Αναγνώριση µορφασµών µε ϐάση τα ενεργά σηµεία του προσώπου

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Αναγνώριση µορφασµών µε ϐάση τα ενεργά σηµεία του προσώπου"

Transcript

1 Α ρ ι ς τ ο τ ε λ ε ι ο Π α ν ε π ι ς τ η µ ι ο Θ ε ς ς α λ ο ν ι κ η ς Τµηµα Ηλεκτρολογων Μηχανικων & Μηχανικων Υπολογιστων Τοµεας Ηλεκτρονικης και Υπολογιστων Αναγνώριση µορφασµών µε ϐάση τα ενεργά σηµεία του προσώπου ιπλωµατικη Εργασια του Βασίλειου Στασινόπουλου Επιβλέπων: Αναστάσιος Ντελόπουλος, Επίκουρος Καθηγητής Θεσσαλονίκη, Ιούνιος 2007

2 Περιεχόµενα 1 Εισαγωγή Γενικά Facial Expression Analysis FACS Cohn-Kanade AU-Coded Facial Expression Image Database Η παρούσα εργασία Εντοπισµός Προσώπου Γενικά Viola-Jones Face Detector Χαρακτηριστικά Εκµάθηση συναρτήσεων διαχωρισµού ιαχωριστές σε σειρά A generative framework Χαρακτηριστικά Σηµεία Προσώπου Καθορισµός περιοχών Εντοπισµός ίριδας Εντοπισµός στόµατος Υπολογισµός χαρακτηριστικών Εκπαίδευση διαχωριστή Αποτελέσµατα Παρακολούθηση Σηµείων του Προσώπου Lucas Kanade algorithm Ο στόχος του αλγορίθµου Lucas Kanade Ανάλυση του αλγορίθµου Lucas Kanade Αποτελέσµατα Feature extraction and classification Feature representation Upper face parameters

3 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Lower face parameters Support Vector Machines Γραµµικά SVMs Μη γραµµικά SVM Αποτελέσµατα Συµπεράσµατα 55

4 Κατάλογος Σχηµάτων 1.1 FACS Action Units Παραδείγµατα από συνδυασµούς FACS Action Units Σχηµατική αναπαράσταση του συνολικού αυτόµατου συστήµατος αναγνώρισης εκ- ϕράσεων Παράδειγµα τετράγωνων χαρακτηριστικών, τοποθετηµένα µέσα στο παράθυρο σάρωσης. Το άθροισµα των pixels που ϐρίσκονται µέσα στα λευκά τετράγωνα αφαιρείται από το άθροισµα των pixels των γκρι τετραγώνων. Two-rectangle features απεικονί- Ϲονται στο Α1 και Α2. Three-rectangle feature απεικονίζονται στο Α3 και Α4, ενώ στο Α5 ένα four-rectangle feature. Το Α6 είναι ένα κεντρικά περικυκλωµένο χαρακτη- ϱιστικό, ενώ τα Β rectangle είναι παραδείγµατα από συµµετρικά rectangle ως προς τον y-άξονα (Παράγραφος 2.3) Integral image:(a) Η τιµή του pixel µε συντεταγµένες (x, y) είναι το άθροισµα των pixels, που ϐρίσκονται πάνω και αριστερά του (x, y). (Β) Το άθροισµα των pixels εντός του τετραγώνου D στην κανονική εικόνα µπορεί να υπολογιστεί από το integral image σαν x 4 x 2 x 3 + x Σχηµατική αναπαράσταση του σειριακού ανιχνευτή Παραδείγµατα εντοπισµού του προσώπου σε εικόνες από την Cohn-Kanade AU- Coded Face Expression Image Database ιάφορα παραδείγµατα εντοπισµού του προσώπου σε εικόνες Τα 16 σηµεία του προσώπου που εντοπίζονται αυτόµατα (Α): Υπολογισµός περιοχής στόµατος µε ϐάση την, (Β): Ανίχνευση ακµών (λευκά pixels) στην περιοχή του στόµατος, (C): Κάθετο ιστόγραµµα αθροισµάτων διαφορών µεταξύ διαδοχικών γραµµών Εντοπισµός µατιών και στόµατος - Εξαγωγή περιοχών ενδιαφέροντος Το πραγµατικό µέρος των ϕίλτρων Gabor στο πεδίο του χώρου Το ϕανταστικό µέρος των ϕίλτρων Gabor στο πεδίο του χώρου Παραδείγµατα σωστού εντοπισµού των 16 σηµείων του προσώπου Παραδείγµατα λανθασµένου εντοπισµού των 16 σηµείων του προσώπου

5 ΚΑΤΑΛΟΓΟΣ ΣΧΗΜΑΤΩΝ Παράδειγµα λανθασµένου tracking του σηµείου G του προσώπου Παραδείγµατα σωστού tracking των 16 σηµείων του προσώπου Το σύστηµα συντεταγµένων του προσώπου D γραµµικώς διαχωρίσιµα δείγµατα D γραµµικώς µη διαχωρίσιµα δείγµατα Αυτόµατη µέτρηση των FACS AUs για 2 ακολουθίες εικόνων

6 Κατάλογος Πινάκων 1.1 Ιδιότητες ενός ιδεατού συστήµατος αναγνώρισης εκφράσεων προσώπου Rectangles των 16 περιοχών για τα αντίστοιχα σηµεία. Κάθε περιοχή ορίζεται από το [x y x y], όπου (x, y) οι συντεταγµένες του πάνω αριστερού σηµείου της πε- ϱιοχής, x το µήκος της περιοχής και y το ύψος. η απόσταση των οφθαλµών, mouth(x, y) οι συντεταγµένες του µέσου του στόµατος, eyelef t(x, y) οι συντεταγµένες του αριστερού µατιού και eyeright(x, y) του δεξιού Αποτελέσµατα από των εντοπισµό 16 σηµείων του προσώπου για 487 εικόνες της ϐάσης Cohn-Kanade Upper face parameters. Στις τιµές των παραµέτρων ο δείκτης 0 αντιστοιχεί στην αντίστοιχη τιµή στο ουδέτερο frame Lower face parameters. Στις τιµές των παραµέτρων ο δείκτης 0 αντιστοιχεί στην αντίστοιχη τιµή στο ουδέτερο frame Επίδοση του συστήµατος για την αναγνώριση AUs. Το Ratio αναφέρεται στο άθροισµα ϑετικών και αρνητικών δειγµάτων που ταξινοµήθηκαν σωστά. Το True Positive στα ϑετικά δείγµατα που ταξινοµήθηκαν σωστά ως ϑετικά και το False Positive στα αρνητικά δείγµατα που ταξινοµήθηκαν λανθασµένα ως ϑετικά Κανόνες αντιστοίχισης των Action Units στα ϐασικά συναισθήµατα, σύµφωνα µε το οδηγό χρήσης του FACS. Η έκφραση A B αντιστοιχεί στο λογικό OR Επίδοση του συστήµατος για αναγνώριση των 6 ϐασικών συναισθηµάτων

7 Πρόλογος Στην παρούσα διπλωµατική εργασία παρουσιάζεται ένα αυτόµατο σύστηµα αναγνώρισης µορ- ϕασµών µε ϐάση τα ενεργά σηµεία του προσώπου.η εργασία εκπονήθηκε στο Εργαστήριο Επεξεργασίας Πληροφορίας του Τµήµατος Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών του Α.Π.Θ. Ευχαριστώ ιδιαίτερα τον επιβλέποντα της διπλωµατικής, κύριο Αναστάσιο Ντελόπουλο, για την ευκαιρία που µου έδωσε να ασχοληθώ µε ένα αντικείµενο για το οποίο δεν γνώριζα τίποτα όταν το ανέλαβα. Η καθοδήγησή του, η ηθική και έµπρακτη υποστήριξή του υπήρξαν πολύτιµες. Επίσης ευχαριστώ ϑερµά την µεταπτυχιακή ϕοιτήτρια Νίκη Αϋφαντή για την πολύτιµη ϐοήθειά της τόσο στον επιστηµονικό, όσο και στον ψυχολογικό τοµέα, ώστε η εργασία αυτή να είναι πλήρης. Τέλος, ϑα ήθελα να ευχαριστήσω οικογένεια και ϕίλους που είναι πάντα δίπλα µου και µε στηρίζουν.

8 Κεφάλαιο 1 Εισαγωγή 1.1 Γενικά Η ανάλυση των εκφράσεων του προσώπου αποτελεί ενεργό ερευνητικό πρόβληµα από τα τέλη του 19 αιώνα, από την έρευνα του Darwin [8]. Η έκφραση κάποιου προσώπου µία δεδοµένη χρονική στιγµή αναπαρίσταται από ένα σύνολο σηµάτων. Στα σήµατα αυτά περιλαµβάνονται το σχήµα και ο προσανατολισµός του προσώπου, αλλά και γενικότερα ολόκληρης της κεφαλής, και ϕυσικά η ϑέση και η κίνηση των διαφόρων χαρακτηριστικών του προσώπου (µάτια, ϕρύδια, στόµα κτλ). Επίσης στα σήµατα αυτά συχνά περιλαµβάνονται µε σηµαίνοντα ϱόλο το χρώµα του δέρ- µατος του προσώπου, οι πιθανές ϱυτίδες έκφρασης κτλ. Φυσικά τη σηµαντικότερη συµβολή στη δηµιουργία των εκφράσεων την έχουν οι µύες του προσώπου, οι οποίοι και έχουν την ικανότητα να δηµιουργήσουν µεγάλη µεταβολή στην έκφραση σε πολύ σύντοµο χρονικό διάστηµα, συµβάλλοντας τα µέγιστα στη χωρίς λόγια επικοινωνία. Βέβαια δεν πρέπει να παραλείψουµε τις δυσκολίες που δηµιουργούνται από την αλληλεπίδραση των διαφορετικών σηµάτων τα οποία µπορούν είτε να αλληλοσυµπληρώνονται είτε να αλληλοαναιρούνται. Σηµαντική είναι και η σχέση συναισθήµατος και προσώπου. Μερικές από τις χιλιάδες εκφράσεις του προσώπου είναι συνδεδεµένες µε συγκεκριµένα συναισθήµατα. Ερευνες έχουν δείξει ότι άνθρωποι διαφορετικών πολιτισµών κατηγοριοποιούν τις εκφράσεις µε παρόµοιο τρόπο σε έξι ϐασικές κατηγορίες και στη συνέχεια «µιµούνται» τις εκφράσεις αυτές στην καθηµερινή τους Ϲωή [21]. Οι έξι αυτές ϐασικές κατηγορίες είναι : λύπη, ϑυµός, χαρά, ϕόβος, απέχθεια και έκπληξη. Ωστόσο η αναγνώριση των εκφράσεων του προσώπου δεν πρέπει να συγχέεται µε την αναγνώριση των ανθρώπινων συναισθηµάτων. Ενώ η αναγνώριση των εκφράσεων αναφέρεται στην ανάπτυξη ενός συστήµατος το οποίο αναλύει και αναγνωρίζει αυτόµατα την κίνηση και την παραµόρφωση χαρακτηριστικών του προσώπου, στηριζόµενο αποκλειστικά σε οπτικό περιεχόµενο, τα ανθρώπινα συναισθηµάτα είναι αποτέλεσµα πολλών διαφορετικών παραγόντων, όπως η ϕωνή, η πόζα, οι χειρονοµίες, η έκφραση του προσώπου κτλ. Συνεπώς σε αντίθεση µε την αναγνώριση των εκφράσεων, η αναγνώριση των ανθρώπινων συναισθηµάτων είναι µία ερµηνευτική διαδικασία, η οποία συχνά απαιτεί την κατανόηση µιας δοσµένης κατάστασης σε συνδυασµό µε το διαθέσιµο οπτικό

9 1.2 Facial Expression Analysis 8 περιεχόµενο. Στο παρελθόν η ανάλυση των εκφράσεων του προσώπου ήταν ένα Ϲήτηµα µε το οποίο ασχολούνταν ως επί των πλείστων οι ψυχολόγοι. Ωστόσο ήδη από το 1978 ο Suwa [20] προσπάθησε να αναλύσει τις εκφράσεις του προσώπου παρακολουθώντας την κίνηση 20 σηµείων σε µία ακολου- ϑία εικόνων. Από την δεκαετία του 90 δε και έπειτα η αυτόµατη ανάλυση εκφράσεων προσώπου κέντρισε οριστικά το ενδιαφέρον των επιστηµόνων. Οι λόγοι για αυτό το ενδιαφέρον είναι ποικίλοι, αλλά κυρίως επικεντρώνονται στην πρόοδο συγγενών ερευνητικών περιοχών όπως ψυχολογικές µελέτες, ανάλυση των κινήσεων του ανθρώπου, εντοπισµός, παρακολούθηση και αναγνώριση του προσώπου κτλ. Η αυτόµατη ανάλυση εκφράσεων µπορεί να εφαρµοστεί σε πολλές περιοχές όπως στην κλινική ψυχολογία, στη νευρολογία, στην αποτίµηση του πόνου, στον εντοπισµό ψεµάτων, σε περιβάλλοντα τεχνητής νοηµοσύνης, σε συστήµατα επικοινωνίας τελικού χρήστη-υπολογιστή κτλ. 1.2 Facial Expression Analysis Η ανάλυση των εκφράσεων του προσώπου περιλαµβάνει τόσο την µέτρηση της κίνησης του προσώπου όσο και την αναγνώριση της έκφρασης. Σκοπός µας είναι η σχεδίαση και η υλοποίηση ενός συστήµατος το οποίο ϑα πραγµατοποιεί αυτόµατη αναγνώριση των εκφράσεων του προσώπου. Ενα σηµείο αναφοράς µπορεί να είναι ο καλύτερος γνωστός ανιχνευτής εκφράσεων : το ανθρώπινο οπτικό σύστηµα. Πιθανόν να είναι αδύνατο να ενσωµατώσουµε όλα τα χαρακτηριστικά του ανθρώπινου οπτικού συστήµατος αλλά στηριζόµενοι πάνω σ αυτό καταλήγουµε στις ϐασικές προϋποθέσεις που πρέπει να πληρεί ένα τέτοιο σύστηµα (Πίνακας 1.1). Γενικά Χαρακτηριστικά Μεταχειρίζεται άτοµα κάθε ηλικίας, εθνικότητας και εµφάνισης Αντιµετωπίζει µεταβολές στο ϕωτισµό Αντιµετωπίζει εντός πλάνου κίνηση του κεφαλιού Μεταχειρίζεται µερικώς επικαλυπτόµενα πρόσωπα Μεταχειρίζεται διαφορετικές αναλύσεις εικόνων Αναγνωρίζει όλες τις πιθανές εκφράσεις Αναγνωρίζει εκφράσεις µε διαφορετική ένταση Αναγνωρίζει ασύµµετρες εκφράσεις Αναγνωρίζει ενστικτώδεις εκφράσεις Αυτοµατισµοί/Real-Time Αυτόµατος/Real-Time εντοπισµός προσώπου Αυτόµατη/Real-Time εξαγωγή χαρακτηριστικών Αυτόµατη/Real-Time αναγνώριση εκφράσεων Πίνακας 1.1: Ιδιότητες ενός ιδεατού συστήµατος αναγνώρισης εκφράσεων προσώπου

