Ανελίξεις σε συνεχή χρόνο

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Ανελίξεις σε συνεχή χρόνο"

Transcript

1 4 Ανελίξεις σε συνεχή χρόνο Σε αυτό το κεφάλαιο είναι συγκεντρωμένοι ορισμοί και αποτελέσματα από τη θεωρία των στοχαστικών ανελιξεων συνεχούς χρόνου. Με εξαίρεση την Παράγραφο 4.1, η οποία είναι εντελώς βασική, οι υπόλοιπες μπορούν να διαβαστούν τη στιγμή που θα γίνει αναφορά σε αυτές στα παρακάτω κεφάλαια, οπότε και θα έχουν ενδιαφέρον. 4.1 Ανελίξεις Εστω (S, A) ένας μετρήσιμος χώρος. Δηλαδή το S είναι ένα σύνολο και A είναι μια σ-άλγεβρα στο S. Στοχαστική ανέλιξη με τιμές στον S λέμε μια οικογένεια τυχαίων μεταβλητών {X t : t I} που ορίζονται σε κοινό χώρο πιθανότητας (Ω, F, P) και παίρνουν τιμές στον S. Το I είναι ένα αυθαίρετο σύνολο δεικτών, αλλά συνήθως είναι το N ή το [0, ) και τότε ερμηνεύουμε το t ως χρόνο και το X t ως την τιμή ενός μεγέθους (π.χ. η περιουσία μιας εταιρίας) τη χρονική στιγμή t. Για σταθερό ω Ω, η συνάρτηση t X t (ω) ονομάζεται μονοπάτι (ή και τροχιά) της ανέλιξης. Ως συνήθως, όταν ο S είναι μετρικός χώρος, παίρνουμε A = B(S), τη σ-άλγεβρα των συνόλων Borel στον S. Σε αυτές τις σημειώσεις θα ασχοληθούμε με ανελίξεις που παίρνουν τιμές σε κάποιο χώρο της μορφής R d. Παράδειγμα 4.1. Παίρνουμε I = [0, ). Υπάρχει χώρος πιθανότητας (Ω, F, P) και ανεξάρτητες τυχαίες μεταβλητές (X t ) t 0 ορισμένες σε αυτόν ώστε για κάθε t 0 η X t να παίρνει τις τιμές 1 και 1 καθεμία με πιθανότητα 1/2 (π.χ., Ω = { 1, 1} I, P το κατάλληλο μέτρο γινόμενο, και X t : Ω { 1, 1} η προβολή στην t συντεταγμένη). Πρακτικά, κάθε χρονική στιγμή t 0 ρίχνουμε ένα αμερόληπτο νόμισμα και, αν έρθει Γράμματα, θέτουμε X t = 1, ενώ αν έρθει Κεφαλή, θέτουμε X t = 1. Με πιθανότητα 1, το μονοπάτι της ανέλιξης είναι μια συνάρτηση που ταλαντώνεται συνεχώς (καθώς το t μεταβάλλεται) ανάμεσα στις τιμές 1 και 1. Μια ανέλιξη μπορεί να ειδωθεί ως απεικόνιση με X(t, ω) = X t (ω) ή και ως απεικόνιση X : I Ω S ˆX : Ω S I με ˆX(ω) να είναι η συνάρτηση με τιμές ˆX(ω)(t) = X(t, ω). Ο S I εφοδιάζεται με τη σ-άλγεβρα γινόμενο και ως προς αυτήν η ˆX είναι τυχαία μεταβλητή. Υπενθυμίζουμε ότι η σ-άλγεβρα γινόμενο είναι αυτή που παράγεται από τους μετρήσιμους κυλίνδρους και μετρήσιμο κύλινδρο λέμε κάθε σύνολο της μορφής i I A i με A i A για κάθε i I και με {i I : A i S} πεπερασμένο. Ορισμός 4.2. Κατανομή της ανέλιξης X λέμε την κατανομή της τυχαίας μεταβλητής ˆX, δηλαδή το μέτρο πιθανότητας P X (A) = P( ˆX A) για κάθε A S I στη σ-άλγεβρα γινόμενο. Οι διάφορες προβολές της κατανομής της X σε πεπερασμένες το πλήθος συντεταγμένες του S I λέγονται κατανομές πεπερασμένης διάστασης της X. 31

2 32 Ανελίξεις σε συνεχή χρόνο Ορισμός 4.3. Κατανομές πεπερασμένης διάστασης μιας ανέλιξης X λέμε τις κατανομές των διανυσμάτων (X t1, X t2,..., X tn ) όπου n θετικός ακέραιος και t 1, t 2,..., t n I διαφορετικοί δείκτες. Στο πιο πάνω παράδειγμα, για οποιοδήποτε n 1 και t 1, t 2,..., t n 0 διαφορετικούς δείκτες, η κατανομή του (X t1, X t2,..., X tn ) είναι το μέτρο γινόμενο µ µ µ (n φορές) όπου µ είναι το ομοιόμορφο μέτρο στο { 1, 1}. 4.2 Ισοδυναμία ανελίξεων Σε αυτή την παράγραφο θα δούμε τέσσερις έννοιες ισοδυναμίας ανελίξεων. Ορισμός 4.4. Εστω X = (X t ) t 0, Y = (Y t ) t 0 δύο στοχαστικές ανελίξεις που ορίζονται σε κοινό χώρο πιθανότητας. (i) Η X λέγεται τροποποίηση της Y αν για κάθε t 0 ισχύει P(X t = Y t ) = 1. (ii) Οι X, Y λέγονται μη διακρίσιμες αν P(X t = Y t για κάθε t 0) = 1. Η δεύτερη σχέση ισοδυναμίας ανελίξεων είναι πιο ισχυρή από την πρώτη αφού για δεδομένο t 0, ισχύει {X s = Y s για κάθε s 0} {X t = Y t }. Παράδειγμα 4.5. Θεωρούμε την ανέλιξη X με X t = 0 για κάθε t 0, ω Ω και μια τυχαία μεταβλητή T με κατανομή την ομοιόμορφη στο διάστημα (0, 1). Θέτουμε 0 αν t [0, ) \ {T}, Y t := 1 αν t = T. Τότε για κάθε t 0, P(X t Y t ) = P(T = t) = 0, αφού η T είναι συνεχής τυχαία μεταβλητή, άρα P(X t = Y t ) = 1. Ομως P(X t = Y t για κάθε t 0) = 0. Κάθε μονοπάτι της X είναι συνεχής συνάρτηση (σταθερή μάλιστα), ενώ κάθε μονοπάτι της Y έχει μια ασυνέχεια στο σημείο T που επιλέγεται τυχαία. Επομένως οι X, Y είναι τροποποίηση η μιά της άλλης, αλλά δεν είναι μη διακρίσιμες. Για τη σχέση μεταξύ των δύο πιο πάνω εννοιών διατυπώνουμε ως πρόταση μια απλή παρατήρηση. Θα την χρησιμοποιήσουμε στην απόδειξη του Θεωρήματος Πρόταση 4.6. Αν οι X, Y παίρνουν τιμές σε έναν μετρικό χώρο, είναι τροποποίηση η μια της άλλης, και με πιθανότητα 1 έχουν συνεχή μονοπάτια, τότε είναι μη διακρίσιμες. Απόδειξη. Από την υπόθεση, υπάρχουν C 1, C 2 Ω με πιθανότητα 1 ώστε για κάθε ω Ω 1 η t X t (ω) είναι συνεχής και για κάθε ω Ω 2 η t Y t (ω) είναι συνεχής. Για t 0 θέτουμε A t := {ω Ω : X t (ω) = Y t (ω)}. Τότε το σύνολο C 1 C 2 ( ) t Q,t>0 A t έχει πιθανότητα 1 και σε αυτό ισχύει Xt (ω) = Y t (ω) για κάθε t 0 λόγω συνέχειας. Το ζητούμενο αποδείχθηκε. Παρατηρούμε ότι το συμπέρασμα της πρότασης έπεται επίσης αν η υπόθεση συνεχών μονοπατιών αντικατασταθεί με την υπόθεση ότι με πιθανότητα 1 οι X, Y έχουν μονοπάτια που σε κάθε σημείο t ή είναι και οι δύο συνεχείς από δεξιά του t ή είναι και οι δύο συνεχείς από αριστερά του t. Τώρα για ανελίξεις με τιμές σε έναν μετρήσιμο χώρο S, με ίδιο σύνολο δεικτών I, αλλά ορισμένες σε ενδεχομένως διαφορετικό χώρο πιθανότητας, δηλαδή έχουμε τις εξής έννοιες ισοδυναμίας. X :I Ω S, Y :I Ω S,

3 4.3 Martingales και χρόνοι διακοπής 33 Ορισμός 4.7. Εστω X = (X t ) t I, Y = (Y t ) t I δύο στοχαστικές ανελίξεις με τιμές στον ίδιο μετρήσιμο χώρο S. (i) Λέμε ότι οι X, Y έχουν τις ίδιες κατανομές πεπερασμένης διάστασης αν, για κάθε n 1 και t 1, t 2,..., t n I διαφορετικούς δείκτες, τα διανύσματα (X t1, X t2,..., X tn ), (Y t1, Y t2,..., Y tn ) έχουν την ίδια κατανομή. (ii) Λέμε ότι οι X, Y έχουν την ίδια κατανομή αν P X = P Y. Η ισότητα κατανομής για στοχαστικές ανελίξεις βλέπει τις ανελίξεις ως τυχαίες μεταβλητές στον S I και είναι η συνηθισμένη ισότητα κατανομών τυχαίων μεταβλητών. Δύο ανελίξεις με ίδια κατανομή έχουν τις ίδιες κατανομές πεπερασμένης διάστασης ( Ασκηση 4.2), αλλά, γενικά, το αντίστροφο δεν ισχύει. Το επόμενο θεώρημα δίνει ένα σενάριο όπου το αντίστροφο ισχύει. Σε αυτό υποθέτουμε ότι ο S είναι μετρικός χώρος και συμβολίζουμε με C S ([0, )) τον χώρο των συναρτήσεων f : [0, ) S που είναι συνεχείς. Θεώρημα 4.8. Εστω X, Y ανελίξεις όπως πριν τον Ορισμό 4.7, με S διαχωρίσιμο μετρικό χώρο και I = [0, ). Αν οι X, Y παίρνουν τιμές στον C S ([0, )) και έχουν τις ίδιες κατανομές πεπερασμένης διάστασης, τότε έχουν και την ίδια κατανομή. Για την απόδειξη, δες το Θεώρημα 2.6 στο Bass (2011) στην περίπτωση που S = R. Η πιο γενική περίπτωση που περιγράφει το θεώρημα αποδεικνύεται ανάλογα. Ενα τέτοιο αποτέλεσμα είναι εντελώς φυσιολογικό. Το μονοπάτι X [0, 1], λόγω συνέχειας, προσεγγίζεται από το διάνυσμα (X(0/2 n ), X(1/2 n ), X(2/2 n ),..., X(2 n /2 n )) [δηλαδή από τη γραμμική επέκταση στο [0, 1] της συνάρτησης που στα σημεία 0/2 n, 1/2 n, 2/2 n,..., 2 n /2 n έχει τιμές X(0/2 n ), X(1/2 n ), X(2/2 n ),..., X(2 n /2 n )]. Και η προσέγγιση γίνεται όλο και καλύτερη καθώς n. Ξέροντας την κατανομή αυτού του διανύσματος για ένα αρκετά μεγάλο n είναι σχεδόν σαν να ξέρουμε την κατανομή ολόκληρου του μονοπατιού X [0, 1]. Παρατήρηση 4.9 (Σ-άλγεβρα στον C S ([0, ))). Δύο σ-άλγεβρες που μπορεί να θεωρήσει κανείς στον Y := C S ([0, )) είναι οι εξής: (α) A 1 := {A Y : A t [0, ) B(S)}. Δηλαδή θεωρούμε τον Y ως υποσύνολο του χώρου γινόμενο S [0, ), ο οποίος είναι εφοδιασμένος με τη σ-άλγεβρα γινόμενο (αυτήν που παράγεται από τους μετρήσιμους κυλίνδρους) και αυτή η σ-άλγεβρα ορίζει φυσιολογικά μια σ-άλγεβρα στον Y. (β) A 2 := B(Y). Η Borel σ-άλγεβρα στον Y. Εδώ θεωρούμε τον Y ως μετρικό χώρο με μετρική την ρ( f, g) = n=1 1 ({ sup d( f (t), g(t))} 1). 2n t [0,n] Με d συμβολίζουμε τη μετρική στον S. Μια ακολουθία συναρτήσεων ( f n ) n 1 συγκλίνει ως προς τη μετρική ρ σε μια συνάρτηση f αν και μόνο αν συγκλίνει ομοιόμορφα στην f σε κάθε συμπαγές υποσύνολο του [0, ). Ισχύει το εξής αποτέλεσμα, το οποίο αποδεικνύουμε στο Παράρτημα Δʹ. Πρόταση A 1 = A Martingales και χρόνοι διακοπής Ορισμός (i) Διήθηση στον χώρο πιθανότητας (Ω, F, P) λέμε μια αύξουσα οικογένεια (F t ) t 0 σ-αλγεβρών, καθεμία υποσύνολο της F. Δηλαδή, έχουμε F s F t F για κάθε 0 s < t. (ii) Μια στοχαστική ανέλιξη (X t ) t 0 λέγεται προσαρμοσμένη στη διήθηση (F t ) t 0 αν για κάθε t 0 η X t είναι F t -μετρήσιμη.

