik (k-γραμμή

Διαβάστε περισσότερα

Ισοπεριμετρικές ανισότητες για το

Ισοπεριμετρικές ανισότητες για το Ισοπεριμετρικές ανισότητες για το μέτρο του Gauss Διπλωματική Εργασία Μαρία Μαστροθεοδώρου Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Αθηνών Αθήνα 018 Περιεχόμενα 1 Εισαγωγή 1 1.1 Το ισοπεριμετρικό πρόβλημα................................

Διαβάστε περισσότερα

«ΔΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ»

«ΔΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ» HY 118α «ΔΙΚΡΙΤ ΜΘΗΜΤΙΚ» ΣΚΗΣΕΙΣ ΠΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΙΣΤΩΝ εώργιος Φρ. εωργακόπουλος ΜΕΡΟΣ (1) ασικά στοιχεία της θεωρίας συνόλων. Π. ΚΡΗΤΗΣ ΤΜ. ΕΠ. ΥΠΟΛΟΙΣΤΩΝ «ΔΙΚΡΙΤ ΜΘΗΜΤΙΚ». Φ. εωργακόπουλος

Διαβάστε περισσότερα

Περίληψη. του Frostman 4.1. Τέλος, η ϑεωρία του μέτρου Hausdorff αναπτύσσεται περαιτέρω στην τελευταία παράγραφο. Εισαγωγή 2

Περίληψη. του Frostman 4.1. Τέλος, η ϑεωρία του μέτρου Hausdorff αναπτύσσεται περαιτέρω στην τελευταία παράγραφο. Εισαγωγή 2 Το Μέτρο και η Διάσταση Hausdorff Γεωργακόπουλος Νίκος Τερεζάκης Αλέξης Περίληψη Αναπτύσσουμε τη ϑεωρία του μέτρου και της διάστασης Hausdorff με εφαρμογές στον υπολογισμό διαστάσεων συνόλων fractal (Θεώρημα

Διαβάστε περισσότερα

Εκφωνήσεις και Λύσεις των Θεμάτων

Εκφωνήσεις και Λύσεις των Θεμάτων ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Τετάρτη 23 Μαΐου 2012 Εκφωήσεις και Λύσεις

Διαβάστε περισσότερα

Επιχειρησιακή Ερευνα Ι

Επιχειρησιακή Ερευνα Ι Επιχειρησιακή Ερευνα Ι Μ. Ζαζάνης Κεφάλαιο 1 Τετραγωνικές μορφές στον R n και το ϑεώρημα του Taylor Ορισμός 1. Εστω a 11 a 1n A =.. a n1 a nn συμμετρικός πίνακας n n με στοιχεία στους πραγματικούς αριθμούς.

Διαβάστε περισσότερα

Εκφωνήσεις και Λύσεις των Θεμάτων

Εκφωνήσεις και Λύσεις των Θεμάτων ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Δευτέρα 8 Μαΐου 0 Εκφωνήσεις και Λύσεις των Θεμάτων

Διαβάστε περισσότερα

Αναγνώριση Προτύπων. Σημερινό Μάθημα

Αναγνώριση Προτύπων. Σημερινό Μάθημα Αναγνώριση Προτύπων Σημερινό Μάθημα Εκτίμηση Πυκνότητας με k NN k NN vs Bayes classifier k NN vs Bayes classifier Ο κανόνας ταξινόμησης του πλησιέστερου γείτονα (k NN) lazy αλγόριθμοι O k NN ως χαλαρός

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγικές Διαλέξεις στην Θεωρία των Αλυσίδων Markov και των Στοχαστικών Ανελίξεων. Οικονομικό Πανεπιστήμιο Αθηνών

Εισαγωγικές Διαλέξεις στην Θεωρία των Αλυσίδων Markov και των Στοχαστικών Ανελίξεων. Οικονομικό Πανεπιστήμιο Αθηνών Εισαγωγικές Διαλέξεις στην Θεωρία των Αλυσίδων Markov και των Στοχαστικών Ανελίξεων Μιχάλης Ζαζάνης Τμήμα Στατιστικής Οικονομικό Πανεπιστήμιο Αθηνών Κεφάλαιο Αλυσίδες Markov σε Συνεχή Χρόνο. Αλυσίδες

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στη Μιγαδική Ανάλυση. (Πρώτη Ολοκληρωμένη Γραφή)

Εισαγωγή στη Μιγαδική Ανάλυση. (Πρώτη Ολοκληρωμένη Γραφή) Εισαωή στη Μιαδική Ανάλυση Σημειώσεις (Πρώτη Ολοκληρωμένη Γραφή) Ε. Στεφανόπουλος Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Αιαίου Καρλόβασι Καλοκαίρι 26 Πρόλοος Οι σημειώσεις αυτές είναι αποτέλεσμα επεξερασίας

Διαβάστε περισσότερα

Το Θεώρημα Μοναδικότητας των Stone και von Neumann

Το Θεώρημα Μοναδικότητας των Stone και von Neumann Κ Ε Το Θεώρημα Μοναδικότητας των Stone και von Neumann Διπλωματική Εργασία Ειδίκευσης στα Θεωρητικά Μαθηματικά Πανεπιστήμιο Αθηνών Τμήμα Μαθηματικών Αθήνα 2011 Αφιερώνεται στην οικογένεια μου ii Περίληψη

Διαβάστε περισσότερα

ιάσταση του Krull Α.Π.Θ. Θεσσαλονίκη Χ. Χαραλαμπους (ΑΠΘ) ιάσταση του Krull Ιανουάριος, / 27

ιάσταση του Krull Α.Π.Θ. Θεσσαλονίκη Χ. Χαραλαμπους (ΑΠΘ) ιάσταση του Krull Ιανουάριος, / 27 ιάσταση του Krull Χ. Χαραλάμπους Α.Π.Θ. Θεσσαλονίκη Ιανουάριος, 2017 Χ. Χαραλαμπους (ΑΠΘ) ιάσταση του Krull Ιανουάριος, 2017 1 / 27 Ορισμοί Εστω R (αντιμεταθετικός) δακτύλιος. Ορισμός Η διάσταση του Krull

Διαβάστε περισσότερα

Αναγνώριση Προτύπων. Σημερινό Μάθημα

Αναγνώριση Προτύπων. Σημερινό Μάθημα Αναγνώριση Προτύπων Σημερινό Μάθημα Bias (απόκλιση) και variance (διακύμανση) Ελεύθεροι Παράμετροι Ελεύθεροι Παράμετροι Διαίρεση dataset Μέθοδος holdout Cross Validation Bootstrap Bias (απόκλιση) και variance

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ. Εαρινό Εξάμηνο

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ. Εαρινό Εξάμηνο ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΕΠΛ31: Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι Εαρινό Εξάμηνο 017-018 Φροντιστήριο 5 1. Δικαιολογήστε όλες τις απαντήσεις σας. i. Δώστε τις 3 βασικές ιδιότητες ενός AVL δένδρου.

Διαβάστε περισσότερα

Γενικό Λύκειο Μαραθοκάμπου Σάμου. Άλγεβρα Β λυκείου. 13 Οκτώβρη 2016

Γενικό Λύκειο Μαραθοκάμπου Σάμου. Άλγεβρα Β λυκείου. 13 Οκτώβρη 2016 Γενικό Λύκειο Μαραθοκάμπου Σάμου Άλγεβρα Β λυκείου Εργασία2 η : «Συναρτήσεις» 13 Οκτώβρη 2016 Ερωτήσεις Θεωρίας 1.Πότελέμεότιμιασυνάρτησηfείναιγνησίωςάυξουσασεέναδιάστημα του πεδίου ορισμού της; 2.Πότελέμεότιμιασυνάρτησηfείναιγνησίωςφθίνουσασεέναδιάστημα

Διαβάστε περισσότερα

( ιμερείς) ΙΜΕΛΕΙΣ ΣΧΕΣΕΙΣ Α Β «απεικονίσεις»

( ιμερείς) ΙΜΕΛΕΙΣ ΣΧΕΣΕΙΣ Α Β «απεικονίσεις» ( ιμερείς) ΙΜΕΛΕΙΣ ΣΧΕΣΕΙΣ Α Β «πεικονίσεις» 1. ΣΧΕΣΕΙΣ: το σκεπτικό κι ο ορισμός. Τ σύνολ νπριστούν ιδιότητες μεμονωμένων στοιχείων: δεδομένου συνόλου S, κι ενός στοιχείου σ, είνι δυντόν είτε σ S είτε

Διαβάστε περισσότερα

1. Εστω ότι A, B, C είναι γενικοί 2 2 πίνακες, δηλαδή, a 21 a, και ανάλογα για τους B, C. Υπολογίστε τους πίνακες (A B) C και A (B C) και

1. Εστω ότι A, B, C είναι γενικοί 2 2 πίνακες, δηλαδή, a 21 a, και ανάλογα για τους B, C. Υπολογίστε τους πίνακες (A B) C και A (B C) και ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι Εαρινό Εξάμηνο 0 Ασκήσεις για προσωπική μελέτη Είναι απολύτως απαραίτητο να μπορείτε να τις λύνετε, τουλάχιστον τις υπολογιστικές! Εστω ότι A, B, C είναι γενικοί πίνακες,

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ Γ ΤΑΞΗ

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ Γ ΤΑΞΗ ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Σ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΕΥΤΕΡΑ 12 ΙΟΥΝΙΟΥ 2000 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (ΚΥΚΛΟΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΚΑΙ ΥΠΗΡΕΣΙΩΝ): ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ

Διαβάστε περισσότερα

Συναρτήσεις. Σημερινό μάθημα

Συναρτήσεις. Σημερινό μάθημα Συναρτήσεις Σημερινό μάθημα C++ Συναρτήσεις Δήλωση συνάρτησης Σύνταξη συνάρτησης Πρότυπο συνάρτησης & συνάρτηση Αλληλο καλούμενες συναρτήσεις συναρτήσεις μαθηματικών Παράμετροι συναρτήσεων Τοπικές μεταβλητές

Διαβάστε περισσότερα

τους στην Κρυπτογραφία και τα

τους στην Κρυπτογραφία και τα Οι Ομάδες των Πλεξίδων και Εφαρμογές τους στην Κρυπτογραφία και τα Πολυμερή Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών ΕΜΠ Επιβλέπουσα Καθηγήτρια: Λαμπροπούλου Σοφία Ιούλιος, 2013 Περιεχόμενα

Διαβάστε περισσότερα

Αναγνώριση Προτύπων. Σημερινό Μάθημα

Αναγνώριση Προτύπων. Σημερινό Μάθημα Αναγνώριση Προτύπων Σημερινό Μάθημα Μη Παραμετρικός Υπολογισμός πυκνότητας με εκτίμηση Ιστόγραμμα Παράθυρα Parzen Εξομαλυμένη Kernel Ασκήσεις 1 Μη Παραμετρικός Υπολογισμός πυκνότητας με εκτίμηση Κατά τη

Διαβάστε περισσότερα

21/11/2005 Διακριτά Μαθηματικά. Γραφήματα ΒΑΣΙΚΗ ΟΡΟΛΟΓΙΑ : ΜΟΝΟΠΑΤΙΑ ΚΑΙ ΚΥΚΛΟΙ Δ Ι. Γεώργιος Βούρος Πανεπιστήμιο Αιγαίου

21/11/2005 Διακριτά Μαθηματικά. Γραφήματα ΒΑΣΙΚΗ ΟΡΟΛΟΓΙΑ : ΜΟΝΟΠΑΤΙΑ ΚΑΙ ΚΥΚΛΟΙ Δ Ι. Γεώργιος Βούρος Πανεπιστήμιο Αιγαίου Γραφήματα ΒΑΣΙΚΗ ΟΡΟΛΟΓΙΑ : ΜΟΝΟΠΑΤΙΑ ΚΑΙ ΚΥΚΛΟΙ A Ε B Ζ Η Γ K Θ Δ Ι Ορισμός Ένα (μη κατευθυνόμενο) γράφημα (non directed graph) Γ, είναι μία δυάδα από σύνολα Ε και V και συμβολίζεται με Γ=(Ε,V). Το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΟΛΑ (προσέξτε τα κοινά χαρακτηριστικά των παρακάτω προτάσεων) Οι άνθρωποι που σπουδάζουν ΤΠ&ΕΣ και βρίσκονται στην αίθουσα

ΣΥΝΟΛΑ (προσέξτε τα κοινά χαρακτηριστικά των παρακάτω προτάσεων) Οι άνθρωποι που σπουδάζουν ΤΠ&ΕΣ και βρίσκονται στην αίθουσα ΣΥΝΟΛΑ (προσέξτε τα κοινά χαρακτηριστικά των παρακάτω προτάσεων) Οι άνθρωποι που σπουδάζουν ΤΠ&ΕΣ και βρίσκονται στην αίθουσα Τα βιβλία διακριτών μαθηματικών του Γ.Β. Η/Υ με επεξεργαστή Pentium και χωρητικότητα

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγικές Διαλέξεις στην Θεωρία των Αλυσίδων Markov και των Στοχαστικών Ανελίξεων. Οικονομικό Πανεπιστήμιο Αθηνών

Εισαγωγικές Διαλέξεις στην Θεωρία των Αλυσίδων Markov και των Στοχαστικών Ανελίξεων. Οικονομικό Πανεπιστήμιο Αθηνών Εισαγωγικές Διαλέξεις στην Θεωρία των Αλυσίδων Markov και των Στοχαστικών Ανελίξεων Μιχάλης Ζαζάνης Τμήμα Στατιστικής Οικονομικό Πανεπιστήμιο Αθηνών Κεφάλαιο Αλυσίδες Markov σε Συνεχή Χρόνο Αλυσίδες Markov

