ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΕΤΑΡΤΗ 20 ΜΑΪΟΥ 2009 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

Transcript

1 1 ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΕΤΑΡΤΗ ΜΑΪΟΥ 9 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Θέµ 1ο Α. Έστω µι συνεχής συνάρτηση f ορισµένη σε έν διάστηµ. Αν η f είνι συνεχής στο κι γι κάθε εσωτερικό σηµείο χ του ισχύει f (χ), ν ποδείξετε ότι η f είνι στθερή σε όλο το διάστηµ. Μονάδες 1 Β. Πότε µι συνάρτηση f λέγετι πργωγίσιµη σε έν σηµείο χ του πεδίου ορισµού της; Μονάδες 5 Γ. Ν χρκτηρίσετε τις προτάσεις που κολουθούν γράφοντς στο τετράδιο σς δίπλ στο γράµµ που ντιστοιχεί σε κάθε πρότση τη λέξη Σωστό, ν η πρότση είνι σωστή, ή Λάθος, ν η πρότση είνι λνθσµένη.. Αν z 1, z είνι µιγδικοί ριθµοί, τότε ισχύει:. z z z 1 1 z Μονάδες β. Μι συνάρτηση f µε πεδίο ορισµού Α λέµε ότι προυσιάζει (ολικό) ελάχιστο στο χ Α. ότν f() f() γι κάθε χ Α. Μονάδες συν 1 γ. lim 1 Μονάδες δ. Κάθε συνάρτηση f συνεχής σε έν σηµείο του πεδίου ορισµού της είνι κι πργωγίσιµη στο σηµείο υτό. Μονάδες ε. Αν µι συνάρτηση f είνι συνεχής σε έν κλειστό διάστηµ [, β] κι ισχύει f(χ) < γι κάθε χ [, β], τότε το εµβδό του χωρίου Ω που ορίζετι πό τη γρφική πράστση της f, τις ευθείες a, β κι τον άξον χ χ είνι E (Ω) β f()d Μονάδες Θέµ ο Θεωρούµε τους µιγδικούς ριθµούς z (λ1) (λ-1)i, λ R. A. a. Ν βρείτε την εξίσωση της ευθείς πάνω στην οποί βρίσκοντι οι εικόνες των µιγδικών ριθµών z, γι τις διάφορες τιµές του λ R.

2 Μονάδες 9 β. Από τους πρπάνω µιγδικούς ριθµούς ν ποδείξετε ότι ο µιγδικός ριθµός z 1 i έχει το µικρότερο µέτρο. Μονάδες 8 B. Ν βρεθούν οι µιγδικοί ριθµοί w οι οποίοι ικνοποιούν την εξίσωση w w 1 z όπου z ο µιγδικός ριθµός που νφέρετι στο προηγούµενο ερώτηµ. Μονάδες 8 Θέµ 3ο ίνετι η συνάρτηση f(χ) ln(1), > -1, όπου > κι 1. Α. Αν ισχύει f(χ) 1 γι κάθε χ > -1, ν ποδείξετε ότι e. Μονάδες 8 Β. Γι e,. ν ποδείξετε ότι η συνάρτηση f είνι κυρτή. Μονάδες 5 β. ν ποδείξετε ότι η συνάρτηση f είνι γνησίως φθίνουσ στο διάστηµ (-1, ] κι γνησίως ύξουσ στο διάστηµ [, ). Μονάδες 6 γ. ν β, γ (-1, ) (, ), ν ποδείξετε ότι η εξίσωση f(β) 1 f(γ) 1 1 έχει τουλάχιστον µί ρίζ στο (1, ) Μονάδες 6 Θέµ 4ο Έστω f µι συνεχής συνάρτηση στο διάστηµ [, ] γι την οποί ισχύει Ορίζουµε τις συνρτήσεις ( t ) f(t)dt H() tf(t)dt, [, ], H() f(t)dt 3, G() 1 1 t 6lim, t t (, ]

