ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2000-2008 1. ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ"

Transcript

1 ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ -8 ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΘΕΜΑ Αν η συνάρτηση f είνι πργωγίσιμη σε έν σημείο του πεδίου ορισμού της, ν γρφεί η εξίσωση της εφπτομένης της γρφικής πράστσης της f στο σημείο Α(,f( )) (Θέμ Αθετ-) ΘΕΜΑ Ν ποδείξετε ότι ν μι συνάρτηση είνι πργωγίσιμη σε έν σημείο του πεδίου ορισμού της, τότε είνι κι συνεχής στο σημείο υτό (Θέμ Αθετ- Θέμ Α-3 Θέμ Α- ΕΠΑΝ 7) ΘΕΜΑ 3 Δίνοντι οι μιγδικοί ριθμοί z, z Ν ποδείξετε ότι: z z = z z ΘΕΜΑ 4 Αν γι το μιγδικό ριθμό z ισχύει z =, ν δείξετε ότι ΘΕΜΑ 5 = z z (Θέμ Α- Θέμ Α-7) (Θέμ Β-) Έστω f μι συνάρτηση ορισμένη σε έν διάστημ Δ Αν F είνι μι πράγουσ της f στο Δ, ν ποδείξετε ότι: a Όλες οι συνρτήσεις της μορφής G = F + c, c R είνι πράγουσες της f στο Δ κι b Κάθε άλλη πράγουσ G της f στο Δ πίρνει την μορφή G = F + c, c R (Θέμ Α- ΕΠΑΝ Θέμ Β- ΕΠΑΝ 3) ΘΕΜΑ 6 Έστω f μι συνεχής συνάρτηση σ' έν διάστημ [, ] Αν G είνι μι πράγουσ της f στο [, ], τότε ν δείξετε ότι f( t) dt = G( ) G( ) (Θέμ Α-) wwwsamarasinfo

2 ΘΕΜΑ 7 Έστω η συνάρτηση f() = ημ Ν δείξετε ότι η f είνι πργωγίσιμη στο ισχύει f = συν κι (Θέμ Β-) ΘΕΜΑ 8 Τι σημίνει γεωμετρικά το Θεώρημ Μέσης Τιμής του Διφορικού Λογισμού; (Θέμ Β-3) ΘΕΜΑ 9 Πότε μι ευθεί = λέγετι κτκόρυφη σύμπτωτη της γρφικής πράστσης μις συνάρτησης f; (Θέμ Γ- ΕΠΑΝ 3) ΘΕΜΑ Έστω μι συνάρτηση f ορισμένη σ έν διάστημ Δ κι έν εσωτερικό σημείο του Δ Αν η f προυσιάζει κρόττο στο κι είνι πργωγίσιμη στο σημείο υτό, ν ποδείξετε ότι f ( ) = ΘΕΜΑ Πότε μι συνάρτηση f λέμε ότι είνι πργωγίσιμη σε έν σημείο του πεδίου ορισμού της; ΘΕΜΑ Έστω μι συνάρτηση f ορισμένη σε έν διάστημ Δ Αν η f είνι συνεχής στο Δ κι f = γι κάθε ε σ ω τ ε ρ ι κ ό σημείο του Δ, τότε ν ποδείξετε ότι η f είνι στθερή σε όλο το διάστημ Δ (Θέμ Α-4) (Θέμ Β-4) (Θέμ Α-ΕΠΑΝ 4) ΘΕΜΑ 3 Ν ορίσετε πότε λέμε ότι μι συνάρτηση f είνι συνεχής σε έν νοικτό διάστημ (,) κι πότε σε έν κλειστό διάστημ [,] (Θέμ Γ-ΕΠΑΝ 4) wwwsamarasinfo

3 ΘΕΜΑ 4 Έστω μι συνάρτηση f, η οποί είνι ορισμένη σε έν κλειστό διάστημ [, ] Αν: η f είνι συνεχής στο [, ] κι f( ) f( ) δείξτε ότι γι κάθε ριθμό η μετξύ των f ( ) κι f ( ) υπάρχει ένς, τουλάχιστον (, ) τέτοιος, ώστε f( ) = η (Θέμ Α-5) ΘΕΜΑ 5 Πότε η ευθεί y= λ+ λέγετι σύμπτωτη της γρφικής πράστσης μις συνάρτησης f στο + ; (Θέμ Α-5) ΘΕΜΑ 6 Έστω η συνάρτηση f με f ( ) = Ν ποδείξετε ότι η f είνι πργωγίσιμη στο (, + ) κι ισχύει f = ΘΕΜΑ 7 Πότε μι συνάρτηση f : A R λέγετι - (Θέμ Α-ΕΠΑΝ 5) (Θέμ Α-ΕΠΑΝ 5) ΘΕΜΑ 8 Έστω μι συνάρτηση f, η οποί είνι σ υ ν ε χ ή ς σε έν διάστημ Δ Αν f > σε κάθε ε σ ω τ ε ρ ι κ ό σημείο του Δ, τότε η f είνι γνησίως ύξουσ σε όλο το Δ Αν f < σε κάθε ε σ ω τ ε ρ ι κ ό σημείο του Δ, τότε η f είνι γνησίως φθίνουσ σε όλο το Δ (Θέμ Α-6) ΘΕΜΑ 9 Έστω μι συνάρτηση f συνεχής σ έν διάστημ Δ κι πργωγίσιμη στο εσωτερικό του Δ Πότε λέμε ότι η f στρέφει τ κοίλ προς τ άνω ή είνι κυρτή στο Δ; (Θέμ Α-6) ΘΕΜΑ Ν ποδείξετε ότι ( συν ) = ημ, R (Θέμ Α-ΕΠΑΝ 6) 3 wwwsamarasinfo

4 ΘΕΜΑ Έστω f μι συνάρτηση ορισμένη σε έν διάστημ Δ Τι ονομάζουμε ρχική συνάρτηση ή πράγουσ της f στο Δ; (Θέμ Α-ΕΠΑΝ 6) ΘΕΜΑ Πότε δυο συνρτήσεις f, g λέγοντι ίσες; (Θέμ Α-7) ΘΕΜΑ 3 Πότε η ευθεί y = l λέγετι οριζόντι σύμπτωτη της γρφικής πράστσης της f στο + ; (Θέμ Α3-7) ΘΕΜΑ 4 Τι σημίνει γεωμετρικά το θεώρημ Rolle του Διφορικού Λογισμού; ΘΕΜΑ 5 Ν ποδειχθεί ότι η συνάρτηση f ln ΘΕΜΑ 6 =, είνι πργωγίσιμη στο ( ln ) = Πότε μι συνάρτηση f λέμε ότι είνι συνεχής σε έν κλειστό διάστημ [,]; ΘΕΜΑ 7 Έστω f μι συνεχής συνάρτηση σ' έν διάστημ [, ] Αν G είνι μι πράγουσ της f στο [, ], τότε ν δείξετε ότι f( t) dt = G( ) G( ) (Θέμ Α-ΕΠΑΝ 7) κι ισχύει: (Θέμ Α-8) (Θέμ Α-8) (Θέμ Α-ΕΠΑΝ 8) ΘΕΜΑ 8 Τι σημίνει γεωμετρικά το Θεώρημ Μέσης Τιμής του Διφορικού Λογισμού; (Θέμ Β-ΕΠΑΝ 8) 4 wwwsamarasinfo

