Ο τύπος του Itô. f (s) ds (12.1) f (g(s)) dg(s). (12.2) t f (B s ) db s + 1 2

Transcript

1 12 Ο τύπος του Itô Για συνάρτηση f : R R με συνεχή παράγωγο, έχουμε d f (s) = f (s) ds που σε ολοκληρωτική μορφή σημαίνει f (b) f (a) = b a f (s) ds (12.1) για κάθε a < b. Αν επιπλέον και η g : R R έχει συνεχή παράγωγο, οι προηγούμενες σχέσεις για την f g γράφονται d( f (g(s))) = f (g(s))g (s) ds = f (g(s)) dg(s), και για a < b, f (g(b)) f (g(a)) = b a f (g(s)) dg(s). (12.2) Οταν η g είναι η κίνηση Brown (και άρα όχι διαφορίσιμη), τη θέση αυτής της ισότητας παίρνει ο τύπος του Itô. Το αριστερό μέλος της (12.2) γράφεται ως άθροισμα δύο ολοκληρωμάτων. Ενός Riemann και ενός στοχαστικού (δες σχέση (12.3) πιό κάτω). Παντού σε αυτό το κεφάλαιο, εκτός αν δηλώνεται διαφορετικά, B είναι μια μονοδιάστατη κίνηση Brown, όχι απαραίτητα τυπική Τύπος Itô. Η απλούστερη μορφή Θεώρημα 12.1 (Τύπος Itô. Εκδοση Ι). Εστω f : R R δυό φορές παραγωγίσιμη με συνεχή δεύτερη παράγωγο. Τότε με πιθανότητα 1, ισχύει για κάθε t >. f (B t ) = f (B ) + f (B s ) db s f (B s ) ds (12.3) Η απόδειξη δίνεται στο Παράρτημα Γʹ. Εδώ θα δούμε χοντρικά γιατί ισχύει το αποτέλεσμα. Το περίεργο στην (12.3) σε σχέση με την (12.2) είναι η παρουσία του όρου (1/2) f (B s ) ds. Η ιδέα της απόδειξης: Η μεταβολή της f (B s ) σε ένα μικρό διάστημα [s, s + s] είναι f (B s+ s ) f (B s ) f (B s )(B s+ s B s ) f (B s )(B s+ s B s ) 2. (12.4) Αυτό είναι μέρος του αναπτύγματος Taylor. Αγνοούμε τους μετέπειτα όρους. Η (12.4) με τη βοήθεια διαφορικών κωδικοποιείται ως d f (B s ) f (B s )db s f (B s )(db s ) 2 (12.5) = f (B s )db s f (B s ) ds (12.6) Το ότι (db s ) 2 = ds το έχουμε δει στην Παράγραφο 8.3 (δες Παρατήρηση 8.1). Η (12.3) θα προκύψει αθροίζοντας τις μεταβολές της f (B s ) σε όλο το διάστημα [, t]. Δηλαδή παίρνουμε διαμέριση του [, t] σε n διαστήματα, καθένα πάχους s = t/n, αθροίζουμε τις μεταβολές, και τέλος παίρνουμε n. 86

