Ανελίξεις σε συνεχή χρόνο

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Ανελίξεις σε συνεχή χρόνο"

Transcript

1 4 Ανελίξεις σε συνεχή χρόνο Σε αυτό το κεφάλαιο είναι συγκεντρωμένοι ορισμοί και αποτελέσματα από τη θεωρία των στοχαστικών ανελιξεων συνεχούς χρόνου. Με εξαίρεση την Παράγραφο 4.1, η οποία είναι εντελώς βασική, οι υπόλοιπες μπορούν να διαβαστούν τη στιγμή που θα γίνει αναφορά σε αυτές στα παρακάτω κεφάλαια, οπότε και θα έχουν ενδιαφέρον. 4.1 Ανελίξεις Εστω (S, A) ένας μετρήσιμος χώρος. Δηλαδή το S είναι ένα σύνολο και A είναι μια σ-άλγεβρα στο S. Στοχαστική ανέλιξη με τιμές στον S λέμε μια οικογένεια τυχαίων μεταβλητών {X t : t I} που ορίζονται σε κοινό χώρο πιθανότητας (Ω, F, P) και παίρνουν τιμές στον S. Το I είναι ένα αυθαίρετο σύνολο δεικτών, αλλά συνήθως είναι το N ή το [0, ) και τότε ερμηνεύουμε το t ως χρόνο και το X t ως την τιμή ενός μεγέθους (π.χ. η περιουσία μιας εταιρίας) τη χρονική στιγμή t. Για σταθερό ω Ω, η συνάρτηση t X t (ω) ονομάζεται μονοπάτι (ή και τροχιά) της ανέλιξης. Ως συνήθως, όταν ο S είναι μετρικός χώρος, παίρνουμε A = B(S), τη σ-άλγεβρα των συνόλων Borel στον S. Σε αυτές τις σημειώσεις θα ασχοληθούμε με ανελίξεις που παίρνουν τιμές σε κάποιο χώρο της μορφής R d. Παράδειγμα 4.1. Παίρνουμε I = [0, ). Υπάρχει χώρος πιθανότητας (Ω, F, P) και ανεξάρτητες τυχαίες μεταβλητές (X t ) t 0 ορισμένες σε αυτόν ώστε για κάθε t 0 η X t να παίρνει τις τιμές 1 και 1 καθεμία με πιθανότητα 1/2 (π.χ., Ω = { 1, 1} I, P το κατάλληλο μέτρο γινόμενο, και X t : Ω { 1, 1} η προβολή στην t συντεταγμένη). Πρακτικά, κάθε χρονική στιγμή t 0 ρίχνουμε ένα αμερόληπτο νόμισμα και, αν έρθει Γράμματα, θέτουμε X t = 1, ενώ αν έρθει Κεφαλή, θέτουμε X t = 1. Με πιθανότητα 1, το μονοπάτι της ανέλιξης είναι μια συνάρτηση που ταλαντώνεται συνεχώς (καθώς το t μεταβάλλεται) ανάμεσα στις τιμές 1 και 1. Μια ανέλιξη μπορεί να ειδωθεί ως απεικόνιση με X(t, ω) = X t (ω) ή και ως απεικόνιση X : I Ω S ˆX : Ω S I με ˆX(ω) να είναι η συνάρτηση με τιμές ˆX(ω)(t) = X(t, ω). Ο S I εφοδιάζεται με τη σ-άλγεβρα γινόμενο και ως προς αυτήν η ˆX είναι τυχαία μεταβλητή. Υπενθυμίζουμε ότι η σ-άλγεβρα γινόμενο είναι αυτή που παράγεται από τους μετρήσιμους κυλίνδρους και μετρήσιμο κύλινδρο λέμε κάθε σύνολο της μορφής i I A i με A i A για κάθε i I και με {i I : A i S} πεπερασμένο. Ορισμός 4.2. Κατανομή της ανέλιξης X λέμε την κατανομή της τυχαίας μεταβλητής ˆX, δηλαδή το μέτρο πιθανότητας P X (A) = P( ˆX A) για κάθε A S I στη σ-άλγεβρα γινόμενο. Οι διάφορες προβολές της κατανομής της X σε πεπερασμένες το πλήθος συντεταγμένες του S I λέγονται κατανομές πεπερασμένης διάστασης της X. 31

2 32 Ανελίξεις σε συνεχή χρόνο Ορισμός 4.3. Κατανομές πεπερασμένης διάστασης μιας ανέλιξης X λέμε τις κατανομές των διανυσμάτων (X t1, X t2,..., X tn ) όπου n θετικός ακέραιος και t 1, t 2,..., t n I διαφορετικοί δείκτες. Στο πιο πάνω παράδειγμα, για οποιοδήποτε n 1 και t 1, t 2,..., t n 0 διαφορετικούς δείκτες, η κατανομή του (X t1, X t2,..., X tn ) είναι το μέτρο γινόμενο µ µ µ (n φορές) όπου µ είναι το ομοιόμορφο μέτρο στο { 1, 1}. 4.2 Ισοδυναμία ανελίξεων Σε αυτή την παράγραφο θα δούμε τέσσερις έννοιες ισοδυναμίας ανελίξεων. Ορισμός 4.4. Εστω X = (X t ) t 0, Y = (Y t ) t 0 δύο στοχαστικές ανελίξεις που ορίζονται σε κοινό χώρο πιθανότητας. (i) Η X λέγεται τροποποίηση της Y αν για κάθε t 0 ισχύει P(X t = Y t ) = 1. (ii) Οι X, Y λέγονται μη διακρίσιμες αν P(X t = Y t για κάθε t 0) = 1. Η δεύτερη σχέση ισοδυναμίας ανελίξεων είναι πιο ισχυρή από την πρώτη αφού για δεδομένο t 0, ισχύει {X s = Y s για κάθε s 0} {X t = Y t }. Παράδειγμα 4.5. Θεωρούμε την ανέλιξη X με X t = 0 για κάθε t 0, ω Ω και μια τυχαία μεταβλητή T με κατανομή την ομοιόμορφη στο διάστημα (0, 1). Θέτουμε 0 αν t [0, ) \ {T}, Y t := 1 αν t = T. Τότε για κάθε t 0, P(X t Y t ) = P(T = t) = 0, αφού η T είναι συνεχής τυχαία μεταβλητή, άρα P(X t = Y t ) = 1. Ομως P(X t = Y t για κάθε t 0) = 0. Κάθε μονοπάτι της X είναι συνεχής συνάρτηση (σταθερή μάλιστα), ενώ κάθε μονοπάτι της Y έχει μια ασυνέχεια στο σημείο T που επιλέγεται τυχαία. Επομένως οι X, Y είναι τροποποίηση η μιά της άλλης, αλλά δεν είναι μη διακρίσιμες. Για τη σχέση μεταξύ των δύο πιο πάνω εννοιών διατυπώνουμε ως πρόταση μια απλή παρατήρηση. Θα την χρησιμοποιήσουμε στην απόδειξη του Θεωρήματος Πρόταση 4.6. Αν οι X, Y παίρνουν τιμές σε έναν μετρικό χώρο, είναι τροποποίηση η μια της άλλης, και με πιθανότητα 1 έχουν συνεχή μονοπάτια, τότε είναι μη διακρίσιμες. Απόδειξη. Από την υπόθεση, υπάρχουν C 1, C 2 Ω με πιθανότητα 1 ώστε για κάθε ω Ω 1 η t X t (ω) είναι συνεχής και για κάθε ω Ω 2 η t Y t (ω) είναι συνεχής. Για t 0 θέτουμε A t := {ω Ω : X t (ω) = Y t (ω)}. Τότε το σύνολο C 1 C 2 ( ) t Q,t>0 A t έχει πιθανότητα 1 και σε αυτό ισχύει Xt (ω) = Y t (ω) για κάθε t 0 λόγω συνέχειας. Το ζητούμενο αποδείχθηκε. Παρατηρούμε ότι το συμπέρασμα της πρότασης έπεται επίσης αν η υπόθεση συνεχών μονοπατιών αντικατασταθεί με την υπόθεση ότι με πιθανότητα 1 οι X, Y έχουν μονοπάτια που σε κάθε σημείο t ή είναι και οι δύο συνεχείς από δεξιά του t ή είναι και οι δύο συνεχείς από αριστερά του t. Τώρα για ανελίξεις με τιμές σε έναν μετρήσιμο χώρο S, με ίδιο σύνολο δεικτών I, αλλά ορισμένες σε ενδεχομένως διαφορετικό χώρο πιθανότητας, δηλαδή έχουμε τις εξής έννοιες ισοδυναμίας. X :I Ω S, Y :I Ω S,

3 4.3 Martingales και χρόνοι διακοπής 33 Ορισμός 4.7. Εστω X = (X t ) t I, Y = (Y t ) t I δύο στοχαστικές ανελίξεις με τιμές στον ίδιο μετρήσιμο χώρο S. (i) Λέμε ότι οι X, Y έχουν τις ίδιες κατανομές πεπερασμένης διάστασης αν, για κάθε n 1 και t 1, t 2,..., t n I διαφορετικούς δείκτες, τα διανύσματα (X t1, X t2,..., X tn ), (Y t1, Y t2,..., Y tn ) έχουν την ίδια κατανομή. (ii) Λέμε ότι οι X, Y έχουν την ίδια κατανομή αν P X = P Y. Η ισότητα κατανομής για στοχαστικές ανελίξεις βλέπει τις ανελίξεις ως τυχαίες μεταβλητές στον S I και είναι η συνηθισμένη ισότητα κατανομών τυχαίων μεταβλητών. Δύο ανελίξεις με ίδια κατανομή έχουν τις ίδιες κατανομές πεπερασμένης διάστασης ( Ασκηση 4.2), αλλά, γενικά, το αντίστροφο δεν ισχύει. Το επόμενο θεώρημα δίνει ένα σενάριο όπου το αντίστροφο ισχύει. Σε αυτό υποθέτουμε ότι ο S είναι μετρικός χώρος και συμβολίζουμε με C S ([0, )) τον χώρο των συναρτήσεων f : [0, ) S που είναι συνεχείς. Θεώρημα 4.8. Εστω X, Y ανελίξεις όπως πριν τον Ορισμό 4.7, με S διαχωρίσιμο μετρικό χώρο και I = [0, ). Αν οι X, Y παίρνουν τιμές στον C S ([0, )) και έχουν τις ίδιες κατανομές πεπερασμένης διάστασης, τότε έχουν και την ίδια κατανομή. Για την απόδειξη, δες το Θεώρημα 2.6 στο Bass (2011) στην περίπτωση που S = R. Η πιο γενική περίπτωση που περιγράφει το θεώρημα αποδεικνύεται ανάλογα. Ενα τέτοιο αποτέλεσμα είναι εντελώς φυσιολογικό. Το μονοπάτι X [0, 1], λόγω συνέχειας, προσεγγίζεται από το διάνυσμα (X(0/2 n ), X(1/2 n ), X(2/2 n ),..., X(2 n /2 n )) [δηλαδή από τη γραμμική επέκταση στο [0, 1] της συνάρτησης που στα σημεία 0/2 n, 1/2 n, 2/2 n,..., 2 n /2 n έχει τιμές X(0/2 n ), X(1/2 n ), X(2/2 n ),..., X(2 n /2 n )]. Και η προσέγγιση γίνεται όλο και καλύτερη καθώς n. Ξέροντας την κατανομή αυτού του διανύσματος για ένα αρκετά μεγάλο n είναι σχεδόν σαν να ξέρουμε την κατανομή ολόκληρου του μονοπατιού X [0, 1]. Παρατήρηση 4.9 (Σ-άλγεβρα στον C S ([0, ))). Δύο σ-άλγεβρες που μπορεί να θεωρήσει κανείς στον Y := C S ([0, )) είναι οι εξής: (α) A 1 := {A Y : A t [0, ) B(S)}. Δηλαδή θεωρούμε τον Y ως υποσύνολο του χώρου γινόμενο S [0, ), ο οποίος είναι εφοδιασμένος με τη σ-άλγεβρα γινόμενο (αυτήν που παράγεται από τους μετρήσιμους κυλίνδρους) και αυτή η σ-άλγεβρα ορίζει φυσιολογικά μια σ-άλγεβρα στον Y. (β) A 2 := B(Y). Η Borel σ-άλγεβρα στον Y. Εδώ θεωρούμε τον Y ως μετρικό χώρο με μετρική την ρ( f, g) = n=1 1 ({ sup d( f (t), g(t))} 1). 2n t [0,n] Με d συμβολίζουμε τη μετρική στον S. Μια ακολουθία συναρτήσεων ( f n ) n 1 συγκλίνει ως προς τη μετρική ρ σε μια συνάρτηση f αν και μόνο αν συγκλίνει ομοιόμορφα στην f σε κάθε συμπαγές υποσύνολο του [0, ). Ισχύει το εξής αποτέλεσμα, το οποίο αποδεικνύουμε στο Παράρτημα Δʹ. Πρόταση A 1 = A Martingales και χρόνοι διακοπής Ορισμός (i) Διήθηση στον χώρο πιθανότητας (Ω, F, P) λέμε μια αύξουσα οικογένεια (F t ) t 0 σ-αλγεβρών, καθεμία υποσύνολο της F. Δηλαδή, έχουμε F s F t F για κάθε 0 s < t. (ii) Μια στοχαστική ανέλιξη (X t ) t 0 λέγεται προσαρμοσμένη στη διήθηση (F t ) t 0 αν για κάθε t 0 η X t είναι F t -μετρήσιμη.