5 ΘΕΜΑΤΑ ΣΩΣΤΟ ΛΑΘΟΣ Ν χρκτηρίσετε τις προτάσεις που κολουθούν, γράφοντς στο τετράδιό σς δίπλ στο γράμμ που ντιστοιχεί σε κάθε πρότση, τη λέξη Σωστό, ν η πρότση είνι σωστή, ή Λάθος, ν η πρότση είνι λνθσμένη ΘΕΜΑ 9 a Αν η f είνι πργωγίσιμη στο, τότε η f είνι πάντοτε συνεχής στο b Αν η f δεν είνι συνεχής στο, τότε η f είνι πργωγίσιμη στο c Αν η f έχει δεύτερη πράγωγο στο, τότε η f είνι συνεχής στο (Θέμ Β-ΘΕΤ ) ΘΕΜΑ 3 a b z z = zz = z c z = - d z = z e iz = z ΘΕΜΑ 3 z (Θέμ Α- ) a Αν η συνάρτηση f είνι ορισμένη στο [,] κι συνεχής στο (,], τότε η f πίρνει πάντοτε στο [,] μί μέγιστη τιμή b Κάθε συνάρτηση, που είνι - στο πεδίο ορισμού της, είνι γνησίως μονότονη lim f =, τότε lim f = c Αν υπάρχει το όριο της συνάρτησης f στο κι d Αν η συνάρτηση f είνι πργωγίσιμη στο ΙR, τότε f ( d ) = f f ( d ) e Αν lim f, τότε f() > κοντά στο > (Θέμ Β- ) 5 wwwsamarasinfo

6 ΘΕΜΑ 3 a Αν f ( d ), τότε κτ νάγκη θ είνι f γι κάθε [,] b Η εικόν f(δ) ενός διστήμτος Δ μέσω μις συνεχούς κι μη στθερής συνάρτησης f είνι διάστημ c Αν η συνάρτηση f είνι πργωγίσιμη στο IR κι δεν είνι ντιστρέψιμη, τότε υπάρχει κλειστό διάστημ [, ], στο οποίο η f ικνοποιεί τις προϋποθέσεις του θεωρήμτος Rolle d Έστω συνάρτηση f ορισμένη κι πργωγίσιμη στο διάστημ [, ] κι σημείο [, ] στο οποίο η f προυσιάζει τοπικό μέγιστο Τότε πάντ ισχύει ότι f = e Αν η συνάρτηση f είνι συνεχής στο διάστημ [, ] κι υπάρχει (, ) τέτοιο ώστε f( )=, τότε κτ νάγκη θ ισχύει f() f()< (Θέμ Β-ΕΠΑΝ ) ΘΕΜΑ 33 a Αν z ένς μιγδικός ριθμός κι z ο συζυγής του, τότε ισχύει z = z = z b Έστω μί συνάρτηση f συνεχής σε έν διάστημ Δ κι δύο φορές πργωγίσιμη στο εσωτερικό του Δ Αν f ()> γι κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε η f είνι κυρτή στο Δ c Γι κάθε συνάρτηση f, πργωγίσιμη σε έν διάστημ Δ, ισχύει f ( d ) = f ( ) + c, c IR d Αν μι συνάρτηση f είνι κυρτή σε έν διάστημ Δ, τότε η εφπτομένη της γρφικής πράστσης της f σε κάθε σημείο του Δ ρίσκετι «πάνω» πό τη γρφική της πράστση e Έστω μι συνάρτηση f ορισμένη σε έν διάστημ Δ κι έν εσωτερικό σημείο του Δ Αν η f είνι πργωγίσιμη στο κι f ( ) =, τότε η f προυσιάζει υποχρεωτικά τοπικό κρόττο στο ΘΕΜΑ 34 (Θέμ Γ- 3) a Αν z, z μιγδικοί ριθμοί, τότε ισχύει πάντ z z z+ z z + z b Έστω μι συνάρτηση f πργωγίσιμη σ έν διάστημ (,), με εξίρεση ίσως έν σημείο του, στο οποίο όμως η f είνι συνεχής Άν f ( ) > στο (, ) κι f ( ) < στο (,), τότε το f( ) είνι τοπικό ελάχιστο της f c Μι συνάρτηση f : A R είνι συνάρτηση, ν κι μόνο ν γι οποιδήποτε, Α ισχύει η συνεπγωγή: ν =, τότε f = f d Αν f, g είνι δυο συνρτήσεις με συνεχή πρώτη πράγωγο, τότε ισχύει: f g = f g f g d (Θέμ Β-ΕΠΑΝ 3) 6 wwwsamarasinfo

7 ΘΕΜΑ 35 a Η δινυσμτική κτίν του θροίσμτος δυο μιγδικών ριθμών είνι το άθροισμ των δινυσμτικών κτινών τους lim f lim f = lim f = l b = l, ν κι μόνο ν + c Αν οι συνρτήσεις f,g είνι πργωγίσιμες στο, τότε η συνάρτηση f g είνι πργωγίσιμη στο κι ισχύει: ( f g) = f g d Έστω μι συνάρτηση f, η οποί είνι συνεχής σε έν διάστημ Δ Αν f ( ) > σε κάθε εσωτερικό σημείο χ του Δ, τότε η f είνι γνησίως φθίνουσ σε όλο το Δ e Έστω f μι συνεχής συνάρτηση σ' έν διάστημ [, ] Αν G είνι μι πράγουσ της f στο [, ], τότε f d= G( )- G( ) (Θέμ Γ- 4) ΘΕΜΑ 36 a Αν μι συνάρτηση f είνι συνεχής σε έν σημείο του πεδίου ορισμού της, τότε είνι κι πργωγίσιμη στο σημείο υτό b Το μέτρο της διφοράς δυο μιγδικών είνι ίσο με την πόστση των εικόνων τους c Αν f, g είνι δυο συνρτήσεις με πεδίο ορισμού R κι ορίζοντι οι συνθέσεις f g κι g f, τότε υτές οι συνθέσεις είνι υποχρεωτικά ίσες d Οι γρφικές πρστάσεις C κι C των συνρτήσεων f κι προς την ευθεί y= που διχοτομεί τις γωνίες Oy κι Oy e Αν υπάρχει το όριο της f στο κοντά στο ΘΕΜΑ 37, με k κι k f, τότε lim k f ( ) k lim f =, εφόσον είνι συμμετρικές ως f ( ) (Θέμ Β-ΕΠΑΝ 4) a Αν η f είνι συνεχής στο [,] με f()< κι υπάρχει ξ (,) ώστε f(ξ)=, τότε κτ νάγκη f()> b Αν υπάρχει το lim ( f + g ), τότε κτ νάγκη υπάρχουν τ lim f lim g, c Αν η f έχει ντίστροφη συνάρτηση f κι η γρφική πράστση της f έχει κοινό σημείο Α με την ευθεί y=, τότε το σημείο Α νήκει κι στη γρφική πράστση της f d Αν lim f = κι f ( ) > κοντά στο, τότε lim f = + e Αν η f είνι μι συνεχής συνάρτηση σε έν διάστημ Δ κι είνι έν σημείο του Δ, τότε ισχύει f () t dt = f f a γι κάθε Δ a f Αν μι συνάρτηση f είνι συνεχής σε έν διάστημ Δ κι δε μηδενίζετι σ υτό τότε υτή ή είνι θετική γι κάθε Δ ή είνι ρνητική γι κάθε Δ, δηλδή διτηρεί πρόσημο στο διάστημ Δ (Θέμ Β- 5) 7 wwwsamarasinfo

