Αρτιες και περιττές συναρτήσεις
|
|
- ŌἈαρών Ανδρεάδης
- 7 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Μελέτη Συναρτήσεων: άρτιες, περιττές συναρτήσεις - μονοτονία - ακρότατα Κώστας Ράπτης Άρτιες και περιττές συναρτήσεις Ὁι ψυχολόγοι κάνουν λόγο για δύο επίπεδα συλλογιστικής και μνήμης: το αρχαϊκό και το νέο επίπεδο. Το αρχαϊκό επίπεδο αντιστοιχεί στο βασικό και πρωτόγονο ζωϊκό εγκέφαλο και, απ ότι φαίνεται, πρόκειται για το τμήμα εκείνο του εγκεφάλου μας που έχει την τάση να ανιχνεύει παντού συμμετρία. Marcus du Sauto Υπάρχουν μαθηματικά εργαλεία που κάνουν τη μελέτη των συναρτήσεων πιο α- πλή; Ακούγεται σαν ερώτηση παγίδα και οι περισσότεροι ίσως απαντούσαν ότι οι λέξεις μαθηματικά και απλή δε ϑα έπρεπε ποτέ να συνυπάρχουν σε μια πρόταση, παρά μονάχα ίσως σε αυτήν: τα μαθηματικά δεν είναι απλή υπόθεση! Οτιδήποτε όμως ϑα μπορούσε να κάνει το σχεδιασμό μιας γραφικής παράστασης πιο εύκολο σίγουρα αξίζει να μελετηθεί. Στα πλαίσια της απλούστευσης του σχεδιασμού μίας γραφικής παράστασης ϑα εισάγουμε τις έννοιες της άρτιας και της περιττής συνάρτησης. Μια καλή ερώτηση όμως που ανακύπτει σε αυτό το στάδιο είναι η εξής: Με ποιο τρόπο άραγε μπορεί να απλοποιηθεί ο σχεδιασμός μιας γραφικής παράστασης; Επειδή είδαμε σε προηγούμενη παράγραφο ότι η γραφική παράσταση κάποιας συνάρτησης είναι ένα σύνολο σημείων - τα οποία μπορεί να σχηματίζουν μια γραμμή, αλλά μπορεί και όχι - αυτήν την ερώτηση μπορούμε να την επαναλάβουμε με γεωμετρικούς όρους: Πώς λοιπόν μπορούμε να απλοποιήσουμε το σχεδιασμό ενός συνόλου σημείων; Η απάντηση έρχεται από το χώρο της συμμετρίας. Αν γνωρίζαμε λοιπόν ότι μια γραφική παράσταση είναι συμμετρική ως προς έναν άξονα (ευθεία) ή ένα κέντρο (σημείο), τότε ϑα χρειαζόταν ουσιαστικά να μελετήσουμε και να σχεδιάσουμε μόνο τη μισή, αφού η συμμετρία ϑα καθόριζε τι ισχύει για το άλλο μισό της. Τα ονόματα «άρτια» και «περιττή» για να περιγράψουμε μια συνάρτηση φαίνονται να ξεπήδησαν από άλλη ενότητα, ό- μως στην πραγματικότητα δεν είναι τυχαία. Χρησιμοποιούμε αυτούς τους δύο όρους για να περιγράψουμε δύο ειδών συμμετρίες. Στο Σχήμα 1 παραθέτουμε αριστερά τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f 1 ()= 2, f 2 ()= 4, f 3 ()= 6 (παρατηρήστε ότι όλοι οι εκθέτες των πολυωνυμικών συναρτήσεων είναι άρτιοι) και δεξιά των συναρτήσεων g 1 ()=, g 2 ()= 3, g 3 ()= 5 (εδώ είναι περιττοί). Αν εξετάσει κανείς τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων στα παραπάνω σχήματα, α- ντιλαμβάνεται ότι οι συμμετρίες που μας ενδιαφέρουν εδώ είναι ως προς των άξονα στις περιπτώσεις των συναρτήσεων f 1, f 2 και f 3, καθώς και ως προς την αρ-
2 Μελέτη συναρτήσεων 2 χή των αξόνων στις περιπτώσεις των συναρτήσεων g 1, g 2 και g 3. Κατά αντιστοιχία, ονομάζουμε άρτιες τις συναρτήσεις που οι γραφικές τους παραστάσεις είναι συμμετρικές ως προς τον άξονα και περιττές τις συναρτήσεις που οι γραφικές τους παραστάσεις είναι συμμετρικές ως προς την αρχή των αξόνων Ο. A B C f1 C g1 Σχήμα 2: Γραφική παράσταση της συνάρτησης φ C f2 C f3 C g2 C g3 Σχήμα 1: Άρτιες και περιττές συναρτήσεις Σηκώστε όμως τώρα τα μανίκια σας για να ασχοληθούμε με τα μαθηματικά που κρύβονται πίσω από αυτές τις συμμετρίες. Αρχικά ϑα ϑεωρήσουμε τη συνάρτηση φ()= 2, [ 3, 2] [ 1,3] Η γραφική της παράσταση φαίνεται στο Σχήμα 2. Το κομμάτι της γραφικής παράστασης ανάμεσα στα σημεία Α και Β λείπει, αφού εκεί η συνάρτηση δεν ορίζεται. Είναι εμφανώς μάταιο εδώ να α- ναζητήσουμε οποιαδήποτε συμμετρία στη γραφική παράσταση. Η συνάρτηση φ δεν μπορεί να είναι ούτε άρτια, ούτε περιττή συνάρτηση. Βέβαια, δε χρειάζεται να λείπει ολόκληρο κομμάτι από τη μία μόνο μεριά της γραφικής παράστασης για να εξαφανίσει οποιαδήποτε υποψία συμμετρίας, αρκεί ένα και μόνο σημείο. Για να είμαστε σίγουροι ότι τα σημεία που λείπουν από τη μια μεριά ϑα λείπουν και από την άλλη (μεριά του άξονα ) απαιτούμε από όλες τις άρτιες ή τις περιττές συναρτήσεις να έχουν πεδίο ορισμού συμμετρικό στο 0. Με άλλα λόγια, για κάθε που ανήκει στο πεδίο ορισμού της συνάρτησης και το ϑα πρέπει επίσης να ανήκει στο πεδίο ο- ρισμού της. Για να εξετάσουμε επομένως αν μια συνάρτηση f A R είναι άρτια ή περιττή, το πρώτο μας βήμα είναι να σιγουρευτούμε ότι για κάθε A τότε και A. Ας ασχοληθούμε τώρα με την ίδια τη συμμετρία. Γνωρίζουμε ότι το συμμετρικό του σημείου (α,β) ως προς τον άξονα είναι το σημείο( α,β) δηλαδή αυτό που για την αντίθετη τετμημένη έχει την ί- δια τεταγμένη. Η άρτια συνάρτηση είπαμε
3 Μελέτη συναρτήσεων 3 προηγουμένως ότι έχει γραφική παράσταση συμμετρική ως προς τον άξονα, ο- πότε η παραπάνω πρόταση ισχύει για κά- ϑε σημείο της. Αυτήν την πρόταση τώρα, αν την εκφράσουμε με συμβολισμούς σχετικούς με τη συνάρτηση f, παίρνουμε: f( )=f() για κάθε A. Επομένως, μια συνάρτηση f είναι άρτια στο πεδίο ορισμού της A αν: 1. για κάθε που βρίσκεται στο A, το βρίσκεται επίσης στο A(δηλαδή, το πεδίο ορισμού της είναι συμμετρικό στο 0) 2. f( )=f(), A (οι τιμές της συνάρτησης είναι ίσες για αντίθετες τιμές του ) Από την άλλη, το συμμετρικό σημείο του (α,β) ως προς την αρχή των αξόνων Ο είναι το σημείο( α, β) δηλαδή αυτό που για την αντίθετη τετμημένη έχει αντίθετη τεταγμένη. Επειδή οι περιττές συναρτήσεις είναι αυτές που έχουν κέντρο συμμετρίας το σημείο Ο, γι αυτές ϑα πρέπει να ισχύει: f( )= f() για κάθε A. Άρα, μια συνάρτηση f είναι περιττή στο πεδίο ορισμού της Α αν: 1. για κάθε που βρίσκεται στο A, το βρίσκεται επίσης στο A (το πεδίο ορισμού της είναι συμμετρικό στο 0) 2. f( )= f(), A (οι τιμές της συνάρτησης είναι αντίθετες για αντίθετες τιμές του ) Βέβαια υπάρχουν συναρτήσεις που δεν είναι ούτε άρτιες, ούτε περιττές. Οι γραφικές παραστάσεις αυτών των συναρτήσεων δεν παρουσιάζουν τη συμμετρία που περιγράψαμε, χωρίς όμως αυτό να σημαίνει ότι δεν μπορεί να παρουσιάζουν συμμετρία ως προς άλλους άξονες ή κέντρα. Ασκήσεις 1. Συμπλήρωσε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης που φαίνεται παρακάτω αν ξέρεις ότι η συνάρτηση έχει πεδίο ορισμού τοrκαι είναι (α) άρτια και (β) περιττή. 2. Μια περιττή συνάρτηση σε ποιο σημείο μπορεί να τέμνει τον άξονα ; Ισχύει το ίδιο και για μια άρτια συνάρτηση; 3. Εξέτασε αν καθεμιά από τις παρακάτω συναρτήσεις είναι άρτιες, περιττές ή τίποτα από τα δύο: f()= 2 4, g()=3 3 + h()= 6 4, k()= Παρακάτω φαίνονται οι γραφικές παραστάσεις κάποιων συναρτήσεων. Ποιες από αυτές είναι άρτιες και ποιες είναι περιττές; (αʹ)