4 34 Ανελίξεις σε συνεχή χρόνο Τώρα, αν X = (X t ) t 0 είναι μια στοχαστική ανέλιξη, τότε η ελάχιστη διήθηση ως προς την οποία η X είναι προσαρμοσμένη είναι αυτή που ορίζεται ως F t := σ({x s : 0 s t}) για κάθε t 0, δηλαδή η διήθηση που παράγεται από τη X. Ανάλογα ορίζεται η έννοια της διήθησης με γενικό σύνολο δεικτών I αρκεί σε αυτό να έχουμε μια διάταξη. Και αντίστοιχα για μια ανέλιξη (X t ) t I ορίζεται η διήθηση που αυτή παράγει. Ακριβώς πριν το Παράδειγμα 3.2 είδαμε χρήση αυτών των εννοιών (εκεί είχαμε I = N). Οι ανελίξεις που θα θεωρήσουμε ως το τέλος αυτής της παραγράφου παίρνουν τιμές στο R. Ορισμός Αν η στοχαστική ανέλιξη (X t ) t 0 ικανοποιεί τις ιδιότητες: (i) Η (X t ) t 0 είναι προσαρμοσμένη στην (F t ) t 0, (ii) E X t < για κάθε t 0, (iii) E(X t F s ) = X s για κάθε 0 s < t, τότε λέγεται martingale ως προς τη διήθηση (F t ) t 0. Αν αντί της (iii) ισχύει η E(X t F s ) X s, τότε η ανέλιξη λέγεται submartingale, ενώ αν ισχύει η E(X t F s ) X s, τότε η ανέλιξη λέγεται supermartingale. Προφανώς, αν (X t ) t 0 είναι martingale ως προς τη διήθηση (F t ) t 0 και (t n ) n N είναι μια αύξουσα ακολουθία στο [0, ), τότε η ανέλιξη (X tn ) n N είναι martingale ως προς τη διήθηση (F tn ) n N. Χρησιμοποιούμε αυτή την παρατήρηση για να μεταφέρουμε στο πλαίσιο των ανελίξεων σε συνεχή χρόνο αποτελέσματα που έχουν δειχθεί σε διακριτό χρόνο (δες την απόδειξη του Θεωρήματος 4.16 πιο κάτω). Ανάλογα με την περίπτωση που έχουμε διήθηση σε διακριτό χρόνο (I = N), ορίζεται και τώρα, με I = [0, ), η έννοια του χρόνου διακοπής. Ορισμός Μια συνάρτηση T : Ω [0, ] λέγεται χρόνος διακοπής ως προς τη διήθηση (F t ) t 0 αν για κάθε t 0 ισχύει {T t} F t. (4.1) Σε αυτές τις σημειώσεις θα χρησιμοποιήσουμε martingales σε συνεχή χρόνο για να υπολογίσουμε ποσότητες που αφορούν την κίνηση Brown, όπως στην Παράγραφο 3.5 χρησιμοποιήσαμε martingales σε διακριτό χρόνο για τον τυχαίο περίπατο. Για (X t ) t 0 ανέλιξη και T : Ω [0, ], συμβολίζουμε με X T την ανέλιξη που ορίζεται ως Xt T = X t T για κάθε t 0. Χρειαζόμαστε το ακόλουθο θεώρημα, την απόδειξη του οποίου μπορεί να δει ο αναγνώστης στην Παράγραφο 3 του Κεφαλαίου ΙΙ στο Revuz and Yor (1999). Θεώρημα Εστω X = (X t ) t 0 συνεχές martingale και T χρόνος διακοπής. Τότε η ανέλιξη X T είναι martingale. Αμεση συνέπεια αυτού του αποτελέσματος είναι το εξής. Θεώρημα 4.15 (Θεώρημα επιλεκτικής διακοπής). Εστω X = (X t ) t 0 συνεχές martingale και T φραγμένος χρόνος διακοπής. Τότε E(X T ) = E(X 0 ). Απόδειξη. Αν M είναι ένα άνω φράγμα του χρόνου διακοπής T, τότε επειδή η X T είναι martingale, θα έχουμε E(XM T ) = E(XT 0 ), το οποίο είναι η ζητούμενη ισότητα αφού T M = T. Χρήσιμη στην κατασκευή του στοχαστικού ολοκληρώματος είναι η ακόλουθη ανισότητα.

5 4.3 Martingales και χρόνοι διακοπής 35 Θεώρημα 4.16 (Ανισότητα Doob για submartingales). Εστω X = (X t ) t 0 συνεχές submartingale και t > 0. Τότε για κάθε λ > 0, έχουμε P ( sup X s λ ) 1 s [0,t] λ E(X+ t ). Απόδειξη. Για n 1, έστω I n := ({k/2 n : k N} [0, t]) {t}. Το Θεώρημα 3.20 δίνει ότι για r > 0 ισχύει P(sup s I n X s > r) P(sup s I n X s r) 1 r E(X+ t ). Η ακολουθία A n := {sup s In X s > r}, n 1 είναι αύξουσα (γιατί και η (I n ) n 1 είναι) και η ένωσή της είναι το σύνολο {sup s [0,t] X s > r}. Στον τελευταίο ισχυρισμό χρησιμοποιούμε ότι η X έχει συνεχή μονοπάτια και ότι η ένωση των I n είναι ένα πυκνό υποσύνολο του [0, t]. Αρα P( sup X s > r) 1 s [0,t] r E(X+ t ). (4.2) Παίρνουμε τώρα μια γνησίως αύξουσα ακολουθία (r n ) n 1 θετικών αριθμών που συγλίνει στο λ. Τότε η ακολουθία A n := {sup s [0,t] X s > r n } είναι φθίνουσα με τομή το σύνολο {sup s [0,t] X s λ}. Εφαρμόζουμε την (4.2) για r = r n, παίρνουμε n, και έπειτα επικαλούμαστε ότι lim n P(A n ) = P( n 1 A n ). Προκύπτει έτσι το ζητούμενο. Μια ιδιότητα ασθενέστερη από αυτήν του martingale αλλά εξίσου χρήσιμη είναι αυτή του local martingale. Ο ορισμός της είναι ο εξής. Ορισμός Η ανέλιξη (X t ) t 0 λέγεται local martingale ως προς τη διήθηση (F t ) t 0 αν υπάρχει αύξουσα ακολουθία (τ n ) n 1 χρόνων διακοπής ώστε: (i) P(lim n τ n = ) = 1. (ii) Για κάθε n 1 η σταματημένη ανέλιξη (X t τn ) t 0 είναι martingale ως προς την (F t ) t 0. Επειδή X t = lim n X t τn, η X είναι προσαρμοσμένη στην(f t ) t 0. Κάθε martingale είναι local martingale όπως θα δούμε τώρα, το αντίστροφο όμως δεν ισχύει (δες παράδειγμα 13.7). Παρατήρηση Θα δείξουμε ότι κάθε martingale X είναι local martingale. Για κάθε n N + θέτουμε τ n := n (σταθερός χρόνος διακοπής). Μένει να δείξουμε ότι για κάθε n N + η ανέλιξη (X t n ) t 0 είναι martingale. Είναι προσαρμοσμένη γιατί, αν t < n, τότε η X t n = X t είναι F t -μετρήσιμη, ενώ, αν t n, έχουμε X t n = X n η οποία είναι F n -μετρήσιμη, άρα και F t -μετρήσιμη αφού F n F t. Επίσης, E X t n < προφανώς, αφού για τον αριθμό s := t n ξέρουμε ότι E X s <. Μένει να δείξουμε ότι για κάθε 0 s < t ισχύει E(X t n F s ) = X s n. Για αυτό διακρίνει κανείς τις περιπτώσεις s < t n, s < n t, n s < t. Ας δούμε την τελευταία. Θέλουμε E(X n F s ) = X n, το οποίο ισχύει αφού η X n είναι F s - μετρήσιμη (ως F n -μετρήσιμη). Οι άλλες δύο περιπτώσεις είναι εξίσου απλές. Υπό κάποιες προϋποθέσεις ένα local martingale είναι martingale. Μια τέτοια περίπτωση είναι η ακόλουθη. Πρόταση Αν ένα local martingale (X t ) t 0 είναι φραγμένο [δηλαδή υπάρχει M (0, ) ώστε X t (ω) M για κάθε t 0 και ω Ω], τότε είναι martingale.

