I. OLIMPIJADA 1. Zadaci. ne može skratiti ni za koji prirodan broj. 1. Dokazati da se razlomak 21n n + 3 n.
|
|
- Ζοροβάβελ Βασιλειάδης
- 5 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 I. OLIMPIJADA 1 I. Prva MMO održana je g. u Rumunjskoj. Pored zemlje domaćina sudjelovale su još Bugarska, Čehoslovačka, DR Njemačka, Ma - darska, Poljska i SSSR. 1. Dokazati da se razlomak 21n n + 3 n. ne može skratiti ni za koji prirodan broj 2. Za koje realne realne brojeve x su istinite sljedeće jednakosti: (a) x + 2x 1 + x 2x 1 = 2; (b) x + 2x 1 + x 2x 1 = 1; (c) x + 2x 1 + x 2x 1 = 2? 3. Neka je x neki kut, a realni brojevi a, b, c,cosx zadovoljavaju ovu jednakost a cos 2 x + b cos x + c = 0. Napisati analognu kvadratnu jednakost za a, b, c,cos2x. Usporedi danu i dobivenu jednakost za slučaj a = 4, b = 2, c = Konstruiratipravokutantrokutčija duljina hipotenuze c je dana, pri čemuje poznato da je duljina težišnice povučene na c, geometrijska sredina duljina kateta. 5. U ravnini je dana dužina AB i unutar nje bilo koja točka M.Naddužinama AM i MB kao stranicama konstruirani su kvadrati AMCD i MBEF koji se nalaze s iste strane pravca AB. Kružnice opisane oko ovih kvadrata, sa središtima P i Q, sijeku se u točkama M i N. (a) Dokazati da pravci AF i BC prolaze kroz točku N. (b) Dokazati da pravac MN prolazi kroz jednu te istu točku S, bez obzira koji položaj ima točka M.
2 2 II. OLIMPIJADA (c) Naći geometrijsko mjesto polovišta dužina PQ kada se točka M giba po dužini AB. 6. Dane su ravnine α i β koje se sijeku po pravcu p. U ravnini α dana je točka A, a u ravnini β točka C, tako da nijedna od tih točakaneleži na pravcu p. Konstruirati u ravnini α točku B i u ravnini β točku D tako da četverokut ABCD bude jednakokračan trapez (AB CD) ukojisemože upisati kružnica. II. Druga MMO održana je g. u Rumunjskoj na kojoj su uz domačina sudjelovale još Bugarska, Čehoslovačka, DR Njemačka i Ma - darska. 1. Naći sve troznamenkaste brojeve koji pri dijeljenju s 11 daju broj jednak sumi kvadrata znamenaka polaznog broja. 2. Za koje realne brojeve x vrijedi nejednadžba 4x 2 (1 < 2x + 9? 1 + 2x) 2 3. Dan je pravokutan trokut ABC čija je hipotenuza duljine a, podijeljena na n jednakih dijelova ( n neparan broj). Neka je α kut pod kojim se iz točke A vidi onaj od n dijelova koji sadrži polovište hipotenuze. Dokazati da je 4nh tgα = (n 2 1)a ; gdje je h visina trokuta. 4. Konstruirati trokut ABC ako su poznati h a, h b i m a ( h a i h b su duljine visina iz A i B,a m a duljina težišnice iz vrha A ). 5. Dana je kocka ABCDA B C D. (a) Naći geometrijsko mjesto svih polovišta dužina XY, gdje je X točka dužine AC i Y točka dužine B D. (b) Naći geometrijsko mjesto polovišta Z dužina XY za koje je YZ = 2 ZX. 6. Dan je jednakokračan trapez s osnovicama a, b i visinom h.
3 III. OLIMPIJADA 3 (a) Konstruirati točku P na osi simetrije trapeza iz koje se oba njegova kraka vide pod pravim kutom. (b) Naći udaljenost točke P od jedne od osnovica trapeza. (c) Uz koje uvjete se točka P može konstruirati (promotriti sve moguće slučajeve). 7. Dan je pravilni kružni stožac u koji je upisana kugla. Oko te kugle opisan je jednakokračan kružni valjak čija osnovica leži u ravnini osnovice danog stošca. Neka je V 1 volumen stošca i V 2 volumen valjka. (a) Dokazati da nije moguća jednakost V 1 = V 2. (b) Naći najmanji broj k za koji je V 1 = kv 2 i u tom slučaju konstruiraj kut kod vrha osnog presjeka stošca. III. Treća MMO održana je g. u Ma - darskoj i uz prošlogodišnje sudionice bila je prisutna i Poljska. 1. Riješiti sistem jednadžbi x + y + z = a x 2 + y 2 + z 2 = b 2 xy = z 2, gdje su a i b dani brojevi. Odrediti uvjete na a i b uz koje sistem ima pozitivna i me - dusobno različita rješenja. 2. Nekasu a, b i c duljine stranica trokuta površine S. Dokazatidaje Kada vrijedi jednakost? a 2 + b 2 + c 2 4S Riješiti jednadžbu cos n x sin n x = 1, gdje je n prirodan broj. 4. U unutrašnjosti trokuta P 1 P 2 P 3 dana je točka P. Neka su Q 1, Q 2, Q 3, tim redom, točke presjeka pravaca P 1 P, P 2 P, P 3 P sa suprotnim stranicama. Dokazati da medu - kvocijentima P 1P PQ 1, P 2 P PQ 2, P 3 P, postoji barem jedan PQ 3 koji nije veći od 2 i barem jedan koji nije manji od 2.
4 4 IV. OLIMPIJADA 5. Konstruirati trokut ABC ako je zadano: AC = b, AB = c i <)BMA = ω, (ω < 90 ), gdje je M polovište dužine BC. Dokazati da zadatak ima rješenje ako i samo ako je Kada vrijedi znak jednakosti? b tg ω 2 c < b. 6. Dana je ravnina ɛ i s jedne njezine strane tri nekolinearne točke A, B i C, takve da ravnina odre - dena s te tri točke nije paralelna s ravninom ɛ. U ravnini ɛ uzete su bilo koje tri točke A, B i C.Točke L, M i N su, tim redom, polovišta dužina AA, BB i CC,a G je težište trokuta LMN (ako on nije degeneriran). Odrediti geometrijsko mjesto točaka G,akosetočke A, B i C gibaju nezavisno po ravnini ɛ. IV. Četvrta MMO održanaje g. u Čehoslovačkoji tada su seponovookupile sve države kao na početku. 1. Odrediti najmanji prirodan broj n s ovim svojstvima: (a) u dekadskom sustavu njegov zapis završava znamenkom 6, (b) ako se posljednja znamenka 6 premjesti ispred ostalih znamenaka dobije se broj koji je 4 puta veći. 2. Odrediti sve realne brojeve x za koje je 3 x x + 1 > Dana je kocka ABCDA B C D. ABCD i A B C D su njezina donja i gornja osnovica i AA BB CC DD.Točka X giba se konstantnom brzinom po bridovima kvadrata ABCD usmjeru ABCDA; točka Y giba se istom brzinom po bridovima kvadrata B C CB usmjeru B C CBB.Točke X i Y počinju se gibati u istom trenutku i to X polazi iz A,aY iz B. Naći i nacrtati geometrijsko mjesto polovišta dužina XY.