2 12.2 Τύπος Itô. Μια μικρή γενίκευση 87 Για τη μεταβολή της f (B s ) σε κάθε διάστημα παραλείπουμε όρους που συνολικά είναι της τάξης (db s ) 3 = (ds) 3/2 (t/n) 3/2. Το άθροισμα αυτών των λαθών σε όλα τα n διαστήματα είναι της τάξης n(t/n) 3/2 = t 3/2 n 1/2 και τείνει στο καθώς n. Ετσι η (12.3) βγαίνει ακριβώς. Η (12.1) μπορεί να αποδειχθεί με τη βοήθεια του αναπτύγματος Taylor όπως και ο τύπος του Itô. Η διαφορά είναι ότι το υπόλοιπο Taylor δεύτερης τάξης στο ανάπτυγμα της f (s + ds) γύρω από το s είναι της τάξης (ds) 2 και το άθροισμα όλων των υπολοίπων πάνω στα σημεία μιας διαμέρισης του [a, b] τείνει στο καθώς το πάχος της διαμέρισης τείνει στο, όπως για παράδειγμα τείνει στο μηδέν το άθροισμα n k=1 1/n2 αφού ισούται με 1/n. Παράδειγμα Θα δούμε μια άλλη απόδειξη του τύπου B s db s = 1 2 B2 t 1 2 t για B τυπική κίνηση Brown και t >, τον οποίο έχουμε ήδη δει στο Παράδειγμα Ο τύπος του Itô για τη συνάρτηση f (x) = x 2 δίνει που είναι η ζητούμενη. B 2 t = 2B s db s dt = 2 B s db s + t, 12.2 Τύπος Itô. Μια μικρή γενίκευση Θεώρημα 12.3 (Τύπος Itô. Εκδοση ΙΙ). Εστω f C 2,1 (R [, )). Τότε με πιθανότητα 1, ισχύει για κάθε t >. f (B t, t) = f (B, ) + f s (B s, s) ds + f x (B s, s) db s x 2 (B s, s) ds (12.7) Το σύνολο C 2,1 (R [, )) περιέχει ακριβώς τις συναρτήσεις f : R [, ) R, με όρισμα έστω (x, t), για τις οποίες υπάρχουν παντού οι μερικές παράγωγοι / x 2, f / t και είναι συνεχείς. Η απόδειξη και αυτού του θεωρήματος δίνεται στο Παράρτημα Γʹ. Πρέπει κανείς να αυστηροποι- ήσει το εξής επιχείρημα. Το ανάπτυγμα Taylor της f κοντά στο (B s, s) είναι f (B s+ s, s + s) f (B s, s) f s (B s, s) s + f x (B s, s)(b s+ s B s ) x (B s, s)(b 2 s+ s B s ) 2, που με χρήση διαφορικών γράφεται d f (B s, s) = f s (B s, s) ds + f x (B s, s)db s x (B s, s)(db 2 s ) 2 x (B s, s)ds. 2 = f s (B s, s) ds + f x (B s, s)db s Στο ανάπτυγμα Taylor, οι όροι που αφορούν δεύτερες παραγώγους και τους οποίους παραλείψαμε είναι οι s (B s, s)(ds) 2, 2 s x (B s, s)db s ds. Αυτοί δίνουν και την τάξη του υπολοίπου Taylor. Είναι όμως τόσο μικροί ώστε, ακόμα και αθροιζόμενοι σε όλα τα υποδιαστήματα μιας διαμέρισης, δίνουν μηδενική συνεισφορά στο όριο.

3 88 Ο τύπος του Itô Παράδειγμα Για λ R και B τυπική κίνηση Brown, η ανέλιξη X t := e λb t λ 2t/2, t είναι martingale, όπως είδαμε στο Θεώρημα 7.1. Θα δούμε εδώ μια άλλη απόδειξη. Εφαρμόζουμε τον τύπο του Itô για τη συνάρτηση f (x, t) = e λx λ2t/2. Με πιθανότητα 1, ισχύει για κάθε t, X t = f (B t, t) = 1 λ2 f (B s, s) ds + λ 2 = 1 + λ f (B s, s) db s. f (B s, s) db s λ2 f (B s, s) ds Από το Θεώρημα 1.2, προκύπτει ότι η ανέλιξη που ορίζει το τελευταίο στοχαστικό ολοκλήρωμα είναι martingale αρκεί να δείξουμε ότι ικανοποιεί την (1.1). Πράγματι ( ) E f (B s, s) 2 ds = E(e 2λB s λ 2s ) ds = e λ2s e 4λ2s ds = e 3λ2s ds < Τύπος Itô στις πολλές διαστάσεις Για f : R d [, ) R υπενθυμίζουμε τους συμβολισμούς ( f x f (x, t) = (x, t), f (x, t),..., f ) (x, t) x 1 x 2 x d x f (x, t) = d (x, t) i=1 x 2 i που είναι το διάνυσμα κλίσης και η Λαπλασιανή της f όταν θεωρείται μόνο ως συνάρτηση του x. Θεώρημα 12.5 (Τύπος Itô. Εκδοση III). Εστω f C 2,1 (R d [, )) και B = (B (1), B (2),..., B (d) ) μια d-διάστατη κίνηση Brown. Τότε με πιθανότητα 1, ισχύει για κάθε t >. f (B t, t) = f (B, ) + f s (B s, s) ds + x f (B s, s) db s x f (B s, s) ds (12.8) Ενα σχέδιο απόδειξης του θεωρήματος δίνεται στο Παράρτημα Γʹ. Οπως και στις προηγούμενες εκδόσεις του τύπου, η απόδειξη βασίζεται στο ανάπτυγμα Taylor της f (B t, t). Παρατήρηση Ο τύπος του Itô είναι πιο εύχρηστος στη διατύπωσή του με διαφορικό συμβολισμό. Δηλαδή, d f (B s, s) = f s (B s, s) ds + x f (B s, s) db s x f (B s, s) ds. Παρατήρηση Προκύπτει από το παραπάνω θεώρημα ότι, αν μια f C 2,1 (R d [, )) ικανοποιεί την f t (x, t) x f (x, t) = (12.9) στο R d [, ) και B είναι μια d-διάστατη κίνηση Brown, τότε η M t := f (B t, t), t είναι local martingale γιατί ο τύπος του Itô δίνει d f (B s, s) = f s (B s, s) ds + x f (B s, s) db s x f (B s, s) ds = x f (B s, s) db s. Βέβαια η M t είναι martingale αν μπορούμε να δείξουμε ότι x f (B s, s) H 2 [, t] για κάθε t. Μια αξιοσημείωτη περίπτωση είναι εκείνη κατά την οποία η f είναι συνάρτηση μόνο του x, έστω f (x, t) = u(x), οπότε η (12.9) ζητάει u =, δηλαδή η u είναι αρμονική.