4 Μελέτη συναρτήσεων 4 4 (βʹ) 3 2 (γʹ) Μονοτονία συνάρτησης Η μελέτη της μονοτονίας μιας συνάρτησης είναι μια αρκετά διαισθητική ιδέα. Αυτή ουσιαστικά μας ενημερώνει αν η συνάρτηση παίρνει τιμές που συνεχώς αυξάνουν ή μειώνουν. Μελετούμε λοιπόν τη μονοτονία κάποιας συνάρτησης όταν αποφαινόμαστε αν αυτή είναι γνησίως αύξουσα, γνησίως φθίνουσα ή σταθερή σε υποδιαστήματα (ϑα επανέλθουμε αργότερα σε αυτό) του πεδίου ορισμού της. Λέμε ότι μια συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα σε ένα διάστημα Δ αν οι τιμές της συνεχώς αυξάνουν σε αυτό το διάστημα, αντίστοιχα γνησίως φθίνουσα αν συνεχώς μειώνουν και σταθερή αν παραμένουν σταθερές. Ας μελετήσουμε τώρα τι αντίκτυπο έ- χουν όλα αυτά στη γραφική παράσταση μιας συνάρτησης με τη βοήθεια του παρακάτω παραδείγματος. Στο Σχήμα 3 φαίνεται η γραφική παράσταση της συνάρτησης +3, <2 f()= 1, 2 <3 2 8, 3 Εξετάστε τη μονοτονία της συνάρτησης. Σχήμα 3: Γραφική παράσταση της συνάρτησης f Βλέπουμε ότι η γραφική παράσταση της συνάρτησης f συνεχώς κατεβαίνει καθώς το παίρνει τιμές από το μέχρι το 2. Επομένως σ αυτό το διάστημα η f είναι γνησίως φθίνουσα και συμβολίζουμε: f (,2]. Οταν το [2,3] η f είναι σταθερή. Μετά το 3 η γραφική παράσταση της f ανεβαίνει, δηλαδή η f παίρνει όλο και μεγαλύτερες τιμές για 3, οπότε είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα αυτό και γράφουμε: f [3,+ ). Ô Από τα παραπάνω φαίνεται ότι μια συνάρτηση δεν είναι αναγκαίο να διατηρεί σταθερή τη μονοτονία της σε όλο το πεδίο ορισμού της, χωρίς βέβαια αυτό να σημαίνει ότι δεν υπάρχουν συναρτήσεις με στα- ϑερή μονοτονία 1. Τι γίνεται όμως όταν ϑέλουμε να μελετήσουμε τη μονοτονία μιας συνάρτησης χωρίς να έχουμε στα χέρια μας τη γραφική της παράσταση; Αυτό το ερώτημα απαιτεί να δουλέψουμε αλγεβρικά, ώστε να απαλλαγούμε από την ανάγκη της εποπτείας. Ας μιλήσουμε λοιπόν αυστηρά αλγεβρικά, δί- 1 αυτές τις ονομάζουμε γνησίως μονότονες συναρτήσεις
5 Μελέτη συναρτήσεων 5 f( 2 ) f( 1 ) 1 2 Σχήμα 4: Γνησίως αύξουσα συνάρτηση f( 1 ) f( 2 ) 1 2 Σχήμα 5: Γνησίως φθίνουσα συνάρτηση νοντας τους ορισμούς της γνησίως αύξουσας και φθίνουσας συνάρτησης. Είπαμε προηγουμένως ότι μια γνησίως αύξουσα συνάρτηση παίρνει όλο και μεγαλύτερες τιμές καθώς το αυξάνει, δηλαδή η γραφική της παράσταση ανεβαίνει προς τα πάνω καθώς τη διατρέχουμε από τα α- ριστερά προς τα δεξιά. Επομένως, μια συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα (Σχήμα 4) στο διάστημα Δ αν για κάθε 1, 2 με 1 < 2 ισχύει f( 1 )<f( 2 ) (παρατηρείστε ότι η φορά στις δύο ανισώσεις είναι η ίδια). Αντίστοιχα είναι τα πράγματα στην περίπτωση της γνησίως φθίνουσας συνάρτησης (Σχήμα 5) σε διάστημα Δ. Η συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα Δ αν για κάθε 1, 2 με 1 < 2 ισχύει f( 1 )>f( 2 ) (εδώ η φορά των δύο ανισώσεων αλλάζει). Μια εταιρεία στατιστικών ερευνών μετά α- πό σχετική έρευνα στη Μυτιλήνη, κατάφερε να δώσει προσεγγιστικά τις πωλήσεις των ηλεκτρονικών υπολογιστών που έγιναν την τελευταία δεκαετία, με τη συνάρτηση: S(t)=t , t [0,10], όπου S οι πωλήσεις και t ο χρόνος σε έτη. Αυξάνονται ή μειώνονται οι πωλήσεις Η/Υ την τελευταία δεκαετία; Για να απαντήσουμε σε αυτήν την ερώτηση χρειάζεται να εξετάσουμε τη μονοτονία της συνάρτησης S. Γι αυτό ϑεωρούμε τα t 1, t 2 [0,10] τέτοια, ώστε t 1 < t 2. Προσπαθούμε τώρα να κατασκευάσουμε την παράσταση S(t 1 ) στο αριστερό μέλος της παραπάνω ανισότητας και την S(t 2 ) δεξιά: t 1 < t 2 t 3 1< t 3 2 t <t S(t 1 )<S(t 2 ) Οπότε η συνάρτηση S είναι γνησίως αύξουσα στο [0, 10], επομένως οι πωλήσεις συνεχώς αυξάνουν την τελευταία δεκαετία. Ô Ο πολιτικός μηχανικός που είναι υπεύθυνος για το σχεδιασμό ενός roller-coaster υ- πολογίζει το ύψος της κατασκευής με τη βοήθεια της συνάρτησης h()=2( 1) 2 +3, [ 10,15] όπου η οριζόντια απόσταση της γραμμής από τη γεννήτρια. Ποια είναι η οριζόντια απόσταση από τη γεννήτρια ό- ταν το τρενάκι σταματάει την κάθοδο και ξεκινά να ανεβαίνει;
6 Μελέτη συναρτήσεων 6 Εδώ χρειάζεται να εξετάσουμε τη μονοτονία της συνάρτησης ώστε να εντοπίσουμε πότε παύει να είναι φθίνουσα και αρχίζει να γίνεται αύξουσα. Ο τύπος της συνάρτησης όμως είναι τέτοιος που μας απαγορεύει να μελετήσουμε τη μονοτονία της h σε όλο το πεδίο ορισμού της. Εστω 10 1, 2 1 τέτοια, ώστε 1 < 2 τότε: 1 1< 2 1. Αυτές οι ποσότητες είναι μη ϑετικές, οπότε καθώς υψώνουμε στο τετράγωνο τα δύο μέλη της ανισότητας, η φορά της ϑα αλλάξει κι έτσι παίρνουμε: ( 1 1) 2 >( 2 1) 2 2( 1 1) 2 > 2( 2 1) 2 2( 1 1) 2 +3>2( 2 1) 2 +3 h( 1 )>h( 2 ). Οπότε η h [ 10,1]. Εστω τώρα 1 3, 4 15 τέτοια, ώστε: 3 < 4 3 1< 4 1 ( 3 1) 2 <( 4 1) 2 2( 3 1) 2 < 2( 4 1) 2 2( 3 1) 2 +3<2( 4 1) 2 +3 h( 3 )<h( 4 ). Οπότε η h [1,15]. Δηλαδή η συνάρτηση αλλάζει τη μονοτονία της όταν =1 άρα το τρενάκι ξεκινά να ανεβαίνει όταν η οριζόντια απόστασή του από τη γεννήτρια είναι 1m. Ô Ασκήσεις 1. Αν η συνάρτηση f A B είναι γνησίως φθίνουσα, με μια γραμμή ένωσε κάθε A με την αντίστοιχη τιμή της συνάρτησης B. Α ,2 32 Β -9,35 π ημ π 2 2. Να μελετήσεις ως προς τη μονοτονία τις συναρτήσεις f() = 4 1 και g() = 3+2. Τι συμπεράσματα βγάζεις για τη μονοτονία συναρτήσεων που οι γραφικές τους παραστάσεις είναι ευθείες με ϑετικό συντελεστή διεύ- ϑυνσης; Τι γίνεται με αυτές που έχουν αρνητικό συντελεστή διεύθυνσης; 3. Να μελετήσεις ως προς τη μονοτονία τις συναρτήσεις f()= 2 και g()= 3 αφού πρώτα εντοπίσεις τα πεδία ορισμού τους. 4. Να μελετήσεις ως προς τη μονοτονία τη συνάρτηση f()= Η συνάρτηση f()= είναι γνησίως φθίνουσα. Σωστό ή λάθος; Ακρότατα Συνάρτησης Σε πολλές περιπτώσεις είναι χρήσιμο να ξέρουμε ποια είναι η μεγαλύτερη ή η μικρότερη τιμή μιας συνάρτησης. Αν μια συνάρτηση για παράδειγμα μετράει τα έσοδα μιας εταιρείας, δίνει το κόστος κατασκευής μιας συσκευασίας, περιγράφει το εμβαδόν ενός χωραφιού ή μιας πολυκατοικίας υ- πάρχουν πολλά παραδείγματα συναρτήσεων που μας ενδιαφέρει να μελετήσουμε τη μέγιστη ή την ελάχιστη τιμή τους, για πρακτικούς λόγους. Σε αυτήν την περίπτωση
