ΤΕΛΟΣ 1ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙ ΕΣ

Transcript

1 ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ HMEΡΗΣΙΩΝ ΚΑΙ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ (ΟΜΑ Α A ) ΚΑΙ ΜΑΘΗΜΑΤΩΝ ΕΙ ΙΚΟΤΗΤΑΣ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ (ΟΜΑ Α Β ) ΠΕΜΠΤΗ 24 ΜΑΪΟΥ 202 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι ΗΜΕΡΗΣΙΑ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ: ΤΕΣΣΕΡΙΣ (4) ΘΕΜΑ Α Α. Τι ονομάζετι διάμεσος δ ενός δείγμτος ν πρτηρήσεων που έχουν διτχθεί σε ύξουσ σειρά; Μονάδες 6 Α2. Ν χρκτηρίσετε τις προτάσεις που κολουθούν, γράφοντς στο τετράδιό σς, δίπλ στο γράμμ που ντιστοιχεί σε κάθε πρότση, τη λέξη Σωστό, ν η πρότση είνι σωστή ή τη λέξη Λάθος, ν η πρότση είνι λνθσμένη. ) Αν μι συνάρτηση f δεν είνι συνεχής σε έν σημείο x 0 του πεδίου ορισμού της, τότε δεν είνι πργωγίσιμη στο x 0. (Μονάδες 2) ) Το εύρος ως πράμετρος δισποράς εξρτάτι μόνο πό τις κρίες τιμές της μετλητής. (Μονάδες 2) γ) Έστω συνάρτηση f συνεχής στο [,]. Τότε ισχύει η κόλουθη ιδιότητ γι το ορισμένο ολοκλήρωμ: γ f (x)dx + f (x)dx = γ f (x)dx, με <γ<. (Μονάδες 2) δ) Ισχύει ότι: (x ) =x -, *, x>0 (Μονάδες 2) ΤΕΛΟΣ ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙ ΕΣ

2 ΑΡΧΗ 2ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ε) Έστω δύο συνεχείς συνρτήσεις f, g: [, ] με συνεχείς πργώγους f, g. Τότε ισχύει ότι: f '(x)g(x)dx = [f (x)g(x)] f (x)g'(x)dx (Μονάδες 2) Μονάδες 0 Α. Ν μετφέρετε κι ν συμπληρώσετε στο τετράδιό σς τις πρκάτω ισότητες: ) dx =... με >>0 (Μονάδες ) x ) Έστω συνρτήσεις f: Α κι g: Β με f(a) B. Αν η f είνι πργωγίσιμη σε κάθε x Α κι η g πργωγίσιμη σε κάθε f(x) B, τότε η σύνθεσή τους gof: Α είνι πργωγίσιμη στο Α κι ισχύει ότι: (gof) (x)=... (Μονάδες ) γ) =... με c στθερά κι cdx, (Μονάδες ) Μονάδες 9 ΘΕΜΑ B Στον πρκάτω πίνκ δίνοντι οι ημερήσιες ώρες διάσμτος 25 μθητών μις τάξης ενός ΕΠΑ.Λ. Ημερήσιες ώρες διάσμτος x i Μθητές ν i Αθροιστική Συχνότητ N i Σχετική συχνότητ (%) f i % κ 5 2κ+ Σύνολ ν=25 00 x i ν i ΤΕΛΟΣ 2ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙ ΕΣ

3 ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ Β. Ν υπολογίσετε τον ριθμό κ Μονάδες 4 Β2. Γι κ= ν μετφέρετε κι ν συμπληρώσετε στο τετράδιό σς τον πρπάνω πίνκ. Μονάδες 8 Β. Γι κ= ν υπολογίσετε τη μέση τιμή x κι ν ρείτε τη διάμεσο δ των πρτηρήσεων. Μονάδες 0 Β4. Γι κ= ν υπολογίσετε το ποσοστό των μθητών που διάζουν τουλάχιστον ώρες ημερησίως. ΘΕΜΑ Γ ίνετι η συνάρτηση f: με τύπο: Μονάδες f (x) = x -, x x 2 + x, ν ν x > x Γ. Ν υπολογίσετε το lim f(x) x Γ2. Ν υπολογίσετε το lim f(x) - x +, ΤΕΛΟΣ ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙ ΕΣ Μονάδες 5 Μονάδες 0 Γ. Ν υπολογίσετε τ κι, ώστε η f ν είνι συνεχής στο x 0 = κι η γρφική πράστση της f ν διέρχετι πό το σημείο Α(-,2). ΘΕΜΑ ίνετι η συνάρτηση f: με τύπο: f(x) = x 2-2x- Μονάδες 0