4 12.4 Τύπος Itô για ανελίξεις Itô 89 Παράδειγμα Εστω B = (B (1), B (2),..., B (d) ) μια d-διάστατη κίνηση Brown και η συνάρτηση f (x) := (x1 2 + x x2 d + 1)1/2. Γράφουμε x = (x 1, x 2,..., x d ) και x = x1 2 + x x2 d. Η f έχει f x i (x) = x 2 i x i x 2 + 1, (x) = 1 + x 2 x 2 i ( x 2 + 1) 3/2 για κάθε i = 1, 2,..., d και ικανοποιεί τις υποθέσεις του Θεωρήματος Αρα για την ανέλιξη X t := f (B t ) έχουμε 1 d dx t = B (i) Bt 2 t db (i) t + d + (d 1) B t ( B t 2 + 1) dt. 3/2 i= Τύπος Itô για ανελίξεις Itô Επεκτείνουμε τον ορισμό της ανέλιξης Itô για ανελίξεις με τιμές στον R d, με d θετικό ακέραιο. Εστω χώρος πιθανότητας (Ω, F, P) στον οποίο ορίζεται μια m-διάστατη κίνηση Brown B και (F t ) t η διήθηση που αυτή παράγει. Ορισμός Ανέλιξη Itô σε αυτό τον χώρο με τιμές στον R d λέμε κάθε ανέλιξη X : [, ) Ω R d που γράφεται ως X t = X + U(s, ω)ds + για κάθε t >, με πιθανότητα 1, όπου υποθέτουμε ότι: (i) Η X είναι F προσαρμοσμένη. V(s, ω) db s (12.1) (ii) Οι U(t, ω) = (u (i) (t, ω)) 1 i d, V(t, ω) = (v i, j (t, ω)) 1 i d είναι μετρήσιμες προσαρμοσμένες ανελίξεις 1 j m με τιμές στον στον R d και στον R d m αντίστοιχα. (iii) Για κάθε t > και i = 1,..., d, j = 1,..., m, με πιθανότητα 1, ισχύει u (i) (s, ω) ds <, v i, j (s, ω) 2 ds <. Το πρώτο ολοκλήρωμα στην (12.1) το λέμε τμήμα τάσης της ανέλιξης, ενώ το δεύτερο τμήμα διάχυσης. Πιο εύχρηστη είναι η γραφή μιας ανέλιξης Itô σε διαφορικό συμβολισμό, δηλαδή dx t = U(t, ω) dt } {{ } τμήμα τάσης + V(t, ω) db } {{ } t, τμήμα διάχυσης και πιο αναλυτικά dx (1) t. dx (d) t = u (1) (t, ω). u (d) (t, ω) dt + v 1,1 (t, ω). v 1,m (t, ω). v d,1 (t, ω) v d,m (t, ω) db (1) t. db (m) t. (12.11) Προφανώς, η ίδια η B είναι ανέλιξη Itô. Συμβαίνει λοιπόν και για ανελίξεις Itô να υπάρχει έκδοση του τύπου του Itô, την οποία θα παραθέσουμε χωρίς απόδειξη αφού είναι ανάλογη με τις αποδείξεις των προηγούμενων εκδόσεων.