5 V. OLIMPIJADA 5 4. Riješiti jednadžbu cos 2 x + cos 2 2x + cos 2 3x = Na kružnici k zadane su tri točke A, B, C. Pomoću ravnala i šestara konstruirati četvrtu točku D, takvu da se u četverokut ABCD može upisati kružnica. 6. Dan je jednakokračan trokut ABC, kojemu je polumjer opisane kružnice jednak r, a polumjer upisane kružnice ρ. Dokazati da je udaljenost d od središta opisane do središta upisane kružnice jednaka d = r(r 2ρ). 7. Tetraedar SABC ima svojstvo da postoji pet različitih sfera koje dodiruju pravce SA, SB, SC, AB, BC, CA ako i samo ako je on pravilan. Dokazati! V. Peta MMO održana je g. u Poljskoj na kojoj je sudjelovalo osam država. Tada je prvi put sudjelovala Jugoslavija, a Valerijan Bjelik iz Vinkovaca bio je predstavnik Hrvatske. 1. Odrediti sva realna rješenja jednadžbe x 2 p + 2 x 2 1 = x, gdje je p realan broj. 2. Odrediti u prostoru geometrijsko mjesto vrhova pravog kuta čiji jedan krak prolazi kroz danu točku A, a drugi ima bar jednu zajedničku točku s danom dužinom BC. 3. U danom n -terokutu svi unutarnji kutovi su jednaki, a duljine uzastopnih stranica zadovoljavaju ovaj uvjet: a 1 a 2... a n. Dokazati da je a 1 = a 2 =... = a n. 4. Odrediti sva rješenja x 1, x 2, x 3, x 4, x 5 sustava jednadžbi x 5 + x 2 = yx 1 (1) x 1 + x 3 = yx 2 (2) x 2 + x 4 = yx 3 (3) x 3 + x 5 = yx 4 (4) x 4 + x 1 = yx 5 (5)
6 6 VI. OLIMPIJADA gdje je y realan parametar. 5. Dokazati jednakost cos π 7 cos 2π 7 + cos 3π 7 = Učenici A, B, C, D i E sudjelovali su na nekom natjecanju. Pokušavajući pogoditi rezultate natjecanja, netko je pretpostavio da će redoslijed biti A, B, C, D, E, ali on nije pogodio točno mjesto nijednog učenika niti ijedan par učenika koji su se plasirali jedan iza drugog. Netko drugi pretpostavio je da će rezultat biti D, A, E, C, B i on je pogodio točno mjesto dvoje učenika, a isto tako i dva para učenika koji su se plasirali jedan iza drugog. Koji je bio rezultat ovog natjecanja? VI. Šesta MMO održana je g. u SSSR-u. Me - du devet država po prvi put je sudjelovala Mongolija. 1. (a) Odrediti sve prirodne brojeve n,takvedaje 2 n 1 djeljivo sa 7. (b) Dokazati da 2 n + 1 nije djelivo sa 7 niti za jedan prirodan broj n. 2. Ako su a, b i c duljine stranica trokuta, pokazati da je a 2 (b + c a)+b 2 (c + a b)+c 2 (a + b c) 3abc. 3. U trokut ABC, sa stranicama duljina a, b i c upisan je krug i na njega su povučene tangente paralelne stranicama trokuta. Te tangente odsijecaju od trokuta ABC tri nova trokuta. U svaki od njih upisan je krug. Izračunati sumu površina sva četiri kruga. 4. Sedamnaest znanstvenika se dopisuju, svaki sa svakim. Oni se dopisuju na tri teme. Svaki par se dopisuje samo na jednu temu. Dokazati da postoje bar tri znanstvenika koji se me - dusobno dopisuju na istu temu. 5. U ravnini je dano 5 točaka. Izme - du pravaca koji su odre - deni tim točkama svaka dva su različita i nikoja dva nisu paralelna niti okomita. Kroz svaku točku konstruirane su sve okomice takve da je svaka od njih okomita na neki pravac koji je odre - den s po dvije od 4 preostale točke. Odrediti najveći mogućibroj presječnih točaka tih okomica, ne računajućidane točke.
7 VII. OLIMPIJADA 7 6. Dan je tetraedar ABCD.VrhD spojen je s težištem D 1 strane ABC.Pravci kroz točke A, B i C paralelni s DD 1 sijeku ravnine nasuprotnih strana u točkama A 1, B 1 i C 1. Dokazati da je volumen tetraedra ABCD tri puta manji od volumena tetraedra A 1 B 1 C 1 D 1. Da li tvrdnja vrijedi ako se uzme bilo koja točka D 1 unutar trokuta ABC? VII. Sedma MMO održana je u DR Njemačkoj g. Me - du deset država sudionica bila je po prvi put i Finska. Iz Hrvatske je sudjelovao Šime Ungar. 1. Naći sve realne brojeve x [0, 2π] za koje vrijedi nejednakost 2. Dan je sustav jednadžbi 2cosx 1 + sin 2x 1 sin 2x 2. a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 13 x 3 = 0 a 21 x 1 + a 22 x 2 + a 23 x 3 = 0 x 31 x 1 + a 32 x 2 + a 33 x 3 = 0, čiji koeficijenti zadovoljavaju ove uvjete: (a) a 11, a 22, a 33 su pozitivni; (b) svi ostali koeficijenti su negativni; (c) u svakoj jednadžbi je suma koeficijenata pozitivna. Dokazati da je x 1 = x 2 = x 3 = 0 jedino rješenje ovog sustava. 3. Dan je tetraedar ABCD.BridAB ima duljinu a, CD ima duljinu b, udaljenost izme - du mimosmjernih pravaca AB i CD je d, dok je kut izme - du tih pravaca jednak ω. Ravnina π, koja je paralelna s pravcima AB i CD dijeli tetraedar na dva dijela. Izračunati omjer njihovih volumena ako se zna da je omjer udaljenosti od AB do π i udaljenosti od CD do π jednak k.
8 8 VIII. OLIMPIJADA 4. Odrediti četiri realna broja x 1, x 2, x 3, x 4 takvadajesumasvakogodnjihs produktom preostalih, jednaka Neka je u trokutu OAB <)BOA = α (α < 90 ). Kroz bilo koju točku M O,povučene su okomice MP na OA i MQ na OB. Neka je H ortocentar trokuta OPQ. Odrediti geometrijsko mjesto točaka H ako je (a) M na stranici AB ; (b) M unutar trokuta AOB. 6. U ravnini je dano n ( n 3) točaka. Neka je d maksimum udaljenosti od po dvije od danih točaka. Dokazati da ima najviše n parova danih točaka čija je udaljenost jednaka d. VIII. Osma MMO održana je u Bugarskoj g. i ona je okupila devet država. Iz Hrvatske je sudjelovao Mirko Primc. 1. Na olimpijadi su bila dana 3 zadatka A, B, C.Izme - du učenika njih 25 je riješilo barem jedan od tih zadataka. Onih učenika koji su riješili zadatak B,anisu A, bilo je 2 puta više nego onih koji su riješili zadatak C,anisu riješili A.Onihučenika koji su riješili samo zadatak A bilo je za jedan više od onih koji su pored A riješili još neki zadatak. Od učenika koji su riješili samojedan zadatak, pola ih je riješilo zadatak A. Koliko učenika je riješilo samo zadatak B. 2. Ako su a, b, c duljine stranica i α, β, γ nasuprotni kutovi trokuta kod kojeg je a + b = tg γ 2 (a tg α + b tg β), dokazati da je taj trokut jednakokračan. 3. Dokazati da je suma udaljenosti od središta opisane sfere oko pravilnog tetraedra do njegovih vrhova manja od sume udaljenosti od bilo koje druge točke do vrhova tetraedra.
