( μ, λ ) ( i ) ( ii ) ( iii ) ( iv ) ( v )

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "( μ, λ ) ( i ) ( ii ) ( iii ) ( iv ) ( v )"

Transcript

1 Π. ΚΡΗΤΗΣ, ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΗΥ 380, «ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ & ΠΟΛΥΠΛΟΚΟΤΗΤΑ» Φ 08: ΟΡΘΟΤΗΤΑ: ΤΟ ΖΗΤΗΜΑ ΤΗΣ «ΠΡΟΟΔΟΥ» ΤΩΝ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ Το ζήτημα της προόδου εισαγωγικά σχόλια. Κάθε αλγόριθμος από τα δεδομένα παράγει τα αποτελέσματα όχι σε ένα βήμα, αλλά μέσω μιας διαδικασίας (του υπολογισμού). Κάθε αλγόριθμος λοιπόν «προοδεύει» από τα δεδομένα προς τα αποτελέσματα. Μπορούμε να «μετρήσουμε» αυτή την πρόοδο; Δυστυχώς δεν έχουμε να πούμε πολλά πάνω σε αυτό το καίριο και απολύτως κρίσιμο στοιχείο του υπολογισμού... Τα εξής όμως θα πρέπει να σας φανούν πολύ χρήσιμο «οδηγός» σκέψης σε τέτοια ζητήματα: «Οκνηρή» ταξινόμηση ένα μη τετριμμένο αφετηριακό παράδειγμα. Έχουμε στη διάθεσή μας έναν πίνακα Ν αριθμών και έναν «ελεγκτή ταξινόμησης». Θέλουμε να ταξινομήσουμε τους αριθμούς κατά τον εξής «τεμπέλικο» τρόπο: παραδίδουμε τον πίνακα στον ελεγκτή και εάν αυτός τον βρεί ταξινομημένο τότε ΟΚ τερματίζουμε. Αν όμως αυτός βρεί ένα «ανεστραμμένο» ζεύγος (οποιοδήποτε κρίνει εκείνος), δηλαδή δύο κ, λ ώστε κ < λ Ν, αλλά Τ[κ] > Τ[λ], τότε απλά εναλλάσουμε αυτά τα δύο στοιχεία ώστε να έλθουν σε «ορθή» σειρά και επαναλαμβάνουμε τα ίδια... Συνάρτηση Έλεγχος(Τ: πίνακας, παραδίδει κ,λ: θέσεις του Τ): ΑΛΗΘΕΣ/ΨΕΥΔΕΣ { Ελέγχουμε εάν ο πίνακας T είναι ταξινομημένος κατ αύξουσα σειρά. Αν ναι παραδίδεται ΝΑΙ Αν όχι, παραδίδεται ( ον ) ΟΧΙ (2 ον ) και ένα οποιοδήποτε ζεύγος κ,λ ώστε κ < λ αλλά Τ[κ] > Τ[λ] } ΟκνηρήΤαξινόμηση(Τ: πίνακας Ν αριθμών) { Εφόσον όχι Έλεγχος(Τ, κ,λ) { Εναλλάσουμε Τ[κ] Τ[λ] _ _ } } Θα τα καταφέρουμε (πάντοτε) να ταξινομήσουμε τον πίνακα; Ας προσέξουμε εδώ ότι ενώ διορθώνουμε το ανεστραμμένο ζεύγος, ίσως να αντιστρέφουμε άλλα ζεύγη, ίσως πολλά άλλα ζεύγη. Στο παρακάτω σχήμα φαίνεται ότι εάν εναλλάξουμε το ανεστραμμένο ζεύγος (6, 4), το περιεχόμενό τους θα έλθει στη σωστή σειρά, αλλά θα χαλάσει η σωστή σειρά των περιεχομένων στις θέσεις (6, 8) και στις θέσεις (6, 2). ( κ, μ ) ( μ, λ ) ( i ) ( ii ) ( iii ) ( iv ) ( v ) ( iv ) ( v ) Επομένως είναι εύλογο να ρωτήσουμε: «προοδεύει» ο παραπάνω αλγόριθμος; Εφόσον οι ενέργειες μας αφορούν τα «ορθά» ή «ανεστραμμένα» ζεύγη, και εφόσον ο πίνακας είναι ταξινομημένος όταν και μόνον όλα τα ζεύγη θέσεων είναι ορθά, φαίνεται εύλογο αν όχι προφανές ότι πρέπει να μετρήσουμε το πλήθος των ορθών ζευγών και πώς αυτό μεταβάλλεται μετά από μια εναλλαγή (στο σημείο που είναι σημαιάκι: _ _) ενός ανεστραμμένου ζεύγους Τ[κ], Τ[λ]. Κάνουμε στη συνέχεια τον λογαριασμό: ΖΕΥΓΗ ΤΡΟΠΟΣ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ «ΟΡΘΑ» ΠΡΙΝ «ΟΡΘΑ» ΜΕΤΑ (i) Τα ζεύγη Τ[α], Τ[β] στη περιοχή α < β < κ δεν αλλάζουν ν (όσα τύχει να είναι... κατάσταση διότι το περιεχόμενό τους δεν μετακινείται. (ii) Για τα ζεύγη Τ[α], Τ[β] στη περιοχή κ < α < β < λ ομοίως. ν ν ν...τόσα θα μείνουν) Πανεπιστήμιο Κρήτης Τμ. Επιστήμης υπολογιστών «Αλγόριθμοι & πολυπλοκότητα, ΗΥ380 Γεώργιος Φ.Δ. Γεωργακόπουλος, /5/204, /0

2 (iii) Για τα ζεύγη Τ[α], Τ[β] στη περιοχή λ < α < β ομοίως. ν ν (iv) Τα ζεύγη T[α], T[κ], α < κ, δεν αλλάζουν κατάσταση, διότι ν ν αν και το Τ[κ] θα μετακινηθεί, θα παραμείνει μετά το Τ[α]. Το ίδιο συμβαίνει και με τα ζεύγη Τ[κ], Τ[β], β > λ. (v) Τα ζεύγη T[λ], T[β], λ < β, δεν αλλάζουν κατάσταση, διότι αν και το Τ[λ] θα μετακινηθεί, θα παραμείνει πριν το Τ[β]. Το ίδιο συμβαίνει και με τα ζεύγη Τ[α], Τ[λ], α < κ. ν ν Τα μόνα ζεύγη που μένει να εξετάσουμε είναι τα ζεύγη (Τ[κ], Τ[μ]) και (Τ[μ], Τ[λ]), για κ < μ < λ. Τί δυνατότητες υπάρχουν για αυτά τα ζεύγη; Εξετάζουμε όλες τις περιπτώσεις: ΠΡΙΝ ΠΡΙΝ ΠΡΙΝ ΜΕΤΑ ΜΕΤΑ ΜΕΤΑ (Τ[κ], Τ[λ]) (Τ[κ], Τ[μ]) (Τ[μ], Τ[λ]) (Τ[κ], Τ[λ]) (Τ[κ], Τ[μ]) (Τ[μ], Τ[λ]) ΑΝΕΣΤΡΑΜΜΕΝΟ ΟΡΘΟ ΟΡΘΟ ΑΔΥΝΑΤΟΝ! ΑΝΕΣΤΡΑΜΜΕΝΟ ΟΡΘΟ ΑΝΕΣΤΡΑΜΜΕΝΟ ΠΙΘΑΝΟΝ ΟΡΘΟ ΑΝΕΣΤΡΑΜΜΕΝΟ ΟΡΘΟ ΑΝΕΣΤΡΑΜΜΕΝΟ ΑΝΕΣΤΡΑΜΜΕΝΟ ΟΡΘΟ ΠΙΘΑΝΟΝ ΟΡΘΟ ΟΡΘΟ ΑΝΕΣΤΡΑΜΜΕΝΟ ΑΝΕΣΤΡΑΜΜΕΝΟ ΑΝΕΣΤΡΑΜΜΕΝΟ ΑΝΕΣΤΡΑΜΜΕΝΟ ΠΙΘΑΝΟΝ ΟΡΘΟ ΟΡΘΟ ΟΡΘΟ Αυτό που παρατηρούμε είναι ότι είναι αδύνατον τα ζεύγη (Τ[κ], Τ[μ]) και (Τ[μ], Τ[λ]) να είναι και τα δύο ορθά (προ της εναλλαγής), διότι μεταβατικά θα ήταν ορθό και το ζεύγος (Τ[κ], Τ[λ]) ενώ αυτό έχει διαπιστωθεί ως ανεστραμμένο. Παρατηρούμε επίσης ότι στις υπόλοιπες περιπτώσεις το πλήθος των ορθών ζευγών είτε μένει το ίδιο, είτε αυξάνεται, και φυσικά το ζεύγος (κ, λ) από ΑΝΕΣΤΡΑΜΜΕΝΟ τρέπεται πάντοτε σε ΟΡΘΟ, αυξάνοντας το πλήθος τους οπωσδήποτε κατά +. Επομένως, μετά από μια εναλλαγή ανεστραμμένου ζεύγους, το σύνολο των ορθών ζευγών, αν και θα τροποποιηθεί με προσθαφαιρέσεις, εν τούτοις το μέγεθός του θα αυξηθεί κατά τουλάχιστον +. Αφού το σύνολο των ζευγών (Τ[κ], Τ[λ]) με κ < λ Ν είναι το πολύ Ν(Ν )/2, μετά από Ο(Ν 2 ) το πολύ επανελέγχους θα έχουμε καταφέρει να ταξινομήσουμε τον πίνακα κατά αύξουσα σειρά! Τα κύρια χαρακτηριστικά της αλγοριθμικής προόδου. Σε ζητήματα (αλγοριθμικής) προόδου, εστιάζουμε στα εξής χαρακτηριστικά: Τί εκφράζει την πρόοδο δηλαδή ποιός είναι ο δείκτης προόδου; Το πρώτο καθήκον μας είναι να διαπιστώσουμε ποιά στοιχεία προόδου φέρει ο αλγόριθμος που αναλύουμε ή/και σχεδιάζουμε, και να τα εκφράσουμε μέσω ενός αριθμητικού δείκτη προόδου. Αυτό είναι από δύσκολο έως ακατόρθωτο: όπως φάνηκε στο ο παράδειγμά μας ο δείκτης προόδου συνάγεται μεν από τα στοιχεία του κώδικα και από τα δεδομένα και μεταβλητές που χειριζόμαστε, αλλά ίσως να μην εμφανίζεται στον κώδικα, ίσως δηλαδή να είναι συντακτικά «αόρατος». Οι δείκτες προόδου είναι από τα πιο καίρια στοιχεία που συχνότατα (και στις πιο αξιοσημείωτες περιπτώσεις) έχουν σημασιολογικό χαρακτήρα: αφορούν όχι στο τί γράφουμε (στον κώδικα του αλγορίθμου), αλλά στο τί εννοούμε με αυτό που γράφουμε. Σε ποιό τόπο _ _ πραγματοποιείται η πρόοδος δηλαδή σε ποιά σημεία του αλγορίθμου/κώδικα; Ο τρόπος που γράφουμε (τώρα πια) τον κώδικα ενός αλγορίθμου εστιάζει στην προοδευτική εκτέλεση των πράξεών του: οι εντολές εκτελούνται η μία μετά την άλλη, ή η μία μέσα στην άλλη. Και όλες τερματίζουν αργά ή γρήγορα, όμως πάντοτε εκτός από μία περίπτωση, την «αόριστη επανάληψη» (υπό τις μορφές της εντολής εφόσον (while) ή/και της αναδρομής (recursion)). Για να βεβαιωθούμε ότι οι αόριστες επαναλήψεις θα τερματίσουν πρέπει να εντοπίσουμε κάπου μέσα σε κάθε επαναληπτικό βρόχο ένα τουλάχιστον σημείο όπου τελείται πρόοδος, όπου δηλαδή ο δείκτης προόδου μεταβάλλει μονότονα την τιμή του. Ποιό είναι το ενδεχόμενο εύρος της προόδου όταν αυτή ληφθεί αθροιστικά; Ή, γενικότερα, μέσω μιας διάταξης, διότι τα στάδια προόδου υπονοούν μια διάταξη ως προς κάποιο βαθμό προόδου. Πανεπιστήμιο Κρήτης Τμ. Επιστήμης υπολογιστών «Αλγόριθμοι & πολυπλοκότητα, ΗΥ380 Γεώργιος Φ.Δ. Γεωργακόπουλος, /5/204, 2/0