6 36 Ανελίξεις σε συνεχή χρόνο Απόδειξη. Ξέρουμε ότι η (X t ) t 0 είναι προσαρμοσμένη. Εστω (τ n ) n 1 μια ακολουθία χρόνων διακοπής όπως στον Ορισμό Αφού η X t είναι φραγμένη, έπεται ότι E X t <. Τέλος, για 0 s < t έχουμε E(X t τn F s ) = X s τn για κάθε n 1. Για n, το δεξί μέλος της τελευταίας ισότητας τείνει στο X s, ενώ στο αριστερό εφαρμόζουμε το θεώρημα κυριαρχημένης σύγκλισης για τη δεσμευμένη μέση τιμή (Θεώρημα 2.17). Κυριαρχούσα συνάρτηση είναι η σταθερά M. Παραδείγματα martingales σε συνεχή χρόνο καθώς και εφαρμογές του θεωρήματος επιλεκτικής διακοπής (Θεώρημα 4.15) θα δούμε αφότου κατασκευάσουμε την κίνηση Brown στο επόμενο κεφάλαιο. 4.4 Ιδιότητες Markov* Μια ειδική κατηγορία ανελίξεων είναι οι ανελίξεις Markov. Ετσι λέμε αυτές που έχουν την ιδιότητα Markov, την οποία θα ορίσουμε τώρα. Εστω (Ω, F, P) χώρος πιθανότητας, I R σύνολο δεικτών, (F t ) t I μια διήθηση, (S, A) ένας μετρήσιμος χώρος, και X = (X t ) t I μια ανέλιξη με τιμές στον S και προσαρμοσμένη στην (F t ) t I. Συνήθως, η (F t ) t I είναι αυτή που παράγεται από τη X. Δηλαδή F t := σ({x s : s I, s t}). Χρόνο διακοπής ως προς την (F t ) t I λέμε οποιαδήποτε τυχαία μεταβλητή T : Ω [0, ] ικανοποιεί την (4.1) για κάθε t I. Για C F και G F σ-άλγεβρα, θα συμβολίζουμε με P(C G) τη δεσμευμένη μέση τιμή E(1 C G). Ορισμός Λέμε ότι η X έχει την ιδιότητα Markov ως προς τη διήθηση (F t ) t I αν για κάθε s, t I με s t και A A ισχύει P(X t A F s ) = P(X t A X s ) με πιθανότητα 1. Δηλαδή, αν τοποθετήσουμε τον εαυτό μας στη χρονική στιγμή s, η κατανομή της τιμής της X σε έναν δεδομένο μελοντικό χρόνο t, δεδομένου ολόκληρου του παρελθόντος (από τη στιγμη s και πριν), είναι η ίδια αν δεδομένη είναι απλώς η τιμή X s της X κατά τον παρόντα χρόνο s. Μάλιστα είναι συνέπεια του ορισμού ότι η κατανομή ολόκληρης της ανέλιξης (X t ) t s δεδομένης της F s παραμένει η ίδια αν αντί της F s είναι δεδομένη η X s. Παράδειγμα (α) Ο απλός τυχαίος περίπατος (S n ) n 0 στο Z (δες Παράγραφο 3.1 για τον συμβολισμό) έχει την ιδιότητα Markov ως προς τη διήθηση που παράγει ο ίδιος γιατί για n k και A Z έχουμε P(S n A F k ) = φ(s k ) = P(S n A S k ) με φ(r) = P(a+ k< j n X j A) για κάθε r Z. Οι ισότητες είναι διαισθητικά προφανείς και προκύπτουν με χρήση της Πρότασης 2.11 (γενικευμένης για X, Y πολυδιάστατες τυχαίες μεταβλητές). (β) Η ανέλιξη (M n ) n 0 με M n = max 0 k n S k, όπου (S n ) n 0 είναι ο απλός τυχαίος περίπατος στο Z, δεν έχει την ιδιότητα Markov ως προς τη διήθηση που αυτή παράγει. Η απόδειξη αυτού του ισχυρισμού αφήνεται ως μια μη τετριμμένη άσκηση. Πολλές φορές, μια ανέλιξη Markov (X t ) t I ικανοποιεί την ιδιότητα του Ορισμού 4.20 πιο πάνω όχι απλώς για κάθε σταθερό χρόνο s αλλά και για κάθε πεπερασμένο χρόνο διακοπής T. Δηλαδή, η κατανομή του μονοπατιού (X t ) t T της X μετά τον χρόνο T επηρεάζεται από την «πληροφορία του παρελθόντος» μόνο μέσω της τιμής X(T). Πρώτα ορίζουμε τι σημαίνει «πληροφορία» μέχρι τον τυχαίο χρόνο T. Αυτή είναι η σ-άλγεβρα F T := {A F : A {T t} F t για κάθε t I}. (4.3)

7 4.4 Ιδιότητες Markov* 37 Διαισθητικά, αυτή η σ-άλγεβρα περιέχει τα γεγονότα για τα οποία μπορούμε την χρονική στιγμή T να αποφανθούμε αν έχουν συμβεί ως τότε. Και οι τυχαίες μεταβλητές που είναι μετρήσιμες ως προς αυτή τη σ-άλγεβρα είναι εκείνες των οποίων η τιμή μπορεί να καθοριστεί από την πληροφορία ως και τον χρόνο T. Επειδή η X είναι προσαρμοσμένη στη διήθηση (F t ) t I, η πληροφορία ως και τον χρόνο T περιέχει την τιμή του T και τις τιμές που έχει πάρει η X στο διάστημα [0, T]. Το κάνουμε πιο σαφές αυτό στο επόμενο παράδειγμα. Παράδειγμα (α) Η T είναι F T -μετρήσιμη. Αρκεί να δείξουμε ότι για οποιοδήποτε r 0 το γεγονός A := {T r} είναι στοιχείο της F T. Πράγματι, για κάθε t I θέτουμε s := sup(i [0, r t]) και ας υποθέσουμε ότι s I. Τότε A {T t} = {T r t} = {T s} F s F t αφού ο T είναι χρόνος διακοπής. Η περίπτωση που s I αφήνεται ως άσκηση. (β) Ας υποθέσουμε ότι I = [0, ) και ότι η X παίρνει τιμές σε έναν μετρικό χώρο και έχει συνεχή μονοπάτια. Τότε η τυχαία μεταβλητή X T είναι F T μετρήσιμη. Αυτό είναι κάτι εντελώς αναμενόμενο από την περιγραφή που δώσαμε για την F T αλλά δεν είναι άμεσο, οπότε αφήνουμε την απόδειξή του για τις ασκήσεις ( Ασκηση 4.11). Δίνουμε τώρα τον ορισμό της ισχυρής ιδιότητας Markov. Θεωρούμε σημείο δ S και ορίζουμε X t = δ για κάθε t R\I. Ορισμός Λέμε ότι η X έχει την ισχυρή ιδιότητα Markov ως προς τη διήθηση (F t ) t I αν για κάθε χρόνο διακοπής T που παίρνει τιμές στο I, t > 0 και A A ισχύει P(X T+t A F T ) = P(X T+t A X T ). Για την ισχυρή ιδιότητα Markov ισχύει ανάλογη παρατήρηση με αυτήν που ακολουθεί τον Ορισμό Για περισσότερα σχετικά με τις ανελίξεις που έχουν την ιδιότητα Markov ή την ισχυρή ιδιότητα Markov και τη σχέση των δύο ιδιοτήτων μπορεί να δει κανείς στα Κεφάλαια 19, 20 του Bass (2011) ή στο Κεφάλαιο ΙΙΙ των Revuz and Yor (1999). Ασκήσεις 4.1 (Δέσμευση και ολοκλήρωμα Lebesgue) Εστω (Ω, F, P) χώρος πιθανότητας, (F t ) t 0 διήθηση σε αυτόν, και X : [0, ) Ω R ανέλιξη μετρήσιμη ως προς τη σ-άλγεβρα B([0, )) F. Αν E X(r, ω) dr < και η r 0 E{X(r, ω) F s } είναι μετρήσιμη, τότε για κάθε s 0 ισχύει ( ) E X(r, ω) dr F s = E{X(r, ω) F s } dr Εστω (X t ) t 0, (Y t ) t 0 στοχαστικές ανελίξεις με τιμές σε έναν μετρικό χώρο S. Αν έχουν την ίδια κατανομή, να δειχθεί ότι έχουν τις ίδιες κατανομές πεπερασμένης διάστασης. 4.3 Αν a (0, ), να δειχθεί ότι η σταθερή τυχαία μεταβλητή T = a είναι χρόνος διακοπής. 4.4 Αν οι τυχαίες μεταβλητές T, S είναι χρόνοι διακοπής και a > 1, να δειχθεί ότι χρόνοι διακοπής είναι επίσης και οι τυχαίοι χρόνοι S T, S T, S + T, as Εστω T χρόνος διακοπής. Για κάθε n N ορίζουμε τον τυχαίο χρόνο T n := [2 n T + 1]/2 n, δηλαδή θέτουμε T n = k/2 n (k N + ) ακριβώς όταν T [(k 1)/2 n, k/2 n ), ενώ T n = όταν T =. Να δειχθεί ότι: (α) Κάθε T n είναι χρόνος διακοπής. (β) Η (T n ) n 0 είναι φθίνουσα και lim n T n = T.

8 38 Ανελίξεις σε συνεχή χρόνο 4.6 Αν ο T είναι χρόνος διακοπής ως προς τη διήθηση (F t ) t 0, τότε για κάθε t > 0 ισχύει {T < t} F t. 4.7 Εστω X = (X t ) t 0 συνεχές μη αρνητικό submartingale, p 1, και t > 0. Τότε για κάθε λ > 0, έχουμε P ( sup X s λ ) 1 0 s t λ p E(X p t ). 4.8 Εστω X = (X t ) t 0 μη αρνητικό local martingale. Να δειχθεί ότι είναι supermartingale. 4.9 Εστω X = (X t ) t 0 θετικό συνεχές martingale με X 0 = x 0 (0, ) δεδομένη σταθερά και lim t X t = 0 με πιθανότητα 1. Θέτουμε X := sup t 0 X t. Να δειχθεί ότι για κάθε x > x 0 ισχύει P(X > x) = x x 0. [Υπόδειξη.: Εστω T := inf{t 0 : X t = x}. Εφαρμόζουμε το θεώρημα επιλεκτικής διακοπής για το martingale X και τον χρόνο T r με r (0, ) αυθαίρετο.] 4.10 Να δειχθεί ότι πράγματι η F T της σχέσης (4.3) είναι σ-άλγεβρα. Ο T είναι χρόνος διακοπής Εστω (F t ) t 0 διήθηση σε ένα χώρο πιθανότητας και X = (X t ) t 0 ανέλιξη με τιμές σε έναν μετρικό χώρο και προσαρμοσμένη στην (F t ) t 0. Για T χρόνο διακοπής θεωρούμε την ακολουθία των τυχαίων χρόνων T n = [2 n T]/2 n, n N (δεν είναι απαραίτητα χρόνοι διακοπής). Να δειχθεί ότι: (α) Η X T n είναι F T -μετρήσιμη για κάθε n N. (β) Αν η X έχει συνεχή μονοπάτια, να δειχθεί ότι η X T είναι F T -μετρήσιμη.

9 Μέρος II Κίνηση Brown

10 40

Εφαρμογές στην κίνηση Brown

Εφαρμογές στην κίνηση Brown 13 Εφαρμογές στην κίνηση Brown Σε αυτό το κεφάλαιο θέλουμε να κάνουμε για την πολυδιάστατη κίνηση Brown κάτι ανάλογο με αυτό που κάναμε στην Παράγραφο 7.2 για τη μονοδιάστατη κίνηση Brown. Δηλαδή να μελετήσουμε

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγικά. 1.1 Η σ-αλγεβρα ως πληροφορία

Εισαγωγικά. 1.1 Η σ-αλγεβρα ως πληροφορία 1 Εισαγωγικά 1.1 Η σ-αλγεβρα ως πληροφορία Στη θεωρία μέτρου, όταν δουλεύει κανείς σε έναν χώρο X, συνήθως έχει διαλέξει μια αρκετά μεγάλη σ-άλγεβρα στον X έτσι ώστε όλα τα σύνολα που εμφανίζονται να ανήκουν

Διαβάστε περισσότερα

Martingales. 3.1 Ορισμός και παραδείγματα

Martingales. 3.1 Ορισμός και παραδείγματα 3 Martingales 3.1 Ορισμός και παραδείγματα Εστω χώρος πιθανότητας (Ω, F, P). Διήθηση σε αυτό τον χώρο λέμε μια αύξουσα ακολουθία (F n ) n 0 σ-αλγεβρών, η καθεμία από τις οποίες είναι υποσύνολο της F. Δηλαδή,

Διαβάστε περισσότερα

Αναλυτικές ιδιότητες

Αναλυτικές ιδιότητες 8 Αναλυτικές ιδιότητες 8. Βαθμός συνέχειας* Ξέρουμε ότι η κίνηση Brown είναι συνεχής και θα δείξουμε αργότερα ότι είναι πουθενά διαφορίσιμη. Πόσο ομαλή είναι λοιπόν; Μια ασθενέστερη μορφή ομαλότητας είναι

Διαβάστε περισσότερα

Ανεξαρτησία Ανεξαρτησία για οικογένειες συνόλων και τυχαίες μεταβλητές

Ανεξαρτησία Ανεξαρτησία για οικογένειες συνόλων και τυχαίες μεταβλητές 10 Ανεξαρτησία 10.1 Ανεξαρτησία για οικογένειες συνόλων και τυχαίες μεταβλητές Στην παράγραφο αυτή δουλεύουμε σε χώρο πιθανότητας (Ω, F, P). Δίνουμε καταρχάς τον ορισμό της ανεξαρτησίας για ενδεχόμενα,

Διαβάστε περισσότερα

Ανεξαρτησία Ανεξαρτησία για οικογένειες συνόλων και τυχαίες μεταβλητές

Ανεξαρτησία Ανεξαρτησία για οικογένειες συνόλων και τυχαίες μεταβλητές 10 Ανεξαρτησία 10.1 Ανεξαρτησία για οικογένειες συνόλων και τυχαίες μεταβλητές Στην παράγραφο αυτή δουλεύουμε σε χώρο πιθανότητας (Ω, F, P). Δίνουμε καταρχάς τον ορισμό της ανεξαρτησίας για ενδεχόμενα,

Διαβάστε περισσότερα

Ο Ισχυρός Νόμος των Μεγάλων Αριθμών

Ο Ισχυρός Νόμος των Μεγάλων Αριθμών 1 Ο Ισχυρός Νόμος των Μεγάλων Αριθμών Στο κεφάλαιο αυτό παρουσιάζουμε ένα από τα σημαντικότερα αποτελέσματα της Θεωρίας Πιθανοτήτων, τον ισχυρό νόμο των μεγάλων αριθμών. Η διατύπωση που θα αποδείξουμε

Διαβάστε περισσότερα

Αποδεικτικές Διαδικασίες και Μαθηματική Επαγωγή.