9 IX. OLIMPIJADA 9 4. Dokazati jednakost 1 sin 2x + 1 sin 4x sin 2 n x = ctgx ctg2n x, gdje je n prirodan broj i x λπ 2 k, (k = 0, 1, 2,...,n i λ cijeli broj). 5. Riješiti sustav a 1 a 2 x 2 + a 1 a 3 x 3 + a 1 a 4 x 4 = 1 a 2 a 1 x 1 + a 2 a 3 x 3 + a 2 a 4 x 4 = 1 a 3 a 1 x 1 + a 3 a 2 x 2 + a 3 a 4 x 4 = 1 a 4 a 1 x 1 + a 4 a 2 x 2 + a 4 a 3 x 4 = 1, gdje su a 1, a 2, a 3, a 4 dani, me - dusobno različiti realni brojevi. 6. Neka su M, K, L točke koje se nalaze redom na stranicama AB, BC, CA trokuta ABC,pričemu ni jedna od točaka M, K, L nije vrh trokuta ABC. Dokazati da površina barem jednog od trokuta AML, BKM, CLK nije veća od 1 4 površine trokuta ABC. IX. Deveta MMO održana je u Cetinji u Jugoslaviji g. na kojoj je sudjelovalo trinaest država, me - du kojima po prvi put Francuska, Italija, Švedska i Velika Britanija. Iz Hrvatske je sudjelovao Zvonko Kolarić. 1. U paralelogramu ABCD trokut ABD je šiljastokutan. Neka je AB = a, AD = 1i<)DAB = α. Dokazati da krugovi K A, K B, K C i K D polumjera 1, sa središtima u A, B, C i D, tim redom, pokrivaju paralelogram ako i samo ako je a cos α + 3sinα. 2. Dan je tetraedar u kojem je duljina točno jednog brida veća od 1. Dokazati da njegov volumen nije veći od Neka su k, m i n prirodni brojevi takvi da je m + k + 1 prosti broj veći od n + 1. Neka je C s = s(s + 1). Dokazati da je produkt (C m+1 C k )(C m+2 C k )...(C m+n C k ) djeljiv produktom C 1 C 2...C n.
10 10 X. OLIMPIJADA 4. Dani su šiljastokutni trokuti A 0 B 0 C 0 i A 1 B 1 C 1. Konstruirati trokut ABC koji je sličan trokutu A 1 B 1 C 1 i opisan oko trokuta A 0 B 0 C 0,takodaje C 0 AB, A 0 BC, B 0 CA. Konstruirati trokut koji ima maksimalnu površinu. 5. Dan je niz C 1 = a 1 + a a 8 C 2 = a a a C n = a n 1 + an an 8... gdje su a 1, a 2,...,a 8 realni brojevi koji nisu svi jednaki nuli. Me - du članovima ovog niza postoji beskonačno mnogo jednakih nuli. Naći sve n za koje je C n = Na natjecanju koje je trajalo n dana, podijeljeno je m medalja. Prvog dana dodijeljena je jedna medalja i još 1 7 preostalih m 1 medalja. Drugog dana su dodijeljene dvije medalje i još 1 7 preostalih (do tada) medalja, itd. Konačno, n -tog, posljednjeg dana dodijeljeno je preostalih n medalja. Koliko dana je trajalo natjecanje i koliko je medalja podijeljeno? X. Deseta MMO održana je u SSSR-u g. na kojoj je bilo dvanaest država sudionica. Iz Hrvatske su sudjelovali Zvonko Kolarić, Branko Najman, nagra - den brončanom medaljom, i Dragutin Svrtan. 1. Dokazati da postoji točno jedan trokut čije duljine stranica su uzastopni prirodni brojevi, a jedan od kutova je dva puta veći od jednog od preostala dva. 2. Odrediti sve prirodne brojeve x čiji je produkt znamenaka (u dekadskom sustavu) jednak x 2 10x 22.
11 X. OLIMPIJADA Dan je sistem jednadžbi ax bx 1 + c = x 2 ax bx 2 + c = x 3... ax 2 n 1 + bx n 1 + c = x n ax 2 n + bx n + c = x 1, gdje su a, b i c realni brojevi i a 0. Dokazati da (a) za (b 1) 2 4ac < 0 sustav nema realno rješenje; (b) za (b 1) 2 4ac = 0 sustav ima točno jedno realno rješenje; (c) za (b 1) 2 4ac > 0 sustav ima više od jednog realnog rješenja. 4. Dokazati da u svakom tetraedru postoji vrh, takav da se od bridova koji iz njega izlaze može konstruirati trokut. 5. Neka je a > 0 realan broj i f (x) realna funkcija definirana za svaki realan x koja zadovoljava uvjet f (x + a) = f (x) (f (x)) 2, za svaki x. (a) Dokazati da je funkcija f periodična, tj. da postoji takav realan broj b > 0 dajezasvakix, f (x + b) =f (x). (b) Za a = 1naći primjer takve funkcije f / konst. 6. Neka je x najveći cijeli broj koji nije većiod x. Za svaki prirodan broj n odrediti sumu n + 1 n + 2 n + 2 k k
12 12 XI. OLIMPIJADA XI. Rumunjska je bila domaćin jedanaeste MMO koja je održana g. Broj država učesnica se povećao na četrnaest. Po prvi put su sudjelovale Belgija i Nizozemska. Iz Hrvatske su sudjelovali Zvonko Čerin i Damir Henč, nagra - den srebrnom medaljom. 1. Dokazati da postoji beskonačno mnogo prirodnih brojeva a sa svojstvom da je za svaki prirodan broj n,broj z = n 4 + a,složen. 2. Neka su a 1, a 2,..., a n realne konstante, x realna varijabla i f (x) =cos(a 1 + x)+ cos(a 2 + x) + cos(a 3 + x) cos(a n + x) 2 n 1. Ako je f (x 1 )=f(x 2 )=0 dokazati da je x 1 x 2 = mπ, gdje je m cijeli broj. 3. Za k = 1, 2, 3, 4, 5naći nužan i dovoljan uvjet koji mora zadovoljavati broj a > 0 da bi postojao tetraedar čijih k bridova ima duljinu a, dok preostalih 6 k bridova ima duljinu Dužina AB je promjer kružnice γ.točka C (različita od A i B )leži na γ. Točka D je ortogonalna projekcija točke C na AB.Trikružnice γ 1, γ 2, γ 3 dodiruju AB tako da je γ 1, upisana u trokut ABC,aγ 2 i γ 3 dodiruju dužinu CD ikružnicu γ. Dokazati da γ 1, γ 2, γ 3 imaju i drugu zajedničku tangentu. 5. U ravnini je dano n (n > 4) točaka, od kojih nikoje tri ne leže na istom ( ) n 3 pravcu. Dokazati da postoji barem konveksnih četverokuta koji 2 imaju vrhove u četiri dane točke. 6. Dokazati da, ako je x 1 > 0, x 2 > 0, x 1 y 1 z 2 1 > 0, x 2y 2 z 2 2 > 0, vrijedi nejednakost 8 (x 1 + x 2 )(y 1 + y 2 ) (z 1 + z 2 ) x 1 y 1 z x 2 y 2 z 2. 2 Naći nužne i dovoljne uvjete uz koje vrijedi jednakost.
13 XII. OLIMPIJADA 13 XII. Na dvanaestoj MMO, koja je održana g. u Ma - darskoj, sudjelovalo je četrnaest zamalja, me - du kojima Austrija po prvi put. Iz Hrvatske je bio Damir Henč. 1. Dan je trokut ABC.NekajeM unutarnja točka stranice AB. Neka su, nadalje, r 1, r 2, r polumjeri kružnica, upisanih, tim redom, u trokute AMC, BMC, ABC i ρ 1, ρ 2, ρ polumjeri kružnica koje: (a) leže unutar kuta BCA ; (b) izvana su upisane, tim redom, u trokute AMC, MBC, ABC. Dokazati da je r 1 r 2 ρ 1 ρ 2 = r ρ. 2. Neka su a, b, n prirodni brojevi veći od 1. Brojevi a i b su baze dvaju brojevnih sustava. Neka brojevi A n i B n imaju jednak prikaz x n x n 1 x n 2...x 1 x 0 u sustavima s osnovama a i b,pričemu je x n 0i x n 1 0. Obilježimo s A n 1 i B n 1 brojeve koji se dobivaju kada se prva znamenka x n izostavi. Dokazati da je a > b ako i samo ako je A n 1 A n < B n 1 B n. 3. Niz realnih brojeva a 0, a 1, a 2,..., a n,...zadovoljava ovaj uvjet 1 = a 0 a 1 a 2... a n... (1) Niz b 1, b 2,...,b n,... definiran je na ovaj način: n b n = (1 a k 1 1 ). a k ak Dokazati: k=1 (a) za svaki n je 0 b n < 2; (b) za dani c,takavdaje0 c < 2, postoji niz a 0, a 1, a 2,...,a n,... koji zadovoljava uvjet (1) i pritom je b n > c za beskonačno indeksa n.