4 ΑΡΧΗ 4ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ. Ν ρείτε την πράγουσ F της f, ν F(0)=. ΤΕΛΟΣ 4ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙ ΕΣ Μονάδες 5 2. Αν F(x)=x -x 2 -x+, x ν μελετήσετε τη μονοτονί κι ν ρείτε τ τοπικά κρόττ της F. Μονάδες 8. Ν συγκρίνετε τις τιμές F(20) κι F(202) κι ν ιτιολογήσετε την πάντησή σς. Μονάδες 5 4. Ν υπολογίσετε το εμδόν του χωρίου Ω που περικλείετι πό τη γρφική πράστση της συνάρτησης f, τον άξον x x κι τις ευθείες με εξισώσεις x=0 κι x=. Μονάδες 7 Ο ΗΓΙΕΣ ΓΙΑ ΤΟΥΣ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟΥΣ. Στο τετράδιο ν γράψετε μόνον τ προκτρκτικά (ημερομηνί, εξετζόμενο μάθημ). Ν μην ντιγράψετε τ θέμτ στο τετράδιο. 2. Ν γράψετε το ονομτεπώνυμό σς στο πάνω μέρος των φωτοντιγράφων μέσως μόλις σς πρδοθούν. εν επιτρέπετι ν γράψετε κμιά άλλη σημείωση. Κτά την ποχώρησή σς ν πρδώσετε μζί με το τετράδιο κι τ φωτοντίγρφ.. Ν πντήσετε στο τετράδιό σς σε όλ τ θέμτ. 4. Ν γράψετε τις πντήσεις σς μόνον με μπλε ή μόνον με μύρο στυλό νεξίτηλης μελάνης. 5. Κάθε πάντηση τεκμηριωμένη επιστημονικά είνι ποδεκτή. 6. Ν μη χρησιμοποιήσετε το χρτί μιλιμετρέ. 7. ιάρκει εξέτσης: τρεις () ώρες μετά τη δινομή των φωτοντιγράφων. 8. Χρόνος δυντής ποχώρησης: 0.00 π.μ. KΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ ΤΕΛΟΣ ΜΗΝΥΜΑΤΟΣ

5 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΚΑΙ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ (ΟΜΑΔΑ Α ) ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 202 ΘΕΜΑ Α Α. Θεωρί σχολικού ιλίου σελ. 8 (Ορισμός ) Α2. ) Σ ) Σ γ) Λ δ) Σ ε) Σ Α. ) dx = ln lna x ) ( gof ) '( x) = g'( f( x)) f '( x) γ) cdx = c( )

6 ΘΕΜΑ Β Β. Ισχύει κ+2κ+=25 6+κ=25 κ= Β2. Ώρες xi V i N i fi% x i v i ΣΥΝΟΛΟ V=25 //// Β. xivi 75 x = = = v 25 v=25 περιττός άρ δ=x Από στήλη Ni δ=x = Β4. Ποσοστό που διάζουν τουλάχιστον ώρες: f %+f 4 %+f 5 %=6+2+28=56%

7 ΘΕΜΑ Γ Γ. lim ( ) lim ( 2 ) x x f x = ax + x = a + Γ2. x ( x )( x+ + 2) ( x )( x+ + 2) lim f( x) = lim = lim = lim = = = x+ 2 x+ 2 x 2 x x x x Γ. lim f ( x) = lim f( x) = f() άρ πρέπει +=4 () + x x f()=+ Επίσης f(-)=2 γιτί η γρφική πράστση διέρχετι πό το Α(-,2) άρ (-) 2 +(-)=2 -=2 (2) Από () κι (2) έχω = κι = ΘΕΜΑ Δ Δ. x x F( x) x c x x = + = x+ c F(0)= άρ c= άρ c= Οπότε F(x)=x -x 2 -x+

8 Δ2. F (x)=x 2-2x-=f(x) x 2-2x-=0 έχει λύσεις x,2 γι x ε γι x ε (, ] είνι γνησίως ύξουσ [,) είνι γνησίως φθίνουσ γι x ε [, + ) είνι γνησίως ύξουσ x - + F (x) + ο - o + F(x) Στο x = προυσιάζει τοπικό μέγιστο το F max = F( ) = ( ) ( ) ( ) + = 2 7 στο x 2= προυσιάζει τοπικό ελάχιστο το F min =F()= =0

9 Δ. Είνι 20<202 κι γι x> είνι F γνησίως ύξουσ άρ F(20)<F(202) Δ4. E = f( x) dx γι x ε (0,) είνι f(x)<0 άρ 0 2 x x E = f( x) dx= ( x + 2x+ ) dx= x = + + 0= τ. μ Επιμέλει Κθηγητών Φροντιστηρίων Βκάλη