Αποδεικτικές Διαδικασίες και Μαθηματική Επαγωγή. Αποδεικτικές Διαδικασίες και Μαθηματική Επαγωγή. Mαθηματικό σύστημα Ένα μαθηματικό σύστημα αποτελείται από αξιώματα, ορισμούς, μη καθορισμένες έννοιες και θεωρήματα. Η Ευκλείδειος γεωμετρία αποτελεί ένα

Διαβάστε περισσότερα

Ανεξαρτησία Ανεξαρτησία για οικογένειες συνόλων και τυχαίες μεταβλητές

Ανεξαρτησία Ανεξαρτησία για οικογένειες συνόλων και τυχαίες μεταβλητές 10 Ανεξαρτησία 10.1 Ανεξαρτησία για οικογένειες συνόλων και τυχαίες μεταβλητές Στην παράγραφο αυτή δουλεύουμε σε χώρο πιθανότητας (Ω, F, P). Δίνουμε καταρχάς τον ορισμό της ανεξαρτησίας για ενδεχόμενα,

Διαβάστε περισσότερα

Ο τύπος του Itô. f (s) ds (12.1) f (g(s)) dg(s). (12.2) t f (B s ) db s + 1 2

Ο τύπος του Itô. f (s) ds (12.1) f (g(s)) dg(s). (12.2) t f (B s ) db s + 1 2 12 Ο τύπος του Itô Για συνάρτηση f : R R με συνεχή παράγωγο, έχουμε d f (s) = f (s) ds που σε ολοκληρωτική μορφή σημαίνει f (b) f (a) = b a f (s) ds (12.1) για κάθε a < b. Αν επιπλέον και η g : R R έχει

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟN ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΟ ΛΟΓΙΣΜΟ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟN ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΟ ΛΟΓΙΣΜΟ Δημήτρης Χελιώτης ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟN ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΟ ΛΟΓΙΣΜΟ B τ u(x):=e x {f(b τ ) u(x) = } x ii ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΧΕΛΙΩΤΗΣ Επίκουρος καθηγητής Τμήμα Μαθηματικών Εθνικό και Καποδιστριακό Πανεπιστήμιο Αθηνων Εισαγωγή στον

Διαβάστε περισσότερα

Μεγάλες αποκλίσεις* 17.1 Η έννοια της μεγάλης απόκλισης

Μεγάλες αποκλίσεις* 17.1 Η έννοια της μεγάλης απόκλισης 7 Μεγάλες αποκλίσεις* 7. Η έννοια της μεγάλης απόκλισης Εστω (X ανεξάρτητες και ισόνομες τυχαίες μεταβλητές ώστε P(X = = P(X = = /2 και S = k= X k το άθροισμα των πρώτων από αυτές. Ο νόμος των μεγάλων

Διαβάστε περισσότερα

Δημήτρης Χελιώτης ΕΝΑ ΔΕΥΤΕΡΟ ΜΑΘΗΜΑ ΣΤΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

Δημήτρης Χελιώτης ΕΝΑ ΔΕΥΤΕΡΟ ΜΑΘΗΜΑ ΣΤΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Δημήτρης Χελιώτης ΕΝΑ ΔΕΥΤΕΡΟ ΜΑΘΗΜΑ ΣΤΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ii ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΧΕΛΙΩΤΗΣ Επίκουρος καθηγητής Τμήμα Μαθηματικών Εθνικό και Καποδιστριακό Πανεπιστήμιο Αθηνων Ενα δεύτερο μάθημα στις πιθανότητες Ενα δεύτερο

Διαβάστε περισσότερα

Η εξίσωση Black-Scholes

Η εξίσωση Black-Scholes 8 Η εξίσωση Black-Scholes 8. Μια απλή αγορά Θεωρούμε ότι έχουμε μια αγορά που έχει μόνο δύο προϊόντα. Το ένα είναι η δυνατότητα κατάθεσης σε μια τράπεζα (ισοδύναμα, αγορά ομολόγων της τράπεζας) και το

Διαβάστε περισσότερα

Αναγνώριση Προτύπων. Σήμερα! Λόγος Πιθανοφάνειας Πιθανότητα Λάθους Κόστος Ρίσκο Bayes Ελάχιστη πιθανότητα λάθους για πολλές κλάσεις

Αναγνώριση Προτύπων. Σήμερα! Λόγος Πιθανοφάνειας Πιθανότητα Λάθους Κόστος Ρίσκο Bayes Ελάχιστη πιθανότητα λάθους για πολλές κλάσεις Αναγνώριση Προτύπων Σήμερα! Λόγος Πιθανοφάνειας Πιθανότητα Λάθους Πιθανότητα Λάθους Κόστος Ρίσκο Bayes Ελάχιστη πιθανότητα λάθους για πολλές κλάσεις 1 Λόγος Πιθανοφάνειας Ας υποθέσουμε ότι θέλουμε να ταξινομήσουμε

Διαβάστε περισσότερα

Ευρωπαϊκά παράγωγα Ευρωπαϊκά δικαιώματα

Ευρωπαϊκά παράγωγα Ευρωπαϊκά δικαιώματα 17 Ευρωπαϊκά παράγωγα 17.1 Ευρωπαϊκά δικαιώματα Ορισμός 17.1. 1) Ευρωπαϊκό δικαίωμα αγοράς σε μία μετοχή είναι ένα συμβόλαιο που δίνει στον κάτοχό του το δικαίωμα να αγοράσει μία μετοχή από τον εκδότη

Διαβάστε περισσότερα

Αναγνώριση Προτύπων. Σημερινό Μάθημα

Αναγνώριση Προτύπων. Σημερινό Μάθημα Αναγνώριση Προτύπων Σημερινό Μάθημα Μη Παραμετρικός Υπολογισμός πυκνότητας με εκτίμηση Ιστόγραμμα Παράθυρα Parzen Εξομαλυμένη Kernel Ασκήσεις 1 Μη Παραμετρικός Υπολογισμός πυκνότητας με εκτίμηση Κατά τη

Διαβάστε περισσότερα

Ας υποθέσουμε ότι ο παίκτης Ι διαλέγει πρώτος την τυχαιοποιημένη στρατηγική (x 1, x 2 ), x 1, x2 0,

Ας υποθέσουμε ότι ο παίκτης Ι διαλέγει πρώτος την τυχαιοποιημένη στρατηγική (x 1, x 2 ), x 1, x2 0, Οικονομικό Πανεπιστήμιο Αθηνών Τμήμα Στατιστικής Εισαγωγή στην Επιχειρησιακή Ερευνα Εαρινό Εξάμηνο 2015 Μ. Ζαζάνης Πρόβλημα 1. Να διατυπώσετε το παρακάτω παίγνιο μηδενικού αθροίσματος ως πρόβλημα γραμμικού

Διαβάστε περισσότερα

Οι γέφυρες του ποταμού... Pregel (Konigsberg)

Οι γέφυρες του ποταμού... Pregel (Konigsberg) Οι γέφυρες του ποταμού... Pregel (Konigsberg) Β Δ Β Δ Γ Γ Κύκλος του Euler (Euler cycle) είναι κύκλος σε γράφημα Γ που περιέχει κάθε κορυφή του γραφήματος, και κάθε ακμή αυτού ακριβώς μία φορά. Για γράφημα

Διαβάστε περισσότερα

Εξαναγκασμένες ταλαντώσεις, Ιδιοτιμές με πολλαπλότητα, Εκθετικά πινάκων. 9 Απριλίου 2013, Βόλος

Εξαναγκασμένες ταλαντώσεις, Ιδιοτιμές με πολλαπλότητα, Εκθετικά πινάκων. 9 Απριλίου 2013, Βόλος ιαφορικές Εξισώσεις Εξαναγκασμένες ταλαντώσεις, Ιδιοτιμές με πολλαπλότητα, Ατελείς ιδιοτιμές Εκθετικά πινάκων Μανόλης Βάβαλης Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Τηλεπικοινωνιών και ικτύων Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας 9 Απριλίου

Διαβάστε περισσότερα

Περίληψη. του Frostman 4.1. Τέλος, η ϑεωρία του μέτρου Hausdorff αναπτύσσεται περαιτέρω στην τελευταία παράγραφο. Εισαγωγή 2

Περίληψη. του Frostman 4.1. Τέλος, η ϑεωρία του μέτρου Hausdorff αναπτύσσεται περαιτέρω στην τελευταία παράγραφο. Εισαγωγή 2 Το Μέτρο και η Διάσταση Hausdorff Γεωργακόπουλος Νίκος Τερεζάκης Αλέξης Περίληψη Αναπτύσσουμε τη ϑεωρία του μέτρου και της διάστασης Hausdorff με εφαρμογές στον υπολογισμό διαστάσεων συνόλων fractal (Θεώρημα

Διαβάστε περισσότερα

{ i f i == 0 and p > 0

{ i f i == 0 and p > 0 ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ - ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Σχεδίαση και Ανάλυση Αλγορίθμων Διδάσκων: Ε. Μαρκάκης, Φθινοπωρινό εξάμηνο 014-015 Λύσεις 1ης Σειράς Ασκήσεων

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο Η εκθετική κατανομή. Η πυκνότητα πιθανότητας της εκθετικής κατανομής δίδεται από την σχέση (1.1) f(x) = 0 αν x < 0.