14 14 XIII. OLIMPIJADA 4. Naći sve prirodne brojeve n takvedaseskup{n, n+1, n+2, n+3, n+4, n+5} može podijeliti na dva podskupa tako da produkt svih elemenata jednog od njih bude jednak produktu svih elemenata drugog skupa. 5. U tetraedru ABCD je BD CD inožište okomice iz vrha D na ravninu trokuta ABC, podudara se s ortocentrom tog trokuta. Dokazati da je ( AB + BC + AC ) 2 6( AD 2 + BD 2 + CD 2 ). Za koje tetraedre vrijedi jednakost? 6. U ravnini je dano 100 točaka od kojih nikoje tri ne leže na istom pravcu. Promatrajmo sve moguće trokute s vrhovima u tim točkama. Dokazati da me - du njima ima najviše 70% šiljastokutnih trokuta. XIII. Trinaesta MMO održanaje g. u Čehoslovačkoj, a sudjelovaloje petnaest država, po prvi put je bila ekipa iz Kube. Iz Hrvatske je bio Marko Tadić. 1. Dokažite da za svake realne brojeve a 1, a 2,..., a n vrijedi nejedankost (a 1 a 2 )(a 1 a 3 ) (a 1 a n ) +(a 2 a 1 )(a 2 a 3 ) (a 2 a n )+... +(a n a 1 )(a n a 2 ) (a n a n 1 ) 0 ako je n = 3in = 5, a ne vrijedi ni za koji drugi n > Dan je konveksan poliedar P 1 s 9 vrhova A 1, A 2,...,A 9. Neka su P 2, P 3,...,P 9 poliedri koji se dobivaju translacijama poliedra P 1 koje točku A 1 premještaju u A 2, A 3,...,A 9, tim redom. Dokazati da bar dva od poliedara P 1, P 2,...,P 9 imaju barem jednu zajedničku unutarnju točku. 3. Dokazati da niz 2 n 3, n = 1, 2,... ima beskonačno mnogo brojeva takvih da su svaka dva od njih relativno prosta.
15 XIV. OLIMPIJADA Svakastrana tetraedra ABCD je šiljastokutan trokut. Promatrajmo zatvorene poligonalne linije XYZTX odre - dene na sljedeći način: točka X je na bridu AB, različita od A i B. Analogno, Y, Z, T su unutarnje točke bridova BC, CD, AD, tim redom. (a) Ako je <)DAB + <)BCD <)ABC + <)CDA, pokazati da me - du tim poligonalnim linijama nema najkraće. (b) Ako je <)DAB + <)BCD = <)ABC + <)CDA, onda postoji beskonačno mnogo takvih poligonalnih linija s minimalnom duljinom i ona je jednaka 2 AC sin α 2, gdje je α = <)CAB+<)DAC +<)DAB. Dokazati! 5. Dokazati da za svaki prirodan broj m postoji neprazan konačan skup S točaka u ravnini s ovim svojstvom: svaka točka iz skupa S je na jediničnoj udaljenosti od točno m drugih točaka iz S. 6. Promatrajmo kvadratnu tablicu a 11 a a 1n a 21 a a 1n... a n1 a n2... a nn koja sadrži nenegativne cijele brojeve i ima ovo svojstvo: kad god je a ij = 0, suma elemenata i -tog retka i j -tog stupca je a i1 + a i a 1n + a 1j + a 2j a nj n. Dokazati da je suma svih elemenata u tablici n2 2. XIV. Na četrnaestoj MMO, koja je održana u Poljskoj g., sudjelovalo je četrnaest država. Iz Hrvatske su bili Uroš Milutinović, Ivan Mirković, nagra - den brončanom medaljom, i Marko Tadić.
16 16 XV. OLIMPIJADA 1. Dokazati da se svaki skup od bilo kojih deset različitih dvoznamenkastih prirodnih brojeva može podijeliti na dva disjunktna podskupa tako da sume brojeva u oba podskupa budu jednake. 2. Dokazati da je sljedeća tvrdnja istinita za svaki prirodan broj n 4:svaki tetivan četverokut može se podijeliti na n tetivnih četverokuta. 3. Dokazati da je za svaka dva nenegativna cijela broja m i n broj (2m)!(2n)! m!n!(m + n)! cijeli (0! = 1). 4. Naći sva rješenja (x 1, x 2, x 3, x 4, x 5 ) sistema nejednadžbi: (x 2 1 x 3 x 5 )(x 2 2 x 3 x 5 ) 0 (x 2 2 x 4 x 1 )(x 2 3 x 4 x 1 ) 0 (x 2 3 x 5x 2 )(x 2 4 x 5x 2 ) 0 (x 2 4 x 1x 3 )(x 2 5 x 1x 3 ) 0 (x 2 5 x 2x 4 )(x 2 1 x 2x 4 ) Neka su f i g realne funkcije, definirane za svaki realan broj, takve da je f (x + y)+f (x y) =2f (x)g(y) za svaki x i y. Ako funkcija f nije identički jednaka nuli i ako je f (x) 1 za svaki x, dokazati da je onda g(y) 1zasvakiy. 6. Dane su četiri različite paralelne ravnine. Dokazati da postoji pravilan tetraedar koji ima po jedan vrh u svakoj od danih ravnina. XV. Petnaesta MMO održana je g. u SSSR-u na kojoj je sudjelovalošesnaest država. Predstavnici Hrvatske bili su Uroš Milutinović, Ivan Mirković, svaki od njih nagra - den brončanom medaljom, i Siniša Vrećica.
17 XV. OLIMPIJADA Točka O nalazi se na pravcu l ; OP 1, OP 2,..., OP n su jedinični vektori takvi da se točke P 1, P 2,...,P n nalazesistestranepravcal. Ako je n neparan broj, dokazati da je OP 1 + OP OP n 1, gdje je OM oznaka modula vektora OM. 2. Ispitati da li postoji konačan skup od M točaka u prostoru, koje nisu sve u istoj ravnini, takav da za svake dvije točke A i B skupa M postoje druge dvije točke C i D skupa M takvedasupravci AB i CD paralelni i različiti. 3. Naći najmanju vrijednost izraza a 2 + b 2, gdje su a i b realni brojevi, za koje jednadžba x 4 + ax 3 + bx 2 + ax + 1 = 0 ima bar jedno realno rješenje. 4. Vojnik treba provjeriti da li u području koje ima oblik jednakostraničnog trokuta (uključujući i njegovu granicu) ima mina. Domet njegovog detektora jednak je polovici duljine visine trokuta. Vojnik polazi iz jednog vrha trokuta. Kojim putem se on mora kretati da bi obavio zadatak, a da pritom prijede - put najmanjemoguće duljine. 5. Dan je neprazan skup G funkcija realne varijable x oblika f (x) =ax + b, gdje su a 0ib realni brojevi, koje zadovoljava ju ove uvjete: 1 ako su f, g G, onda je g f G, gdje je (g f )(x) =g(f (x)) ; 2 ako je f G, f (x) =ax + b, onda je inverzna funkcija f 1 G, gdje je f 1 (x) = x b a ; 3 za svako f G postoji x f,takvodaje f (x f )=x f. Dokazati da postoji realan broj k takav da je f (k) =k za svako f G. 6. Neka su a 1, a 2,...,a n dani pozitivni realni brojevi i q realan broj, 0<q<1. Naći n realnih brojeva b 1, b 2,...,b n takvih da bude ispunjeno: (a) a k < b k,za k = 1, 2,...,n ; (b) q < b k+1 b k < 1 q,zak = 1, 2,...,n 1; (c) b 1 + b b n < 1 + q 1 q (a 1 + a a n ).