7 Μελέτη συναρτήσεων 7 λέμε ότι μελετούμε τα ακρότατα της εν λόγω συνάρτησης. Με τον όρο ακρότατα μιας συνάρτησης εννοούμε επομένως τις ακραίες τιμές της, δηλαδή τη μεγαλύτερη και τη μικρότερη, αν βέβαια αυτές υπάρχουν. Το ελάχιστο μιας συνάρτησης είναι η μικρότερη τιμή που μπορεί να πάρει. Λέμε λοιπόν η συνάρτηση f A R παρουσιάζει ελάχιστο στη ϑέση = 0 αν για κάθε A ισχύει f() f( 0 ). Το μέγιστο μιας συνάρτησης είναι η μεγαλύτερη τιμή που αυτή μπορεί να πάρει. Λέμε ότι η συνάρτηση f A R παρουσιάζει μέγιστο στη ϑέση = 0 αν για κάθε A ισχύει f() f( 0 ). Το μέγιστο ή το ελάχιστο μιας συνάρτησης, όταν αυτά υπάρχουν, δεν παρουσιάζονται κατ ανάγκη σε μία ϑέση, οπότε μια συνάρτηση μπορεί να παρουσιάζει μέγιστο ή ελάχιστο σε περισσότερες από μία ϑέσεις, δηλαδή για περισσότερα από ένα. Οταν μια συνάρτηση διατηρεί σταθερή τη μονοτονία της στο πεδίο ορισμού της, τότε η διαδικασία εντοπισμού των ακροτάτων της δεν παρουσιάζει εκπλήξεις. Ο Πίνακας 1 δίνει συγκεντρωτικά τις τιμές των ακροτάτων μιας συνάρτησης σταθερής μονοτονίας, όταν αυτή έχει πεδίο ορισμού της μορφής[α,β] ή [α,β) ή (α,β]. Παρατηρείστε ότι όταν μια τέτοια συνάρτηση (γνησίως μονότονη) ορίζεται σε διάστημα της μορφής(α,β) τότε δεν παρουσιάζει α- κρότατα, αφού δεν έχει ούτε ελάχιστη ούτε μέγιστη τιμή. Σημείωση. Από τα παραπάνω προκύπτει ότι μια συνάρτηση ενδέχεται να παίρνει μια μέγιστη και μια ελάχιστη τιμή, ή μόνο μέγιστη τιμή, ή μόνο ελάχιστη τιμή ή να μην παίρνει ούτε ελάχιστη ούτε μέγιστη τιμή. [α,β] [α,β) (α,β] ελαχ. μεγ. ελαχ. μεγ. ελαχ. μεγ. = α β α - - β = f(α) f(β) f(α) - - f(β) = β α - α β - = f(β) f(α) - f(α) f(β) - Πίνακας 1: Ακρότατα της γνησίως μονότονης συνάρτησης f A R Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία τη συνάρτηση f()= 3+3, [ 2,4] και να εντοπίσετε τα ακρότατά της. Για τη μονοτονία: Εστω 1, 2 [ 2,4] τέτοια, ώστε 1 < 2. Είναι: 1 < > > f( 1 )>f( 2 ). Επομένως η f [ 2,4] οπότε παρουσιάζει: μέγιστο για = 2 το οποίο είναι f( 2)=9 και ελάχιστο για =4 που είναι ίσο με f(4)= 9. Ô Τι γίνεται όμως στην περίπτωση που η μονοτονία της f δεν είναι σταθερή σε ολόκληρο το πεδίο ορισμού της; Τα πράγματα εδώ γίνονται ελαφρώς πιο πολύπλοκα. Θα μας απασχολήσει μόνο μια περίπτωση: ό- ταν η f αλλάζει μονοτονία μόνο μία φορά σε κάποιο σημείο του πεδίου ορισμού της, ενώ το πεδίο ορισμού της είναι ένα διάστημα (και όχι ένωση διαστημάτων). Δύο τέτοιες περιπτώσεις φαίνονται στο Σχήμα 6 και στο Σχήμα 7. Αντιλαμβάνεται κανείς ότι στην πρώτη περίπτωση (Σχήμα 6) η συνάρτηση παρου-
8 Μελέτη συναρτήσεων 8 f( 0 ) 0 Σχήμα 6: Ελάχιστο συνάρτησης σιάζει ελάχιστο στη ϑέση = 0 το οποίο είναι ίσο με f( 0 ), ενώ στη δεύτερη περίπτωση (Σχήμα 7) η συνάρτηση παρουσιάζει μέγιστο στη ϑέση = 0 το οποίο είναι ίσο με f( 0 ). Στο τελευταίο ματς ο Καραγκούνης έριξε μια μπαλιά της οποίας το ύψος ως συνάρτηση του χρόνου ήταν h(t)= (t 3) 2 +9, t [0,6] (το t σε sec το h σε m) Να βρεθεί σε πόσα δευτερόλεπτα αφού έφυγε από το πόδι του ποδοσφαιριστή η μπάλα έφτασε στο μέγιστο ύψος της και ποιο είναι αυτό. Παρατηρούμε ότι(t 3) 2 0 με το να ισχύει όταν t=3. Ξεκινώντας από την παραπάνω ανισοτική σχέση, προσπαθούμε να κατασκευάσουμε τη συνάρτηση h στο ένα μέλος της: (t 3) 2 0 (t 3) 2 0 (t 3) h(t) 9 Ενώ h(3)=9 οπότε: f( 0 ) 0 Σχήμα 7: Μέγιστο συνάρτησης h(t) h(3), t [0,6] Άρα η συνάρτηση h παρουσιάζει μέγιστο στη ϑέση t=3 το οποίο είναι ίσο με h(3) = 9. Επομένως η μπάλα φτάνει στο μέγιστο ύψος, το οποίο είναι 9m, μετά από 3 δευτερόλεπτα.ô Ασκήσεις 1. Να βρεθεί (αν υπάρχει) η μέγιστη και η ελάχιστη τιμή της συνάρτησης f() = 2 +8, [ 3,1). 5 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ Μ.Ε.
9 Μελέτη συναρτήσεων 9 2. Εντόπισε τη μέγιστη ή την ελάχιστη τιμή κάθε συνάρτησης που δίνεται και τη ϑέση στην οποία παίρνει την τιμή αυτή. f()=(2 1) 2 4, g()= 5 +3 h()=
Αρτιες και περιττές συναρτήσεις
Μελέτη Συναρτήσεων: άρτιες, περιττές συναρτήσεις - μονοτονία - ακρότατα Κωνσταντίνος Α. Ράπτης Άρτιες και περιττές συναρτήσεις Ὁι ψυχολόγοι κάνουν λόγο για δύο επίπεδα συλλογιστικής και μνήμης: το αρχαϊκό
Διαβάστε περισσότεραΓενικό Λύκειο Μαραθοκάμπου Σάμου. Άλγεβρα Β λυκείου. 13 Οκτώβρη 2016
Γενικό Λύκειο Μαραθοκάμπου Σάμου Άλγεβρα Β λυκείου Εργασία2 η : «Συναρτήσεις» 13 Οκτώβρη 2016 Ερωτήσεις Θεωρίας 1.Πότελέμεότιμιασυνάρτησηfείναιγνησίωςάυξουσασεέναδιάστημα του πεδίου ορισμού της; 2.Πότελέμεότιμιασυνάρτησηfείναιγνησίωςφθίνουσασεέναδιάστημα
Διαβάστε περισσότεραΑς υποθέσουμε ότι ο παίκτης Ι διαλέγει πρώτος την τυχαιοποιημένη στρατηγική (x 1, x 2 ), x 1, x2 0,
Οικονομικό Πανεπιστήμιο Αθηνών Τμήμα Στατιστικής Εισαγωγή στην Επιχειρησιακή Ερευνα Εαρινό Εξάμηνο 2015 Μ. Ζαζάνης Πρόβλημα 1. Να διατυπώσετε το παρακάτω παίγνιο μηδενικού αθροίσματος ως πρόβλημα γραμμικού
Διαβάστε περισσότεραΠαραβολή ψ=αχ 2 +βχ+γ, α 0. Η παραβολή ψ = αχ 2. Γενικά : Κάθε συνάρτηση της μορφής ψ=αχ 2 + βχ +γ, α 0 λέγεται τετραγωνική συνάρτηση.
Η παραβολή ψ=αχ 2 +βχ+γ Σελίδα 1 από 10 Παραβολή ψ=αχ 2 +βχ+γ, α0 Γενικά : Κάθε συνάρτηση της μορφής ψ=αχ 2 + βχ +γ, α0 λέγεται τετραγωνική συνάρτηση. Η παραβολή ψ = αχ 2 Η γραφική παράσταση της συνάρτησης
Διαβάστε περισσότεραΤο κράτος είναι φτιαγμένο για τον άνθρωπο και όχι ο άνθρωπος για το κράτος. A. Einstein Πηγή:
Ας πούμε και κάτι για τις δύσκολες μέρες που έρχονται Το κράτος είναι φτιαγμένο για τον άνθρωπο και όχι ο άνθρωπος για το κράτος. A. Einstein 1879-1955 Πηγή: http://www.cognosco.gr/gnwmika/ 1 ΚΥΚΛΙΚΟΣ
Διαβάστε περισσότεραHY 280. θεμελιακές έννοιες της επιστήμης του υπολογισμού ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ. Γεώργιος Φρ.
HY 280 «ΘΕΩΡΙΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ» θεμελικές έννοιες της επιστήμης του υπολογισμού ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Γεώργιος Φρ. Γεωργκόπουλος μέρος Α Εισγωγή, κι η σική θεωρί των πεπερσμένων
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγικά. 1.1 Η σ-αλγεβρα ως πληροφορία
1 Εισαγωγικά 1.1 Η σ-αλγεβρα ως πληροφορία Στη θεωρία μέτρου, όταν δουλεύει κανείς σε έναν χώρο X, συνήθως έχει διαλέξει μια αρκετά μεγάλη σ-άλγεβρα στον X έτσι ώστε όλα τα σύνολα που εμφανίζονται να ανήκουν
Διαβάστε περισσότεραΗ ανισότητα α β α±β α + β με α, β C και η χρήση της στην εύρεση ακροτάτων.
A A N A B P Y T A Άρθρο στους Μιγαδικούς Αριθμούς 9 5 0 Η ανισότητα α β α±β α + β με α, β C και η χρήση της στην εύρεση ακροτάτων. Δρ. Νίκος Σωτηρόπουλος, Μαθηματικός Εισαγωγή Το άρθρο αυτό γράφεται με
Διαβάστε περισσότεραΑποδεικτικές Διαδικασίες και Μαθηματική Επαγωγή.
Αποδεικτικές Διαδικασίες και Μαθηματική Επαγωγή. Mαθηματικό σύστημα Ένα μαθηματικό σύστημα αποτελείται από αξιώματα, ορισμούς, μη καθορισμένες έννοιες και θεωρήματα. Η Ευκλείδειος γεωμετρία αποτελεί ένα
Διαβάστε περισσότερα5.1 Μετρήσιμες συναρτήσεις
5 Μετρήσιμες συναρτήσεις 5.1 Μετρήσιμες συναρτήσεις Ορισμός 5.1. Εστω (Ω, F ), (E, E) μετρήσιμοι χώροι. Μια συνάρτηση f : Ω E λέγεται F /Eμετρήσιμη αν f 1 (A) F για κάθε A E. (5.1) Συμβολίζουμε το σύνολο
Διαβάστε περισσότεραΑναγνώριση Προτύπων. Σήμερα! Λόγος Πιθανοφάνειας Πιθανότητα Λάθους Κόστος Ρίσκο Bayes Ελάχιστη πιθανότητα λάθους για πολλές κλάσεις
Αναγνώριση Προτύπων Σήμερα! Λόγος Πιθανοφάνειας Πιθανότητα Λάθους Πιθανότητα Λάθους Κόστος Ρίσκο Bayes Ελάχιστη πιθανότητα λάθους για πολλές κλάσεις 1 Λόγος Πιθανοφάνειας Ας υποθέσουμε ότι θέλουμε να ταξινομήσουμε
Διαβάστε περισσότεραΟι γέφυρες του ποταμού... Pregel (Konigsberg)
Οι γέφυρες του ποταμού... Pregel (Konigsberg) Β Δ Β Δ Γ Γ Κύκλος του Euler (Euler cycle) είναι κύκλος σε γράφημα Γ που περιέχει κάθε κορυφή του γραφήματος, και κάθε ακμή αυτού ακριβώς μία φορά. Για γράφημα
Διαβάστε περισσότεραΕφαρμογές στην κίνηση Brown
13 Εφαρμογές στην κίνηση Brown Σε αυτό το κεφάλαιο θέλουμε να κάνουμε για την πολυδιάστατη κίνηση Brown κάτι ανάλογο με αυτό που κάναμε στην Παράγραφο 7.2 για τη μονοδιάστατη κίνηση Brown. Δηλαδή να μελετήσουμε
Διαβάστε περισσότεραΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗ ΟΜΑΛΗ ΚΙΝΗΣΗ ΤΡΙΩΡΗ ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ A ΛΥΚΕΙΟΥ. Ονοματεπώνυμο Τμήμα
Σελίδα 1 ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 2014 2015 ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗ ΟΜΑΛΗ ΚΙΝΗΣΗ ΤΡΙΩΡΗ ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ A ΛΥΚΕΙΟΥ Ονοματεπώνυμο Τμήμα ΘΕΜΑ Α Οδηγία: Να γράψετε στην κόλλα σας τον αριθμό καθεμιάς από τις παρακάτω ερωτήσεις
Διαβάστε περισσότεραΕπίλυση ειδικών μορφών ΣΔΕ
15 Επίλυση ειδικών μορφών ΣΔΕ Σε αυτό το κεφάλαιο θα δούμε κάποιες ειδικές μορφές ΣΔΕ για τις οποίες υπάρχει μέθοδος επίλυσης. Περισσότερες μπορεί να δει κανείς στο Kloeden and Plaen (199), 4.-4.4. Θα
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ ΜΑΘΗΜΑ: ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ
ΜΑΘΗΜΑ: ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ Την ευθύνη του εκπαιδευτικού υλικού έχει ο επιστημονικός συνεργάτης των Πανεπιστημιακών Φροντιστηρίων «ΚOΛΛΙΝΤΖΑ», οικονομολόγος συγγραφέας θεμάτων ΑΣΕΠ, Παναγιώτης Βεργούρος.
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ ΜΑΘΗΜΑ: ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ
ΜΑΘΗΜΑ: ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Tα Πανεπιστημιακά Φροντιστήρια «ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ» προετοιμάζοντας σε ολιγομελείς ομίλους τους υποψήφιους για τον επικείμενο διαγωνισμό του Υπουργείου Οικονομικών, με κορυφαίο
Διαβάστε περισσότεραΑναλυτικές ιδιότητες
8 Αναλυτικές ιδιότητες 8. Βαθμός συνέχειας* Ξέρουμε ότι η κίνηση Brown είναι συνεχής και θα δείξουμε αργότερα ότι είναι πουθενά διαφορίσιμη. Πόσο ομαλή είναι λοιπόν; Μια ασθενέστερη μορφή ομαλότητας είναι
Διαβάστε περισσότεραΕστω X σύνολο και A μια σ-άλγεβρα στο X. Ονομάζουμε το ζεύγος (X, A) μετρήσιμο χώρο.
2 Μέτρα 2.1 Μέτρα σε μετρήσιμο χώρο Εστω X σύνολο και A μια σ-άλγεβρα στο X. Ονομάζουμε το ζεύγος (X, A) μετρήσιμο χώρο. Ορισμός 2.1. Μέτρο στον (X, A) λέμε κάθε συνάρτηση µ : A [0, ] που ικανοποιεί τις
Διαβάστε περισσότεραΕκφωνήσεις και Λύσεις των Θεμάτων
ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Δευτέρα 8 Μαΐου 0 Εκφωνήσεις και Λύσεις των Θεμάτων
Διαβάστε περισσότερα{ i f i == 0 and p > 0
ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ - ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Σχεδίαση και Ανάλυση Αλγορίθμων Διδάσκων: Ε. Μαρκάκης, Φθινοπωρινό εξάμηνο 014-015 Λύσεις 1ης Σειράς Ασκήσεων
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ. Εαρινό Εξάμηνο
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΕΠΛ231: Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι Εαρινό Εξάμηνο 2017-2018 Φροντιστήριο 3 - Λύσεις 1. Εστω ο πίνακας Α = [12, 23, 1, 5, 7, 19, 2, 14]. i. Να δώσετε την κατάσταση
Διαβάστε περισσότεραΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑ ΕΠΙΛΟΓΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ
ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑ ΕΠΙΛΟΓΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: ΕΠΩΝΥΜΟ: ΟΝΟΜΑ: ΟΜΑΔΑ Α Για τις προτάσεις Α1 μέχρι και Α6 να
Διαβάστε περισσότεραΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ Γ ΤΑΞΗ
ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Σ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΕΥΤΕΡΑ 12 ΙΟΥΝΙΟΥ 2000 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (ΚΥΚΛΟΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΚΑΙ ΥΠΗΡΕΣΙΩΝ): ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ
Διαβάστε περισσότεραΑνεξαρτησία Ανεξαρτησία για οικογένειες συνόλων και τυχαίες μεταβλητές
10 Ανεξαρτησία 10.1 Ανεξαρτησία για οικογένειες συνόλων και τυχαίες μεταβλητές Στην παράγραφο αυτή δουλεύουμε σε χώρο πιθανότητας (Ω, F, P). Δίνουμε καταρχάς τον ορισμό της ανεξαρτησίας για ενδεχόμενα,
Διαβάστε περισσότερα21/11/2005 Διακριτά Μαθηματικά. Γραφήματα ΒΑΣΙΚΗ ΟΡΟΛΟΓΙΑ : ΜΟΝΟΠΑΤΙΑ ΚΑΙ ΚΥΚΛΟΙ Δ Ι. Γεώργιος Βούρος Πανεπιστήμιο Αιγαίου
Γραφήματα ΒΑΣΙΚΗ ΟΡΟΛΟΓΙΑ : ΜΟΝΟΠΑΤΙΑ ΚΑΙ ΚΥΚΛΟΙ A Ε B Ζ Η Γ K Θ Δ Ι Ορισμός Ένα (μη κατευθυνόμενο) γράφημα (non directed graph) Γ, είναι μία δυάδα από σύνολα Ε και V και συμβολίζεται με Γ=(Ε,V). Το σύνολο
Διαβάστε περισσότεραΜΙΚΡΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ Η ΚΑΤΑΝΑΛΩΤΙΚΗ ΑΠΟΦΑΣΗ. Άσκηση με θέμα τη μεγιστοποίηση της χρησιμότητας του καταναλωτή
ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΙΟΝΙΩΝ ΝΗΣΩΝ ΣΧΟΛΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ: ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ 07 08 ΛΕΥΚΑΔΑ ΜΙΚΡΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ Η ΚΑΤΑΝΑΛΩΤΙΚΗ
Διαβάστε περισσότεραΑΣΕΠ 2000 ΑΣΕΠ 2000 Εμπορική Τράπεζα 1983 Υπουργείο Κοιν. Υπηρ. 1983
20 Φεβρουαρίου 2010 ΑΣΕΠ 2000 1. Η δεξαμενή βενζίνης ενός πρατηρίου υγρών καυσίμων είναι γεμάτη κατά τα 8/9. Κατά τη διάρκεια μιας εβδομάδας το πρατήριο διέθεσε τα 3/4 της βενζίνης αυτής και έμειναν 4000
Διαβάστε περισσότεραMartingales. 3.1 Ορισμός και παραδείγματα
3 Martingales 3.1 Ορισμός και παραδείγματα Εστω χώρος πιθανότητας (Ω, F, P). Διήθηση σε αυτό τον χώρο λέμε μια αύξουσα ακολουθία (F n ) n 0 σ-αλγεβρών, η καθεμία από τις οποίες είναι υποσύνολο της F. Δηλαδή,
Διαβάστε περισσότεραΤαξινόμηση των μοντέλων διασποράς ατμοσφαιρικών ρύπων βασισμένη σε μαθηματικά κριτήρια.
ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ Ταξινόμηη των μοντέλων διαποράς ατμοφαιρικών ρύπων βαιμένη ε μαθηματικά κριτήρια. Μοντέλο Ελεριανά μοντέλα (Elerian) Λαγκρατζιανά μοντέλα (Lagrangian) Επιπρόθετος διαχωριμός Μοντέλα
Διαβάστε περισσότεραΣχέσεις και ιδιότητές τους
Σχέσεις και ιδιότητές τους Διμελής (binary) σχέση Σ από σύνολο Χ σε σύνολο Υ είναι ένα υποσύνολο του καρτεσιανού γινομένου Χ Υ. Αν (χ,ψ) Σ, λέμε ότι το χ σχετίζεται με το ψ και σημειώνουμε χσψ. Στην περίπτωση
Διαβάστε περισσότερα«ΔΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ»
HY 118α «ΔΙΚΡΙΤ ΜΘΗΜΤΙΚ» ΣΚΗΣΕΙΣ ΠΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΙΣΤΩΝ εώργιος Φρ. εωργακόπουλος ΜΕΡΟΣ (1) ασικά στοιχεία της θεωρίας συνόλων. Π. ΚΡΗΤΗΣ ΤΜ. ΕΠ. ΥΠΟΛΟΙΣΤΩΝ «ΔΙΚΡΙΤ ΜΘΗΜΤΙΚ». Φ. εωργακόπουλος
Διαβάστε περισσότεραΑνεξαρτησία Ανεξαρτησία για οικογένειες συνόλων και τυχαίες μεταβλητές
10 Ανεξαρτησία 10.1 Ανεξαρτησία για οικογένειες συνόλων και τυχαίες μεταβλητές Στην παράγραφο αυτή δουλεύουμε σε χώρο πιθανότητας (Ω, F, P). Δίνουμε καταρχάς τον ορισμό της ανεξαρτησίας για ενδεχόμενα,
Διαβάστε περισσότεραΕξαναγκασμένες ταλαντώσεις, Ιδιοτιμές με πολλαπλότητα, Εκθετικά πινάκων. 9 Απριλίου 2013, Βόλος
ιαφορικές Εξισώσεις Εξαναγκασμένες ταλαντώσεις, Ιδιοτιμές με πολλαπλότητα, Ατελείς ιδιοτιμές Εκθετικά πινάκων Μανόλης Βάβαλης Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Τηλεπικοινωνιών και ικτύων Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας 9 Απριλίου
Διαβάστε περισσότεραΕυρωπαϊκά παράγωγα Ευρωπαϊκά δικαιώματα
17 Ευρωπαϊκά παράγωγα 17.1 Ευρωπαϊκά δικαιώματα Ορισμός 17.1. 1) Ευρωπαϊκό δικαίωμα αγοράς σε μία μετοχή είναι ένα συμβόλαιο που δίνει στον κάτοχό του το δικαίωμα να αγοράσει μία μετοχή από τον εκδότη
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ. Εαρινό Εξάμηνο
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΕΠΛ31: Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι Εαρινό Εξάμηνο 017-018 Φροντιστήριο 5 1. Δικαιολογήστε όλες τις απαντήσεις σας. i. Δώστε τις 3 βασικές ιδιότητες ενός AVL δένδρου.
Διαβάστε περισσότεραΜονάδες 5 1.2.α. Να γράψετε στο τετράδιό σας τον παρακάτω πίνακα σωστά συµπληρωµένο.
ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΤΑΞΗ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΥΤΕΡΑ 12 ΙΟΥΝΙΟΥ 2000 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (ΚΥΚΛΟΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΚΑΙ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ): ΧΗΜΕΙΑ - ΒΙΟΧΗΜΕΙΑ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ
Διαβάστε περισσότεραΠαντού σε αυτό το κεφάλαιο, αν δεν αναφέρεται κάτι διαφορετικό, δουλεύουμε σε ένα χώρο πιθανότητας (Ω, F, P) και η G F είναι μια σ-άλγεβρα.
2 Δεσμευμένη μέση τιμή 2.1 Ορισμός Παντού σε αυτό το κεφάλαιο, αν δεν αναφέρεται κάτι διαφορετικό, δουλεύουμε σε ένα χώρο πιθανότητας (Ω, F, P) και η G F είναι μια σ-άλγεβρα. Ορισμός 2.1. Για X : Ω R τυχαία
Διαβάστε περισσότεραΕκφωνήσεις και Λύσεις των Θεμάτων
ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Τετάρτη 23 Μαΐου 2012 Εκφωήσεις και Λύσεις
Διαβάστε περισσότεραΑνελίξεις σε συνεχή χρόνο
4 Ανελίξεις σε συνεχή χρόνο Σε αυτό το κεφάλαιο είναι συγκεντρωμένοι ορισμοί και αποτελέσματα από τη θεωρία των στοχαστικών ανελιξεων συνεχούς χρόνου. Με εξαίρεση την Παράγραφο 4.1, η οποία είναι εντελώς
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο Η εκθετική κατανομή. Η πυκνότητα πιθανότητας της εκθετικής κατανομής δίδεται από την σχέση (1.1) f(x) = 0 αν x < 0.
Κεφάλαιο Συνεχείς Τυχαίες Μεταβλητές. Η εκθετική κατανομή Η πυκνότητα πιθανότητας της εκθετικής κατανομής δίδεται από την σχέση f(x) = λe λx αν x, αν x
Διαβάστε περισσότεραΚΛΑΔΟΣ: ΠΕ11 ΦΥΣΙΚΗΣ ΑΓΩΓΗΣ
ΚΛΑΔΟΣ: ΠΕ11 ΦΥΣΙΚΗΣ ΑΓΩΓΗΣ Μάθημα: Ενόργανη Γυμναστική Χρήσιμα θεωρία στο κεφάλαιο της ενόργανης γυμναστικής για το γνωστικό αντικείμενο ΠΕ11 της Φυσικής Αγωγής από τα Πανεπιστημιακά Φροντιστήρια Κολλίντζα.
Διαβάστε περισσότεραΕπιχειρησιακή Ερευνα Ι
Επιχειρησιακή Ερευνα Ι Μ. Ζαζάνης Κεφάλαιο 1 Τετραγωνικές μορφές στον R n και το ϑεώρημα του Taylor Ορισμός 1. Εστω a 11 a 1n A =.. a n1 a nn συμμετρικός πίνακας n n με στοιχεία στους πραγματικούς αριθμούς.
Διαβάστε περισσότεραΕΙΣΑΓΩΓΗ. H λογική ασχολείται με δύο έννοιες, την αλήθεια και την απόδειξη. Oι έννοιες αυτές έχουν γίνει
ΕΙΣΑΓΩΓΗ ------------------------------------------------------------------------------------- H λογική ασχολείται με δύο έννοιες, την αλήθεια και την απόδειξη. Oι έννοιες αυτές έχουν γίνει αντικείμενο
Διαβάστε περισσότεραΗ εξίσωση Black-Scholes
8 Η εξίσωση Black-Scholes 8. Μια απλή αγορά Θεωρούμε ότι έχουμε μια αγορά που έχει μόνο δύο προϊόντα. Το ένα είναι η δυνατότητα κατάθεσης σε μια τράπεζα (ισοδύναμα, αγορά ομολόγων της τράπεζας) και το
Διαβάστε περισσότεραΕκφωνήσεις και Λύσεις των Θεμάτων
ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ (ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ) Τετάρτη 8 Μαΐου 26 Εκφωνήσεις και Λύσεις των Θεμάτων η LaT E X-έκδοση ( 22/5/26)
Διαβάστε περισσότεραΦυσική Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου 3 ο Κεφάλαιο Ηλεκτρικό Πεδίο. Ηλεκτρικό πεδίο. Παρασύρης Κώστας Φυσικός Ηράκλειο Κρήτης
Φσική Θετικής & Τεχνολογικής Κτεύθνσης Β Λκείο 3 ο Κεφάλιο Ηλεκτρικό Πεδίο 3 Ηλεκτρικό πεδίο Πρσύρης Κώστς Φσικός Ηράκλειο Κρήτης Φσική Θετικής & Τεχνολογικής Κτεύθνσης Β Λκείο 3 ο Κεφάλιο Ηλεκτρικό Πεδίο
Διαβάστε περισσότερα602. Συναρτησιακή Ανάλυση. Υποδείξεις για τις Ασκήσεις
602. Συναρτησιακή Ανάλυση Υποδείξεις για τις Ασκήσεις Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Αθηνών Αθήνα 2018 Περιεχόμενα 1 Χώροι με νόρμα 1 2 Χώροι πεπερασμένης διάστασης 23 3 Γραμμικοί τελεστές και γραμμικά
Διαβάστε περισσότεραα 0. α ν x ν +α ν 1 x ν α 1 x+α 0 α ν x ν,α ν 1 x ν 1,...,α 1 x,α 0, ...,α 1,α 0,
Άλγεβρα Β Λυκείου - Πολυώνυμα: Θεωρία, Μεθοδολογία και Λυμένες ασκήσεις Κώστας Ράπτης Μάιος 2011 Μέρος I Πολυώνυμα 1 Πολυώνυμα 1.1 Στοιχεία ϑεωρίας Καλούμε μονώνυμο του x κάθε παράσταση της μορφήςαx ν,
Διαβάστε περισσότερα"Η απεραντοσύνη του σύμπαντος εξάπτει τη φαντασία μου. Υπάρχει ένα τεράστιο σχέδιο, μέρος του οποίου ήμουν κι εγώ".
"Η απεραντοσύνη του σύμπαντος εξάπτει τη φαντασία μου. Υπάρχει ένα τεράστιο σχέδιο, μέρος του οποίου ήμουν κι εγώ". "Ότι ανόητο είπα μπορεί και να είναι ένα ρέψιμο κάποιου ξεχασμένου αστέρα..." "Δεν κάνει
Διαβάστε περισσότεραΠροτεινόμενα θέματα στο μάθημα. Αρχές Οικονομικής Θεωρίας ΟΜΑΔΑ Α. Στις προτάσεις από Α.1. μέχρι και Α10 να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό της
Προτεινόμενα θέματα στο μάθημα Αρχές Οικονομικής Θεωρίας ΟΜΑΔΑ Α Στις προτάσεις από Α.1. μέχρι και Α10 να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό της καθεμιάς και δίπλα σε κάθε αριθμό την ένδειξη Σωστό, αν
Διαβάστε περισσότερα( ιμερείς) ΙΜΕΛΕΙΣ ΣΧΕΣΕΙΣ Α Β «απεικονίσεις»
( ιμερείς) ΙΜΕΛΕΙΣ ΣΧΕΣΕΙΣ Α Β «πεικονίσεις» 1. ΣΧΕΣΕΙΣ: το σκεπτικό κι ο ορισμός. Τ σύνολ νπριστούν ιδιότητες μεμονωμένων στοιχείων: δεδομένου συνόλου S, κι ενός στοιχείου σ, είνι δυντόν είτε σ S είτε
Διαβάστε περισσότεραΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Β ΤΑΞΗ. ΘΕΜΑ 1ο
ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΘΕΜΑ 1ο ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Σ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΙΤΗ 30 ΜΑΪΟΥ 2000 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ: ΦΥΣΙΚΗ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ: ΕΞΙ (6) Στις ερωτήσεις 1-4 να γράψετε
Διαβάστε περισσότεραΟ τύπος του Itô. f (s) ds (12.1) f (g(s)) dg(s). (12.2) t f (B s ) db s + 1 2
12 Ο τύπος του Itô Για συνάρτηση f : R R με συνεχή παράγωγο, έχουμε d f (s) = f (s) ds που σε ολοκληρωτική μορφή σημαίνει f (b) f (a) = b a f (s) ds (12.1) για κάθε a < b. Αν επιπλέον και η g : R R έχει
Διαβάστε περισσότεραΣΥΝΟΛΑ (προσέξτε τα κοινά χαρακτηριστικά των παρακάτω προτάσεων) Οι άνθρωποι που σπουδάζουν ΤΠ&ΕΣ και βρίσκονται στην αίθουσα
ΣΥΝΟΛΑ (προσέξτε τα κοινά χαρακτηριστικά των παρακάτω προτάσεων) Οι άνθρωποι που σπουδάζουν ΤΠ&ΕΣ και βρίσκονται στην αίθουσα Τα βιβλία διακριτών μαθηματικών του Γ.Β. Η/Υ με επεξεργαστή Pentium και χωρητικότητα
Διαβάστε περισσότεραΔ Ι Α Κ Ρ Ι Τ Α Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α. 1η σειρά ασκήσεων
Δ Ι Α Κ Ρ Ι Τ Α Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α 1η σειρά ασκήσεων Ονοματεπώνυμο: Αριθμός μητρώου: Ημερομηνία παράδοσης: Μέχρι την Τρίτη 2 Απριλίου 2019 Σημειώστε τις ασκήσεις για τις οποίες έχετε παραδώσει λύση: 1
Διαβάστε περισσότεραΑνεξαρτησία Ανεξαρτησία για οικογένειες συνόλων και τυχαίες μεταβλητές
10 Ανεξαρτησία 10.1 Ανεξαρτησία για οικογένειες συνόλων και τυχαίες μεταβλητές Στην παράγραφο αυτή δουλεύουμε σε χώρο πιθανότητας (Ω, F, P). Δίνουμε καταρχάς τον ορισμό της ανεξαρτησίας για ενδεχόμενα,
Διαβάστε περισσότεραΑναγνώριση Προτύπων. Σημερινό Μάθημα
Αναγνώριση Προτύπων Σημερινό Μάθημα Εκτίμηση Πυκνότητας με k NN k NN vs Bayes classifier k NN vs Bayes classifier Ο κανόνας ταξινόμησης του πλησιέστερου γείτονα (k NN) lazy αλγόριθμοι O k NN ως χαλαρός
Διαβάστε περισσότερα1. Εστω ότι A, B, C είναι γενικοί 2 2 πίνακες, δηλαδή, a 21 a, και ανάλογα για τους B, C. Υπολογίστε τους πίνακες (A B) C και A (B C) και
ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι Εαρινό Εξάμηνο 0 Ασκήσεις για προσωπική μελέτη Είναι απολύτως απαραίτητο να μπορείτε να τις λύνετε, τουλάχιστον τις υπολογιστικές! Εστω ότι A, B, C είναι γενικοί πίνακες,
Διαβάστε περισσότεραΚατασκευή της κίνησης Brown και απλές ιδιότητες
5 Κατασκευή της κίνησης Brown και απλές ιδιότητες 51 Ορισμός, ύπαρξη, και μοναδικότητα Ορισμός 51 Μια στοχαστική ανέλιξη { : t } ορισμένη σε έναν χώρο πιθανότητας (Ω, F, P) και με τιμές στο R λέγεται (μονοδιάστατη)
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑ: ΕΜΠΟΡΙΚΟ ΔΙΚΑΙΟ
ΜΑΘΗΜΑ: ΕΜΠΟΡΙΚΟ ΔΙΚΑΙΟ Tα Πανεπιστημιακά Φροντιστήρια «ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ» προετοιμάζοντας σε ολιγομελείς ομίλους τους υποψήφιους για τον επικείμενο διαγωνισμό του Υπουργείου Οικονομικών, με κορυφαίο επιτελείο
Διαβάστε περισσότεραΣυναρτήσεις. Σημερινό μάθημα
Συναρτήσεις Σημερινό μάθημα C++ Συναρτήσεις Δήλωση συνάρτησης Σύνταξη συνάρτησης Πρότυπο συνάρτησης & συνάρτηση Αλληλο καλούμενες συναρτήσεις συναρτήσεις μαθηματικών Παράμετροι συναρτήσεων Τοπικές μεταβλητές
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑ: ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ
ΜΑΘΗΜΑ: ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ Tα Πανεπιστημιακά Φροντιστήρια «ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ» προετοιμάζοντας σε ολιγομελείς ομίλους τους υποψήφιους για τον επικείμενο διαγωνισμό του Υπουργείου Οικονομικών, με κορυφαίο επιτελείο
Διαβάστε περισσότεραΣΤΟ ΙΑΤΡΕΙΟ. Με την πιστοποίηση του αποκτά πρόσβαση στο περιβάλλον του ιατρού που παρέχει η εφαρμογή.