Κεφάλαιο Η εκθετική κατανομή. Η πυκνότητα πιθανότητας της εκθετικής κατανομής δίδεται από την σχέση (1.1) f(x) = 0 αν x < 0. Κεφάλαιο Συνεχείς Τυχαίες Μεταβλητές. Η εκθετική κατανομή Η πυκνότητα πιθανότητας της εκθετικής κατανομής δίδεται από την σχέση f(x) = λe λx αν x, αν x

Διαβάστε περισσότερα

«ΔΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ»

«ΔΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ» HY 118α «ΔΙΚΡΙΤ ΜΘΗΜΤΙΚ» ΣΚΗΣΕΙΣ ΠΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΙΣΤΩΝ εώργιος Φρ. εωργακόπουλος ΜΕΡΟΣ (1) ασικά στοιχεία της θεωρίας συνόλων. Π. ΚΡΗΤΗΣ ΤΜ. ΕΠ. ΥΠΟΛΟΙΣΤΩΝ «ΔΙΚΡΙΤ ΜΘΗΜΤΙΚ». Φ. εωργακόπουλος

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1. Πίνακες και απαλοιφή Gauss

Κεφάλαιο 1. Πίνακες και απαλοιφή Gauss Κεφάλαιο 1 Πίνακες και απαλοιφή Gauss Γύρω απ το γινομένου πινάκων Κάτι σαν τυπολόγιο Αν AB = C, τότε: 1 (C) i j = (i-γραμμή A) ( j-στήλη B) Το συμβολίζει εσωτερικό γινόμενο 2 (i-γραμμή C) = k(a) ik (k-γραμμή

Διαβάστε περισσότερα

Το κράτος είναι φτιαγμένο για τον άνθρωπο και όχι ο άνθρωπος για το κράτος. A. Einstein Πηγή:

Το κράτος είναι φτιαγμένο για τον άνθρωπο και όχι ο άνθρωπος για το κράτος. A. Einstein Πηγή: Ας πούμε και κάτι για τις δύσκολες μέρες που έρχονται Το κράτος είναι φτιαγμένο για τον άνθρωπο και όχι ο άνθρωπος για το κράτος. A. Einstein 1879-1955 Πηγή: http://www.cognosco.gr/gnwmika/ 1 ΚΥΚΛΙΚΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

ιάσταση του Krull Α.Π.Θ. Θεσσαλονίκη Χ. Χαραλαμπους (ΑΠΘ) ιάσταση του Krull Ιανουάριος, / 27

ιάσταση του Krull Α.Π.Θ. Θεσσαλονίκη Χ. Χαραλαμπους (ΑΠΘ) ιάσταση του Krull Ιανουάριος, / 27 ιάσταση του Krull Χ. Χαραλάμπους Α.Π.Θ. Θεσσαλονίκη Ιανουάριος, 2017 Χ. Χαραλαμπους (ΑΠΘ) ιάσταση του Krull Ιανουάριος, 2017 1 / 27 Ορισμοί Εστω R (αντιμεταθετικός) δακτύλιος. Ορισμός Η διάσταση του Krull

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στη Μιγαδική Ανάλυση. (Πρώτη Ολοκληρωμένη Γραφή)

Εισαγωγή στη Μιγαδική Ανάλυση. (Πρώτη Ολοκληρωμένη Γραφή) Εισαωή στη Μιαδική Ανάλυση Σημειώσεις (Πρώτη Ολοκληρωμένη Γραφή) Ε. Στεφανόπουλος Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Αιαίου Καρλόβασι Καλοκαίρι 26 Πρόλοος Οι σημειώσεις αυτές είναι αποτέλεσμα επεξερασίας

Διαβάστε περισσότερα

HY 280. θεμελιακές έννοιες της επιστήμης του υπολογισμού ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ. Γεώργιος Φρ.

HY 280. θεμελιακές έννοιες της επιστήμης του υπολογισμού ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ. Γεώργιος Φρ. HY 280 «ΘΕΩΡΙΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ» θεμελικές έννοιες της επιστήμης του υπολογισμού ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Γεώργιος Φρ. Γεωργκόπουλος μέρος Α Εισγωγή, κι η σική θεωρί των πεπερσμένων

Διαβάστε περισσότερα

21/11/2005 Διακριτά Μαθηματικά. Γραφήματα ΒΑΣΙΚΗ ΟΡΟΛΟΓΙΑ : ΜΟΝΟΠΑΤΙΑ ΚΑΙ ΚΥΚΛΟΙ Δ Ι. Γεώργιος Βούρος Πανεπιστήμιο Αιγαίου

21/11/2005 Διακριτά Μαθηματικά. Γραφήματα ΒΑΣΙΚΗ ΟΡΟΛΟΓΙΑ : ΜΟΝΟΠΑΤΙΑ ΚΑΙ ΚΥΚΛΟΙ Δ Ι. Γεώργιος Βούρος Πανεπιστήμιο Αιγαίου Γραφήματα ΒΑΣΙΚΗ ΟΡΟΛΟΓΙΑ : ΜΟΝΟΠΑΤΙΑ ΚΑΙ ΚΥΚΛΟΙ A Ε B Ζ Η Γ K Θ Δ Ι Ορισμός Ένα (μη κατευθυνόμενο) γράφημα (non directed graph) Γ, είναι μία δυάδα από σύνολα Ε και V και συμβολίζεται με Γ=(Ε,V). Το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

Σχέσεις και ιδιότητές τους

Σχέσεις και ιδιότητές τους Σχέσεις και ιδιότητές τους Διμελής (binary) σχέση Σ από σύνολο Χ σε σύνολο Υ είναι ένα υποσύνολο του καρτεσιανού γινομένου Χ Υ. Αν (χ,ψ) Σ, λέμε ότι το χ σχετίζεται με το ψ και σημειώνουμε χσψ. Στην περίπτωση

Διαβάστε περισσότερα

Το Θεώρημα Μοναδικότητας των Stone και von Neumann

Το Θεώρημα Μοναδικότητας των Stone και von Neumann Κ Ε Το Θεώρημα Μοναδικότητας των Stone και von Neumann Διπλωματική Εργασία Ειδίκευσης στα Θεωρητικά Μαθηματικά Πανεπιστήμιο Αθηνών Τμήμα Μαθηματικών Αθήνα 2011 Αφιερώνεται στην οικογένεια μου ii Περίληψη

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ ΜΑΘΗΜΑ: ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ ΜΑΘΗΜΑ: ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑ: ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ Την ευθύνη του εκπαιδευτικού υλικού έχει ο επιστημονικός συνεργάτης των Πανεπιστημιακών Φροντιστηρίων «ΚOΛΛΙΝΤΖΑ», οικονομολόγος συγγραφέας θεμάτων ΑΣΕΠ, Παναγιώτης Βεργούρος.

Διαβάστε περισσότερα

Πιθανότητες ΙΙ 1 o Μέρος. Οικονομικό Πανεπιστήμιο Αθηνών

Πιθανότητες ΙΙ 1 o Μέρος. Οικονομικό Πανεπιστήμιο Αθηνών Πιθανότητες ΙΙ o Μέρος Μιχάλης Ζαζάνης Τμήμα Στατιστικής Οικονομικό Πανεπιστήμιο Αθηνών 4 Απριλίου 7 Κεφάλαιο Συνεχείς Τυχαίες Μεταβλητές. Η εκθετική κατανομή Η πυκνότητα πιθανότητας της εκθετικής κατανομής

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ Γ ΤΑΞΗ

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ Γ ΤΑΞΗ ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Σ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΕΥΤΕΡΑ 12 ΙΟΥΝΙΟΥ 2000 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (ΚΥΚΛΟΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΚΑΙ ΥΠΗΡΕΣΙΩΝ): ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγικές Διαλέξεις στην Θεωρία των Αλυσίδων Markov και των Στοχαστικών Ανελίξεων. Οικονομικό Πανεπιστήμιο Αθηνών

Εισαγωγικές Διαλέξεις στην Θεωρία των Αλυσίδων Markov και των Στοχαστικών Ανελίξεων. Οικονομικό Πανεπιστήμιο Αθηνών Εισαγωγικές Διαλέξεις στην Θεωρία των Αλυσίδων Markov και των Στοχαστικών Ανελίξεων Μιχάλης Ζαζάνης Τμήμα Στατιστικής Οικονομικό Πανεπιστήμιο Αθηνών Κεφάλαιο Αλυσίδες Markov σε Συνεχή Χρόνο. Αλυσίδες

Διαβάστε περισσότερα

Αναγνώριση Προτύπων. Σημερινό Μάθημα

Αναγνώριση Προτύπων. Σημερινό Μάθημα Αναγνώριση Προτύπων Σημερινό Μάθημα Bias (απόκλιση) και variance (διακύμανση) Ελεύθεροι Παράμετροι Ελεύθεροι Παράμετροι Διαίρεση dataset Μέθοδος holdout Cross Validation Bootstrap Bias (απόκλιση) και variance

Διαβάστε περισσότερα

Εκφωνήσεις και Λύσεις των Θεμάτων

Εκφωνήσεις και Λύσεις των Θεμάτων ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Δευτέρα 8 Μαΐου 0 Εκφωνήσεις και Λύσεις των Θεμάτων

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμική Ανεξαρτησία. Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Τηλεπικοινωνιών και ικτύων Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας. 17 Μαρτίου 2013, Βόλος

Γραμμική Ανεξαρτησία. Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Τηλεπικοινωνιών και ικτύων Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας. 17 Μαρτίου 2013, Βόλος Γραμμικές Συνήθεις ιαφορικές Εξισώσεις Ανώτερης Τάξης Γραμμικές Σ Ε 2ης τάξης Σ Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία Μανόλης Βάβαλης

Διαβάστε περισσότερα

Γενικό Λύκειο Μαραθοκάμπου Σάμου. Άλγεβρα Β λυκείου. 13 Οκτώβρη 2016

Γενικό Λύκειο Μαραθοκάμπου Σάμου. Άλγεβρα Β λυκείου. 13 Οκτώβρη 2016 Γενικό Λύκειο Μαραθοκάμπου Σάμου Άλγεβρα Β λυκείου Εργασία2 η : «Συναρτήσεις» 13 Οκτώβρη 2016 Ερωτήσεις Θεωρίας 1.Πότελέμεότιμιασυνάρτησηfείναιγνησίωςάυξουσασεέναδιάστημα του πεδίου ορισμού της; 2.Πότελέμεότιμιασυνάρτησηfείναιγνησίωςφθίνουσασεέναδιάστημα

Διαβάστε περισσότερα

Επιχειρησιακή Ερευνα Ι

Επιχειρησιακή Ερευνα Ι Επιχειρησιακή Ερευνα Ι Μ. Ζαζάνης Κεφάλαιο 1 Τετραγωνικές μορφές στον R n και το ϑεώρημα του Taylor Ορισμός 1. Εστω a 11 a 1n A =.. a n1 a nn συμμετρικός πίνακας n n με στοιχεία στους πραγματικούς αριθμούς.

Διαβάστε περισσότερα

Διανυσματικές Συναρτήσεις

Διανυσματικές Συναρτήσεις Κεφάλαιο 5 Διανυσματικές Συναρτήσεις 51 Διανυσματατικές συναρτήσεις Μια συνάρτηση με τιμές στοr n, n>1 λέγεται διανυσματική συνάρτηση Τις διανυσματικές συναρτήσεις ϑα τις συμβολίζουμε με παχειά γράμματα,

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΟΛΑ (προσέξτε τα κοινά χαρακτηριστικά των παρακάτω προτάσεων) Οι άνθρωποι που σπουδάζουν ΤΠ&ΕΣ και βρίσκονται στην αίθουσα

ΣΥΝΟΛΑ (προσέξτε τα κοινά χαρακτηριστικά των παρακάτω προτάσεων) Οι άνθρωποι που σπουδάζουν ΤΠ&ΕΣ και βρίσκονται στην αίθουσα ΣΥΝΟΛΑ (προσέξτε τα κοινά χαρακτηριστικά των παρακάτω προτάσεων) Οι άνθρωποι που σπουδάζουν ΤΠ&ΕΣ και βρίσκονται στην αίθουσα Τα βιβλία διακριτών μαθηματικών του Γ.Β. Η/Υ με επεξεργαστή Pentium και χωρητικότητα

Διαβάστε περισσότερα

Εκφωνήσεις και Λύσεις των Θεμάτων

Εκφωνήσεις και Λύσεις των Θεμάτων ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Τετάρτη 23 Μαΐου 2012 Εκφωήσεις και Λύσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ. H λογική ασχολείται με δύο έννοιες, την αλήθεια και την απόδειξη. Oι έννοιες αυτές έχουν γίνει

ΕΙΣΑΓΩΓΗ. H λογική ασχολείται με δύο έννοιες, την αλήθεια και την απόδειξη. Oι έννοιες αυτές έχουν γίνει ΕΙΣΑΓΩΓΗ ------------------------------------------------------------------------------------- H λογική ασχολείται με δύο έννοιες, την αλήθεια και την απόδειξη. Oι έννοιες αυτές έχουν γίνει αντικείμενο

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΕΠ 2000 ΑΣΕΠ 2000 Εμπορική Τράπεζα 1983 Υπουργείο Κοιν. Υπηρ. 1983

ΑΣΕΠ 2000 ΑΣΕΠ 2000 Εμπορική Τράπεζα 1983 Υπουργείο Κοιν. Υπηρ. 1983 20 Φεβρουαρίου 2010 ΑΣΕΠ 2000 1. Η δεξαμενή βενζίνης ενός πρατηρίου υγρών καυσίμων είναι γεμάτη κατά τα 8/9. Κατά τη διάρκεια μιας εβδομάδας το πρατήριο διέθεσε τα 3/4 της βενζίνης αυτής και έμειναν 4000