Διαβάστε περισσότερα

Το κράτος είναι φτιαγμένο για τον άνθρωπο και όχι ο άνθρωπος για το κράτος. A. Einstein Πηγή:

Το κράτος είναι φτιαγμένο για τον άνθρωπο και όχι ο άνθρωπος για το κράτος. A. Einstein Πηγή: Ας πούμε και κάτι για τις δύσκολες μέρες που έρχονται Το κράτος είναι φτιαγμένο για τον άνθρωπο και όχι ο άνθρωπος για το κράτος. A. Einstein 1879-1955 Πηγή: http://www.cognosco.gr/gnwmika/ 1 ΚΥΚΛΙΚΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ. H λογική ασχολείται με δύο έννοιες, την αλήθεια και την απόδειξη. Oι έννοιες αυτές έχουν γίνει

ΕΙΣΑΓΩΓΗ. H λογική ασχολείται με δύο έννοιες, την αλήθεια και την απόδειξη. Oι έννοιες αυτές έχουν γίνει ΕΙΣΑΓΩΓΗ ------------------------------------------------------------------------------------- H λογική ασχολείται με δύο έννοιες, την αλήθεια και την απόδειξη. Oι έννοιες αυτές έχουν γίνει αντικείμενο

Διαβάστε περισσότερα

Η Θεωρια Αριθμων στην Εκπαιδευση

Η Θεωρια Αριθμων στην Εκπαιδευση Η Θεωρια Αριθμων στην Εκπαιδευση Καθηγητὴς Ν.Γ. Τζανάκης Εφαρμογὲς τῶν συνεχῶν κλασμάτων 1 1. Η τιμὴ τοῦ π μὲ σωστὰ τὰ 50 πρῶτα δεκαδικὰ ψηφία μετὰ τὴν ὑποδιαστολή, εἶναι 3.14159265358979323846264338327950288419716939937511.

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Πληροφορικής

Μαθηματικά Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Αθηνών Μαθηματικά Πληροφορικής Ηλίας Κουτσουπιάς Αθήνα, Οκτώβριος 2009 Περιεχόμενα Περιεχόμενα 1 Σύνολα... 5 ΆλλαΣύμβολα... 6 1 Υποθέσεις και Θεωρήματα 9 1.1 Παρατήρηση-Υπόθεση-Απόδειξη...

Διαβάστε περισσότερα

(3 ο ) Εξαντλητική αναζήτηση I: μεταθέσεις & υποσύνολα (4 o ) Εξαντλητική αναζήτηση II: συνδυασμοί, διατάξεις & διαμερίσεις

(3 ο ) Εξαντλητική αναζήτηση I: μεταθέσεις & υποσύνολα (4 o ) Εξαντλητική αναζήτηση II: συνδυασμοί, διατάξεις & διαμερίσεις (3 ο ) Εξαντλητική αναζήτηση I: μεταθέσεις & υποσύνολα (4 o ) Εξαντλητική αναζήτηση II: συνδυασμοί, διατάξεις & διαμερίσεις Είναι πράγματι τα «προβλήματα» τόσο δύσκολα; Είδαμε (σύντομα) στα προηγούμενα

Διαβάστε περισσότερα

Διανυσματικές Συναρτήσεις

Διανυσματικές Συναρτήσεις Κεφάλαιο 5 Διανυσματικές Συναρτήσεις 51 Διανυσματατικές συναρτήσεις Μια συνάρτηση με τιμές στοr n, n>1 λέγεται διανυσματική συνάρτηση Τις διανυσματικές συναρτήσεις ϑα τις συμβολίζουμε με παχειά γράμματα,

Διαβάστε περισσότερα

Π. ΚΡΗΤΗΣ, ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΗΥ 380, «ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ & ΠΟΛΥΠΛΟΚΟΤΗΤΑ» Φ 01: ΕΞΑΝΤΛΗΤΙΚΗ ΑΝΑΖΗΤΗΣΗ

Π. ΚΡΗΤΗΣ, ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΗΥ 380, «ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ & ΠΟΛΥΠΛΟΚΟΤΗΤΑ» Φ 01: ΕΞΑΝΤΛΗΤΙΚΗ ΑΝΑΖΗΤΗΣΗ Π. ΚΡΗΤΗΣ, ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΗΥ 380, «ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ & ΠΟΛΥΠΛΟΚΟΤΗΤΑ» Φ 01: ΕΞΑΝΤΛΗΤΙΚΗ ΑΝΑΖΗΤΗΣΗ Δεδομένου ενός προβλήματος Q, ο πρώτος σκοπός μιας εξαντλητικής αναζήτησης είναι να μας εφασφαλίσει

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΚΡΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ Η ΚΑΤΑΝΑΛΩΤΙΚΗ ΑΠΟΦΑΣΗ. Άσκηση με θέμα τη μεγιστοποίηση της χρησιμότητας του καταναλωτή

ΜΙΚΡΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ Η ΚΑΤΑΝΑΛΩΤΙΚΗ ΑΠΟΦΑΣΗ. Άσκηση με θέμα τη μεγιστοποίηση της χρησιμότητας του καταναλωτή ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΙΟΝΙΩΝ ΝΗΣΩΝ ΣΧΟΛΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ: ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ 07 08 ΛΕΥΚΑΔΑ ΜΙΚΡΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ Η ΚΑΤΑΝΑΛΩΤΙΚΗ

Διαβάστε περισσότερα

Δ Ι Α Κ Ρ Ι Τ Α Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α. 1η σειρά ασκήσεων

Δ Ι Α Κ Ρ Ι Τ Α Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α. 1η σειρά ασκήσεων Δ Ι Α Κ Ρ Ι Τ Α Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α 1η σειρά ασκήσεων Ονοματεπώνυμο: Αριθμός μητρώου: Ημερομηνία παράδοσης: Μέχρι την Τρίτη 2 Απριλίου 2019 Σημειώστε τις ασκήσεις για τις οποίες έχετε παραδώσει λύση: 1

Διαβάστε περισσότερα

Pointers. Σημερινό Μάθημα! Χρήση pointer Τελεστής * Τελεστής & Γενικοί δείκτες Ανάκληση Δέσμευση μνήμης new / delete Pointer σε αντικείμενο 2

Pointers. Σημερινό Μάθημα! Χρήση pointer Τελεστής * Τελεστής & Γενικοί δείκτες Ανάκληση Δέσμευση μνήμης new / delete Pointer σε αντικείμενο 2 Pointers 1 Σημερινό Μάθημα! Χρήση pointer Τελεστής * Τελεστής & Γενικοί δείκτες Ανάκληση Δέσμευση μνήμης new / delete Pointer σε αντικείμενο 2 1 Μνήμη μεταβλητών Κάθε μεταβλητή έχει διεύθυνση Δεν χρειάζεται

Διαβάστε περισσότερα

Η έκδοση αυτή είναι υπό προετοιμασία. Γιάννης Α. Αντωνιάδης, Αριστείδης Κοντογεώργης

Η έκδοση αυτή είναι υπό προετοιμασία. Γιάννης Α. Αντωνιάδης, Αριστείδης Κοντογεώργης Θεωρία Αριθμών και Εφαρμογές Η έκδοση αυτή είναι υπό προετοιμασία Γιάννης Α. Αντωνιάδης, Αριστείδης Κοντογεώργης 9 Φεβρουαρίου 2015 2 Περιεχόμενα I ΑΡΙΘΜΟΘΕΩΡΙΑ ΤΩΝ ΡΗΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ 7 1 ΔΙΑΙΡΕΤΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΠΡΩΤΟΙ

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΟ ΦΑΡΜΑΚΕΙΟ. Με την πιστοποίηση του έχει πρόσβαση στο περιβάλλον του φαρμακείου που παρέχει η εφαρμογή.

ΣΤΟ ΦΑΡΜΑΚΕΙΟ. Με την πιστοποίηση του έχει πρόσβαση στο περιβάλλον του φαρμακείου που παρέχει η εφαρμογή. ΣΤΟ ΦΑΡΜΑΚΕΙΟ Ο ασθενής έχοντας μαζί του το βιβλιάριο υγείας του και την τυπωμένη συνταγή από τον ιατρό, η οποία αναγράφει τον μοναδικό κωδικό της, πάει στο φαρμακείο. Το φαρμακείο αφού ταυτοποιήσει το

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στις Διακριτές Πιθανότηες. Οικονομικό Πανεπιστήμιο Αθηνών

Εισαγωγή στις Διακριτές Πιθανότηες. Οικονομικό Πανεπιστήμιο Αθηνών Εισαγωγή στις Διακριτές Πιθανότηες Μιχάλης Ζαζάνης Τμήμα Στατιστικής Οικονομικό Πανεπιστήμιο Αθηνών 27 Δεκεμβρίου 2010 2 Κεφάλαιο 1 Συνδιαστική Ανάλυση και Μαθηματικές Τεχνικές Η απαρίθμηση των στοιχείων

Διαβάστε περισσότερα

Ταξινόμηση των μοντέλων διασποράς ατμοσφαιρικών ρύπων βασισμένη σε μαθηματικά κριτήρια.

