Državna matura iz matematike Ispitni katalog za nastavnike
|
|
|
- Νικηφόρος Δαγκλής
- 5 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Držvn mtur iz mtemtike Ispitni ktlog z nstvnike Rujn 7. Verzij. Člnovi stručne rdne skupine z pripremu ispit iz mtemtike doc. dr. sc. Željk Milin Šipuš, Prirodoslovno-mtemtički fkultet-mtemtički odjel Sveučilišt u Zgrebu, voditeljic prof. dr. sc. Zvonimir Šikić, Fkultet strojrstv i brodogrdnje Sveučilišt u Zgrebu Jelen Gusić, prof., XV. gimnzij, Zgreb Jgod Krjin, prof., Tehničk škol Ruđer Bošković, Zgreb Drgic Mrtinović, prof., Žensk opć gimnzij Družbe sestr milosrdnic, Zgreb Josip Pvlić, prof., Gimnzij Lucijn Vrnjnin, Zgreb
2 Opis ispit iz mtemtike n držvnoj mturi Mtemtik je izborni predmet polgnj n držvnoj mturi. Pri kreirnju ispit iz mtemtike z držvnu mturu vodilo se rčun o tome d postoji velik broj rzličitih progrm iz mtemtike. Ispit iz mtemtike stog se može polgti n dvije rzine zhtjevnosti n rzini A i n rzini B. Ispit sdrži zdtke ztvorenog i zdtke otvorenog tip. Zdci ztvorenog tip su zdci višestrukog izbor. Učenik zokružuje slovo ispred jednog od četiri ponuđen odgovor. Zdci otvorenog tip su zdci krtkih odgovor i zdci produljenih odgovor. U zdcim krtkih odogovor, učenik odgovr n postvljeno pitnje, dok u zdcim produljenih odgovor učenik prikzuje postupk rješvnj i odgovr n postvljeno pitnje. Ispit n držvnoj mturi iz mtemtike je jedinstven i njegovo plnirno trjnje (bez prekid) opisno je u sljedećoj tblici: Rzin A Rzin B 8 minut 5 minut Pribor Z polgnje držvne mture iz mtemtke pristupnici koriste uobičjeni pribor z pisnje i brisnje (olovk, gumic). Potrebn je i geometrijski pribor (trokut ili rvnlo, šestr), ko i džepno rčunlo (tzv. znnstveni klkultor). Učenici smiju koristiti i formule predviđene z ispit odbrne rzine zhtjevnosti. Opći ciljevi ispit Držvnom se mturom ispituju rzine znnj i dostignutih kompetencij učenik n krju srednjoškolskog obrzovnj. Pri tome ispit provjerv koliko učenici znju: koristiti mtemtički jezik pri čitnju, interpretirnju i rješvnju zdtk očitvti i interpretirti podtke zdne u nlitičkom, tbličnom i grfičkom obliku ili riječim, te u nvedenim oblicim jsno i logično prikzivti dobivene rezultte mtemtički modelirti problemsku situciju, nći rješenje te provjeriti isprvnost dobivenog rezultt prepoznti i koristiti vezu između rzličitih područj mtemtike koristiti rzličite mtemtičke tehnike pri rješvnju zdtk koristiti džepno rčunlo.
3 Udjeli ispitnih cjelin Udio ispitnih cjelin u ispitu n držvnoj mturi iz mtemtike z rzinu A prikzn je u tblici: Ispitn cjelin Bodovni udio, % Brojevi i lgebr Funkcije 5 Jedndžbe i nejedndžbe Geometrij 5 Modelirnje Ukupno Udio ispitnih cjelin u ispitu n držvnoj mturi iz mtemtike z rzinu B prikzn je u tblici: Ispitn cjelin Bodovni udio, % Brojevi i lgebr 45 Funkcije Jedndžbe i nejedndžbe 5 Geometrij 5 Modelirnje 5 Ukupno Postotni udio pojedine ispitne cjeline odnosi se n postotk ukupnog broj bodov. Moguće odstupnje udjel pojedine cjeline iznosi ±%. Izržvnje rezultt n ispitu Uspjeh n ispitu iz mtemtike n držvnoj mturi iskzivt će se postotkom postignutih bodov u rsponu od do % i ocjenom od do 5. Rspon postotk koji odgovrju pojedinoj ocjeni odredit će Stručn rdn skupin z mtemtiku nkon provedenog ispit. Rezultti ispit n držvnoj mturi koristit će se z sumtivno vrednovnje rd učenik. Opis bodovnj i ocjenjivnje U zdcim višestrukog izbor, svki isprvno riješen zdtk donosi jedn bod. Neisprvni odgovori ne donose negtivne bodove. 3
4 U zdcim krtkih odgovor, svki isprvno riješen zdtk donosi jedn bod. Ako zdtk trži više krtkih odgovor, svki donosi jedn bod. U zdcim produljenih odgovor boduje se postvljnje zdtk, postupk i odgovor prem rzrđenoj bodovnoj shemi. 4
5 Udio sdržj u strukturi mturlnog ispit A rzin A RAZINA Brojevi i lgebr % Funkcije 5% Jedndžbe i nejedndžbe % Geometrij 5% Modelirnje % rzlikovti skupove N, Z, Q, R, C elementrno rčunti ( +,,, :, korjenovti, potencirti, određivti psolutne vrijednosti, zokruživti) koristiti postotke i omjere provoditi opercije s potencijm i korijenim znti binomni poučk znti rčunti s lgebrskim izrzim i lgebrskim rzlomcim koristiti džepno rčunlo rčunti s jedinicm z duljinu, površinu, obujm, vrijeme, msu i novc poznvti pojm funkcije, nčin njezinog zdvnj i opercije s njim ( +,,, :, kompozicij) znti svojstv rst/ pd, prnosti/ neprnosti i periodičnosti funkcije poznvti linernu funkciju i njezin grf poznvti kvdrtnu funkciju i njezin grf poznvti funkcije psolutne vrijednosti i drugog korijen i njihove grfove poznvti grfove polinom i rcionlnih funkcij poznvti eksponencijlnu i logritmsku funkciju i njihove grfove poznvti trigonometrijske funkcije i njihove grfove poznvti pojm niz poznvti pojm derivcije funkcije rješvti linerne jedndžbe i nejedndžbe rješvti kvdrtne jedndžbe i nejedndžbe rješvti jedndžbe i nejedndžbe s psolutnim vrijednostim i s rješvti jednostvnije polinomske i rcionlne jedndžbe i nejedndžbe rješvti eksponencijlne i logritmske jedndžbe i nejedndžbe rješvti trigonometrijske jedndžbe i nejedndžbe rješvti sustve gore nvedenih jedndžbi i nejedndžbi Elementrn geometrij: znti elementrnu geometriju likov u rvnini poznvti prizmu, pirmidu, vljk, stožc, kuglu Trigonometrij: poznvti trigonometriju prvokutnog trokut znti poučk o sinusim i kosinusim znti primjenjivti trigonometriju u plnimetriji i stereometriji Anlitičk geometrij: koristiti koordintni sustv n prvcu i u rvnini poznvti pojm vektor, provoditi opercije s vektorim poznvti jedndžbu prvc poznvti pojm i elemente krivulje drugog red, njihove jedndžbe i skice Rješvti zdtke koristeći brojeve lgebru geometriju funkcije jedndžbe nejedndžbe grfički prikz 5