Διαβάστε περισσότερα

( ιμερείς) ΙΜΕΛΕΙΣ ΣΧΕΣΕΙΣ Α Β «απεικονίσεις»

( ιμερείς) ΙΜΕΛΕΙΣ ΣΧΕΣΕΙΣ Α Β «απεικονίσεις» ( ιμερείς) ΙΜΕΛΕΙΣ ΣΧΕΣΕΙΣ Α Β «πεικονίσεις» 1. ΣΧΕΣΕΙΣ: το σκεπτικό κι ο ορισμός. Τ σύνολ νπριστούν ιδιότητες μεμονωμένων στοιχείων: δεδομένου συνόλου S, κι ενός στοιχείου σ, είνι δυντόν είτε σ S είτε

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγικές Διαλέξεις στην Θεωρία των Αλυσίδων Markov και των Στοχαστικών Ανελίξεων. Οικονομικό Πανεπιστήμιο Αθηνών

Εισαγωγικές Διαλέξεις στην Θεωρία των Αλυσίδων Markov και των Στοχαστικών Ανελίξεων. Οικονομικό Πανεπιστήμιο Αθηνών Εισαγωγικές Διαλέξεις στην Θεωρία των Αλυσίδων Markov και των Στοχαστικών Ανελίξεων Μιχάλης Ζαζάνης Τμήμα Στατιστικής Οικονομικό Πανεπιστήμιο Αθηνών Κεφάλαιο Αλυσίδες Markov σε Συνεχή Χρόνο Αλυσίδες Markov

Διαβάστε περισσότερα

Pointers. Σημερινό Μάθημα! Χρήση pointer Τελεστής * Τελεστής & Γενικοί δείκτες Ανάκληση Δέσμευση μνήμης new / delete Pointer σε αντικείμενο 2

Pointers. Σημερινό Μάθημα! Χρήση pointer Τελεστής * Τελεστής & Γενικοί δείκτες Ανάκληση Δέσμευση μνήμης new / delete Pointer σε αντικείμενο 2 Pointers 1 Σημερινό Μάθημα! Χρήση pointer Τελεστής * Τελεστής & Γενικοί δείκτες Ανάκληση Δέσμευση μνήμης new / delete Pointer σε αντικείμενο 2 1 Μνήμη μεταβλητών Κάθε μεταβλητή έχει διεύθυνση Δεν χρειάζεται

Διαβάστε περισσότερα

Η ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΩΝ FRACTALS

Η ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΩΝ FRACTALS Η ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΩΝ FRACTALS ΕΛΕΝΗ ΤΑΝΤΟΥΛΟΥ ΕΠΙΒΛΕΠΩΝ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ: ΑΝΤΩΝΗΣ ΤΣΟΛΟΜΥΤΗΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΣΑΜΟΣ 2009 Στην μητέρα μου που μπορεί και με ανέχεται ακόμα,

Διαβάστε περισσότερα

Παραβολή ψ=αχ 2 +βχ+γ, α 0. Η παραβολή ψ = αχ 2. Γενικά : Κάθε συνάρτηση της μορφής ψ=αχ 2 + βχ +γ, α 0 λέγεται τετραγωνική συνάρτηση.

Παραβολή ψ=αχ 2 +βχ+γ, α 0. Η παραβολή ψ = αχ 2. Γενικά : Κάθε συνάρτηση της μορφής ψ=αχ 2 + βχ +γ, α 0 λέγεται τετραγωνική συνάρτηση. Η παραβολή ψ=αχ 2 +βχ+γ Σελίδα 1 από 10 Παραβολή ψ=αχ 2 +βχ+γ, α0 Γενικά : Κάθε συνάρτηση της μορφής ψ=αχ 2 + βχ +γ, α0 λέγεται τετραγωνική συνάρτηση. Η παραβολή ψ = αχ 2 Η γραφική παράσταση της συνάρτησης

Διαβάστε περισσότερα

Αρτιες και περιττές συναρτήσεις

Αρτιες και περιττές συναρτήσεις Μελέτη Συναρτήσεων: άρτιες, περιττές συναρτήσεις - μονοτονία - ακρότατα Κωνσταντίνος Α. Ράπτης Άρτιες και περιττές συναρτήσεις Ὁι ψυχολόγοι κάνουν λόγο για δύο επίπεδα συλλογιστικής και μνήμης: το αρχαϊκό

Διαβάστε περισσότερα

17 Μαρτίου 2013, Βόλος

17 Μαρτίου 2013, Βόλος Συνήθεις ιαφορικές Εξισώσεις 1ης Τάξης Σ Ε 1ης τάξης, Πεδία κατευθύνσεων, Υπαρξη και μοναδικότητα, ιαχωρίσιμες εξισώσεις, Ολοκληρωτικοί παράγοντες, Αντικαταστάσεις, Αυτόνομες εξισώσεις Μανόλης Βάβαλης

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑ ΕΠΙΛΟΓΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑ ΕΠΙΛΟΓΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑ ΕΠΙΛΟΓΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: ΕΠΩΝΥΜΟ: ΟΝΟΜΑ: ΟΜΑΔΑ Α Για τις προτάσεις Α1 μέχρι και Α6 να

Διαβάστε περισσότερα

Πανεπιστήμιο Πειραιώς. Πρόγραμμα Μεταπτυχιακών Σπουδών Αναλογιστική Επιστήμη και Διοικητική Κινδύνου

Πανεπιστήμιο Πειραιώς. Πρόγραμμα Μεταπτυχιακών Σπουδών Αναλογιστική Επιστήμη και Διοικητική Κινδύνου Πανεπιστήμιο Πειραιώς Τμήμα Στατιστικής και Ασφαλιστικής Επιστήμης Πρόγραμμα Μεταπτυχιακών Σπουδών Αναλογιστική Επιστήμη και Διοικητική Κινδύνου Παραμετρικά Μοντέλα Επιβίωσης που προκύπτουν από μεταβολές

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ: ΕΜΠΟΡΙΚΟ ΔΙΚΑΙΟ

ΜΑΘΗΜΑ: ΕΜΠΟΡΙΚΟ ΔΙΚΑΙΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΕΜΠΟΡΙΚΟ ΔΙΚΑΙΟ Tα Πανεπιστημιακά Φροντιστήρια «ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ» προετοιμάζοντας σε ολιγομελείς ομίλους τους υποψήφιους για τον επικείμενο διαγωνισμό του Υπουργείου Οικονομικών, με κορυφαίο επιτελείο

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΟ ΙΑΤΡΕΙΟ. Με την πιστοποίηση του αποκτά πρόσβαση στο περιβάλλον του ιατρού που παρέχει η εφαρμογή.

ΣΤΟ ΙΑΤΡΕΙΟ. Με την πιστοποίηση του αποκτά πρόσβαση στο περιβάλλον του ιατρού που παρέχει η εφαρμογή. ΣΤΟ ΙΑΤΡΕΙΟ Ο ιατρός αφού διαπιστώσει εάν το πρόσωπο που προσέρχεται για εξέταση είναι το ίδιο με αυτό που εικονίζεται στο βιβλιάριο υγείας και ελέγξει ότι είναι ασφαλιστικά ενήμερο (όπως ακριβώς γίνεται

Διαβάστε περισσότερα

Αρτιες και περιττές συναρτήσεις

Αρτιες και περιττές συναρτήσεις Μελέτη Συναρτήσεων: άρτιες, περιττές συναρτήσεις - μονοτονία - ακρότατα Κώστας Ράπτης Άρτιες και περιττές συναρτήσεις Ὁι ψυχολόγοι κάνουν λόγο για δύο επίπεδα συλλογιστικής και μνήμης: το αρχαϊκό και το

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ: Aποτελεσματικότητα της νομισματικής και δημοσιονομικής πολιτικής σε μια ανοικτή οικονομία

ΘΕΜΑ: Aποτελεσματικότητα της νομισματικής και δημοσιονομικής πολιτικής σε μια ανοικτή οικονομία ΘΕΜΑ: ποτελεσματικότητα της νομισματικής και δημοσιονομικής πολιτικής σε μια ανοικτή οικονομία Σύνταξη: Μπαντούλας Κων/νος, Οικονομολόγος, Ms Χρηματοοικονομικών 1 Η πρώτη θεωρία σχετικά με τον αυτόματο

Διαβάστε περισσότερα

Η Θεωρια Αριθμων στην Εκπαιδευση

Η Θεωρια Αριθμων στην Εκπαιδευση Η Θεωρια Αριθμων στην Εκπαιδευση Καθηγητὴς Ν.Γ. Τζανάκης Εφαρμογὲς τῶν συνεχῶν κλασμάτων 1 1. Η τιμὴ τοῦ π μὲ σωστὰ τὰ 50 πρῶτα δεκαδικὰ ψηφία μετὰ τὴν ὑποδιαστολή, εἶναι 3.14159265358979323846264338327950288419716939937511.

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Πληροφορικής

Μαθηματικά Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Αθηνών Μαθηματικά Πληροφορικής Ηλίας Κουτσουπιάς Αθήνα, Οκτώβριος 2009 Περιεχόμενα Περιεχόμενα 1 Σύνολα... 5 ΆλλαΣύμβολα... 6 1 Υποθέσεις και Θεωρήματα 9 1.1 Παρατήρηση-Υπόθεση-Απόδειξη...

Διαβάστε περισσότερα

Προτεινόμενα θέματα στο μάθημα. Αρχές Οικονομικής Θεωρίας ΟΜΑΔΑ Α. Στις προτάσεις από Α.1. μέχρι και Α10 να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό της

Προτεινόμενα θέματα στο μάθημα. Αρχές Οικονομικής Θεωρίας ΟΜΑΔΑ Α. Στις προτάσεις από Α.1. μέχρι και Α10 να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό της Προτεινόμενα θέματα στο μάθημα Αρχές Οικονομικής Θεωρίας ΟΜΑΔΑ Α Στις προτάσεις από Α.1. μέχρι και Α10 να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό της καθεμιάς και δίπλα σε κάθε αριθμό την ένδειξη Σωστό, αν

Διαβάστε περισσότερα

Ψηφιακή Εικόνα. Σημερινό μάθημα!

Ψηφιακή Εικόνα. Σημερινό μάθημα! Ψηφιακή Εικόνα Σημερινό μάθημα! Ψηφιακή Εικόνα Αναλογική εικόνα Ψηφιοποίηση (digitalization) Δειγματοληψία Κβαντισμός Δυαδικές δ έ (Binary) εικόνες Ψηφιακή εικόνα & οθόνη Η/Υ 1 Ψηφιακή Εικόνα Μια ακίνητη

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ: ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ

ΜΑΘΗΜΑ: ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑ: ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ Tα Πανεπιστημιακά Φροντιστήρια «ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ» προετοιμάζοντας σε ολιγομελείς ομίλους τους υποψήφιους για τον επικείμενο διαγωνισμό του Υπουργείου Οικονομικών, με κορυφαίο επιτελείο

Διαβάστε περισσότερα

Ημέρα 3 η. (α) Aπό την εργασιακή διαδικασία στη διαδικασία παραγωγής (β) Αξία του προϊόντος και αξία της εργασιακής δύναμης

Ημέρα 3 η. (α) Aπό την εργασιακή διαδικασία στη διαδικασία παραγωγής (β) Αξία του προϊόντος και αξία της εργασιακής δύναμης Ημέρα 3 η. (α) Aπό την εργασιακή διαδικασία στη διαδικασία παραγωγής (β) Αξία του προϊόντος και αξία της εργασιακής δύναμης Η εργασιακή διαδικασία και τα στοιχεία της. Η κοινωνική επικύρωση των ιδιωτικών

Διαβάστε περισσότερα

Η έκδοση αυτή είναι υπό προετοιμασία. Γιάννης Α. Αντωνιάδης, Αριστείδης Κοντογεώργης