6 Primjena trigonometrije u planimetriji
6 Primjena trigonometrije u planimetriji 6.1 Trgonometrijske funkcije Funkcija sinus (f(x) = sin x; f : R [ 1, 1]); sin( x) = sin x; sin x = sin(x + kπ), k Z. 0.5 1-6 -4 - -0.5 4 6-1 Slika 3. Graf funkcije
Διαβάστε περισσότερα(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.
1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,
Διαβάστε περισσότερα1.4 Tangenta i normala
28 1 DERIVACIJA 1.4 Tangenta i normala Ako funkcija f ima derivaciju u točki x 0, onda jednadžbe tangente i normale na graf funkcije f u točki (x 0 y 0 ) = (x 0 f(x 0 )) glase: t......... y y 0 = f (x
Διαβάστε περισσότερα7 Algebarske jednadžbe
7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.
Διαβάστε περισσότεραTRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1.
TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I Odredi na brojevnoj trigonometrijskoj kružnici točku Et, za koju je sin t =,cost < 0 Za koje realne brojeve a postoji realan broj takav da je sin = a? Izračunaj: sin π tg
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIKA 1 8. domaća zadaća: RADIJVEKTORI. ALGEBARSKE OPERACIJE S RADIJVEKTORIMA. LINEARNA (NE)ZAVISNOST SKUPA RADIJVEKTORA.
Napomena: U svim zadatcima O označava ishodište pravokutnoga koordinatnoga sustava u ravnini/prostoru (tj. točke (0,0) ili (0, 0, 0), ovisno o zadatku), označava skalarni umnožak, a vektorski umnožak.
Διαβάστε περισσότεραTRIGONOMETRIJA TROKUTA
TRIGONOMETRIJA TROKUTA Standardne oznake u trokutuu ABC: a, b, c stranice trokuta α, β, γ kutovi trokuta t,t,t v,v,v s α,s β,s γ R r s težišnice trokuta visine trokuta simetrale kutova polumjer opisane
Διαβάστε περισσότεραM086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost
M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.
Διαβάστε περισσότεραELEKTROTEHNIČKI ODJEL
MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,
Διαβάστε περισσότεραRIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ
RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ LOGARITAMSKA FUNKCIJA SVOJSTVA LOGARITAMSKE FUNKCIJE OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRAVOKUTNOG TROKUTA - DEFINICIJA TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA - VRIJEDNOSTI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA
Διαβάστε περισσότεραFunkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu)
Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Vidosava Šimić 22. prosinca 2009. Domena funkcije dvije varijable Ako je zadano pridruživanje (x, y) z = f(x, y), onda se skup D = {(x, y) ; f(x, y) R} R 2 naziva
Διαβάστε περισσότεραĈetverokut - DOMAĆA ZADAĆA. Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke.
Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke. 1. Duljine dijagonala paralelograma jednake su 6,4 cm i 11 cm, a duljina jedne njegove
Διαβάστε περισσότεραZdaci iz trigonometrije trokuta Izračunaj ostale elemente trokuta pomoću zadanih:
Zdaci iz trigonometrije trokuta... 1. Izračunaj ostale elemente trokuta pomoću zadanih: a) a = 1 cm, α = 66, β = 5 ; b) a = 7.3 cm, β =86, γ = 51 ; c) b = 13. cm, α =1 48`, β =13 4`; d) b = 44.5 cm, α
Διαβάστε περισσότεραmogućih vrijednosti rs3. Za m, n N, mn+1 m 2 +n 2 m2 + n 2 mn + 1 je kvadrat prirodnog broja.
r1. Neka je n fiksan prirodan broj. Neka je k bilo koji prirodan broj ne veći od n i neka je S skup nekih k različitih prostih brojeva. Ivica i Marica igraju naizmjenično sljedeću igru. Svako od njih bira
Διαβάστε περισσότερα- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova)
MEHANIKA 1 1. KOLOKVIJ 04/2008. grupa I 1. Zadane su dvije sile F i. Sila F = 4i + 6j [ N]. Sila je zadana s veličinom = i leži na pravcu koji s koordinatnom osi x zatvara kut od 30 (sve komponente sile
Διαβάστε περισσότερα( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4
UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET Riješiti jednačine: a) 5 = b) ( ) 3 = c) + 3+ = 7 log3 č) = 8 + 5 ć) sin cos = d) 5cos 6cos + 3 = dž) = đ) + = 3 e) 6 log + log + log = 7 f) ( ) ( ) g) ( ) log
Διαβάστε περισσότεραPismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1.
Pismeni ispit iz matematike 0 008 GRUPA A Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: λ + z = Ispitati funkciju i nacrtati njen grafik: + ( λ ) + z = e Izračunati
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIKA I 1.kolokvij zadaci za vježbu I dio
MATEMATIKA I kolokvij zadaci za vježbu I dio Odredie c 0 i kosinuse kueva koje s koordinanim osima čini vekor c = a b ako je a = i + j, b = i + k Odredie koliki je volumen paralelepipeda, čiji se bridovi
Διαβάστε περισσότερα4 Sukladnost i sličnost trokuta
4 Sukladnost i sličnost trokuta 4.1 Sukladnost trokuta Neka su ABC i A B C trokuti sa stranicama duljina a b c odnosno a b c. Kažemo da su ti trokuti sukladni ako postoji bijekcija f : {A B C} {A B C }
Διαβάστε περισσότεραRADIJVEKTORI. ALGEBARSKE OPERACIJE S RADIJVEKTORIMA. LINEARNA (NE)ZAVISNOST SKUPA RADIJVEKTORA.
Napomena: U svim zadatcima O označava ishodište pravokutnoga koordinatnoga sustava u ravnini/prostoru (tj. točke (0,0) ili (0, 0, 0), ovisno o zadatku), označava skalarni umnožak, a vektorski umnožak.
Διαβάστε περισσότεραπ π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1;
1. Provjerite da funkcija f definirana na segmentu [a, b] zadovoljava uvjete Rolleova poučka, pa odredite barem jedan c a, b takav da je f '(c) = 0 ako je: a) f () = 1, a = 1, b = 1; b) f () = 4, a =,
Διαβάστε περισσότεραSume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2.
Sume kvadrata Koji se prirodni brojevi mogu prikazati kao zbroj kvadrata dva cijela broja? Propozicija 1. Ako su brojevi m i n sume dva kvadrata, onda je i njihov produkt m n takoder suma dva kvadrata.
Διαβάστε περισσότερα2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x
Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:
Διαβάστε περισσότεραINTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011.
INTEGRALNI RAČUN Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa Lucija Mijić lucija@ktf-split.hr 17. veljače 2011. Pogledajmo Predstavimo gornju sumu sa Dodamo još jedan Dobivamo pravokutnik sa Odnosno
Διαβάστε περισσότερα1.1.** Dokaži da tvrdnja vrijedi ako su točke E i D na produžecima dužina AC i BC kroz C.