10 1.2 Facial Expression Analysis 9 Στη γενική του προσέγγιση ένα τέτοιο σύστηµα αποτελείται από τρία στάδια : 1. Εντοπισµός του προσώπου, είναι το στάδιο του αυτόµατου εντοπισµού του προσώπου στην ακολουθία εικόνων εισόδου. Μπορεί να είναι ένας ανιχνευτής προσώπου για κάθε καρέ της ακολουθίας ή απλά να ανιχνεύει το πρόσωπο στο πρώτο καρέ και στη συνέχεια να το παρακολουθεί στα επόµενα καρέ της ακολουθία. 2. Εξαγωγή και αναπαράσταση των χαρακτηριστικών του προσώπου, είναι το στάδιο που είναι υπεύθυνο για την περιγραφή των αλλαγών του προσώπου, οι οποίες προκαλούνται από την έκφραση. Για αυτό το στάδιο έχουν αναπτυχθεί δύο διαφορετικές προσεγγίσεις : - Μέθοδοι ϐασισµένοι στα γεωµετρικά χαρακτηριστικά, είναι µέθοδοι που περιγράφουν το σχήµα και την ϑέση των συνθετικών του προσώπου (µάτια, µύτη, στόµα κτλ) µε την µορφή διανυσµάτος χαρακτηριστικών. - Μέθοδοι ϐασισµένοι στην εµφάνιση, είναι µέθοδοι που χρησιµοποιούν 2D ϕίλτρα, σε όλη την εικόνα ή σε συγκεκριµένη περιοχή της, για να εξάγουν το διάνυσµα χαρακτη- ϱιστικών. Ανάλογα µε ποιά από τις παραπάνω µεθόδους χρησιµοποιείται είναι δυνατόν να περιοριστούν οι επιδράσεις της εντός πλάνου κίνησης του προσώπου και οι διαφορετικές κλίµακες µε την κανονικοποίηση του προσώπου πριν την εξαγωγή των χαρακτηριστικών ή µε την κατάλληλη αναπαράσταση των χαρακτηριστικών πριν το τελικό στάδιο της αναγνώρισης της έκφρασης. 3. Αναγνώριση της έκφρασης, είναι το τελευταίο στάδιο του συστήµατος. Οι παραµορφώσεις αλλαγές του προσώπου µπορούν να αναπαρασταθούν είτε µε τις έξι ϐασικές εκφράσεις, είτε µε τα AUs (Action Units) (παράγραφος 1.2.1). Με λίγες εξαιρέσεις, τα περισσότερα συστήµατα αναγνώρισης εκφράσεων προσώπου προσπα- ϑούν να αναγνωρίσουν ένα µικρό σετ από 6 ϐασικές εκφράσεις (λύπη, ϑυµός, χαρά, ϕόβος, απέχθεια και έκπληξη). Αυτή η πρακτική πηγάζει από το έργο του Darwin [8] και πιο πρόσφατα των Ekman και Friesen [21]. Στην καθηµερινότητα ωστόσο, αυτού του είδους οι εκφράσεις συναντώνται σχετικά σπάνια. Αντ αυτού, τα συναισθήµατα συχνότερα εκφράζονται µε µερικές αλλαγές σε ένα ή περισσότερα διακριτά χαρακτηριστικά του προσώπου, όπως το σφίξιµο των χειλιών για το ϕόβο ή το χαµήλωµα του κάτω χειλιού για την λύπη. Συνεπώς για να είναι αποτελεσµατικό ένα αυτόµατο σύστηµα αναγνώρισης εκφράσεων ϑα πρέπει να σχεδιαστεί έτσι ώστε να εντοπίζει µερικές αλλαγές των χαρακτηριστικών του προσώπου. Το Facial Action Coding System (FACs [22]) είναι ένα σύστηµα κωδικοποίησης των κινήσεων του προσώπου κατάλληλο για αυτό το σκοπό FACS Το Facial Action Coding System (FACS) είναι µία ευρέως διαδεδοµένη µέθοδος µέτρησης και περιγραφής της «συµπεριφοράς» του προσώπου. Οι Ekman και Friesen ανέπτυξαν το συγκε-

11 1.3 Η παρούσα εργασία 10 κριµένο σύστηµα κωδικοποίησης των κινήσεων του προσώπου το 1978, χρησιµοποιώντας γνώσεις ανθρώπινης ανατοµίας και ορίζοντας τον τρόπο µε τον οποίο η σύσπαση κάθε µυός του προσώπου (µεµονωµένα ή σε συνδυασµό) αλλάζει την εµφάνιση του προσώπου [22]. Εξέτασαν ακολουθίες κινούµενης εικόνας που απεικονίζουν εκφράσεις προσώπου έτσι ώστε αφενός να καθορίσουν τις αλλαγές που συντελούνται από τις συσπάσεις των µυών καθώς και από τους συνδυασµούς αυτών και αφετέρου να διαχωρίσουν τους πιθανούς συνδυασµούς κινήσεων. Μονάδες µέτρησης του FACS είναι τα Action Units (AUs). Επειδή ορισµένα AUs συνδυάζουν την κίνηση περισσοτέρων του ενός µυός ή το αποτέλεσµα της σύσπασης ενός µυός εκφράζεται µε δύο ή περισσότερα AUs οι µύες δεν επιλέχθηκαν ως µονάδες µέτρησης. Ο κωδικοποιητής ενός τέτοιου συστήµατος αναλύει την παρατηρούµενη έκφραση σε συγκεκριµένα AUs και δίνει ως αποτέλεσµα µία λίστα των AUs που δηµιουργούν την έκφραση. Επίσης είναι δυνατόν να ληφθούν υπόψη η διάρκεια, η ένταση και η πιθανή ασυµµετρία. Τα αποτελέσµατα αυτά είναι µόνο περιγραφικά και δεν παρέχουν στοιχεία σχετικά µε τη σηµασία της έκφρασης. Σε επόµενο στάδιο είναι δυνατόν τα στοιχεία του FACS να µετατραπούν σε χρήσιµες για την ψυχολογία έννοιες µε τη ϐοήθεια του FACSA, ενός συστήµατος ερµηνείας της αντίστοιχης ϐάσης δεδοµένων διαθέσιµου στους ερευνητές. Το FACs περιέχει 44 AUs. Από αυτά, τα 30 συνδέονται ανατοµικά µε την κίνηση συγκεκριµένων µυών (Σχήµα 1.1). Το Σχήµα 1.2 περιέχει µερικά παραδείγµατα εκφράσεων που δηµιουργούνται από συνδυασµούς AUs Cohn-Kanade AU-Coded Facial Expression Image Database Για τον έλεγχο του όλου συστήµατος, καθώς και των επιµέρους τµηµάτων του, χρησιµοποιή- ϑηκε η Cohn-Kanade AU-Coded Face Expression Image Database [17]. Η ϐάση αποτελείται από ενήλικες, 69% γυναίκες και 31% άντρες, ηλικίας 18 µε 50 χρονών, διαφόρων εθνικοτήτων. Τα άτοµα που συµµετέχουν στη ϐάση εκπαιδεύτηκαν από ειδικούς για να ερµηνεύσουν απλά AUs και συνδυασµούς από AUs. Η κινηµατογράφηση έγινε σε κλειστό εσωτερικό χώρο. Οι ακολουθίες εικόνων ξεκινούν µε ουδέτερο πρόσωπο και σταµατούν µε το τελευταίο καρέ να απεικονίζει την εκάστοτε έκφραση στη µέγιστη ένταση της. Οι εικόνες αποτελούνται από pixels, µε 8 bit/pixel οι ασπρόµαυρες και 24 bit/pixel οι έγχρωµες. Ακολουθίες εικόνων µε εντός πλάνου κίνηση και περιορισµένη εκτός πλάνου κίνηση, περιέχονται µέσα στη ϐάση. Το µέρος της ϐάσης που µας έγινε διαθέσιµο, µετά από αίτηµα, αποτελείται από 97 άτοµα σε 487 ακολουθίες εικόνων, κωδικοποιηµένων κατά FACS AUs. 1.3 Η παρούσα εργασία Το σύστηµα που αναπτύξαµε σ αυτή την εργασία αναγνωρίζει αυτόµατα 17 AUs από ακολουθίες εικόνων. Για την ανάλυση των εκφράσεων, χρησιµοποιήσαµε 17 SVM διαχωριστές, ένας για κάθε 1 από τα 17 AUs που ϑέλουµε να εντοπίσουµε, οι οποίο εκπαιδεύτηκαν από χαρακτηριστικά που

12 1.3 Η παρούσα εργασία 11 Σχήµα 1.1: FACS Action Units. Σχήµα 1.2: Παραδείγµατα από συνδυασµούς FACS Action Units.

13 1.3 Η παρούσα εργασία 12 περιγράφουν την χωροχρονική ϑέση 16 συγκεκριµένων σηµείων του προσώπου. Η σχηµατική αναπαράσταση του συστήµατος ϕαίνεται στο Σχήµα 1.3. Το σύστηµα δοµείται ως εξής : Με είσοδο µία ακολουθία από frames, αρχικά εντοπίζουµε το πρόσωπο στο πρώτο καρέ µε χρήση µίας προσαρµοσµένης έκδοσης του Viola-Jones Face Detector[33]. Για την υλοποίηση αυτού του τµήµατος χρησιµοποιήσαµε τον κώδικα που είναι ελεύθερα διαθέσιµος από τη σελίδα : Στη συνέχεια µέσα στην περιοχή του προσώπου εντοπίζονται 16 χαρακτηριστικά σηµεία του προσώπου µε χρήση ϕίλτρων Gabor και του αλγόριθµο gentleboost [14]. Η υλοποίηση αυτού του τµήµατος έγινε σε Matlab. Αφού τα 16 σηµεία εντοπίστουν στο πρώτο καρέ, στη συνέχεια παρακολουθούνται στα υπόλοιπα καρέ της ακολουθίας µε την ϐοήθεια του αλγορίθµου Lucas Kanade. Ο Αλγόριθµος Lucas Kanade είναι ελεύθερα διαθέσιµος από τη σελίδα : Στη συνέχεια 2 σετ χαρακτηριστικών υπολογίζονται µε ϐάση την χωροχρονική ϑέση των 16 σηµείων. Τέλος από τα 2 αυτά σετ εξάγονται µε την ϐοήθεια των SVM τα εκάστοτε AUs. Η υλοποίηση των SVMs έγινε µε τη ϐοήθεια του Bioinformatics Toolbox του Matlab. Η εργασία δοµείται ως εξής : Στο δεύτερο κεφάλαιο παρουσιάζεται ο αλγόριθµος εντοπισµού των ϑέσεων της εικόνα, όπου εµφανίζονται ανθρώπινα πρόσωπα. Στο τρίτο κεφάλαιο παρουσιάζεται µία ακριβής µέθοδος µε υψηλά ποσοστά επιτυχίας για τον εντοπισµό συγκεκριµένων σηµείων του προσώπου σε εικόνες µε ανέκφραστα πρόσωπα και ενδεχοµένως εντός πλάνου περιστροφή. Στο τέταρτο κεφάλαιο αναλύεται ο αλγόριθµος Lucas Kanade για την παρακολούθηση συγκεκριµένων σηµείων σε διαδοχικά καρέ µιας ακολουθίας εικόνων. Στο πέµπτο κεφάλαιο περιγράφεται η εξαγωγή συγκεκριµένων χαρακτηριστικών από τα ση- µεία του προσώπου καθώς και οι ϐασικές αρχές λειτουργίας των Support Vector Machines. Επίσης στο τέλος του κεφαλαίου παρουσιάζονται τα τελικά αποτελέσµατα του συστήµατος. Στο έκτο κεφάλαιο συνοψίζονται τα συµπεράσµατα που προέκυψαν από το σύνολο του συστήµατος.

14 1.3 Η παρούσα εργασία 13 Σχήµα 1.3: Σχηµατική αναπαράσταση του συνολικού αυτόµατου συστήµατος αναγνώρισης εκ- ϕράσεων.