4 34 Ανελίξεις σε συνεχή χρόνο Τώρα, αν X = (X t ) t 0 είναι μια στοχαστική ανέλιξη, τότε η ελάχιστη διήθηση ως προς την οποία η X είναι προσαρμοσμένη είναι αυτή που ορίζεται ως F t := σ({x s : 0 s t}) για κάθε t 0, δηλαδή η διήθηση που παράγεται από τη X. Ανάλογα ορίζεται η έννοια της διήθησης με γενικό σύνολο δεικτών I αρκεί σε αυτό να έχουμε μια διάταξη. Και αντίστοιχα για μια ανέλιξη (X t ) t I ορίζεται η διήθηση που αυτή παράγει. Ακριβώς πριν το Παράδειγμα 3.2 είδαμε χρήση αυτών των εννοιών (εκεί είχαμε I = N). Οι ανελίξεις που θα θεωρήσουμε ως το τέλος αυτής της παραγράφου παίρνουν τιμές στο R. Ορισμός Αν η στοχαστική ανέλιξη (X t ) t 0 ικανοποιεί τις ιδιότητες: (i) Η (X t ) t 0 είναι προσαρμοσμένη στην (F t ) t 0, (ii) E X t < για κάθε t 0, (iii) E(X t F s ) = X s για κάθε 0 s < t, τότε λέγεται martingale ως προς τη διήθηση (F t ) t 0. Αν αντί της (iii) ισχύει η E(X t F s ) X s, τότε η ανέλιξη λέγεται submartingale, ενώ αν ισχύει η E(X t F s ) X s, τότε η ανέλιξη λέγεται supermartingale. Προφανώς, αν (X t ) t 0 είναι martingale ως προς τη διήθηση (F t ) t 0 και (t n ) n N είναι μια αύξουσα ακολουθία στο [0, ), τότε η ανέλιξη (X tn ) n N είναι martingale ως προς τη διήθηση (F tn ) n N. Χρησιμοποιούμε αυτή την παρατήρηση για να μεταφέρουμε στο πλαίσιο των ανελίξεων σε συνεχή χρόνο αποτελέσματα που έχουν δειχθεί σε διακριτό χρόνο (δες την απόδειξη του Θεωρήματος 4.16 πιο κάτω). Ανάλογα με την περίπτωση που έχουμε διήθηση σε διακριτό χρόνο (I = N), ορίζεται και τώρα, με I = [0, ), η έννοια του χρόνου διακοπής. Ορισμός Μια συνάρτηση T : Ω [0, ] λέγεται χρόνος διακοπής ως προς τη διήθηση (F t ) t 0 αν για κάθε t 0 ισχύει {T t} F t. (4.1) Σε αυτές τις σημειώσεις θα χρησιμοποιήσουμε martingales σε συνεχή χρόνο για να υπολογίσουμε ποσότητες που αφορούν την κίνηση Brown, όπως στην Παράγραφο 3.5 χρησιμοποιήσαμε martingales σε διακριτό χρόνο για τον τυχαίο περίπατο. Για (X t ) t 0 ανέλιξη και T : Ω [0, ], συμβολίζουμε με X T την ανέλιξη που ορίζεται ως Xt T = X t T για κάθε t 0. Χρειαζόμαστε το ακόλουθο θεώρημα, την απόδειξη του οποίου μπορεί να δει ο αναγνώστης στην Παράγραφο 3 του Κεφαλαίου ΙΙ στο Revuz and Yor (1999). Θεώρημα Εστω X = (X t ) t 0 συνεχές martingale και T χρόνος διακοπής. Τότε η ανέλιξη X T είναι martingale. Αμεση συνέπεια αυτού του αποτελέσματος είναι το εξής. Θεώρημα 4.15 (Θεώρημα επιλεκτικής διακοπής). Εστω X = (X t ) t 0 συνεχές martingale και T φραγμένος χρόνος διακοπής. Τότε E(X T ) = E(X 0 ). Απόδειξη. Αν M είναι ένα άνω φράγμα του χρόνου διακοπής T, τότε επειδή η X T είναι martingale, θα έχουμε E(XM T ) = E(XT 0 ), το οποίο είναι η ζητούμενη ισότητα αφού T M = T. Χρήσιμη στην κατασκευή του στοχαστικού ολοκληρώματος είναι η ακόλουθη ανισότητα.

5 4.3 Martingales και χρόνοι διακοπής 35 Θεώρημα 4.16 (Ανισότητα Doob για submartingales). Εστω X = (X t ) t 0 συνεχές submartingale και t > 0. Τότε για κάθε λ > 0, έχουμε P ( sup X s λ ) 1 s [0,t] λ E(X+ t ). Απόδειξη. Για n 1, έστω I n := ({k/2 n : k N} [0, t]) {t}. Το Θεώρημα 3.20 δίνει ότι για r > 0 ισχύει P(sup s I n X s > r) P(sup s I n X s r) 1 r E(X+ t ). Η ακολουθία A n := {sup s In X s > r}, n 1 είναι αύξουσα (γιατί και η (I n ) n 1 είναι) και η ένωσή της είναι το σύνολο {sup s [0,t] X s > r}. Στον τελευταίο ισχυρισμό χρησιμοποιούμε ότι η X έχει συνεχή μονοπάτια και ότι η ένωση των I n είναι ένα πυκνό υποσύνολο του [0, t]. Αρα P( sup X s > r) 1 s [0,t] r E(X+ t ). (4.2) Παίρνουμε τώρα μια γνησίως αύξουσα ακολουθία (r n ) n 1 θετικών αριθμών που συγλίνει στο λ. Τότε η ακολουθία A n := {sup s [0,t] X s > r n } είναι φθίνουσα με τομή το σύνολο {sup s [0,t] X s λ}. Εφαρμόζουμε την (4.2) για r = r n, παίρνουμε n, και έπειτα επικαλούμαστε ότι lim n P(A n ) = P( n 1 A n ). Προκύπτει έτσι το ζητούμενο. Μια ιδιότητα ασθενέστερη από αυτήν του martingale αλλά εξίσου χρήσιμη είναι αυτή του local martingale. Ο ορισμός της είναι ο εξής. Ορισμός Η ανέλιξη (X t ) t 0 λέγεται local martingale ως προς τη διήθηση (F t ) t 0 αν υπάρχει αύξουσα ακολουθία (τ n ) n 1 χρόνων διακοπής ώστε: (i) P(lim n τ n = ) = 1. (ii) Για κάθε n 1 η σταματημένη ανέλιξη (X t τn ) t 0 είναι martingale ως προς την (F t ) t 0. Επειδή X t = lim n X t τn, η X είναι προσαρμοσμένη στην(f t ) t 0. Κάθε martingale είναι local martingale όπως θα δούμε τώρα, το αντίστροφο όμως δεν ισχύει (δες παράδειγμα 13.7). Παρατήρηση Θα δείξουμε ότι κάθε martingale X είναι local martingale. Για κάθε n N + θέτουμε τ n := n (σταθερός χρόνος διακοπής). Μένει να δείξουμε ότι για κάθε n N + η ανέλιξη (X t n ) t 0 είναι martingale. Είναι προσαρμοσμένη γιατί, αν t < n, τότε η X t n = X t είναι F t -μετρήσιμη, ενώ, αν t n, έχουμε X t n = X n η οποία είναι F n -μετρήσιμη, άρα και F t -μετρήσιμη αφού F n F t. Επίσης, E X t n < προφανώς, αφού για τον αριθμό s := t n ξέρουμε ότι E X s <. Μένει να δείξουμε ότι για κάθε 0 s < t ισχύει E(X t n F s ) = X s n. Για αυτό διακρίνει κανείς τις περιπτώσεις s < t n, s < n t, n s < t. Ας δούμε την τελευταία. Θέλουμε E(X n F s ) = X n, το οποίο ισχύει αφού η X n είναι F s - μετρήσιμη (ως F n -μετρήσιμη). Οι άλλες δύο περιπτώσεις είναι εξίσου απλές. Υπό κάποιες προϋποθέσεις ένα local martingale είναι martingale. Μια τέτοια περίπτωση είναι η ακόλουθη. Πρόταση Αν ένα local martingale (X t ) t 0 είναι φραγμένο [δηλαδή υπάρχει M (0, ) ώστε X t (ω) M για κάθε t 0 και ω Ω], τότε είναι martingale.

6 36 Ανελίξεις σε συνεχή χρόνο Απόδειξη. Ξέρουμε ότι η (X t ) t 0 είναι προσαρμοσμένη. Εστω (τ n ) n 1 μια ακολουθία χρόνων διακοπής όπως στον Ορισμό Αφού η X t είναι φραγμένη, έπεται ότι E X t <. Τέλος, για 0 s < t έχουμε E(X t τn F s ) = X s τn για κάθε n 1. Για n, το δεξί μέλος της τελευταίας ισότητας τείνει στο X s, ενώ στο αριστερό εφαρμόζουμε το θεώρημα κυριαρχημένης σύγκλισης για τη δεσμευμένη μέση τιμή (Θεώρημα 2.17). Κυριαρχούσα συνάρτηση είναι η σταθερά M. Παραδείγματα martingales σε συνεχή χρόνο καθώς και εφαρμογές του θεωρήματος επιλεκτικής διακοπής (Θεώρημα 4.15) θα δούμε αφότου κατασκευάσουμε την κίνηση Brown στο επόμενο κεφάλαιο. 4.4 Ιδιότητες Markov* Μια ειδική κατηγορία ανελίξεων είναι οι ανελίξεις Markov. Ετσι λέμε αυτές που έχουν την ιδιότητα Markov, την οποία θα ορίσουμε τώρα. Εστω (Ω, F, P) χώρος πιθανότητας, I R σύνολο δεικτών, (F t ) t I μια διήθηση, (S, A) ένας μετρήσιμος χώρος, και X = (X t ) t I μια ανέλιξη με τιμές στον S και προσαρμοσμένη στην (F t ) t I. Συνήθως, η (F t ) t I είναι αυτή που παράγεται από τη X. Δηλαδή F t := σ({x s : s I, s t}). Χρόνο διακοπής ως προς την (F t ) t I λέμε οποιαδήποτε τυχαία μεταβλητή T : Ω [0, ] ικανοποιεί την (4.1) για κάθε t I. Για C F και G F σ-άλγεβρα, θα συμβολίζουμε με P(C G) τη δεσμευμένη μέση τιμή E(1 C G). Ορισμός Λέμε ότι η X έχει την ιδιότητα Markov ως προς τη διήθηση (F t ) t I αν για κάθε s, t I με s t και A A ισχύει P(X t A F s ) = P(X t A X s ) με πιθανότητα 1. Δηλαδή, αν τοποθετήσουμε τον εαυτό μας στη χρονική στιγμή s, η κατανομή της τιμής της X σε έναν δεδομένο μελοντικό χρόνο t, δεδομένου ολόκληρου του παρελθόντος (από τη στιγμη s και πριν), είναι η ίδια αν δεδομένη είναι απλώς η τιμή X s της X κατά τον παρόντα χρόνο s. Μάλιστα είναι συνέπεια του ορισμού ότι η κατανομή ολόκληρης της ανέλιξης (X t ) t s δεδομένης της F s παραμένει η ίδια αν αντί της F s είναι δεδομένη η X s. Παράδειγμα (α) Ο απλός τυχαίος περίπατος (S n ) n 0 στο Z (δες Παράγραφο 3.1 για τον συμβολισμό) έχει την ιδιότητα Markov ως προς τη διήθηση που παράγει ο ίδιος γιατί για n k και A Z έχουμε P(S n A F k ) = φ(s k ) = P(S n A S k ) με φ(r) = P(a+ k< j n X j A) για κάθε r Z. Οι ισότητες είναι διαισθητικά προφανείς και προκύπτουν με χρήση της Πρότασης 2.11 (γενικευμένης για X, Y πολυδιάστατες τυχαίες μεταβλητές). (β) Η ανέλιξη (M n ) n 0 με M n = max 0 k n S k, όπου (S n ) n 0 είναι ο απλός τυχαίος περίπατος στο Z, δεν έχει την ιδιότητα Markov ως προς τη διήθηση που αυτή παράγει. Η απόδειξη αυτού του ισχυρισμού αφήνεται ως μια μη τετριμμένη άσκηση. Πολλές φορές, μια ανέλιξη Markov (X t ) t I ικανοποιεί την ιδιότητα του Ορισμού 4.20 πιο πάνω όχι απλώς για κάθε σταθερό χρόνο s αλλά και για κάθε πεπερασμένο χρόνο διακοπής T. Δηλαδή, η κατανομή του μονοπατιού (X t ) t T της X μετά τον χρόνο T επηρεάζεται από την «πληροφορία του παρελθόντος» μόνο μέσω της τιμής X(T). Πρώτα ορίζουμε τι σημαίνει «πληροφορία» μέχρι τον τυχαίο χρόνο T. Αυτή είναι η σ-άλγεβρα F T := {A F : A {T t} F t για κάθε t I}. (4.3)