1.1. U trokutu ABC na dužinama AC i BC odabrane su točke E i D. Simetrale kutova CAD i CBE sijeku se u točki F. Dokaži da vrijedi: AEB + ADB = 2 AF B. 1.1.* Dokaži da tvrdnja 1.1. vrijedi ako je E=C. 1.1.**
Διαβάστε περισσότερα( , 2. kolokvij)
A MATEMATIKA (0..20., 2. kolokvij). Zadana je funkcija y = cos 3 () 2e 2. (a) Odredite dy. (b) Koliki je nagib grafa te funkcije za = 0. (a) zadanu implicitno s 3 + 2 y = sin y, (b) zadanu parametarski
Διαβάστε περισσότερα2n 2, 2n, 2n + 2. a = 2n 2, b = 2n, c = 2n + 2. a b c. a P =
Zadatak (Tomislav gimnazija) Nađite sve pravokutne trokute čije su stranice tri uzastopna parna roja Rješenje inačica pća formula za parne rojeve je n n N udući da se parni rojevi povećavaju za možemo
Διαβάστε περισσότερα1.1.** Dokaži da tvrdnja vrijedi ako su točke E i D na produžecima dužina AC i BC kroz C.
Geometrija 1. dio. 1.1. U trokutu ABC na dužinama AC i BC odabrane su točke E i D. Simetrale kutova CAD i CBE sijeku se u točki F. Dokaži da vrijedi: AEB + ADB = 2 AF B. 1.1.* Dokaži da tvrdnja 1.1. vrijedi
Διαβάστε περισσότερα2. Bez kalkulatora odredi vrijednosti trigonometrijskih funkcija za brojeve (kutove) iz točaka u 1.zadatku.
. Na brojevnoj kružnici označi točke: A (05π), A 2 ( 007π 2 ), A 3 ( 553π 3 ) i A 4 ( 40 o ). 2. Bez kalkulatora odredi vrijednosti trigonometrijskih funkcija za brojeve (kutove) iz točaka u.zadatku. 3.
Διαβάστε περισσότεραa M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.
3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M
Διαβάστε περισσότεραISPITNI ZADACI FORMULE. A, B i C koeficijenti (barem jedan A ili B različiti od nule)
FORMULE Implicitni oblik jednadžbe pravca A, B i C koeficijenti (barem jedan A ili B različiti od nule) Eksplicitni oblik jednadžbe pravca ili Pravci paralelni s koordinatnim osima - Kada je u općoj jednadžbi
Διαβάστε περισσότερα2s v A. 0 B. 1 C. 2 D. 4 E. A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 E. 0
17 1989 1 1.1. Ako je v = gt + v 0 i s = g 2 t2 + v 0 t, onda je t jednak A. 2s B. v + v 0 2s C. v v 0 s D. v v 0 2s v E. 2s v 1.2. Broj rješenja jednadžbe x + 1 x = 10 u skupu realnih brojeva x R, iznosi
Διαβάστε περισσότεραOBRTNA TELA. Vladimir Marinkov OBRTNA TELA VALJAK
OBRTNA TELA VALJAK P = 2B + M B = r 2 π M = 2rπH V = BH 1. Zapremina pravog valjka je 240π, a njegova visina 15. Izračunati površinu valjka. Rešenje: P = 152π 2. Površina valjka je 112π, a odnos poluprečnika
Διαβάστε περισσότερα18. listopada listopada / 13
18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu
Διαβάστε περισσότεραVeleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.
Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,
Διαβάστε περισσότεραMatematička analiza 1 dodatni zadaci
Matematička analiza 1 dodatni zadaci 1. Ispitajte je li funkcija f() := 4 4 5 injekcija na intervalu I, te ako jest odredite joj sliku i inverz, ako je (a) I = [, 3), (b) I = [1, ], (c) I = ( 1, 0].. Neka
Διαβάστε περισσότεραLinearna algebra 2 prvi kolokvij,
Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 27.. 20.. Za koji cijeli broj t je funkcija f : R 4 R 4 R definirana s f(x, y) = x y (t + )x 2 y 2 + x y (t 2 + t)x 4 y 4, x = (x, x 2, x, x 4 ), y = (y, y 2, y, y 4 )
Διαβάστε περισσότεραIspit održan dana i tačka A ( 3,3, 4 ) x x + 1
Ispit održan dana 9 0 009 Naći sve vrijednosti korjena 4 z ako je ( ) 8 y+ z Data je prava a : = = kroz tačku A i okomita je na pravu a z = + i i tačka A (,, 4 ) Naći jednačinu prave b koja prolazi ( +
Διαβάστε περισσότεραradni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija
Διαβάστε περισσότεραKontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A
Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Ime i prezime: 1. Prikazane su tačke A, B i C i prave a,b i c. Upiši simbole Î, Ï, Ì ili Ë tako da dobijeni iskazi
Διαβάστε περισσότερα3.1 Granična vrednost funkcije u tački
3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili
Διαβάστε περισσότεραZadaci iz trigonometrije za seminar
Zadaci iz trigonometrije za seminar FON: 1. Vrednost izraza sin 1 cos 6 jednaka je: ; B) 1 ; V) 1 1 + 1 ; G) ; D). 16. Broj rexea jednaqine sin x cos x + cos x = sin x + sin x na intervalu π ), π je: ;
Διαβάστε περισσότεραDISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović
DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,
Διαβάστε περισσότεραPismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z.
Pismeni ispit iz matematike 06 007 Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj z = + i, zatim naći z Ispitati funkciju i nacrtati grafik : = ( ) y e + 6 Izračunati integral:
Διαβάστε περισσότεραOperacije s matricama
Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M
Διαβάστε περισσότεραAnalitička geometrija Zadaci. 13. siječnja 2014.
Analitička geometrija Zadaci 13. siječnja 2014. 2 Sadržaj 1 Poglavlje 5 1.1 Ponavljanje. Uvod............................ 5 1.2 Koordinatizacija............................. 6 1.3 Skalarni produkt.............................
Διαβάστε περισσότερα1 Promjena baze vektora
Promjena baze vektora Neka su dane dvije različite uredene baze u R n, označimo ih s A = (a, a,, a n i B = (b, b,, b n Svaki vektor v R n ima medusobno različite koordinatne zapise u bazama A i B Zapis
Διαβάστε περισσότεραje B 1 = B 2. Prvi teorem kojeg ćemo dokazati primjenom Menelajeva teorema je Euklidski slučaj poznatog Desargesova 2 teorema. B 2 Z B 1B 2 B 1 O
Zoran Topić, Imotski Menelajev teorem i neke primjene U ovom članku ćemo dokazati Menelajev 1 teorem i pokazati neke primjene tog teorema. Menelajevo najvažnije djelo je Sphaerica u kojem dokazuje i Menelajev
Διαβάστε περισσότεραGeometrijski trikovi i metode bez imena
Geometrijski trikovi i metode bez imena Matija Bašić lipanj 2016. U ovom tekstu želimo na jednom mjestu navesti vrlo klasične ideje u rješavanju planimetrijskih zadataka. Primjeri variraju od jednostavnih
Διαβάστε περισσότεραTrigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto
Trigonometrija Adicijske formule Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije
Διαβάστε περισσότεραZadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu
Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Planimetrija. Sličnost trouglova. GF 000 Dužine stranica trougla su 5cm, cm i 8cm. Dužina najduže stranice njemu sličnog
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIKA Pokažite da za konjugiranje (a + bi = a bi) vrijedi. a) z=z b) z 1 z 2 = z 1 z 2 c) z 1 ± z 2 = z 1 ± z 2 d) z z= z 2
(kompleksna analiza, vježbe ). Izračunajte a) (+i) ( i)= b) (i+) = c) i + i 4 = d) i+i + i 3 + i 4 = e) (a+bi)(a bi)= f) (+i)(i )= Skicirajte rješenja u kompleksnoj ravnini.. Pokažite da za konjugiranje
Διαβάστε περισσότεραAnalitička geometrija afinog prostora
Analitička geometrija afinog prostora Linearno zavisan i linearno nezavisan skup točaka U realnom afinom prostoru A n dane točke A i (r i ), i =,,, k, k +, k + pripadaju istoj s ravnini π s, s k, ako i
Διαβάστε περισσότεραZadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu
Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x
Διαβάστε περισσότεραM086 LA 1 M106 GRP Tema: Uvod. Operacije s vektorima.