ΣΤΟ ΙΑΤΡΕΙΟ Ο ιατρός αφού διαπιστώσει εάν το πρόσωπο που προσέρχεται για εξέταση είναι το ίδιο με αυτό που εικονίζεται στο βιβλιάριο υγείας και ελέγξει ότι είναι ασφαλιστικά ενήμερο (όπως ακριβώς γίνεται
Διαβάστε περισσότεραΑναγνώριση Προτύπων. Σημερινό Μάθημα
Αναγνώριση Προτύπων Σημερινό Μάθημα Μη Παραμετρικός Υπολογισμός πυκνότητας με εκτίμηση Ιστόγραμμα Παράθυρα Parzen Εξομαλυμένη Kernel Ασκήσεις 1 Μη Παραμετρικός Υπολογισμός πυκνότητας με εκτίμηση Κατά τη
Διαβάστε περισσότεραEισηγητής: Μουσουλή Μαρία
Eισηγητής: Μουσουλή Μαρία Τεχνική φλοπ Φορά Σκοπός της φοράς είναι να αναπτυχθεί μια ιδανική για τον κάθε αθλητή ταχύτητα και ταυτόχρονα να προετοιμάσει το πάτημα. Το είδος της φοράς του Fosbury ήτα, μια
Διαβάστε περισσότεραΦροντιστήριο 2: Ανάλυση Αλγόριθμου. Νικόλας Νικολάου ΕΠΛ432: Κατανεμημένοι Αλγόριθμοι 1 / 10
Φροντιστήριο 2: Ανάλυση Αλγόριθμου Εκλογής Προέδρου με O(nlogn) μηνύματα Νικόλας Νικολάου ΕΠΛ432: Κατανεμημένοι Αλγόριθμοι 1 / 10 Περιγραφικός Αλγόριθμος Αρχικά στείλε μήνυμα εξερεύνησης προς τα δεξιά
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ. Εαρινό Εξάμηνο
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΕΠΛ231: Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι Εαρινό Εξάμηνο 2017-2018 Φροντιστήριο 3 1. Εστω η στοίβα S και ο παρακάτω αλγόριθμος επεξεργασίας της. Να καταγράψετε την κατάσταση
Διαβάστε περισσότεραΟ Ισχυρός Νόμος των Μεγάλων Αριθμών
1 Ο Ισχυρός Νόμος των Μεγάλων Αριθμών Στο κεφάλαιο αυτό παρουσιάζουμε ένα από τα σημαντικότερα αποτελέσματα της Θεωρίας Πιθανοτήτων, τον ισχυρό νόμο των μεγάλων αριθμών. Η διατύπωση που θα αποδείξουμε
Διαβάστε περισσότεραΜεγάλες αποκλίσεις* 17.1 Η έννοια της μεγάλης απόκλισης
7 Μεγάλες αποκλίσεις* 7. Η έννοια της μεγάλης απόκλισης Εστω (X ανεξάρτητες και ισόνομες τυχαίες μεταβλητές ώστε P(X = = P(X = = /2 και S = k= X k το άθροισμα των πρώτων από αυτές. Ο νόμος των μεγάλων
Διαβάστε περισσότερα2. Κατάθεσε κάποιος στην Εθνική Τράπεζα 4800 με επιτόκιο 3%. Μετά από πόσο χρόνο θα πάρει τόκο 60 ; α) 90 ημέρες β) 1,5 έτη γ) 5 μήνες δ) 24 μήνες
20 Φεβρουαρίου 2010 1. Ένας έμπορος αγόρασε 720 κιλά κρασί προς 2 το κιλό. Πρόσθεσε νερό, το πούλησε προς 2,5 το κιλό και κέρδισε 500. Το νερό που πρόσθεσε ήταν σε κιλά: α) 88 β) 56 γ) 60 δ) 65 2. Κατάθεσε
Διαβάστε περισσότεραΣυντάκτης: Παναγιώτης Βεργούρος, Οικονομολόγος Συγγραφέας βιβλίων, Μικρο μακροοικονομίας διαγωνισμών ΑΣΕΠ
Tα Πανεπιστημιακά Φροντιστήρια «ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ» προετοιμάζοντας σε ολιγομελείς ομίλους τους υποψήφιους για τον επικείμενο διαγωνισμό του Υ- πουργείου Οικονομικών και στοχεύοντας στην όσο το δυνατό πληρέστερη
Διαβάστε περισσότεραΦυσική Β Λυκείου Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Παναγόπουλος Γιώργος Φυσικός
Φυσική Β Λυκείου Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Παναγόπουλος Γιώργος Φυσικός gior.panagopoulos@gmail.com Βουλδής Άγγελος Φυσικός angelos_vouldis@hotmail.com Μεντζελόπουλος Λευτέρης Φυσικός MSc Περιβαλλοντολογία
Διαβάστε περισσότερα17 Μαρτίου 2013, Βόλος
Συνήθεις ιαφορικές Εξισώσεις 1ης Τάξης Σ Ε 1ης τάξης, Πεδία κατευθύνσεων, Υπαρξη και μοναδικότητα, ιαχωρίσιμες εξισώσεις, Ολοκληρωτικοί παράγοντες, Αντικαταστάσεις, Αυτόνομες εξισώσεις Μανόλης Βάβαλης
Διαβάστε περισσότεραΈννοια. Η αποδοχή της κληρονομίας αποτελεί δικαίωμα του κληρονόμου, άρα δεν
1 1. Αποδοχή κληρονομίας Έννοια. Η αποδοχή της κληρονομίας αποτελεί δικαίωμα του κληρονόμου, άρα δεν μπορεί να ασκηθεί από τους δανειστές του κληρονόμου, τον εκτελεστή της διαθήκης, τον κηδεμόνα ή εκκαθαριστή
Διαβάστε περισσότερα(7 ο ) ΔΙΑΙΡΕΙ & ΒΑΣΙΛΕΥΕ Ι: «ταξινόμηση» (8 ο ) ΔΙΑΙΡΕΙ & ΒΑΣΙΛΕΥΕ ΙΙ: «κυρτό περίβλημα»
(7 ο ) ΔΙΑΙΡΕΙ & ΒΑΣΙΛΕΥΕ Ι: «ταξινόμηση» (8 ο ) ΔΙΑΙΡΕΙ & ΒΑΣΙΛΕΥΕ ΙΙ: «κυρτό περίβλημα» Σύντομα προλεγόμενα: πού να ψάξουμε για δραστικούς αλγορίθμους; Θα αρχίσουμε από αυτό το κεφάλαιο την ξενάγησή
Διαβάστε περισσότεραΑναγνώριση Προτύπων. Σημερινό Μάθημα
Αναγνώριση Προτύπων Σημερινό Μάθημα Bias (απόκλιση) και variance (διακύμανση) Ελεύθεροι Παράμετροι Ελεύθεροι Παράμετροι Διαίρεση dataset Μέθοδος holdout Cross Validation Bootstrap Bias (απόκλιση) και variance
Διαβάστε περισσότεραΗμέρα 3 η. (α) Aπό την εργασιακή διαδικασία στη διαδικασία παραγωγής (β) Αξία του προϊόντος και αξία της εργασιακής δύναμης
Ημέρα 3 η. (α) Aπό την εργασιακή διαδικασία στη διαδικασία παραγωγής (β) Αξία του προϊόντος και αξία της εργασιακής δύναμης Η εργασιακή διαδικασία και τα στοιχεία της. Η κοινωνική επικύρωση των ιδιωτικών
Διαβάστε περισσότεραΜεγάλες αποκλίσεις* 17.1 Η έννοια της μεγάλης απόκλισης
7 Μεγάλες αποκλίσεις* 7. Η έννοια της μεγάλης απόκλισης Εστω (X ανεξάρτητες και ισόνομες τυχαίες μεταβλητές ώστε (X = = (X = = /2 και S = k= X k το άθροισμα των πρώτων από αυτές. Ο νόμος των μεγάλων αριθμών
Διαβάστε περισσότεραΕξέταση Ηλεκτρομαγνητισμού Ι 2 Φεβρουαρίου 2018
ΕΚΠΑ, Τμήμα Φυσικής Εξέταση Ηλεκτρομαγνητισμού Ι 2 Φεβρουαρίου 2018 ΘΕΜΑ 1 Γραμμική κατανομή φορτίου εκτείνεται από h έως +h κατά μήκος του άξονα z με ετερογενή πυκνότητα λ 0 < 0 για h z < 0 και λ 0 >
Διαβάστε περισσότερα( ) Π. ΚΡΗΤΗΣ, ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΗΥ 380, «ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ & ΠΟΛΥΠΛΟΚΟΤΗΤΑ» Φ 03: ΑΣΥΜΠΤΩΤΙΚΕΣ ΕΚΦΡΑΣΕΙΣ
Π. ΚΡΗΤΗΣ, ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΗΥ 380, «ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ & ΠΟΛΥΠΛΟΚΟΤΗΤΑ» Φ 03: ΑΣΥΜΠΤΩΤΙΚΕΣ ΕΚΦΡΑΣΕΙΣ Ενδιαφερόμαστε μεν για τους αλγορίθμους αλλά εντός ενός συγκεκριμμένου πλαισίου: (α) ως λύσεις προβλημάτων,
Διαβάστε περισσότεραΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Β ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΑΒΒΑΤΟ 27 ΜΑΪΟΥ 2000 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ: ΧΗΜΕΙΑ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ: ΕΞΙ (6)
ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Β ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΑΒΒΑΤΟ 27 ΜΑΪΟΥ 2000 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ: ΧΗΜΕΙΑ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ: ΕΞΙ (6) ΘΕΜΑ 1ο Στις ερωτήσεις 1-3, να γράψετε στο τετράδιό