15 Κεφάλαιο 2 Εντοπισµός Προσώπου 2.1 Γενικά Πρώτο ϐήµα σε οποιοδήποτε σύστηµα επεξεργασίας εκφράσεων προσώπου είναι ο εντοπισµός των ϑέσεων στην εικόνα, όπου εµφανίζονται πρόσωπα. Στα περισσότερα συστήµατα οι συνθήκες κάτω από τις οποίες κινηµατογραφείται ο άνθρωπος είναι σχετικά ελεγχόµενες. Συνήθως, η εικόνα περιέχει µόνο ένα πρόσωπο σε αµφάς. Ετσι, όχι µόνο η παρουσία του προσώπου στην εικόνα είναι εξασφαλισµένη, αλλά, εκ των προτέρων, υπάρχει κάποια υπόνοια για την πιθανή ϑέση του. Ωστόσο, ο εντοπισµός της ακριβής ϑέσης του προσώπου είναι ένα σύνθετο πρόβληµα. Η κλίµακα και ο προσανατολισµός του προσώπου µπορούν να διαφέρουν από εικόνα σε εικόνα. Ετσι, η αναζήτηση συγκεκριµένου προτύπου στην εικόνα γίνεται δύσκολη. Η παρουσία ϑορύβου και η επικάλυψη του προσώπου από άλλα αντικείµενα κάνουν το πρόβληµα ακόµα πιο δύσκολο. Με µια γρήγορη µατιά στην ϐιβλιογραφία, εύκολα διαπιστώνει κάνεις, ότι, έχουν προταθεί πολυάριθµες µέθοδοι για την αναγνώριση προσώπου σε ασπρόµαυρες ή έγχρωµες εικόνες[35]. Οι µέθοδοι αυτοί µπορούν να ταξινοµηθούν σε τέσσερις ϐασικές κατηγορίες : 1. Μέθοδοι ϐασισµένοι στη µορφολογία του προσώπου (Knowledge-based methods). Οι µέθοδοι αυτοί στηρίζονται σε κανόνες που πηγάζουν τη µορφολογία του ανθρώπινου προσώπου. Η περιγραφή των χαρακτηριστικών του προσώπου και των µεταξύ τους σχέσεων µε απλούς κανόνες είναι µια σχετικά εύκολη διαδικασία. Για παράδειγµα ένα πρόσωπο σχεδόν πάντα εµφανίζεται σε µία εικόνα µε δύο συµµετρικά µάτια, µύτη και στόµα. Η σχέση µεταξύ αυτών των χαρακτηριστικών µπορεί να αναπαρασταθεί µε την σχετική τους απόσταση και ϑέση. Σε τέτοια συστήµατα αρχικά από µία εικόνα υπολογίζονται τα χαρακτηριστικά του προσώπου και στη συνέχεια η αναγνώριση του προσώπου γίνεται µε ϐάση αυτά τα χαρακτηριστικά[18]. 2. Μέθοδοι ϐασισµένοι στη χρήση αµετάβλητων χαρακτηριστικών (Feature invariant approaches). Σε αντίθεση, µε τις µεθόδους που στηρίζονται αποκλειστικά στη µορφολογία του προσώπου, οι µέθοδοι αυτοί αποσκοπούν στην εύρεση δοµικών χαρακτηριστικών του προσώπου, τα οποία υπάρχουν ανεξάρτητα από την πόζα, την οπτική γωνία ή

16 2.2 Viola-Jones Face Detector 15 τις συνθήκες ϕωτισµού. Αρχικά γίνεται µεµονωµένος εντοπισµός χαρακτηριστικών (ϕρύδια, µάτια, µύτη, στόµα) χρησιµοποιώντας συνήθως ανιχνευτές ακµών(edge detectors) και στη συνέχεια επαληθεύεται η ύπαρξη του προσώπου, µε ϐάση τα στατιστικά µοντέλα που δηµιουργήθηκαν[34, 26, 5]. 3. Μέθοδοι αντιστοίχισης προτύπου (Template matching methods). Πολλά πρότυπα προσώπου αποθηκεύονται για την περιγραφή του προσώπου σαν οντότητα ή σαν συνδυασµό χαρακτηριστικών. Για την αναγνώριση, χρησιµοποιούνται οι συσχετίσεις µεταξύ της εικόνας και των προτύπων. Αυτού του είδους η προσέγγιση έχει το πλεονέκτηµα της εύκολη υλοποίησης. 4. Μέθοδοι ϐασισµένοι στην εµφάνιση (Appearance-based methods). Σε αντίθεση µε τις µεθόδους αντιστοίχισης προτύπου, οι οποίες στηρίζονται σε πρότυπα που είναι προκα- ϑορισµένα, σε αυτές τις µεθόδους τα πρότυπα εκπαιδεύονται από παραδείγµατα εικόνων. Σε γενικές γραµµές, οι αλγόριθµοι αυτοί στηρίζονται σε τεχνικές της στατιστικής ανάλυσης (ταξινόµηση κατά Bayes, µέγιστη πιθανοφάνεια) και σε µηχανές εκπαίδευσης (νευρωνικά δίκτυα, support vector machines). Συνήθως, για λόγους υπολογιστικής ισχύς και ακρίβειας παρατηρείται στα χαρακτηριστικά µείωση διαστάσεων (PCA,adaboost) [25, 27]. Για µία πληρέστερη χαρτογράφηση του χώρου που ασχολείται µε τον εντοπισµό προσώπων σε εικόνες ο αναγνώστης µπορεί να ανατρέξει στο [35]. Στη παρούσα εργασία για τον εντοπισµό του προσώπου επιλέχτηκε ο αλγόριθµος που προτάθηκε στο [10], ο οποίος είναι µία προσαρµοσµένη έκδοση του Viola-Jones Face Detector[33]. Ο αλγόριθµος αυτός ανήκει στις appearance-based methods και είναι αποτελεσµατικός ανεξαρτήτως ϕόντου και ϕωτισµού, χωρίς να ϑέτει εκ των προτέρων καµία παραδοχή για την ϑέση του προσώπου µέσα στην εικόνα. 2.2 Viola-Jones Face Detector Οι Viola και Jones στο [33] περιγράφουν ένα πλαίσιο εργασίας για την αναγνώριση αντικει- µένων, το οποίο συνδυάζει τόσο τη γρήγορη επεξεργασία των εικόνων όσο και τα υψηλά ποσοστά αναγνώρισης. Στο γεγονός αυτό συνεισφέρουν τρία ϐασικά χαρακτηριστικά του συστήµατος : Μία νέα αναπαράσταση της εικόνας 1 που επιτρέπει την πολύ γρήγορη αποτίµηση κάποιων χαρακτηριστικών [7]. Η αναπαράσταση αυτή µπορεί να υπολογιστεί πολύ εύκολα από την εικόνα, µόνο µε τη χρήση µερικών απλών αριθµητικών πράξεων για κάθε pixel. Η κατασκευή του διαχωριστή µε την επιλογή µικρού αριθµού σηµαντικών χαρακτηριστικών. Η επιλογή αυτή επιτυγχάνεται µε απλή τροποποίηση του αλγορίθµου Adaboost[13]. 1 Οι Viola και Jones την ονοµάζουν integral image

17 2.2 Viola-Jones Face Detector 16 Ο διαδοχικός συνδυασµός σύνθετων διαχωριστών σε σειριακή δοµή(cascade). Το γεγονός αυτό αυξάνει αισθητά την ταχύτητα, περιορίζοντας την λεπτοµερή αναζήτηση σε συγκεκρι- µένες περιοχές της εικόνας και όχι στο σύνολό της Χαρακτηριστικά Το σύστηµα ταξινοµεί τις εικόνες µε ϐάση τις τιµές απλών χαρακτηριστικών. Υπάρχουν πολλά κίνητρα για την χρήση χαρακτηριστικών, σε σχέση µε την απευθείας χρήση των ϕωτεινοτήτων των pixels. Ο πιο σηµαντικός λόγος είναι ότι τα χαρακτηριστικά έχουν τη δυνατότητα να κωδικοποιούν γνώση η οποία είναι πολύ δύσκολο να εµπεδωθεί µέσω πεπερασµένου αριθµού δεδοµένων εκπαίδευσης. Επίσης ένα ακόµα ϐασικό κίνητρο είναι ότι ένα feature-based σύστηµα είναι σαφώς ταχύτερο από ένα pixel-based σύστηµα. Τα απλά χαρακτηριστικά που χρησιµοποιούνται έχουν την ϐάση τους στις συναρτήσεις Haar[23]. Συγκεκριµένα χρησιµοποιούνται τρία διαφορετικά είδη χαρακτηριστικών. Η τιµή ενός διπλού-τετράγωνου χαρακτηριστικού (two-rectangle features) είναι η διαφορά του αθροίσµατος των pixels των δύο τετραγώνων (Σχήµα 2.1). Ενα τριπλό-τετράγωνο χαρακτηριστικό (threerectangle features) υπολογίζει το άθροισµα των δύο εξωτερικών τετραγώνων µειωµένο κατά το κεντρικό τετράγωνο. Τέλος ένα τετραπλό-τετράγωνο χαρακτηριστικό (four-rectangle features) υ- πολογίζει την διαφορά του αθροίσµατος ανάµεσα στα διαγώνια τετράγωνα. Σχήµα 2.1: Παράδειγµα τετράγωνων χαρακτηριστικών, τοποθετηµένα µέσα στο παράθυρο σά- ϱωσης. Το άθροισµα των pixels που ϐρίσκονται µέσα στα λευκά τετράγωνα αφαιρείται από το άθροισµα των pixels των γκρι τετραγώνων. Two-rectangle features απεικονίζονται στο Α1 και Α2. Three-rectangle feature απεικονίζονται στο Α3 και Α4, ενώ στο Α5 ένα four-rectangle feature. Το Α6 είναι ένα κεντρικά περικυκλωµένο χαρακτηριστικό, ενώ τα Β rectangle είναι παραδείγµατα από συµµετρικά rectangle ως προς τον y-άξονα (Παράγραφος 2.3). Με δεδοµένο το ότι η ϐασική ανάλυση του ανιχνευτή είναι pixels, το εξαντλητικό σετ των χαρακτηριστικών για ένα παράθυρο σάρωσης είναι αρκετά µεγάλο : χαρακτηριστικά. Επο- µένως αναγκαία είναι η εύρεση ενός κανόνα για τον ταχύ υπολογισµό αυτών των χαρακτηριστικών. Αυτό γίνεται δυνατό µε την ενδιάµεση αναπαράσταση της εικόνας (integral image). Η integral image στο pixel µε συντεταγµένες (x, y) περιέχει το άθροισµα των pixels, που

18 x 3 + x Viola-Jones Face Detector 17 ϐρίσκονται πάνω και αριστερά του (x, y), δηλαδή : ii(x, y) = x x y y i(x, y ) (2.1) όπου ii(x, y) είναι η integral image και i(x, y) η κανονική εικόνα (Σχήµα 2.2 Α). Σχήµα 2.2: Integral image:(a) Η τιµή του pixel µε συντεταγµένες (x, y) είναι το άθροισµα των pixels, που ϐρίσκονται πάνω και αριστερά του (x, y). (Β) Το άθροισµα των pixels εντός του τετραγώνου D στην κανονική εικόνα µπορεί να υπολογιστεί από το integral image σαν x 4 x 2 Με χρήση της integral image κάθε άθροισµα τετραγώνου µπορεί να υπολογιστεί µε αναφορά σε τέσσερα µόνο διανύσµατα (Σχήµα 2.2 Β). Εποµένως, η διαφορά µεταξύ δύο τετραγώνων µπορεί να υπολογιστεί µε οχτώ διανύσµατα. Άµα ληφθεί υπόψη και το γεγονός ότι στα two-rectangle features τα τετράγωνα αυτά είναι γειτονικά τότε αρκούν έξι διανύσµατα. Παρόµοια στην περίπτωση των three-rectangle features οχτώ και στα four-rectangle features εννιά. Τα τετράγωνα χαρακτηριστικά µοιάζουν πρωτόγονα σε σύγκριση µε διάφορα άλλα ϕίλτρα δύο διαστάσεων (gabor wavelets, canny edge detector κ.τ.λ.). Αν και είναι ευαίσθητα στην παρουσία ακµών και απλών δοµών, εντούτοις είναι ανεπαρκή για την λεπτοµερή δοµική ανάλυση των εικόνων. Επίσης συναντώνται σε δύο µόνο προσανατολισµούς (οριζόντιος και κάθετος). Παρόλα τα παραπάνω, ένα σετ από τετράγωνα χαρακτηριστικά ϕαίνεται να εξασφαλίζει µία πλούσια αναπα- ϱάσταση της εικόνας, κατάλληλη να εφαρµοστεί σε αλγορίθµους εκπαίδευσης. Επίσης η τεράστια υπολογιστική ευκολία που προσφέρουν αντισταθµίζεί την περιορισµένη λειτουργικότητά τους. Τα υπολογιστικά πλεονεκτήµατα της τεχνικής integral image γίνονται ακόµα πιο εµφανή αν ϑεωρήσουµε την συνηθισµένη προσέγγιση της πυραµίδας των εικόνων. Στα περισσότερα συστή- µατα εντοπισµού αντικειµένου, ο ανιχνευτής εξετάζει την εικόνα σε πολλές κλίµακες. Η εικόνα σαρώνεται από ένα παράθυρο εντοπισµού σταθερών διαστάσεων (π.χ ), αρχικά στο αρχικό της µέγεθος και στη συνέχεια σε µικρότερα µεγέθη. Ετσι δηµιουργείται µία πυραµίδα από την ίδια εικόνα σε διάφορες κλίµακες. Με την χρήση των rectangle features η όλη διαδικασία του εντοπισµού του προσώπου σε όλα τα επίπεδα της πυραµίδας γίνεται πολύ γρήγορα, γρηγορότερα και από τον υπολογισµό των ίδιων των εικόνων της πυραµίδας.