6 U ZADATCIMA.-. ZAOKRUŽITE JEDAN OD PONUĐENIH ODGOVORA ISPIT A. Z kvdrtnu jedndžbu 4 + 4= vrijedi tvrdnj: A. jedndžb im dv 9 3 (rzličit) reln rješenj B. jedndžb nem relnih rješenj C. jedndžb im smo jedno (dvostruko) rješenje D. jedndžb se ne može riješiti. + 3 : = A. B. C. D U jednoj tbleti je 5. dobrih bkterij. Dijete od A. godin smije popiti njviše dvije tkve tblete tri put n dn. Koliko njviše tih dobrih bkterij dijete smije unijeti u orgnizm u jednom dnu? B. C D Ircionlno rješenje jedndžbe 7 4 = jednko je: A. log 3 B. log3 C. log3 4 D. log4 3 6
7 ISPIT A 5. Koj je od ncrtnih funkcij rstuć smo n intervlu [,5 ]? A. 5 B. 5 C. 5 D Ako je log = s i log = t, ond je log = A. B. C. D. s t s t t s t s 7
8 ISPIT A 7. Apscise istknutih točk K, L, M, N, P n slici rješenj su jedndžbe: A. sin = B. s in + = C. cos = K L.5 M N P D. cos + = π π π π 8. Koji je od ponuđenih vektor okomit n vektor AB? A A. 3i 4 j B. 4i 3 j C. 3i 4 j D. 4i+ 3 j B 9. Zdne su funkcije: ( f g )() = f( ) = + 5 i g 3 ( ) 3 = +. A. 9 B. 6 3 C D Duljine osnovic trpez su cm i 3 cm. Udljenost polovišt dijgonl trpez je: A. 6.5 cm B. 5 C. 3.5 cm D. 3 cm 8
9 ISPIT A. Plin je poskupio 5%. Koliko treb pojeftiniti d bi mu krjnj cijen bil 5.5% već od cijene prije poskupljenj? A. 7.8% B. 8.6% C. 8.96% D. 9.5% ODGOVORITE NA ZADATKE OD Z koji reln broj sustv 4+ 3= 3 3+ = 5 nem rješenje? Odgovor: 3. Skicirjte skup točk rvnine zdn jedndžbom =. 4. Svjetski rekord u trčnju n m je 9.73 s. Koliko je to km/h? Odgovor: km/h 9
10 ISPIT A 5. Grfovi funkcij f i g su prikzni n slici. = f () (,6) (-3,3) (5,) = g() Rješenje nejedndžbe f ( ) g( ) je intervl ( 3 6. Broj + i) zpišite u obliku + bi. Odgovor: 7. Odredite domenu funkcije ( ) log5 4 f( ) = + 5. Odgovor: 8. Odredite mjeru kut koji s pozitivnom zrkom osi ztvr prvc = + 3. Odgovor: ' '' 9. Metlnu kuglu obujm 36π cm 3 treb pretopiti u vljk. Odredite visinu vljk ko je polumjer bze vljk jednk polumjeru kugle. Odgovor: cm
11 ISPIT A. Ncrtjte grf funkcije f( ) = 4.. Usporedno s prvcem + = povučene su tngente n elipsu = 48. Odredite njihove jedndžbe. Odgovor:. N intervlu [,5π ] riješite nejedndžbu: π π sin cos > Odgovor: 3. STADION Posljednji, 5- ti red stdion može primiti 48 gledtelj. Svki prethodni red prim gledtelj mnje. ) Koliko gledtelj prim prvi red stdion? Odgovor: b) Koliko je gledtelj n stdionu, ko je popunjen do posljednjeg mjest? Odgovor:
12 ISPIT A Svečn lož stdion im 5 mjest i smješten je unutr 5-tog do -tog red. Svki njezin red počevši od njnižeg im pet sjedl više od prethodnog. c) Koliko mjest im u prvom redu svečne lože? Odgovor: U ZADATCIMA PRIKAŽITE POSTUPAK RJEŠAVANJA 4. Jedndžb tngente n grf funkcije je = 7. Odredite p i k. 5. Zdn je funkcij f ( ) ( 3 5 ) = + u točki s pscisom = p jednk f ( ) 5 k Odgovor: p =, k = = +. 5 ) Odredite nultočke funkcije. Odgovor: b) Odredite (loklne) ekstreme funkcije. Odgovor:
13 ISPIT A c) Skicirjte grf funkcije. 6. RAZGOVOR Dubrvk i Ivn komunicirju elektronskim uređjem domet 5 m. Dubrvk stoji n mjestu, Ivn hod kko je prikzno n slici. Koliko metr Ivn može hodti od trenutk uspostvljnj do trenutk prekid komunikcije? DUBRAVKA 688 m A 43 4' IVANA Odgovor: m 3
14 A RAZINA F O R M U L E Kompleksn broj: i =, z = + bi, z = bi, z = + b, b, R ( ) z = r(cosϕ + isin ϕ), z z = rr cos( ϕ + ϕ ) + isin( ϕ + ϕ ), z z r = ( cos( ϕ ϕ) + isin( ϕ ϕ) ), n n z = r (cosnϕ + isin nϕ ), r n n ϕ + kπ ϕ + kπ z = r cos + isin, k =,,..., n n n m n m n = + m n m, : = n ( ), m = m ( ), n m n m = ( ) ± b = ± b+ b, ( ) ± b = ± b+ b ± b 3 b = ( b)( + b), ± b = ( ± b)( b+ b ) n n n + b = + b b b k n ( ) 3 3 n n n n k k n + b n b± b 4c Kvdrtn jedndžb: + b + c =,, = b c Vièteove formule: + =, = 4 Tjeme prbole: b, b T c 4 b b = = log b, log b b = = b log b( ) = logb + logb, logb = logb logb, logb = logb, log log log = log v Površin trokut: P + b+ c =, P= s ( s ) ( s b) ( s c), s = bsinγ bc P =, P =, P= ru s 4r o 3 3 Jednkostrničn trokut: visin: v =, površin: P =, ro = v, ru = v c Površin prlelogrm: P= v Površin trpez: P= v Površin krug: P= r π Opseg krug: O= rπ r πα rπα Površin kružnog isječk: P = Duljin kružnog luk: l = 36 8 Obujm prizme i vljk: V = B h, Oplošje prizme i vljk: O= B+ P Obujm pirmide i stošc: V = B h, Oplošje pirmide: O= B+ P, stošc: O= r π + rπ s Obujm kugle: V = r π, Oplošje kugle: O= 4r π 3 U prvokutnom trokutu: nsuprotn ktet sinus kut =, hipotenuz priležeć ktet kosinus kut = hipotenuz, b b nsuprotn ktet tngens kut = priležeć ktet b c Poučk o sinusim: = = Poučk o kosinusim: c = + b bcosγ sin α sin β sin γ 4
15 A RAZINA sin + cos =, sin tg =, sin = sin cos, cos ( ± ) = ±, ( ) sin sin cos sin cos cos = cos sin cos ± = cos cos sin sin, Udljenost točk T, T : dt (, T) = ( ) + ( ) + Polovište dužine TT : + P, Površin trokut 3 P= + + Vektor TT : TT = = ( ) i + ( ) j = i + j Sklrni umnožk vektor: b = b cosα b = b + b Jedndžb prvc: k( ) Udljenost točke ( ) Krivulj drugog red Kružnic središte S( p, q) Elips fokusi F, ( ± e,) Hiperbol fokusi F, ( ± e,) Prbol fokus p F, TT T : ( ) ( ) ( ) 3 3 3, tg ± tg tg( ± ) = tg tg k k =, k = Kut između dvju prvc: tgα = + kk A+ B+ C T, i prvc p... A + B + C = : dt (, p) = A + B Jedndžb Tngent u točki krivulje (, ) + =r ( p)( p) ( q)( q) r ( p) ( q) + =, b =, b e b Uvjet dodir prvc = k+ l i krivulje + = ( ) r + k = ( kp q+ l) = + = k + b = l b e = + b b =± = k b = l b ( ) = p = p + p = kl n Aritmetički niz: n = + ( n ) d, Sn = ( + n) n Geometrijski niz: n q n q =, Sn = q Geometrijski red: S =, q < q Derivcij umnošk: ( f g) f g f g Tngent n grf funkcije f u (, ) Derivcije: c ' = n n ( ) = n, f f g f g = + ; Derivcij kvocijent: = g g = f T : ( ) ( ) n ( sin ) = cos ( cos ) = sin ( tg ) = cos 5