3 Ο δείκτης προόδου θα κινηθεί αθροιστικά σε κάποιο εύρος τιμών, κατ ελπίδα μονότονα από μια αρχική τιμή έως μια τελική. Ποιό είναι αυτό το εύρος τιμών; Θα θέλαμε προφανώς αυτό να είναι φραγμένο (δηλαδή πεπερασμένο). Έχει αποτελεσματικό βήμα έχει δηλαδή (κάτω) φράγμα κάθε βήμα «προόδου»; Ακόμα και εάν ο δείκτης προόδου που διαλέξαμε να χρησιμοποιήσουμε κινηθεί μονότονα σε πεπερασμένο εύρος τιμών θα πρέπει να κάνει «ουσιώδη» βήματα ώστε να εξαντλήσει αυτό το έυρος τιμών. Αν λ.χ. στο κ στό βήμα μιας επαναληπτικής διαδικασίας ο δείκτης αυξάνεται κατά 2 τότε παρότι το εύρος τιμών του είναι φραγμένο, εν τούτοις μπορεί να κάνει εντός αυτού κ του εύρους άπειρα βήματα: το άθροισμα κ = 2 συγκλίνει... Ο απλούστερος (αν και όχι κ μοναδικός) τρόπος να εξασφαλίσουμε ότι δεν θα συμβεί απεριόριστο πλήθος βημάτων είναι να δείξουμε ότι ο δείκτης προόδου έχει ένα κάτω φράγμα ανά βήμα, δ. Αν το εύρος της προόδου είναι αθροιστικά το πολύ Π, και η πρόοδος είναι βηματικά τουλάχιστον δ, τότε προφανώς δεν θα έχουμε πάνω από Π βήματα. δ Είναι «δραστική»; Ακόμα και όταν όλα πάνε καλά ίσως να μην πηγαίνουν τόσο καλά. Θα θέλαμε ο δείκτης προόδου να κινείται δραστικά. Όσο πιο γρήγορα προοδεύει ο αλγόριθμος μας τόσο πιο γρήγορος θα είναι. Είναι (πάντοτε) γνήσια ή έχει και οπισθοδρομήσεις ή διαστήματα στασιμότητας; Τέλος θα πρέπει να υποδείξουμε ότι η μονότονη πρόοδος είναι χαρακτηριστικό των απλών αλγορίθμων. Όταν τα πράγματα (δηλαδή τα προβλήματα) γίνονται σοβαρά, εμφανίζονται περιπτώσεις όπου ο δείκτης προοδου ίσως να εμφανίζει στασιμότητα, ίσως ακόμα και οπισθοδρομήσεις! Σε αυτές τις περιπτώσεις η ανάλυσή μας γίνεται πολυεπίπεδη: εξετάζουμε τις τυχόν στασιμότητες ή και οπισθοδρομήσεις με την ίδια «λογική προόδου» για να δείξουμε ότι και αυτές δεν θα είναι πολλές: εάν σε μια διαδρομή μήκους L, τύχει περιστασιακά να οπισθοδρομούμε αλλά όχι περισσότερο από μήκος L, τότε η συνολική διαδρομή μας δεν θα είναι μεγαλύτερη από L + 2L Η ζωή παρέα με αποδείξεις είναι δύσκολη αποδεδειγμένα Οι παραπάνω εξηγήσεις συνδέονται με το προηγούμενο πρώτο παράδειγμά μας ως εξής: ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ ΕΞΗΓΗΣΕΙΣ Δείκτης προόδου Το πλήθος των «ορθών» ζευγών, δηλαδή των κ < λ Ν, όπου Τ[κ] Τ[λ]. Τόποι προόδου Στο σημαιάκι _ _, μετα την εναλλαγή Τ[κ] Τ[λ]. Εύρος προόδου Το πλήθος όλων των ζευγών, δηλαδή το Ν(Ν )/2 = Ο(Ν 2 ). Αποτελεσματικό βήμα Ναι κάθε βήμα προόδου αυξάνει τον δείκτη κατά τουλάχιστον +. Δραστικότητα Σχετική: το βήμα προόδου είναι μόλις Ω(), τουλάχιστον όμως εξαρτάται μόνον από το πλήθος των δεδομένων, και όχι από καθεαυτά τα δεδομένα. Γνησιότητα Ναι δεν έχουμε «οπισθοδρομήσεις» ή «στασιμότητα». «Μέγιστος κοινός διαιρέτης»: ένα κλασικό αριθμητικό παράδειγμα. Πολύ πιθανά τα γενέθλια της ανάλυσης των αλγορίθμων ήταν όταν ο Ευκλείδης ανέλυε αποδεικτικά τον ομώνυμο αλγόριθμο της εύρεσης του μέγιστου κοινού διαιρέτη. Ο αλγόριθμος που εξέταζε ήταν ο εξής: Ευκλείδου, «Στοιχεία» (ζ βιβλίο, α εδάφιο): Δύο ἀριθμῶν ἀνίσων ἐκκειμένων, ἀνθυφαιρουμένου δὲ ἀεὶ τοῦ ἐλάσσονος ἀπὸ τοῦ μείζονος, ἐὰν ὁ λειπόμενος μηδέποτε καταμετρῇ τὸν πρὸ ἑαυτοῦ, ἕως οὗ λειφθῇ μονάς, οἱ ἐξ ἀρχῆς ἀριθμοὶ πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους ἔσονται. Πανεπιστήμιο Κρήτης Τμ. Επιστήμης υπολογιστών «Αλγόριθμοι & πολυπλοκότητα, ΗΥ380 Γεώργιος Φ.Δ. Γεωργακόπουλος, /5/204, 3/0

4 Σήμερα θα τον γράφαμε («κατά γράμμα») κάπως έτσι: Συνάρτηση ΠρώτοιΠροςΑλλήλους(Α,Β: φυσικοί): ΑΛΗΘΕΣ/ΨΕΥΔΕΣ { Περίπτωση: { Α=Β: ΠρώτοιΠροςΑλλήλους ΨΕΥΔΕΣ // δύο αριθμών ανίσων εκκειμένων Α Β: { Επαναλαμβάνουμε { α,β max(α,β), min(α,β) // του ελάσσονος από του μείζονος Εφόσον (α > β) // αεί { α α-β _ _ } // ανθυφαιρουμένου ΔΙΑΙΡΕΙ (β>) και (α=0) // ο λειπόμενος (...) καταμετρή? 2 } ΈωςΌτου ΔΙΑΙΡΕΙ ή (β=) // έως-ού λειφθή μονάς ΠρώτοιΠροςΑλλήλους ΟΧΙ ΔΙΑΙΡΕΙ // μηδέποτε πρώτοι έσονται } } } Ο εξής πίνακας περιέχει τις σχετικές εξηγήσεις όχι τόσο δύσκολες σε αυτή την περίπτωση της «αφαιρετικής» εκδοχής του Ευκλείδη. ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ ΕΞΗΓΗΣΕΙΣ (ΑΦΑΙΡΕΤΙΚΗ ΕΚΔΟΧΗ) Δείκτης προόδου Το άθροισμα των αριθμών/μεταβλητών (α+β): μειούται διαρκώς. Τόποι προόδου Η πράξη της αφαίρεσης α α-β. Εύρος προόδου Ως το 0 με αρχική τιμή το αρχικό άθροισμα (α+β). Αποτελεσματικότητα Ναι σε κάθε βήμα έχουμε μείωση του δείκτη κατά τουλάχιστον. Δραστικότητα Μικρή: το βήμα προόδου ίσως είναι μόλις Θ(), και η αρχική τιμή τουλάχιστον όμως εξαρτάται μόνον από το πλήθος των δεδομένων, και όχι από καθεαυτά τα δεδομένα. Γνησιότητα Ναι δεν έχουμε «οπισθοδρομήσεις» ή «στασιμότητα». Είναι πιο ενδιαφέρουσα η διαιρετική εκδοχή του παραπάνω κώδικα: Συνάρτηση ΠρώτοιΠροςΑλλήλους(Α, Β: φυσικοί): ΑΛΗΘΕΣ/ΨΕΥΔΕΣ { Περίπτωση: { Α=Β: ΠρώτοιΠροςΑλλήλους ΨΕΥΔΕΣ // δύο αριθμών ανίσων εκκειμένων Α Β: { Επαναλαμβάνουμε { α,β max(α,β), min(α,β) // του ελάσσονος από του μείζονος α α υπόλοιπο-ωςπρος β _ _ } // «αεί-ανθυφαιρουμένου» ΔΙΑΙΡΕΙ (β>) και (α=0) // ο λειπόμενος (...) καταμετρή; } ΈωςΌτου ΔΙΑΙΡΕΙ ή (β=) // έως-ού λειφθή μονάς ΠρώτοιΠροςΑλλήλους ΟΧΙ ΔΙΑΙΡΕΙ // μηδέποτε πρώτοι έσονται } } } Αφού η διαρκής αφαίρεση του β από το α οδηγεί απλώς στον υπολογισμό του υπολοίπου (α mod β), αρκεί να υπολογίσουμε «κατ ευθείαν» αυτό το υπόλοιπο. Θα έχουμε πάλι πρόοδο κατ ελπίδα πιο δραστική. Πόσο πολύ; Επειδή το υπόλοιπο υ = (α mod β) είναι μικρότερο από το β, αλλά και από α β, το υ θα είναι μικρότερο από α/2: εάν β α/2 αυτό θα συμβεί επειδή υ < β, και εάν β > α/2 αυτό θα συμβεί επειδή υ < (α β). Άρα ο μεγαλύτερος των δύο αριθμών που χειριζόμαστε (ο «α» ή ο «β») θα μειωθεί τουλάχιστον κατά το ήμισυ. Αυτό σημαίνει ότι θα έχει ένα δυαδικό ψηφίο λιγότερο και η ανάλυση προόδου θα έχει όπως στον επόμενο πίνακα: 2 Στους αρχαίους η μονάδα δεν εθεωρείτο «διαιρέτης» κανενός αριθμού. Πανεπιστήμιο Κρήτης Τμ. Επιστήμης υπολογιστών «Αλγόριθμοι & πολυπλοκότητα, ΗΥ380 Γεώργιος Φ.Δ. Γεωργακόπουλος, /5/204, 4/0

5 ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ ΕΞΗΓΗΣΕΙΣ (ΔΙΑΙΡΕΤΙΚΗ ΕΚΔΟΧΗ) Δείκτης προόδου Το σύνολο των δυαδικών ψηφίων των α και β (βαίνει μειούμενο). Τόποι προόδου Η πράξη του υπολοίπου α α mod β. Εύρος προόδου Ως το 2 με αρχική τιμή το σύνολο των δυφίων των α και β. Αποτελεσματικότητα Ναι σε κάθε βήμα έχουμε μείωση του δείκτη κατά τουλάχιστον. Δραστικότητα Καλή: το βήμα μείωσης είναι ίσως μόλις, αλλά η αρχική τιμή είναι πολύ μικρή (μόλις logα + logβ ). Γνησιότητα Ναι δεν έχουμε «οπισθοδρομήσεις» ή «στασιμότητα». «Απλοποίηση πολυγωνικής γραμμής»: ένα γεωμετρικό παράδειγμα. Θέλουμε να φτιάξουμε μια απλή πολυγωνική γραμμή με Ν σημεία, όπου «απλή» σημαίνει ότι δεν τέμνει τον εαυτό της. Με το «χέρι» θα ήταν εύκολο, αλλά πώς θα το κάναμε αλγοριθμικά; Είναι εύκολο να φτιάξουμε Ν τυχαία σημεία στο επίπεδο, αλλά πώς θα τα συνδέσουμε; Αν τα πάρουμε σε μια τυχαία σειρά Ρ[], Ρ[2],..., Ρ[Ν] και συνδέσουμε ευθύγραμμα το Ρ[κ] με το Ρ[κ+], (κυκλικά), θα έχουμε μια πολυγωνική γραμμή, ίσως όμως όχι απλή. Λ.χ. μια πλευρά ΑΓ ίσως να τέμνει μιαν άλλη ΒΔ (βλ. σχήμα (i)). Εδώ η γεωμετρία μας προσφέρει ένα απλό τέχνασμα: αφού η πολυγωνική γραμμή περνάει «κυκλικά» από όλα τα σημεία, θα πρέπει να συνδέει το Β με το Γ, και το Δ με το Α (βλ. σχήμα (i), ή χ.α.γ. τα Β, Γ και Α, Δ). Αυτό μας δίνει την δυνατότητα να αφαιρέσουμε τις πλευρές ΑΓ και ΒΔ, και να προσθέσουμε τις πλευρές ΑΒ και ΓΔ, (βλ. σχήμα (ii)), κρατώντας έτσι τα σημεία επί μίας πολυγωνικής γραμμής και απαλείφοντας την τομή των ΑΓ, ΒΔ κάτι που φαίνεται ως στοιχείο προόδου. Α Β... Α Β... Α Β Α Β Μ Δ Γ Δ Γ Δ Δ Γ ( i ) ( ii ) ( iii ) ( iv ) Γ Αλλά αυτό δεν είναι αρκετό: η εναλλαγή που κάνουμε ίσως προκαλέσει σημεία τομής που δεν υπήρχαν προηγουμένως, όπως υποδεικνύεται στο σχήμα (iii). Η πρόοδος δεν είναι όπως θα θέλαμε... Εδώ η γεωμετρία έχει πάλι τον κρίσιμο λόγο: σε κάθε τετράπλευρο ΑΒΓΔ με δύο τεμνόμενες διαγωνίους ΑΓ και ΒΔ, το μήκος των διαγωνίων είναι μικρότερο από το μήκος δύο απέναντι πλευρών, (όπως εδώ οι ΑΒ και ΓΔ): ( ΑΓ + ΒΔ ) > ( ΑΒ + ΓΔ ) ( ) Ο λόγος είναι ότι, εάν οι διαγώνιοι τέμνονται στο Μ, στα δύο τρίγωνα ΜΑΒ και ΜΓΔ (βλ. σχήμα (iv)) έχουμε δύο τριγωνικές ανισότητες, τις οποίες εάν αθροίσουμε παίρνουμε την ( ), ( ΜΑ + ΜΒ ) > ΑΒ, και ( ΜΓ + ΜΔ ) > ΓΔ. Επομένως έχουμε πράγματι πρόοδο: αυτό που μειώνεται διαρκώς είναι το μήκος της εκάστοτε πολυγωνικής γραμμής... Δίνουμε όλες τις υπόλοιπες λεπτομέρειες στο παρακάτω πινακάκι: ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ Δείκτης προόδου Τόποι προόδου Εύρος προόδου ΕΞΗΓΗΣΕΙΣ Το μήκος της πολυγωνικής γραμμής μειούμενο. Στο σημείο εναλλαγής δύο πλευρών. Το ελάχιστο δυνατόν μήκος, δηλαδή Ν φορές η απόσταση, L = min{ XY : όπου XY ζεύγος σημείων }, αρχίζοντας από το μέγιστο δυνατόν μήκος, δηλαδή Ν φορές τη μέγιστη απόσταση, L = max{ XY : όπου XY ζεύγος σημείων }. Πανεπιστήμιο Κρήτης Τμ. Επιστήμης υπολογιστών «Αλγόριθμοι & πολυπλοκότητα, ΗΥ380 Γεώργιος Φ.Δ. Γεωργακόπουλος, /5/204, 5/0

6 Αποτελεσματικότητα Δραστικότητα Γνησιότητα Ναι κάθε βήμα προόδου είναι τουλάχιστον όσο η εξής ελάχιστη ποσότητα: min{ ( ΑΓ + ΒΔ ) ( ΑΒ + ΓΔ ): όπου ΑΓ τέμνει ΒΔ }, η οποία υπάρχει και είναι θετική αφού αναφερόμαστε σε πεπερασμένο πλήθος σημείων. Μικρή και εξαρτώμενη από τα εκάστοτε δεδομένα. Ναι δεν έχουμε «οπισθοδρομήσεις» ή «στασιμότητα» (όσο έχουμε γνήσια και όχι εκφυλισμένα τρίγωνα / τετράπλευρα). «Αποκοπή»: ένα γραφοθεωρητικό παράδειγμα. Έστω ότι εμείς και ένας συνεργάτης μας ελέγχουμε ένα δίκτυο μονόδρομων συνδέσεων από μια αφετηρία α σε ένα τερματισμό τ. Ο σκοπός μας είναι να αποκόψουμε την αφετηρία από τον προορισμό. Εμείς ελέγχουμε εάν υπάρχει υπάρχει μια σύνδεση από το α στο τ, και ο συνεργάτης μας αναλαμβάνει να αντιστρέψει την κατεύθυνση μιας ακμής (όποια τύχει και μπορέσει...) επ αυτής της διαδρομής ώστε να αχρηστεύσει αυτή την διαδρομή. Είναι αυτή η συνεργασία «προοδευτική»; Θα τα καταφέρει να αποκόψει την αφετηρία από τον τερματισμό; Και πόσο «γρήγορα»; α τ α τ α τ 2 διαλέγουμε α τ αντιστρέφει (, 2 ) 2 διαλέγουμε α τ αντιστρέφει (2, ) διαλέγουμε α τ αντιστρέφει (, 2 ), κοκ... 2 Το πρόβλημα είναι ότι ο συνεργάτης μας «κάνει ότι (εκείνος) μπορεί» και αυτό μπορεί να μην είναι αρκετό. Στο παραπάνω σχήμα εάν ο συνεργάτης μας δεν μπορεί παρά να αντιστρέφει κάθε φορά την ακμή (, 2), (αλλά και εμείς επιμένουμε να χρησιμοποιούμε αυτήν...) τότε δεν θα δούμε πρόοδο ποτέ! Συναντάμε εδώ ένα σαφώς μη τετριμμένο παράδειγμα όπου η ανάλυση προόδου λειτουργεί και οδηγός της σχεδίασης του αλγορίθμου ώστε να παρουσιάζει ουσιώδη πρόοδο. η πρόοδος δεν είναι μονότονη αλλά μπορεί να παρουσιάζει και στασιμότητα. Η ιδέα είναι να χρησιμοποιήσουμε μια διαδρομή σύνδεσης της α με τον τ, τέτοια ώστε κάθε ακμή αυτής να είναι κρίσιμη, ώστε οποιαδήποτε ακμή και εάν καταφέρει ο συνεργάτης μας τελικά να αντιστρέψει, κάποια «ζημιά» να έχει επέλθει στην συνδεσιμότητα των α και τ. Και μια τέτοια η διαδρομή είναι η βραχύτερη διαδρομή α β, δηλαδή αυτή με τις λιγότερες ακμές: σε αυτήν την διαδρομή κάθε ακμή είναι (σχετικά) κρίσιμη διότι δεν μπορεί να αντικατασταθεί χωρίς βλάβη της βραχύτητας της διαδρομής. Ας δούμε πως βρίσκουμε την βραχύτερη διαδρομή από το α στο τ. Διαδικασία Επίπεδα(G: ένα γράφημα συνδέσεων, α,τ: αφετηρία/τερματισμός) { Για όλους τους κόμβους x του G { Επίπεδο(x) 0 } k 0 Επαναλαμβάνουμε Για κάθε κόμβο u στο k-στό επίπεδο { Εάν υπάρχει σύνδεση (u,v) και Επίπεδο(v)=0 τότε { Επίπεδο(v)= Επίπεδο(u)+ } // δηλαδή (k+) } k k+ ΈωςΌτου (Επίπεδο(τ) 0) } Η αξία της παραπάνω κατασκευής είναι ότι δεν υπάρχουν ακμές που να οδηγούν από ένα επίπεδο κ σε ένα επίπεδο λ > κ+ δηλαδή οι ακμές «προς τα δεξιά» (στο επόμενο σχήμα) δεν υπερπηδούν ποτέ επίπεδο, διότι αν υπήρχε μια τέτοια ακμή (u, v), ο κόμβος v θα είχε τοποθετηθεί λόγω u στο κ+ Πανεπιστήμιο Κρήτης Τμ. Επιστήμης υπολογιστών «Αλγόριθμοι & πολυπλοκότητα, ΗΥ380 Γεώργιος Φ.Δ. Γεωργακόπουλος, /5/204, 6/0

7 επίπεδο, και όχι σε μετέπειτα επίπεδο. Άρα η βραχύτερη απόσταση ανάμεσα σε κόμβο στο κ επίπεδο προς κόμβο στο λ κ επίπεδο είναι τουλάχιστον (λ κ). α τ 5 Αναφερόμενοι λοιπόν στο σχήμα, έστω ότι διαλέγουμε την βραχύτερη διαδρομή μήκους μ = 4 ακμών, από α στο τ, μέσω 2, 5, και 7, και ότι ο συνεργάτης μας καταφέρνει να αντιστρέψει την ακμή e = (2, 5). Αυτό που πρέπει να παρατηρήσουμε είναι ότι κανένας κόμβος δεν θα έλθει πλησιέστερα στο α εξαιτία της αντιστροφής της ακμής e (εδώ (2, 5)): οι αριθμοί των επιπέδων θα μείνουν ίδιοι ή θα αυξηθούν. Έτσι η ακμή (5, 2) μετά την αντιστροφή της δεν θα μπορέσει να χρησιμεύσει σε μια βραχύτερη διαδρομή παρά μόνον εάν υπάρχει ή δημιουργηθεί μια διαδρομή από το α στο 5, και, μέσω της (5, 2), από το 2 στο τ. Αυτή η διαδρομή όμως θα έχει μήκος μ = μ+2, ή περισσότερο (εάν οι αποστάσεις των επιπέδων έχουν «χειροτερέψει» που είναι και το μόνο που μπορεί να συμβεί). Επομένως εάν μια ακμή e αντιστραφεί, αναφανεί επί της βραχύτερης διαδρομής και αντιστραφεί εκ νέου, τότε η βραχύτερη διαδρομή έχει καταστεί κατά τουλάχιστον +2 ακμές μεγαλύτερη από εκείνην της προηγούμενης χρήσης της e. Μια τέτοια επιμήκυνση δεν μπορεί όμως να συμβεί πάνω από Ν/2 φορές, όπου Ν ο αριθμός των κόμβων: η βραχύτερη σύνδεση α με τ απαιτεί το πολύ Ν κόμβους, εκτός εάν οι κόμβοι α και τ έχουν αποσυνδεθεί αλλά τότε θα έχουμε επιτύχει τον σκοπό μας. Ακολουθεί η συνοπτική περιγραφή της κατάστασης. ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ ΕΞΗΓΗΣΕΙΣ Δείκτης προόδου Το μήκος της ελάχιστης διαδρομής γ: α τ. Τόποι προόδου Η αντιστροφή μιας ακμής που ανήκει στη βραχύτερης διαδρομής γ. Φράγμα προόδου Το πολύ Ν (το πλήθος των κόμβων). Αποτελεσματικότητα Όταν αντιστρέφουμε ξανά μια ακμή e το μήκος της νέας βραχύτερης διαδρομής γ, δεν μειώνεται και μάλιστα αυξάνεται κατά +2, εφόσον η γ τύχει να χρησιμοποιεί αυτή την ακμή e. Μια τέτοια αύξηση μπορεί να συμβεί το πολύ Ν/2 φορές. Η επόμενη όμως βραχύτερη διαδρομή γ ίσως να μην χρησιμοποιεί την e οπότε το μήκος της ίσως μείνει στάσιμο και δεν αυξηθεί. Δεν είναι όμως δυνατόν να αποφεύγουμε διαρκώς διαφορετικές ακμές αυτές είναι το πολύ Μ = Ο(Ν 2 ). Επομένως μετά από το πολύ Μ στάσιμα «βήματα», στη βραχύτερη διαδρομή, κάποια ακμή θα επανααντιστραφεί, και η βραχύτερη διαδρομή (θα έχει) αυξηθεί κατά +2. Δηλαδή μετά από το πολύ Μ Ν /2 επαναλήψεις συνολικά, δεν θα μπορούμε να έχουμε άλλη «πρόοδο». Δραστικότητα (χωρίς σχόλιο) Γνησιότητα Το μήκος της βραχύτερης διαδρομής μπορεί να παρουσιάσει φάσεις στασιμότητας, αλλά κάθε μία από αυτές δεν μπορεί να παραμείνει επ αόριστον, αλλά μόνον Μ το πολύ φορές. Πανεπιστήμιο Κρήτης Τμ. Επιστήμης υπολογιστών «Αλγόριθμοι & πολυπλοκότητα, ΗΥ380 Γεώργιος Φ.Δ. Γεωργακόπουλος, /5/204, 7/0

8 Ακρότητες... Δεν είναι όλες οι περιπτώσεις τόσο εύκολες τρόπος του λέγειν όσο οι παραπάνω. Οι αλγόριθμοι βασλεύουν στην χώρα των εκπλήξεων, και σε πολλές περιπτώσεις η πρόοδος (ακόμα και εάν υπάρχει) κρύβεται με δυστροπία. Δίνουμε λίγα παραδείγματα, για «εγκυκλοπαιδικούς» λόγους:...πρώτος παράγοντας. Έχουμε ένα φυσικό αριθμό Ν και θέλουμε να βρούμε έναν πρώτο αριθμό p μεγαλύτερο από το Ν. Η αναζήτηση είναι απλή: θέτουμε p (N+), και ελέγχουμε την πρώτευση του p. Αν είναι πρώτος ΟΚ, αλλιώς θέτουμε p p+ και συνεχίζουμε. Η πρόοδος είναι σαφής, και η επιτυχία βέβαιη, αφού γνωρίζουμε ότι υπάρχουν άπειροι πρώτοι αριθμοί, άρα κάποιος θα βρεθεί μεγαλύτερος από το Ν όσο μεγάλο και εάν είναι αυτό. Αλλά για πόσο θα ψάχνουμε, πόσο «δραστική» είναι αυτή η βήμαβήμα αναζήτησή μας; Το θεώρημα περί απείρου πλήθους πρώτων δεν μας λέει παρά ότι το εύρος της αναζήτησής μας δεν είναι το [Ν+.. ] αλλά το [Ν+.. ). Την απάντηση δίνει ένα σχετικά βαθύ θεώρημα που λέει: «για κάθε m υπάρχει ένας τουλάχιστον πρώτος αριθμός ανάμεσα στο m και το 2m.» και άρα δεν θα χρειαστούμε περισσότερα από Ν βήματα. Δείτε στο διαδίκτυο τα κλειδόλεκτα Bertrand s postulate, Chebyshev s theorem για την ιστορία αυτού του θεωρήματος....πολυγωνικές αναστροφές. Μας δίδονται Ν σημεία στο επίπεδο, συνδεδεμένα με μια απλή πολυγωνική γραμμή. Αυτή ίσως να μην είναι κυρτή. Σχεδιάζουμε το κυρτό περίβλημα, και εάν βρούμε μια πλευρά του περιβλήματος (λ.χ. την ΧΥ, στο σχήμα), που σχηματίζει ένα «εσωτερικό θύλακα» τότε αναστρέφουμε την πολυγωνική γραμμή από Χ έως το Υ, καθιστώντας πλέον αυτό τον θύλακα εξωτερικό. Προφανώς κάνουμε έτσι κάποιου είδους πρόοδο προς τον σχηματισμό ενός κυρτού πολυγώνου. Αν μη τί άλλο το εμβαδόν του εκάστοτε πολυγώνου που σχηματίζουμε αυξάνεται γνήσια. Νέα σημεία όμως δημιουργούνται διαρκώς και αυτή η αύξηση ίσως να εκφυλίζεται σε τιμές που τείνουν στο μηδέν. Θα τελειώσουμε αυτές τις «αναστροφές» σε πεπερασμένο πλήθος βημάτων; X Y Δείτε στο διαδίκτυο τα κλειδόλεκτο Erdös Nagy theorem για τις περιπέτειες αυτού του αλγορίθμου, και για το πόσα (πολλά) χρόνια πέρασαν μέχρι η ορθή απάντηση (ΝΑΙ) να τεκμηριωθεί πλήρως....εικασία του Collatz. Η εξής περίπτωση μένει αναπάντητη εδώ και πολλές 0ετίες (...) παρά την απλοϊκή μορφή της: Συνάρτηση Collatz(N: φυσικός): φυσικός { k 0 Εφόσον (Ν>) { Περίπτωση (Ν mod 2) { 0: Ν Ν δια 2 : Ν 3Ν+ } k k+ } } Collatz k _ _ } Υπάρχει φραγμένη πρόοδος στον παραπάνω κώδικα τερματίζει δηλαδή για οποιοδήποτε Ν; Κανείς δεν γνωρίζει... Δείτε στο διαδίκτυο το κλειδόλεκτο Collatz conjecture για πληροφορίες σχετικά με αυτή την περιπέτεια. Πανεπιστήμιο Κρήτης Τμ. Επιστήμης υπολογιστών «Αλγόριθμοι & πολυπλοκότητα, ΗΥ380 Γεώργιος Φ.Δ. Γεωργακόπουλος, /5/204, 8/0

9 Προς ΕΞΑΣΚΗΣΗ Βασιζόμενοι στις προηγούμενες εξηγήσεις θα πρέπει να είστε σε θέση να λύσετε τα παρακάτω προβλήματα. Δώσατε γραπτώς 2 από αυτά με όλες τις απαραίτητες εξηγήσεις.. Δίδεται ένα δυαδικό δένδρο «διχοτομικής αναζήτησης» δηλαδή τέτοιο ώστε για κάθε κόμβο χ τα στοιχεία στο αριστερό υπόδενδρο του χ (το Α(χ)) να είναι μικρότερα του χ, και εκείνα στο δεξιό υπόδενδρο (το Δ(χ)) να είναι μεγαλύτερα του χ. Αναζητούμε ένα στοιχείο σ στο υπόδενδρο του κόμβου χ (αρχίζοντας από τον ριζικό κόμβο ρ) ως εξής: εάν σ=χ τότε τέλος αλλιώς εάν σ < χ το αναζητούμε στο αριστερό υπόδενδρο Α(χ), αλλιώς εάν σ > χ το αναζητούμε στο δεξιό υπόδενδρο Δ(χ). Τί προοδεύει σε αυτή τη διαδικασία; Ποιό είναι το όριο προόδου; Εάν για κάθε χ ίσχυε Α(χ) ½ Δ(χ), και Δ(χ) ½ Α(χ) πόσο πιο ταχεία πρόοδο θα είχαμε; 2. Χωρίζουμε τους κόμβους από ένα αμφιδρομικό γράφημα G, σε δύο μέρη, το αριστερό Α και το δεξιό Δ. Εξετάζουμε κάθε κόμβο στο Α, και εάν δούμε ότι συνδέεται με κ κόμβους στο Α και λ κόμβους στο Β, όπου κ > λ, τότε τον μετακινούμε από το Α στο Δ. Το συμμετρικό ανάλογο κάνουμε στο Δ: εξετάζουμε κάθε κόμβο στο Δ, και εάν δούμε ότι συνδέεται με κ κόμβους στο Δ και λ κόμβους στο Α, όπου κ > λ, τότε τον μετακινούμε από το Δ στο Α. Προοδεύει αυτή η διαδικασία; Πώς και πόσο; 3. Έχουμε δύο δυαδικά δένδρα Τ και Τ2 με το ίδιο πλήθος κόμβων Ν. Επιτρέπεται να περιστρέφουμε τους κόμβους σε αυτά, όπως στο παρακάτω σχήμα: v u u C A v A B B C Πώς μπορούμε με τέτοιες περιστροφές εντός του Τ να το μετασχηματίσουμε στο Τ2; Ποιά «προοδευτική» διαδικασία μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε. Μπορούμε να το κάνουμε σε Ο(Ν) βήματα; Εξηγείστε την απάντησή σας. 4. Ποιά πρόοδος παρατηρείται στον παρακάτω κώδικα; Πώς θα την περιγράφατε με βάση το σχήμα περιγραφής που δώσαμε στα προηγούμενα; Επεξεργασία(Α[..Ν]: πίνακας Ν αριθμών) { Τέλος ΨΕΥΔΕΣ Εφόσον (όχι Τέλος) { Τέλος ΑΛΗΘΕΣ Για κ = έως Ν { Εάν Α[κ]>Α[κ+] τότε { Α[κ] Α[κ+} // εναλλαγή Τέλος ΨΕΥΔΕΣ } } } } 5. Πάνω στην «ευθεία» των ακεραίων τοποθετούμε στις θέσεις 0 έως Ν από ένα κέρμα. Επιτρέπεται να μετακινούμε τα κέρματα με τους εξής και μόνον τρόπους: ένα κέρμα από τη θέση κ μπορεί να μετακινηθεί στην κ, εφόσον αυτή είναι ελεύθερη (δηλαδη δεν φέρει κανένα κέρμα). ένα κέρμα από την θέση κ μπορεί να μετακινηθεί στην κ+2, εφόσον, (α) η θέση κ+ φέρει κέρμα, (β) η θέση (κ+2) είναι ελεύθερη, και, (γ) κατά την μετακίνηση του κέρματος από την θέση κ, αφαιρέσουμε το κέρμα από την θέση (κ+) (η κίνηση αυτή θυμίζει τις κινήσεις στο παιγνίδι της «ντάμας»). Πανεπιστήμιο Κρήτης Τμ. Επιστήμης υπολογιστών «Αλγόριθμοι & πολυπλοκότητα, ΗΥ380 Γεώργιος Φ.Δ. Γεωργακόπουλος, /5/204, 9/0

10 Εκτελώντας κινήσεις σύμφωνα με τους παραπάνω κανόνες είναι δυνατόν να μετακινήσουμε κέρματα σε θέσεις και μετά την Ν στή θέση. Σε πόσες το πολύ θέσεις μετά την Ν στή μπορούμε να κινήσουμε ένα κέρμα (ως συνάρτηση του Ν); Δείξατε ότι αυτή η «πρόοδος» είναι φραγμένη! Υπόδειξη: παρατηρείστε την ομοιότητα του άλματος ενός κέρματος προς τα δεξιά, με την ακολουθία Fibonacci, «Φκ + Φκ+ = Φκ+2», δώστε στη θέση κ αξία ίση με Φκ αν φέρει κέρμα, (αλλιώς: = 0), και μετρείστε πόση αξία έχει το «πορτοφόλι» μας. Πανεπιστήμιο Κρήτης Τμ. Επιστήμης υπολογιστών «Αλγόριθμοι & πολυπλοκότητα, ΗΥ380 Γεώργιος Φ.Δ. Γεωργακόπουλος, /5/204, 0/0

Ας υποθέσουμε ότι ο παίκτης Ι διαλέγει πρώτος την τυχαιοποιημένη στρατηγική (x 1, x 2 ), x 1, x2 0,

Ας υποθέσουμε ότι ο παίκτης Ι διαλέγει πρώτος την τυχαιοποιημένη στρατηγική (x 1, x 2 ), x 1, x2 0, Οικονομικό Πανεπιστήμιο Αθηνών Τμήμα Στατιστικής Εισαγωγή στην Επιχειρησιακή Ερευνα Εαρινό Εξάμηνο 2015 Μ. Ζαζάνης Πρόβλημα 1. Να διατυπώσετε το παρακάτω παίγνιο μηδενικού αθροίσματος ως πρόβλημα γραμμικού

Διαβάστε περισσότερα

Αποδεικτικές Διαδικασίες και Μαθηματική Επαγωγή.

Αποδεικτικές Διαδικασίες και Μαθηματική Επαγωγή. Αποδεικτικές Διαδικασίες και Μαθηματική Επαγωγή. Mαθηματικό σύστημα Ένα μαθηματικό σύστημα αποτελείται από αξιώματα, ορισμούς, μη καθορισμένες έννοιες και θεωρήματα. Η Ευκλείδειος γεωμετρία αποτελεί ένα

Διαβάστε περισσότερα

{ i f i == 0 and p > 0

{ i f i == 0 and p > 0 ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ - ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Σχεδίαση και Ανάλυση Αλγορίθμων Διδάσκων: Ε. Μαρκάκης, Φθινοπωρινό εξάμηνο 014-015 Λύσεις 1ης Σειράς Ασκήσεων

Διαβάστε περισσότερα

HY 280. θεμελιακές έννοιες της επιστήμης του υπολογισμού ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ. Γεώργιος Φρ.

HY 280. θεμελιακές έννοιες της επιστήμης του υπολογισμού ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ. Γεώργιος Φρ. HY 280 «ΘΕΩΡΙΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ» θεμελικές έννοιες της επιστήμης του υπολογισμού ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Γεώργιος Φρ. Γεωργκόπουλος μέρος Α Εισγωγή, κι η σική θεωρί των πεπερσμένων

Διαβάστε περισσότερα

«ΔΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ»

«ΔΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ» HY 118α «ΔΙΚΡΙΤ ΜΘΗΜΤΙΚ» ΣΚΗΣΕΙΣ ΠΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΙΣΤΩΝ εώργιος Φρ. εωργακόπουλος ΜΕΡΟΣ (1) ασικά στοιχεία της θεωρίας συνόλων. Π. ΚΡΗΤΗΣ ΤΜ. ΕΠ. ΥΠΟΛΟΙΣΤΩΝ «ΔΙΚΡΙΤ ΜΘΗΜΤΙΚ». Φ. εωργακόπουλος

Διαβάστε περισσότερα

Οι γέφυρες του ποταμού... Pregel (Konigsberg)

Οι γέφυρες του ποταμού... Pregel (Konigsberg) Οι γέφυρες του ποταμού... Pregel (Konigsberg) Β Δ Β Δ Γ Γ Κύκλος του Euler (Euler cycle) είναι κύκλος σε γράφημα Γ που περιέχει κάθε κορυφή του γραφήματος, και κάθε ακμή αυτού ακριβώς μία φορά. Για γράφημα

Διαβάστε περισσότερα

( ) Π. ΚΡΗΤΗΣ, ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΗΥ 380, «ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ & ΠΟΛΥΠΛΟΚΟΤΗΤΑ» Φ 03: ΑΣΥΜΠΤΩΤΙΚΕΣ ΕΚΦΡΑΣΕΙΣ

( ) Π. ΚΡΗΤΗΣ, ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΗΥ 380, «ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ & ΠΟΛΥΠΛΟΚΟΤΗΤΑ» Φ 03: ΑΣΥΜΠΤΩΤΙΚΕΣ ΕΚΦΡΑΣΕΙΣ Π. ΚΡΗΤΗΣ, ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΗΥ 380, «ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ & ΠΟΛΥΠΛΟΚΟΤΗΤΑ» Φ 03: ΑΣΥΜΠΤΩΤΙΚΕΣ ΕΚΦΡΑΣΕΙΣ Ενδιαφερόμαστε μεν για τους αλγορίθμους αλλά εντός ενός συγκεκριμμένου πλαισίου: (α) ως λύσεις προβλημάτων,

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ Γ ΤΑΞΗ

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ Γ ΤΑΞΗ ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Σ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΕΥΤΕΡΑ 12 ΙΟΥΝΙΟΥ 2000 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (ΚΥΚΛΟΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΚΑΙ ΥΠΗΡΕΣΙΩΝ): ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ

Διαβάστε περισσότερα

(13 ο ) ΔΥΝΑΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΙII: «βέλτιστο στατικό ευρετήριο»

(13 ο ) ΔΥΝΑΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΙII: «βέλτιστο στατικό ευρετήριο» (13 ο ) ΔΥΝΑΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΙII: «βέλτιστο στατικό ευρετήριο» Βέλτιστο στατικό «μεροληπτικό» ευρετήριο «Ευρετήρια» ονομάζουμε δομές οι οποίες μας διευκολύνουν να εντοπίζουμε τα καταχωρισμένα στοιχεία

Διαβάστε περισσότερα

(3 ο ) Εξαντλητική αναζήτηση I: μεταθέσεις & υποσύνολα (4 o ) Εξαντλητική αναζήτηση II: συνδυασμοί, διατάξεις & διαμερίσεις

(3 ο ) Εξαντλητική αναζήτηση I: μεταθέσεις & υποσύνολα (4 o ) Εξαντλητική αναζήτηση II: συνδυασμοί, διατάξεις & διαμερίσεις (3 ο ) Εξαντλητική αναζήτηση I: μεταθέσεις & υποσύνολα (4 o ) Εξαντλητική αναζήτηση II: συνδυασμοί, διατάξεις & διαμερίσεις Είναι πράγματι τα «προβλήματα» τόσο δύσκολα; Είδαμε (σύντομα) στα προηγούμενα

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ. Εαρινό Εξάμηνο

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ. Εαρινό Εξάμηνο ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΕΠΛ231: Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι Εαρινό Εξάμηνο 2017-2018 Φροντιστήριο 3 - Λύσεις 1. Εστω ο πίνακας Α = [12, 23, 1, 5, 7, 19, 2, 14]. i. Να δώσετε την κατάσταση

Διαβάστε περισσότερα

Η ανισότητα α β α±β α + β με α, β C και η χρήση της στην εύρεση ακροτάτων.

Η ανισότητα α β α±β α + β με α, β C και η χρήση της στην εύρεση ακροτάτων. A A N A B P Y T A Άρθρο στους Μιγαδικούς Αριθμούς 9 5 0 Η ανισότητα α β α±β α + β με α, β C και η χρήση της στην εύρεση ακροτάτων. Δρ. Νίκος Σωτηρόπουλος, Μαθηματικός Εισαγωγή Το άρθρο αυτό γράφεται με

Διαβάστε περισσότερα

(20 ο ) ΣΤΑΔΙΑΚΕΣ ΚΑΤΑΣΚΕΥΕΣ Ι: ΑΠΛΗΣΤΟΙ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ

(20 ο ) ΣΤΑΔΙΑΚΕΣ ΚΑΤΑΣΚΕΥΕΣ Ι: ΑΠΛΗΣΤΟΙ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ (20 ο ) ΣΤΑΔΙΑΚΕΣ ΚΑΤΑΣΚΕΥΕΣ Ι: ΑΠΛΗΣΤΟΙ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ Σταδιακές κατακευές: από μερικά αποτελέματα ε περιότερα. Το ημείο όπου έχουμε φθάει προφέρεται για μια μικρή ανακόπηη. Το κεπτικό μας ήταν εξ αρχής ότι

Διαβάστε περισσότερα

(7 ο ) ΔΙΑΙΡΕΙ & ΒΑΣΙΛΕΥΕ Ι: «ταξινόμηση» (8 ο ) ΔΙΑΙΡΕΙ & ΒΑΣΙΛΕΥΕ ΙΙ: «κυρτό περίβλημα»

(7 ο ) ΔΙΑΙΡΕΙ & ΒΑΣΙΛΕΥΕ Ι: «ταξινόμηση» (8 ο ) ΔΙΑΙΡΕΙ & ΒΑΣΙΛΕΥΕ ΙΙ: «κυρτό περίβλημα» (7 ο ) ΔΙΑΙΡΕΙ & ΒΑΣΙΛΕΥΕ Ι: «ταξινόμηση» (8 ο ) ΔΙΑΙΡΕΙ & ΒΑΣΙΛΕΥΕ ΙΙ: «κυρτό περίβλημα» Σύντομα προλεγόμενα: πού να ψάξουμε για δραστικούς αλγορίθμους; Θα αρχίσουμε από αυτό το κεφάλαιο την ξενάγησή

Διαβάστε περισσότερα

Αναγνώριση Προτύπων. Σήμερα! Λόγος Πιθανοφάνειας Πιθανότητα Λάθους Κόστος Ρίσκο Bayes Ελάχιστη πιθανότητα λάθους για πολλές κλάσεις

Αναγνώριση Προτύπων. Σήμερα! Λόγος Πιθανοφάνειας Πιθανότητα Λάθους Κόστος Ρίσκο Bayes Ελάχιστη πιθανότητα λάθους για πολλές κλάσεις Αναγνώριση Προτύπων Σήμερα! Λόγος Πιθανοφάνειας Πιθανότητα Λάθους Πιθανότητα Λάθους Κόστος Ρίσκο Bayes Ελάχιστη πιθανότητα λάθους για πολλές κλάσεις 1 Λόγος Πιθανοφάνειας Ας υποθέσουμε ότι θέλουμε να ταξινομήσουμε

Διαβάστε περισσότερα

21/11/2005 Διακριτά Μαθηματικά. Γραφήματα ΒΑΣΙΚΗ ΟΡΟΛΟΓΙΑ : ΜΟΝΟΠΑΤΙΑ ΚΑΙ ΚΥΚΛΟΙ Δ Ι. Γεώργιος Βούρος Πανεπιστήμιο Αιγαίου

21/11/2005 Διακριτά Μαθηματικά. Γραφήματα ΒΑΣΙΚΗ ΟΡΟΛΟΓΙΑ : ΜΟΝΟΠΑΤΙΑ ΚΑΙ ΚΥΚΛΟΙ Δ Ι. Γεώργιος Βούρος Πανεπιστήμιο Αιγαίου Γραφήματα ΒΑΣΙΚΗ ΟΡΟΛΟΓΙΑ : ΜΟΝΟΠΑΤΙΑ ΚΑΙ ΚΥΚΛΟΙ A Ε B Ζ Η Γ K Θ Δ Ι Ορισμός Ένα (μη κατευθυνόμενο) γράφημα (non directed graph) Γ, είναι μία δυάδα από σύνολα Ε και V και συμβολίζεται με Γ=(Ε,V). Το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγικά. 1.1 Η σ-αλγεβρα ως πληροφορία

Εισαγωγικά. 1.1 Η σ-αλγεβρα ως πληροφορία 1 Εισαγωγικά 1.1 Η σ-αλγεβρα ως πληροφορία Στη θεωρία μέτρου, όταν δουλεύει κανείς σε έναν χώρο X, συνήθως έχει διαλέξει μια αρκετά μεγάλη σ-άλγεβρα στον X έτσι ώστε όλα τα σύνολα που εμφανίζονται να ανήκουν

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ. Εαρινό Εξάμηνο

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ. Εαρινό Εξάμηνο ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΕΠΛ31: Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι Εαρινό Εξάμηνο 017-018 Φροντιστήριο 5 1. Δικαιολογήστε όλες τις απαντήσεις σας. i. Δώστε τις 3 βασικές ιδιότητες ενός AVL δένδρου.

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗ ΟΜΑΛΗ ΚΙΝΗΣΗ ΤΡΙΩΡΗ ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ A ΛΥΚΕΙΟΥ. Ονοματεπώνυμο Τμήμα

ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗ ΟΜΑΛΗ ΚΙΝΗΣΗ ΤΡΙΩΡΗ ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ A ΛΥΚΕΙΟΥ. Ονοματεπώνυμο Τμήμα Σελίδα 1 ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 2014 2015 ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗ ΟΜΑΛΗ ΚΙΝΗΣΗ ΤΡΙΩΡΗ ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ A ΛΥΚΕΙΟΥ Ονοματεπώνυμο Τμήμα ΘΕΜΑ Α Οδηγία: Να γράψετε στην κόλλα σας τον αριθμό καθεμιάς από τις παρακάτω ερωτήσεις

Διαβάστε περισσότερα

Το κράτος είναι φτιαγμένο για τον άνθρωπο και όχι ο άνθρωπος για το κράτος. A. Einstein Πηγή:

Το κράτος είναι φτιαγμένο για τον άνθρωπο και όχι ο άνθρωπος για το κράτος. A. Einstein Πηγή: Ας πούμε και κάτι για τις δύσκολες μέρες που έρχονται Το κράτος είναι φτιαγμένο για τον άνθρωπο και όχι ο άνθρωπος για το κράτος. A. Einstein 1879-1955 Πηγή: http://www.cognosco.gr/gnwmika/ 1 ΚΥΚΛΙΚΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ ΜΑΘΗΜΑ: ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ ΜΑΘΗΜΑ: ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑ: ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ Την ευθύνη του εκπαιδευτικού υλικού έχει ο επιστημονικός συνεργάτης των Πανεπιστημιακών Φροντιστηρίων «ΚOΛΛΙΝΤΖΑ», οικονομολόγος συγγραφέας θεμάτων ΑΣΕΠ, Παναγιώτης Βεργούρος.

Διαβάστε περισσότερα

5.1 Μετρήσιμες συναρτήσεις

5.1 Μετρήσιμες συναρτήσεις 5 Μετρήσιμες συναρτήσεις 5.1 Μετρήσιμες συναρτήσεις Ορισμός 5.1. Εστω (Ω, F ), (E, E) μετρήσιμοι χώροι. Μια συνάρτηση f : Ω E λέγεται F /Eμετρήσιμη αν f 1 (A) F για κάθε A E. (5.1) Συμβολίζουμε το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

Αναγνώριση Προτύπων. Σημερινό Μάθημα

Αναγνώριση Προτύπων. Σημερινό Μάθημα Αναγνώριση Προτύπων Σημερινό Μάθημα Εκτίμηση Πυκνότητας με k NN k NN vs Bayes classifier k NN vs Bayes classifier Ο κανόνας ταξινόμησης του πλησιέστερου γείτονα (k NN) lazy αλγόριθμοι O k NN ως χαλαρός

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΟ ΙΑΤΡΕΙΟ. Με την πιστοποίηση του αποκτά πρόσβαση στο περιβάλλον του ιατρού που παρέχει η εφαρμογή.

ΣΤΟ ΙΑΤΡΕΙΟ. Με την πιστοποίηση του αποκτά πρόσβαση στο περιβάλλον του ιατρού που παρέχει η εφαρμογή. ΣΤΟ ΙΑΤΡΕΙΟ Ο ιατρός αφού διαπιστώσει εάν το πρόσωπο που προσέρχεται για εξέταση είναι το ίδιο με αυτό που εικονίζεται στο βιβλιάριο υγείας και ελέγξει ότι είναι ασφαλιστικά ενήμερο (όπως ακριβώς γίνεται

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΚΡΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ Η ΚΑΤΑΝΑΛΩΤΙΚΗ ΑΠΟΦΑΣΗ. Άσκηση με θέμα τη μεγιστοποίηση της χρησιμότητας του καταναλωτή

ΜΙΚΡΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ Η ΚΑΤΑΝΑΛΩΤΙΚΗ ΑΠΟΦΑΣΗ. Άσκηση με θέμα τη μεγιστοποίηση της χρησιμότητας του καταναλωτή ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΙΟΝΙΩΝ ΝΗΣΩΝ ΣΧΟΛΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ: ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ 07 08 ΛΕΥΚΑΔΑ ΜΙΚΡΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ Η ΚΑΤΑΝΑΛΩΤΙΚΗ

Διαβάστε περισσότερα

Δ Ι Α Κ Ρ Ι Τ Α Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α. 1η σειρά ασκήσεων

Δ Ι Α Κ Ρ Ι Τ Α Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α. 1η σειρά ασκήσεων Δ Ι Α Κ Ρ Ι Τ Α Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α 1η σειρά ασκήσεων Ονοματεπώνυμο: Αριθμός μητρώου: Ημερομηνία παράδοσης: Μέχρι την Τρίτη 2 Απριλίου 2019 Σημειώστε τις ασκήσεις για τις οποίες έχετε παραδώσει λύση: 1

Διαβάστε περισσότερα

Εξαναγκασμένες ταλαντώσεις, Ιδιοτιμές με πολλαπλότητα, Εκθετικά πινάκων. 9 Απριλίου 2013, Βόλος

Εξαναγκασμένες ταλαντώσεις, Ιδιοτιμές με πολλαπλότητα, Εκθετικά πινάκων. 9 Απριλίου 2013, Βόλος ιαφορικές Εξισώσεις Εξαναγκασμένες ταλαντώσεις, Ιδιοτιμές με πολλαπλότητα, Ατελείς ιδιοτιμές Εκθετικά πινάκων Μανόλης Βάβαλης Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Τηλεπικοινωνιών και ικτύων Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας 9 Απριλίου

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΟ ΦΑΡΜΑΚΕΙΟ. Με την πιστοποίηση του έχει πρόσβαση στο περιβάλλον του φαρμακείου που παρέχει η εφαρμογή.

ΣΤΟ ΦΑΡΜΑΚΕΙΟ. Με την πιστοποίηση του έχει πρόσβαση στο περιβάλλον του φαρμακείου που παρέχει η εφαρμογή. ΣΤΟ ΦΑΡΜΑΚΕΙΟ Ο ασθενής έχοντας μαζί του το βιβλιάριο υγείας του και την τυπωμένη συνταγή από τον ιατρό, η οποία αναγράφει τον μοναδικό κωδικό της, πάει στο φαρμακείο. Το φαρμακείο αφού ταυτοποιήσει το

Διαβάστε περισσότερα

(19 ο ) ΚΛΑΣΜΑΤΙΚΗ ΑΝΑΓΩΓΗ IΙΙ: «εντοπισμός σημείου σε τριγωνοποίηση»

(19 ο ) ΚΛΑΣΜΑΤΙΚΗ ΑΝΑΓΩΓΗ IΙΙ: «εντοπισμός σημείου σε τριγωνοποίηση» λγόριθμοι & πολυπλοκότητα» σημειώσεις ακ. έτους 2010 2011 (19 ο ) ΛΣΜΤΙ ΝΩ IΙΙ: «εντοπισμός σημείου σε τριγωνοποίηση» Το πρόβλημα του «εντοπισμού» σημείου σε διαμέριση. Σε αυτό το κεφάλαιο θα δούμε ένα

Διαβάστε περισσότερα

Αναλυτικές ιδιότητες

Αναλυτικές ιδιότητες 8 Αναλυτικές ιδιότητες 8. Βαθμός συνέχειας* Ξέρουμε ότι η κίνηση Brown είναι συνεχής και θα δείξουμε αργότερα ότι είναι πουθενά διαφορίσιμη. Πόσο ομαλή είναι λοιπόν; Μια ασθενέστερη μορφή ομαλότητας είναι

Διαβάστε περισσότερα

( ιμερείς) ΙΜΕΛΕΙΣ ΣΧΕΣΕΙΣ Α Β «απεικονίσεις»

( ιμερείς) ΙΜΕΛΕΙΣ ΣΧΕΣΕΙΣ Α Β «απεικονίσεις» ( ιμερείς) ΙΜΕΛΕΙΣ ΣΧΕΣΕΙΣ Α Β «πεικονίσεις» 1. ΣΧΕΣΕΙΣ: το σκεπτικό κι ο ορισμός. Τ σύνολ νπριστούν ιδιότητες μεμονωμένων στοιχείων: δεδομένου συνόλου S, κι ενός στοιχείου σ, είνι δυντόν είτε σ S είτε

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ. Εαρινό Εξάμηνο

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ. Εαρινό Εξάμηνο ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΕΠΛ231: Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι Εαρινό Εξάμηνο 2017-2018 Φροντιστήριο 3 1. Εστω η στοίβα S και ο παρακάτω αλγόριθμος επεξεργασίας της. Να καταγράψετε την κατάσταση

Διαβάστε περισσότερα

Επίλυση ειδικών μορφών ΣΔΕ

Επίλυση ειδικών μορφών ΣΔΕ 15 Επίλυση ειδικών μορφών ΣΔΕ Σε αυτό το κεφάλαιο θα δούμε κάποιες ειδικές μορφές ΣΔΕ για τις οποίες υπάρχει μέθοδος επίλυσης. Περισσότερες μπορεί να δει κανείς στο Kloeden and Plaen (199), 4.-4.4. Θα

Διαβάστε περισσότερα

Π. ΚΡΗΤΗΣ, ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΗΥ 380, «ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ & ΠΟΛΥΠΛΟΚΟΤΗΤΑ» Φ 01: ΕΞΑΝΤΛΗΤΙΚΗ ΑΝΑΖΗΤΗΣΗ

Π. ΚΡΗΤΗΣ, ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΗΥ 380, «ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ & ΠΟΛΥΠΛΟΚΟΤΗΤΑ» Φ 01: ΕΞΑΝΤΛΗΤΙΚΗ ΑΝΑΖΗΤΗΣΗ Π. ΚΡΗΤΗΣ, ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΗΥ 380, «ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ & ΠΟΛΥΠΛΟΚΟΤΗΤΑ» Φ 01: ΕΞΑΝΤΛΗΤΙΚΗ ΑΝΑΖΗΤΗΣΗ Δεδομένου ενός προβλήματος Q, ο πρώτος σκοπός μιας εξαντλητικής αναζήτησης είναι να μας εφασφαλίσει

Διαβάστε περισσότερα

ΚΛΑΔΟΣ: ΠΕ11 ΦΥΣΙΚΗΣ ΑΓΩΓΗΣ

ΚΛΑΔΟΣ: ΠΕ11 ΦΥΣΙΚΗΣ ΑΓΩΓΗΣ ΚΛΑΔΟΣ: ΠΕ11 ΦΥΣΙΚΗΣ ΑΓΩΓΗΣ Μάθημα: Ενόργανη Γυμναστική Χρήσιμα θεωρία στο κεφάλαιο της ενόργανης γυμναστικής για το γνωστικό αντικείμενο ΠΕ11 της Φυσικής Αγωγής από τα Πανεπιστημιακά Φροντιστήρια Κολλίντζα.

Διαβάστε περισσότερα

(14 ο,15 ο,16 ο ) ΟΡΘΟΤΗΤΑ ΕΝΟΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΥ: ΕΝΟΤΗΤΑ Ι ΙΙ ΙΙΙ

(14 ο,15 ο,16 ο ) ΟΡΘΟΤΗΤΑ ΕΝΟΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΥ: ΕΝΟΤΗΤΑ Ι ΙΙ ΙΙΙ (14 ο,15 ο,16 ο ) ΟΡΘΟΤΗΤΑ ΕΝΟΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΥ: ΕΝΟΤΗΤΑ Ι ΙΙ ΙΙΙ Το πρόβλημα της «ορθότητας» ενός αλγορίθμου. Θεωρούμε συχνότατα τους αλγορίθμους, (όπως και σε αυτές τις σημειώσεις), ως προγράμματα γραμμένα

Διαβάστε περισσότερα

G περιέχει τουλάχιστον μία ακμή στο S. spanning tree στο γράφημα G.

G περιέχει τουλάχιστον μία ακμή στο S. spanning tree στο γράφημα G. ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ - ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Σχεδίαση και Ανάλυση Αλγορίθμων Διδάσκων: Ε. Μαρκάκης, Φθινοπωρινό εξάμηνο 2014-2015 Λύσεις 3ης Σειράς Ασκήσεων

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΕΠ 2000 ΑΣΕΠ 2000 Εμπορική Τράπεζα 1983 Υπουργείο Κοιν. Υπηρ. 1983

ΑΣΕΠ 2000 ΑΣΕΠ 2000 Εμπορική Τράπεζα 1983 Υπουργείο Κοιν. Υπηρ. 1983 20 Φεβρουαρίου 2010 ΑΣΕΠ 2000 1. Η δεξαμενή βενζίνης ενός πρατηρίου υγρών καυσίμων είναι γεμάτη κατά τα 8/9. Κατά τη διάρκεια μιας εβδομάδας το πρατήριο διέθεσε τα 3/4 της βενζίνης αυτής και έμειναν 4000

Διαβάστε περισσότερα

Π. ΚΡΗΤΗΣ, ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΗΥ 380, «ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ & ΠΟΛΥΠΛΟΚΟΤΗΤΑ» Φ 06: ΧΡΗΣΗ ΔΟΜΩΝ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ

Π. ΚΡΗΤΗΣ, ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΗΥ 380, «ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ & ΠΟΛΥΠΛΟΚΟΤΗΤΑ» Φ 06: ΧΡΗΣΗ ΔΟΜΩΝ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ Π. ΚΡΗΤΗΣ, ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΗΥ 380, «ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ & ΠΟΛΥΠΛΟΚΟΤΗΤΑ» Φ 06: ΧΡΗΣΗ ΔΟΜΩΝ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ Η «μάχη» για καλούς αλγορίθμους έχει σε αδρές γραμμές 4 επίπεδα: Υπάρχει αλγόριθμος; Υπάρχει «δραστικός»

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμογές στην κίνηση Brown

Εφαρμογές στην κίνηση Brown 13 Εφαρμογές στην κίνηση Brown Σε αυτό το κεφάλαιο θέλουμε να κάνουμε για την πολυδιάστατη κίνηση Brown κάτι ανάλογο με αυτό που κάναμε στην Παράγραφο 7.2 για τη μονοδιάστατη κίνηση Brown. Δηλαδή να μελετήσουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑ ΕΠΙΛΟΓΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑ ΕΠΙΛΟΓΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑ ΕΠΙΛΟΓΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: ΕΠΩΝΥΜΟ: ΟΝΟΜΑ: ΟΜΑΔΑ Α Για τις προτάσεις Α1 μέχρι και Α6 να

Διαβάστε περισσότερα

Αναγνώριση Προτύπων. Σημερινό Μάθημα

Αναγνώριση Προτύπων. Σημερινό Μάθημα Αναγνώριση Προτύπων Σημερινό Μάθημα Μη Παραμετρικός Υπολογισμός πυκνότητας με εκτίμηση Ιστόγραμμα Παράθυρα Parzen Εξομαλυμένη Kernel Ασκήσεις 1 Μη Παραμετρικός Υπολογισμός πυκνότητας με εκτίμηση Κατά τη

Διαβάστε περισσότερα

Εστω X σύνολο και A μια σ-άλγεβρα στο X. Ονομάζουμε το ζεύγος (X, A) μετρήσιμο χώρο.

Εστω X σύνολο και A μια σ-άλγεβρα στο X. Ονομάζουμε το ζεύγος (X, A) μετρήσιμο χώρο. 2 Μέτρα 2.1 Μέτρα σε μετρήσιμο χώρο Εστω X σύνολο και A μια σ-άλγεβρα στο X. Ονομάζουμε το ζεύγος (X, A) μετρήσιμο χώρο. Ορισμός 2.1. Μέτρο στον (X, A) λέμε κάθε συνάρτηση µ : A [0, ] που ικανοποιεί τις

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ ΜΑΘΗΜΑ: ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ ΜΑΘΗΜΑ: ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑ: ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Tα Πανεπιστημιακά Φροντιστήρια «ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ» προετοιμάζοντας σε ολιγομελείς ομίλους τους υποψήφιους για τον επικείμενο διαγωνισμό του Υπουργείου Οικονομικών, με κορυφαίο

Διαβάστε περισσότερα

Αναγνώριση Προτύπων. Σημερινό Μάθημα

Αναγνώριση Προτύπων. Σημερινό Μάθημα Αναγνώριση Προτύπων Σημερινό Μάθημα Bias (απόκλιση) και variance (διακύμανση) Ελεύθεροι Παράμετροι Ελεύθεροι Παράμετροι Διαίρεση dataset Μέθοδος holdout Cross Validation Bootstrap Bias (απόκλιση) και variance

Διαβάστε περισσότερα

(5 ο ) Η «πλοκή» ενός αλγορίθμου: η βάση μιας αξιολόγησης Ι (6 ο ) Η «πλοκή» ενός αλγορίθμου: ο Ο Ω Θ συμβολισμός ΙΙ

(5 ο ) Η «πλοκή» ενός αλγορίθμου: η βάση μιας αξιολόγησης Ι (6 ο ) Η «πλοκή» ενός αλγορίθμου: ο Ο Ω Θ συμβολισμός ΙΙ (5 ο ) Η «πλοκή» ενός αλγορίθμου: η βάση μιας αξιολόγησης Ι (6 ο ) Η «πλοκή» ενός αλγορίθμου: ο Ο Ω Θ συμβολισμός ΙΙ Έχουμε συγκεκτρώσει τα στοιχεία που χρειαζόμαστε για να μπορέσουμε να πούμε περί αλγορίθμων

Διαβάστε περισσότερα

ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΟΡΓΑΝΙΣΜΩΝ

ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΟΡΓΑΝΙΣΜΩΝ ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ 1α ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΟΡΓΑΝΙΣΜΩΝ Οι επιστήμονες ταξινομούν τους οργανισμούς σε ομάδες ανάλογα με τα κοινά τους χαρακτηριστικά. Τα πρώτα συστήματα ταξινόμησης βασιζόταν αποκλειστικά στα μορφολογικά

Διαβάστε περισσότερα

Ο Ισχυρός Νόμος των Μεγάλων Αριθμών

Ο Ισχυρός Νόμος των Μεγάλων Αριθμών 1 Ο Ισχυρός Νόμος των Μεγάλων Αριθμών Στο κεφάλαιο αυτό παρουσιάζουμε ένα από τα σημαντικότερα αποτελέσματα της Θεωρίας Πιθανοτήτων, τον ισχυρό νόμο των μεγάλων αριθμών. Η διατύπωση που θα αποδείξουμε

Διαβάστε περισσότερα

Έννοια. Η αποδοχή της κληρονομίας αποτελεί δικαίωμα του κληρονόμου, άρα δεν

Έννοια. Η αποδοχή της κληρονομίας αποτελεί δικαίωμα του κληρονόμου, άρα δεν 1 1. Αποδοχή κληρονομίας Έννοια. Η αποδοχή της κληρονομίας αποτελεί δικαίωμα του κληρονόμου, άρα δεν μπορεί να ασκηθεί από τους δανειστές του κληρονόμου, τον εκτελεστή της διαθήκης, τον κηδεμόνα ή εκκαθαριστή

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ: ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ

ΜΑΘΗΜΑ: ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑ: ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ Tα Πανεπιστημιακά Φροντιστήρια «ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ» προετοιμάζοντας σε ολιγομελείς ομίλους τους υποψήφιους για τον επικείμενο διαγωνισμό του Υπουργείου Οικονομικών, με κορυφαίο επιτελείο

Διαβάστε περισσότερα

Ευρωπαϊκά παράγωγα Ευρωπαϊκά δικαιώματα

Ευρωπαϊκά παράγωγα Ευρωπαϊκά δικαιώματα 17 Ευρωπαϊκά παράγωγα 17.1 Ευρωπαϊκά δικαιώματα Ορισμός 17.1. 1) Ευρωπαϊκό δικαίωμα αγοράς σε μία μετοχή είναι ένα συμβόλαιο που δίνει στον κάτοχό του το δικαίωμα να αγοράσει μία μετοχή από τον εκδότη

Διαβάστε περισσότερα

602. Συναρτησιακή Ανάλυση. Υποδείξεις για τις Ασκήσεις

602. Συναρτησιακή Ανάλυση. Υποδείξεις για τις Ασκήσεις 602. Συναρτησιακή Ανάλυση Υποδείξεις για τις Ασκήσεις Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Αθηνών Αθήνα 2018 Περιεχόμενα 1 Χώροι με νόρμα 1 2 Χώροι πεπερασμένης διάστασης 23 3 Γραμμικοί τελεστές και γραμμικά

Διαβάστε περισσότερα

17 Μαρτίου 2013, Βόλος

17 Μαρτίου 2013, Βόλος Συνήθεις ιαφορικές Εξισώσεις 1ης Τάξης Σ Ε 1ης τάξης, Πεδία κατευθύνσεων, Υπαρξη και μοναδικότητα, ιαχωρίσιμες εξισώσεις, Ολοκληρωτικοί παράγοντες, Αντικαταστάσεις, Αυτόνομες εξισώσεις Μανόλης Βάβαλης

Διαβάστε περισσότερα

Martingales. 3.1 Ορισμός και παραδείγματα

Martingales. 3.1 Ορισμός και παραδείγματα 3 Martingales 3.1 Ορισμός και παραδείγματα Εστω χώρος πιθανότητας (Ω, F, P). Διήθηση σε αυτό τον χώρο λέμε μια αύξουσα ακολουθία (F n ) n 0 σ-αλγεβρών, η καθεμία από τις οποίες είναι υποσύνολο της F. Δηλαδή,

Διαβάστε περισσότερα

Τρίτη, 05 Ιουνίου 2001 ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ

Τρίτη, 05 Ιουνίου 2001 ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ Τρίτη, 05 Ιουνίου 2001 ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΘΕΜΑ 1 Α. Να µεταφέρετε στο τετράδιό σας και να συµπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα αλήθειας δύο προτάσεων

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΟΛΑ (προσέξτε τα κοινά χαρακτηριστικά των παρακάτω προτάσεων) Οι άνθρωποι που σπουδάζουν ΤΠ&ΕΣ και βρίσκονται στην αίθουσα

ΣΥΝΟΛΑ (προσέξτε τα κοινά χαρακτηριστικά των παρακάτω προτάσεων) Οι άνθρωποι που σπουδάζουν ΤΠ&ΕΣ και βρίσκονται στην αίθουσα ΣΥΝΟΛΑ (προσέξτε τα κοινά χαρακτηριστικά των παρακάτω προτάσεων) Οι άνθρωποι που σπουδάζουν ΤΠ&ΕΣ και βρίσκονται στην αίθουσα Τα βιβλία διακριτών μαθηματικών του Γ.Β. Η/Υ με επεξεργαστή Pentium και χωρητικότητα

Διαβάστε περισσότερα

Εκφωνήσεις και Λύσεις των Θεμάτων

Εκφωνήσεις και Λύσεις των Θεμάτων ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Δευτέρα 8 Μαΐου 0 Εκφωνήσεις και Λύσεις των Θεμάτων

Διαβάστε περισσότερα

Σχέσεις και ιδιότητές τους

Σχέσεις και ιδιότητές τους Σχέσεις και ιδιότητές τους Διμελής (binary) σχέση Σ από σύνολο Χ σε σύνολο Υ είναι ένα υποσύνολο του καρτεσιανού γινομένου Χ Υ. Αν (χ,ψ) Σ, λέμε ότι το χ σχετίζεται με το ψ και σημειώνουμε χσψ. Στην περίπτωση

Διαβάστε περισσότερα

Προτεινόμενα θέματα στο μάθημα. Αρχές Οικονομικής Θεωρίας ΟΜΑΔΑ Α. Στις προτάσεις από Α.1. μέχρι και Α10 να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό της

Προτεινόμενα θέματα στο μάθημα. Αρχές Οικονομικής Θεωρίας ΟΜΑΔΑ Α. Στις προτάσεις από Α.1. μέχρι και Α10 να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό της Προτεινόμενα θέματα στο μάθημα Αρχές Οικονομικής Θεωρίας ΟΜΑΔΑ Α Στις προτάσεις από Α.1. μέχρι και Α10 να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό της καθεμιάς και δίπλα σε κάθε αριθμό την ένδειξη Σωστό, αν

Διαβάστε περισσότερα

(1 ο ) Γιατί «αλγόριθμοι» (υποχρεωτικά);

(1 ο ) Γιατί «αλγόριθμοι» (υποχρεωτικά); (1 ο ) Γιατί «αλγόριθμοι» (υποχρεωτικά); Γιατί πρέπει να μελετήσουμε την περιοχή των «αλγορίθμων»; Ο φοιτητής και η φοιτήτρια που καλείται να παρακολουθήσει ένα μάθημα σαν το «αλγόριθμοι & πολυπλοκότητα»

Διαβάστε περισσότερα

Γενικό Λύκειο Μαραθοκάμπου Σάμου. Άλγεβρα Β λυκείου. 13 Οκτώβρη 2016

Γενικό Λύκειο Μαραθοκάμπου Σάμου. Άλγεβρα Β λυκείου. 13 Οκτώβρη 2016 Γενικό Λύκειο Μαραθοκάμπου Σάμου Άλγεβρα Β λυκείου Εργασία2 η : «Συναρτήσεις» 13 Οκτώβρη 2016 Ερωτήσεις Θεωρίας 1.Πότελέμεότιμιασυνάρτησηfείναιγνησίωςάυξουσασεέναδιάστημα του πεδίου ορισμού της; 2.Πότελέμεότιμιασυνάρτησηfείναιγνησίωςφθίνουσασεέναδιάστημα

Διαβάστε περισσότερα

Φροντιστήριο 2: Ανάλυση Αλγόριθμου. Νικόλας Νικολάου ΕΠΛ432: Κατανεμημένοι Αλγόριθμοι 1 / 10

Φροντιστήριο 2: Ανάλυση Αλγόριθμου. Νικόλας Νικολάου ΕΠΛ432: Κατανεμημένοι Αλγόριθμοι 1 / 10 Φροντιστήριο 2: Ανάλυση Αλγόριθμου Εκλογής Προέδρου με O(nlogn) μηνύματα Νικόλας Νικολάου ΕΠΛ432: Κατανεμημένοι Αλγόριθμοι 1 / 10 Περιγραφικός Αλγόριθμος Αρχικά στείλε μήνυμα εξερεύνησης προς τα δεξιά

Διαβάστε περισσότερα

Π. ΚΡΗΤΗΣ, ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΗΥ 380, «ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ & ΠΟΛΥΠΛΟΚΟΤΗΤΑ» Φ 07: ΔΥΝΑΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ

Π. ΚΡΗΤΗΣ, ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΗΥ 380, «ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ & ΠΟΛΥΠΛΟΚΟΤΗΤΑ» Φ 07: ΔΥΝΑΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Π. ΚΡΗΤΗΣ, ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΗΥ 380, «ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ & ΠΟΛΥΠΛΟΚΟΤΗΤΑ» Φ 07: ΔΥΝΑΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Η περιγραφή του προβλήματος: Στην άλγεβρα (και με αναρίθμητες εφαρμογές στην αριθμητική ανάλυση)

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Πληροφορικής

Μαθηματικά Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Αθηνών Μαθηματικά Πληροφορικής Ηλίας Κουτσουπιάς Αθήνα, Οκτώβριος 2009 Περιεχόμενα Περιεχόμενα 1 Σύνολα... 5 ΆλλαΣύμβολα... 6 1 Υποθέσεις και Θεωρήματα 9 1.1 Παρατήρηση-Υπόθεση-Απόδειξη...

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Β ΤΑΞΗ. ΘΕΜΑ 1ο

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Β ΤΑΞΗ. ΘΕΜΑ 1ο ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΘΕΜΑ 1ο ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Σ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΙΤΗ 30 ΜΑΪΟΥ 2000 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ: ΦΥΣΙΚΗ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ: ΕΞΙ (6) Στις ερωτήσεις 1-4 να γράψετε

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ: Aποτελεσματικότητα της νομισματικής και δημοσιονομικής πολιτικής σε μια ανοικτή οικονομία

ΘΕΜΑ: Aποτελεσματικότητα της νομισματικής και δημοσιονομικής πολιτικής σε μια ανοικτή οικονομία ΘΕΜΑ: ποτελεσματικότητα της νομισματικής και δημοσιονομικής πολιτικής σε μια ανοικτή οικονομία Σύνταξη: Μπαντούλας Κων/νος, Οικονομολόγος, Ms Χρηματοοικονομικών 1 Η πρώτη θεωρία σχετικά με τον αυτόματο

Διαβάστε περισσότερα

Αρτιες και περιττές συναρτήσεις

Αρτιες και περιττές συναρτήσεις Μελέτη Συναρτήσεων: άρτιες, περιττές συναρτήσεις - μονοτονία - ακρότατα Κωνσταντίνος Α. Ράπτης Άρτιες και περιττές συναρτήσεις Ὁι ψυχολόγοι κάνουν λόγο για δύο επίπεδα συλλογιστικής και μνήμης: το αρχαϊκό

Διαβάστε περισσότερα

2. Κατάθεσε κάποιος στην Εθνική Τράπεζα 4800 με επιτόκιο 3%. Μετά από πόσο χρόνο θα πάρει τόκο 60 ; α) 90 ημέρες β) 1,5 έτη γ) 5 μήνες δ) 24 μήνες

2. Κατάθεσε κάποιος στην Εθνική Τράπεζα 4800 με επιτόκιο 3%. Μετά από πόσο χρόνο θα πάρει τόκο 60 ; α) 90 ημέρες β) 1,5 έτη γ) 5 μήνες δ) 24 μήνες 20 Φεβρουαρίου 2010 1. Ένας έμπορος αγόρασε 720 κιλά κρασί προς 2 το κιλό. Πρόσθεσε νερό, το πούλησε προς 2,5 το κιλό και κέρδισε 500. Το νερό που πρόσθεσε ήταν σε κιλά: α) 88 β) 56 γ) 60 δ) 65 2. Κατάθεσε

Διαβάστε περισσότερα

Αρτιες και περιττές συναρτήσεις

Αρτιες και περιττές συναρτήσεις Μελέτη Συναρτήσεων: άρτιες, περιττές συναρτήσεις - μονοτονία - ακρότατα Κώστας Ράπτης Άρτιες και περιττές συναρτήσεις Ὁι ψυχολόγοι κάνουν λόγο για δύο επίπεδα συλλογιστικής και μνήμης: το αρχαϊκό και το

Διαβάστε περισσότερα

CSE.UOI : Μεταπτυχιακό Μάθημα

CSE.UOI : Μεταπτυχιακό Μάθημα Θέματα Αλγορίθμων Αλγόριθμοι και Εφαρμογές στον Πραγματικό Κόσμο CSE.UOI : Μεταπτυχιακό Μάθημα 10η Ενότητα: Χρονικά Εξελισσόμενες ικτυακές Ροές Σπύρος Κοντογιάννης kntg@cse.ui.gr Τμήμα Μηχανικών Η/Υ &

Διαβάστε περισσότερα

Εκφωνήσεις και Λύσεις των Θεμάτων

Εκφωνήσεις και Λύσεις των Θεμάτων ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Τετάρτη 23 Μαΐου 2012 Εκφωήσεις και Λύσεις

Διαβάστε περισσότερα

Ανεξαρτησία Ανεξαρτησία για οικογένειες συνόλων και τυχαίες μεταβλητές

Ανεξαρτησία Ανεξαρτησία για οικογένειες συνόλων και τυχαίες μεταβλητές 10 Ανεξαρτησία 10.1 Ανεξαρτησία για οικογένειες συνόλων και τυχαίες μεταβλητές Στην παράγραφο αυτή δουλεύουμε σε χώρο πιθανότητας (Ω, F, P). Δίνουμε καταρχάς τον ορισμό της ανεξαρτησίας για ενδεχόμενα,

Διαβάστε περισσότερα

Μονάδες 5 1.2.α. Να γράψετε στο τετράδιό σας τον παρακάτω πίνακα σωστά συµπληρωµένο.

Μονάδες 5 1.2.α. Να γράψετε στο τετράδιό σας τον παρακάτω πίνακα σωστά συµπληρωµένο. ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΤΑΞΗ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΥΤΕΡΑ 12 ΙΟΥΝΙΟΥ 2000 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (ΚΥΚΛΟΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΚΑΙ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ): ΧΗΜΕΙΑ - ΒΙΟΧΗΜΕΙΑ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ

Διαβάστε περισσότερα

Ανεξαρτησία Ανεξαρτησία για οικογένειες συνόλων και τυχαίες μεταβλητές

Ανεξαρτησία Ανεξαρτησία για οικογένειες συνόλων και τυχαίες μεταβλητές 10 Ανεξαρτησία 10.1 Ανεξαρτησία για οικογένειες συνόλων και τυχαίες μεταβλητές Στην παράγραφο αυτή δουλεύουμε σε χώρο πιθανότητας (Ω, F, P). Δίνουμε καταρχάς τον ορισμό της ανεξαρτησίας για ενδεχόμενα,

Διαβάστε περισσότερα

Ψηφιακή Εικόνα. Σημερινό μάθημα!

Ψηφιακή Εικόνα. Σημερινό μάθημα! Ψηφιακή Εικόνα Σημερινό μάθημα! Ψηφιακή Εικόνα Αναλογική εικόνα Ψηφιοποίηση (digitalization) Δειγματοληψία Κβαντισμός Δυαδικές δ έ (Binary) εικόνες Ψηφιακή εικόνα & οθόνη Η/Υ 1 Ψηφιακή Εικόνα Μια ακίνητη

Διαβάστε περισσότερα

Κατασκευή της κίνησης Brown και απλές ιδιότητες

Κατασκευή της κίνησης Brown και απλές ιδιότητες 5 Κατασκευή της κίνησης Brown και απλές ιδιότητες 51 Ορισμός, ύπαρξη, και μοναδικότητα Ορισμός 51 Μια στοχαστική ανέλιξη { : t } ορισμένη σε έναν χώρο πιθανότητας (Ω, F, P) και με τιμές στο R λέγεται (μονοδιάστατη)

Διαβάστε περισσότερα

Μητροπολιτικά Οπτικά Δίκτυα. 11.1. Εισαγωγή

Μητροπολιτικά Οπτικά Δίκτυα. 11.1. Εισαγωγή Μητροπολιτικά Οπτικά Δίκτυα 11.1. Εισαγωγή Τα τηλεπικοινωνιακά δίκτυα είναι διαιρεμένα σε μια ιεραρχία τριών επιπέδων: Στα δίκτυα πρόσβασης, τα μητροπολιτικά δίκτυα και τα δίκτυα κορμού. Τα δίκτυα κορμού

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγικές Διαλέξεις στην Θεωρία των Αλυσίδων Markov και των Στοχαστικών Ανελίξεων. Οικονομικό Πανεπιστήμιο Αθηνών

Εισαγωγικές Διαλέξεις στην Θεωρία των Αλυσίδων Markov και των Στοχαστικών Ανελίξεων. Οικονομικό Πανεπιστήμιο Αθηνών Εισαγωγικές Διαλέξεις στην Θεωρία των Αλυσίδων Markov και των Στοχαστικών Ανελίξεων Μιχάλης Ζαζάνης Τμήμα Στατιστικής Οικονομικό Πανεπιστήμιο Αθηνών Κεφάλαιο Αλυσίδες Markov σε Συνεχή Χρόνο. Αλυσίδες

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ: ΕΜΠΟΡΙΚΟ ΔΙΚΑΙΟ

ΜΑΘΗΜΑ: ΕΜΠΟΡΙΚΟ ΔΙΚΑΙΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΕΜΠΟΡΙΚΟ ΔΙΚΑΙΟ Tα Πανεπιστημιακά Φροντιστήρια «ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ» προετοιμάζοντας σε ολιγομελείς ομίλους τους υποψήφιους για τον επικείμενο διαγωνισμό του Υπουργείου Οικονομικών, με κορυφαίο επιτελείο

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Β ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΑΒΒΑΤΟ 27 ΜΑΪΟΥ 2000 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ: ΧΗΜΕΙΑ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ: ΕΞΙ (6)

ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Β ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΑΒΒΑΤΟ 27 ΜΑΪΟΥ 2000 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ: ΧΗΜΕΙΑ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ: ΕΞΙ (6) ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Β ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΑΒΒΑΤΟ 27 ΜΑΪΟΥ 2000 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ: ΧΗΜΕΙΑ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ: ΕΞΙ (6) ΘΕΜΑ 1ο Στις ερωτήσεις 1-3, να γράψετε στο τετράδιό

Διαβάστε περισσότερα

Συναρτήσεις. Σημερινό μάθημα

Συναρτήσεις. Σημερινό μάθημα Συναρτήσεις Σημερινό μάθημα C++ Συναρτήσεις Δήλωση συνάρτησης Σύνταξη συνάρτησης Πρότυπο συνάρτησης & συνάρτηση Αλληλο καλούμενες συναρτήσεις συναρτήσεις μαθηματικών Παράμετροι συναρτήσεων Τοπικές μεταβλητές

Διαβάστε περισσότερα

Παραβολή ψ=αχ 2 +βχ+γ, α 0. Η παραβολή ψ = αχ 2. Γενικά : Κάθε συνάρτηση της μορφής ψ=αχ 2 + βχ +γ, α 0 λέγεται τετραγωνική συνάρτηση.

Παραβολή ψ=αχ 2 +βχ+γ, α 0. Η παραβολή ψ = αχ 2. Γενικά : Κάθε συνάρτηση της μορφής ψ=αχ 2 + βχ +γ, α 0 λέγεται τετραγωνική συνάρτηση. Η παραβολή ψ=αχ 2 +βχ+γ Σελίδα 1 από 10 Παραβολή ψ=αχ 2 +βχ+γ, α0 Γενικά : Κάθε συνάρτηση της μορφής ψ=αχ 2 + βχ +γ, α0 λέγεται τετραγωνική συνάρτηση. Η παραβολή ψ = αχ 2 Η γραφική παράσταση της συνάρτησης

Διαβάστε περισσότερα

Ταξινόμηση των μοντέλων διασποράς ατμοσφαιρικών ρύπων βασισμένη σε μαθηματικά κριτήρια.

Ταξινόμηση των μοντέλων διασποράς ατμοσφαιρικών ρύπων βασισμένη σε μαθηματικά κριτήρια. ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ Ταξινόμηη των μοντέλων διαποράς ατμοφαιρικών ρύπων βαιμένη ε μαθηματικά κριτήρια. Μοντέλο Ελεριανά μοντέλα (Elerian) Λαγκρατζιανά μοντέλα (Lagrangian) Επιπρόθετος διαχωριμός Μοντέλα

Διαβάστε περισσότερα

Ανελίξεις σε συνεχή χρόνο

Ανελίξεις σε συνεχή χρόνο 4 Ανελίξεις σε συνεχή χρόνο Σε αυτό το κεφάλαιο είναι συγκεντρωμένοι ορισμοί και αποτελέσματα από τη θεωρία των στοχαστικών ανελιξεων συνεχούς χρόνου. Με εξαίρεση την Παράγραφο 4.1, η οποία είναι εντελώς

Διαβάστε περισσότερα

Φυσική Β Λυκείου Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Παναγόπουλος Γιώργος Φυσικός

Φυσική Β Λυκείου Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Παναγόπουλος Γιώργος Φυσικός Φυσική Β Λυκείου Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Παναγόπουλος Γιώργος Φυσικός gior.panagopoulos@gmail.com Βουλδής Άγγελος Φυσικός angelos_vouldis@hotmail.com Μεντζελόπουλος Λευτέρης Φυσικός MSc Περιβαλλοντολογία

Διαβάστε περισσότερα

Το υπόδειγμα IS-LM: Εισαγωγικά

Το υπόδειγμα IS-LM: Εισαγωγικά 1/35 Το υπόδειγμα IS-LM: Εισαγωγικά Νίκος Γιαννακόπουλος Επίκουρος Καθηγητής Τμήμα Οικονομικών Επιστημών Πανεπιστήμιο Πατρών Ακαδημαϊκό Ετος 2014-2015 Εαρινό Εξάμηνο Τι γνωρίζουμε; 2/35 Αγορά αγαθών και

Διαβάστε περισσότερα

Η έκδοση αυτή είναι υπό προετοιμασία. Γιάννης Α. Αντωνιάδης, Αριστείδης Κοντογεώργης

Η έκδοση αυτή είναι υπό προετοιμασία. Γιάννης Α. Αντωνιάδης, Αριστείδης Κοντογεώργης Θεωρία Αριθμών και Εφαρμογές Η έκδοση αυτή είναι υπό προετοιμασία Γιάννης Α. Αντωνιάδης, Αριστείδης Κοντογεώργης 9 Φεβρουαρίου 2015 2 Περιεχόμενα I ΑΡΙΘΜΟΘΕΩΡΙΑ ΤΩΝ ΡΗΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ 7 1 ΔΙΑΙΡΕΤΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΠΡΩΤΟΙ

Διαβάστε περισσότερα

Ανεξαρτησία Ανεξαρτησία για οικογένειες συνόλων και τυχαίες μεταβλητές

Ανεξαρτησία Ανεξαρτησία για οικογένειες συνόλων και τυχαίες μεταβλητές 10 Ανεξαρτησία 10.1 Ανεξαρτησία για οικογένειες συνόλων και τυχαίες μεταβλητές Στην παράγραφο αυτή δουλεύουμε σε χώρο πιθανότητας (Ω, F, P). Δίνουμε καταρχάς τον ορισμό της ανεξαρτησίας για ενδεχόμενα,

Διαβάστε περισσότερα

HY 280. θεμελιακές έννοιες της επιστήμης του υπολογισμού ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ. Γεώργιος Φρ. Γεωργακόπουλος.

HY 280. θεμελιακές έννοιες της επιστήμης του υπολογισμού ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ. Γεώργιος Φρ. Γεωργακόπουλος. HY 280 «ΘΕΩΡΙΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ» θεμελιακές έννοιες της επιστήμης του υπολογισμού ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Γεώργιος Φρ. Γεωργακόπουλος Μέρος B Βασικά στοιχεία περί ασυμφραστικών γραμματικών

Διαβάστε περισσότερα

1. Σε περίπτωση κατά την οποία η τιμή ενός αγαθού μειωθεί κατά 2% και η ζητούμενη

1. Σε περίπτωση κατά την οποία η τιμή ενός αγαθού μειωθεί κατά 2% και η ζητούμενη Tα Πανεπιστημιακά Φροντιστήρια «ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ» προετοιμάζοντας σε ολιγομελείς ομίλους τους υποψήφιους για τον επικείμενο διαγωνισμό του Υ- πουργείου Οικονομικών και στοχεύοντας στην όσο το δυνατό πληρέστερη

Διαβάστε περισσότερα

2 Η ΠΑΓΚΥΠΡΙΑ ΟΛΥΜΠΙΑ Α ΦΥΣΙΚΗΣ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

2 Η ΠΑΓΚΥΠΡΙΑ ΟΛΥΜΠΙΑ Α ΦΥΣΙΚΗΣ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΕΝΩΣΗ ΚΥΠΡΙΩΝ ΦΥΣΙΚΩΝ 2 Η ΠΑΓΚΥΠΡΙΑ ΟΛΥΜΠΙΑ Α ΦΥΣΙΚΗΣ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Κυριακή, 16 Απριλίου, 2006 Ώρα: 10:30-13:00 Οδηγίες: 1) Το δοκίµιο αποτελείται από τρία (3) µέρη µε σύνολο δώδεκα (12) θέµατα. 2) Επιτρέπεται

Διαβάστε περισσότερα

Eισηγητής: Μουσουλή Μαρία

Eισηγητής: Μουσουλή Μαρία Eισηγητής: Μουσουλή Μαρία Κλασικός Αθλητισμός Δρόμοι : Μεσαίες και μεγάλες αποστάσεις Ταχύτητες Σκυταλοδρομίες Δρόμοι με εμπόδια Δρόμοι Μεσαίων και Μεγάλων αποστάσεων Στην αρχαία εποχή ο δρόμος που είχε

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΣΥΝΟΛΩΝ: μια σύνοψη των θεμελιακών χαρακτηριστικών.

ΘΕΩΡΙΑ ΣΥΝΟΛΩΝ: μια σύνοψη των θεμελιακών χαρακτηριστικών. ΘΕΩΡΙ ΣΥΝΟΛΩΝ: μια σύνοψη των θεμελιακών χαρακτηριστικών. 1. ΣΥΝΟΛ: το σκεπτικό. σύνολο = πολλά στοιχεία ως «ένα», ως «μία» ολότητα. τα στοιχεία ανήκουν στο σύνολο, ή είναι μέλη του συνόλου το σύνολο περιέχει

Διαβάστε περισσότερα

Παντού σε αυτό το κεφάλαιο, αν δεν αναφέρεται κάτι διαφορετικό, δουλεύουμε σε ένα χώρο πιθανότητας (Ω, F, P) και η G F είναι μια σ-άλγεβρα.

Παντού σε αυτό το κεφάλαιο, αν δεν αναφέρεται κάτι διαφορετικό, δουλεύουμε σε ένα χώρο πιθανότητας (Ω, F, P) και η G F είναι μια σ-άλγεβρα. 2 Δεσμευμένη μέση τιμή 2.1 Ορισμός Παντού σε αυτό το κεφάλαιο, αν δεν αναφέρεται κάτι διαφορετικό, δουλεύουμε σε ένα χώρο πιθανότητας (Ω, F, P) και η G F είναι μια σ-άλγεβρα. Ορισμός 2.1. Για X : Ω R τυχαία

Διαβάστε περισσότερα

Μία χρονοσειρά (time serie) είναι μια ακολουθία

Μία χρονοσειρά (time serie) είναι μια ακολουθία Matching Βάση Χρονοσειρών Μία χρονοσειρά (time serie) είναι μια ακολουθία πραγματικών αριθμών, που αντιπροσωπεύουν μετρήσεις μιας πραγματικής μεταβλητής σε ίσα χρονικά διαστήματα πχ Οι τιμές των μετοχών

Διαβάστε περισσότερα

Μεγάλες αποκλίσεις* 17.1 Η έννοια της μεγάλης απόκλισης

Μεγάλες αποκλίσεις* 17.1 Η έννοια της μεγάλης απόκλισης 7 Μεγάλες αποκλίσεις* 7. Η έννοια της μεγάλης απόκλισης Εστω (X ανεξάρτητες και ισόνομες τυχαίες μεταβλητές ώστε (X = = (X = = /2 και S = k= X k το άθροισμα των πρώτων από αυτές. Ο νόμος των μεγάλων αριθμών

Διαβάστε περισσότερα

Pointers. Σημερινό Μάθημα! Χρήση pointer Τελεστής * Τελεστής & Γενικοί δείκτες Ανάκληση Δέσμευση μνήμης new / delete Pointer σε αντικείμενο 2

Pointers. Σημερινό Μάθημα! Χρήση pointer Τελεστής * Τελεστής & Γενικοί δείκτες Ανάκληση Δέσμευση μνήμης new / delete Pointer σε αντικείμενο 2 Pointers 1 Σημερινό Μάθημα! Χρήση pointer Τελεστής * Τελεστής & Γενικοί δείκτες Ανάκληση Δέσμευση μνήμης new / delete Pointer σε αντικείμενο 2 1 Μνήμη μεταβλητών Κάθε μεταβλητή έχει διεύθυνση Δεν χρειάζεται

Διαβάστε περισσότερα

Δήμος Σωτήριος Υ.Δ. Εργαστήριο Λογικής & Επιστήμης Υπολογιστών. Τομέας Τεχνολογίας Πληροφορικής & Υπολογιστών Σ.Η.Μ.Μ.Υ. Ε.Μ.Π.

Δήμος Σωτήριος Υ.Δ. Εργαστήριο Λογικής & Επιστήμης Υπολογιστών. Τομέας Τεχνολογίας Πληροφορικής & Υπολογιστών Σ.Η.Μ.Μ.Υ. Ε.Μ.Π. Δήμος Σωτήριος Υ.Δ. Εργαστήριο Λογικής & Επιστήμης Υπολογιστών Τομέας Τεχνολογίας Πληροφορικής & Υπολογιστών Σ.Η.Μ.Μ.Υ. Ε.Μ.Π. Θεωρία Παιγνίων (;) αυτά είναι video παίγνια...... αυτά δεν είναι θεωρία παιγνίων

Διαβάστε περισσότερα

ΤΑ ΜΙΚΡΑ ΒΗΜΑΤΑ ΤΗΣ ΘΕΡΑΠΕΥΤΙΚΗΣ ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΑΣ: ΠΩΣ ΕΡΧΟΝΤΑΙ ΚΑΙ ΠΩΣ ΜΠΟΡΟΥΜΕ ΝΑ ΒΟΗΘΗΣΟΥΜΕ ΓΙΑ ΝΑ ΕΡΘΟΥΝ

ΤΑ ΜΙΚΡΑ ΒΗΜΑΤΑ ΤΗΣ ΘΕΡΑΠΕΥΤΙΚΗΣ ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΑΣ: ΠΩΣ ΕΡΧΟΝΤΑΙ ΚΑΙ ΠΩΣ ΜΠΟΡΟΥΜΕ ΝΑ ΒΟΗΘΗΣΟΥΜΕ ΓΙΑ ΝΑ ΕΡΘΟΥΝ ΤΑ ΜΙΚΡΑ ΒΗΜΑΤΑ ΤΗΣ ΘΕΡΑΠΕΥΤΙΚΗΣ ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΑΣ: ΠΩΣ ΕΡΧΟΝΤΑΙ ΚΑΙ ΠΩΣ ΜΠΟΡΟΥΜΕ ΝΑ ΒΟΗΘΗΣΟΥΜΕ ΓΙΑ ΝΑ ΕΡΘΟΥΝ Eugene T. GENDLIN University of Chicago, U.S.A Αυτό το άρθρο είναι μια αναθεωρημένη έκδοση της πλήρους

Διαβάστε περισσότερα

Μεγάλες αποκλίσεις* 17.1 Η έννοια της μεγάλης απόκλισης

Μεγάλες αποκλίσεις* 17.1 Η έννοια της μεγάλης απόκλισης 7 Μεγάλες αποκλίσεις* 7. Η έννοια της μεγάλης απόκλισης Εστω (X ανεξάρτητες και ισόνομες τυχαίες μεταβλητές ώστε P(X = = P(X = = /2 και S = k= X k το άθροισμα των πρώτων από αυτές. Ο νόμος των μεγάλων

Διαβάστε περισσότερα