19 2.2 Viola-Jones Face Detector Εκµάθηση συναρτήσεων διαχωρισµού Για ένα συγκεκριµένο σετ χαρακτηριστικών και ένα πλήθος ϑετικών και αρνητικών δειγµάτων εκπαίδευσης µπορεί να χρησιµοποιηθεί οποιαδήποτε µηχανή εκµάθησης για την εκπαίδευση των συναρτήσεων διαχωρισµού (π.χ. νευρωνικά δίκτυα, support vector machines). Στο Viola- Jones Face Detector από κάθε παράθυρο σάρωσης απορρέουν τετράγωνα χαρακτηριστικά. Παρόλο που κάθε χαρακτηριστικό µπορεί να υπολογιστεί πολύ γρήγορα και αποτελεσµατικά, ο υπολογισµός του πλήρες σετ είναι απαγορευτικά δαπανηρός. Η υπόθεση, η οποιά προήλθε µέσα από πειράµατα, είναι ότι για έναν επαρκή διαχωριστή αρκεί ο συνδυασµός µερικών από αυτών των χαρακτηριστικών και όχι το πλήρες σύνολό τους. Στο σύστηµα των Viola-Jones χρησιµοποιείται µια παραλλαγή του αλγορίθµου AdaBoost[13] τόσο για την επιλογή των χαρακτηριστικών όσο και για την εκπαίδευση του διαχωριστή. Στην αρχική του µορφή ο αλγόριθµος εκπαίδευσης AdaBoost χρησιµοποιείται για να ϐελτιώσει την απόδοση ενός απλού αλγορίθµου εκπαίδευσης (π.χ. ενός perceptron, ενός νευρωνικού δικτύου). Αυτό το επιτυγχάνει συνδυάζοντας τις αδύναµες συναρτήσεις διαχωρισµού, των επιµέρους απλών αλγο- ϱίθµων εκπαίδευσης, για την δηµιουργία ενός ισχυρού διαχωριστή. Στη γλώσσα του boosting 2 ο απλός αλγόριθµος εκπαίδευσης αποκαλείται αδύναµος διαχωριστής (weak learner). Ο διαχωριστής αποκαλείται αδύναµος επειδή δεν προσδοκούµε από αυτόν τον επιτυχηµένο διαχωρισµό των δεδοµένων εκπαίδευσης. Για το επιτυχηµένο boosting ο αδύναµος διαχωριστής εκπαιδεύεται πολλές ϕορές πάνω στα ίδια δεδοµένα. Μεταξύ δύο διαδοχικών εκπαιδεύσεων αυτά που τροποποιούνται είναι τα βάρη των δεδοµένων εκπαίδευσης, έτσι ώστε να δοθέι έµφαση στα δεδοµένα που ταξινοµήθηκαν λανθασµένα από τον προηγούµενο αδύναµο διαχωριστή. Ο τελικός ισχυρός διαχωριστής έχει τη µορφή των αδύναµων διαχωριστών. Οι Freund και Schapire απέδειξαν ότι το σφάλµα εκπαίδευσης του ισχυρού διαχωριστή τείνει εκθετικά προς το µηδέν όσο το πλήθος των επαναλήψεων αυξάνεται[13]. Ο αλγόριθµος AdaBoost µπορεί πολύ εύκολα να µετατραπεί σε µέθοδο επιλογής χαρακτηριστικών. Θεωρούµε το γενικό πρόβληµα του boosting, στο οποίο ένα µεγάλο πλήθος από συναρτήσεις διαχωρισµού συνδυάζονται µε χρήση ψήφου πλειοψηφίας(weighted majority vote). Το Ϲητούµενο είναι η αντιστοίχιση µεγάλων βαρών στις συναρτήσεις µε µικρά ποσοστά αποτυχίας και µικρών σ αυτές µε µεγάλα ποσοστά αποτυχίας. Με την κατάλληλη συσχέτιση µεταξύ των αδύναµων διαχω- ϱιστών και των χαρακτηριστικών, ο AdaBoost αποτελεί µία αποτελεσµατική µέθοδο για την εύρεση µικρού αριθµού χαρακτηριστικών, κατάλληλων για την σωστή ταξινόµηση. Μία πρακτική µέθοδος για την υλοποίηση αυτής της συσχέτισης είναι ο περιορισµός του α- δύναµου διαχωριστή σε συναρτήσεις διαχωρισµού, οι οποίες ϑα εξαρτώνται από ένα και µόνο χαρακτηριστικό. Για να επιτευχθεί αυτός ο σκοπός ο αδύναµος αλγόριθµος εκπαίδευσης σχεδιά- Ϲεται να επιλέγει ένα απλό τετράγωνο χαρακτηριστικό (rectangle feature), το οποίο επιτυγχάνει τον καλύτερο διαχωρισµό των ϑετικών και αρνητικών δειγµάτων. Για κάθε χαρακτηριστικό, ο αδύνα- 2 boosting στην ϐιβλιογραφία αναφέρεται το γενικό πρόβληµα της δηµιουργίας ενός ακριβή κανόνα πρόβλεψης συνδυάζοντας µέτριους και ανακριβείς κανόνες

20 2.2 Viola-Jones Face Detector 19 µος διαχωριστής καθορίζει το ϐέλτιστο κατώφλι, έτσι ώστε να επιτυγχάνεται το µικρότερο σφάλµα ταξινόµησης των δειγµάτων. Με ϐάση τα παραπάνω ο αδύναµος διαχωριστής h j (x) αποτελείται από την τιµή ενός χαρακτηριστικού f j, ένα κατώφλι θ j και µία σταθερά ισοτιµίας f j, η οποία καθορίζει την ϕορά της ανίσωσης : h j (x) = { 1 αν pj f j (x) < p j ϑj 0 αλλιώς (2.2) όπου στην προκειµένη περίπτωση x είναι ένα pixel υποπαράθυρο της εικόνας. Ο ψευδοκώδικας του αλγορίθµου ϕαίνεται στη σελίδα 20. Υιοθετούµε ένα γενικό πλαίσιο, στο οποίο ο διαχωριστής δέχεται N δείγµατα (x i, y i ) τυχαία µε ϐάση άγνωστη κατανοµή P του χώρου X Y, όπου Y είναι το σέτ των πιθανών ετικετών των δειγµάτων (στη περίπτωση των δύο κατηγοριών : Y = {0, 1}). Ο σκοπός του αλγορίθµου είναι να διαµορφώσει τον τελικό διαχωριστή h f µε µικρό σφάλµα, σε σχέση µε µία δοσµένη κατανοµή D πάνω στα δείγµατα εκπαίδευσης. Σε αντίθεση µε την κατανοµή P που καθορίζεται από τη φύση του χώρου X Y και είναι άγνωστη, η κατανοµή D αναφέρεται πάνω στα συγκεκριµένα δείγµατα εκπαίδευσης και ελέγχεται εξ ολοκλήρου από το διαχωριστή. Συνήθως η κατανοµή D αρχικοποιείται σαν οµοιόµορφη (D(i) = 1 N ). Ο αλγόριθµος αντιστοιχεί ένα σετ ϐαρών wt στα δείγµατα εκπαίδευσης. Στην επανάληψη t κανονικοποιούνται τα ϐάρη ώστε το w t να αποτελεί συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας. Ο WeakLearn παράγει έναν κανόνα h t που πιθανολογείται ότι έχει µικρό σφάλµα µε ϐάση την κατανοµή w t. Χρησιµοποιώντας το νέο διαχωριστή h t ο αλγόριθµος παράγει το διάνυσµα ϐαρών για την επόµενη επανάληψη w t+1. Μετά από T τέτοιες επαναλήψεις, ο τελικός διαχωριστής h f είναι η έξοδος. Ο h f συνδυάζει τις εξόδους από τους T αδύναµους διαχωριστές µε χρήση ψήφου πλειοψηφίας (αθροίζοντας τις αβέβαιες προβλέψεις τους). Από τα παραπάνω ϕαίνεται ότι ο αλγόριθµος προσαρµόζεται στα σφάλµατα των αδύναµων διαχωριστών. Τα αποτελέσµατα ισχύουν για κάθε ɛ t [0, 1] και εξαρτώνται µόνο από την επίδοση των αδύναµων διαχωριστών στις κατανοµές D που δηµιουργήθηκαν κατά την διάρκεια της εκπαίδευσης. Η παράµετρος β t ορίζεται σα συνάρτηση του σφάλµατος ɛ t και χρησιµοποιείται στην αναπροσαρµογή των ϐαρών. Ο κανόνας αναπροσαρµογής µειώνει την πιθανότητα που σχετίζεται µε τα δείγµατα που προβλέφθηκαν σωστά και αυξάνει την πιθανότητα των λάθος ιαχωριστές σε σειρά Με την χρήση πολλών διαχωριστών σε σειρά επιτυγχάνουµε µεγαλύτερα ποσοστά επιτυχίας σε µικρότερο υπολογιστικό χρόνο. Το κλειδί σ αυτό ϐρίσκεται στο ότι µικρότεροι διαχωριστές (από άποψη αριθµού επιλεγµένων χαρακτηριστικών), είναι περισσότερο αποδοτικοί στο να απορρίπτουν τα περισσότερα αρνητικά υπό-παράθυρα (χωρίς ύπαρξη προσώπου), ενώ ταυτόχρονα εντοπίζουν σχεδόν όλα τα ϑετικά (υπό-παράθυρα που περιέχουν πρόσωπα). Ετσι, απλοί διαχωριστές (µε µικρό αριθµό χαρακτηριστικών) χρησιµοποιούνται για να απορρίψουν τα περισσότερα υπόπαράθυρα της εικόνας πριν αναλάβουν συνθετότεροι (µε µεγαλύτερο αριθµό χαρακτηριστικών) για να επιτύχουν χαµηλά ποσοστά λανθασµένου εντοπισµού (false positive rates) (Σχήµα 2.3).

Κατάτµηση Εικόνων: Ανίχνευση Ακµών και Κατάτµηση µε Κατωφλίωση

Κατάτµηση Εικόνων: Ανίχνευση Ακµών και Κατάτµηση µε Κατωφλίωση ΤΨΣ 50 Ψηφιακή Επεξεργασία Εικόνας Κατάτµηση Εικόνων: Ανίχνευση Ακµών και Κατάτµηση µε Κατωφλίωση Τµήµα ιδακτικής της Τεχνολογίας και Ψηφιακών Συστηµάτων Πανεπιστήµιο Πειραιώς Περιεχόµενα Βιβλιογραφία

Διαβάστε περισσότερα

4.3. Γραµµικοί ταξινοµητές

4.3. Γραµµικοί ταξινοµητές Γραµµικοί ταξινοµητές Γραµµικός ταξινοµητής είναι ένα σύστηµα ταξινόµησης που χρησιµοποιεί γραµµικές διακριτικές συναρτήσεις Οι ταξινοµητές αυτοί αναπαρίστανται συχνά µε οµάδες κόµβων εντός των οποίων

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΕΥΝΗΤΙΚΑ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΑ ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ ΕΝΙΣΧΥΣΗ ΕΡΕΥΝΗΤΙΚΩΝ ΟΜΑΔΩΝ ΣΤΟ ΤΕΙ ΣΕΡΡΩΝ. Ενέργεια. 2.2.3.στ ΘΕΜΑ ΕΡΕΥΝΑΣ: ΔΙΑΡΘΡΩΣΗ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΟΥ ΕΧΡΩΜΩΝ ΕΓΓΡΑΦΩΝ

ΕΡΕΥΝΗΤΙΚΑ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΑ ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ ΕΝΙΣΧΥΣΗ ΕΡΕΥΝΗΤΙΚΩΝ ΟΜΑΔΩΝ ΣΤΟ ΤΕΙ ΣΕΡΡΩΝ. Ενέργεια. 2.2.3.στ ΘΕΜΑ ΕΡΕΥΝΑΣ: ΔΙΑΡΘΡΩΣΗ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΟΥ ΕΧΡΩΜΩΝ ΕΓΓΡΑΦΩΝ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ (Τ.Ε.Ι.) ΣΕΡΡΩΝ Τμήμα ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ & ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ ΕΡΕΥΝΗΤΙΚΑ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΑ ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ ΕΝΙΣΧΥΣΗ ΕΡΕΥΝΗΤΙΚΩΝ ΟΜΑΔΩΝ ΣΤΟ ΤΕΙ ΣΕΡΡΩΝ Ενέργεια. 2.2.3.στ ΘΕΜΑ ΕΡΕΥΝΑΣ: ΔΙΑΡΘΡΩΣΗ

Διαβάστε περισσότερα

Μετάδοση Πολυμεσικών Υπηρεσιών Ψηφιακή Τηλεόραση

Μετάδοση Πολυμεσικών Υπηρεσιών Ψηφιακή Τηλεόραση Χειμερινό Εξάμηνο 2013-2014 Μετάδοση Πολυμεσικών Υπηρεσιών Ψηφιακή Τηλεόραση 5 η Παρουσίαση : Ψηφιακή Επεξεργασία Εικόνας Διδάσκων: Γιάννης Ντόκας Σύνθεση Χρωμάτων Αφαιρετική Παραγωγή Χρώματος Χρωματικά

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 18. 18 Μηχανική Μάθηση

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 18. 18 Μηχανική Μάθηση ΚΕΦΑΛΑΙΟ 18 18 Μηχανική Μάθηση Ένα φυσικό ή τεχνητό σύστηµα επεξεργασίας πληροφορίας συµπεριλαµβανοµένων εκείνων µε δυνατότητες αντίληψης, µάθησης, συλλογισµού, λήψης απόφασης, επικοινωνίας και δράσης

Διαβάστε περισσότερα

2 + 0.5 2 + 0.25 + 1 + 0.5 2 + 0.25 + 1 + 0.5 2 + 0.25 2 + 0.5 0 0.125 + 1 + 0.5 1 0.125 + 1 + 0.75 1 0.125 1/5

2 + 0.5 2 + 0.25 + 1 + 0.5 2 + 0.25 + 1 + 0.5 2 + 0.25 2 + 0.5 0 0.125 + 1 + 0.5 1 0.125 + 1 + 0.75 1 0.125 1/5 IOYNIOΣ 23 Δίνονται τα εξής πρότυπα: x! = 2.5 Άσκηση η (3 µονάδες) Χρησιµοποιώντας το κριτήριο της οµοιότητας να απορριφθεί ένα χαρακτηριστικό µε βάση το συντελεστή συσχέτισης. Γράψτε εδώ το χαρακτηριστικό

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΥΝΟΡΘΩΣΕΩΝ

ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΥΝΟΡΘΩΣΕΩΝ ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΥΝΟΡΘΩΣΕΩΝ Βασίλης Δ. Ανδριτσάνος Δρ. Αγρονόμος - Τοπογράφος Μηχανικός ΑΠΘ Επίκουρος Καθηγητής ΤΕΙ Αθήνας 3ο εξάμηνο http://eclass.teiath.gr Παρουσιάσεις,

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνικές Μείωσης Διαστάσεων. Ειδικά θέματα ψηφιακής επεξεργασίας σήματος και εικόνας Σ. Φωτόπουλος- Α. Μακεδόνας

Τεχνικές Μείωσης Διαστάσεων. Ειδικά θέματα ψηφιακής επεξεργασίας σήματος και εικόνας Σ. Φωτόπουλος- Α. Μακεδόνας Τεχνικές Μείωσης Διαστάσεων Ειδικά θέματα ψηφιακής επεξεργασίας σήματος και εικόνας Σ. Φωτόπουλος- Α. Μακεδόνας 1 Εισαγωγή Το μεγαλύτερο μέρος των δεδομένων που καλούμαστε να επεξεργαστούμε είναι πολυδιάστατα.