5 9 Ο τύπος του Itô Θεώρημα 12.1 (Τύπος Itô. Εκδοση IV). Εστω f C 2 (R d ) και X μια d-διάστατη ανέλιξη Itô. Τότε, με πιθανότητα 1, ισχύει για κάθε t >. f (X t ) = f (X ) + f (X s ) dx s d i, j=1 x i x j (X s ) dx (i) s dx ( j) s (12.12) Υπάρχει κάτι όμως που πρέπει να εξηγήσουμε. Τι σημαίνει το γινόμενο dx s (i) dx s ( j) στον πιο πάνω τύπο; Στη θέση της ποσότητας dx s (i) dx s ( j) τοποθετούμε το αποτέλεσμα που προκύπτει αν στο γινόμενο των διαφορικών χρησιμοποιήσουμε τις εκφράσεις για αυτά που δίνει η (12.11), εφαρμόσουμε επιμεριστική ιδιότητα, και τέλος χρησιμοποιήσουμε τις συμβάσεις db (i) db (i) t db (i) db (i) t db ( j) dtdt = t dt = για κάθε i = 1,..., m. t = dt για κάθε i = 1,..., m. t = για κάθε i, j = 1,..., m με i j. (12.13) Δηλαδή οι μόνοι όροι που συνεισφέρουν είναι διαφορικά που αφορούν την ίδια (μονοδιάστατη) κίνηση Brown, δίνουν διαφορικό dt, και έτσι το δεύτερο ολοκλήρωμα στην (12.12) είναι Riemann και όχι στοχαστικό. dt db (i) t db ( j) t dt db (i) t dt db ( j) t dt Πίνακας 12.1: Πολλαπλασιασμός διαφορικών. B (i), B ( j) είναι δύο ανεξάρτητες μονοδιάστατες κινήσεις Brown. Παρατήρηση Αυτό που λέει ο τύπος Itô σε όλες του τις μορφές είναι το εξής X t ανέλιξη Itô, f αρκετά λεία } f (X t ) ανέλιξη Itô. Επιπλέον, ο τύπος προσδιορίζει το τμήμα τάσης και το τμήμα διάχυσης της ανέλιξης f (X t ). Πολύ χρήσιμος είναι ο πιο κάτω τύπος που δίνει το διαφορικό γινομένου ανελίξεων Itô. Εναλλακτικά, είναι ο τύπος ολοκλήρωσης κατά μέρη για στοχαστικά ολοκληρώματα. Πρόταση Εστω (X t ) t, (Y t ) t δυό μονοδιάστατες ανελίξεις Itô. Τότε ισχύει Η αυστηρή γραφή του τύπου είναι η ολοκληρωτική, X t Y t X Y = d(x t Y t ) = Y t dx t + X t dy t + dx t dy t. (12.14) Y s dx s + X s dy s + dx s dy s, όπου τα δύο πρώτα ολοκληρώματα είναι ολοκληρώματα ως προς ανελίξεις Itô και έχουν οριστεί στην Παράγραφο 11.2, ενώ το τελευταίο ολοκλήρωμα, με χρήση των συμβάσεων (12.13), δίνει ένα ολοκλήρωμα Riemann. Μια συνέπεια του τύπου (12.14) είναι ότι η X t Y t είναι ανέλιξη Itô.

6 Απόδειξη. Η ανέλιξη 12.4 Τύπος Itô για ανελίξεις Itô 91 Z t = ( Xt είναι διδιάστατη ανέλιξη Itô (θα το δείξουμε στο τέλος). Εφαρμόζοντας τον τύπο του Itô για τη συνάρτηση f (x, y) = xy (που έχει μερικές παραγώγους f x = y, f y = x, f x,y = 1, f x,x = f y,y = ) παίρνουμε d(x t Y t ) = d f (Z t ) = Y t dx t + X t dy t (dx tdy t + dy t dx t ) που είναι η ζητούμενη. Τώρα θα δείξουμε ότι η Z είναι πράγματι διδιάστατη ανέλιξη Itô. Από την υπόθεση, για τις X, Y έχουμε Y t dx t = u(t, ω)dt + V(t, ω) db t dy t = ũ(t, ω)dt + Ṽ(t, ω) db t, όπου B είναι η m-διάστατη κίνηση Brown με βάση την οποία ορίζουμε την έννοια της ανέλιξης Itô στον συγκεκριμένο χώρο πιθανότητας. Οι ανελίξεις u, ũ παίρνουν τιμές στο R και οι V, Ṽ στο R 1 m. Αρα dz t = ( u(t, ω) ũ(t, ω) ) ) ( V(t, ω) dt + Ṽ(t, ω) ) db t. Παράδειγμα (Εκθετικά martingales) Εστω μετρήσιμη και προσαρμοσμένη ανέλιξη (R t ) t ώστε για κάθε t > να ισχύει R2 sds < με πιθανότητα 1. Θέτουμε για κάθε t, Z t := e R sdb s 1 2 R2sds. Θα δείξουμε ότι η Z είναι local martingale. Θεωρούμε την ανέλιξη X που ορίζεται σε κάθε t ως X t := R s db s 1 2 και τη συνάρτηση f (x) = e x. Τότε, η X είναι ανέλιξη Itô ( Ασκηση) και Z t = f (X t ). Παρατηρούμε ότι Ετσι ο τύπος του Itô (έκδοση IV) δίνει Αρα για κάθε t έχουμε R 2 sds dx t = R t db t 1 2 R2 t dt, (dx t ) 2 = R 2 t dt. dz t = f (X t )dx t f (X t )(dx t ) 2 = Z t R t db t 1 2 Z tr 2 t dt Z tr 2 t dt = Z t R t db t. Z t = 1 + και το συμπέρασμα έπεται από την Πρόταση Παρατηρούμε επιπλέον τα εξής δύο. Z s R s db s, Αν έχουμε ZR H 2 [, t] για κάθε t, τότε η Z είναι martingale.