16 Udio sdržj u strukturi mturlnog ispit B rzin B RAZINA Brojevi i lgebr 45% Funkcije % Jedndžbe i nejedndžbe 5% Geometrij 5% Modelirnje 5% rzlikovti skupove N, Z, Q, R elementrno rčunti ( +,,, :, korjenovti, potencirti, određivti psolutne vrijednosti, zokruživti) koristiti postotke i omjere znti rčunti s lgebrskim izrzim koristiti džepno rčunlo rčunti s jedinicm z duljinu, površinu, obujm, vrijeme, msu i novc poznvti pojm funkcije i nčin njezinog zdvnj poznvti linernu funkciju i njezin grf poznvti kvdrtnu funkciju i njezin grf poznvti eksponencijlnu i logritmsku funkciju i njihove grfove rješvti linerne jedndžbe i nejedndžbe rješvti kvdrtne jedndžbe i nejedndžbe rješvti jednostvnije eksponencijlne i logritmske jedndžbe rješvti jednostvnije sustve gore nvedenih jedndžbi znti elementrnu geometriju likov u rvnini poznvti prizmu, pirmidu, vljk, stožc, kuglu koristiti koordintni sustv n prvcu i u rvnini poznvti jedndžbu prvc Rješvti zdtke koristeći: brojeve lgebru geometriju funkcije jedndžbe nejedndžbe grfički prikz 6
17 U ZADATCIMA.-. ZAOKRUŽITE JEDAN OD PONUĐENIH ODGOVORA ISPIT B. Zjednički dio ztvorenih intervl prikznih n slici sdrži: -5 A. 5 cijelih brojev B. 4 cijel broj 3 4 C. 3 cijel broj D. cijel broj. Mrko je pročito /3, An 7/, Pero 5/6 i Višnj / iste knjige. Tko je pročito njviše? A. Mrko B. An C. Pero D. Višnj 3. Ako je O= + b, td je b jednko: O A. b= + O B. b= C. D. O+ b = O b = 4. Skupu svih rješenj nejedndžbe 3 < pripd broj: A. B. C. D. 7
18 ISPIT B 5. Prvcu n slici pripd točk: A. (, 3) B. ( 3, ) C. ( 4,3 ) D. ( 4, 4) 6. = b A. b b B. b b C. b D. b 7..3 sti je: A. sti i 3 minute B. sti i 8 minut C. sti i minut D. sti i 3 minut 8. log 5 + log 4 = A. log 9 B. log C. D. 8
19 ISPIT B 9. Rčunlo gubi n vrijednosti % svke godine. Ako je kupljeno z 35 kn, kolik mu je vrijednost nkon dvije godine? A. 4 kn B. 56 kn C. 4 kn D. 8 kn 7. U jednoj tbleti je 5. dobrih bkterij. Dijete od godin smije popiti njviše dvije tkve tblete tri put n dn. Koliko njviše tih dobrih bkterij dijete smije unijeti u orgnizm u jednom dnu? A. B. C D N kojoj je slici prikzn grf funkcije ( ) =? f A. B. C. D. 9
20 ISPIT B. Duljine strnic prvokutnog trokut su 3 cm, 4 cm i 5 cm. Površin tog trokut iznosi: A. 6 cm B. cm C. cm D. 3 cm ODGOVORITE NA ZADATKE OD Pomnožite i pojednostvnite 5( 4)(3 + ). Odgovor: 4. Riješite sustv jedndžbi + 3 = = 5 Odgovor: =, = 5. Riješite jedndžbu 3 =. Odgovor: =, = 6. Cijen mndrin proporcionln je njihovoj msi. Dopunite tblicu: ms 3 kg.5 kg cijen 3.5 kn 56.5 kn 7. Popunite: 3 + = Izrčunjte Odgovor: 9. + Odredite iz jedndžbe =.. Odgovor: =
21 ISPIT B. Odredite opseg lik s slike. 7 cm 5 cm cm. Putnj lopte opisn je funkcijom Odgovor: cm = + +, gdje je h visin lopte iznd 5 h zemlje u metrim, horizontln udljenost od mjest ispucvnj. Odredite visinu njvišeg položj lopte iznd zemlje. Odgovor:. SNIJEG NA ZAVIŽANU Grf prikzuje visinu snijeg izmjerenog n Zvižnu tijekom jednog tjedn: visin snijeg (cm) 5 pon 6: uto 6: sri 6: čet 6: pet 6: sub ned pon 6: 6: 6: vrijeme mjerenj ) Kolik je visin snijeg izmjeren u nedjelju u 6: sti? Odgovor: cm b) Visin snijeg je rsl u dv nvrt. Koliko je ukupno centimetr snijeg npdlo u t dv nvrt? Odgovor: cm
22 ISPIT B 3. LEDENICA Vez temperture T u ledenici i vremen t koliko je ledenic uključen zdn je formulom: Tt ( ) =.t+. Pri tome je tempertur izržen u C, vrijeme u minutm. ) Kolik je tempertur u ledenici pol st nkon uključenj? Odgovor: C b) Koliko minut poslije isključenj je tempertur u ledenici bil C? Odgovor: min U ZADATCIMA RIJEŠITE ZADATAK I PRIKAŽITE POSTUPAK RJEŠAVANJA 4. Zdne su funkcije f ( ) = 3 i g ( ) =. ) Prikžite njihove grfove u istom koordintnom sustvu. b) Izrčunjte udljenost sjecišt grfov tih funkcij. Odgovor:
23 ISPIT B 5. ZDRAVA PREHRANA Dnevn potreb odrsle osobe iznosi 5 g ugljikohidrt i,9 g bjelnčevin po kg težine. Kilogrm hrne A im g ugljikohidrt i 6 g bjelnčevin, dok kilogrm hrne B im g ugljikohidrt i g bjelnčevin. Koliko kilogrm hrne A i B treb konzumirti d se zdovolje dnevne potrebe ugljikohidrt i bjelnčevin osobe koj je tešk 5 kg? Odgovor: Hrne A kg Hrne B kg 3
24 B RAZINA F O R M U L E m n m n = + m n m n : =, m = m, ± b = ± b+ b ( ) b = ( b)( + b) Rješenj kvdrtne jedndžbe + + =, : b c, = ± b b 4c Tjeme prbole: 4 T, 4 b b c = = log, log = = log log( ) = log + log, log = log log, log = log Površin trokut: v P = Površin prlelogrm: P= v Površin krug: P= Opseg krug: O= rπ r π B = površin bze, P = površin pobočj, h = duljin visine Obujm prizme i vljk: V = B h Oplošje prizme: O= B+ P Obujm pirmide i stošc: Obujm kugle: V = B h Oplošje pirmide: O= B+ P 3 4 V = 3 3 r π Udljenost točk T,T : dt ( ( ) ( ), T) = + Jedndžb prvc: = k( ), k = Uvjet usporednosti prvc: k = k 4
x y 2 9. Udaljenost točke na osi y od pravca 4x+3y=12 jednaka je 4. Koja je to točka?