Η έκδοση αυτή είναι υπό προετοιμασία. Γιάννης Α. Αντωνιάδης, Αριστείδης Κοντογεώργης Θεωρία Αριθμών και Εφαρμογές Η έκδοση αυτή είναι υπό προετοιμασία Γιάννης Α. Αντωνιάδης, Αριστείδης Κοντογεώργης 9 Φεβρουαρίου 2015 2 Περιεχόμενα I ΑΡΙΘΜΟΘΕΩΡΙΑ ΤΩΝ ΡΗΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ 7 1 ΔΙΑΙΡΕΤΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΠΡΩΤΟΙ

Διαβάστε περισσότερα

Έννοια. Η αποδοχή της κληρονομίας αποτελεί δικαίωμα του κληρονόμου, άρα δεν

Έννοια. Η αποδοχή της κληρονομίας αποτελεί δικαίωμα του κληρονόμου, άρα δεν 1 1. Αποδοχή κληρονομίας Έννοια. Η αποδοχή της κληρονομίας αποτελεί δικαίωμα του κληρονόμου, άρα δεν μπορεί να ασκηθεί από τους δανειστές του κληρονόμου, τον εκτελεστή της διαθήκης, τον κηδεμόνα ή εκκαθαριστή

Διαβάστε περισσότερα

Αναγνώριση Προτύπων. Σημερινό Μάθημα

Αναγνώριση Προτύπων. Σημερινό Μάθημα Αναγνώριση Προτύπων Σημερινό Μάθημα Η κατάρα της διαστατικότητας Μείωση διαστάσεων εξαγωγή χαρακτηριστικών επιλογή χαρακτηριστικών Αναπαράσταση έναντι Κατηγοριοποίησης Ανάλυση Κυρίων Συνιστωσών PCA Γραμμική

Διαβάστε περισσότερα

Φροντιστήριο 2: Ανάλυση Αλγόριθμου. Νικόλας Νικολάου ΕΠΛ432: Κατανεμημένοι Αλγόριθμοι 1 / 10

Φροντιστήριο 2: Ανάλυση Αλγόριθμου. Νικόλας Νικολάου ΕΠΛ432: Κατανεμημένοι Αλγόριθμοι 1 / 10 Φροντιστήριο 2: Ανάλυση Αλγόριθμου Εκλογής Προέδρου με O(nlogn) μηνύματα Νικόλας Νικολάου ΕΠΛ432: Κατανεμημένοι Αλγόριθμοι 1 / 10 Περιγραφικός Αλγόριθμος Αρχικά στείλε μήνυμα εξερεύνησης προς τα δεξιά

Διαβάστε περισσότερα

σε ευκλείδειους χώρους και σε πολλαπλότητες Riemann

σε ευκλείδειους χώρους και σε πολλαπλότητες Riemann Κ Ε Ο μετασχηματισμός Riesz σε ευκλείδειους χώρους και σε πολλαπλότητες Riemann Διπλωματική Εργασία στα Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Εθνικό και Καποδιστριακό Πανεπιστήμιο Αθηνών Τμήμα Μαθηματικών Αθήνα 213 Αφιερώνεται

Διαβάστε περισσότερα

Μονάδες 5 1.2.α. Να γράψετε στο τετράδιό σας τον παρακάτω πίνακα σωστά συµπληρωµένο.

Μονάδες 5 1.2.α. Να γράψετε στο τετράδιό σας τον παρακάτω πίνακα σωστά συµπληρωµένο. ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΤΑΞΗ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΥΤΕΡΑ 12 ΙΟΥΝΙΟΥ 2000 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (ΚΥΚΛΟΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΚΑΙ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ): ΧΗΜΕΙΑ - ΒΙΟΧΗΜΕΙΑ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ

Διαβάστε περισσότερα

CSE.UOI : Μεταπτυχιακό Μάθημα

CSE.UOI : Μεταπτυχιακό Μάθημα Θέματα Αλγορίθμων Αλγόριθμοι και Εφαρμογές στον Πραγματικό Κόσμο CSE.UOI : Μεταπτυχιακό Μάθημα 10η Ενότητα: Χρονικά Εξελισσόμενες ικτυακές Ροές Σπύρος Κοντογιάννης kntg@cse.ui.gr Τμήμα Μηχανικών Η/Υ &

Διαβάστε περισσότερα

Συναρτήσεις & Κλάσεις

Συναρτήσεις & Κλάσεις Συναρτήσεις & Κλάσεις Overloading class member συναρτήσεις/1 #include typedef unsigned short int USHORT; enum BOOL { FALSE, TRUE}; class Rectangle { public: Rectangle(USHORT width, USHORT

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΟ ΦΑΡΜΑΚΕΙΟ. Με την πιστοποίηση του έχει πρόσβαση στο περιβάλλον του φαρμακείου που παρέχει η εφαρμογή.

ΣΤΟ ΦΑΡΜΑΚΕΙΟ. Με την πιστοποίηση του έχει πρόσβαση στο περιβάλλον του φαρμακείου που παρέχει η εφαρμογή. ΣΤΟ ΦΑΡΜΑΚΕΙΟ Ο ασθενής έχοντας μαζί του το βιβλιάριο υγείας του και την τυπωμένη συνταγή από τον ιατρό, η οποία αναγράφει τον μοναδικό κωδικό της, πάει στο φαρμακείο. Το φαρμακείο αφού ταυτοποιήσει το

Διαβάστε περισσότερα

Ταξινόμηση των μοντέλων διασποράς ατμοσφαιρικών ρύπων βασισμένη σε μαθηματικά κριτήρια.

Ταξινόμηση των μοντέλων διασποράς ατμοσφαιρικών ρύπων βασισμένη σε μαθηματικά κριτήρια. ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ Ταξινόμηη των μοντέλων διαποράς ατμοφαιρικών ρύπων βαιμένη ε μαθηματικά κριτήρια. Μοντέλο Ελεριανά μοντέλα (Elerian) Λαγκρατζιανά μοντέλα (Lagrangian) Επιπρόθετος διαχωριμός Μοντέλα

Διαβάστε περισσότερα

Φυσική Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου 3 ο Κεφάλαιο Ηλεκτρικό Πεδίο. Ηλεκτρικό πεδίο. Παρασύρης Κώστας Φυσικός Ηράκλειο Κρήτης

Φυσική Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου 3 ο Κεφάλαιο Ηλεκτρικό Πεδίο. Ηλεκτρικό πεδίο. Παρασύρης Κώστας Φυσικός Ηράκλειο Κρήτης Φσική Θετικής & Τεχνολογικής Κτεύθνσης Β Λκείο 3 ο Κεφάλιο Ηλεκτρικό Πεδίο 3 Ηλεκτρικό πεδίο Πρσύρης Κώστς Φσικός Ηράκλειο Κρήτης Φσική Θετικής & Τεχνολογικής Κτεύθνσης Β Λκείο 3 ο Κεφάλιο Ηλεκτρικό Πεδίο

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΟΣΟΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΟΣΟΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ Σημειώσεις για το μάθημα ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΟΣΟΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ Παπάνα Αγγελική http://users.auth.gr/~agpapana/statlogistics E mail: papanagel@yahoo.gr, agpapana@gen.auth.gr Α.Τ.Ε.Ι. Θεσσαλονίκης ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στις Διακριτές Πιθανότηες. Οικονομικό Πανεπιστήμιο Αθηνών

Εισαγωγή στις Διακριτές Πιθανότηες. Οικονομικό Πανεπιστήμιο Αθηνών Εισαγωγή στις Διακριτές Πιθανότηες Μιχάλης Ζαζάνης Τμήμα Στατιστικής Οικονομικό Πανεπιστήμιο Αθηνών 27 Δεκεμβρίου 2010 2 Κεφάλαιο 1 Συνδιαστική Ανάλυση και Μαθηματικές Τεχνικές Η απαρίθμηση των στοιχείων

Διαβάστε περισσότερα

(3 ο ) Εξαντλητική αναζήτηση I: μεταθέσεις & υποσύνολα (4 o ) Εξαντλητική αναζήτηση II: συνδυασμοί, διατάξεις & διαμερίσεις

(3 ο ) Εξαντλητική αναζήτηση I: μεταθέσεις & υποσύνολα (4 o ) Εξαντλητική αναζήτηση II: συνδυασμοί, διατάξεις & διαμερίσεις (3 ο ) Εξαντλητική αναζήτηση I: μεταθέσεις & υποσύνολα (4 o ) Εξαντλητική αναζήτηση II: συνδυασμοί, διατάξεις & διαμερίσεις Είναι πράγματι τα «προβλήματα» τόσο δύσκολα; Είδαμε (σύντομα) στα προηγούμενα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ: ΠΟΛΙΤΙΚΗ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑ-ΔΗΜΟΣΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ

ΜΑΘΗΜΑ: ΠΟΛΙΤΙΚΗ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑ-ΔΗΜΟΣΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑ: ΠΟΛΙΤΙΚΗ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑ-ΔΗΜΟΣΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ Σύνταξη: Παπαδόπουλος Θεοχάρης, Οικονομολόγος, MSc, PhD Candidate Κατηγορίες οφέλους και κόστους που προέρχονται από τις δημόσιες δαπάνες Για την αξιολόγηση

Διαβάστε περισσότερα

επίπεδων καμπυλών Χειμερινό Εξάμηνο I(P, F G) των F και G σε ένα σημείο P A 2 K

επίπεδων καμπυλών Χειμερινό Εξάμηνο I(P, F G) των F και G σε ένα σημείο P A 2 K Θεωρία Τομών Επίπεδων Καμπυλών Εργασία στο πλαίσιο τού μαθήματος Αλγεβρικές Καμπύλες (με κωδ. αριθμό Α 19) Χειμερινό Εξάμηνο 2008-2009 Μιχαήλ Γκίκας 1 Αριθμός τομής δυο συσχετικών επίπεδων καμπυλών Εστω

Διαβάστε περισσότερα

Τρίτη, 05 Ιουνίου 2001 ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ

Τρίτη, 05 Ιουνίου 2001 ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ Τρίτη, 05 Ιουνίου 2001 ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΘΕΜΑ 1 Α. Να µεταφέρετε στο τετράδιό σας και να συµπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα αλήθειας δύο προτάσεων

Διαβάστε περισσότερα

Φυσική Β Λυκείου Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Παναγόπουλος Γιώργος Φυσικός

Φυσική Β Λυκείου Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Παναγόπουλος Γιώργος Φυσικός Φυσική Β Λυκείου Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Παναγόπουλος Γιώργος Φυσικός gior.panagopoulos@gmail.com Βουλδής Άγγελος Φυσικός angelos_vouldis@hotmail.com Μεντζελόπουλος Λευτέρης Φυσικός MSc Περιβαλλοντολογία

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ ΜΑΘΗΜΑ: ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ ΜΑΘΗΜΑ: ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑ: ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Tα Πανεπιστημιακά Φροντιστήρια «ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ» προετοιμάζοντας σε ολιγομελείς ομίλους τους υποψήφιους για τον επικείμενο διαγωνισμό του Υπουργείου Οικονομικών, με κορυφαίο

Διαβάστε περισσότερα

Κληρονομικότητα. Σήμερα! Κλάση Βάσης Παράγωγη κλάση Απλή κληρονομικότητα Protected δεδομένα Constructors & Destructors overloading

Κληρονομικότητα. Σήμερα! Κλάση Βάσης Παράγωγη κλάση Απλή κληρονομικότητα Protected δεδομένα Constructors & Destructors overloading Κληρονομικότητα Σήμερα! Κλάση Βάσης Παράγωγη κλάση Απλή κληρονομικότητα Protected δεδομένα Constructors & Destructors overloading 2 1 Κλάση Βάση/Παράγωγη Τα διάφορα αντικείμενα μπορούν να έχουν μεταξύ

Διαβάστε περισσότερα

ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΟΡΓΑΝΙΣΜΩΝ

ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΟΡΓΑΝΙΣΜΩΝ ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ 1α ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΟΡΓΑΝΙΣΜΩΝ Οι επιστήμονες ταξινομούν τους οργανισμούς σε ομάδες ανάλογα με τα κοινά τους χαρακτηριστικά. Τα πρώτα συστήματα ταξινόμησης βασιζόταν αποκλειστικά στα μορφολογικά

Διαβάστε περισσότερα

Το υπόδειγμα IS-LM: Εισαγωγικά

Το υπόδειγμα IS-LM: Εισαγωγικά 1/35 Το υπόδειγμα IS-LM: Εισαγωγικά Νίκος Γιαννακόπουλος Επίκουρος Καθηγητής Τμήμα Οικονομικών Επιστημών Πανεπιστήμιο Πατρών Ακαδημαϊκό Ετος 2014-2015 Εαρινό Εξάμηνο Τι γνωρίζουμε; 2/35 Αγορά αγαθών και

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ: Διαφορές εσωτερικού εξωτερικού δανεισμού. Η διαχρονική κατανομή του βάρους από το δημόσιο δανεισμό.