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΙ ΣΕΡΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΚΑΙ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ «ΑΝΑΓΝΩΡΙΣΗ ΠΡΟΤΥΠΩΝ ΝΕΥΡΩΝΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ» ΠΑ. 7 ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 2012

ΤΕΙ ΣΕΡΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΚΑΙ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ «ΑΝΑΓΝΩΡΙΣΗ ΠΡΟΤΥΠΩΝ ΝΕΥΡΩΝΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ» ΠΑ. 7 ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 2012 ΠΑ. 7 ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ Δίνονται τα εξής πρότυπα: [ ] [ ] [ ] [ ] Άσκηση η (3 μονάδες) Χρησιμοποιώντας το κριτήριο της ομοιότητας να απορριφθεί ένα χαρακτηριστικό με βάση το συντελεστή συσχέτισης. (γράψτε ποιο

Διαβάστε περισσότερα

Ε.Α.Υ. Υπολογιστική Όραση. Κατάτμηση Εικόνας

Ε.Α.Υ. Υπολογιστική Όραση. Κατάτμηση Εικόνας Ε.Α.Υ. Υπολογιστική Όραση Κατάτμηση Εικόνας Γεώργιος Παπαϊωάννου 2015 ΚΑΤΩΦΛΙΩΣΗ Κατωφλίωση - Γενικά Είναι η πιο απλή μέθοδος segmentation εικόνας Χωρίζουμε την εικόνα σε 2 (binary) ή περισσότερες στάθμες

Διαβάστε περισσότερα

Μάθηση και Γενίκευση. "Τεχνητά Νευρωνικά Δίκτυα" (Διαφάνειες), Α. Λύκας, Παν. Ιωαννίνων

Μάθηση και Γενίκευση. Τεχνητά Νευρωνικά Δίκτυα (Διαφάνειες), Α. Λύκας, Παν. Ιωαννίνων Μάθηση και Γενίκευση Το Πολυεπίπεδο Perceptron (MultiLayer Perceptron (MLP)) Έστω σύνολο εκπαίδευσης D={(x n,t n )}, n=1,,n. x n =(x n1,, x nd ) T, t n =(t n1,, t np ) T Θα πρέπει το MLP να έχει d νευρώνες

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΝΕΥΡΩΝΙΚΑ ΙΚΤΥΑ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΝΕΥΡΩΝΙΚΑ ΙΚΤΥΑ ΘΕΜΑ 1 ο (2.5 µονάδες) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΝΕΥΡΩΝΙΚΑ ΙΚΤΥΑ Τελικές εξετάσεις 21 Σεπτεµβρίου 2004 ιάρκεια: 3 ώρες Το παρακάτω σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα συντεταγμένων

Συστήματα συντεταγμένων Κεφάλαιο. Για να δημιουργήσουμε τρισδιάστατα αντικείμενα, που μπορούν να παρασταθούν στην οθόνη του υπολογιστή ως ένα σύνολο από γραμμές, επίπεδες πολυγωνικές επιφάνειες ή ακόμη και από ένα συνδυασμό από

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. ΠΡΟΛΟΓΟΣ... vii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ... ix ΓΕΝΙΚΗ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ... xv. Κεφάλαιο 1 ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΑΠΟ ΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. ΠΡΟΛΟΓΟΣ... vii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ... ix ΓΕΝΙΚΗ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ... xv. Κεφάλαιο 1 ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΑΠΟ ΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΡΟΛΟΓΟΣ... vii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ... ix ΓΕΝΙΚΗ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ... xv Κεφάλαιο 1 ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΑΠΟ ΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ 1.1 Πίνακες, κατανομές, ιστογράμματα... 1 1.2 Πυκνότητα πιθανότητας, καμπύλη συχνοτήτων... 5 1.3

Διαβάστε περισσότερα

Γραφικά Υπολογιστών: Μέθοδοι Ανίχνευσης Επιφανειών (Surface Detection Methods)

Γραφικά Υπολογιστών: Μέθοδοι Ανίχνευσης Επιφανειών (Surface Detection Methods) 1 ΤΕΙ Θεσσαλονίκης Τμήμα Πληροφορικής Γραφικά Υπολογιστών: Μέθοδοι Ανίχνευσης Επιφανειών (Surface Detection Methods) Πασχάλης Ράπτης http://aetos.it.teithe.gr/~praptis praptis@it.teithe.gr 2 Περιεχόμενα

Διαβάστε περισσότερα

Η ΜΕΘΟΔΟΣ PCA (Principle Component Analysis)

Η ΜΕΘΟΔΟΣ PCA (Principle Component Analysis) Η ΜΕΘΟΔΟΣ PCA (Principle Component Analysis) Η μέθοδος PCA (Ανάλυση Κύριων Συνιστωσών), αποτελεί μία γραμμική μέθοδο συμπίεσης Δεδομένων η οποία συνίσταται από τον επαναπροσδιορισμό των συντεταγμένων ενός

Διαβάστε περισσότερα

HMY 795: Αναγνώριση Προτύπων

HMY 795: Αναγνώριση Προτύπων HMY 795: Αναγνώριση Προτύπων Διάλεξη 3 Επιλογή μοντέλου Επιλογή μοντέλου Θεωρία αποφάσεων Επιλογή μοντέλου δεδομένα επικύρωσης Η επιλογή του είδους του μοντέλου που θα χρησιμοποιηθεί σε ένα πρόβλημα (π.χ.

Διαβάστε περισσότερα

----------Εισαγωγή στη Χρήση του SPSS for Windows ------------- Σελίδα: 0------------

----------Εισαγωγή στη Χρήση του SPSS for Windows ------------- Σελίδα: 0------------ ----------Εισαγωγή στη Χρήση του SPSS for Windows ------------- Σελίδα: 0------------ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο 9.1 ηµιουργία µοντέλων πρόβλεψης 9.2 Απλή Γραµµική Παλινδρόµηση 9.3 Αναλυτικά για το ιάγραµµα ιασποράς

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Δεδομένων με χρήση του Στατιστικού Πακέτου R

Ανάλυση Δεδομένων με χρήση του Στατιστικού Πακέτου R Ανάλυση Δεδομένων με χρήση του Στατιστικού Πακέτου R, Επίκουρος Καθηγητής, Τομέας Μαθηματικών, Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών, Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο. Περιεχόμενα Εισαγωγή στο

Διαβάστε περισσότερα

Συµπίεση Ψηφιακών Εικόνων: Συµπίεση µε Απώλειες. Πρότυπα Συµπίεσης Εικόνων

Συµπίεση Ψηφιακών Εικόνων: Συµπίεση µε Απώλειες. Πρότυπα Συµπίεσης Εικόνων ΤΨΣ 5: Ψηφιακή Επεξεργασία Εικόνας ΤΨΣ 5 Ψηφιακή Επεξεργασία Εικόνας Συµπίεση Ψηφιακών Εικόνων: Συµπίεση µε απώλειες Πρότυπα Συµπίεσης Εικόνων Τµήµα ιδακτικής της Τεχνολογίας και Ψηφιακών Συστηµάτων Πανεπιστήµιο

Διαβάστε περισσότερα

6-Aνίχνευση. Ακμών - Περιγράμματος

6-Aνίχνευση. Ακμών - Περιγράμματος 6-Aνίχνευση Ακμών - Περιγράμματος Ανίχνευση ακμών Μετατροπή 2 εικόνας σε σύνολο ακμών Εξαγωγή βασικών χαρακτηριστικών της εικόνας Πιο «συμπαγής» αναπαράσταση Ανίχνευση ακμών Στόχος: ανίχνευση ασυνεχειών

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΦΥΣΙΚΗΣ ΟΠΤΙΚΗΣ - ΟΠΤΟΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗΣ & LASER ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΧΗΜΕΙΑΣ & Τ/Υ ΑΣΚΗΣΗ ΝΟ7 ΟΠΤΙΚΗ FOURIER. Γ. Μήτσου

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΦΥΣΙΚΗΣ ΟΠΤΙΚΗΣ - ΟΠΤΟΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗΣ & LASER ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΧΗΜΕΙΑΣ & Τ/Υ ΑΣΚΗΣΗ ΝΟ7 ΟΠΤΙΚΗ FOURIER. Γ. Μήτσου ΕΡΓΑΣΗΡΙΟ ΦΥΣΙΚΗΣ ΟΠΙΚΗΣ - ΟΠΟΗΛΕΚΡΟΝΙΚΗΣ & LASER ΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΧΗΜΕΙΑΣ & /Υ ΑΣΚΗΣΗ ΝΟ7 ΟΠΙΚΗ FOURIER Γ. Μήτσου Μάρτιος 8 Α. Θεωρία. Εισαγωγή Η επεξεργασία οπτικών δεδοµένων, το φιλτράρισµα χωρικών συχνοτήτων

Διαβάστε περισσότερα

sin ϕ = cos ϕ = tan ϕ =

sin ϕ = cos ϕ = tan ϕ = Τ.Ε.Ι. ΠΕΙΡΑΙΑ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΟΜΙΚΩΝ ΕΡΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΗ 1 ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ 1 ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΙΑΓΡΑΜΜΑΤΩΝ MQN ΣΕ ΟΚΟ ιδάσκων: Αριστοτέλης Ε. Χαραλαµπάκης Εισαγωγή Με το παράδειγµα αυτό αναλύεται

Διαβάστε περισσότερα

Απεικόνιση Υφής. Μέρος Α Υφή σε Πολύγωνα

Απεικόνιση Υφής. Μέρος Α Υφή σε Πολύγωνα Απεικόνιση Γραφικά ΥφήςΥπολογιστών Απεικόνιση Υφής Μέρος Α Υφή σε Πολύγωνα Γ. Γ. Παπαϊωάννου, - 2008 Τι Είναι η Υφή; Η υφή είναι η χωρική διαμόρφωση των ποιοτικών χαρακτηριστικών της επιφάνειας ενός αντικειμένου,

Διαβάστε περισσότερα

5.1 Θεωρητική εισαγωγή

5.1 Θεωρητική εισαγωγή ΨΗΦΙΑΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ - ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ 5 ΚΩ ΙΚΟΠΟΙΗΣΗ BCD Σκοπός: Η κατανόηση της µετατροπής ενός τύπου δυαδικής πληροφορίας σε άλλον (κωδικοποίηση/αποκωδικοποίηση) µε τη µελέτη της κωδικοποίησης BCD

Διαβάστε περισσότερα

Σ ΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΑΙ ΕΡΜΗΝΕΙΑ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΩΝ

Σ ΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΑΙ ΕΡΜΗΝΕΙΑ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΩΝ Σ ΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΑΙ ΕΡΜΗΝΕΙΑ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ Μ ΑΪΟΥ 2002 2004 Δ ΕΥΤΕΡΟ ΜΕΡΟΣ Π ΕΡΙΛΗΨΗ: Η μελέτη αυτή έχει σκοπό να παρουσιάσει και να ερμηνεύσει τα ευρήματα που προέκυψαν από τη στατιστική

Διαβάστε περισσότερα

Περίληψη ιπλωµατικής Εργασίας

Περίληψη ιπλωµατικής Εργασίας Περίληψη ιπλωµατικής Εργασίας Θέµα: Εναλλακτικές Τεχνικές Εντοπισµού Θέσης Όνοµα: Κατερίνα Σπόντου Επιβλέπων: Ιωάννης Βασιλείου Συν-επιβλέπων: Σπύρος Αθανασίου 1. Αντικείµενο της διπλωµατικής Ο εντοπισµός

Διαβάστε περισσότερα

27-Ιαν-2009 ΗΜΥ 429. 2. (ι) Βασική στατιστική (ιι) Μετατροπές: αναλογικό-σεψηφιακό και ψηφιακό-σε-αναλογικό

27-Ιαν-2009 ΗΜΥ 429. 2. (ι) Βασική στατιστική (ιι) Μετατροπές: αναλογικό-σεψηφιακό και ψηφιακό-σε-αναλογικό ΗΜΥ 429 2. (ι) Βασική στατιστική (ιι) Μετατροπές: αναλογικό-σεψηφιακό και ψηφιακό-σε-αναλογικό 1 (i) Βασική στατιστική 2 Στατιστική Vs Πιθανότητες Στατιστική: επιτρέπει μέτρηση και αναγνώριση θορύβου και