7 92 Ο τύπος του Itô Αν η ανέλιξη R είναι σταθερή συνάρτηση στο [, ) Ω και ίση με έναν αριθμό λ, τότε η Z είναι το martingale που είδαμε στο Θεώρημα 7.1(iii). Παράδειγμα Εστω ότι η u = u(x, t) : R d [, ) R είναι στοιχείο του C 2,1 (R d [, )), είναι φραγμένη σε κάθε σύνολο της μορφής R d [, T] με T >, και ικανοποιεί u t = 1 2 xu στο R d (, ), (12.15) u(x, ) = f (x) για κάθε x R, (12.16) όπου f είναι μιά δεδομένη συνεχής, φραγμένη συνάρτηση. Αν B είναι μια d-διάστατη κίνηση Brown, τότε για t > σταθερό έχουμε: (α) Η (M s ) s [,t] με M s := u(b s, t s) για κάθε s [, t] είναι martingale. (β) u(x, t) = E x { f (B t )} για κάθε x R d. ( ) B (α) Πράγματι, η X s = s είναι μια ανέλιξη Itô αφού t s ( ) ( ) ( dbs 1 dx s = = ds + ds 1 ) db s. Συμβολίσαμε με 1 το διάνυσμα (1, 1,..., 1) t του R d. Ο τύπος Itô δίνει για s [, t] dm s = u s (B s, t s) ds + x u(b s, t s) db s xu(b s, t s) ds = x u(b s, t s) db s Αρα η M είναι local martingale. Από την άλλη, είναι φραγμένη (από υπόθεση για την u), άρα είναι martingale (Πρόταση 4.19). (β) Θεωρούμε τώρα μια κίνηση Brown B που να ξεκινάει από το δεδομένο x. Το ότι η M είναι martingale συνεπάγεται ότι E x (M t ) = E x (M ). Δηλαδή E x {u(b t, )} = E x {u(x, t)}. Και έτσι λόγω της (12.16) παίρνουμε E x { f (B t )} = u(x, t). Αρα, αν η εξίσωση θερμότητας (12.15), (12.16) έχει λύση η οποία είναι φραγμένη σε κάθε λωρίδα R d [, T] με T >, τότε αυτή η λύση δίνεται από τη σχέση Αυτή είναι μια πιθανοτική αναπαράσταση μιας λύσης. u(x, t) := E x { f (B t )}. (12.17) Για περισσότερα σχετικά με εφαρμογές του στοχαστικού λογισμού στη λύση μερικών διαφορικών εξισώσεων, συνιστάται το Κεφάλαιο 4 του Durrett (1996) και το Κεφάλαιο 4 του Karatzas and Shreve (1991) Ο τύπος Itô σε γενικά χωρία Αν X t είναι μια ανέλιξη Itô στον R d με X = x και f είναι μια συνάρτηση με πεδίο ορισμού ένα ανοιχτό σύνολο U R d με x D (για παράδειγμα, x =, f (x) = log(1 x ), U = {x R d : x < 1}), τι μπορούμε να πούμε για την ανέλιξη f (X t ); Ο τύπος Itô που έχουμε δει δεν εφαρμόζεται. Για τέτοιες περιπτώσεις θα δούμε μια ακόμα έκδοση του τύπου. Για ένα A R d, θα γράφουμε A c για το συμπλήρωμα του και για τον χρόνο εξόδου από το A. τ A := inf{t : X t A c }