3 3. Ν ποδείξετε ότι η συνάρτηση G είνι συνεχής στο διάστηµ [, ]. Μονάδες 5 β. Ν ποδείξετε ότι η συνάρτηση G είνι πργωγίσιµη στο διάστηµ (, ) κι ότι ισχύει H() G () -, < < Μονάδες 6 γ. Ν ποδείξετε ότι υπάρχει ένς ριθµός (, ) τέτοιος ώστε ν ισχύει H(a). Μονάδες 7 δ. Ν ποδείξετε ότι υπάρχει ένς ριθµός ξ (, ) τέτοιος ώστε ν ισχύει a ξ tf(t)dt ξ f(t)dt Μονάδες 7

4 4 Θέµ 1ο Α. Σχολικό βιβλίο σελίδ 51. Β. Σχολικό βιβλίο σελίδ 13. Γ. ) Σ β) Σ γ) Λ δ) Λ ε) Λ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Θέµ ο Α.. Είνι z (λ1) (λ-1)i, λ R. Έστω ότι z yi,, y R. Τότε πρέπει: λ 1 ( ) y. Άρ, οι εικόνες των µιγδικών ριθµών z, y λ 1 νήκουν στην ευθεί (ε) : y. B. Α Τρόπος Γι y η (ε) δίνει :, ενώ γι η (ε) δίνει : y -. Άρ, Α(, ) κι Β(, -). Ο µιγδικός ριθµός µε το µικρότερο µέτρο, θ έχει εικόν πάνω στη (ε) κι θ πέχει πό το Ο τη µικρότερη πόστση. Το σηµείο υτό θ είνι η προβολή του Ο πάνω στην (ε). Φέρνω ΟΜ (Ε). Επειδή το τρίγωνο ΟΑΒ είνι ισοσκελές το ύψος του ΟΜ θ είνι διάµεσος του, δηλδή το Μ θ είνι µέσο του ΑΒ. Έτσι, 1 y1 y Μ(, ) ή Μ(, ) ή Μ(1, -1). Άρ, ο µιγδικός ριθµός z o 1- i είνι υτός µε το µικρότερο µέτρο. Β Τρόπος Επειδή ΟΜ (ε) έχουµε ότι λομ. λ (ε) - 1 κι επειδή λ ε 1 θ είνι λ ΟΜ -1. Άρ, (OM): y -1( -) ή (ΟΜ) : y -. Το ζητούµενο σηµείο προκύπτει πό τη λύση του συστήµτος των (ε), (ΟΜ). 1. y 1 1 Άρ, ο µιγδικός ριθµός z o 1- i είνι υτός µε το µικρότερο µέτρο. Β. Έστω w yi,, y R τότε η εξίσωση γίνετι: y -yi-11-i ( y -13) (-y1)

5 5 y y 1 y 1 y 1 Γι χ 3 κι y1 είνι w 1 3 i. Γι χ -4 κι y1 είνι w -4 i. 1 1 ή y 1 4 Θέµ 3ο Α. Είνι f(χ) ln(1), > -1. Η f είνι πργωγίσιµη στο (-1, ) µε f () a 1 lna - κι ισχύει 1 f() ln Γι κάθε χ > -1 ισχύει : f(χ) 1 f(χ) f(), οπότε η f προυσιάζει ελάχιστο, άρ κι τοπικό ελάχιστο, γι χ το f() 1.Επίσης η f είνι πργωγίσιµη στο χ. Από το θεώρηµ Fermat f () ln lna - lna1 lnalne ae. 1 Β.. Γι e η f γίνετι : f(χ) e ln(1), > -1. H f είνι δύο φορές πργωγίσιµη στο (-1, ) µε f () e 1 - κι f () e 1 > γι κάθε χ>-1. Οπότε η f 1 ( 1) είνι κυρτή. β. Η f είνι κυρτή στο (-1, ) οπότε η f είνι γνησίως ύξουσ στο (-1, ). Επειδή η f έχει κρόττο γι χ ισχύει f (). Γι -1 < < στο (-1, ]. f f f ()<f () f () <, οπότε η f είνι γνησίως φθίνουσ Γι > f ()>f () f () >, οπότε η f είνι γνησίως ύξουσ στο [, ). Γ. Γι κάθε (1, ) ισχύει: f(β) 1 f(γ) 1 (-)(f(β)-1) (-1)(f(γ)-1) (1) 1 Έστω συνάρτηση g() (-)(f(β)-1) (-1)(f(γ)-1), [1, ]. H g είνι συνεχής στο διάστηµ [1, ] ως πολυωνυµική συνάρτηση, µε g(1)(1-)(f(β)-1) 1 f(β) < g() (-1)(f(γ)-1) f(γ) 1 >, (επειδή f() 1 κι η ισότητ ισχύει µόνο γι θ είνι f() > 1 γι κάθε (-1, ) (, ), οπότε f(β) > f(β) < f(γ) > 1 f(γ)-1 > ) Είνι, g(1)g() <, οπότε πό θεώρηµ Bolzano η εξίσωση g(χ), άρ κι η (1) θ έχει µί τουλάχιστον ρίζ στο (1, )