MATEMATIKA Zdci s držvne mture viš rzin Brojevi i lgebr Funkcije Jedndžbe i nejedndžbe Geometrij Trigonometrij LINEARNA FUNKCIJA 1. Uz koji uvjet jedndžb A+By+C=0 predstvlj prvc?. Koje je znčenje broj
Rijeseni neki zadaci iz poglavlja 4.5
Rijeseni neki zdci iz poglvlj 4.5 Prije rijesvnj zdtk prisjetimo se itnih stvri koje ce ns prtiti tijekom njihovog promtrnj. Definicij: (Trigonometrij prvokutnog trokut) ktet nsuprot kut ϕ sin ϕ hipotenuz
c = α a + β b, [sustav rješavamo metodom suprotnih koeficijenata]
![c = α a + β b, [sustav rješavamo metodom suprotnih koeficijenata]](/thumbs/92/108578155.jpg "c = α a + β b, [sustav rješavamo metodom suprotnih koeficijenata]")
Zdtk (Tihomir, tehničk škol) c = 8 i. Rješenje Prikži vektor c ko linernu kombinciju vektor i b ko je = i + 3 j, b = 4 i 3 j, Nek su i b vektori i α, β relni brojevi. Vektor c = α + β b nzivmo linernom
OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRAVOKUTNOG TROKUTA
OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRVOKUTNOG TROKUT - DEFINIIJ TRIGONOMETRIJSKIH FUNKIJ - VRIJEDNOSTI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKIJ KUTOV OD - PRIMJEN N PRVOKUTNI TROKUT - PRIMJEN U PLNIMETRIJI 4.1. DEFINIIJ TRIGONOMETRIJSKIH
A MATEMATIKA Zadana je z = x 3 y + 1
A MATEMATIKA (.5.., treći kolokvij). Zdn je z 3 + os. () Izrčunjte ngib plohe u pozitivnom smjeru -osi. (b) Izrčunjte ngib pod ) u točki T(, ). () Izrčunjte z u T(, ). (5 bodov). Zdn je z 3 ln. () Izrčunjte
= + injekcija. Rješenje 022 Kažemo da funkcija f ima svojstvo injektivnosti ili da je ona injekcija ako vrijedi
Zdtk 0 (Anstzij, gimnzij) Provjeri je li funkcij f log( 5) + + injekcij Rješenje 0 Kžemo d funkcij f im svojstvo injektivnosti ili d je on injekcij ko vrijedi f ( ) f ( ) Dkle, funkcij je injekcij ko rzličitim
γ = 120 a 2, a, a + 2. a + 2
Zdtk (Slvi, gimnzij) Duljine strni trokut čine ritmetički niz (slijed) s rzlikom Jedn kut iznosi Koliki je opseg trokut? Rješenje inči udući d duljine strni trokut čine ritmetički niz (slijed) s rzlikom,
Nacionalni centar za vanjsko vrednovanje obrazovanja MATEMATIKA
Ncioli cetr z vjsko vredovje orzovj MATEMATIKA viš rzi KNJIŽICA FORMULA VIŠA VIŠA RAZINA RAZINA Kopleks roj: i i Mtetik Kopleks roj: Kopleks roj: i z i i z i i z R Kjižic forul VIŠA (cos RAZINA si Kopleks
4 INTEGRALI Neodredeni integral Integriranje supstitucijom Parcijalna integracija Odredeni integral i
Sdržj 4 INTEGRALI 64 4. Neodredeni integrl........................ 64 4. Integrirnje supstitucijom.................... 68 4. Prcijln integrcij....................... 7 4.4 Odredeni integrl i rčunnje površine
Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu 2. ARITMETICKI I GEOMETRIJSKI NIZ, RED, BINOMNI POUCAK. a n ti clan aritmetickog niza
Mte Vijug: Rijesei zdci iz mtemtike z sredju skolu. ARITMETICKI I GEOMETRIJKI NIZ, RED, BINOMNI POUCAK. Aritmeticki iz Opci oblik ritmetickog iz: + - d Gdje je: prvi cl ritmetickog iz ti cl ritmetickog
4. Trigonometrija pravokutnog trokuta
4. Trigonometrij prvokutnog trokut po školskoj ziri od Dkić-Elezović 4. Trigonometrij prvokutnog trokut Formule koje koristimo u rješvnju zdtk: sin os tg tg ktet nsuprot kut hipotenuz ktet uz kut hipotenuz
Poučak o kosinusu (kosinusov poučak) U trokutu ABC vrijede ove jednakosti b + c a a + c b a + b c.
Zdtk 4 (4, TUŠ) Kolik je mjer njmnjeg kut u trokutu kojemu su strnie duljin 7 m, 8 m i 9 m? Rješenje 4 Trokut je dio rvnine omeñen s tri dužine Te dužine zovemo strnie trokut Nsuprot većoj strnii u trokutu
Rješenje: F u =221,9 N; A x = F u =221,9 N; A y =226,2 N.