Διαβάστε περισσότερα

Αλγόριθµοι δροµολόγησης µε µέσα µαζικής µεταφοράς στο µεταφορικό δίκτυο των Αθηνών

Αλγόριθµοι δροµολόγησης µε µέσα µαζικής µεταφοράς στο µεταφορικό δίκτυο των Αθηνών 1 Αλγόριθµοι δροµολόγησης µε µέσα µαζικής µεταφοράς στο µεταφορικό δίκτυο των Αθηνών ΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ της Κωτσογιάννη Μαριάννας Περίληψη 1. Αντικείµενο- Σκοπός Αντικείµενο της διπλωµατικής αυτής εργασίας

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 7. Τρισδιάστατα Μοντέλα

Κεφάλαιο 7. Τρισδιάστατα Μοντέλα Κεφάλαιο 7. 7.1 ομές εδομένων για Γραφικά Υπολογιστών. Οι δομές δεδομένων αποτελούν αντικείμενο της επιστήμης υπολογιστών. Κατά συνέπεια πρέπει να γνωρίζουμε πώς οργανώνονται τα γεωμετρικά δεδομένα, προκειμένου

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητική εύρεση ριζών μη γραμμικών εξισώσεων

Αριθμητική εύρεση ριζών μη γραμμικών εξισώσεων Αριθμητική εύρεση ριζών μη γραμμικών εξισώσεων Με τον όρο μη γραμμικές εξισώσεις εννοούμε εξισώσεις της μορφής: f( ) 0 που προέρχονται από συναρτήσεις f () που είναι μη γραμμικές ως προς. Περιέχουν δηλαδή

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΑΣΚΗΣΗ Σφάλµατα και στατιστική επεξεργασία πειραµατικών µετρήσεων

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΑΣΚΗΣΗ Σφάλµατα και στατιστική επεξεργασία πειραµατικών µετρήσεων ΘΕ1 ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΑΣΚΗΣΗ Σφάλµατα και στατιστική επεξεργασία πειραµατικών µετρήσεων 1. Σκοπός Πρόκειται για θεωρητική άσκηση που σκοπό έχει την περιληπτική αναφορά σε θεµατολογίες όπως : σφάλµατα, στατιστική

Διαβάστε περισσότερα

Οπτική αντίληψη. Μετά?..

Οπτική αντίληψη. Μετά?.. Οπτική αντίληψη Πρωτογενής ερεθισµός (φυσικό φαινόµενο) Μεταφορά µηνύµατος στον εγκέφαλο (ψυχολογική αντίδραση) Μετατροπή ερεθίσµατος σε έννοια Μετά?.. ΓΙΑ ΝΑ ΚΑΤΑΝΟΗΣΟΥΜΕ ΤΗΝ ΟΡΑΣΗ ΠΡΕΠΕΙ ΝΑ ΑΝΑΛΟΓΙΣΤΟΥΜΕ

Διαβάστε περισσότερα

Αναδρομή. Τι γνωρίζετε για τη δυνατότητα «κλήσης» αλγορίθμων; Τι νόημα έχει;

Αναδρομή. Τι γνωρίζετε για τη δυνατότητα «κλήσης» αλγορίθμων; Τι νόημα έχει; ΜΑΘΗΜΑ 7 Κλήση αλγορίθμου από αλγόριθμο Αναδρομή Σ χ ο λ ι κ ο Β ι β λ ι ο ΥΠΟΚΕΦΑΛΑΙΟ 2.2.7: ΕΝΤΟΛΕΣ ΚΑΙ ΔΟΜΕΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΥ ΠΑΡΑΓΡΑΦΟI 2.2.7.5: Κλήση αλγορίθμου από αλγόριθμο 2.2.7.6: Αναδρομή εισαγωγη

Διαβάστε περισσότερα

Εικόνα. Τεχνολογία Πολυμέσων και Πολυμεσικές Επικοινωνίες 05-1

Εικόνα. Τεχνολογία Πολυμέσων και Πολυμεσικές Επικοινωνίες 05-1 Εικόνα Εισαγωγή Ψηφιακή αναπαράσταση Κωδικοποίηση των χρωμάτων Συσκευές εισόδου και εξόδου Βάθος χρώματος και ανάλυση Συμβολική αναπαράσταση Μετάδοση εικόνας Σύνθεση εικόνας Ανάλυση εικόνας Τεχνολογία

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικός Προγραµµατισµός - Μέθοδος Simplex

Γραµµικός Προγραµµατισµός - Μέθοδος Simplex Γραµµικός Προγραµµατισµός - Μέθοδος Simplex Η πλέον γνωστή και περισσότερο χρησιµοποιηµένη µέθοδος για την επίλυση ενός γενικού προβλήµατος γραµµικού προγραµµατισµού, είναι η µέθοδος Simplex η οποία αναπτύχθηκε

Διαβάστε περισσότερα

Κωδικοποίηση ήχου. Κωδικοποίηση καναλιού φωνής Κωδικοποίηση πηγής φωνής Αντιληπτική κωδικοποίηση Κωδικοποίηση ήχου MPEG

Κωδικοποίηση ήχου. Κωδικοποίηση καναλιού φωνής Κωδικοποίηση πηγής φωνής Αντιληπτική κωδικοποίηση Κωδικοποίηση ήχου MPEG Κωδικοποίηση ήχου Κωδικοποίηση καναλιού φωνής Κωδικοποίηση πηγής φωνής Αντιληπτική κωδικοποίηση Κωδικοποίηση ήχου MPEG Τεχνολογία Πολυµέσων και Πολυµεσικές Επικοινωνίες 10-1 Κωδικοποίηση καναλιού φωνής

Διαβάστε περισσότερα

ραστηριότητες στο Επίπεδο 1.

ραστηριότητες στο Επίπεδο 1. ραστηριότητες στο Επίπεδο 1. Στο επίπεδο 0, στις πρώτες τάξεις του δηµοτικού σχολείου, όπου στόχος είναι η οµαδοποίηση των γεωµετρικών σχηµάτων σε οµάδες µε κοινά χαρακτηριστικά στη µορφή τους, είδαµε

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ ΓΣΠ

Εισαγωγή ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ ΓΣΠ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ ΓΣΠ Τα τελευταία 25 χρόνια, τα προβλήµατα που σχετίζονται µε την διαχείριση της Γεωγραφικής Πληροφορίας αντιµετωπίζονται σε παγκόσµιο αλλά και εθνικό επίπεδο µε την βοήθεια των Γεωγραφικών

Διαβάστε περισσότερα

Βέλτιστα Ψηφιακά Φίλτρα: Φίλτρα Wiener, Ευθεία και αντίστροφη γραµµική πρόβλεψη

Βέλτιστα Ψηφιακά Φίλτρα: Φίλτρα Wiener, Ευθεία και αντίστροφη γραµµική πρόβλεψη ΒΕΣ 6 Προσαρµοστικά Συστήµατα στις Τηλεπικοινωνίες Βέλτιστα Ψηφιακά Φίλτρα: Φίλτρα Wiener, Ευθεία και αντίστροφη γραµµική πρόβλεψη 7 Nicolas sapatsoulis Βιβλιογραφία Ενότητας Benvenuto []: Κεφάλαιo Wirow

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην επιστήμη των υπολογιστών

Εισαγωγή στην επιστήμη των υπολογιστών Εισαγωγή στην επιστήμη των υπολογιστών Υπολογιστές και Δεδομένα Κεφάλαιο 3ο Αναπαράσταση Αριθμών www.di.uoa.gr/~organosi 1 Δεκαδικό και Δυαδικό Δεκαδικό σύστημα 2 3 Δεκαδικό και Δυαδικό Δυαδικό Σύστημα

Διαβάστε περισσότερα

Digital Image Processing

Digital Image Processing Digital Image Processing Intensity Transformations Πέτρος Καρβέλης pkarvelis@gmail.com Images taken from: R. Gonzalez and R. Woods. Digital Image Processing, Prentice Hall, 2008. Image Enhancement: είναι

Διαβάστε περισσότερα

Ψηφιακοί Υπολογιστές

Ψηφιακοί Υπολογιστές 1 η Θεµατική Ενότητα : υαδικά Συστήµατα Ψηφιακοί Υπολογιστές Παλαιότερα οι υπολογιστές χρησιµοποιούνταν για αριθµητικούς υπολογισµούς Ψηφίο (digit) Ψηφιακοί Υπολογιστές Σήµατα (signals) : διακριτά στοιχεία

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στις Ηλεκτρικές Μετρήσεις

Εισαγωγή στις Ηλεκτρικές Μετρήσεις Εισαγωγή στις Ηλεκτρικές Μετρήσεις Σφάλματα Μετρήσεων Συμβατικά όργανα μετρήσεων Χαρακτηριστικά μεγέθη οργάνων Παλμογράφος Λέκτορας Σοφία Τσεκερίδου 1 Σφάλματα μετρήσεων Επιτυχημένη μέτρηση Σωστή εκλογή

Διαβάστε περισσότερα

Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών

Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών Οι παρούσες σημειώσεις αποτελούν βοήθημα στο μάθημα Αριθμητικές Μέθοδοι του 5 ου εξαμήνου του ΤΜΜ ημήτρης Βαλουγεώργης Καθηγητής Εργαστήριο Φυσικών

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6 Παράγωγος

Κεφάλαιο 6 Παράγωγος Σελίδα από 5 Κεφάλαιο 6 Παράγωγος Στο κεφάλαιο αυτό στόχος µας είναι να συνδέσουµε µία συγκεκριµένη συνάρτηση f ( ) µε µία δεύτερη συνάρτηση f ( ), την οποία και θα ονοµάζουµε παράγωγο της f. Η τιµή της

Διαβάστε περισσότερα

ιαγράµµατα Ελέγχου Ιδιοτήτων (Control Charts for Attributes)

ιαγράµµατα Ελέγχου Ιδιοτήτων (Control Charts for Attributes) ιαγράµµατα Ελέγχου Ιδιοτήτων (Control Charts for Attributes) Πολλά ΧΠ δεν µπορούν να αναπαρασταθούν αριθµητικά. Τα ΧΠ χαρακτηρίζονται συµµορφούµενα και µη-συµµορφούµενα. Τα ΧΠ τέτοιου είδους ονοµάζονται

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ- ΥΝΑΜΕΙΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕ Ο ΚΑΙ ΣΤΟ

ΤΕΧΝΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ- ΥΝΑΜΕΙΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕ Ο ΚΑΙ ΣΤΟ ΤΕΧΝΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ- ΥΝΑΜΕΙΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕ Ο ΚΑΙ ΣΤΟ ΧΩΡΟ Στη συνέχεια θα δοθούν ορισμένες βασικές έννοιες μαθηματικών και φυσικήςμηχανικής που είναι απαραίτητες για την κατανόηση του μαθήματος

Διαβάστε περισσότερα

8. Σύνθεση και ανάλυση δυνάμεων

8. Σύνθεση και ανάλυση δυνάμεων 8. Σύνθεση και ανάλυση δυνάμεων Βασική θεωρία Σύνθεση δυνάμεων Συνισταμένη Σύνθεση δυνάμεων είναι η διαδικασία με την οποία προσπαθούμε να προσδιορίσουμε τη δύναμη εκείνη που προκαλεί τα ίδια αποτελέσματα

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΙΜΗ ΗΣ - ΕΝΙΣΧΥΣΗ ΕΡΕΥΝΗΤΙΚΩΝ ΟΜΑ ΩΝ ΣΤΑ ΤΕΙ. Υποέργο: «Ανάκτηση και προστασία πνευµατικών δικαιωµάτων σε δεδοµένα

ΑΡΧΙΜΗ ΗΣ - ΕΝΙΣΧΥΣΗ ΕΡΕΥΝΗΤΙΚΩΝ ΟΜΑ ΩΝ ΣΤΑ ΤΕΙ. Υποέργο: «Ανάκτηση και προστασία πνευµατικών δικαιωµάτων σε δεδοµένα ΑΡΧΙΜΗ ΗΣ - ΕΝΙΣΧΥΣΗ ΕΡΕΥΝΗΤΙΚΩΝ ΟΜΑ ΩΝ ΣΤΑ ΤΕΙ Υποέργο: «Ανάκτηση και προστασία πνευµατικών δικαιωµάτων σε δεδοµένα πολυδιάστατου ψηφιακού σήµατος (Εικόνες Εικονοσειρές)» Πακέτο Εργασίας 4: Προστασία

Διαβάστε περισσότερα

ΟΔΗΓΙΕΣ ΧΡΗΣΗΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΟΣ Dcad 1.0

ΟΔΗΓΙΕΣ ΧΡΗΣΗΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΟΣ Dcad 1.0 ΟΔΗΓΙΕΣ ΧΡΗΣΗΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΟΣ Dcad 1.0 20130510 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1. Εγκατάσταση προγράμματος DCAD 2 2. Ενεργοποίηση Registration 2 3. DCAD 3 3.1 Εισαγωγή σημείων 3 3.2 Εξαγωγή σημείων 5 3.3 Στοιχεία ιδιοκτησίας

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις στις σειρές

Σηµειώσεις στις σειρές . ΟΡΙΣΜΟΙ - ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Σηµειώσεις στις σειρές Στην Ενότητα αυτή παρουσιάζουµε τις βασικές-απαραίτητες έννοιες για την µελέτη των σειρών πραγµατικών αριθµών και των εφαρµογών τους. Έτσι, δίνονται συστηµατικά

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις 2 ΕΡΩΤΗΣΕΙΙΣ ΘΕΩΡΙΙΑΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΜΕΡΟΣ Α -- ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις Α. 1 1 1. Τι ονομάζεται Αριθμητική και τι Αλγεβρική παράσταση; Ονομάζεται Αριθμητική παράσταση μια παράσταση

Διαβάστε περισσότερα

9. Τοπογραφική σχεδίαση

9. Τοπογραφική σχεδίαση 9. Τοπογραφική σχεδίαση 9.1 Εισαγωγή Το κεφάλαιο αυτό εξετάζει τις παραμέτρους, μεθόδους και τεχνικές της τοπογραφικής σχεδίασης. Η προσέγγιση του κεφαλαίου γίνεται τόσο για την περίπτωση της συμβατικής

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΗ (14/9/2012)

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΗ (14/9/2012) Φτιάξε ένα πρόγραµµα FORTRAN που θα βρίσκει αν ο ακέραιος N που θα εισάγει ο χρήστης είναι άρτιος ή περιττός. Φτιάξε ένα πρόγραµµα FORTRAN που να προσδιορίζει και να τυπώνει την θέση των στοιχείων ενός

Διαβάστε περισσότερα

Γεωργικός Πειραµατικός Σχεδιασµός: Πρακτικές Συµβουλές

Γεωργικός Πειραµατικός Σχεδιασµός: Πρακτικές Συµβουλές Γεωργικός Πειραµατικός Σχεδιασµός: Πρακτικές Συµβουλές Επιστηµονική Επιµέλεια ρ. Γεώργιος Μενεξές Τοµέας Φυτών Μεγάλης Καλλιέργειας και Οικολογίας, Εργαστήριο Γεωργίας Viola adorata Η Γεωργία Εισαγωγή

Διαβάστε περισσότερα

Εκπαιδευτική Μονάδα 10.2: Εργαλεία χρονοπρογραμματισμού των δραστηριοτήτων.