Διαβάστε περισσότερα(3 ο ) Εξαντλητική αναζήτηση I: μεταθέσεις & υποσύνολα (4 o ) Εξαντλητική αναζήτηση II: συνδυασμοί, διατάξεις & διαμερίσεις
(3 ο ) Εξαντλητική αναζήτηση I: μεταθέσεις & υποσύνολα (4 o ) Εξαντλητική αναζήτηση II: συνδυασμοί, διατάξεις & διαμερίσεις Είναι πράγματι τα «προβλήματα» τόσο δύσκολα; Είδαμε (σύντομα) στα προηγούμενα
Διαβάστε περισσότεραΤΑ ΜΙΚΡΑ ΒΗΜΑΤΑ ΤΗΣ ΘΕΡΑΠΕΥΤΙΚΗΣ ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΑΣ: ΠΩΣ ΕΡΧΟΝΤΑΙ ΚΑΙ ΠΩΣ ΜΠΟΡΟΥΜΕ ΝΑ ΒΟΗΘΗΣΟΥΜΕ ΓΙΑ ΝΑ ΕΡΘΟΥΝ
ΤΑ ΜΙΚΡΑ ΒΗΜΑΤΑ ΤΗΣ ΘΕΡΑΠΕΥΤΙΚΗΣ ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΑΣ: ΠΩΣ ΕΡΧΟΝΤΑΙ ΚΑΙ ΠΩΣ ΜΠΟΡΟΥΜΕ ΝΑ ΒΟΗΘΗΣΟΥΜΕ ΓΙΑ ΝΑ ΕΡΘΟΥΝ Eugene T. GENDLIN University of Chicago, U.S.A Αυτό το άρθρο είναι μια αναθεωρημένη έκδοση της πλήρους
Διαβάστε περισσότεραΜεγάλες αποκλίσεις* 17.1 Η έννοια της μεγάλης απόκλισης
7 Μεγάλες αποκλίσεις* 7. Η έννοια της μεγάλης απόκλισης Εστω (X ) ανεξάρτητες και ισόνομες τυχαίες μεταβλητές ώστε P(X = ) = P(X = ) = /2 και S = k= X k το άθροισμα των πρώτων από αυτές. Ο νόμος των μεγάλων
Διαβάστε περισσότεραιάσταση του Krull Α.Π.Θ. Θεσσαλονίκη Χ. Χαραλαμπους (ΑΠΘ) ιάσταση του Krull Ιανουάριος, / 27
ιάσταση του Krull Χ. Χαραλάμπους Α.Π.Θ. Θεσσαλονίκη Ιανουάριος, 2017 Χ. Χαραλαμπους (ΑΠΘ) ιάσταση του Krull Ιανουάριος, 2017 1 / 27 Ορισμοί Εστω R (αντιμεταθετικός) δακτύλιος. Ορισμός Η διάσταση του Krull
Διαβάστε περισσότεραΣτοχαστικές διαφορικές εξισώσεις
14 Στοχαστικές διαφορικές εξισώσεις 14.1 Γενικά Στοχαστική διαφορική εξίσωση λέμε μια εξίσωση της μορφής dx = µ(, X ) d + σ(, X ) db, X = x, (14.1) με µ, σ : [, ) R R μετρήσιμες συναρτήσεις, x R, και B
Διαβάστε περισσότεραΔιανυσματικές Συναρτήσεις
Κεφάλαιο 5 Διανυσματικές Συναρτήσεις 51 Διανυσματατικές συναρτήσεις Μια συνάρτηση με τιμές στοr n, n>1 λέγεται διανυσματική συνάρτηση Τις διανυσματικές συναρτήσεις ϑα τις συμβολίζουμε με παχειά γράμματα,
Διαβάστε περισσότεραÅéêïóéäùäåêÜåäñïí. www.mathematica.gr. Ìáèçìáôéêü Äåëôßï. Ôåý ïò 13ï. Ïêôþâñéïò 2014 ISSN: 2241-7133
ÅéêïóéäùäåêÜåäñïí Ìáèçìáôéêü Äåëôßï Ôåý ïò 3ï Ïêôþâñéïò 04 www.mathematica.gr ISSN: 4-733 Το «Εικοσιδωδεκάεδρον» παρουσιάζει ϑέματα που έχουν συζητηθεί στον ιστότοπο http://www.mathematica.gr. Η επιλογή
Διαβάστε περισσότεραΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ. Πρώτη Γραπτή Εργασία. Εισαγωγή στους υπολογιστές Μαθηματικά
ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ Πρόγραμμα Σπουδών: ΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ και ΟΡΓΑΝΙΣΜΩΝ Θεματική Ενότητα: ΕΟ-13 Ποσοτικές Μέθοδοι Ακαδημαϊκό Έτος: 2012-13 Πρώτη Γραπτή Εργασία Εισαγωγή στους υπολογιστές Μαθηματικά
Διαβάστε περισσότεραPointers. Σημερινό Μάθημα! Χρήση pointer Τελεστής * Τελεστής & Γενικοί δείκτες Ανάκληση Δέσμευση μνήμης new / delete Pointer σε αντικείμενο 2
Pointers 1 Σημερινό Μάθημα! Χρήση pointer Τελεστής * Τελεστής & Γενικοί δείκτες Ανάκληση Δέσμευση μνήμης new / delete Pointer σε αντικείμενο 2 1 Μνήμη μεταβλητών Κάθε μεταβλητή έχει διεύθυνση Δεν χρειάζεται
Διαβάστε περισσότεραΤο υπόδειγμα IS-LM: Εισαγωγικά
1/35 Το υπόδειγμα IS-LM: Εισαγωγικά Νίκος Γιαννακόπουλος Επίκουρος Καθηγητής Τμήμα Οικονομικών Επιστημών Πανεπιστήμιο Πατρών Ακαδημαϊκό Ετος 2014-2015 Εαρινό Εξάμηνο Τι γνωρίζουμε; 2/35 Αγορά αγαθών και
Διαβάστε περισσότεραΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟN ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΟ ΛΟΓΙΣΜΟ
Δημήτρης Χελιώτης ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟN ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΟ ΛΟΓΙΣΜΟ B τ u(x):=e x {f(b τ ) u(x) = } x ii ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΧΕΛΙΩΤΗΣ Επίκουρος καθηγητής Τμήμα Μαθηματικών Εθνικό και Καποδιστριακό Πανεπιστήμιο Αθηνων Εισαγωγή στον
Διαβάστε περισσότεραΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟN ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΟ ΛΟΓΙΣΜΟ
Δημήτρης Χελιώτης ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟN ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΟ ΛΟΓΙΣΜΟ B τ u(x):=e x {f(b τ ) u(x) = } x ii ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΧΕΛΙΩΤΗΣ Επίκουρος καθηγητής Τμήμα Μαθηματικών Εθνικό και Καποδιστριακό Πανεπιστήμιο Αθηνων Εισαγωγή στον
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγικές Διαλέξεις στην Θεωρία των Αλυσίδων Markov και των Στοχαστικών Ανελίξεων. Οικονομικό Πανεπιστήμιο Αθηνών
Εισαγωγικές Διαλέξεις στην Θεωρία των Αλυσίδων Markov και των Στοχαστικών Ανελίξεων Μιχάλης Ζαζάνης Τμήμα Στατιστικής Οικονομικό Πανεπιστήμιο Αθηνών Κεφάλαιο Αλυσίδες Markov σε Συνεχή Χρόνο. Αλυσίδες
Διαβάστε περισσότεραΑφιερώνεται στους Μαθητές μας Άγγελος Βουλδής Γιώργος Παναγόπουλος Λευτέρης Μεντζελόπουλος
Αφιερώνεται στους Μαθητές μας Άγγελος Βουλδής Γιώργος Παναγόπουλος Λευτέρης Μεντζελόπουλος Είτε είμαστε άνθρωποι είτε είμαστε αστρική σκόνη, όλοι μαζί χορεύουμε στη μελωδία ενός αόρατου ερμηνευτή. A. Einstein
Διαβάστε περισσότεραΤο εγχειρίδιο του καλού κηπουρού
Το εγχειρίδιο του καλού κηπουρού 1. Φροντίδα των φυτών Αφού αποφάσισες να φυτέψεις πρέπει να είσαι έτοιμος να ασχοληθείς με τα φυτά σου και να παρακολουθείς τις ανάγκες τους. Θα πρέπει να ποτίζεις όποτε
Διαβάστε περισσότεραΣυναρτήσεις & Κλάσεις
Συναρτήσεις & Κλάσεις Overloading class member συναρτήσεις/1 #include typedef unsigned short int USHORT; enum BOOL { FALSE, TRUE}; class Rectangle { public: Rectangle(USHORT width, USHORT
Διαβάστε περισσότεραΧαρακτηριστικές συναρτήσεις
13 Χαρακτηριστικές συναρτήσεις 13.1 Μετασχηματισμός Fourier μέτρου πιθανότητας στο R Εστω (Ω, F, µ) χώρος μέτρου και f : Ω C Borel-μετρήσιμη συνάρτηση. Το πραγματικό και φανταστικό μέρος της f, που τα
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγή στη Μιγαδική Ανάλυση. (Πρώτη Ολοκληρωμένη Γραφή)
Εισαωή στη Μιαδική Ανάλυση Σημειώσεις (Πρώτη Ολοκληρωμένη Γραφή) Ε. Στεφανόπουλος Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Αιαίου Καρλόβασι Καλοκαίρι 26 Πρόλοος Οι σημειώσεις αυτές είναι αποτέλεσμα επεξερασίας
Διαβάστε περισσότερα