Osnove strojrstv Prvilo izolcije i uvjeti rvnoteže Prijeri z sostlno rješvnje 1. Gred se, duljine uležišten je u točki i obješen je n svoje krju o horizontlno uže. Izrčunjte horizontlnu i vertiklnu koponentu
( ) p a. poklopac. Rješenje:
5 VJEŽB - RIJEŠENI ZDI IZ MENIKE LUID 1 1 Treb odrediti silu koj drži u rvnoteži poklopc B jedinične širine, zlobno vezn u točki, u položju prem slici Zdno je : =0,84 m; =0,65 m; =5,5 cm; =999 k/m B p
Popis zadataka. 1. Odredi Re
Pops zdtk. Odred Re. Odred, ko vrjed: (-) +(-b) = (-b). Zbroj znmenk dvoznmenkstog broj jednk je, umnožk. Koj je to broj?. U koordntnom sustvu prkž grf funkcje f() = -(+)(-). Izrčunj vrjednost ostlh funkcj
dužina usmjerena (orijentirana) dužina (zna se koja je točka početna, a koja krajnja) vektor
I. VEKTORI d. sc. Min Rodić Lipnović 009./010. 1 Pojm vekto A B dužin A B usmjeen (oijentin) dužin (n se koj je točk početn, koj kjnj) A B vekto - kls ( skup ) usmjeenih dužin C D E F AB je epeentnt vekto
Odredjeni integral je granicna vrijednost sume beskonacnog broja clanova a svaki clan tezi k nuli i oznacava se sa : f x dx f x f x f x f x b a f
Mte ijug: Rijeseni zdci iz vise mtemtike 8. ODREDJENI INTEGRALI 8. Opcenito o odredjenom integrlu Odredjeni integrl je grnicn vrijednost sume eskoncnog roj clnov svki cln tezi k nuli i ozncv se s : n n
2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x
Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:
Općenito, iznos normalne deformacije u smjeru normale n dan je izrazom:
Otporost mterijl. Zdtk ZDTK: U točki čeliče kostrukije postvlje su tri osjetil z mjereje deformij prem slii. ri opterećeju kostrukije izmjeree su reltive ormle (dužiske deformije: b ( - b 3 - -6 - ( b
Mimoilazni pravci. Ela Rac Marinić Kragić, Zagreb
Mimoilzni prvci El Rc Mrinić Krgić, Zgreb Dv se prvc u rvnini ili sijeku ili ne sijeku. Ako se sijeku, sjecište može biti jedn tok, prvci se mogu i poklpti. Ovj drugi sluj zjedno s slujem kd dv prvc nemju
2.6 Nepravi integrali
66. INTEGRAL.6 Neprvi integrli Definicij. Nek je f : [, R funkcij koj je Riemnn integrbiln n svkom podsegmentu [, ] od [,. Ako postoji končn es f() (.4) ond se tj es zove neprvi integrl funkcije f n [,
Koliko sati toga dana je razina vode bila iznad 30 cm? A) 5 B) 6 C) 7 D) 9 E) 13 Rješenje: E. Rješenje: A A) 1 B) 2 C) 6 4 D) 3 4 E) 2.
MATEMATIČKI KLOKAN S 6 700 000 sudionik u zemlji Europe, Amerike, Afrike i Azije Četvrtk,. ožujk 0. Trjnje 7 minut Ntjecnje z Student (IV. rzred SŠ) * Ntjecnje je pojedinčno. Rčunl su zbrnjen. * Svki zdtk
6 Primjena trigonometrije u planimetriji
6 Primjena trigonometrije u planimetriji 6.1 Trgonometrijske funkcije Funkcija sinus (f(x) = sin x; f : R [ 1, 1]); sin( x) = sin x; sin x = sin(x + kπ), k Z. 0.5 1-6 -4 - -0.5 4 6-1 Slika 3. Graf funkcije
1 Ekstremi funkcija više varijabli
1 Ekstremi funkcij više vrijbli Definicij ekstrem funkcije: Funkcij u = f(x 1, x 2,, x n ) im u točki T ( 1, 2,, n ) A) LOKALNI MINIMUM f( 1, 2,, n ) ko z svku točku T vrijedi nejednkost: T ( 1 + dx 1,
ZAVRŠNI ISPIT NA KRAJU OSNOVNOG OBRAZOVANJA I ODGOJA. školska 2013./2014. godina TEST MATEMATIKA UPUTE ZA RAD
ZAVRŠNI ISPIT NA KRAJU OSNOVNOG OBRAZOVANJA I ODGOJA školsk 0./04. godin TEST MATEMATIKA UPUTE ZA RAD Test koji trebš riješiti im 0 zdtk. Z rd je predviđeno 0 minut. Zdtke ne morš rditi prem redoslijedu
( ) ( )
ŠKOLSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 9. siječnj 05. 4. rzred-rješenj OVDJE SU DANI NEKI NAČINI RJEŠAVANJA ZADATAKA. UKOLIKO UČENIK IMA DRUGAČIJI POSTUPAK RJEŠAVANJA, ČLAN POVJERENSTVA DUŽAN JE I TAJ
TRIGONOMETRIJA TROKUTA
TRIGONOMETRIJA TROKUTA Standardne oznake u trokutuu ABC: a, b, c stranice trokuta α, β, γ kutovi trokuta t,t,t v,v,v s α,s β,s γ R r s težišnice trokuta visine trokuta simetrale kutova polumjer opisane
Formule iz Matematike II. Mandi Orlić Tin Perkov
Formule iz Mtemtike II Mndi Orlić Tin Perkov INTEGRALI NEODREDENI INTEGRALI Svojstv 1. (f(x) ± g(x)) = ± g(x) 2. = Tblic integrl f(x) F(x) + C x + C x x +1 +1 + C 1 x ln x + C 1 x+b ln x + b + C e x e
( , treći kolokvij) 3. Na dite lokalne ekstreme funkcije z = x 4 + y 4 2x 2 + 2y 2 3. (20 bodova)
A MATEMATIKA (.6.., treći kolokvij. Zadana je funkcija z = e + + sin(. Izračunajte a z (,, b z (,, c z.. Za funkciju z = 3 + na dite a diferencijal dz, b dz u točki T(, za priraste d =. i d =.. c Za koliko
Matematika 1 - vježbe. 11. prosinca 2015.
Matematika - vježbe. prosinca 5. Stupnjevi i radijani Ako je kut φ jednak i rad, tada je veza između i 6 = Zadatak.. Izrazite u stupnjevima: a) 5 b) 7 9 c). d) 7. a) 5 9 b) 7 6 6 = = 5 c). 6 8.5 d) 7.
Osnove elektrotehnike I parcijalni ispit VARIJANTA A. Profesorov prvi postulat: Što se ne može pročitati, ne može se ni ocijeniti.
Osnove elektrotehnike I prcijlni ispit 3..23. RIJNT Prezime i ime: roj indeks: Profesorov prvi postult: Što se ne može pročitti, ne može se ni ocijeniti... U vzdušni pločsti kondenztor s rstojnjem između
Opsezi i površine - DZ
Opsezi i površine - DZ Iko učenici u 4. rzredu uče vrste trokut, uče o prvokutniku i kvdrtu, upoznju se s pojmom opseg i površine, s kvdrtnim mjernim jedinicm, s pojmom formule i kko u formulu uvrštvmo
(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.