M086 LA 1 M106 GRP Tema:.. 5. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 2 M086 LA 1, M106 GRP.. 2/17 P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/
Διαβάστε περισσότερα( x) ( ) ( ) ( x) ( ) ( x) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
Zadatak 08 (Vedrana, maturantica) Je li unkcija () = cos (sin ) sin (cos ) parna ili neparna? Rješenje 08 Funkciju = () deiniranu u simetričnom području a a nazivamo: parnom, ako je ( ) = () neparnom,
Διαβάστε περισσότερα3. ELEMENTARNA TEORIJA BROJEVA Dokaži dajebroj djeljivs Dokažidajebroj djeljiv Dokaži dajebroj djeljiv
3. ELEMENTARNA TEORIJA BROJEVA 3.. djeljivost 65. Dokaži da je produkt tri uzastopna broja, od kojih je srednji kub prirodnog broja, djeljiv s 504. 652. Ako su a, b cijeli brojevi, dokaži da je broj ab(a
Διαβάστε περισσότεραZadaci iz Osnova matematike
Zadaci iz Osnova matematike 1. Riješiti po istinitosnoj vrijednosti iskaza p, q, r jednačinu τ(p ( q r)) =.. Odrediti sve neekvivalentne iskazne formule F = F (p, q) za koje je iskazna formula p q p F
Διαβάστε περισσότεραNeka je a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka.
Neka je a 3 x 3 + a x + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka. 1 Normiranje jednadžbe. Jednadžbu podijelimo s a 3 i dobivamo x 3 +
Διαβάστε περισσότεραUvod u teoriju brojeva
Uvod u teoriju brojeva 2. Kongruencije Borka Jadrijević Borka Jadrijević () UTB 2 1 / 25 2. Kongruencije Kongruencija - izjava o djeljivosti; Teoriju kongruencija uveo je C. F. Gauss 1801. De nicija (2.1)
Διαβάστε περισσότεραViše dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu
Osječki matematički list 000), 5 9 5 Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu Šefket Arslanagić Alija Muminagić Sažetak. U radu se navodi nekoliko različitih dokaza jedne poznate
Διαβάστε περισσότεραOsnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju
RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)
Διαβάστε περισσότεραPOVRŠINA TANGENCIJALNO-TETIVNOG ČETVEROKUTA
POVRŠIN TNGENIJLNO-TETIVNOG ČETVEROKUT MLEN HLP, JELOVR U mnoštvu mnogokuta zanimljiva je formula za površinu četverokuta kojemu se istoobno može upisati i opisati kružnica: gje su a, b, c, uljine stranica
Διαβάστε περισσότερα6 Polinomi Funkcija p : R R zadana formulom
6 Polinomi Funkcija p : R R zadana formulom p(x) = a n x n + a n 1 x n 1 +... + a 1 x + a 0, gdje su a 0, a 1,..., a n realni brojevi, a n 0, i n prirodan broj ili 0, naziva se polinom n-tog stupnja s
Διαβάστε περισσότεραPošto se trebaju napisati sve nastavne cjeline i gradivo sva četiri razreda (opće i jezično) potrajati će duži vremenski period.
Zadaci s rješenjima, a ujedno i s postupkom rada biti će nadopunjavani tokom čitave školske godine. Tako da će u slijedećem vremenskom periodu nastati mala zbirka koja će biti popraćena s teorijom. Pošto
Διαβάστε περισσότεραDijagonalizacija operatora
Dijagonalizacija operatora Problem: Može li se odrediti baza u kojoj zadani operator ima dijagonalnu matricu? Ova problem je povezan sa sljedećim pojmovima: 1 Karakteristični polinom operatora f 2 Vlastite
Διαβάστε περισσότεραKONVEKSNI SKUPOVI. Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5. Back FullScr
KONVEKSNI SKUPOVI Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5 KONVEKSNI SKUPOVI Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5 1. Neka su x, y R n,
Διαβάστε περισσότεραNumerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 2009.)
Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 29.) Zadatak 1 (1 bodova.) Teorijsko pitanje. (A) Neka je G R m n, uz m n, pravokutna matrica koja ima puni rang po stupcima, tj. rang(g) = n. (a) Napišite puni
Διαβάστε περισσότεραradni nerecenzirani materijal za predavanja
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je
Διαβάστε περισσότερα21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI
21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE 2014. GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI Bodovanje za sve zadatke: - boduju se samo točni odgovori - dodatne upute navedene su za pojedine skupine zadataka
Διαβάστε περισσότεραDRŽAVNO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 1. razred srednja škola A kategorija 3. svibnja 2007.
Ministarstvo prosvjete i športa Republike Hrvatske Agencija za odgoj i obrazovanje Hrvatsko matematičko društvo DRŽAVNO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 1. razred srednja škola A kategorija 3. svibnja 2007. Zadatak
Διαβάστε περισσότεραRiješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva
Riješei zadaci: Nizovi realih brojeva Nizovi, aritmetički iz, geometrijski iz Fukciju a : N R azivamo beskoači) iz realih brojeva i ozačavamo s a 1, a,..., a,... ili a ), pri čemu je a = a). Aritmetički
Διαβάστε περισσότεραMATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15
MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda
Διαβάστε περισσότεραLinearna algebra 2 prvi kolokvij,
1 2 3 4 5 Σ jmbag smjer studija Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 7. 11. 2012. 1. (10 bodova) Neka je dano preslikavanje s : R 2 R 2 R, s (x, y) = (Ax y), pri čemu je A: R 2 R 2 linearan operator oblika
Διαβάστε περισσότεραALFA List - 1. Festival matematike "Split 2013." Otvoreno ekipno natjecanje učenika osnovnih i srednjih škola Split, 10. svibnja 2013.
ALFA List - 1 Točan odgovor: 10 bodova Pogrešan odgovor: 5 bodova Bez odgovora: 0 bodova 1. Ako je (x+ 3): 4=( x ):3, onda je x jednako: A) 1 B) 1 C) 17 D) 17 E) 6. Kut od 1º30' gleda se kroz povećalo
Διαβάστε περισσότεραMatematika 1 - vježbe. 11. prosinca 2015.
Matematika - vježbe. prosinca 5. Stupnjevi i radijani Ako je kut φ jednak i rad, tada je veza između i 6 = Zadatak.. Izrazite u stupnjevima: a) 5 b) 7 9 c). d) 7. a) 5 9 b) 7 6 6 = = 5 c). 6 8.5 d) 7.