7 4.4 Ιδιότητες Markov* 37 Διαισθητικά, αυτή η σ-άλγεβρα περιέχει τα γεγονότα για τα οποία μπορούμε την χρονική στιγμή T να αποφανθούμε αν έχουν συμβεί ως τότε. Και οι τυχαίες μεταβλητές που είναι μετρήσιμες ως προς αυτή τη σ-άλγεβρα είναι εκείνες των οποίων η τιμή μπορεί να καθοριστεί από την πληροφορία ως και τον χρόνο T. Επειδή η X είναι προσαρμοσμένη στη διήθηση (F t ) t I, η πληροφορία ως και τον χρόνο T περιέχει την τιμή του T και τις τιμές που έχει πάρει η X στο διάστημα [0, T]. Το κάνουμε πιο σαφές αυτό στο επόμενο παράδειγμα. Παράδειγμα (α) Η T είναι F T -μετρήσιμη. Αρκεί να δείξουμε ότι για οποιοδήποτε r 0 το γεγονός A := {T r} είναι στοιχείο της F T. Πράγματι, για κάθε t I θέτουμε s := sup(i [0, r t]) και ας υποθέσουμε ότι s I. Τότε A {T t} = {T r t} = {T s} F s F t αφού ο T είναι χρόνος διακοπής. Η περίπτωση που s I αφήνεται ως άσκηση. (β) Ας υποθέσουμε ότι I = [0, ) και ότι η X παίρνει τιμές σε έναν μετρικό χώρο και έχει συνεχή μονοπάτια. Τότε η τυχαία μεταβλητή X T είναι F T μετρήσιμη. Αυτό είναι κάτι εντελώς αναμενόμενο από την περιγραφή που δώσαμε για την F T αλλά δεν είναι άμεσο, οπότε αφήνουμε την απόδειξή του για τις ασκήσεις ( Ασκηση 4.11). Δίνουμε τώρα τον ορισμό της ισχυρής ιδιότητας Markov. Θεωρούμε σημείο δ S και ορίζουμε X t = δ για κάθε t R\I. Ορισμός Λέμε ότι η X έχει την ισχυρή ιδιότητα Markov ως προς τη διήθηση (F t ) t I αν για κάθε χρόνο διακοπής T που παίρνει τιμές στο I, t > 0 και A A ισχύει P(X T+t A F T ) = P(X T+t A X T ). Για την ισχυρή ιδιότητα Markov ισχύει ανάλογη παρατήρηση με αυτήν που ακολουθεί τον Ορισμό Για περισσότερα σχετικά με τις ανελίξεις που έχουν την ιδιότητα Markov ή την ισχυρή ιδιότητα Markov και τη σχέση των δύο ιδιοτήτων μπορεί να δει κανείς στα Κεφάλαια 19, 20 του Bass (2011) ή στο Κεφάλαιο ΙΙΙ των Revuz and Yor (1999). Ασκήσεις 4.1 (Δέσμευση και ολοκλήρωμα Lebesgue) Εστω (Ω, F, P) χώρος πιθανότητας, (F t ) t 0 διήθηση σε αυτόν, και X : [0, ) Ω R ανέλιξη μετρήσιμη ως προς τη σ-άλγεβρα B([0, )) F. Αν E X(r, ω) dr < και η r 0 E{X(r, ω) F s } είναι μετρήσιμη, τότε για κάθε s 0 ισχύει ( ) E X(r, ω) dr F s = E{X(r, ω) F s } dr Εστω (X t ) t 0, (Y t ) t 0 στοχαστικές ανελίξεις με τιμές σε έναν μετρικό χώρο S. Αν έχουν την ίδια κατανομή, να δειχθεί ότι έχουν τις ίδιες κατανομές πεπερασμένης διάστασης. 4.3 Αν a (0, ), να δειχθεί ότι η σταθερή τυχαία μεταβλητή T = a είναι χρόνος διακοπής. 4.4 Αν οι τυχαίες μεταβλητές T, S είναι χρόνοι διακοπής και a > 1, να δειχθεί ότι χρόνοι διακοπής είναι επίσης και οι τυχαίοι χρόνοι S T, S T, S + T, as Εστω T χρόνος διακοπής. Για κάθε n N ορίζουμε τον τυχαίο χρόνο T n := [2 n T + 1]/2 n, δηλαδή θέτουμε T n = k/2 n (k N + ) ακριβώς όταν T [(k 1)/2 n, k/2 n ), ενώ T n = όταν T =. Να δειχθεί ότι: (α) Κάθε T n είναι χρόνος διακοπής. (β) Η (T n ) n 0 είναι φθίνουσα και lim n T n = T.

8 38 Ανελίξεις σε συνεχή χρόνο 4.6 Αν ο T είναι χρόνος διακοπής ως προς τη διήθηση (F t ) t 0, τότε για κάθε t > 0 ισχύει {T < t} F t. 4.7 Εστω X = (X t ) t 0 συνεχές μη αρνητικό submartingale, p 1, και t > 0. Τότε για κάθε λ > 0, έχουμε P ( sup X s λ ) 1 0 s t λ p E(X p t ). 4.8 Εστω X = (X t ) t 0 μη αρνητικό local martingale. Να δειχθεί ότι είναι supermartingale. 4.9 Εστω X = (X t ) t 0 θετικό συνεχές martingale με X 0 = x 0 (0, ) δεδομένη σταθερά και lim t X t = 0 με πιθανότητα 1. Θέτουμε X := sup t 0 X t. Να δειχθεί ότι για κάθε x > x 0 ισχύει P(X > x) = x x 0. [Υπόδειξη.: Εστω T := inf{t 0 : X t = x}. Εφαρμόζουμε το θεώρημα επιλεκτικής διακοπής για το martingale X και τον χρόνο T r με r (0, ) αυθαίρετο.] 4.10 Να δειχθεί ότι πράγματι η F T της σχέσης (4.3) είναι σ-άλγεβρα. Ο T είναι χρόνος διακοπής Εστω (F t ) t 0 διήθηση σε ένα χώρο πιθανότητας και X = (X t ) t 0 ανέλιξη με τιμές σε έναν μετρικό χώρο και προσαρμοσμένη στην (F t ) t 0. Για T χρόνο διακοπής θεωρούμε την ακολουθία των τυχαίων χρόνων T n = [2 n T]/2 n, n N (δεν είναι απαραίτητα χρόνοι διακοπής). Να δειχθεί ότι: (α) Η X T n είναι F T -μετρήσιμη για κάθε n N. (β) Αν η X έχει συνεχή μονοπάτια, να δειχθεί ότι η X T είναι F T -μετρήσιμη.

9 Μέρος II Κίνηση Brown

10 40

Ανεξαρτησία Ανεξαρτησία για οικογένειες συνόλων και τυχαίες μεταβλητές

Ανεξαρτησία Ανεξαρτησία για οικογένειες συνόλων και τυχαίες μεταβλητές 10 Ανεξαρτησία 10.1 Ανεξαρτησία για οικογένειες συνόλων και τυχαίες μεταβλητές Στην παράγραφο αυτή δουλεύουμε σε χώρο πιθανότητας (Ω, F, P). Δίνουμε καταρχάς τον ορισμό της ανεξαρτησίας για ενδεχόμενα,

Διαβάστε περισσότερα

Ο Ισχυρός Νόμος των Μεγάλων Αριθμών

Ο Ισχυρός Νόμος των Μεγάλων Αριθμών 1 Ο Ισχυρός Νόμος των Μεγάλων Αριθμών Στο κεφάλαιο αυτό παρουσιάζουμε ένα από τα σημαντικότερα αποτελέσματα της Θεωρίας Πιθανοτήτων, τον ισχυρό νόμο των μεγάλων αριθμών. Η διατύπωση που θα αποδείξουμε

Διαβάστε περισσότερα

Ο τύπος του Itô. f (s) ds (12.1) f (g(s)) dg(s). (12.2) t f (B s ) db s + 1 2

Ο τύπος του Itô. f (s) ds (12.1) f (g(s)) dg(s). (12.2) t f (B s ) db s + 1 2 12 Ο τύπος του Itô Για συνάρτηση f : R R με συνεχή παράγωγο, έχουμε d f (s) = f (s) ds που σε ολοκληρωτική μορφή σημαίνει f (b) f (a) = b a f (s) ds (12.1) για κάθε a < b. Αν επιπλέον και η g : R R έχει

Διαβάστε περισσότερα

Αποδεικτικές Διαδικασίες και Μαθηματική Επαγωγή.

Αποδεικτικές Διαδικασίες και Μαθηματική Επαγωγή. Αποδεικτικές Διαδικασίες και Μαθηματική Επαγωγή. Mαθηματικό σύστημα Ένα μαθηματικό σύστημα αποτελείται από αξιώματα, ορισμούς, μη καθορισμένες έννοιες και θεωρήματα. Η Ευκλείδειος γεωμετρία αποτελεί ένα

Διαβάστε περισσότερα

Μεγάλες αποκλίσεις* 17.1 Η έννοια της μεγάλης απόκλισης

Μεγάλες αποκλίσεις* 17.1 Η έννοια της μεγάλης απόκλισης 7 Μεγάλες αποκλίσεις* 7. Η έννοια της μεγάλης απόκλισης Εστω (X ανεξάρτητες και ισόνομες τυχαίες μεταβλητές ώστε P(X = = P(X = = /2 και S = k= X k το άθροισμα των πρώτων από αυτές. Ο νόμος των μεγάλων

Διαβάστε περισσότερα

Αναγνώριση Προτύπων. Σήμερα! Λόγος Πιθανοφάνειας Πιθανότητα Λάθους Κόστος Ρίσκο Bayes Ελάχιστη πιθανότητα λάθους για πολλές κλάσεις

Αναγνώριση Προτύπων. Σήμερα! Λόγος Πιθανοφάνειας Πιθανότητα Λάθους Κόστος Ρίσκο Bayes Ελάχιστη πιθανότητα λάθους για πολλές κλάσεις Αναγνώριση Προτύπων Σήμερα! Λόγος Πιθανοφάνειας Πιθανότητα Λάθους Πιθανότητα Λάθους Κόστος Ρίσκο Bayes Ελάχιστη πιθανότητα λάθους για πολλές κλάσεις 1 Λόγος Πιθανοφάνειας Ας υποθέσουμε ότι θέλουμε να ταξινομήσουμε

Διαβάστε περισσότερα

Αναγνώριση Προτύπων. Σημερινό Μάθημα

Αναγνώριση Προτύπων. Σημερινό Μάθημα Αναγνώριση Προτύπων Σημερινό Μάθημα Μη Παραμετρικός Υπολογισμός πυκνότητας με εκτίμηση Ιστόγραμμα Παράθυρα Parzen Εξομαλυμένη Kernel Ασκήσεις 1 Μη Παραμετρικός Υπολογισμός πυκνότητας με εκτίμηση Κατά τη