Εκπαιδευτική Μονάδα 10.2: Εργαλεία χρονοπρογραμματισμού των δραστηριοτήτων. Εκπαιδευτική Μονάδα 10.2: Εργαλεία χρονοπρογραμματισμού των δραστηριοτήτων. Στην προηγούμενη Εκπαιδευτική Μονάδα παρουσιάστηκαν ορισμένα χρήσιμα παραδείγματα διαδεδομένων εργαλείων για τον χρονοπρογραμματισμό

Διαβάστε περισσότερα

Εκτίμηση μη-γραμμικών χαρακτηριστικών

Εκτίμηση μη-γραμμικών χαρακτηριστικών Εκτίμηση μη-γραμμικών χαρακτηριστικών Μη-γραμμικά χαρακτηριστικά ή αναλλοίωτα μέτρα Διάσταση. Ευκλείδια. Τοπολογική 3. Μορφοκλασματική (συσχέτισης, πληροφορίας, μέτρησης κουτιών, ) Εκθέτες Lypunov (μεγαλύτερος,

Διαβάστε περισσότερα

Κανονικ ες ταλαντ ωσεις

Κανονικ ες ταλαντ ωσεις Κανονικες ταλαντωσεις Ειδαµε ηδη οτι φυσικα συστηµατα πλησιον ενος σηµειου ευαταθους ισορροπιας συ- µπεριφερονται οπως σωµατιδια που αλληλεπιδρουν µε γραµµικες δυναµεις επαναφορας οπως θα συνεαινε σε σωµατιδια

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο ΤΥΧΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΛΕΓΧΟΣ ΤΥΧΑΙΟΤΗΤΑΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο ΤΥΧΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΛΕΓΧΟΣ ΤΥΧΑΙΟΤΗΤΑΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο ΤΥΧΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΛΕΓΧΟΣ ΤΥΧΑΙΟΤΗΤΑΣ 3.1 Τυχαίοι αριθμοί Στην προσομοίωση διακριτών γεγονότων γίνεται χρήση ακολουθίας τυχαίων αριθμών στις περιπτώσεις που απαιτείται η δημιουργία στοχαστικών

Διαβάστε περισσότερα

Μοντέλο φωτισμού Phong

Μοντέλο φωτισμού Phong ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9. Στο προηγούμενο κεφάλαιο παρουσιάσθηκαν οι αλγόριθμοι απαλοιφής των πίσω επιφανειών και ακμών. Απαλοίφοντας λοιπόν τις πίσω επιφάνειες και ακμές ενός τρισδιάστατου αντικειμένου, μπορούμε να

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γιώργος Πρέσβης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Φροντιστήρια Φροντιστήρια ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 1η Κατηγορία : Εξίσωση Γραμμής 1.1 Να εξετάσετε

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Κανονική Κατανομή. Παιδαγωγικό Τμήμα ημοτικής Εκπαίδευσης ημοκρίτειο Πανεπιστήμιο Θράκης Αλεξανδρούπολη

Εισαγωγή στην Κανονική Κατανομή. Παιδαγωγικό Τμήμα ημοτικής Εκπαίδευσης ημοκρίτειο Πανεπιστήμιο Θράκης Αλεξανδρούπολη Εισαγωγή στην Κανονική Κατανομή Παιδαγωγικό Τμήμα ημοτικής Εκπαίδευσης ημοκρίτειο Πανεπιστήμιο Θράκης Αλεξανδρούπολη Ένα πρόβλημα Πρόβλημα: Ένας μαθητής είχε επίδοση στο τεστ Μαθηματικών 18 και στο τεστ

Διαβάστε περισσότερα

Αναγνώριση Προτύπων (Pattern Recognition) Μπεϋζιανή Θεωρία Αποφάσεων (Bayesian Decision Theory) Π. Τσακαλίδης

Αναγνώριση Προτύπων (Pattern Recognition) Μπεϋζιανή Θεωρία Αποφάσεων (Bayesian Decision Theory) Π. Τσακαλίδης Αναγνώριση Προτύπων (Pattern Recognton Μπεϋζιανή Θεωρία Αποφάσεων (Bayesan Decson Theory Π. Τσακαλίδης ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Μπεϋζιανή Θεωρία Αποφάσεων (Bayes Decson theory Στατιστικά

Διαβάστε περισσότερα

Δύο κύριοι τρόποι παρουσίασης δεδομένων. Παράδειγμα

Δύο κύριοι τρόποι παρουσίασης δεδομένων. Παράδειγμα Δύο κύριοι τρόποι παρουσίασης δεδομένων Παράδειγμα Με πίνακες Με διαγράμματα Ονομαστικά δεδομένα Εδώ τα περιγραφικά μέτρα (μέσος, διάμεσος κλπ ) δεν έχουν νόημα Πήραμε ένα δείγμα από 25 άτομα και τα ρωτήσαμε

Διαβάστε περισσότερα

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr I ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ i e ΜΕΡΟΣ Ι ΟΡΙΣΜΟΣ - ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ Α Ορισμός Ο ορισμός του συνόλου των Μιγαδικών αριθμών (C) βασίζεται στις εξής παραδοχές: Υπάρχει ένας αριθμός i για τον οποίο ισχύει i Το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

iii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος

iii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος iii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος xi 1 Αντικείμενα των Πιθανοτήτων και της Στατιστικής 1 1.1 Πιθανοτικά Πρότυπα και Αντικείμενο των Πιθανοτήτων, 1 1.2 Αντικείμενο της Στατιστικής, 3 1.3 Ο Ρόλος των Πιθανοτήτων

Διαβάστε περισσότερα

Επεξεργασία Χαρτογραφικής Εικόνας

Επεξεργασία Χαρτογραφικής Εικόνας Επεξεργασία Χαρτογραφικής Εικόνας Διδάσκων: Αναγνωστόπουλος Χρήστος Κώδικες μετρήσεων αντικειμένων σε εικόνα Χρωματικά μοντέλα: Munsell, HSB/HSV, CIE-LAB Κώδικες μετρήσεων αντικειμένων σε εικόνες Η βασική

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΕΥΡΙΠΙΔΟΥ 80 ΝΙΚΑΙΑ ΝΕΑΠΟΛΗ ΤΗΛΕΦΩΝΟ 0965897 ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ ΒΡΟΥΤΣΗ ΕΥΑΓΓΕΛΙΑ ΜΠΟΥΡΝΟΥΤΣΟΥ ΚΩΝ/ΝΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Η έννοια του μιγαδικού

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις Φροντιστηρίου «Υπολογιστική Νοηµοσύνη Ι» 7ο Φροντιστήριο 15/1/2008

Ασκήσεις Φροντιστηρίου «Υπολογιστική Νοηµοσύνη Ι» 7ο Φροντιστήριο 15/1/2008 Ασκήσεις Φροντιστηρίου «Υπολογιστική Νοηµοσύνη Ι» 7ο Φροντιστήριο 5//008 Πρόβληµα ο Στα παρακάτω ερωτήµατα επισηµαίνουµε ότι perceptron είναι ένας νευρώνας και υποθέτουµε, όπου χρειάζεται, τη χρήση δικτύων

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ σ. 2 Α. ΕΡΕΥΝΑ ΚΑΙ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ Ε ΟΜΕΝΩΝ 2

ΕΙΣΑΓΩΓΗ σ. 2 Α. ΕΡΕΥΝΑ ΚΑΙ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ Ε ΟΜΕΝΩΝ 2 1 Π Ε Ρ Ι Ε Χ Ο Μ Ε Ν Α ΕΙΣΑΓΩΓΗ σ. 2 Α. ΕΡΕΥΝΑ ΚΑΙ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ Ε ΟΜΕΝΩΝ 2 Β. ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΑΙ ΕΡΕΥΝΑ 1. Γενικά Έννοιες.. 2 2. Πρακτικός Οδηγός Ανάλυσης εδοµένων.. 4 α. Οδηγός Λύσεων στο πλαίσιο

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ. Κεφάλαιο 10. Εισαγωγή στην εκτιμητική

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ. Κεφάλαιο 10. Εισαγωγή στην εκτιμητική ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΑΤΡΑΣ Εργαστήριο Λήψης Αποφάσεων & Επιχειρησιακού Προγραμματισμού Καθηγητής Ι. Μητρόπουλος ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5ο: Ακέραιος προγραμματισμός

Κεφάλαιο 5ο: Ακέραιος προγραμματισμός Κεφάλαιο 5ο: Ακέραιος προγραμματισμός 5.1 Εισαγωγή Ο ακέραιος προγραμματισμός ασχολείται με προβλήματα γραμμικού προγραμματισμού στα οποία μερικές ή όλες οι μεταβλητές είναι ακέραιες. Ένα γενικό πρόβλημα

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στη σχεδίαση κινούμενων γραφικών

Εισαγωγή στη σχεδίαση κινούμενων γραφικών ΕΣΔ200 Δημιουργία Περιεχομένου ΙI Εισαγωγή στη σχεδίαση κινούμενων γραφικών Νικόλας Τσαπατσούλης Επίκουρος Καθηγητής Τμήμα Επικοινωνίας & Σπουδών Διαδικτύου Εισαγωγή Εφαρμογές Κύρια Χαρακτηριστικά Flash

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο Η2. Ο νόµος του Gauss

Κεφάλαιο Η2. Ο νόµος του Gauss Κεφάλαιο Η2 Ο νόµος του Gauss Ο νόµος του Gauss Ο νόµος του Gauss µπορεί να χρησιµοποιηθεί ως ένας εναλλακτικός τρόπος υπολογισµού του ηλεκτρικού πεδίου. Ο νόµος του Gauss βασίζεται στο γεγονός ότι η ηλεκτρική

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ. Σύμφωνα με τα παραπάνω, για μια αριθμητική πρόοδο που έχει πρώτο όρο τον ...

ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ. Σύμφωνα με τα παραπάνω, για μια αριθμητική πρόοδο που έχει πρώτο όρο τον ... ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ Ορισμός : Μία ακολουθία ονομάζεται αριθμητική πρόοδος, όταν ο κάθε όρος της, δημιουργείται από τον προηγούμενο με πρόσθεση του ίδιου πάντοτε αριθμού. Ο σταθερός αριθμός που προστίθεται

Διαβάστε περισσότερα

o AND o IF o SUMPRODUCT

o AND o IF o SUMPRODUCT Πληροφοριακά Εργαστήριο Management 1 Information Συστήματα Systems Διοίκησης ΤΕΙ Τμήμα Ελεγκτικής Ηπείρου Χρηματοοικονομικής (Παράρτημα Πρέβεζας) και Αντικείµενο: Μοντελοποίηση προβλήµατος Θέµατα που καλύπτονται:

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΙ Κρήτης, Παράρτηµα Χανίων

ΤΕΙ Κρήτης, Παράρτηµα Χανίων ΠΣΕ, Τµήµα Τηλεπικοινωνιών & ικτύων Η/Υ Εργαστήριο ιαδίκτυα & Ενδοδίκτυα Η/Υ ( ηµιουργία συστήµατος µε ροint-tο-ροint σύνδεση) ρ Θεοδώρου Παύλος Χανιά 2003 Περιεχόµενα 1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ...2 2 ΤΟ ΚΑΝΑΛΙ PΟINT-TΟ-PΟINT...2

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. Εισαγωγή στα Σήµατα Εισαγωγή στα Συστήµατα Ανάπτυγµα - Μετασχηµατισµός Fourier Μετασχηµατισµός Z

ΣΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. Εισαγωγή στα Σήµατα Εισαγωγή στα Συστήµατα Ανάπτυγµα - Μετασχηµατισµός Fourier Μετασχηµατισµός Z ΣΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Εισαγωγή στα Σήµατα Εισαγωγή στα Συστήµατα Ανάπτυγµα - Μετασχηµατισµός Fourier Μετασχηµατισµός Laplace Μετασχηµατισµός Z Εφαρµογές Παράδειγµα ενός ηλεκτρικού συστήµατος Σύστηµα Παράδειγµα

Διαβάστε περισσότερα

Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων

Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων Διαγράμματα διασποράς (scattergrams) Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων Η οπτική απεικόνιση δύο συνόλων δεδομένων μπορεί να αποκαλύψει με παραστατικό τρόπο πιθανές τάσεις και μεταξύ τους συσχετίσεις,

Διαβάστε περισσότερα

Ολοκληρωµένο Περιβάλλον Σχεδιασµού Και Επίδειξης Φίλτρων

Ολοκληρωµένο Περιβάλλον Σχεδιασµού Και Επίδειξης Φίλτρων Ψηφιακή Επεξεργασία Σηµάτων 20 Ολοκληρωµένο Περιβάλλον Σχεδιασµού Και Επίδειξης Φίλτρων Α. Εγκατάσταση Αφού κατεβάσετε το συµπιεσµένο αρχείο µε το πρόγραµµα επίδειξης, αποσυµπιέστε το σε ένα κατάλογο µέσα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ ΔΙΑΚΡΙΤΩΝ ΕΝΑΛΛΑΚΤΙΚΩΝ ΣΕ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ ΚΑΙ ΣΥΝΘΕΣΗΣ ΔΙΕΡΓΑΣΙΩΝ

ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ ΔΙΑΚΡΙΤΩΝ ΕΝΑΛΛΑΚΤΙΚΩΝ ΣΕ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ ΚΑΙ ΣΥΝΘΕΣΗΣ ΔΙΕΡΓΑΣΙΩΝ ΜΕΡΟΣ ΙΙ ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ ΔΙΑΚΡΙΤΩΝ ΕΝΑΛΛΑΚΤΙΚΩΝ ΣΕ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ ΚΑΙ ΣΥΝΘΕΣΗΣ ΔΙΕΡΓΑΣΙΩΝ 36 ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ ΔΙΑΚΡΙΤΩΝ ΕΝΑΛΛΑΚΤΙΚΩΝ ΣΕ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ ΚΑΙ ΣΥΝΘΕΣΗΣ ΔΙΕΡΓΑΣΙΩΝ Πολλές από τις αποφάσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΗΈνταξητουλογισµικού SalsaJσε. σεµιαδιαθεµατική προσέγγισητης Αστρονοµίας. Γρηγόρης Ζυγούρας Φυσικός Τεχνολόγος 2 ο Γυµνάσιο Χαλανδρίου

ΗΈνταξητουλογισµικού SalsaJσε. σεµιαδιαθεµατική προσέγγισητης Αστρονοµίας. Γρηγόρης Ζυγούρας Φυσικός Τεχνολόγος 2 ο Γυµνάσιο Χαλανδρίου ΗΈνταξητουλογισµικού SalsaJσε σεµιαδιαθεµατική προσέγγισητης Αστρονοµίας Γρηγόρης Ζυγούρας Φυσικός Τεχνολόγος 2 ο Γυµνάσιο Χαλανδρίου ΧΡΗΣΗΤΟΥ ΤΟΥΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ SALSAJ ΓΙΑΤΟΝ ΤΟΝΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟ ΤΗΣΜΑΖΑΣ ΜΑΖΑΣΤΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1 ΜΑΘΗΜΑ 1 ο +2 ο ΕΝΝΟΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Διάνυσμα ορίζεται ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή ένα ευθύγραμμο τμήμα

Διαβάστε περισσότερα

2. ΑΝΑΛΥΣΗ ΣΦΑΛΜΑΤΩΝ

2. ΑΝΑΛΥΣΗ ΣΦΑΛΜΑΤΩΝ 1. ΑΝΑΛΥΣΗ ΣΦΑΛΜΑΤΩΝ 1. Σφάλματα Κάθε μέτρηση ενός φυσικού μεγέθους χαρακτηρίζεται από μία αβεβαιότητα που ονομάζουμε σφάλμα, το οποίο αναγράφεται με τη μορφή Τιμή ± αβεβαιότητα π.χ έστω ότι σε ένα πείραμα

Διαβάστε περισσότερα

Υλικά, Γραμμές και Τεχνικές στο Ελεύθερο Σχέδιο

Υλικά, Γραμμές και Τεχνικές στο Ελεύθερο Σχέδιο Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο Α Υλικά, Γραμμές και Τεχνικές στο Ελεύθερο Σχέδιο Σκοπός Σκοπός του κεφαλαίου αυτού είναι να γνωρίσουν οι μαθητές τα υλικά που χρειάζονται για το ελεύθερο σχέδιο και τον τρόπο που θα τα

Διαβάστε περισσότερα

Περίθλαση από ακµή και από εµπόδιο.

Περίθλαση από ακµή και από εµπόδιο. ρ. Χ. Βοζίκης Εργαστήριο Φυσικής ΙΙ 63 6. Άσκηση 6 Περίθλαση από ακµή και από εµπόδιο. 6.1 Σκοπός της εργαστηριακής άσκησης Σκοπός της άσκησης αυτής, καθώς και των δύο εποµένων, είναι η γνωριµία των σπουδαστών

Διαβάστε περισσότερα

J-GANNO. Σύντοµη αναφορά στους κύριους στόχους σχεδίασης και τα βασικά χαρακτηριστικά του πακέτου (προέκδοση 0.9Β, Φεβ.1998) Χάρης Γεωργίου

J-GANNO. Σύντοµη αναφορά στους κύριους στόχους σχεδίασης και τα βασικά χαρακτηριστικά του πακέτου (προέκδοση 0.9Β, Φεβ.1998) Χάρης Γεωργίου J-GANNO ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΟ ΠΑΚΕΤΟ ΥΛΟΠΟΙΗΣΗΣ ΤΕΧΝΗΤΩΝ ΝΕΥΡΩΝΙΚΩΝ ΙΚΤΥΩΝ ΣΤΗ ΓΛΩΣΣΑ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ JAVA Σύντοµη αναφορά στους κύριους στόχους σχεδίασης και τα βασικά χαρακτηριστικά του πακέτου (προέκδοση 0.9Β,

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογιστικές Μέθοδοι στις Κατασκευές

Υπολογιστικές Μέθοδοι στις Κατασκευές Γενικά Για Τη Βελτιστοποίηση Η βελτιστοποίηση µπορεί να χωριστεί σε δύο µεγάλες κατηγορίες: α) την Βελτιστοποίηση Τοπολογίας (Topological Optimization) και β) την Βελτιστοποίηση Σχεδίασης (Design Optimization).

Διαβάστε περισσότερα

5. Συμμετρία, Πολικότητα και Οπτική Ενεργότητα των μορίων

5. Συμμετρία, Πολικότητα και Οπτική Ενεργότητα των μορίων 5. Συμμετρία, Πολικότητα και Οπτική Ενεργότητα των μορίων ιδακτικοί στόχοι Μετά την ολοκλήρωση της μελέτης του κεφαλαίου αυτού θα μπορείτε να... o προβλέπετε με βάση τη συμμετρία αν ένα μόριο έχει μόνιμη

Διαβάστε περισσότερα

Prost S: Οδοποιΐα Σιδηροδρομική Υδραυλικά έργα

Prost S: Οδοποιΐα Σιδηροδρομική Υδραυλικά έργα Prost S: Οδοποιΐα Σιδηροδρομική Υδραυλικά έργα Χαρακτηριστικά Οριζοντιογραφία Στο γραφικό περιβάλλον της εφαρμογής είναι δυνατή η σχεδίαση οριζοντιογραφιών δρόμων, σιδηροδρομικών γραμμών, ανοικτών και

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 3 Οι ιδιότητες των αριθμών... 37 3.1 Αριθμητικά σύνολα... 37 3.2 Ιδιότητες... 37 3.3 Περισσότερες ιδιότητες...

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 3 Οι ιδιότητες των αριθμών... 37 3.1 Αριθμητικά σύνολα... 37 3.2 Ιδιότητες... 37 3.3 Περισσότερες ιδιότητες... Περιεχόμενα Πρόλογος... 5 Κεφάλαιο Βασικές αριθμητικές πράξεις... 5. Τέσσερις πράξεις... 5. Σύστημα πραγματικών αριθμών... 5. Γραφική αναπαράσταση πραγματικών αριθμών... 6.4 Οι ιδιότητες της πρόσθεσης

Διαβάστε περισσότερα

ιδάσκων: ηµήτρης Ζεϊναλιπούρ

ιδάσκων: ηµήτρης Ζεϊναλιπούρ Κεφάλαιο 1.3-1.4: Εισαγωγή Στον Προγραµµατισµό ( ιάλεξη 2) ιδάσκων: ηµήτρης Ζεϊναλιπούρ Περιεχόµενα Εισαγωγικές Έννοιες - Ορισµοί Ο κύκλος ανάπτυξης προγράµµατος Παραδείγµατα Πότε χρησιµοποιούµε υπολογιστή?

Διαβάστε περισσότερα

DIP_06 Συμπίεση εικόνας - JPEG. ΤΕΙ Κρήτης

DIP_06 Συμπίεση εικόνας - JPEG. ΤΕΙ Κρήτης DIP_06 Συμπίεση εικόνας - JPEG ΤΕΙ Κρήτης Συμπίεση εικόνας Το μέγεθος μιας εικόνας είναι πολύ μεγάλο π.χ. Εικόνα μεγέθους Α4 δημιουργημένη από ένα σαρωτή με 300 pixels ανά ίντσα και με χρήση του RGB μοντέλου

Διαβάστε περισσότερα

Επεξεργασία Δεδομένων - Γραφικές Παραστάσεις

Επεξεργασία Δεδομένων - Γραφικές Παραστάσεις 1. Σκοπός Επεξεργασία Δεδομένων - Γραφικές Παραστάσεις Σκοπός της άσκησης είναι να εξοικειωθούν οι σπουδαστές με τη γραφική απεικόνιση των δεδομένων τους, την χρήση των γραφικών παραστάσεων για την εξαγωγή

Διαβάστε περισσότερα

Εξομοίωση Τηλεπικοινωνιακού Συστήματος Βασικής Ζώνης

Εξομοίωση Τηλεπικοινωνιακού Συστήματος Βασικής Ζώνης Πανεπιστήμιο Πατρών Τμήμα Μηχ. Η/Υ & Πληροφορικής Ακαδημαϊκό Έτος 009-010 Ψ Η Φ Ι Α Κ Ε Σ Τ Η Λ Ε Π Ι Κ Ο Ι Ν Ω Ν Ι ΕΣ η Εργαστηριακή Άσκηση: Εξομοίωση Τηλεπικοινωνιακού Συστήματος Βασικής Ζώνης Στην άσκηση

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ. Βασικές έννοιες

ΕΙΣΑΓΩΓΗ. Βασικές έννοιες ΕΙΣΑΓΩΓΗ Βασικές έννοιες Σε ένα ερωτηματολόγιο έχουμε ένα σύνολο ερωτήσεων. Μπορούμε να πούμε ότι σε κάθε ερώτηση αντιστοιχεί μία μεταβλητή. Αν θεωρήσουμε μια ερώτηση, τα άτομα δίνουν κάποιες απαντήσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΠροσδιορισµόςΒέλτιστης Λύσης στα Προβλήµατα Μεταφοράς Η µέθοδος Stepping Stone

ΠροσδιορισµόςΒέλτιστης Λύσης στα Προβλήµατα Μεταφοράς Η µέθοδος Stepping Stone ΠροσδιορισµόςΒέλτιστης Λύσης στα Προβλήµατα Μεταφοράς Η µέθοδος Stepping Stone Hµέθοδος Stepping Stoneείναι µία επαναληπτική διαδικασία για τον προσδιορισµό της βέλτιστης λύσης σε ένα πρόβληµα µεταφοράς.

Διαβάστε περισσότερα

Η ΤΕΧΝΗ ΤΟΥ ΙΑΒΑΣΜΑΤΟΣ ΜΕΤΑΞΥ ΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ (ΠΑΡΕΜΒΟΛΗ ΚΑΙ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ)

Η ΤΕΧΝΗ ΤΟΥ ΙΑΒΑΣΜΑΤΟΣ ΜΕΤΑΞΥ ΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ (ΠΑΡΕΜΒΟΛΗ ΚΑΙ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ) Η ΤΕΧΝΗ ΤΟΥ ΙΑΒΑΣΜΑΤΟΣ ΜΕΤΑΞΥ ΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ (ΠΑΡΕΜΒΟΛΗ ΚΑΙ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ) ΜΙΧΑΛΗΣ ΤΖΟΥΜΑΣ ΕΣΠΟΤΑΤΟΥ 3 ΑΓΡΙΝΙΟ. ΠΕΡΙΛΗΨΗ Η έννοια της συνάρτησης είναι στενά συνυφασµένη µε τον πίνακα τιµών και τη γραφική παράσταση.

Διαβάστε περισσότερα

Παραδείγµατα : Έστω ότι θέλουµε να παραστήσουµε γραφικά την εξίσωση 6χ-ψ=3. Λύση 6χ-ψ=3 ψ=6χ-3. Άρα η εξίσωση παριστάνει ευθεία. Για να τη χαράξουµε

Παραδείγµατα : Έστω ότι θέλουµε να παραστήσουµε γραφικά την εξίσωση 6χ-ψ=3. Λύση 6χ-ψ=3 ψ=6χ-3. Άρα η εξίσωση παριστάνει ευθεία. Για να τη χαράξουµε Άλγεβρα υκείου επιµ.: άτσιος ηµήτρης ΣΣΤΗΜΤ ΜΜΩΝ ΞΣΩΣΩΝ Μ ΝΩΣΤΣ ΣΩΣ ΝΝΣ ρισµός: Μια εξίσωση της µορφής αχ+βψ=γ ονοµάζεται γραµµική εξίσωση µε δυο αγνώστους. ύση της εξίσωσης αυτής ονοµάζεται κάθε διατεταγµένο

Διαβάστε περισσότερα