Διαβάστε περισσότεραx + y + z = 2 (x + y)(y + z)+(y + z)(z + x)+(z + x)(x + y) =1 x 2 (y + z)+y 2 (z + x)+z 2 (x + y) = 6
DRŽAVNO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 1. razred srednja škola A kategorija,. svibnja 2007. Rješenja Zadatak 1A-1. Na - dite realna rješenja sustava jednadžbi: x + y + z = 2 (x + y)(y + z)+(y + z)(z + x)+(z
Διαβάστε περισσότεραMinistarstvo prosvete i sporta Republike Srbije Druxtvo matematiqara Srbije Prvi razred A kategorija
18.02006. Prvi razred A kategorija Dokazati da kruжnica koja sadrжi dva temena i ortocentar trougla ima isti polupreqnik kao i kruжnica opisana oko tog trougla. Na i najve i prirodan broj koji je maƭi
Διαβάστε περισσότεραDRŽAVNO NATJECANJE IZ MATEMATIKE
DRŽAVNO NATJECANJE IZ MATEMATIKE. razred srednja škola B kategorija Pula, 30. ožujka 009. Zadatak B-.. (0 bodova) Tomislav i ja, reče Krešimir, možemo završiti posao za 0 dana. No, ako bih radio s Ivanom
Διαβάστε περισσότεραPRIMJERI ZADATAKA ZA TEST IZ MATEMATIKE
PRIMJERI ZADATAKA ZA TEST IZ MATEMATIKE . 0.: 0.0 0. 0.0 je: 5000 0.0 5 0.00. Izračunajte 0.% od : 0. 4 0. 0.0 0.00 0.. Skratite razlomak a a a 4a + 4 + a a a a a a 0.77 4. Rješenje jednadžbe =. 5 je -
Διαβάστε περισσότεραTeorijske osnove informatike 1
Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. () Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. 1 / 17 Funkcije Veze me du skupovima uspostavljamo skupovima koje nazivamo funkcijama. Neformalno, funkcija
Διαβάστε περισσότερα5. PARCIJALNE DERIVACIJE
5. PARCIJALNE DERIVACIJE 5.1. Izračunajte parcijalne derivacije sljedećih funkcija: (a) f (x y) = x 2 + y (b) f (x y) = xy + xy 2 (c) f (x y) = x 2 y + y 3 x x + y 2 (d) f (x y) = x cos x cos y (e) f (x
Διαβάστε περισσότεραIskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012
Iskazna logika 3 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Deduktivni sistemi 1 Definicija Deduktivni sistem (ili formalna teorija)
Διαβάστε περισσότεραRiješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost
Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Limes funkcije Neka je 0 [a, b] i f : D R, gdje je D = [a, b] ili D = [a, b] \ { 0 }. Kažemo da je es funkcije f u točki 0 jednak L i pišemo f ) = L, ako za
Διαβάστε περισσότερα7.1 Međusobni položaji točaka, pravaca i ravnina
Poglavlje 7 Stereometrija Stereometrijom nazovamo geometriju (trodimenzionalnog euklidskog) prostora. Osnovni elementi prostora su točke, pravci i ravnine. Aksiome geometrije prostora nećemo navoditi.
Διαβάστε περισσότεραVerovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće (zadaci) Beleške dr Bobana Marinkovića
Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće zadaci Beleške dr Bobana Marinkovića Iz skupa, 2,, 00} bira se na slučajan način 5 brojeva Odrediti skup elementarnih dogadjaja ako se brojevi biraju
Διαβάστε περισσότεραUdaljenosti karakterističnih točaka trokuta
Udaljenosti karakterističnih točaka trokuta Kristijan Kilassa Kvaternik U trokutu postoje četiri karakteristične točke: težište G, ortocentar H, središte upisane kružnice I i središte opisane kružnice
Διαβάστε περισσότεραProstorni spojeni sistemi
Prostorni spojeni sistemi K. F. (poopćeni) pomaci i stupnjevi slobode tijela u prostoru: 1. pomak po pravcu (translacija): dva kuta kojima je odreden orijentirani pravac (os) i orijentirana duljina pomaka
Διαβάστε περισσότερα12 1. UVODNI DIO c 2 ) 2 2(a 4 + b 4 + c 4 ). (F1)
11 1. Uvodni dio Da bi se s potpunim razumijevanjem mogao pratiti sadržaj ove knjige, nužna su neka znanja iz srednjoškolske nastave matematike. To se u prvom redu odnosi na temeljne pojmove geometrije
Διαβάστε περισσότεραAksiome podudarnosti
Aksiome podudarnosti Postoji pet aksioma podudarnosti (tri aksiome podudarnosti za duži + dvije aksiome podudarnosti za uglove) III 1 Za svaku polupravu a sa početnom tačkom A i za svaku duž AB, postoji
Διαβάστε περισσότεραLinearna algebra I, zimski semestar 2007/2008
Linearna algebra I, zimski semestar 2007/2008 Predavanja: Nenad Bakić, Vježbe: Luka Grubišić i Maja Starčević 22. listopada 2007. 1 Prostor radijvektora i sustavi linearni jednadžbi Neka je E 3 trodimenzionalni
Διαβάστε περισσότεραOPĆINSKO/ŠKOLSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE
Ministarstvo znanosti, obrazovanja i športa Republike Hrvatske Agencija za odgoj i obrazovanje Hrvatsko matematičko društvo OPĆINSKO/ŠKOLSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 1. razred srednja škola A kategorija
Διαβάστε περισσότεραUdaljenosti karakterističnih točaka trokuta
Udaljenosti karakterističnih točaka trokuta Kristijan Kilassa Kvaternik 1 U trokutu postoje četiri karakteristične točke: težište G, ortocentar H, središte upisane kružnice I i središte opisane kružnice
Διαβάστε περισσότερα41. Jednačine koje se svode na kvadratne
. Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k
Διαβάστε περισσότεραUniverzitet u Nišu, Prirodno-matematički fakultet Prijemni ispit za upis OAS Matematika
Univerzitet u Nišu, Prirodno-matematički fakultet Prijemni ispit za upis OAS Matematika Rešenja. Matematičkom indukcijom dokazati da za svaki prirodan broj n važi jednakost: + 5 + + (n )(n + ) = n n +.
Διαβάστε περισσότεραRepetitorij matematike zadaci za maturu 2008.
Repetitorij matematike zadaci za maturu 008 Izračunaj : 7 : 5 + : = 5 5 8 Izračunaj : a ( 05 y ) = y b 8 n 7 9 n+ n n Rastavi na faktore : 5 a + a 8a 6= Skrati razlomke : a ( ) + + a b a b a + a b+ ab
Διαβάστε περισσότεραOpćinsko natjecanje. 4. razred
9 1. Općinsko natjecanje iklus susreta i natjecanja mladih matematičara, učenika osnovnih i srednjih škola Republike Hrvatske i u 1998. godini sastojao se od školskih natjecanja, gradskih i općinskih natjecanja,
Διαβάστε περισσότεραDRUGI KOLOKVIJUM IZ MATEMATIKE 9x + 6y + z = 1 4x 2y + z = 1 x + 2y + 3z = 2. je neprekidna za a =
x, y, z) 2 2 1 2. Rešiti jednačinu: 2 3 1 1 2 x = 1. x = 3. Odrediti rang matrice: rang 9x + 6y + z = 1 4x 2y + z = 1 x + 2y + 3z = 2. 2 0 1 1 1 3 1 5 2 8 14 10 3 11 13 15 = 4. Neka je A = x x N x < 7},
Διαβάστε περισσότεραŽUPANIJSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 1. razred srednja škola B kategorija 15. ožujka 2010.
ŽUPANIJSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 1. razred srednja škola B kategorija 15. ožujka 010. UKOLIKO UČENIK IMA DRUGAČIJI POSTUPAK RJEŠAVANJA ZADATKA, POVJEREN- STVO JE DUŽNO I TAJ POSTUPAK BODOVATI I OCIJENITI
Διαβάστε περισσότεραKantonalno takmičenje iz matematike učenika srednjih škola sa područja TK
Kantonalno takmičenje iz matematike učenika srednjih škola sa područja TK Živinice 1.4.014. ZADACI UDRUŽENJE MATEMATIČARA TUZLANSKOG KANTONA PEDAGOŠKI ZAVOD TUZLA Takmičenje učenika srednjih škola Tuzlanskog
Διαβάστε περισσότερα