6 6 Θέµ 4ο. Οι συνρτήσεις f(t) κι tf(t) είνι συνεχείς στο διάστηµ [, ] οπότε κι οι συνρτήσεις H() tf(t)dt, f(t)dt είνι πργωγίσιµες στο [, ], H() άρ κι συνεχείς στο [, ]. Η συνάρτηση είνι συνεχής στο (, ] ως πηλίκο συνεχών συνρτήσεων. Άρ, η G είνι συνεχής συνάρτηση στο (, ] H() ως πράξεις των συνεχών συνρτήσεων, 3. f (t)dt, Θ εξετάσουµε τη συνέχει της G στο χ. 1 1 t G() 6lim t t (1 1 t )(1 1 t ) 6lim t t (1 1 t ) (1 1 t )(1 1 t ) 1 1 t 6lim 6lim t t t (1 1 t ) t (1 1 t 1 6 6lim 3. t (1 1 t ) ) t 6lim t t (1 1 t ) Επίσης, H() H() lim G() lim [ f(t)dt 3] lim lim f(t)dt 3 tf(t)dt f() lim 3 lim 3 f() 3 3. Έτσι, lim G() G(), η G είνι συνεχής στο χ. Τελικά, η G συνεχής στο [, ]. β. Η G είνι πργωγίσιµη στο (, ) ως πράξεις των πργωγίσιµων H() συνρτήσεων, f(t)dt, 3. µε: H() / G () ( f(t)dt 3) f() H() f() H () H()( ) f() H() f() γ. Από την υπόθεση ισχύει: ( ) tf (t)dt f(t)dt (1) f(t)dt Είνι G() 3 (πό το ()) κι G() f() H(). t tf(t)dt f(t)dt H() - 3 f (t)dt

7 7 G() tf(t)dt (1) - f (t)dt 3 G() G() f(t)dt - f(t)dt 3 G() 3. f(t)dt - f (t)dt 3 Η G είνι συνεχής στο [, ]. Η G είνι πργωγίσιµη στο(, ). G()G(). Από το θεώρηµ Rolle υπάρχει ένς ριθµός (, ) τέτοιος ώστε (β) Η() G () Η(). δ. Η συνάρτηση G είνι συνεχής στο [, ] κι πργωγίσιµη στο (, ) µε (,). Από το θεώρηµ µέσης τιµής υπάρχει ένς ριθµός ξ (, ) τέτοιος ώστε : Η() f(t)dt 3 3 G(a) G() H(ξ) H (a) G (ξ) a ξ a a tf(t)dt f(t)dt ξ a tf(t)dt ξ ξ a f(t)dt. Τις πντήσεις των θεµάτων επιµελήθηκν οι µθηµτικοί: Νίκος Στράκης Ανδρές ερεδάκης Μιχάλης Στράκης Στύρος Γντδάκης Αποστόλης Ξεζωνάκης