Ταξινόμηση των μοντέλων διασποράς ατμοσφαιρικών ρύπων βασισμένη σε μαθηματικά κριτήρια. ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ Ταξινόμηη των μοντέλων διαποράς ατμοφαιρικών ρύπων βαιμένη ε μαθηματικά κριτήρια. Μοντέλο Ελεριανά μοντέλα (Elerian) Λαγκρατζιανά μοντέλα (Lagrangian) Επιπρόθετος διαχωριμός Μοντέλα

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ ΜΑΘΗΜΑ: ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ ΜΑΘΗΜΑ: ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑ: ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ Την ευθύνη του εκπαιδευτικού υλικού έχει ο επιστημονικός συνεργάτης των Πανεπιστημιακών Φροντιστηρίων «ΚOΛΛΙΝΤΖΑ», οικονομολόγος συγγραφέας θεμάτων ΑΣΕΠ, Παναγιώτης Βεργούρος.

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΛΟΓΟΣ. Αθήνα, 12 Απριλίου 2016.

ΠΡΟΛΟΓΟΣ. Αθήνα, 12 Απριλίου 2016. Αλγεβρική Γεωμετρία ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος Κεφάλαιο 1. Αλγεβρικές ποικιλότητες 1 1. Αλγεβρικά Σύνολα 1 2. Το Θεώρημα Ριζών του Hilbert 7 3. Συγγενείς Αλγεβρικές Ποικιλότητες 14 4. Πολλαπλότητα και Πολλαπλότητα

Διαβάστε περισσότερα

Σημειώσεις Μαθηματικών Μεθόδων. Οικονομικό Πανεπιστήμιο Αθηνών

Σημειώσεις Μαθηματικών Μεθόδων. Οικονομικό Πανεπιστήμιο Αθηνών Σημειώσεις Μαθηματικών Μεθόδων Μιχάλης Ζαζάνης Τμήμα Στατιστικής Οικονομικό Πανεπιστήμιο Αθηνών Φεβρουαρίου 08 Κεφάλαιο Το Μιγαδικό Εκθετικό Είναι γνωστό ότι η εκθετική συνάρτηση e x έχει το ανάπτυγμα

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΟ ΙΑΤΡΕΙΟ. Με την πιστοποίηση του αποκτά πρόσβαση στο περιβάλλον του ιατρού που παρέχει η εφαρμογή.

ΣΤΟ ΙΑΤΡΕΙΟ. Με την πιστοποίηση του αποκτά πρόσβαση στο περιβάλλον του ιατρού που παρέχει η εφαρμογή. ΣΤΟ ΙΑΤΡΕΙΟ Ο ιατρός αφού διαπιστώσει εάν το πρόσωπο που προσέρχεται για εξέταση είναι το ίδιο με αυτό που εικονίζεται στο βιβλιάριο υγείας και ελέγξει ότι είναι ασφαλιστικά ενήμερο (όπως ακριβώς γίνεται

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ. Πρώτη Γραπτή Εργασία. Εισαγωγή στους υπολογιστές Μαθηματικά

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ. Πρώτη Γραπτή Εργασία. Εισαγωγή στους υπολογιστές Μαθηματικά ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ Πρόγραμμα Σπουδών: ΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ και ΟΡΓΑΝΙΣΜΩΝ Θεματική Ενότητα: ΕΟ-13 Ποσοτικές Μέθοδοι Ακαδημαϊκό Έτος: 2012-13 Πρώτη Γραπτή Εργασία Εισαγωγή στους υπολογιστές Μαθηματικά

Διαβάστε περισσότερα

Παραβολή ψ=αχ 2 +βχ+γ, α 0. Η παραβολή ψ = αχ 2. Γενικά : Κάθε συνάρτηση της μορφής ψ=αχ 2 + βχ +γ, α 0 λέγεται τετραγωνική συνάρτηση.

Παραβολή ψ=αχ 2 +βχ+γ, α 0. Η παραβολή ψ = αχ 2. Γενικά : Κάθε συνάρτηση της μορφής ψ=αχ 2 + βχ +γ, α 0 λέγεται τετραγωνική συνάρτηση. Η παραβολή ψ=αχ 2 +βχ+γ Σελίδα 1 από 10 Παραβολή ψ=αχ 2 +βχ+γ, α0 Γενικά : Κάθε συνάρτηση της μορφής ψ=αχ 2 + βχ +γ, α0 λέγεται τετραγωνική συνάρτηση. Η παραβολή ψ = αχ 2 Η γραφική παράσταση της συνάρτησης

Διαβάστε περισσότερα

Αναγνώριση Προτύπων. Σημερινό Μάθημα

Αναγνώριση Προτύπων. Σημερινό Μάθημα Αναγνώριση Προτύπων Σημερινό Μάθημα Η κατάρα της διαστατικότητας Μείωση διαστάσεων εξαγωγή χαρακτηριστικών επιλογή χαρακτηριστικών Αναπαράσταση έναντι Κατηγοριοποίησης Ανάλυση Κυρίων Συνιστωσών PCA Γραμμική

Διαβάστε περισσότερα

Επίλυση δικτύων διανομής

Επίλυση δικτύων διανομής ΑστικάΥδραυλικάΈργα Υδρεύσεις Επίλυση δικτύων διανομής Δημήτρης Κουτσογιάννης & Ανδρέας Ευστρατιάδης Τομέας Υδατικών Πόρων Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Διατύπωση του προβλήματος Δεδομένου ενός δικτύου αγωγών

Διαβάστε περισσότερα

Η κατανομή του Euler επί των αυτοαντίστροφων στοιχείων της

Η κατανομή του Euler επί των αυτοαντίστροφων στοιχείων της Ε Κ Π Α Τ Μ Η κατανομή του Euler επί των αυτοαντίστροφων στοιχείων της υπεροκταεδρικής ομάδας Μ Ε Μουστάκας Βασίλης - Διονύσης : Χ Α. Α Αθήνα Ιούνιος 07 Στον πρώτο μου δάσκαλο, μαθηματικό Γιάννη Καρρά.

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΕΠ 2000 ΑΣΕΠ 2000 Εμπορική Τράπεζα 1983 Υπουργείο Κοιν. Υπηρ. 1983

ΑΣΕΠ 2000 ΑΣΕΠ 2000 Εμπορική Τράπεζα 1983 Υπουργείο Κοιν. Υπηρ. 1983 20 Φεβρουαρίου 2010 ΑΣΕΠ 2000 1. Η δεξαμενή βενζίνης ενός πρατηρίου υγρών καυσίμων είναι γεμάτη κατά τα 8/9. Κατά τη διάρκεια μιας εβδομάδας το πρατήριο διέθεσε τα 3/4 της βενζίνης αυτής και έμειναν 4000

Διαβάστε περισσότερα

Αρτιες και περιττές συναρτήσεις

Αρτιες και περιττές συναρτήσεις Μελέτη Συναρτήσεων: άρτιες, περιττές συναρτήσεις - μονοτονία - ακρότατα Κώστας Ράπτης Άρτιες και περιττές συναρτήσεις Ὁι ψυχολόγοι κάνουν λόγο για δύο επίπεδα συλλογιστικής και μνήμης: το αρχαϊκό και το

Διαβάστε περισσότερα

Χαρτοφυλάκια και arbitrage

Χαρτοφυλάκια και arbitrage 16 Χαρτοφυλάκια και arbitrage 16.1 Αγορές μετοχών Ποια είναι η χρήση και η σημασία των μετοχών μιας εταιρείας; Κατά τη σύστασή της ή σε άλλες στιγμές του χρόνου ύπαρξής της χρειάζεται να συγκεντρώσει κεφάλαιο

Διαβάστε περισσότερα

α 0. α ν x ν +α ν 1 x ν α 1 x+α 0 α ν x ν,α ν 1 x ν 1,...,α 1 x,α 0, ...,α 1,α 0,

α 0. α ν x ν +α ν 1 x ν α 1 x+α 0 α ν x ν,α ν 1 x ν 1,...,α 1 x,α 0, ...,α 1,α 0, Άλγεβρα Β Λυκείου - Πολυώνυμα: Θεωρία, Μεθοδολογία και Λυμένες ασκήσεις Κώστας Ράπτης Μάιος 2011 Μέρος I Πολυώνυμα 1 Πολυώνυμα 1.1 Στοιχεία ϑεωρίας Καλούμε μονώνυμο του x κάθε παράσταση της μορφήςαx ν,

Διαβάστε περισσότερα

Συναρτήσεις & Κλάσεις

Συναρτήσεις & Κλάσεις Συναρτήσεις & Κλάσεις Overloading class member συναρτήσεις/1 #include typedef unsigned short int USHORT; enum BOOL { FALSE, TRUE}; class Rectangle { public: Rectangle(USHORT width, USHORT

Διαβάστε περισσότερα

Αρτιες και περιττές συναρτήσεις

Αρτιες και περιττές συναρτήσεις Μελέτη Συναρτήσεων: άρτιες, περιττές συναρτήσεις - μονοτονία - ακρότατα Κωνσταντίνος Α. Ράπτης Άρτιες και περιττές συναρτήσεις Ὁι ψυχολόγοι κάνουν λόγο για δύο επίπεδα συλλογιστικής και μνήμης: το αρχαϊκό

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ. Επικ. Καθ. Στέλιος Ζήμερας. Τμήμα Μαθηματικών Κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικά Χρηματοοικονομικά Μαθηματικά

ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ. Επικ. Καθ. Στέλιος Ζήμερας. Τμήμα Μαθηματικών Κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικά Χρηματοοικονομικά Μαθηματικά ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ Επικ. Καθ. Στέλιος Ζήμερας Τμήμα Μαθηματικών Κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικά Χρηματοοικονομικά Μαθηματικά 015 Ανεξάρτητα δείγματα: Αφορά δύο κανονικούς πληθυσμούς με παραμέτρους

Διαβάστε περισσότερα

Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση

Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση ΠΜΣ/ΕΤΥ: Μεταπτυχιακό Μάθημα 8η Ενότητα: Γραμμικός Προγραμματισμός ως Υπορουτίνα για Επίλυση Προβλημάτων Χρήστος Ζαρολιάγκης (zaro@ceid.upatras.gr) Σπύρος Κοντογιάννης (kontog@cs.uoi.gr)

Διαβάστε περισσότερα

ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΟΡΓΑΝΙΣΜΩΝ

ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΟΡΓΑΝΙΣΜΩΝ ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ 1α ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΟΡΓΑΝΙΣΜΩΝ Οι επιστήμονες ταξινομούν τους οργανισμούς σε ομάδες ανάλογα με τα κοινά τους χαρακτηριστικά. Τα πρώτα συστήματα ταξινόμησης βασιζόταν αποκλειστικά στα μορφολογικά

Διαβάστε περισσότερα

17 Μαρτίου 2013, Βόλος

17 Μαρτίου 2013, Βόλος Συνήθεις ιαφορικές Εξισώσεις 1ης Τάξης Σ Ε 1ης τάξης, Πεδία κατευθύνσεων, Υπαρξη και μοναδικότητα, ιαχωρίσιμες εξισώσεις, Ολοκληρωτικοί παράγοντες, Αντικαταστάσεις, Αυτόνομες εξισώσεις Μανόλης Βάβαλης

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗ ΟΜΑΛΗ ΚΙΝΗΣΗ ΤΡΙΩΡΗ ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ A ΛΥΚΕΙΟΥ. Ονοματεπώνυμο Τμήμα

ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗ ΟΜΑΛΗ ΚΙΝΗΣΗ ΤΡΙΩΡΗ ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ A ΛΥΚΕΙΟΥ. Ονοματεπώνυμο Τμήμα Σελίδα 1 ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 2014 2015 ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗ ΟΜΑΛΗ ΚΙΝΗΣΗ ΤΡΙΩΡΗ ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ A ΛΥΚΕΙΟΥ Ονοματεπώνυμο Τμήμα ΘΕΜΑ Α Οδηγία: Να γράψετε στην κόλλα σας τον αριθμό καθεμιάς από τις παρακάτω ερωτήσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΟΣΟΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΟΣΟΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ Σημειώσεις για το μάθημα ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΟΣΟΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ Παπάνα Αγγελική http://users.auth.gr/~agpapana/statlogistics E mail: papanagel@yahoo.gr, agpapana@gen.auth.gr Α.Τ.Ε.Ι. Θεσσαλονίκης ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση Μεταπτυχιακό Μάθημα ΠΜΣ/ΕΤΥ 2η Ενότητα: Μοντελοποίηση Προβλημάτων ως ΓΠ, Ισοδυναμες Μορφές ΓΠ, Γεωμετρία Χωρου Λύσεων

Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση Μεταπτυχιακό Μάθημα ΠΜΣ/ΕΤΥ 2η Ενότητα: Μοντελοποίηση Προβλημάτων ως ΓΠ, Ισοδυναμες Μορφές ΓΠ, Γεωμετρία Χωρου Λύσεων Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση Μεταπτυχιακό Μάθημα ΠΜΣ/ΕΤΥ 2η Ενότητα: Μοντελοποίηση Προβλημάτων ως ΓΠ, Ισοδυναμες Μορφές ΓΠ, Γεωμετρία Χωρου Λύσεων Χρήστος Ζαρολιάγκης (zaro@ceid.upatras.gr) Σπύρος Κοντογιάννης

Διαβάστε περισσότερα

Η ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΩΝ FRACTALS

Η ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΩΝ FRACTALS Η ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΩΝ FRACTALS ΕΛΕΝΗ ΤΑΝΤΟΥΛΟΥ ΕΠΙΒΛΕΠΩΝ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ: ΑΝΤΩΝΗΣ ΤΣΟΛΟΜΥΤΗΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΣΑΜΟΣ 2009 Στην μητέρα μου που μπορεί και με ανέχεται ακόμα,

Διαβάστε περισσότερα