1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,
Budući da je u jednakokračnom pravokutnom trokutu visina osnovice jednaka polovini osnovice, vrijedi: a 2
Zdtk (Romn, gimnzij) Sdnji jdnkokčnog tpz im duljinu 5 ko su dijgonl mđusono okomit, kolik j njgo pošin? Rjšnj udući d j u jdnkokčnom pokutnom tokutu isin osnoi jdnk poloini osnoi, ijdi: x = + = x + y
1.PRIZMA ( P=2B+M V=BH )
.RIZMA ( =+M = ).Izrčunti površinu i zpreminu kvr čij je ijgonl ug 0m, užine osnovnih ivi su m i m. D 0m m b m,? D 00 b 00 8 8 b b 87 87 0 87 8 87 b 87 87 87 8 87. Ivie kvr onose se ko :: ijgonl je ug.oreiti
Osnove inženjerskog proračuna
Osnove inženjerskog prorčun Skript z studente Sveučilišt Sjever Ktrin Pisčić, UNIN 04. Kut Kut je dio rvnine omeđen s dv prvc koj se sijeku. Obično se obilježv kružnim lukom među prvcim. Ako je duljin
Pismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z.
Pismeni ispit iz matematike 06 007 Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj z = + i, zatim naći z Ispitati funkciju i nacrtati grafik : = ( ) y e + 6 Izračunati integral:
Priprema za ispit - RJEŠENJA
Priprem z ispit - RJEŠENJA 1. Odredi duljinu strnie i kutove trokut ABC ko je = 16 m, = 11.2 m te + = 93⁰. = 16 m = 11.2 m + = 93⁰,,, =? Njprije ćemo izrčunti kut jer je = 180⁰ - ( + ) = 87⁰ No, sd znmo
RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ
RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ LOGARITAMSKA FUNKCIJA SVOJSTVA LOGARITAMSKE FUNKCIJE OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRAVOKUTNOG TROKUTA - DEFINICIJA TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA - VRIJEDNOSTI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA
( ) 2. 3 upisana je kocka. Nađite brid kocke.
Zdtk 00 (Tomislv, tehničk škol) Kugli polumje upisn je kok. Nđite id koke. Rješenje 00 ko je kugli upisn kok, ond je pomje kugle jednk postonoj dijgonli koke: =. Poston dijgonl koke čun se fomulom: D =.
( , 2. kolokvij)
A MATEMATIKA (0..20., 2. kolokvij). Zadana je funkcija y = cos 3 () 2e 2. (a) Odredite dy. (b) Koliki je nagib grafa te funkcije za = 0. (a) zadanu implicitno s 3 + 2 y = sin y, (b) zadanu parametarski
TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1.
TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I Odredi na brojevnoj trigonometrijskoj kružnici točku Et, za koju je sin t =,cost < 0 Za koje realne brojeve a postoji realan broj takav da je sin = a? Izračunaj: sin π tg
a) Kosi hitac Krivolinijsko gibanje materijalne toke Sastavljeno gibanje Specijalni sluajevi kosog hica: b) Horizontalni hitac c) Vertikalni hitac
) Kosi hic Kriolinijsko ibnje merijlne oke Ssljeno ibnje 5. dio 3 4 Specijlni slujei koso hic: b) orizonlni hic c) Veriklni hic b) orizonlni hic c) Veriklni hic 5 6 7 ) Kosi hic 8 Kosi hic (bez opor zrk)
ELEKTROTEHNIČKI ODJEL
MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,
MATEMATIKA 2. seminari. studij: Prehrambena tehnologija i Biotehnologija
MATEMATIKA seminri studij: Prehrmben tehnologij i Biotehnologij Sdržj Integrlni rčun funkcije jedne vrijble. Uvod................................. Odredeni (Riemnnov) integrl. Problem površine........
Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA. Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke.
Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke. 1. Duljine dijagonala paralelograma jednake su 6,4 cm i 11 cm, a duljina jedne njegove
MATEMATIKA 1 8. domaća zadaća: RADIJVEKTORI. ALGEBARSKE OPERACIJE S RADIJVEKTORIMA. LINEARNA (NE)ZAVISNOST SKUPA RADIJVEKTORA.
Napomena: U svim zadatcima O označava ishodište pravokutnoga koordinatnoga sustava u ravnini/prostoru (tj. točke (0,0) ili (0, 0, 0), ovisno o zadatku), označava skalarni umnožak, a vektorski umnožak.
R A D N I M A T E R I J A L I
Krmen Rivier R A D N I M A T E R I J A L I M A T E M A T I K A II. dio SPLIT 7. IV. FUNKCIJE 4.. POTREBNO PREDZNANJE 4.. REALNE FUNKCIJE JEDNE VARIJABLE 4.. INTERPOLACIJA 7 4.. NEKE OSNOVNE ELEMENTARNE
7 Algebarske jednadžbe
7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.
2. KOLOKVIJ IZ MATEMATIKE 1
2 cos(3 π 4 ) sin( + π 6 ). 2. Pomoću linearnih transformacija funkcije f nacrtajte graf funkcije g ako je, g() = 2f( + 3) +. 3. Odredite domenu funkcije te odredite f i njenu domenu. log 3 2 + 3 7, 4.
IZVOD FUNKCIJE Predpostvimo d je unkcij deinisn u nekom intervlu, i d je tčk iz intervl, iksirn. Uočimo neku proizvoljnu tčku iz tog intervl,. Ov tčk može d se pomer levo desno, p ćemo je zvti promenljiv
Osnovna škola. b) Koliko prstenova treba objesiti na kukicu s lijeve strane na slici 2 da bi poluga bila u ravnoteži? 1 3 F/N
ŠKOLSKO/OPĆINSKO NTJENJE IZ FIZIKE 2.2.2009. Osnovn škol Uut: U svim zdcim gdje je to otrebno koristiti g = 10 N/kg. 1. zdtk (7 bodov) ) Slik 1 rikzuje olugu u rvnoteži n kojoj se nlze dv rsten i neoznti
21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI
21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE 2014. GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI Bodovanje za sve zadatke: - boduju se samo točni odgovori - dodatne upute navedene su za pojedine skupine zadataka
REPETITORIJ MATEMATIKE za studente elektrotehnike
REPETITORIJ MATEMATIKE z studente elektrotehnike Bojn Kovčić Luk Mrohnić Tihn Strmečki Tehničko veleučilište u Zgrebu Predgovor Ovj priručnik nmijenjen je studentim 1. godine stručnih studij elektrotehnike
( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4
UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET Riješiti jednačine: a) 5 = b) ( ) 3 = c) + 3+ = 7 log3 č) = 8 + 5 ć) sin cos = d) 5cos 6cos + 3 = dž) = đ) + = 3 e) 6 log + log + log = 7 f) ( ) ( ) g) ( ) log
SLIČNOST TROUGLOVA. kažemo da su slične ( sa koeficijentom sličnosti k ) ako postoji transformacija sličnosti koja figuru F prevodi u figuru F
SLIČNOST TROUGLOV Z dve figure F i F kžemo d su slične ( s koefiijentom sličnosti k ) ko postoji trnsformij sličnosti koj figuru F prevodi u figuru F. Činjeniu d su dve figure slične obeležvmo s F F. Sličnost
PRIJEMNI ISPIT MATEMATIKA
PRIJEMNI ISPIT MATEMATIKA Skupovi Brojevi Osnovni zkoni Opercije Rcionlizcij Proporcije Polinoi Množenje, deljenje, rstvljnje n činioce, njnji zjednički sdržilc, njveći zjednički delilc Ekvivlentne trnsforcije
Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu
17. VEKORI I KVADRANE MARICE 17.1 Opcenito o vektorim Vektor je usmjeren duzin i zto im: pocetk (hvtiste), krj i smjer. Vektor se ozncv s oznkom n pr.: rpq,, Duzin PQ ili r nziv se duzin vektor, intenzitet
α =. n n n Vježba 001 Koliko stranica ima pravilni mnogokut ako jedan njegov unutarnji kut iznosi 144? Rezultat: n = 10.