Διαβάστε περισσότερα

Οι γέφυρες του ποταμού... Pregel (Konigsberg)

Οι γέφυρες του ποταμού... Pregel (Konigsberg) Οι γέφυρες του ποταμού... Pregel (Konigsberg) Β Δ Β Δ Γ Γ Κύκλος του Euler (Euler cycle) είναι κύκλος σε γράφημα Γ που περιέχει κάθε κορυφή του γραφήματος, και κάθε ακμή αυτού ακριβώς μία φορά. Για γράφημα

Διαβάστε περισσότερα

Ας υποθέσουμε ότι ο παίκτης Ι διαλέγει πρώτος την τυχαιοποιημένη στρατηγική (x 1, x 2 ), x 1, x2 0,

Ας υποθέσουμε ότι ο παίκτης Ι διαλέγει πρώτος την τυχαιοποιημένη στρατηγική (x 1, x 2 ), x 1, x2 0, Οικονομικό Πανεπιστήμιο Αθηνών Τμήμα Στατιστικής Εισαγωγή στην Επιχειρησιακή Ερευνα Εαρινό Εξάμηνο 2015 Μ. Ζαζάνης Πρόβλημα 1. Να διατυπώσετε το παρακάτω παίγνιο μηδενικού αθροίσματος ως πρόβλημα γραμμικού

Διαβάστε περισσότερα

Εξαναγκασμένες ταλαντώσεις, Ιδιοτιμές με πολλαπλότητα, Εκθετικά πινάκων. 9 Απριλίου 2013, Βόλος

Εξαναγκασμένες ταλαντώσεις, Ιδιοτιμές με πολλαπλότητα, Εκθετικά πινάκων. 9 Απριλίου 2013, Βόλος ιαφορικές Εξισώσεις Εξαναγκασμένες ταλαντώσεις, Ιδιοτιμές με πολλαπλότητα, Ατελείς ιδιοτιμές Εκθετικά πινάκων Μανόλης Βάβαλης Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Τηλεπικοινωνιών και ικτύων Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας 9 Απριλίου

Διαβάστε περισσότερα

{ i f i == 0 and p > 0

{ i f i == 0 and p > 0 ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ - ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Σχεδίαση και Ανάλυση Αλγορίθμων Διδάσκων: Ε. Μαρκάκης, Φθινοπωρινό εξάμηνο 014-015 Λύσεις 1ης Σειράς Ασκήσεων

Διαβάστε περισσότερα

«ΔΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ»

«ΔΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ» HY 118α «ΔΙΚΡΙΤ ΜΘΗΜΤΙΚ» ΣΚΗΣΕΙΣ ΠΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΙΣΤΩΝ εώργιος Φρ. εωργακόπουλος ΜΕΡΟΣ (1) ασικά στοιχεία της θεωρίας συνόλων. Π. ΚΡΗΤΗΣ ΤΜ. ΕΠ. ΥΠΟΛΟΙΣΤΩΝ «ΔΙΚΡΙΤ ΜΘΗΜΤΙΚ». Φ. εωργακόπουλος

Διαβάστε περισσότερα

HY 280. θεμελιακές έννοιες της επιστήμης του υπολογισμού ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ. Γεώργιος Φρ.

HY 280. θεμελιακές έννοιες της επιστήμης του υπολογισμού ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ. Γεώργιος Φρ. HY 280 «ΘΕΩΡΙΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ» θεμελικές έννοιες της επιστήμης του υπολογισμού ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Γεώργιος Φρ. Γεωργκόπουλος μέρος Α Εισγωγή, κι η σική θεωρί των πεπερσμένων

Διαβάστε περισσότερα

Σχέσεις και ιδιότητές τους

Σχέσεις και ιδιότητές τους Σχέσεις και ιδιότητές τους Διμελής (binary) σχέση Σ από σύνολο Χ σε σύνολο Υ είναι ένα υποσύνολο του καρτεσιανού γινομένου Χ Υ. Αν (χ,ψ) Σ, λέμε ότι το χ σχετίζεται με το ψ και σημειώνουμε χσψ. Στην περίπτωση

Διαβάστε περισσότερα

21/11/2005 Διακριτά Μαθηματικά. Γραφήματα ΒΑΣΙΚΗ ΟΡΟΛΟΓΙΑ : ΜΟΝΟΠΑΤΙΑ ΚΑΙ ΚΥΚΛΟΙ Δ Ι. Γεώργιος Βούρος Πανεπιστήμιο Αιγαίου

21/11/2005 Διακριτά Μαθηματικά. Γραφήματα ΒΑΣΙΚΗ ΟΡΟΛΟΓΙΑ : ΜΟΝΟΠΑΤΙΑ ΚΑΙ ΚΥΚΛΟΙ Δ Ι. Γεώργιος Βούρος Πανεπιστήμιο Αιγαίου Γραφήματα ΒΑΣΙΚΗ ΟΡΟΛΟΓΙΑ : ΜΟΝΟΠΑΤΙΑ ΚΑΙ ΚΥΚΛΟΙ A Ε B Ζ Η Γ K Θ Δ Ι Ορισμός Ένα (μη κατευθυνόμενο) γράφημα (non directed graph) Γ, είναι μία δυάδα από σύνολα Ε και V και συμβολίζεται με Γ=(Ε,V). Το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

Αναγνώριση Προτύπων. Σημερινό Μάθημα

Αναγνώριση Προτύπων. Σημερινό Μάθημα Αναγνώριση Προτύπων Σημερινό Μάθημα Bias (απόκλιση) και variance (διακύμανση) Ελεύθεροι Παράμετροι Ελεύθεροι Παράμετροι Διαίρεση dataset Μέθοδος holdout Cross Validation Bootstrap Bias (απόκλιση) και variance

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμική Ανεξαρτησία. Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Τηλεπικοινωνιών και ικτύων Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας. 17 Μαρτίου 2013, Βόλος

Γραμμική Ανεξαρτησία. Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Τηλεπικοινωνιών και ικτύων Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας. 17 Μαρτίου 2013, Βόλος Γραμμικές Συνήθεις ιαφορικές Εξισώσεις Ανώτερης Τάξης Γραμμικές Σ Ε 2ης τάξης Σ Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία Μανόλης Βάβαλης

Διαβάστε περισσότερα

Εκφωνήσεις και Λύσεις των Θεμάτων

Εκφωνήσεις και Λύσεις των Θεμάτων ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Δευτέρα 8 Μαΐου 0 Εκφωνήσεις και Λύσεις των Θεμάτων

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΟΛΑ (προσέξτε τα κοινά χαρακτηριστικά των παρακάτω προτάσεων) Οι άνθρωποι που σπουδάζουν ΤΠ&ΕΣ και βρίσκονται στην αίθουσα

ΣΥΝΟΛΑ (προσέξτε τα κοινά χαρακτηριστικά των παρακάτω προτάσεων) Οι άνθρωποι που σπουδάζουν ΤΠ&ΕΣ και βρίσκονται στην αίθουσα ΣΥΝΟΛΑ (προσέξτε τα κοινά χαρακτηριστικά των παρακάτω προτάσεων) Οι άνθρωποι που σπουδάζουν ΤΠ&ΕΣ και βρίσκονται στην αίθουσα Τα βιβλία διακριτών μαθηματικών του Γ.Β. Η/Υ με επεξεργαστή Pentium και χωρητικότητα

Διαβάστε περισσότερα

Εκφωνήσεις και Λύσεις των Θεμάτων

Εκφωνήσεις και Λύσεις των Θεμάτων ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Τετάρτη 23 Μαΐου 2012 Εκφωήσεις και Λύσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΕΠ 2000 ΑΣΕΠ 2000 Εμπορική Τράπεζα 1983 Υπουργείο Κοιν. Υπηρ. 1983

ΑΣΕΠ 2000 ΑΣΕΠ 2000 Εμπορική Τράπεζα 1983 Υπουργείο Κοιν. Υπηρ. 1983 20 Φεβρουαρίου 2010 ΑΣΕΠ 2000 1. Η δεξαμενή βενζίνης ενός πρατηρίου υγρών καυσίμων είναι γεμάτη κατά τα 8/9. Κατά τη διάρκεια μιας εβδομάδας το πρατήριο διέθεσε τα 3/4 της βενζίνης αυτής και έμειναν 4000

Διαβάστε περισσότερα

( ιμερείς) ΙΜΕΛΕΙΣ ΣΧΕΣΕΙΣ Α Β «απεικονίσεις»

( ιμερείς) ΙΜΕΛΕΙΣ ΣΧΕΣΕΙΣ Α Β «απεικονίσεις» ( ιμερείς) ΙΜΕΛΕΙΣ ΣΧΕΣΕΙΣ Α Β «πεικονίσεις» 1. ΣΧΕΣΕΙΣ: το σκεπτικό κι ο ορισμός. Τ σύνολ νπριστούν ιδιότητες μεμονωμένων στοιχείων: δεδομένου συνόλου S, κι ενός στοιχείου σ, είνι δυντόν είτε σ S είτε

Διαβάστε περισσότερα

Η ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΩΝ FRACTALS

Η ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΩΝ FRACTALS Η ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΩΝ FRACTALS ΕΛΕΝΗ ΤΑΝΤΟΥΛΟΥ ΕΠΙΒΛΕΠΩΝ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ: ΑΝΤΩΝΗΣ ΤΣΟΛΟΜΥΤΗΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΣΑΜΟΣ 2009 Στην μητέρα μου που μπορεί και με ανέχεται ακόμα,

Διαβάστε περισσότερα

Pointers. Σημερινό Μάθημα! Χρήση pointer Τελεστής * Τελεστής & Γενικοί δείκτες Ανάκληση Δέσμευση μνήμης new / delete Pointer σε αντικείμενο 2

Pointers. Σημερινό Μάθημα! Χρήση pointer Τελεστής * Τελεστής & Γενικοί δείκτες Ανάκληση Δέσμευση μνήμης new / delete Pointer σε αντικείμενο 2 Pointers 1 Σημερινό Μάθημα! Χρήση pointer Τελεστής * Τελεστής & Γενικοί δείκτες Ανάκληση Δέσμευση μνήμης new / delete Pointer σε αντικείμενο 2 1 Μνήμη μεταβλητών Κάθε μεταβλητή έχει διεύθυνση Δεν χρειάζεται

Διαβάστε περισσότερα

Αρτιες και περιττές συναρτήσεις

Αρτιες και περιττές συναρτήσεις Μελέτη Συναρτήσεων: άρτιες, περιττές συναρτήσεις - μονοτονία - ακρότατα Κώστας Ράπτης Άρτιες και περιττές συναρτήσεις Ὁι ψυχολόγοι κάνουν λόγο για δύο επίπεδα συλλογιστικής και μνήμης: το αρχαϊκό και το

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ: ΕΜΠΟΡΙΚΟ ΔΙΚΑΙΟ

ΜΑΘΗΜΑ: ΕΜΠΟΡΙΚΟ ΔΙΚΑΙΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΕΜΠΟΡΙΚΟ ΔΙΚΑΙΟ Tα Πανεπιστημιακά Φροντιστήρια «ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ» προετοιμάζοντας σε ολιγομελείς ομίλους τους υποψήφιους για τον επικείμενο διαγωνισμό του Υπουργείου Οικονομικών, με κορυφαίο επιτελείο

Διαβάστε περισσότερα

Αρτιες και περιττές συναρτήσεις

Αρτιες και περιττές συναρτήσεις Μελέτη Συναρτήσεων: άρτιες, περιττές συναρτήσεις - μονοτονία - ακρότατα Κωνσταντίνος Α. Ράπτης Άρτιες και περιττές συναρτήσεις Ὁι ψυχολόγοι κάνουν λόγο για δύο επίπεδα συλλογιστικής και μνήμης: το αρχαϊκό

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ: Aποτελεσματικότητα της νομισματικής και δημοσιονομικής πολιτικής σε μια ανοικτή οικονομία

ΘΕΜΑ: Aποτελεσματικότητα της νομισματικής και δημοσιονομικής πολιτικής σε μια ανοικτή οικονομία ΘΕΜΑ: ποτελεσματικότητα της νομισματικής και δημοσιονομικής πολιτικής σε μια ανοικτή οικονομία Σύνταξη: Μπαντούλας Κων/νος, Οικονομολόγος, Ms Χρηματοοικονομικών 1 Η πρώτη θεωρία σχετικά με τον αυτόματο

Διαβάστε περισσότερα

17 Μαρτίου 2013, Βόλος

17 Μαρτίου 2013, Βόλος Συνήθεις ιαφορικές Εξισώσεις 1ης Τάξης Σ Ε 1ης τάξης, Πεδία κατευθύνσεων, Υπαρξη και μοναδικότητα, ιαχωρίσιμες εξισώσεις, Ολοκληρωτικοί παράγοντες, Αντικαταστάσεις, Αυτόνομες εξισώσεις Μανόλης Βάβαλης

Διαβάστε περισσότερα

Πανεπιστήμιο Πειραιώς. Πρόγραμμα Μεταπτυχιακών Σπουδών Αναλογιστική Επιστήμη και Διοικητική Κινδύνου

Πανεπιστήμιο Πειραιώς. Πρόγραμμα Μεταπτυχιακών Σπουδών Αναλογιστική Επιστήμη και Διοικητική Κινδύνου Πανεπιστήμιο Πειραιώς Τμήμα Στατιστικής και Ασφαλιστικής Επιστήμης Πρόγραμμα Μεταπτυχιακών Σπουδών Αναλογιστική Επιστήμη και Διοικητική Κινδύνου Παραμετρικά Μοντέλα Επιβίωσης που προκύπτουν από μεταβολές

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑ ΕΠΙΛΟΓΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑ ΕΠΙΛΟΓΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑ ΕΠΙΛΟΓΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: ΕΠΩΝΥΜΟ: ΟΝΟΜΑ: ΟΜΑΔΑ Α Για τις προτάσεις Α1 μέχρι και Α6 να

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΟ ΙΑΤΡΕΙΟ. Με την πιστοποίηση του αποκτά πρόσβαση στο περιβάλλον του ιατρού που παρέχει η εφαρμογή.