8 12.5 Ο τύπος Itô σε γενικά χωρία 93 Αν η f : U R είναι δυό φορές διαφορίσιμη, θα μας φανεί χρήσιμη η εξής προσέγγιση. Παίρνουμε (K n ) n 1 αύξουσα ακολουθία συμπαγών συνόλων υποσυνόλων του U που έχουν ένωση το U και επιπλέον ικανοποιούν K n K n+1 (π.χ., K n := {x U : x n, dist(x, U c ) 1/n}). Υπάρχουν C συναρτήσεις g n : R d [, 1] με g n = 1 στο K n και g = στο (K n+1 )c. Επεκτείνουμε την f στο R d θέτοντας την ίση με στο U c. Τότε η f n := f g n C 2 (R d ) και η ίδια καθώς και οι παράγωγοι της πρώτης και δεύτερης τάξης ταυτίζονται με τις αντίστοιχες της f στο K n. Επίσης f = lim n f n σημειακά στο U. Θεώρημα (Τύπος Itô. Εκδοση V). Εστω U R d ανοιχτό σύνολο, f C 2 (U), και X μια d-διάστατη ανέλιξη Itô με X U. Τότε με πιθανότητα 1, ισχύει για κάθε t < τ U. f (X t ) = f (X ) + f (X s ) dx s d i, j=1 x i x j (X s ) dx (i) s dx ( j) s (12.18) Απόδειξη. Ο τύπος Itô για τις συναρτήσεις f n := f g n δίνει ότι με πιθανότητα 1 ισχύει f n (X t ) = f n (X ) + x f n (X s ) dx s d i, j=1 n (X s ) dx s (i) dx s ( j) x i x j για κάθε t και για κάθε n 1. Τώρα επειδή τ Kn τ U, αν t < τ U, υπάρχει n με t < T n. Επειδή για s < τ n το X s K n όπου οι f, f n καθώς και οι μερικές παράγωγοι τους πρώτης και δεύτερης τάξης ταυτίζονται, το Λήμμα Γʹ.1 δίνει ότι η προηγούμενη σχέση μετασχηματίζεται στην (12.12) Για κάθε n 1 και t >, ισχύει Ασκήσεις B n s db s = 1 n + 1 Bn+1 t 1 2 n B n 1 s ds Για k N και t >, θέτουμε a k (t) := E(B k t ). Να δειχθεί ότι για k N με k 2 και t >, ισχύει a k (t) = 1 2 k(k 1) a k 2 (s)ds, και άρα για κάθε k N. a 2k (t) = (2k)! k!2 k tk 12.3 Εστω t > και ( n ) n 1 ακολουθία διαμερίσεων του διαστήματος [, t] όπως στην Πρόταση 8.9. Εστω επίσης B, W δύο ανεξάρτητες κινήσεις Brown. Να δειχθεί ότι η ακολουθία k(n) R n := (B t (n) i i=1 B t (n) )(W i 1 t (n) i W t (n) ) i 1 συγκλίνει στο στον L 2 καθώς n. Αυτό το αποτέλεσμα είναι χρήσιμο για να δικαιολογήσει κανείς τη σύμβαση dw db = Εστω B, W ανεξάρτητες (μονοδιάστατες) κινήσεις Brown. Να υπολογιστεί το διαφορικό d(cos{b t W t }) Να αποδειχθεί ότι η έκδοση IV του τύπου του Itô περιέχει τις τρείς προηγούμενες.

9 94 Ο τύπος του Itô 12.6 Εστω u, g : R d [, ) R φραγμένες σε κάθε σύνολο της μορφής R d [, T] με T >, με την g συνεχή και την u = u(x, t) στοιχείο του C 2,1 (R d [, )), που επιπλέον ικανοποιούν u t = 1 2 xu + g στο R d (, ), u(x, ) = f (x) για κάθε x R, όπου f είναι μια δεδομένη φραγμένη, συνεχής συνάρτηση. Να δειχθεί ότι, για B μια d-διάστατη κίνηση Brown και t > σταθερό, έχουμε: (α) Η (M s ) s [,t] με για κάθε s [, t] είναι martingale. (β) για κάθε x R d. M s := u(b s, t s) + u(x, t) = E x { f (B t ) + s g(b r, t r) dr } g(b s, t s) ds

10 Μέρος IV Εφαρμογές

11 96