Zdtk (Mrij, gimzij) Koliko stric im prvili mogokut ko jed jegov uutrji kut izosi 8? Rješeje Formul z veličiu jedog uutrjeg kut prvilog mogokut je: ( ) 8 α = ( ) 8 8 = / 8 = ( ) 8 8 = 8 6 8 8 = 6 7 = 6
Analitička geometrija i linearna algebra. Kartezijev trodimenzionalni pravokutni koordinatni sustav čine 3 međusobno okomite osi: Ox os apscisa,
Alitičk geoetrij i lier lger Vektori KOORDINATNI SUSTAV Krteijev prvokuti koorditi sustv Krteijev trodieioli prvokuti koorditi sustv čie eđusoo okoite osi: O os pscis O os ordit O os plikt točk O ishodište
Neodreeni integrali. Glava Teorijski uvod
Glv Neodreeni integrli. Teorijski uvod Nek je funkcij f :, b R. Definicij: ϕ- primitivn funkcij funkcije f ϕ f, b Teorem: ϕ- primitivn funkcij funkcije f ϕ+c- primitivn funkcij funkcije f Definicij: f
RADIJVEKTORI. ALGEBARSKE OPERACIJE S RADIJVEKTORIMA. LINEARNA (NE)ZAVISNOST SKUPA RADIJVEKTORA.
Napomena: U svim zadatcima O označava ishodište pravokutnoga koordinatnoga sustava u ravnini/prostoru (tj. točke (0,0) ili (0, 0, 0), ovisno o zadatku), označava skalarni umnožak, a vektorski umnožak.
ТЕМПЕРАТУРА СВЕЖЕГ БЕТОНА
ТЕМПЕРАТУРА СВЕЖЕГ БЕТОНА empertur sežeg beton menj se tokom remen i zisi od ećeg broj utijnih prmetr: Početne temperture mešine (n izsku iz mešie), emperture sredine, opote hidrtije ement, Rzmene topote
Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu
Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x
MATEMATIKA Pokažite da za konjugiranje (a + bi = a bi) vrijedi. a) z=z b) z 1 z 2 = z 1 z 2 c) z 1 ± z 2 = z 1 ± z 2 d) z z= z 2
(kompleksna analiza, vježbe ). Izračunajte a) (+i) ( i)= b) (i+) = c) i + i 4 = d) i+i + i 3 + i 4 = e) (a+bi)(a bi)= f) (+i)(i )= Skicirajte rješenja u kompleksnoj ravnini.. Pokažite da za konjugiranje
2.7 Primjene odredenih integrala
. INTEGRAL 77.7 Primjene odredenih integrala.7.1 Računanje površina Pořsina lika omedenog pravcima x = a i x = b te krivuljama y = f(x) i y = g(x) je b P = f(x) g(x) dx. a Zadatak.61 Odredite površinu
POTPUNO RIJEŠENI 2000/2001. TEHNIČKE FAKULTETE PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNU PRIPREMU PRIJEMNOG ISPITA NA
POTPUNO RIJEŠENI ZADACI PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNU PRIPREMU PRIJEMNOG ISPITA NA TEHNIČKE FAKULTETE 000/00. Zdte riješili i grfiči obrdili * IANA i MLADEN SRAGA * Tehniči-fulteti 000./00. Zdci su uzeti iz
Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A
Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Ime i prezime: 1. Prikazane su tačke A, B i C i prave a,b i c. Upiši simbole Î, Ï, Ì ili Ë tako da dobijeni iskazi
Odred eni integrali. Osnovne osobine odred enog integrala: f(x)dx = 0, f(x)dx = f(x)dx + f(x)dx.
Odred eni integrli Osnovne osobine odred enog integrl: fx), fx) fx) b c fx), fx) + c fx), 4 ) b αfx) + βgx) α fx) + β gx), 5 fx) F x) b F b) F ), gde je F x) fx), 6 Ako je f prn funkcij fx) f x), x R ),
VALJAK. Valjak je geometrijsko telo ograničeno sa dva kruga u paralelnim ravnima i delom cilindrične površi čije su
ALJAK ljk je geometijsko telo ogničeno s dv kug u plelnim vnim i delom ilindične povši čije su izvodnie nomlne n vn ti kugov. Os vljk je pv koj polzi koz ente z. Nvno ko i do sd oznke su: - je povšin vljk
Pismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1.
Pismeni ispit iz matematike 0 008 GRUPA A Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: λ + z = Ispitati funkciju i nacrtati njen grafik: + ( λ ) + z = e Izračunati
Ako je f neprekinuta funkcija, definirana na intervalu [a,b], tad postoji barem jedna točka ξ [a,b] za koju je
![Ako je f neprekinuta funkcija, definirana na intervalu [a,b], tad postoji barem jedna točka ξ [a,b] za koju je](/thumbs/80/80496402.jpg "Ako je f neprekinuta funkcija, definirana na intervalu [a,b], tad postoji barem jedna točka ξ [a,b] za koju je")
Jednostvno, ili ne? Trpezn formul Neven Elezović, Zgreb Problem površine Teorem srednje vrijednosti Površin ispod grf pozitivne funkcije f jednk je odredenom - integrlu te funkcije, rčun se obično Newton-Leibnitzovom
Kinematika materijalne toke. 3. dio a) Zadavanje krivocrtnog gibanja b) Brzina v i ubrzanje a
Kinemik meijlne oke 3. dio ) Zdnje kiocnog gibnj b) Bzin i ubznje 1 Kiocno gibnje meijlne oke Položj meijlne oke u skom enuku emen možemo definii n slijedee nine: 1. Vekoski nin defininj gibnj (). Piodni
KUPA I ZARUBLJENA KUPA
KUPA I ZAUBLJENA KUPA KUPA Povšin bze B Povšin omotč M P BM to jet P B to jet S O o kupe Oni peek Obim onog peek O op Povšin onog peek P op Pimen pitgoine teoeme vnotn jednkotn kup je on kod koje je, p
UVOD. Ovi nastavni materijali namijenjeni su studentima
UVOD Ovi nstvni mterijli nmijenjeni su studentim u svrhu lkšeg prćenj i boljeg rzumijevnj predvnj iz kolegij mtemtik. Ovi mterijli čine suštinu nstvnog grdiv p, uz obveznu literturu, mogu poslužiti studentim
Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto
Trigonometrija Adicijske formule Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije
Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu)
Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Vidosava Šimić 22. prosinca 2009. Domena funkcije dvije varijable Ako je zadano pridruživanje (x, y) z = f(x, y), onda se skup D = {(x, y) ; f(x, y) R} R 2 naziva
GRANIČNE VREDNOSTI FUNKCIJA zadaci II deo
GRANIČNE VREDNOSTI FUNKCIJA zdci II deo U sledećim zdcim ćemo korisii poznu grničnu vrednos: li i mnje vrijcije n i 0 n ( Zdci: ) Odredii sledeće grnične vrednosi: Rešenj: 4 ; 0 g ; 0 cos v) ; g) ; 4 ;
π π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1;
1. Provjerite da funkcija f definirana na segmentu [a, b] zadovoljava uvjete Rolleova poučka, pa odredite barem jedan c a, b takav da je f '(c) = 0 ako je: a) f () = 1, a = 1, b = 1; b) f () = 4, a =,
1.4 Tangenta i normala
28 1 DERIVACIJA 1.4 Tangenta i normala Ako funkcija f ima derivaciju u točki x 0, onda jednadžbe tangente i normale na graf funkcije f u točki (x 0 y 0 ) = (x 0 f(x 0 )) glase: t......... y y 0 = f (x
Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 2009.)
Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 29.) Zadatak 1 (1 bodova.) Teorijsko pitanje. (A) Neka je G R m n, uz m n, pravokutna matrica koja ima puni rang po stupcima, tj. rang(g) = n. (a) Napišite puni
Zdaci iz trigonometrije trokuta Izračunaj ostale elemente trokuta pomoću zadanih:
Zdaci iz trigonometrije trokuta... 1. Izračunaj ostale elemente trokuta pomoću zadanih: a) a = 1 cm, α = 66, β = 5 ; b) a = 7.3 cm, β =86, γ = 51 ; c) b = 13. cm, α =1 48`, β =13 4`; d) b = 44.5 cm, α
4.1 Elementarne funkcije
. Elementarne funkcije.. Polinomi Funkcija f : R R zadana formulom f(x) = a n x n + a n x n +... + a x + a 0 gdje je n N 0 te su a n, a n,..., a, a 0 R, zadani brojevi takvi da a n 0 naziva se polinom
Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1
Građevinski fakultet Univerziteta u Beogradu 3.2.2016. Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Prezime i ime: Broj indeksa: 1. Definisati Koxijev niz. Dati primer niza koji nije Koxijev. 2. Dat je red n=1
Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost
Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Limes funkcije Neka je 0 [a, b] i f : D R, gdje je D = [a, b] ili D = [a, b] \ { 0 }. Kažemo da je es funkcije f u točki 0 jednak L i pišemo f ) = L, ako za
Ispit održan dana i tačka A ( 3,3, 4 ) x x + 1
Ispit održan dana 9 0 009 Naći sve vrijednosti korjena 4 z ako je ( ) 8 y+ z Data je prava a : = = kroz tačku A i okomita je na pravu a z = + i i tačka A (,, 4 ) Naći jednačinu prave b koja prolazi ( +
Riješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva
Riješei zadaci: Nizovi realih brojeva Nizovi, aritmetički iz, geometrijski iz Fukciju a : N R azivamo beskoači) iz realih brojeva i ozačavamo s a 1, a,..., a,... ili a ), pri čemu je a = a). Aritmetički
Primjene odreženog integrala
VJEŽBE IZ MATEMATIKE Ivn Brnović Miroslv Jerković Lekcij 5 Primjen određenog integrl Poglvlje Primjene odreženog integrl. Povr²in rvninskog lik Z dni rvninski lik omežen krivuljm y = f(x) i y = g(x) te
a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.
3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M
Istosmjerni krugovi. 1. zadatak. Na trošilu će se trošiti maksimalna snaga u slučaju kada je otpor čitavog trošila jednak unutrašnjem otporu izvora.
Strnic: X stosmjerni krugovi Prilgođenje n mksimlnu sngu. Rješvnje linernih mrež: Strnic: X. zdtk Otpor u kominciji prem slici nlzi se u posudi u kojoj vld promjenjiv tempertur. Pri temperturi ϑ = 0 C,
- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova)
MEHANIKA 1 1. KOLOKVIJ 04/2008. grupa I 1. Zadane su dvije sile F i. Sila F = 4i + 6j [ N]. Sila je zadana s veličinom = i leži na pravcu koji s koordinatnom osi x zatvara kut od 30 (sve komponente sile
Zadatak 1
PISMENI ISPIT IZ KLASIČNE MEHANIKE I 3.. 9. Zdtk Čestic mse m izbčen je s površine Zemlje pod kutem α brzinom v. Ako je otpor zrk proporcionln trenutnoj brzini konstnt proporcionlnosti je ), izrčunjte
2. Ako je funkcija f(x) parna onda se Fourierov red funkcije f(x) reducira na Fourierov kosinusni red. f(x) cos
. KOLOKVIJ PRIMIJENJENA MATEMATIKA FOURIEROVE TRANSFORMACIJE 1. Za periodičnu funkciju f(x) s periodom p=l Fourierov red je gdje su a,a n, b n Fourierovi koeficijenti od f(x) gdje su a =, a n =, b n =..
Neprekinute slu cajne varijable
5 Neprekinute slu cjne vrijble Slu cjnevrijbleirzdiobe Funkcije neprekinutih slu cjnihvrijbli6 Rije senizdtci Zdtci z vje zbu 8 5 Slu cjne vrijble i rzdiobe U ovom ćemo poglvlju prou cvti slu cjne vrijble
R: a) x(t)..nejednoliko gibanje duž pravca; y(t)..jednoliko ubrzano gibanje duž pravca s akceleracijom 10 m/s 2. r r r r b) t=0,5 s, ( ) ( ) s
PRIPREA ZA ZADACU_3 I SEINAR_3 I Gibnje mterijlne točke Riješeni zdtk: I.. Vektor položj mterijlne točke zdn je relcijom: r(t) = ( 6t 3 4t + 3t) i + (5t 3t + ) j Odredite: ) vrtu gibnj u x i y mjeru i
M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost
M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.
Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu
7. KOMPLEKSNI BROJEVI 7. Opc pojmov Kompleksn brojev su sastavljen dva djela: Realnog djela (Re) magnarnog djela (Im) Promatrajmo broj a+ b = + 3 Realn do jednak je Re : Imagnarna jednca: = - l = (U elektrotehnc
Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.
Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,
PREGLED MINIMALNIH ZNANJA IZ MATEMATIKE ZA ZANIMANJA:
PREGLED MINIMALNIH ZNANJA IZ MATEMATIKE ZA ZANIMANJA: elektrotehičr tehičr z rčulstvo tehičr z elektroiku tehičr z električe strojeve s primijejeim rčulstvom. rzred BROJEVI - rčuske opercije s prirodim,
MEHANIKA FLUIDA I Što valja zapamtiti 9 3. STATIKA FLUIDA. p (izražava ravnotežu masenih sila i sila tlaka).
MENIK FLUID I Što vlj zpmtiti 9. STTIK FLUID snovn jedndžb sttike (slučj i ) p fi ili f rdp (izržv rvnotežu mseni sil i sil tlk). i Iz osnovne jedndžbe sttike imjući n umu svojstv rdijent zključuje se: