BOEKWERK ('n uittreksel uit Gr 12 Wiskunde 2 in 1)

Transcript

1 Gr Wiskunde EKWERK (n uittreksel uit Gr Wiskunde in ) l die ewyse wt jy moet ken! Vrestel : Reeks ldsy (n mksimum vn 6 punte) Vrestel : Meetkunde (6 stellings) en ldsy tot Trigonometrie ( ewyse) (n mksimum vn punte) Mk seker dt jy die meetkunde en trigonometrie opsommings op ldsy 4 tot 6 ie deeglik estudeer. Skrekenrinstruksies ldsy 7

2 EKWERK: EWYSE VRESTEL Rekenkundige en Meetkundige Reekse VRESTEL Sirkelmeetkunde Stellings Sn, die som vn n terme Rekenkundige Reekse: S n = + ( + d) + ( + d) T n & S n = T n + (T n d) + (T n d) S n = ( + T n ) + ( + T n ) + ( + T n ) +... ( + T n ) S n = n( + T n ) S n = n ( + T n ) Mr T n = + (n )d... n terme... n terme... n terme ie lynsegment getrek vnf die middelpunt vn n sirkel, loodreg op n koord, hlveer die koord. Gegee:? met m te ewys: = Konstruksie: Verind en ewys: In Δ e & () =... rdiusse () ˆ = ˆ (= 90º)... gegee () is gemeen â Δ Δ... SøS â =, d.w.s. hlveer koord S n = n [ + + (n )d] S n = n [ + (n )d] Meetkundige Reekse: S n = + r + r + r r n + r n... ➊ %r) rs n = r + r + r r n + r n... ➋ ➊ ➋: S n rs n = r n S n ( r) = ( r n ) ( r n ) S n =... vir r < of r ( ) (r n ) : S ( ) n = r... vir r > Kies enigeen fhngend vn die wrde vn r, wtter een ookl vir jou ʼn positiewe noemer gee. nnuïteite: Let op dt: d = die middelste stukkie vl weg. ( ) ( d) = d ie fleiding vn die toekomstige en huidige wrde formules, F v en v, deur geruik te mk vn die somformule vn n meetkundige reeks, moet verstn word, mr is nie eksmineerr nie. Sien nderwerp 5 (Finnsiële Wiskunde) in die Gr Wiskunde in studiegids. Kopiereg ie ntwoord ie hoek y die middelpunt vn n sirkel onderspn deur n oog is duel die hoek wt deur dieselfde oog y enige punt op die omtrek. Gegee:?, oog onderspn m te ewys: ˆ = ˆ ˆ y die middelpunt en Konstruksie: Verind en verleng dit n Q. ewys: Lt ˆ = n is  =... rdiusse gelyk â ˆ =... uiteø vn Δ Net so, s ˆ = y, dn is ˆ = y â ˆ = + y = ( + y) = ˆ ie teenoorstnde hoeke vn n koordevierhoek is supplementêr. Gegee:? en koordevierhoek m te ewys:  + Ĉ = 80º & ˆ + ˆ = 80º Konstruksie: Verind en. ewys: Lt  = n is ˆ =... â ˆ = 60º... ø e om punt â Ĉ = (60º ) = 80º... â  + Ĉ = 80º & â ˆ + ˆ = 80º... middelspuntsø = % omtreksø som vn die ø e vn n vierhoek = 60º middelspuntsø = % omtreksø ˆ op die omtrek. Q y y

3 Gegee: Rklyn en koord onderspn, ˆ met & n teenoorstnde knte vn. m te ewys: ˆ = ˆ, Konstruksie: Trek middellyn en verind. ewys: ns het & en ˆ = 90º ˆ = 90º ˆ + ˆ = 90º ˆ + ˆ = 90º Mr ˆ = ˆ ˆ = ˆ (= ie Eweredigheidstelling 5 4 ie hoek tussen n rklyn n n sirkel en n koord wt vnf die rkpunt getrek word, is gelyk n die hoek onderspn deur die koord in die teenoorstnde segment.... middellyn rklyn... ø in semi-?... ø e in dieselfde segm. ˆ ) n Lyn ewewydig n een sy vn n driehoek verdeel die nder twee sye eweredig. d.w.s. E Gegee: Δ met E, & E op & onderskeidelik. m te ewys: = E E Konstruksie: Verind & E.h pp. vn ΔE ewys: = = pp. vn ΔE. h E.h pp. vn ΔE So ook: = E pp. vn ΔE E E.h Mr: ΔE = ΔE... en: = E E ΔE is gemeen ppervlkte vn ΔE ppervlkte vn ΔE â = ppervlkte vn ΔE ppervlkte vn ΔE â = E E op dieselfde sis E ; tussen lyne, E & E h h E nthou: Gee ltyd REES vir elke ewering! ie Gelykvormige Δ e Stelling 6 s twee driehoeke gelykhoekig is, dn is hul sye eweredig en dus is hulle gelykvormig. Gegee: m te ewys: Konstruksie: Δ & ΔEF met  = ˆ ˆ = Ê & Ĉ = ˆF E = F = EF Merk & Q op E & F sodt = & Q = ewys: In Δ e Q & () =... konstruksie () Q =... konstruksie () ˆ = Â... gegee â ΔQ Δ... SøS ie fokuspunt â ˆ = ˆ = Ê... gegee â Q EF... ooreenkomstige ø e gelyk â E = Q... eweredigheidstelling F Mr = en Q =... konstruksie â E = F So ook, deur S en T op E en EF te merk sodt SE = en ET =, kn dit ewys word dt: E = EF â E = F = EF â Δ en ΔEF is gelykvormig. fse : kongruensie fse : ooreenkomstige ø e fse : ewewydige lyne fse 4: eweredighede Kopiereg ie ntwoord Gelykvormige Δ e Δ e is gelykvormig s: : hulle gelykhoekig is, en : hul sye eweredig is In hierdie ewys, toon ons dt ie Δ e is gelykvormig... eide voorwrdes, en, is vn toepssing ie omgekeerde stelling sê: ie Δ e is gelykvormig E Q F

4 TRIGNMETRIE ppervlkte-, Sinus- & Kosinusreëls ie Kosinusreël = + os  skerp: ie ppervlktereël Ĉ skerp pp. vn Δ = sin Konstruksie: Trek ewys: ppervlkte vn Δ = h... ❶ h Konstruksie: Trek ewys: = + h... ythgors = ( ) + h =. + + h = ythgors = ❶ h Mr h = sin h = sin... ❷ In Δ: = os = os... ❷ ❷ in ❶: ppervlkte vn Δ = sin ❷ in ❶: = + os ie Sinusreël sin = sin Konstruksie: = sin Trek ewys: In Δ: In Δ: h = sin h = sin h = sin h = sin ˆ skerp... ❶... ❷ Gelykstelling vn ❶ & ❷: sin = sin h Konstrueer ltyd die hoogte vnf n hoekpunt wt nie deel is vn die formule nie: d.w.s. m te ewys: pp. = sin, trek n hoogtelyn vnf of, nie nie. sin m te ewys: m te ewys: = sin, trek n hoogtelyn vnf, nie of nie. = + os, trek n hoogtelyn vnf of, nie nie. nthou: II sin(80º θ) = sin θ 80º θ θ os(80º θ) = os θ 0º 50º sin 50º = sin 0º sin = sin y y + y = 80º os 50º = os 0º os = os y ) sin = sin Formules vir Smgestelde Hoeke Net so, deur n loodlyn vnf te trek, kn n mens ewys: sin sin = sin = sin = sin Kopiereg ie ntwoord ie fleiding vn die formule: os( ) = os os + sin sin sl nie geëksmineer word nie. (it is egter ltyd goed om te verstn hoe n formule ontstn het!). Jy word mklik n hierdie fleiding toe gelei in nderwerp 6 in die Gr Wiskunde in Studiegids. Jy moet weet hoe om l die nder formules vn hierdie formule vir os ( ) f te lei. Kyk n vooreelde hiervn, ook in nderwerp 6 in die Gr Wiskunde in Studiegids.

5 GREERING VN SIRKELMEETKUNE STELLINGS mniere om te ewys dt n vierhk. n koordevierhk. is I ie Middelpunt groep II ie Geen Middelpunt groep III ie Koordevierhoek groep IV ie Rklyn groep y + y = 80º r is mniere om te ewys dt n lyn n rklyn n n? is. middellyn Gelyke koorde! ie grys pyle dui n hoe verskillende stellings geruik word om dropvolgendes te ewys. Gelyke rdiusse! Gelyke koorde onderspn gelyke hoeke en, omgekeerd, gelyke hoeke word deur gelyke koorde onderspn. r is mniere om te ewys dt n vierk. n kvh. is. Gelyke rklyne! ns geruik omgekeerde stellings om te ewys dt n vierhoek n kvh. is. omgekeerde vn øe in dieselfde segment stelling ewys dt een sy gelyke hoeke y die twee nder punte (n dieselfde knt) onderspn. omgekeerde vn øe vn kvh. stelling ewys dt n pr teenoorstnde hoeke supplementêr is. omgekeerde vn uiteø vn kvh. stelling ewys dt n uitehoek gelyk is n die teenoorstnde innehoek. ewys óf : = of y = y of z = z of p = p ewys óf : Â + Ĉ = 80º of ˆ + ˆ = 80º ewys óf : ˆ = ˆ of ˆ = ˆ4 of ˆ5 = ˆ6 of ˆ7 = ˆ8 mniere om te ewys dt n lyn n rklyn n n? is ns geruik omgekeerde stellings om te ewys dt n lyn n rklyn n n? is. omgekeerde vn rklyn rdius stelling ewys dt ewys dt die lyn loodreg op n rdius is y n punt wr die ; dn sl rdius die omtrek ontmoet. n rklyn wees omgekeerde vn rklyn-koord stelling Let Wel: ewys dt wnneer die lyn ewys dt it is n goeie idee deur die eindpunt vn n koord y = y; om n ligte sirkel getrek word, dit n hoek met dn sl (soos getoon) te die koord mk wt gelyk n rklyn teken, om hierdie is n n hoek in die wees omgekeerde stelling teenoorstnde segment. duidelik te sien. 4 Kopiereg ie ntwoord y p z 7 y p z 8

6 VIERHEKE - roetes vn definisies, oppervlktes en eienskppe - n psomming lles wt jy moet weet! n Reghoek Enige Vierhoek n Trpesium n rllelogrm ie Vierknt EFINISIE : n m met een regte ø f h pp. = l % e d die idele vierhoek! EFINISIE : HEKLYNE is GELYK Som vn die ø e vn EFINISIE : Vierhoek met pr teenoorstnde sye enige vierhoek = 60º Vierhoek met pr teenoorstnde sye ppervlkte = s ppervlkte = sis % hoogte Som vn die innehoeke = ( + + ) + (d + e + f) = % 80º... ( Δ e ) = 60º ie pyltjies toon verskeie RETES vnf enige vierhoek n die vierknt (die idele vierhoek ). Hierdie roetes, wt logik en feite komineer, is noodsklik om te geruik wnneer spesifieke tipes vierhoeke ewys moet word. Let op hoe die eienskppe opstpel soos ons vn links n regs eweeg. d.w.s. die eerste vierhoek het geen spesile eienskppe nie en elke opeenvolgende vierhoek het l die voorfgnde eienskppe. ppervlkte = Δ + Δ = h + h = ( + ). h ie helfte vn die som vn die sye % die fstnd tussen hulle. n Vlieër m = Q + ΔQ regh. Q = Q + Δ wr ΔQ Δ... SS90º â m = regh. Q (in opp.) = % Q Eienskppe: pr teenoorstnde sye gelyk pr teenoorstnde hoeke gelyk & HEKLYNE HLVEER MEKR Kopiereg ie ntwoord 5 EFINISIE : Vierhoek met pr opeenvolgende sye gelyk Q Gegee hoeklyne en ppervlkte = Δ e =. = Helfte vn die produk vn die hoeklyne IE HEKLYNE sny loodreg die LNG HEKLYN hlveer: die kort hoeklyn, die teenoorstnde hoeke en die oppervlkte vn die vlieër EFINISIE : n Ruit n m met een pr ngrensende sye gelyk ppervlkte = produk vn hoeklyne (soos vlieër) of = sis % hoogte (soos prllelogrm) IE HEKLYNE hlveer mekr LREG hlveer die hoeke vn die ruit hlveer die oppervlkte vn die ruit Let Wel : y y y y + y = 80º... ø e vn Δ, of + y = 90º ko-inne ø e suppl. Eienskppe: lles is reeds opgenoem! ngesien n vierknt n reghoek, n ruit, n prllelogrm, n vlieër,... is, is L die eienskppe vn hierdie vierhoeke vn toepssing. Vierhoeke speel n elngrike rol in eide Euklidiese en nlitiese Meetkunde tot in Grd!

7 SMMING : TRIGNMETRIE (Gr. ) ie NTWR-REEKS IE VERHUINGS & hulle SESILE p e sin 0E tn 45E EFINISIES : y r H r H y en os 60 tn θ y & HUL FMILIES : TEKENS : KRITIEKE WRES : LGEMENE VRMS enige verhouding 80 - θ 80 + θ 60 - θ - θ = ± drdie SELFE verhouding vn θ MINIMUM & MKSIMUM WRES : (sin θ & os θ) (let op die noemer! ) K-VERHUINGS (sinus en kosinus) 90E - θ ( n skerphoek) 90E + θ ( n stomphoek) sin(90e - θ) = os θ sin(90e + θ) = os θ GRFIEKE : os(90e - θ) = sin θ os(90e + θ) = - sin θ LSSING VN Δ e Vir nie-reghoekige Δ E : V. sin SINUS-reël sin sin sin VERWNTSKE tn θ sin θ os θ sin θ % os θ ˆ sin θ = - os θ & os θ = - sin θ KSINUS-reël % & os Mr onthou ook : oppv.vn = h En in REGHEKIGE Δ E : geruik gewone trig. verhoudings & die stelling vn ythgors!!! SMGESTELE p e sin( ± ) = sin os ± os sin os( ± ) = os os K sin sin sin = sin os os = os - sin = - sin = os - 6 Kopiereg ie ntwoord

8 SKREKENRINSTRUKSIES GEMIELE EN STNRFWYKING r is fses vir elke skrekenrprosedure: ST : hoe om dr te kom ST : hoe om die dt in te tik ST : hoe om die gemiddelde en stndrdfwyking te epl. (en, in die volgende kolom,, en r) REGRESSIE & KRRELSIE ie vergelyking vn die regressielyn Kort instruksies vir die SI f - 8ES ST : ruk/kies: ME ; (STT) ; ( + ) sio f-8es ngegroepeerde t [ME] [ : STT] [ : - VR] Tik elke wrde, gevolg deur [=] n die lste wrde in: [=] [] Vir die gemiddelde: [SHIFT] [STT] [5 : VR] [ : ] [=] Vir die S..: [SHIFT] [STT] [5 : VR] [ : σn] [=] Not vir sio f-8es Jy sl sien: X FREQ outomties s ingedruk it is noodsklik om [] te druk wnneer l die dt in is. s dit nie gedoen word nie, sl die gemiddelde en stndrdfwyking s inskrywings in die tel, ygetel word. (it moet dn weer uitgewis word.) Gegroepeerde t/frekwensietelle sio f-8es [ME] [ : STT] [ : - VR] [SHIFT] [SETU] Gn f (geruik pyltjie) [ : STT] [ : N] Tik die middelpunt vn elke wrde in (of elke telling, indien verskf) gevolg deur [=], dn... N die lste wrde: [=] - en nie [] nie - dn... Geruik om n oknt vn regterkolom te gn. Tik die korrekte frekwensies in, elke keer gevolg deur [=]; n die lste frekwensie: [=] [] Vir die gemiddelde: [SHIFT] [STT] [5 : VR] [ : ] [=] Vir die S..: [SHIFT] [STT] [5 : VR] [ : σn] [=] Jy sl sien: X FREQ ST : Tik die - en y-wrdes in, gevolg deur =. ruk ST : ruk SHIFT STT (op ) ; 7 (Reg) ; dn: Vir, druk = of Vir, druk = m n te epl, druk en doen dn die hele ST. ie korrelsiekoëffisiënt Net soos vir en in die regressiefunksie: Kort instruksies vir die SI f - 8ES ST : ruk/kies: ME ; (STT) ; ( + ) Shrp EL-5WH Jy sl sien: [ME] [ : STT] - om in stts mode te kom... dn [0 : S] Stt 0. Tik elke wrde in, gevolg deur [M+] Vir die gemiddelde: [RL] [ ] Vir die S..: [RL] [σ] Shrp EL-5WH Jy sl sien: [ME] [ : STT] - om in stts mode te kom... Stt 0. dn [0 : S] Tik die middelpunt vn elke wrde in (of elke telling, indien verskf) gevolg deur [ST]. Tik dn die frekwensie in, gevolg deur [M+]. (Tik l die dt op die mnier in.) Vir die gemiddelde: [RL] [ ] Vir die S..: Kopiereg ie ntwoord 7 [RL] [σ] ST : Tik die - en y-wrdes in, gevolg deur =. ruk ST : ruk SHIFT STT (op ) ; 7 (Reg) ; dn: Mr nou: Vir r druk = s jy eers en epl het, druk voor jy n die egin vn ST gn.