ΘΕΜΑ: Διαφορές εσωτερικού εξωτερικού δανεισμού. Η διαχρονική κατανομή του βάρους από το δημόσιο δανεισμό. 1 ΘΕΜΑ: Διαφορές εσωτερικού εξωτερικού δανεισμού. Η διαχρονική κατανομή του βάρους από το δημόσιο δανεισμό. Σύνταξη: Παπαδόπουλος Θεοχάρης, Οικονομολόγος, Οικονομολόγος, MSc, PhD Candidate, εισηγητής Φροντιστηρίων

Διαβάστε περισσότερα

τεσσάρων βάσεων δεδομένων που θα αντιστοιχούν στους συνδρομητές

τεσσάρων βάσεων δεδομένων που θα αντιστοιχούν στους συνδρομητές Σ Υ Π Τ Μ Α 8 Ιουνίου 2010 Άσκηση 1 Μια εταιρία τηλεφωνίας προσπαθεί να βρει πού θα τοποθετήσει τις συνιστώσες τηλεφωνικού καταλόγου που θα εξυπηρετούν τους συνδρομητές της. Η εταιρία εξυπηρετεί κατά βάση

Διαβάστε περισσότερα

- 1 - Ποιοι κερδίζουν από το εμπόριο αγαθών και υπηρεσιών; Γιατί η άμεση ανταλλαγή αγαθών, ορισμένες φορές, είναι δύσκολο να

- 1 - Ποιοι κερδίζουν από το εμπόριο αγαθών και υπηρεσιών; Γιατί η άμεση ανταλλαγή αγαθών, ορισμένες φορές, είναι δύσκολο να - 1 - Ο παράξενος πραματευτής Ανθολόγιο Ε & Στ τάξης: 277-279 Οικονομικές έννοιες Ανταλλαγή Αντιπραγματισμός Εμπόριο Ερωτήσεις Ποιοι κερδίζουν από το εμπόριο αγαθών και υπηρεσιών; Γιατί η άμεση ανταλλαγή

Διαβάστε περισσότερα

α 0. α ν x ν +α ν 1 x ν α 1 x+α 0 α ν x ν,α ν 1 x ν 1,...,α 1 x,α 0, ...,α 1,α 0,

α 0. α ν x ν +α ν 1 x ν α 1 x+α 0 α ν x ν,α ν 1 x ν 1,...,α 1 x,α 0, ...,α 1,α 0, Άλγεβρα Β Λυκείου - Πολυώνυμα: Θεωρία, Μεθοδολογία και Λυμένες ασκήσεις Κώστας Ράπτης Μάιος 2011 Μέρος I Πολυώνυμα 1 Πολυώνυμα 1.1 Στοιχεία ϑεωρίας Καλούμε μονώνυμο του x κάθε παράσταση της μορφήςαx ν,

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ. Ενότητα 3: Στατιστική επαγωγή στο απλό γραμμικό. Αναπληρωτής Καθηγητής. Σχολή Οργάνωσης και ιοίκησης Επιχειρήσεων Πανεπιστήμιο Πατρών

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ. Ενότητα 3: Στατιστική επαγωγή στο απλό γραμμικό. Αναπληρωτής Καθηγητής. Σχολή Οργάνωσης και ιοίκησης Επιχειρήσεων Πανεπιστήμιο Πατρών ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Ενότητα 3: Στατιστική επαγωγή στο απλό γραμμικό υπόδειγμα Ιωάννης Βενέτης Αναπληρωτής Καθηγητής Τμήμα Οικονομικών Επιστημών Σχολή Οργάνωσης και ιοίκησης Επιχειρήσεων Πανεπιστήμιο Πατρών 1/41

Διαβάστε περισσότερα

( ) Π. ΚΡΗΤΗΣ, ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΗΥ 380, «ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ & ΠΟΛΥΠΛΟΚΟΤΗΤΑ» Φ 03: ΑΣΥΜΠΤΩΤΙΚΕΣ ΕΚΦΡΑΣΕΙΣ

( ) Π. ΚΡΗΤΗΣ, ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΗΥ 380, «ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ & ΠΟΛΥΠΛΟΚΟΤΗΤΑ» Φ 03: ΑΣΥΜΠΤΩΤΙΚΕΣ ΕΚΦΡΑΣΕΙΣ Π. ΚΡΗΤΗΣ, ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΗΥ 380, «ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ & ΠΟΛΥΠΛΟΚΟΤΗΤΑ» Φ 03: ΑΣΥΜΠΤΩΤΙΚΕΣ ΕΚΦΡΑΣΕΙΣ Ενδιαφερόμαστε μεν για τους αλγορίθμους αλλά εντός ενός συγκεκριμμένου πλαισίου: (α) ως λύσεις προβλημάτων,

Διαβάστε περισσότερα

Βελτίωση Εικόνας. Σήμερα!

Βελτίωση Εικόνας. Σήμερα! Βελτίωση Εικόνας Σήμερα! Υποβάθμιση εικόνας Τεχνικές Βελτίωσης Restoration (Αποκατάσταση) Τροποποίηση ιστογράμματος Ολίσθηση ιστογράμματος Διάταση (stretching) Ισοστάθμιση του ιστογράμματος (histogram

Διαβάστε περισσότερα

όπου ω j η κλάση j και x το διάνυσμα χαρακτηριστικών Ένας τυπικός κανόνας απόφασης είναι να επιλέγουμε την κλάση με τη μέγιστη P[ω j x]

όπου ω j η κλάση j και x το διάνυσμα χαρακτηριστικών Ένας τυπικός κανόνας απόφασης είναι να επιλέγουμε την κλάση με τη μέγιστη P[ω j x] Bayes Classifiers Θεώρημα Bayes Tο θώ θεώρημα Bayes εκφράζεται ως: όπου ω j η κλάση j και x το διάνυσμα χαρακτηριστικών Ένας τυπικός κανόνας απόφασης είναι να επιλέγουμε την κλάση με τη μέγιστη P[ω j x]

Διαβάστε περισσότερα

Ελεγχος Στατιστικών Υποθέσεων με τη χρήση του στατιστικού προγραμμάτος SPSS v. 20

Ελεγχος Στατιστικών Υποθέσεων με τη χρήση του στατιστικού προγραμμάτος SPSS v. 20 A Πανεπιστήμιο Αιγαίου Σχολή Επιστημών της ιοίκησης Τμήμα Μηχανικών Οικονομίας και ιοίκησης Εργαστήριο Στατιστικής Ελεγχος Στατιστικών Υποθέσεων με τη χρήση του στατιστικού προγραμμάτος SPSS v. 20 26Επιμέλεια:

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ: ΓΕΝΙΚΟ ΔΙΟΙΚΗΤΙΚΟ ΔΙΚΑΙΟ ΔΙΚΑΣΤΩΝ

ΜΑΘΗΜΑ: ΓΕΝΙΚΟ ΔΙΟΙΚΗΤΙΚΟ ΔΙΚΑΙΟ ΔΙΚΑΣΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑ: ΓΕΝΙΚΟ ΔΙΟΙΚΗΤΙΚΟ ΔΙΚΑΙΟ ΔΙΚΑΣΤΩΝ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : Γεώργιος Κ. Πατρίκιος, Δικηγόρος, ΜΔΕ Δημοσίου Δικαίου, Υπ. Διδάκτωρ Νομικής Σχολής Πανεπιστημίου Αθηνών. ΘΕΜΑΤΙΚΗ : Η αρμοδιότητα των διοικητικών

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΚΑΙΩΜΑΤΑ ΠΡΟΣΟΡΜΙΣΗΣ, ΠΑΡΑΒΟΛΗΣ, ΠΡΥΜΝΟΔΕΤΗΣΗΣ ΚΑΙ ΕΛΛΙΜΕΝΙΣΜΟΥ ΣΚΑΦΩΝ ΣΕ ΘΑΛΑΣΣΙΕΣ ΠΕΡΙΟΧΕΣ. (ΛΙΜΑΝΙΑ κ.λπ.) ΤΟΠΙΚΗΣ ΑΡΜΟΔΙΟΤΗΤΑΣ ΛΙΜΕΝΙΚΩΝ

ΔΙΚΑΙΩΜΑΤΑ ΠΡΟΣΟΡΜΙΣΗΣ, ΠΑΡΑΒΟΛΗΣ, ΠΡΥΜΝΟΔΕΤΗΣΗΣ ΚΑΙ ΕΛΛΙΜΕΝΙΣΜΟΥ ΣΚΑΦΩΝ ΣΕ ΘΑΛΑΣΣΙΕΣ ΠΕΡΙΟΧΕΣ. (ΛΙΜΑΝΙΑ κ.λπ.) ΤΟΠΙΚΗΣ ΑΡΜΟΔΙΟΤΗΤΑΣ ΛΙΜΕΝΙΚΩΝ ΔΙΚΑΙΩΜΑΤΑ ΠΡΟΣΟΡΜΙΣΗΣ, ΠΑΡΑΒΟΛΗΣ, ΠΡΥΜΝΟΔΕΤΗΣΗΣ ΚΑΙ ΕΛΛΙΜΕΝΙΣΜΟΥ ΣΚΑΦΩΝ ΣΕ ΘΑΛΑΣΣΙΕΣ ΠΕΡΙΟΧΕΣ (ΛΙΜΑΝΙΑ κ.λπ.) ΤΟΠΙΚΗΣ ΑΡΜΟΔΙΟΤΗΤΑΣ ΛΙΜΕΝΙΚΩΝ ΤΑΜΕΙΩΝ ΚΑΙ ΔΗΜΟΤΙΚΩΝ ΛΙΜΕΝΙΚΩΝ ΤΑΜΕΙΩΝ Επιμέλεια Άγγελου Αργυρακόπουλου

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ. Αναπληρωτής Καθηγητής. Σχολή ιοίκησης Επιχειρήσεων Πανεπιστήμιο Πατρών

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ. Αναπληρωτής Καθηγητής. Σχολή ιοίκησης Επιχειρήσεων Πανεπιστήμιο Πατρών ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Ενότητα 4: Περαιτέρω εξειδίκευση του υποδείγματος Ιωάννης Βενέτης Αναπληρωτής Καθηγητής Τμήμα Οικονομικών Επιστημών Σχολή ιοίκησης Επιχειρήσεων Πανεπιστήμιο Πατρών 1/61 Ι. Βενέτης (Πανεπιστήμιο

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ. Ενότητα 6: Ελεγχος γενικών γραμμικών υποθέσεων. Αναπληρωτής Καθηγητής. Σχολή ιοίκησης Επιχειρήσεων Πανεπιστήμιο Πατρών

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ. Ενότητα 6: Ελεγχος γενικών γραμμικών υποθέσεων. Αναπληρωτής Καθηγητής. Σχολή ιοίκησης Επιχειρήσεων Πανεπιστήμιο Πατρών ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Ενότητα 6: Ελεγχος γενικών γραμμικών υποθέσεων Ιωάννης Βενέτης Αναπληρωτής Καθηγητής Τμήμα Οικονομικών Επιστημών Σχολή ιοίκησης Επιχειρήσεων Πανεπιστήμιο Πατρών 1/56 Ι. Βενέτης (Πανεπιστήμιο

Διαβάστε περισσότερα