ΣΤΟ ΙΑΤΡΕΙΟ. Με την πιστοποίηση του αποκτά πρόσβαση στο περιβάλλον του ιατρού που παρέχει η εφαρμογή. ΣΤΟ ΙΑΤΡΕΙΟ Ο ιατρός αφού διαπιστώσει εάν το πρόσωπο που προσέρχεται για εξέταση είναι το ίδιο με αυτό που εικονίζεται στο βιβλιάριο υγείας και ελέγξει ότι είναι ασφαλιστικά ενήμερο (όπως ακριβώς γίνεται

Διαβάστε περισσότερα

Προτεινόμενα θέματα στο μάθημα. Αρχές Οικονομικής Θεωρίας ΟΜΑΔΑ Α. Στις προτάσεις από Α.1. μέχρι και Α10 να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό της

Προτεινόμενα θέματα στο μάθημα. Αρχές Οικονομικής Θεωρίας ΟΜΑΔΑ Α. Στις προτάσεις από Α.1. μέχρι και Α10 να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό της Προτεινόμενα θέματα στο μάθημα Αρχές Οικονομικής Θεωρίας ΟΜΑΔΑ Α Στις προτάσεις από Α.1. μέχρι και Α10 να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό της καθεμιάς και δίπλα σε κάθε αριθμό την ένδειξη Σωστό, αν

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Πληροφορικής

Μαθηματικά Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Αθηνών Μαθηματικά Πληροφορικής Ηλίας Κουτσουπιάς Αθήνα, Οκτώβριος 2009 Περιεχόμενα Περιεχόμενα 1 Σύνολα... 5 ΆλλαΣύμβολα... 6 1 Υποθέσεις και Θεωρήματα 9 1.1 Παρατήρηση-Υπόθεση-Απόδειξη...

Διαβάστε περισσότερα

Η Θεωρια Αριθμων στην Εκπαιδευση

Η Θεωρια Αριθμων στην Εκπαιδευση Η Θεωρια Αριθμων στην Εκπαιδευση Καθηγητὴς Ν.Γ. Τζανάκης Εφαρμογὲς τῶν συνεχῶν κλασμάτων 1 1. Η τιμὴ τοῦ π μὲ σωστὰ τὰ 50 πρῶτα δεκαδικὰ ψηφία μετὰ τὴν ὑποδιαστολή, εἶναι 3.14159265358979323846264338327950288419716939937511.

Διαβάστε περισσότερα

Ημέρα 3 η. (α) Aπό την εργασιακή διαδικασία στη διαδικασία παραγωγής (β) Αξία του προϊόντος και αξία της εργασιακής δύναμης

Ημέρα 3 η. (α) Aπό την εργασιακή διαδικασία στη διαδικασία παραγωγής (β) Αξία του προϊόντος και αξία της εργασιακής δύναμης Ημέρα 3 η. (α) Aπό την εργασιακή διαδικασία στη διαδικασία παραγωγής (β) Αξία του προϊόντος και αξία της εργασιακής δύναμης Η εργασιακή διαδικασία και τα στοιχεία της. Η κοινωνική επικύρωση των ιδιωτικών

Διαβάστε περισσότερα

Ψηφιακή Εικόνα. Σημερινό μάθημα!

Ψηφιακή Εικόνα. Σημερινό μάθημα! Ψηφιακή Εικόνα Σημερινό μάθημα! Ψηφιακή Εικόνα Αναλογική εικόνα Ψηφιοποίηση (digitalization) Δειγματοληψία Κβαντισμός Δυαδικές δ έ (Binary) εικόνες Ψηφιακή εικόνα & οθόνη Η/Υ 1 Ψηφιακή Εικόνα Μια ακίνητη

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ: ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ

ΜΑΘΗΜΑ: ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑ: ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ Tα Πανεπιστημιακά Φροντιστήρια «ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ» προετοιμάζοντας σε ολιγομελείς ομίλους τους υποψήφιους για τον επικείμενο διαγωνισμό του Υπουργείου Οικονομικών, με κορυφαίο επιτελείο

Διαβάστε περισσότερα

Έννοια. Η αποδοχή της κληρονομίας αποτελεί δικαίωμα του κληρονόμου, άρα δεν

Έννοια. Η αποδοχή της κληρονομίας αποτελεί δικαίωμα του κληρονόμου, άρα δεν 1 1. Αποδοχή κληρονομίας Έννοια. Η αποδοχή της κληρονομίας αποτελεί δικαίωμα του κληρονόμου, άρα δεν μπορεί να ασκηθεί από τους δανειστές του κληρονόμου, τον εκτελεστή της διαθήκης, τον κηδεμόνα ή εκκαθαριστή

Διαβάστε περισσότερα

Αναγνώριση Προτύπων. Σημερινό Μάθημα

Αναγνώριση Προτύπων. Σημερινό Μάθημα Αναγνώριση Προτύπων Σημερινό Μάθημα Η κατάρα της διαστατικότητας Μείωση διαστάσεων εξαγωγή χαρακτηριστικών επιλογή χαρακτηριστικών Αναπαράσταση έναντι Κατηγοριοποίησης Ανάλυση Κυρίων Συνιστωσών PCA Γραμμική

Διαβάστε περισσότερα

Φροντιστήριο 2: Ανάλυση Αλγόριθμου. Νικόλας Νικολάου ΕΠΛ432: Κατανεμημένοι Αλγόριθμοι 1 / 10

Φροντιστήριο 2: Ανάλυση Αλγόριθμου. Νικόλας Νικολάου ΕΠΛ432: Κατανεμημένοι Αλγόριθμοι 1 / 10 Φροντιστήριο 2: Ανάλυση Αλγόριθμου Εκλογής Προέδρου με O(nlogn) μηνύματα Νικόλας Νικολάου ΕΠΛ432: Κατανεμημένοι Αλγόριθμοι 1 / 10 Περιγραφικός Αλγόριθμος Αρχικά στείλε μήνυμα εξερεύνησης προς τα δεξιά

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΟΣΟΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΟΣΟΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ Σημειώσεις για το μάθημα ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΟΣΟΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ Παπάνα Αγγελική http://users.auth.gr/~agpapana/statlogistics E mail: papanagel@yahoo.gr, agpapana@gen.auth.gr Α.Τ.Ε.Ι. Θεσσαλονίκης ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

Μονάδες 5 1.2.α. Να γράψετε στο τετράδιό σας τον παρακάτω πίνακα σωστά συµπληρωµένο.

Μονάδες 5 1.2.α. Να γράψετε στο τετράδιό σας τον παρακάτω πίνακα σωστά συµπληρωµένο. ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΤΑΞΗ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΥΤΕΡΑ 12 ΙΟΥΝΙΟΥ 2000 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (ΚΥΚΛΟΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΚΑΙ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ): ΧΗΜΕΙΑ - ΒΙΟΧΗΜΕΙΑ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΟ ΦΑΡΜΑΚΕΙΟ. Με την πιστοποίηση του έχει πρόσβαση στο περιβάλλον του φαρμακείου που παρέχει η εφαρμογή.

ΣΤΟ ΦΑΡΜΑΚΕΙΟ. Με την πιστοποίηση του έχει πρόσβαση στο περιβάλλον του φαρμακείου που παρέχει η εφαρμογή. ΣΤΟ ΦΑΡΜΑΚΕΙΟ Ο ασθενής έχοντας μαζί του το βιβλιάριο υγείας του και την τυπωμένη συνταγή από τον ιατρό, η οποία αναγράφει τον μοναδικό κωδικό της, πάει στο φαρμακείο. Το φαρμακείο αφού ταυτοποιήσει το

Διαβάστε περισσότερα

Ταξινόμηση των μοντέλων διασποράς ατμοσφαιρικών ρύπων βασισμένη σε μαθηματικά κριτήρια.

Ταξινόμηση των μοντέλων διασποράς ατμοσφαιρικών ρύπων βασισμένη σε μαθηματικά κριτήρια. ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ Ταξινόμηη των μοντέλων διαποράς ατμοφαιρικών ρύπων βαιμένη ε μαθηματικά κριτήρια. Μοντέλο Ελεριανά μοντέλα (Elerian) Λαγκρατζιανά μοντέλα (Lagrangian) Επιπρόθετος διαχωριμός Μοντέλα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ: ΠΟΛΙΤΙΚΗ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑ-ΔΗΜΟΣΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ

ΜΑΘΗΜΑ: ΠΟΛΙΤΙΚΗ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑ-ΔΗΜΟΣΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑ: ΠΟΛΙΤΙΚΗ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑ-ΔΗΜΟΣΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ Σύνταξη: Παπαδόπουλος Θεοχάρης, Οικονομολόγος, MSc, PhD Candidate Κατηγορίες οφέλους και κόστους που προέρχονται από τις δημόσιες δαπάνες Για την αξιολόγηση

Διαβάστε περισσότερα

επίπεδων καμπυλών Χειμερινό Εξάμηνο I(P, F G) των F και G σε ένα σημείο P A 2 K

επίπεδων καμπυλών Χειμερινό Εξάμηνο I(P, F G) των F και G σε ένα σημείο P A 2 K Θεωρία Τομών Επίπεδων Καμπυλών Εργασία στο πλαίσιο τού μαθήματος Αλγεβρικές Καμπύλες (με κωδ. αριθμό Α 19) Χειμερινό Εξάμηνο 2008-2009 Μιχαήλ Γκίκας 1 Αριθμός τομής δυο συσχετικών επίπεδων καμπυλών Εστω

Διαβάστε περισσότερα

Φυσική Β Λυκείου Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Παναγόπουλος Γιώργος Φυσικός

Φυσική Β Λυκείου Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Παναγόπουλος Γιώργος Φυσικός Φυσική Β Λυκείου Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Παναγόπουλος Γιώργος Φυσικός gior.panagopoulos@gmail.com Βουλδής Άγγελος Φυσικός angelos_vouldis@hotmail.com Μεντζελόπουλος Λευτέρης Φυσικός MSc Περιβαλλοντολογία

Διαβάστε περισσότερα

όπου ω j η κλάση j και x το διάνυσμα χαρακτηριστικών Ένας τυπικός κανόνας απόφασης είναι να επιλέγουμε την κλάση με τη μέγιστη P[ω j x]

όπου ω j η κλάση j και x το διάνυσμα χαρακτηριστικών Ένας τυπικός κανόνας απόφασης είναι να επιλέγουμε την κλάση με τη μέγιστη P[ω j x] Bayes Classifiers Θεώρημα Bayes Tο θώ θεώρημα Bayes εκφράζεται ως: όπου ω j η κλάση j και x το διάνυσμα χαρακτηριστικών Ένας τυπικός κανόνας απόφασης είναι να επιλέγουμε την κλάση με τη μέγιστη P[ω j x]

Διαβάστε περισσότερα

Τρίτη, 05 Ιουνίου 2001 ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ

Τρίτη, 05 Ιουνίου 2001 ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ Τρίτη, 05 Ιουνίου 2001 ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΘΕΜΑ 1 Α. Να µεταφέρετε στο τετράδιό σας και να συµπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα αλήθειας δύο προτάσεων

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ ΜΑΘΗΜΑ: ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ ΜΑΘΗΜΑ: ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑ: ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Tα Πανεπιστημιακά Φροντιστήρια «ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ» προετοιμάζοντας σε ολιγομελείς ομίλους τους υποψήφιους για τον επικείμενο διαγωνισμό του Υπουργείου Οικονομικών, με κορυφαίο

Διαβάστε περισσότερα

Κληρονομικότητα. Σήμερα! Κλάση Βάσης Παράγωγη κλάση Απλή κληρονομικότητα Protected δεδομένα Constructors & Destructors overloading

Κληρονομικότητα. Σήμερα! Κλάση Βάσης Παράγωγη κλάση Απλή κληρονομικότητα Protected δεδομένα Constructors & Destructors overloading Κληρονομικότητα Σήμερα! Κλάση Βάσης Παράγωγη κλάση Απλή κληρονομικότητα Protected δεδομένα Constructors & Destructors overloading 2 1 Κλάση Βάση/Παράγωγη Τα διάφορα αντικείμενα μπορούν να έχουν μεταξύ

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ: Διαφορές εσωτερικού εξωτερικού δανεισμού. Η διαχρονική κατανομή του βάρους από το δημόσιο δανεισμό.

ΘΕΜΑ: Διαφορές εσωτερικού εξωτερικού δανεισμού. Η διαχρονική κατανομή του βάρους από το δημόσιο δανεισμό. 1 ΘΕΜΑ: Διαφορές εσωτερικού εξωτερικού δανεισμού. Η διαχρονική κατανομή του βάρους από το δημόσιο δανεισμό. Σύνταξη: Παπαδόπουλος Θεοχάρης, Οικονομολόγος, Οικονομολόγος, MSc, PhD Candidate, εισηγητής Φροντιστηρίων

Διαβάστε περισσότερα

α 0. α ν x ν +α ν 1 x ν α 1 x+α 0 α ν x ν,α ν 1 x ν 1,...,α 1 x,α 0, ...,α 1,α 0,

α 0. α ν x ν +α ν 1 x ν α 1 x+α 0 α ν x ν,α ν 1 x ν 1,...,α 1 x,α 0, ...,α 1,α 0, Άλγεβρα Β Λυκείου - Πολυώνυμα: Θεωρία, Μεθοδολογία και Λυμένες ασκήσεις Κώστας Ράπτης Μάιος 2011 Μέρος I Πολυώνυμα 1 Πολυώνυμα 1.1 Στοιχεία ϑεωρίας Καλούμε μονώνυμο του x κάθε παράσταση της μορφήςαx ν,

Διαβάστε περισσότερα

Ελεγχος Στατιστικών Υποθέσεων με τη χρήση του στατιστικού προγραμμάτος SPSS v. 20

Ελεγχος Στατιστικών Υποθέσεων με τη χρήση του στατιστικού προγραμμάτος SPSS v. 20 A Πανεπιστήμιο Αιγαίου Σχολή Επιστημών της ιοίκησης Τμήμα Μηχανικών Οικονομίας και ιοίκησης Εργαστήριο Στατιστικής Ελεγχος Στατιστικών Υποθέσεων με τη χρήση του στατιστικού προγραμμάτος SPSS v. 20 26Επιμέλεια:

Διαβάστε περισσότερα

- 1 - Ποιοι κερδίζουν από το εμπόριο αγαθών και υπηρεσιών; Γιατί η άμεση ανταλλαγή αγαθών, ορισμένες φορές, είναι δύσκολο να

- 1 - Ποιοι κερδίζουν από το εμπόριο αγαθών και υπηρεσιών; Γιατί η άμεση ανταλλαγή αγαθών, ορισμένες φορές, είναι δύσκολο να - 1 - Ο παράξενος πραματευτής Ανθολόγιο Ε & Στ τάξης: 277-279 Οικονομικές έννοιες Ανταλλαγή Αντιπραγματισμός Εμπόριο Ερωτήσεις Ποιοι κερδίζουν από το εμπόριο αγαθών και υπηρεσιών; Γιατί η άμεση ανταλλαγή

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ. Αναπληρωτής Καθηγητής. Σχολή ιοίκησης Επιχειρήσεων Πανεπιστήμιο Πατρών

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ. Αναπληρωτής Καθηγητής. Σχολή ιοίκησης Επιχειρήσεων Πανεπιστήμιο Πατρών ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Ενότητα 4: Περαιτέρω εξειδίκευση του υποδείγματος Ιωάννης Βενέτης Αναπληρωτής Καθηγητής Τμήμα Οικονομικών Επιστημών Σχολή ιοίκησης Επιχειρήσεων Πανεπιστήμιο Πατρών 1/61 Ι. Βενέτης (Πανεπιστήμιο

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ. Ενότητα 6: Ελεγχος γενικών γραμμικών υποθέσεων. Αναπληρωτής Καθηγητής. Σχολή ιοίκησης Επιχειρήσεων Πανεπιστήμιο Πατρών

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ. Ενότητα 6: Ελεγχος γενικών γραμμικών υποθέσεων. Αναπληρωτής Καθηγητής. Σχολή ιοίκησης Επιχειρήσεων Πανεπιστήμιο Πατρών ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Ενότητα 6: Ελεγχος γενικών γραμμικών υποθέσεων Ιωάννης Βενέτης Αναπληρωτής Καθηγητής Τμήμα Οικονομικών Επιστημών Σχολή ιοίκησης Επιχειρήσεων Πανεπιστήμιο Πατρών 1/56 Ι. Βενέτης (Πανεπιστήμιο

Διαβάστε περισσότερα

Βελτίωση Εικόνας. Σήμερα!

Βελτίωση Εικόνας. Σήμερα! Βελτίωση Εικόνας Σήμερα! Υποβάθμιση εικόνας Τεχνικές Βελτίωσης Restoration (Αποκατάσταση) Τροποποίηση ιστογράμματος Ολίσθηση ιστογράμματος Διάταση (stretching) Ισοστάθμιση του ιστογράμματος (histogram

Διαβάστε περισσότερα

Ημέρα 4 η (α) Αγορά και πώληση της εργασιακής δύναμης. (β) Η απόλυτη υπεραξία. Αγορά και πώληση της εργασιακής δύναμης

Ημέρα 4 η (α) Αγορά και πώληση της εργασιακής δύναμης. (β) Η απόλυτη υπεραξία. Αγορά και πώληση της εργασιακής δύναμης Ημέρα 4 η (α) Αγορά και πώληση της εργασιακής δύναμης (β) Η απόλυτη υπεραξία Αγορά και πώληση της εργασιακής δύναμης Στο κεφάλαιο για την αγορά και την πώληση της εργατικής δύναμης (ελληνική έκδοση: τόμος

Διαβάστε περισσότερα

ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΤΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΗΣ ΕΝΤΡΟΠΙΑΣ ΣΤΗΝ ΠΥΡΗΝΙΚΗ ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΙ ΤΗ ΣΚΕ ΑΣΗ Ι ΑΚΤΟΡΙΚΗ ΙΑΤΡΙΒΗ

ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΤΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΗΣ ΕΝΤΡΟΠΙΑΣ ΣΤΗΝ ΠΥΡΗΝΙΚΗ ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΙ ΤΗ ΣΚΕ ΑΣΗ Ι ΑΚΤΟΡΙΚΗ ΙΑΤΡΙΒΗ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΤΟΜΕΑΣ ΠΥΡΗΝΙΚΗΣ ΦΥΣΙΚΗΣ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΗΣ ΣΤΟΙΧΕΙΩ ΩΝ ΣΩΜΑΤΙ ΙΩΝ ΒΑΣΙΛΕΙΟΣ Π. ΨΩΝΗΣ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΤΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΗΣ ΕΝΤΡΟΠΙΑΣ ΣΤΗΝ ΠΥΡΗΝΙΚΗ ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΙ ΤΗ ΣΚΕ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ: ΓΕΝΙΚΟ ΔΙΟΙΚΗΤΙΚΟ ΔΙΚΑΙΟ ΔΙΚΑΣΤΩΝ

ΜΑΘΗΜΑ: ΓΕΝΙΚΟ ΔΙΟΙΚΗΤΙΚΟ ΔΙΚΑΙΟ ΔΙΚΑΣΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑ: ΓΕΝΙΚΟ ΔΙΟΙΚΗΤΙΚΟ ΔΙΚΑΙΟ ΔΙΚΑΣΤΩΝ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : Γεώργιος Κ. Πατρίκιος, Δικηγόρος, ΜΔΕ Δημοσίου Δικαίου, Υπ. Διδάκτωρ Νομικής Σχολής Πανεπιστημίου Αθηνών. ΘΕΜΑΤΙΚΗ : Η αρμοδιότητα των διοικητικών

Διαβάστε περισσότερα

Συντάκτης: Παναγιώτης Βεργούρος, Οικονομολόγος Συγγραφέας βιβλίων, Μικρο μακροοικονομίας διαγωνισμών ΑΣΕΠ

Συντάκτης: Παναγιώτης Βεργούρος, Οικονομολόγος Συγγραφέας βιβλίων, Μικρο μακροοικονομίας διαγωνισμών ΑΣΕΠ Tα Πανεπιστημιακά Φροντιστήρια «ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ» προετοιμάζοντας σε ολιγομελείς ομίλους τους υποψήφιους για τον επικείμενο διαγωνισμό του Υ- πουργείου Οικονομικών και στοχεύοντας στην όσο το δυνατό πληρέστερη

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΚΑΙΩΜΑΤΑ ΠΡΟΣΟΡΜΙΣΗΣ, ΠΑΡΑΒΟΛΗΣ, ΠΡΥΜΝΟΔΕΤΗΣΗΣ ΚΑΙ ΕΛΛΙΜΕΝΙΣΜΟΥ ΣΚΑΦΩΝ ΣΕ ΘΑΛΑΣΣΙΕΣ ΠΕΡΙΟΧΕΣ. (ΛΙΜΑΝΙΑ κ.λπ.) ΤΟΠΙΚΗΣ ΑΡΜΟΔΙΟΤΗΤΑΣ ΛΙΜΕΝΙΚΩΝ

ΔΙΚΑΙΩΜΑΤΑ ΠΡΟΣΟΡΜΙΣΗΣ, ΠΑΡΑΒΟΛΗΣ, ΠΡΥΜΝΟΔΕΤΗΣΗΣ ΚΑΙ ΕΛΛΙΜΕΝΙΣΜΟΥ ΣΚΑΦΩΝ ΣΕ ΘΑΛΑΣΣΙΕΣ ΠΕΡΙΟΧΕΣ. (ΛΙΜΑΝΙΑ κ.λπ.) ΤΟΠΙΚΗΣ ΑΡΜΟΔΙΟΤΗΤΑΣ ΛΙΜΕΝΙΚΩΝ ΔΙΚΑΙΩΜΑΤΑ ΠΡΟΣΟΡΜΙΣΗΣ, ΠΑΡΑΒΟΛΗΣ, ΠΡΥΜΝΟΔΕΤΗΣΗΣ ΚΑΙ ΕΛΛΙΜΕΝΙΣΜΟΥ ΣΚΑΦΩΝ ΣΕ ΘΑΛΑΣΣΙΕΣ ΠΕΡΙΟΧΕΣ (ΛΙΜΑΝΙΑ κ.λπ.) ΤΟΠΙΚΗΣ ΑΡΜΟΔΙΟΤΗΤΑΣ ΛΙΜΕΝΙΚΩΝ ΤΑΜΕΙΩΝ ΚΑΙ ΔΗΜΟΤΙΚΩΝ ΛΙΜΕΝΙΚΩΝ ΤΑΜΕΙΩΝ Επιμέλεια Άγγελου Αργυρακόπουλου

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 68 Σχεδιασμός κλινικών μελετών και διαχείριση δεδομένων έρευνας

Κεφάλαιο 68 Σχεδιασμός κλινικών μελετών και διαχείριση δεδομένων έρευνας Κεφάλαιο 68 Σχεδιασμός κλινικών μελετών και διαχείριση δεδομένων έρευνας Γ. Η. Πανάγος 1195 ΟΡΘΗ ΠΡΑΚΤΙΚΗ ΔΙΕΞΑΓΩΓΗΣ ΚΛΙ ΝΙΚΩΝ ΜΕΛΕΤΏΝ Η ορθή πρακτική διεξαγωγής των κλινικών δοκιμών (GCP) είναι ένα διεθνές

Διαβάστε περισσότερα

Μεγέθη ταλάντωσης Το απλό εκκρεμές

Μεγέθη ταλάντωσης Το απλό εκκρεμές Μεγέθη ταλάντωσης Το απλό εκκρεμές 1.Σκοποί: Οι μαθητές Να κατανοήσουν τις έννοιες της περιοδικής κίνησης και της ταλάντωσης Να κατανοήσουν ότι η περιοδική κίνηση δεν είναι ομαλή Να γνωρίσουν τα μεγέθη

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΑΙΑ ΕΛΛΗΝΙΚΑ 2014 ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ

ΑΡΧΑΙΑ ΕΛΛΗΝΙΚΑ 2014 ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Διδαγμένο Κείμενο ΑΡΧΑΙΑ ΕΛΛΗΝΙΚΑ 2014 ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α1. Επομένως οι αρετές δεν υπάρχουν μέσα μας εκ φύσεως ούτε αντίθετα προς τη φύση μας, αλλά έχουμε από τη φύση την ιδιότητα να τις δεχτούμε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ. Πρώτη Γραπτή Εργασία. Εισαγωγή στους υπολογιστές Μαθηματικά

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ. Πρώτη Γραπτή Εργασία. Εισαγωγή στους υπολογιστές Μαθηματικά ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ Πρόγραμμα Σπουδών: ΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ και ΟΡΓΑΝΙΣΜΩΝ Θεματική Ενότητα: ΕΟ-13 Ποσοτικές Μέθοδοι Ακαδημαϊκό Έτος: 2012-13 Πρώτη Γραπτή Εργασία Εισαγωγή στους υπολογιστές Μαθηματικά

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟ ΘΕΜΑ. Μορφές δημόσιου δανεισμού. Σύνταξη: Παπαδόπουλος Θεοχάρης, Οικονομολόγος, MSc, PhD Candidate

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟ ΘΕΜΑ. Μορφές δημόσιου δανεισμού. Σύνταξη: Παπαδόπουλος Θεοχάρης, Οικονομολόγος, MSc, PhD Candidate ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟ ΘΕΜΑ Μορφές δημόσιου δανεισμού Σύνταξη: Παπαδόπουλος Θεοχάρης, Οικονομολόγος, MSc, PhD Candidate 1 Ανάλογα με την πηγή προελεύσεως των πόρων Με βάση το κριτήριο αυτό, ο δανεισμός διακρίνεται

Διαβάστε περισσότερα

ΚΛΑΔΟΣ: ΠΕ11 ΦΥΣΙΚΗΣ ΑΓΩΓΗΣ

ΚΛΑΔΟΣ: ΠΕ11 ΦΥΣΙΚΗΣ ΑΓΩΓΗΣ ΚΛΑΔΟΣ: ΠΕ11 ΦΥΣΙΚΗΣ ΑΓΩΓΗΣ Μάθημα: Ενόργανη Γυμναστική Χρήσιμα θεωρία στο κεφάλαιο της ενόργανης γυμναστικής για το γνωστικό αντικείμενο ΠΕ11 της Φυσικής Αγωγής από τα Πανεπιστημιακά Φροντιστήρια Κολλίντζα.

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ: ΑΣΤΙΚΟ ΔΙΚΑΙΟ

ΜΑΘΗΜΑ: ΑΣΤΙΚΟ ΔΙΚΑΙΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΑΣΤΙΚΟ ΔΙΚΑΙΟ Διδάσκων : Βασίλειος Σταματόπουλος, Δικηγόρος, Δ.Μ.Σ. Συνάντηση 4 η ΕΝΟΧΕΣ ΔΙΑΖΕΥΚΤΙΚΕΣ Εννοιολογική προσέγγιση. Διαζευκτική είναι η ενοχή που έχει ως αντικείμενο δύο ή περισσότερες

Διαβάστε περισσότερα

ΤΑ ΜΙΚΡΑ ΒΗΜΑΤΑ ΤΗΣ ΘΕΡΑΠΕΥΤΙΚΗΣ ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΑΣ: ΠΩΣ ΕΡΧΟΝΤΑΙ ΚΑΙ ΠΩΣ ΜΠΟΡΟΥΜΕ ΝΑ ΒΟΗΘΗΣΟΥΜΕ ΓΙΑ ΝΑ ΕΡΘΟΥΝ

ΤΑ ΜΙΚΡΑ ΒΗΜΑΤΑ ΤΗΣ ΘΕΡΑΠΕΥΤΙΚΗΣ ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΑΣ: ΠΩΣ ΕΡΧΟΝΤΑΙ ΚΑΙ ΠΩΣ ΜΠΟΡΟΥΜΕ ΝΑ ΒΟΗΘΗΣΟΥΜΕ ΓΙΑ ΝΑ ΕΡΘΟΥΝ ΤΑ ΜΙΚΡΑ ΒΗΜΑΤΑ ΤΗΣ ΘΕΡΑΠΕΥΤΙΚΗΣ ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΑΣ: ΠΩΣ ΕΡΧΟΝΤΑΙ ΚΑΙ ΠΩΣ ΜΠΟΡΟΥΜΕ ΝΑ ΒΟΗΘΗΣΟΥΜΕ ΓΙΑ ΝΑ ΕΡΘΟΥΝ Eugene T. GENDLIN University of Chicago, U.S.A Αυτό το άρθρο είναι μια αναθεωρημένη έκδοση της πλήρους

Διαβάστε περισσότερα

Ποια έντομα είναι εχθροί των φυτών και πώς θα τα αντιμετωπίσετε

Ποια έντομα είναι εχθροί των φυτών και πώς θα τα αντιμετωπίσετε Ποια έντομα είναι εχθροί των φυτών και πώς θα τα αντιμετωπίσετε Δυστυχώς είναι μια πραγματικότητα της ζωής ότι αν διατηρείτε στο σπίτι σας φυτά, υπάρχει πάντα η πιθανότητα να υποστούν ζημίες από βλαβερούς

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ. ελαχίστων τετραγώνων. Αναπληρωτής Καθηγητής. Σχολή Οργάνωσης και ιοίκησης Επιχειρήσεων Πανεπιστήμιο Πατρών

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ. ελαχίστων τετραγώνων. Αναπληρωτής Καθηγητής. Σχολή Οργάνωσης και ιοίκησης Επιχειρήσεων Πανεπιστήμιο Πατρών ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Ενότητα 2: Απλό γραμμικό υπόδειγμα και η μέθοδος ελαχίστων τετραγώνων Ιωάννης Βενέτης Αναπληρωτής Καθηγητής Τμήμα Οικονομικών Επιστημών Σχολή Οργάνωσης και ιοίκησης Επιχειρήσεων Πανεπιστήμιο

Διαβάστε περισσότερα

1. Σε περίπτωση κατά την οποία η τιμή ενός αγαθού μειωθεί κατά 2% και η ζητούμενη

1. Σε περίπτωση κατά την οποία η τιμή ενός αγαθού μειωθεί κατά 2% και η ζητούμενη Tα Πανεπιστημιακά Φροντιστήρια «ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ» προετοιμάζοντας σε ολιγομελείς ομίλους τους υποψήφιους για τον επικείμενο διαγωνισμό του Υ- πουργείου Οικονομικών και στοχεύοντας στην όσο το δυνατό πληρέστερη

Διαβάστε περισσότερα

Αναγνώριση Προτύπων 1

Αναγνώριση Προτύπων 1 Αναγνώριση Προτύπων 1 Σημερινό Μάθημα Βασικό σύστημα αναγνώρισης προτύπων Προβλήματα Πρόβλεψης Χαρακτηριστικά και Πρότυπα Ταξινομητές Classifiers Προσεγγίσεις Αναγνώρισης Προτύπων Κύκλος σχεδίασης Συστήματος

Διαβάστε περισσότερα

ΟΡΙΣΜΟΣ και ΚΑΤΑΜΕΤΡΗΣΗ ΘΕΜΕΛΙΑΚΩΝ ΣΥΝ ΥΑΣΤΙΚΩΝ ΜΟΡΦΩΝ

ΟΡΙΣΜΟΣ και ΚΑΤΑΜΕΤΡΗΣΗ ΘΕΜΕΛΙΑΚΩΝ ΣΥΝ ΥΑΣΤΙΚΩΝ ΜΟΡΦΩΝ ΟΡΙΣΜΟΣ και ΚΤΜΤΡΗΣΗ ΘΜΛΙΚΩΝ ΣΥΝ ΥΣΤΙΚΩΝ ΜΟΡΦΩΝ. ΣΥΝΥΣΤΙΚΣ ΜΟΡΦΣ: η μορφολογία. Όλες οι συνδυαστικές μορφές που θα εξετάσουμε είναι διαφόρων ειδών συναρτήσεις. Οι «παράμετροι» που παραλλάσονται είναι οι

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Β ΤΑΞΗ ΚΕΙΜΕΝΟ. Πέµπτη 19 Νοεµβρίου 1942. Αγαπητή Κίττυ,

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Β ΤΑΞΗ ΚΕΙΜΕΝΟ. Πέµπτη 19 Νοεµβρίου 1942. Αγαπητή Κίττυ, ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Σ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΙΤΗ 6 ΙΟΥΝΙΟΥ 2000 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ: ΝΕΑ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΓΛΩΣΣΑ ΚΑΙ ΓΡΑΜΜΑΤΕΙΑ ΕΚΦΡΑΣΗ - ΕΚΘΕΣΗ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ: ΠΕΝΤΕ (5) Αγαπητή

Διαβάστε περισσότερα

Θεµελίωση Γενετικών Αλγορίθµων

Θεµελίωση Γενετικών Αλγορίθµων Θεµελίωση Γενετικών Αλγορίθµων Σηµερινό Μάθηµα Προβληµατισµοί Σχήµατα Τάξη Οριστικό Μήκος ΘεώρηµατωνΣχηµάτων Υπόθεση δοµικών Στοιχείων Πλάνη 1 Προβληµατισµοί Τι προβλέψεις µπορούν να γίνουν για τη χρονική

Διαβάστε περισσότερα

2. Κατάθεσε κάποιος στην Εθνική Τράπεζα 4800 με επιτόκιο 3%. Μετά από πόσο χρόνο θα πάρει τόκο 60 ; α) 90 ημέρες β) 1,5 έτη γ) 5 μήνες δ) 24 μήνες

2. Κατάθεσε κάποιος στην Εθνική Τράπεζα 4800 με επιτόκιο 3%. Μετά από πόσο χρόνο θα πάρει τόκο 60 ; α) 90 ημέρες β) 1,5 έτη γ) 5 μήνες δ) 24 μήνες 20 Φεβρουαρίου 2010 1. Ένας έμπορος αγόρασε 720 κιλά κρασί προς 2 το κιλό. Πρόσθεσε νερό, το πούλησε προς 2,5 το κιλό και κέρδισε 500. Το νερό που πρόσθεσε ήταν σε κιλά: α) 88 β) 56 γ) 60 δ) 65 2. Κατάθεσε

Διαβάστε περισσότερα

Εργαστηριακή Άσκηση Θερμομόρφωση (Thermoforming)

Εργαστηριακή Άσκηση Θερμομόρφωση (Thermoforming) Σελίδα 1 Πανεπιστήμιο Κύπρου Τμήμα Μηχανικών Μηχανολογίας και Κατασκευαστικής ΜΜΚ 452: Μηχανικές Ιδιότητες και Κατεργασία Πολυμερών Εργαστηριακή Άσκηση Θερμομόρφωση (Thermoforming) Σελίδα 2 Εισαγωγή: Η

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2.4: Τα βασικά στοιχεία ενός Επιχειρηματικού Σχεδίου (Business Plan) Μέσα από αυτό το κεφάλαιο φαίνεται ότι αφενός η σωστή δημιουργία και

Κεφάλαιο 2.4: Τα βασικά στοιχεία ενός Επιχειρηματικού Σχεδίου (Business Plan) Μέσα από αυτό το κεφάλαιο φαίνεται ότι αφενός η σωστή δημιουργία και Κεφάλαιο 2.4: Τα βασικά στοιχεία ενός Επιχειρηματικού Σχεδίου (Business Plan) Περίληψη Κεφαλαίου: Μέσα από αυτό το κεφάλαιο φαίνεται ότι αφενός η σωστή δημιουργία και αφετέρου η σωστή εφαρμογή του Επιχειρηματικού

Διαβάστε περισσότερα

Συναρτήσεις ΙΙ. Σημερινό μάθημα

Συναρτήσεις ΙΙ. Σημερινό μάθημα Συναρτήσεις ΙΙ 1 Σημερινό μάθημα Εμβέλεια Εμφωλίαση Τύπος αποθήκευσης Συναρτήσεις ως παράμετροι Πέρασμα με τιμή Πολλαπλά return Προκαθορισμένοι ρ Παράμετροι ρ Υπερφόρτωση συναρτήσεων Inline συναρτήσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ. Επικ. Καθ. Στέλιος Ζήμερας. Τμήμα Μαθηματικών Κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικά Χρηματοοικονομικά Μαθηματικά

ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ. Επικ. Καθ. Στέλιος Ζήμερας. Τμήμα Μαθηματικών Κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικά Χρηματοοικονομικά Μαθηματικά ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ Επικ. Καθ. Στέλιος Ζήμερας Τμήμα Μαθηματικών Κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικά Χρηματοοικονομικά Μαθηματικά 015 Ανεξάρτητα δείγματα: Αφορά δύο κανονικούς πληθυσμούς με παραμέτρους

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΣΥΝΟΛΩΝ: μια σύνοψη των θεμελιακών χαρακτηριστικών.

ΘΕΩΡΙΑ ΣΥΝΟΛΩΝ: μια σύνοψη των θεμελιακών χαρακτηριστικών. ΘΕΩΡΙ ΣΥΝΟΛΩΝ: μια σύνοψη των θεμελιακών χαρακτηριστικών. 1. ΣΥΝΟΛ: το σκεπτικό. σύνολο = πολλά στοιχεία ως «ένα», ως «μία» ολότητα. τα στοιχεία ανήκουν στο σύνολο, ή είναι μέλη του συνόλου το σύνολο περιέχει

Διαβάστε περισσότερα

ÅéêïóéäùäåêÜåäñïí. www.mathematica.gr. Ìáèçìáôéêü Äåëôßï. Ôåý ïò 13ï. Ïêôþâñéïò 2014 ISSN: 2241-7133

ÅéêïóéäùäåêÜåäñïí. www.mathematica.gr. Ìáèçìáôéêü Äåëôßï. Ôåý ïò 13ï. Ïêôþâñéïò 2014 ISSN: 2241-7133 ÅéêïóéäùäåêÜåäñïí Ìáèçìáôéêü Äåëôßï Ôåý ïò 3ï Ïêôþâñéïò 04 www.mathematica.gr ISSN: 4-733 Το «Εικοσιδωδεκάεδρον» παρουσιάζει ϑέματα που έχουν συζητηθεί στον ιστότοπο http://www.mathematica.gr. Η επιλογή

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ 2014 15 ΔΙΚΤΥΑ ΠΡΟΣΒΑΣΗΣ ΑΣΚΗΣΗ 1

ΑΣΚΗΣΕΙΣ 2014 15 ΔΙΚΤΥΑ ΠΡΟΣΒΑΣΗΣ ΑΣΚΗΣΗ 1 ΑΣΚΗΣΕΙΣ 2014 15 ΔΙΚΤΥΑ ΠΡΟΣΒΑΣΗΣ ΑΣΚΗΣΗ 1 Ένας χρήστης μιας PDH μισθωμένης γραμμής χρησιμοποιεί μια συσκευή πρόσβασης που υλοποιεί τη στοίβα ΑΤΜ/Ε1. α) Ποιος είναι ο μέγιστος υποστηριζόμενος ρυθμός (σε

Διαβάστε περισσότερα

ΥΔΡΟΛΟΓΙΚΗ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΚΑΙ ΠΡΟΓΝΩΣΗ

ΥΔΡΟΛΟΓΙΚΗ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΚΑΙ ΠΡΟΓΝΩΣΗ Τμήμα Πολιτικών Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας ΥΔΡΟΛΟΓΙΚΗ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΚΑΙ ΠΡΟΓΝΩΣΗ Ενότητα 1: Υδρολογική προσομοίωση 1.2. Βελτιστοποίηση (Βαθμονόμηση) Υδρολογικών Μοντέλων Καθ. Αθανάσιος Λουκάς Εργαστήριο

Διαβάστε περισσότερα

Μητροπολιτικά Οπτικά Δίκτυα. 11.1. Εισαγωγή

Μητροπολιτικά Οπτικά Δίκτυα. 11.1. Εισαγωγή Μητροπολιτικά Οπτικά Δίκτυα 11.1. Εισαγωγή Τα τηλεπικοινωνιακά δίκτυα είναι διαιρεμένα σε μια ιεραρχία τριών επιπέδων: Στα δίκτυα πρόσβασης, τα μητροπολιτικά δίκτυα και τα δίκτυα κορμού. Τα δίκτυα κορμού

Διαβάστε περισσότερα

Kατάτμηση εικόνας. Σήμερα!

Kατάτμηση εικόνας. Σήμερα! Kατάτμηση εικόνας Σήμερα! Κατωφλίωση (binarization) Καθολικό ό( (global) κατώφλι LocalΤhresholding Φωτισμός και Ανακλαστικότητα Τεχνικές ανίχνευσης ακμών Τελεστές κλίσης (gradient operators) (gradient

Διαβάστε περισσότερα

Projects για το εργαστήριο. των Βάσεων Δεδομένων

Projects για το εργαστήριο. των Βάσεων Δεδομένων Projects για το εργαστήριο των Βάσεων Δεδομένων Θεσσαλονίκη, Νοέμβριος Δεκέμβριος 2013 1. Το πολυκατάστημα Το πολυκατάστημα έχει ένα σύνολο από εργαζομένους. Κάθε εργαζόμενος χαρακτηρίζεται από έναν κωδικό

Διαβάστε περισσότερα

Μεταγλωττιστές ΙΙ. nkavv@uop.gr. Καταμερισμός καταχωρητών. Νικόλαος Καββαδίας nkavv@uop.gr Μεταγλωττιστές ΙΙ

Μεταγλωττιστές ΙΙ. nkavv@uop.gr. Καταμερισμός καταχωρητών. Νικόλαος Καββαδίας nkavv@uop.gr Μεταγλωττιστές ΙΙ Μεταγλωττιστές ΙΙ Καταμερισμός καταχωρητών Νικόλαος Καββαδίας nkavv@uop.gr 01 Δεκεμβρίου 2010 Γενικά για τον καταμερισμό καταχωρητών Καταμερισμός καταχωρητών (register allocation): βελτιστοποίηση μεταγλωττιστή

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΚΑΙ. 10 βήματα για να κόψεις το κάπνισμα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΚΑΙ. 10 βήματα για να κόψεις το κάπνισμα ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΦΥΣΙΚΗΣ ΑΓΩΓΗΣ & ΑΘΛΗΤΙΣΜΟΥ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΨΥΧΟΛΟΓΙΑΣ ΤΗΣ ΑΣΚΗΣΗΣ ΚΑΙ ΠΟΙΟΤΗΤΑΣ ΖΩΗΣ ΤΜΗΜΑ ΙΑΤΡΙΚΗΣ ΠΝΕΥΜΟΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΛΙΝΙΚΗ ΤΕΡΜΑ ΤΟ ΚΑΠΝΙΣΜΑ ΚΑΙ ΏΡΑ ΓΙΑ ΆΣΚΗΣΗ 10 βήματα

Διαβάστε περισσότερα

Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΟΙΟΤΗΤΑΣ ΣΤΗΝ ΑΝΑΛΥΣΗ ΤΗΣ ΖΗΤΗΣΗΣ ΤΡΟΦΙΜΩΝ : ΜΙΑ ΜΙΚΡΟΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΚΗ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ

Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΟΙΟΤΗΤΑΣ ΣΤΗΝ ΑΝΑΛΥΣΗ ΤΗΣ ΖΗΤΗΣΗΣ ΤΡΟΦΙΜΩΝ : ΜΙΑ ΜΙΚΡΟΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΚΗ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ ΓΕΩΠΟΝΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΑΓΡΟΤΙΚΗΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΡΓΑΝΩΣΗ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΤΡΟΦΙΜΩΝ & ΓΕΩΡΓΙΑΣ ΣΥΝΕΡΓΑΖΟΜΕΝΟ ΤΜΗΜΑ: ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ

Διαβάστε περισσότερα

Το εγχειρίδιο του καλού κηπουρού

Το εγχειρίδιο του καλού κηπουρού Το εγχειρίδιο του καλού κηπουρού 1. Φροντίδα των φυτών Αφού αποφάσισες να φυτέψεις πρέπει να είσαι έτοιμος να ασχοληθείς με τα φυτά σου και να παρακολουθείς τις ανάγκες τους. Θα πρέπει να ποτίζεις όποτε

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις Ανάλυση Ι Λύσεις ασκήσεων Οµάδας 1

Ασκήσεις Ανάλυση Ι Λύσεις ασκήσεων Οµάδας 1 Ασκήσεις Ανάλυση Ι Λύσεις ασκήσεων Οµάδας Λουκάς Βλάχος και Χάρης Σκόκος ) ύο καράβια αναχωρούν από το ίδιο λιµάνι. Το ένα κινείται µε 5 Km/h προς τα νότια και το άλλο µε Km/h προς τα ανατολικά. Να εκϕράσετε

Διαβάστε περισσότερα

Classes. Σημερινό Μάθημα. Constructor και destructor Συναρτήσεις μέλη const Inline συναρτήσεις Δηλώσεις κλάσεων Σύνθετες κλάσεις

Classes. Σημερινό Μάθημα. Constructor και destructor Συναρτήσεις μέλη const Inline συναρτήσεις Δηλώσεις κλάσεων Σύνθετες κλάσεις Classes Σημερινό Μάθημα Constructor και destructor Συναρτήσεις μέλη const Inline συναρτήσεις Δηλώσεις κλάσεων Σύνθετες κλάσεις 2 1 Constructor και destructor Αν δεν δηλώσουμε constructor ή/και destructor

Διαβάστε περισσότερα

α) Το έλλειμμα ή το πλεόνασμα του εμπορικού ισοζυγίου δεν μεταβάλλεται

α) Το έλλειμμα ή το πλεόνασμα του εμπορικού ισοζυγίου δεν μεταβάλλεται 1. Ο πληθωρισμός ορίζεται ως εξής: (Δ= μεταβολή, Ρ= επίπεδο τιμών, Ρ e = προσδοκώμενο επίπεδο τιμών): α) Δ Ρ e /Ρ β) Ρ e / Ρ γ) Δ Ρ/Ρ δ) (Ρ Ρ e )/Ρ 2. Όταν οι εξαγωγές αυξάνονται: α) Το έλλειμμα ή το πλεόνασμα

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ ΜΑΘΗΜΑ: ΕΜΠΟΡΙΚΟ ΔΙΚΑΙΟ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ ΜΑΘΗΜΑ: ΕΜΠΟΡΙΚΟ ΔΙΚΑΙΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΕΜΠΟΡΙΚΟ ΔΙΚΑΙΟ Διδάσκων : Πομπιέρη Βασιλεία, Δικηγόρος, LLM UCL Πτωχευτικό Δίκαιο Σημαντικότερες ρυθμίσεις σε προπτωχευτικό στάδιο. Εισαγωγή της διαδικασίας συνδιαλλαγής Σκοπός Η διάσωση και εξυγίανση

Διαβάστε περισσότερα

Παράδειγμα. «Κεφάλαιο» «Περιουσία» «Περιουσία» Οικονομική επιστήμη «μέσων», «ανάγκες» «αγαθά» Επιχειρήσεων.

Παράδειγμα. «Κεφάλαιο» «Περιουσία» «Περιουσία» Οικονομική επιστήμη «μέσων», «ανάγκες» «αγαθά» Επιχειρήσεων. (ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ) Οικονομική μονάδα είναι ο συστηματικός συνδυασμός των συντελεστών της παραγωγής (φύση, εργασία, κεφάλαιο) με τον οποίο αποσκοπείται η παραγωγή αγαθών ή η προσφορά υπηρεσιών για την κάλυψη

Διαβάστε περισσότερα