8 ΘΕΜΑ 38 a Τ εσωτερικά σημεί του διστήμτος Δ, στ οποί η f δεν πργωγίζετι ή η πράγωγος της είνι ίση με το μηδέν, λέγοντι κρίσιμ σημεί της f στο διάστημ Δ b Έστω μι συνάρτηση f πργωγίσιμη σ έν διάστημ (,) με εξίρεση ίσως έν σημείο του Αν η f είνι κυρτή στο (, ) κι κοίλη στο (,) ή ντιστρόφως, τότε το σημείο Α(,f( )) είνι υποχρεωτικά σημείο κμπής της γρφικής πράστσης της f c Το μέτρο της διφοράς δυο μιγδικών είνι ίσο με την πόστση των εικόνων τους d Αν γι δυο συνρτήσεις f κι g ορίζοντι οι f g κι g f, τότε είνι υποχρεωτικά f g g f e Οι εικόνες δυο συζυγών μιγδικών ριθμών zz, είνι σημεί συμμετρικά ως προς τον άξον χ χ f Αν η συνάρτησης f έχει πράγουσ σε έν διάστημ Δ κι λ, τότε ισχύει: λ f d= λ f d ΘΕΜΑ 39 z = z > a Γι κάθε μιγδικό ριθμό z ισχύει b Αν υπάρχει το lim f τότε f > κοντά στο (Θέμ Β-ΕΠΑΝ 5) c H εικόν f(δ) ενός διστήμτος Δ μέσω μις συνεχούς κι μη στθερής συνάρτησης f είνι διάστημ d Ισχύει ο τύπος ( 3 ) = 3, γι κάθε f ( g ) ( d ) = f( g ) f( gd ), όπου f, g είνι συνεχείς συνρτήσεις στο [,] e Ισχύει η σχέση [ ] ΘΕΜΑ 4 a Αν z, z είνι μιγδικοί ριθμοί, τότε ισχύει z z z+ z b Αν οι συνρτήσεις f κι g είνι πργωγίσιμες στο κι g( ), τότε η (Θέμ Β- 6) συνάρτηση f g είνι πργωγίσιμη στο κι ισχύει: f f g f g ( ) = g( ) g c Γι κάθε ισχύει ln = d Μι συνάρτηση f : A είνι, ν κι μόνο ν γι κάθε στοιχείο y του συνόλου τιμών της η εξίσωση f ( ) = y έχει κριώς μι λύση ως προς e Έστω f μι συνεχής συνάρτηση σ' έν διάστημ [, ] Αν G είνι μι πράγουσ της f στο [, ], τότε f() t dt = G( )- G( ) (Θέμ Β-ΕΠΑΝ 6) 8 wwwsamarasinfo

9 ΘΕΜΑ 4 a Αν f συνάρτηση συνεχής στο διάστημ [,] κι γι κάθε [, ] τότε f d > ισχύει f() b Έστω f μι συνάρτηση συνεχής σε έν διάστημ κι πργωγίσιμη σε κάθε εσωτερικό σημείο του Αν η συνάρτηση f είνι γνησίως ύξουσ στο τότε f ( ) > σε κάθε εσωτερικό σημείο του c Αν η συνάρτηση f είνι συνεχής στο κι η συνάρτηση g είνι συνεχής στο, τότε η σύνθεσή τους g f είνι συνεχής στο d Αν f είνι μι συνεχής συνάρτηση σε έν διάστημ κι είνι έν σημείο του, τότε g f ( tdt ) = f g g με την προϋπόθεση ότι τ χρησιμοποιούμεν σύμολ έχουν νόημ e Αν > τότε lim = ΘΕΜΑ 4 (Θέμ Β- 7) a Η εικόν f(δ) ενός διστήμτος Δ μέσω μις συνεχούς συνάρτησης f είνι διάστημ b Αν f, gg, είνι συνεχείς συνρτήσεις στο διάστημ [,], τότε f g d = f d g d c Αν f είνι μι συνεχής συνάρτηση σε έν διάστημ Δ κι είνι έν σημείο του Δ, τότε ( () ) f t dt = f ( ) γι κάθε Δ d Αν μι συνάρτηση f είνι γνησίως ύξουσ κι συνεχής σε έν νοικτό διάστημ (,), τότε το σύνολο τιμών της στο διάστημ υτό είνι το διάστημ (Α,Β) όπου lim f B = lim f Α= κι a + e Έστω δυο συνρτήσεις f, g ορισμένες σε έν διάστημ Δ Αν οι f, g είνι συνεχείς στο Δ κι f = g γι κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε ισχύει f = g γι κάθε Δ (Θέμ Β-ΕΠΑΝ 7) 9 wwwsamarasinfo

10 ΘΕΜΑ 43 a Αν μι συνάρτηση f : A είνι, τότε γι την ντίστροφη συνάρτηση f f, A ισχύει: = κι, f f y = y y f Α b Μι συνεχής συνάρτηση f διτηρεί πρόσημο σε κθέν πό τ διστήμτ στ οποί οι διδοχικές ρίζες της f χωρίζουν το πεδίο ορισμού της c Ότν η δικρίνουσ Δ της εξίσωσης z + z+ γ = με, γ, κι είνι ρνητική, τότε η εξίσωση δεν έχει ρίζες στο σύνολο των μιγδικών d Αν μι συνάρτηση f είνι δυο φορές πργωγίσιμη στο κι στρέφει τ κοίλ προς τ άνω, τότε κτ νάγκη θ ισχύει f > γι κάθε πργμτικό ριθμό e Αν η f είνι συνεχής σε διάστημ Δ κι, γ Δ, τότε ισχύει γ = + f d f d f d γ f (Θέμ Β- 8) ΘΕΜΑ 44 a Υπάρχουν συνρτήσεις που είνι, λλά δεν είνι γνησίως μονότονες b Αν μι συνάρτηση f είνι κοίλη σ έν διάστημ Δ, τότε η εφπτομένη της γρφικής πράστσης της f σε κάθε σημείο του Δ ρίσκετι κάτω πό τη γρφική της πράστση, με εξίρεση το σημείο επφής τους b c Το ολοκλήρωμ f ( ) d είνι ίσο με το άθροισμ των εμδών των χωρίων που a ρίσκοντι πάνω πό τον άξον μείον το άθροισμ των εμδών των χωρίων που ρίσκοντι κάτω πό τον άξον d Αν, πργμτικοί ριθμοί, τότε: + i = = ή = e Έστω μι συνάρτηση ορισμένη σ έν σύνολο της μορφής (, ) (, ) πργμτικός ριθμός Τότε ισχύει η ισοδυνμί: lim f = lim f = κι ένς (Θέμ Γ-ΕΠΑΝ 8) wwwsamarasinfo

11 3 ΘΕΜΑΤΑ ΑΝΤΙΣΤΟΙΧΗΣΗΣ - ΣΥΜΠΛΗΡΩΣΗΣ ΘΕΜΑ 45 Ν γράψετε στο τετράδιο σς το γράμμ της στήλης Α κι δίπλ τον ριθμό της στήλης Β που ντιστοιχεί στην εφπτομένη της κάθε συνάρτησης στο σημείο Στήλη Α Στήλη Β Συνρτήσεις Εφπτόμενες 3 a f = 3, = y = + π b f = ημ, =π / y = ( / 4) + c f = 3, = 3 y = y = 9+ 5 d f =, = 4 5 δεν υπάρχει (Θέμ Β-ΘΕΤ ) ΘΕΜΑ 46 Αν z = i κι z = - 3 i ν γράψετε στο τετράδιό σς τους ριθμούς της Στήλης Α κι δίπλ σε κάθε ριθμό το γράμμ της Στήλης Β έτσι, ώστε ν προκύπτει ισότητ Στήλη Α z z 3 Στήλη Β 4 z z γ 5 4 z δ 5 5 iz ε στ 5 ζ (Θέμ Β- ) ΘΕΜΑ 47 Ν συμπληρώσετε στο τετράδιό σς τις πρκάτω σχέσεις ώστε ν προκύψουν γνωστές ιδιότητες του ορισμένου ολοκληρώμτος a λf()d= b (f () + g())d = c ( λ f() +μg())d = όπου λ, μ ΙR κι f, g συνεχείς συνρτήσεις στο [, ] (Θέμ Α- ΕΠΑΝ ) wwwsamarasinfo

12 4 ΘΕΜΑΤΑ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΘΕΜΑ i a Δίνετι ο μιγδικός ριθμός z = Ν γράψετε τον z στη μορφή + i,, R + 3i b Ν ρεθούν τ σημεί του επιπέδου, που είνι εικόνες των μιγδικών z, γι τους οποίους z - ισχύει: = z - i (Θέμ -ΤΕΧ ) ΘΕΜΑ 49 a Ν ρείτε τον γεωμετρικό τόπο των εικόνων των μιγδικών z γι τους οποίους ισχύει: z+ 6 = 4 z+ b Ν ρείτε τον γεωμετρικό τόπο των εικόνων των μιγδικών z γι τους οποίους ισχύει: z = z i ΘΕΜΑ 5 (Θέμ - ΕΠΑΝ ) Δίνοντι οι μιγδικοί ριθμοί z=+i, όπου, IR κι w= 3z iz+ 4, όπου z είνι ο συζυγής του z a Ν ποδείξετε ότι Re(w)=3 +4 κι Ιm(w)=3 b Ν ποδείξετε ότι, ν οι εικόνες του w στο μιγδικό επίπεδο κινούντι στην ευθεί με εξίσωση y=, τότε οι εικόνες του z κινούντι στην ευθεί με εξίσωση y= c Ν ρείτε ποιος πό τους μιγδικούς ριθμούς z, οι εικόνες των οποίων κινούντι στην ευθεί με εξίσωση y=, έχει το ελάχιστο μέτρο (Θέμ - 3) ΘΕΜΑ 5 a Ν περιγράψετε γεωμετρικά το σύνολο (Σ) των εικόνων των μιγδικών ριθμών z που ικνοποιούν τις σχέσεις: z = κι Im ( z) b Ν ποδείξετε ότι, ν η εικόν του μιγδικού ριθμού z κινείτι στο σύνολο (Σ), τότε η 4 εικόν του μιγδικού ριθμού w= z+ κινείτι σε ευθύγρμμο τμήμ το οποίο z ρίσκετι στον άξον χ χ (Θέμ -ΕΠΑΝ 3) wwwsamarasinfo

13 ΘΕΜΑ 5 Δίνοντι οι μιγδικοί ριθμοί z, z, z 3 με z = z = z3 = 3 9 a Δείξτε ότι: z = z z z b Δείξτε ότι ο ριθμός + είνι πργμτικός z z c Δείξτε ότι : z+ z + z3 = zz + zz3+ z3z 3 (Θέμ - 5) ΘΕΜΑ 53 a Αν z, z είνι μιγδικοί ριθμοί γι τους οποίους ισχύει z+ z = 4+ 4i κι z z = 5+5 i, ν ρείτε τους z, z b Αν γι τους μιγδικούς ριθμούς z, w ισχύουν z 3i κι w 3 i : i ν δείξετε ότι υπάρχουν μονδικοί μιγδικοί ριθμοί z, w έτσι, ώστε z = w κι ii ν ρείτε τη μέγιστη τιμή του z w ΘΕΜΑ 54 Δίνοντι οι μιγδικοί ριθμοί z, z, z 3 με z = z = z3 = κι z+ z + z3 = a Ν ποδείξετε ότι: i z z = z z = z z 3 3 ii z z 4 κι Re( zz) (Θέμ -ΕΠΑΝ 5) b Ν ρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων των z, z, z 3 στο μιγδικό επίπεδο, κθώς κι το είδος του τριγώνου που υτές σχημτίζουν (Θέμ 3-6) ΘΕΜΑ 55 Δίνετι ο μιγδικός ριθμός + ai z =, με a R a + i a Ν ποδειχθεί ότι η εικόν του μιγδικού z νήκει στον κύκλο με κέντρο Ο(,) κι κτίν ρ = b Έστω z, z οι μιγδικοί που προκύπτουν πό τον τύπο γι = κι = ντίστοιχ ai z = + a + i i Ν ρεθεί η πόστση των εικόνων των μιγδικών z, z ν ii Ν ποδειχθεί ότι ισχύει: ν z z = γι κάθε φυσικό ν (Θέμ - 7) 3 wwwsamarasinfo

14 ΘΕΜΑ 56 z Δίνοντι οι μιγδικοί ριθμοί z = + i κι z =, όπου, με Δίνετι + z επίσης ότι z z a Ν ποδειχθεί ότι z z = b Ν ρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του στο μιγδικό επίπεδο c Αν ο ριθμός z είνι φντστικός κι >, ν υπολογισθεί ο κι ν δειχθεί ότι z ( z i) ( z ) i = z (Θέμ 4-ΕΠΑΝ 7) ΘΕΜΑ 57 Αν γι τους μιγδικούς ριθμούς z κι w ισχύουν ( ) 6 i + = κι w ( i) = w ( 3 3i ) τότε ν ρείτε: a Το γεωμετρικό των εικόνων των μιγδικών ριθμών z b Το γεωμετρικό των εικόνων των μιγδικών ριθμών w c Την ελάχιστη τιμή του w d Την ελάχιστη τιμή του z w ΘΕΜΑ 58 (Θέμ - 8) + i 3 Δίνετι ότι ο μιγδικός ριθμός z = είνι ρίζ της εξίσωσης z + z+ γ =, όπου κι γ πργμτικοί ριθμοί a Ν ποδείξετε ότι = κι γ = b Ν ποδείξετε ότι z 3 = c Ν ρείτε τον γεωμετρικό τόπο των εικόνων του μιγδικού ριθμού w, γι τον οποίο ισχύει: w = z z (Θέμ -ΕΠΑΝ 8) 4 wwwsamarasinfo

15 5 ΘΕΜΑΤΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ Πράγωγος Βσικά Θεωρήμτ ΘΕΜΑ 59 Η συνάρτηση f είνι πργωγίσιμη στο κλειστό διάστημ [,] κι ισχύει f ( ) > κάθε (,) Aν f()= κι f()=4, ν δείξετε ότι: a Η ευθεί y=3 τέμνει τη γρφική πράστση της f σ' έν κριώς σημείο με τετμημένη (,) f( ) + f( ) + f( 3 ) + f( 4 ) b Υπάρχει (,), τέτοιο ώστε: f ( ) = c Υπάρχει (,), ώστε η εφπτομένη της γρφικής πράστσης της f στο σημείο Μ(,f( )) ν είνι πράλληλη στην ευθεί y=+ (Θέμ 3θετ- ) γι ΘΕΜΑ 6 Τη χρονική στιγμή t= χορηγείτι σ' ένν σθενή έν φάρμκο Η συγκέντρωση του t φρμάκου στο ίμ του σθενούς δίνετι πό τη συνάρτηση f () t =, t όπου t + κι είνι στθεροί θετικοί πργμτικοί ριθμοί κι ο χρόνος t μετράτι σε ώρες Η μέγιστη τιμή της συγκέντρωσης είνι ίση με 5 μονάδες κι επιτυγχάνετι 6 ώρες μετά τη χορήγηση του φρμάκου a Ν ρείτε τις τιμές των στθερών κι b Με δεδομένο ότι η δράση του φρμάκου είνι ποτελεσμτική, ότν η τιμή της συγκέντρωσης είνι τουλάχιστον ίση με μονάδες, ν ρείτε το χρονικό διάστημ που το φάρμκο δρ ποτελεσμτικά (Θέμ 4θετ- ) ΘΕΜΑ 6 Φάρμκο χορηγείτι σε σθενή γι πρώτη φορά Έστω f(t) η συνάρτηση που περιγράφει τη συγκέντρωση του φρμάκου στον οργνισμό του σθενούς μετά πό χρόνο t πό τη 8 χορήγησή του, όπου t Αν ο ρυθμός μετολής της f(t) είνι t + - a Ν ρείτε τη συνάρτηση f(t) b Σε ποι χρονική στιγμή t, μετά τη χορήγηση του φρμάκου, η συγκέντρωσή του στον οργνισμό γίνετι μέγιστη; c Ν δείξετε ότι κτά τη χρονική στιγμή t = 8 υπάρχει κόμ επίδρση του φρμάκου στον οργνισμό, ενώ πριν τη χρονική στιγμή t = η επίδρσή του στον οργνισμό έχει μηδενιστεί (Δίνετι ln,4) (Θέμ 4ΤΕΧ- ) 5 wwwsamarasinfo

16 ΘΕΜΑ 6 Γι μι συνάρτηση f, που είνι πργωγίσιμη στο σύνολο των πργμτικών ριθμών R, 3 3 f + f + γ f = + 6 γι κάθε, ισχύει ότι: όπου, γ πργμτικοί ριθμοί με < 3γ a Ν δείξετε ότι η συνάρτηση f δεν έχει κρόττ b Ν δείξετε ότι η συνάρτηση f είνι γνησίως ύξουσ c Ν δείξετε ότι υπάρχει μονδική ρίζ της εξίσωσης f() = στο νοικτό διάστημ (,) (Θέμ 3- ) ΘΕΜΑ 63 +, Δίνετι η συνάρτηση f() = όπου ( e + ) ln( ), (,] e + a Ν υπολογίσετε το όριο lim b Ν ρείτε το ώστε η συνάρτηση f ν είνι συνεχής στο o = c Γι = - ν δείξετε ότι υπάρχει έν τουλάχιστον ξ (,) τέτοιο, ώστε η εφπτομένη της γρφικής πράστσης της f στο Α(ξ, f(ξ)) ν είνι πράλληλη προς τον άξον (Θέμ 3 - ΕΠΑΝ ) ΘΕΜΑ 64 Έστω οι συνρτήσεις f, g με πεδίο ορισμού το R Δίνετι ότι η συνάρτηση της σύνθεσης f g είνι a Ν δείξετε ότι η g είνι 3 g f + = g f + έχει κριώς δύο θετικές b Ν δείξετε ότι η εξίσωση: κι μί ρνητική ρίζ ( ) (Θέμ - ) ΘΕΜΑ 65 Έστω μι συνάρτηση f συνεχής σ έν διάστημ [,] που έχει συνεχή δεύτερη πράγωγο στο (,) Αν ισχύει f() = f() = κι υπάρχουν ριθμοί γ (,), δ (,), έτσι ώστε f(γ) f(δ)<, ν ποδείξετε ότι: a Υπάρχει μί τουλάχιστον ρίζ της εξίσωσης f()= στο διάστημ (,) b Υπάρχουν σημεί ξ, ξ (, ) τέτοι ώστε f ( ξ ) < κι f ( ξ ) > c Υπάρχει έν τουλάχιστον σημείο κμπής της γρφικής πράστσης της f (Θέμ 4-3) 6 wwwsamarasinfo

17 ΘΕΜΑ 66 Δίνετι μι συνάρτηση f ορισμένη στο R με συνεχή πρώτη πράγωγο, γι την οποί ισχύουν οι σχέσεις: f = f κι f γι κάθε a Ν ποδείξετε ότι η f είνι γνησίως μονότονη b Ν ποδείξετε ότι η εξίσωση f ( ) = έχει μονδική ρίζ f c Έστω η συνάρτηση g = f Ν ποδείξετε ότι η εφπτομένη της γρφικής πράστσης της g στο σημείο στο οποίο υτή τέμνει τον άξον χ χ, σχημτίζει με υτόν γωνί 45 (Θέμ 4-ΕΠΑΝ 3) ΘΕΜΑ 67 Δίνετι η συνάρτηση f με τύπο f = ln a Ν ρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f, ν μελετήσετε την μονοτονί της κι ν ρείτε τ κρόττ b Ν μελετήσετε την f ως προς την κυρτότητ κι ν ρείτε τ σημεί κμπής c Ν ρείτε το σύνολο τιμών της f (Θέμ - 4) ΘΕΜΑ 68 Δίνετι η συνάρτηση f, η οποί είνι πργωγίσιμη στο R με f γι κάθε a Ν δείξετε ότι η f είνι " " b Αν η γρφική πράστση C f της f διέρχετι πό τ σημεί Α(, 5) κι Β(, ), ν λύσετε την εξίσωση f ( f ( )) = c Ν δείξετε ότι υπάρχει τουλάχιστον έν σημείο Μ της C f, στο οποίο η εφπτομένη της C f είνι κάθετη στην ευθεί (ε) : y = (Θέμ 3-ΕΠΑΝ 5) 7 wwwsamarasinfo

18 ΘΕΜΑ 69 Δίνετι η συνάρτηση + f = ln - a Ν ρείτε το πεδίο ορισμού κι το σύνολο τιμών της συνάρτησης f b Ν ποδείξετε ότι η εξίσωση f ( ) = έχει κριώς ρίζες στο πεδίο ορισμού της c Αν η εφπτομένη της γρφικής πράστσης της συνάρτησης g ln = στο σημείο Α(, ln) με > κι η εφπτομένη της γρφικής πράστσης της συνάρτησης στο σημείο Β(, e ) με τυτίζοντι, τότε ν δείξετε ότι ο ριθμός είνι ρίζ της εξίσωσης f = d Ν ιτιολογήσετε ότι οι γρφικές πρστάσεις των συνρτήσεων g κι h έχουν κριώς δύο κοινές εφπτόμενες (Θέμ 4-6) h = e ΘΕΜΑ 7 ln, > Δίνετι η συνάρτηση f =, = a Ν ποδείξετε ότι η συνάρτηση f είνι συνεχής στο b Ν μελετήσετε ως προς τη μονοτονί τη συνάρτηση f κι ν ρείτε το σύνολο τιμών της c Ν ρείτε το πλήθος των διφορετικών θετικών ριζών της εξίσωσης = e γι όλες τις πργμτικές τιμές του f + > f + f, γι κάθε > d Ν ποδείξετε ότι ισχύει ΘΕΜΑ 7 f =, > Δίνετι η συνάρτηση ln a Ν ποδείξετε ότι ισχύει: f γι κάθε > b Ν ρείτε τις σύμπτωτες της γρφικής πράστσης της συνάρτησης f c Έστω η συνάρτηση ln, > g = f k, = (Θέμ 3-8) Ν ρείτε την τιμή του k έτσι ώστε η g ν είνι συνεχής Αν k =, τότε ν ποδείξετε ότι η g έχει μί, τουλάχιστον, ρίζ στο διάστημ (,e) (Θέμ 3-ΕΠΑΝ 8) 8 wwwsamarasinfo

19 6 ΘΕΜΑΤΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ ΘΕΜΑ 7 Ν ρείτε τη συνάρτηση f, γι την οποί ισχύει f = 6+ 4, κι η γρφική της πράστση στο σημείο της Α(,3) έχει κλίση (Θέμ Β -ΕΠΑΝ ) ΘΕΜΑ 73 Ν υπολογίσετε τ πρκάτω ολοκληρώμτ: a b (e + )d 4 3 d 3 π c (ημ + 3συν)d ΘΕΜΑ 74 7 ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ (Θέμ Β -ΕΠΑΝ ), 3 Έστω f μι πργμτική συνάρτηση με τύπο: f = -3 - e, > 3 3 a Αν η f είνι συνεχής, ν ποδείξετε ότι = /9 b Ν ρείτε την εξίσωση της εφπτομένης της γρφικής πράστσης C f της συνάρτησης f στο σημείο Α(4, f(4)) c Ν υπολογίσετε το εμδόν του χωρίου που περικλείετι πό τη γρφική πράστση της συνάρτησης f, τον άξον κι τις ευθείες = κι = (Θέμ ) 9 wwwsamarasinfo

20 ΘΕΜΑ 75 Έστω μι πργμτική συνάρτηση f, συνεχής στο σύνολο των πργμτικών ριθμών R, γι την οποί ισχύoυν οι σχέσεις: i f(), γι κάθε ΙR ii f tf ( t) = dt, γι κάθε ΙR Έστω κόμη g η συνάρτηση που ορίζετι πό τον τύπο g - f a Ν δείξετε ότι ισχύει f = - f ( ) b Ν δείξετε ότι η συνάρτηση g είνι στθερή c Ν δείξετε ότι ο τύπος της συνάρτησης f είνι: f = + lim f ημ d Ν ρείτε το όριο + = γι κάθε R (Θέμ 4 ) ΘΕΜΑ 76 Έστω μι πργμτική συνάρτηση f, συνεχής στο (,+ ) γι την οποί ισχύει: tf(t) f() = + dt a Ν δείξετε ότι η f είνι πργωγίσιμη στο (,+ ) + ln b Ν δείξετε ότι ο τύπος της συνάρτησης f είνι: f =, > c Ν ρείτε το σύνολο τιμών της f d Ν ρείτε τις σύμπτωτες της γρφικής πράστσης της f e Ν υπολογίσετε το εμδόν του χωρίου που περικλείετι πό τη γρφική πράστση της συνάρτησης f, τον άξον κι τις ευθείες =, = e (Θέμ 4- ΕΠΑΝ ) ΘΕΜΑ 77 a Έστω δύο συνρτήσεις h, g συνεχείς στο [, ] Ν ποδείξετε ότι ν h() > g() γι κάθε [, ], τότε κι h d > g d b Δίνετι η πργωγίσιμη στο R συνάρτηση f f e = R κι f() = f, που ικνοποιεί τις σχέσεις: i Ν εκφρστεί η f ως συνάρτηση της f ii Ν δείξετε ότι < f < f γι κάθε > iii Αν Ε είνι το εμδόν του χωρίου Ω που ορίζετι πό τη γρφική πράστση της f, τις ευθείες =, = κι τον άξον, ν δείξετε ότι 4 < E < f () (Θέμ 4- ) wwwsamarasinfo

21 ΘΕΜΑ 78 Δίνετι η συνάρτηση e f = e +, a Ν δείξετε ότι η f ντιστρέφετι κι ν ρείτε την ντίστροφη συνάρτηση b Ν δείξετε ότι η εξίσωση f = έχει μονδική ρίζ το μηδέν f c Ν υπολογιστεί το ολοκλήρωμ f d (Θέμ - ΕΠΑΝ ) ΘΕΜΑ 79 Δίνετι η συνάρτηση f, ορισμένη στο R, με τύπο f z + z = + z όπου z συγκεκριμένος μιγδικός ριθμός z = +i,, R, με lim f lim f a Ν ρείτε τ όρι, + b Ν ρείτε τ κρόττ της συνάρτησης f, εάν z+ > z c Ν ρείτε το σύνολο τιμών κι το πλήθος των ριζών της f ΘΕΜΑ 8, (Θέμ 3- ΕΠΑΝ ) Έστω η συνάρτηση f, ορισμένη στο R με δεύτερη συνεχή πράγωγο, που ικνοποιεί τις σχέσεις: f f f f f f = f = + =, κι a Ν προσδιορίσετε τη συνάρτηση f b Αν g είνι συνεχής συνάρτηση με πεδίο ορισμού κι σύνολο τιμών το διάστημ [,], ν g( t) δείξετε ότι η εξίσωση dt = έχει μί μονδική λύση στο διάστημ [,] + f t () (Θέμ 4- ΕΠΑΝ ) ΘΕΜΑ Έστω η συνάρτηση f = + + a Ν μελετήσετε την f ως προς την μονοτονί κι τ κοίλ κι ν ποδείξετε ότι η f έχει ντίστροφη συνάρτηση b Ν ποδείξετε ότι f ( e ) f (+ γι κάθε ) c Ν ποδείξετε ότι η εφπτομένη της γρφικής πράστσης της f στο σημείο (,) είνι ο άξονς συμμετρίς των γρφικών πρστάσεων της f κι της f d Ν υπολογίσετε το εμδόν του χωρίου που περικλείετι πό τη γρφική πράστση της f, τον άξον των κι την ευθεί με εξίσωση = 3 (Θέμ 3-3) wwwsamarasinfo

22 ΘΕΜΑ 8 Δίνετι η συνάρτηση f = + a Ν ποδείξετε ότι lim f = + b Ν ρείτε την πλάγι σύμπτωτη της γρφικής πράστσης της f, ότν το τείνει στο c Ν ποδείξετε ότι f + + f = ln d = + + d Ν ποδείξετε ότι (Θέμ 3- ΕΠΑΝ 3) ΘΕΜΑ 83 Δίνετι η συνάρτηση 3 f = f = κι g = e f, όπου f συνάρτηση πργωγίσιμη στο R a Ν ποδείξετε ότι υπάρχει έν τουλάχιστο ξ b Εάν 3, τέτοιο ώστε f ( ξ ) f ( ξ ) = f = 3, ν υπολογίσετε το ολοκλήρωμ Ι = g d, R c Ν ρείτε το όριο lim ( ) ΘΕΜΑ 84 Ι (Θέμ 3-4) Έστω η συνεχής συνάρτηση f: R R τέτοι ώστε f()= Αν γι κάθε χ R, ισχύει 3 g = z f() t dt 3 z+ ( ) όπου z = +i C, με, R*, τότε: z a Ν ποδείξετε ότι η συνάρτηση g είνι πργωγίσιμη στο R κι ν ρείτε τη g b Ν ποδείξετε ότι z = z+ z c Με δεδομένη τη σχέση του ερωτήμτος ν ποδείξετε ότι Re z = d Αν επιπλέον f()=>, f(3)= κι >, ν ποδείξετε ότι υπάρχει (,3) τέτοιο ώστε f( )= (Θέμ 4-4) wwwsamarasinfo

23 ΘΕΜΑ 85 Θεωρούμε τη συνάρτηση f : µε f m 4 5 a Ν ρείτε τον m ώστε f γι κάθε R = +, όπου m R, m > b Αν m =, ν υπολογισθεί το εμδόν του χωρίου που περικλείετι πό τη γρφική πράστση της f, τον άξον κι τις ευθείες = κι = (Θέμ - ΕΠΑΝ 4) ΘΕΜΑ 86 Δίνετι μι συνάρτηση f: [, ] R συνεχής στο διάστημ [, ] µε f() γι κάθε Re z > Im z [, ] κι μιγδικός ριθμός z µε Re( z), Im ( z) κι z a z = f < f Αν z+ = f ( ) κι z f ( ) b c Η εξίσωση 3 f ( ) f ( ) ΘΕΜΑ 87 + =, ν ποδείξετε ότι: z + = έχει τουλάχιστον µί ρίζ στο διάστημ (, ) (Θέμ 3- ΕΠΑΝ 4) = + t dt Έστω συνάρτηση f συνεχής στο [, + ) IR τέτοι, ώστε f f a Ν ποδείξετε ότι η f είνι πργωγίσιμη στο (, + ) b Ν ποδείξετε ότι f = e ( + ) c Ν ποδείξετε ότι η f() έχει μονδική ρίζ στο [, + ) lim f lim f d Ν ρείτε τ όρι ΘΕΜΑ 88 + κι (Θέμ 4- ΕΠΑΝ 4) Δίνετι η συνάρτηση f με τύπο f = e λ, λ > a Δείξτε ότι η f είνι γνησίως ύξουσ b Δείξτε ότι η εξίσωση της εφπτομένης της γρφικής πράστσης της f, η οποί διέρχετι πό την ρχή των ξόνων, είνι η y = λe Βρείτε τις συντετγμένες του σημείου επφής Μ c Δείξτε ότι το εμδόν Ε(λ) του χωρίου, το οποίο περικλείετι μετξύ της γρφικής πράστσης της f, της εφπτομένης της στο σημείο Μ κι του άξον y y, είνι e E ( λ ) = λ λ Ε( λ) d Υπολογίστε το lim + + ημλ (Θέμ 3-5) 3 wwwsamarasinfo

24 ΘΕΜΑ 89 Έστω μι συνάρτηση f πργωγίσιμη στο γι κάθε R κι f() = a Ν δειχθεί ότι: f b Ν ρεθεί το: + e = ln lim f ( t) dt ημ 5 c Δίδοντι οι συνρτήσεις: h t f t dt κι R τέτοι, ώστε ν ισχύει η σχέση f = e = Δείξτε ότι h() = g() γι κάθε IR 7 g = 7 d Δείξτε ότι η εξίσωση t f () t dt = έχει κριώς μί λύση στο (, ) 8 5 f (Θέμ 4-5) ΘΕΜΑ 9 Δίνετι η συνεχής συνάρτηση a Ν δείξετε ότι: i f = ii f = b Ν ρείτε το λ R έτσι, ώστε: f :, γι την οποί ισχύει + λ( f) lim = 3 + ( f) f lim = 5 > γι c Αν επιπλέον η f είνι πργωγίσιμη με συνεχή πράγωγο στο R κι f f κάθε R, ν δείξετε ότι: i f > γι κάθε ii f d< f (Θέμ 4- ΕΠΑΝ 5) ΘΕΜΑ 9 Θεωρούμε τη συνάρτηση f ( ) = + με a Ν ποδείξετε ότι η f είνι b Ν ποδείξετε ότι υπάρχει η ντίστροφη συνάρτηση f της f κι ν ρείτε τον τύπο της c i Ν ρείτε τ κοινά σημεί των γρφικών πρστάσεων των συνρτήσεων f κι με την ευθεί y = ii Ν υπολογίσετε το εμδόν του χωρίου που περικλείετι πό τις γρφικές πρστάσεις των συνρτήσεων f κι f f (Θέμ - 6) 4 wwwsamarasinfo

25 ΘΕΜΑ 9 + e Δίνετι η συνάρτηση f =, R + e + a Ν μελετήσετε τη συνάρτηση f ως προς τη μονοτονί της στο R b Ν υπολογίσετε το ολοκλήρωμ d f c Γι κάθε < ν ποδείξετε ότι: ( 5 ) ( 7 ) ( 6 f + f < f ) + f ( 8 ) (Θέμ - ΕΠΑΝ 6) ΘΕΜΑ 93 Έστω οι μιγδικοί ριθμοί z, που ικνοποιούν την ισότητ 4 z = z κι η συνάρτηση f με τύπο f = + +, R a Ν ποδείξετε ότι οι εικόνες των μιγδικών z νήκουν στην ευθεί = b Αν η εφπτομένη (ε) της γρφικής πράστσης της συνάρτησης f στο σημείο τομής της με την ευθεί = τέμνει τον άξον yy στο y = 3, τότε i Ν ρείτε το κι την εξίσωση της εφπτομένης (ε) ii Ν υπολογίσετε το εμδόν του χωρίου που περικλείετι μετξύ της γρφικής ΘΕΜΑ 94 πράστσης της συνάρτησης f, της εφπτομένης (ε), του άξον κι της 3 ευθείς = 5 Δίνετι η συνάρτηση f ln ( ) ( ) = + + ln με > a i Ν ποδείξετε ότι: ln ( + ) ln <, > ii Ν ποδείξετε ότι η f είνι γνησίως φθίνουσ στο διάστημ (,+ ) b Ν υπολογίσετε το lim ln + + c Ν ποδείξετε ότι υπάρχει μονδικός ριθμός (,+ ) τέτοιος ώστε (Θέμ 3- ΕΠΑΝ 6) + = + (Θέμ 4- ΕΠΑΝ 6) 5 wwwsamarasinfo

26 ΘΕΜΑ 95 3 Δίνετι η συνάρτηση: = 3 f ημ θ π όπου θ μι στθερά με θ κπ +, κ a Ν ποδειχθεί ότι η f προυσιάζει έν τοπικό μέγιστο, έν τοπικό ελάχιστο κι έν σημείο κμπής b Ν ποδειχθεί ότι η εξίσωση f() = έχει κριώς τρεις πργμτικές ρίζες c Αν, είνι οι θέσεις των τοπικών κροτάτων κι 3 η θέση του σημείου κμπής της f, ν ποδειχθεί ότι τ σημεί Α(, f( )), B(, f( )) κι Γ( 3, f( 3 )) ρίσκοντι στην ευθεί y ημ θ = d Ν υπολογισθεί το εμδόν του χωρίου που περικλείετι πό τη γρφική πράστση της συνάρτησης f κι την ευθεί y = ημ θ (Θέμ 3-7) ΘΕΜΑ 96 Έστω f μι συνεχής κι γνησίως ύξουσ συνάρτηση στο διάστημ [, ] γι την οποί ισχύει f() > Δίνετι επίσης συνάρτηση g συνεχής στο διάστημ [, ] γι την οποί ισχύει g() > γι κάθε [, ] Ορίζουμε τις συνρτήσεις: F = f() t g() t dt, [, ], G = g() t dt, [, ] a Ν δειχθεί ότι F() > γι κάθε στο διάστημ (, ] b Ν ποδειχθεί ότι: f G > F γι κάθε στο διάστημ (, ] F F c Ν ποδειχθεί ότι ισχύει: γι κάθε στο διάστημ (, ] G G() d Ν ρεθεί το όριο: lim ( f(t)g(t)dt ) ( g(t)dt ) + 5 ημt dt (Θέμ 4-7) ΘΕΜΑ 97 Δίνετι η συνάρτηση: f ημ3, a Ν ποδειχθεί ότι lim f = 3 ν < = + + συν, ν π b Αν f = π κι η συνάρτηση f είνι συνεχής στο σημείο =, ν ποδειχθεί ότι = = 3 π c Αν = = 3, ν υπολογισθεί το ολοκλήρωμ f ( ) (Θέμ - ΕΠΑΝ 7) 6 wwwsamarasinfo

27 ΘΕΜΑ 98 Δίνετι η συνάρτηση f e eln =, > a Ν ποδειχθεί ότι η συνάρτηση f() είνι γνησίως ύξουσ στο διάστημ (, + ) b Ν ποδειχθεί ότι ισχύει f e γι κάθε > f t dt f t dt f t dt c Ν ποδειχθεί ότι η εξίσωση () = () + () έχει κριώς μί ρίζ στο διάστημ (, + ) (Θέμ 3- ΕΠΑΝ 7) ΘΕΜΑ 99 Έστω f μι συνάρτηση συνεχής στο 3 R γι την οποί ισχύει 3 () f = + 3 f t dt 45 a Ν ποδείξετε ότι f = b Δίνετι επίσης μι συνάρηση g δυο φορές πργωγίσιμη στο R Ν ποδείξετε ότι g g h g = h h c Αν γι την συνάρτηση f του ερωτήμτος () κι τη συνάρτηση g του ερωτήμτος () g( + h) g + g( h) ισχύει ότι lim = f + 45 κι g h = g =, τότε h i 5 3 Ν ποδείξετε ότι g = ii Ν ποδείξετε ότι η συνάρτηση g είνι ΘΕΜΑ (Θέμ 4-8) Έστω f μι συνεχής συνάρτηση στο διάστημ [, + ) γι την οποί ισχύει f > γι κάθε Ορίζουμε τις συνρτήσεις: F = f() t dt, [, + ), h F =, (, + ) tf () t dt t a Ν ποδείξετε ότι e [ f( t) + F() t ] dt = F() b Ν ποδείξετε ότι η συνάρτηση h είνι γνησίως φθίνουσ στο διάστημ (, + ) c Αν h =, τότε: () i Ν ποδείξετε ότι f () tdt< tf() tdt ii Ν ποδείξετε ότι Ftdt () = () F (Θέμ 4- ΕΠΑΝ 8) 7 wwwsamarasinfo

β ] και συνεχής στο ( a, β ], τότε η f παίρνει πάντοτε στο [ a,

β ] και συνεχής στο ( a, β ], τότε η f παίρνει πάντοτε στο [ a, ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ Σ Λ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ - Ν χρκτηρίσετε τις προτάσεις που κολουθούν, γράφοντς στο τετράδιό σς την ένδειξη σωστό ή λάθος δίπλ στο γράμμ που ντιστοιχεί σε κάθε πρότση

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. 1. y - -2 x + π. f (x) = 3x, x = 1. π y = 9 x - 6. δ. f (x) = x, x0. 4. y = -9 x + 5. (2000-1ο)

ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. 1. y - -2 x + π. f (x) = 3x, x = 1. π y = 9 x - 6. δ. f (x) = x, x0. 4. y = -9 x + 5. (2000-1ο) ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ 6 Α) Αν η συνάρτηση f είνι πργωγίσιµη σε έν σηµείο του πεδίου ορισµού της, ν γρφεί η εξίσωση της εφπτοµένης της γρφ πρ/σης της f στο σηµείο A(,f ( )) Α) Ν ποδείξετε ότι ν µι συνάρτηση f

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ (27 /5/ 2004)

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ (27 /5/ 2004) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ (7 /5/ 4) ΘΕΜΑ ο Α. Έστω μι συνάρτηση f ορισμένη σ' έν διάστημ Δ κι έν εσωτερικό σημείο του Δ. Αν η f προυσιάζει τοπικό κρόττο στο κι είνι πργωγίσιμη

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΚΛΗΣ Γ. ΚΑΤΣΙΜΑΓΚΛΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΟ ΠΡΩΤΟ ΘΕΜΑ ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΟΡΟΣΗΜΟ ΖΩΓΡΑΦΟΥ

ΠΕΡΙΚΛΗΣ Γ. ΚΑΤΣΙΜΑΓΚΛΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΟ ΠΡΩΤΟ ΘΕΜΑ ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΟΡΟΣΗΜΟ ΖΩΓΡΑΦΟΥ ΠΕΡΙΚΛΗΣ Γ ΚΑΤΣΙΜΑΓΚΛΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΟ ΠΡΩΤΟ ΘΕΜΑ ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΚΕΝΤΡΙΚΗ ΔΙΑΘΕΣΗ Τρυλντώνη 8, 577 Ζωγράφου Τηλ: 747344 747395 email:info@orosimoeu wwworosimoeu ISBN: 978-68-873--4 ΕΚΔΟΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

γραπτή εξέταση στo μάθημα ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

γραπτή εξέταση στo μάθημα ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ δυδικό η εξετστική περίοδος πό 9/0/5 έως 9/04/5 γρπτή εξέτση στo μάθημ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Τάξη: Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Τμήμ: Βθμός: Ονομτεπώνυμο: Κθηγητές: Θ Ε Μ Α Α Α. Έστω μι συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2009.

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2009. ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 9. ΘΕΜΑ ο Α. Έστω, Δ. Δικρίνουμε τις περιπτώσεις: Αν =, τότε f( ) = f( ). Αν

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΕΤΑΡΤΗ 20 ΜΑΪΟΥ 2009 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΕΤΑΡΤΗ 20 ΜΑΪΟΥ 2009 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 1 ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΕΤΑΡΤΗ ΜΑΪΟΥ 9 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Θέµ 1ο Α. Έστω µι συνεχής συνάρτηση f ορισµένη σε έν διάστηµ.

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 3: Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. F(x) = f(t)dt Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 3: Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. F(x) = f(t)dt Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ F( = (d [Kεφ:.5 H Συνάρτηση F( = (d Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β Πράδειγμ. lim e d. Ν υπολογίσετε το όριο: ( Έχουμε ( e d

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ 52 ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 8 η ΕΚΑ Α

ΜΑΘΗΜΑ 52 ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 8 η ΕΚΑ Α ΜΑΘΗΜΑ 5 ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 8 η ΕΚΑ Α 7. Έστω συνάρτηση f : R R, η οποί είνι πργωγίσιµη κι κυρτή στο R µε f() κι f () i) Ν ποδείξετε ότι f() γι κάθε R f (t)dt Ν ποδείξετε ότι ηµ Αν επιπλέον ισχύει f () (f()

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2004

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2004 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 4 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑο Α Έστω µι συνάρτηση f ορισµένη σ' έν διάστηµ κι έν εσωτερικό σηµείο του Αν η f προυσιάζει τοπικό κρόττο στο κι είνι πργωγίσιµη

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2004

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2004 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 4 ΘΕΜΑο Α Έστω µι συνάρτηση f ορισµένη σ' έν διάστηµ κι έν εσωτερικό σηµείο του Αν η f προυσιάζει τοπικό κρόττο στο κι είνι πργωγίσιµη στο σηµείο

Διαβάστε περισσότερα

ΚΑΡΑΓΕΩΡΓΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ - ΜΑΥΡΑΓΑΝΗΣ ΣΤΑΘΗΣ

ΚΑΡΑΓΕΩΡΓΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ - ΜΑΥΡΑΓΑΝΗΣ ΣΤΑΘΗΣ ΚΑΡΑΓΕΩΡΓΟ ΒΑΙΗ - ΜΑΥΡΑΓΑΝΗ ΤΑΘΗ ΠΑΝΕΗΝΙΕ ΕΞΕΤΑΕΙ 5 - - Οι πρκάτω σημειώσεις βσίστηκν στ έντυπ του Κ.Ε.Ε. (999 ) κι στη θεμτοδοσί των Πνελλδικών Εξετάσεων στ Μθημτικά Κτεύθυνσης της Γ υκείου. τις επόμενες

Διαβάστε περισσότερα

Τα παρακάτω είναι τα κυριότερα θεωρήματα και ορισμοί από το σχολικό βιβλίο ακολουθούμενα από δικά μας σχόλια. 1 ο ΠΡΩΤΟ. www.1proto.gr. www.1proto.

Τα παρακάτω είναι τα κυριότερα θεωρήματα και ορισμοί από το σχολικό βιβλίο ακολουθούμενα από δικά μας σχόλια. 1 ο ΠΡΩΤΟ. www.1proto.gr. www.1proto. 1 Τ πρκάτω είνι τ κυριότερ θεωρήμτ κι ορισμοί πό το σχολικό βιβλίο κολουθούμεν πό δικά μς σχόλι. 1 ο ΠΡΩΤΟ 2 Συνρτήσεις Γνησίως μονότονη συνάρτηση Μι γνησίως ύξουσ ή γνησίως φθίνουσ συνάρτηση λέμε ότι

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΑΠΟΣΤΑΣΗ ΥΟ ΣΗΜΕΙΩΝ ( ) = +. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x x ( ) ( ) ΙΑΜΑΝΤΟΠΟΥΛΟΣ ΘΥΜΙΟΣ 1

ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΑΠΟΣΤΑΣΗ ΥΟ ΣΗΜΕΙΩΝ ( ) = +. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x x ( ) ( ) ΙΑΜΑΝΤΟΠΟΥΛΟΣ ΘΥΜΙΟΣ 1 ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΑΠΟΣΤΑΣΗ ΥΟ ΣΗΜΕΙΩΝ Υπενθυµίζουµε ότι ν στ σηµεί Α, Β ενός άξον ντιστοιχίζοντι οι πργµτικοί ριθµοί, ντίστοιχ τότε: ( ΑΒ) = Β Α Α Β Σχετικά µε την πόστση δύο σηµείων στο κρτεσινό

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΜΠΤΗ 30 ΜΑΪΟΥ 2002 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΜΠΤΗ 30 ΜΑΪΟΥ 2002 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΜΠΤΗ 3 ΜΑΪΟΥ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑ o A. Έστω µι συνεχής συνάρτηση σ' έν διάστηµ [, ]. Αν G είνι µι πράγουσ

Διαβάστε περισσότερα

1995 ΘΕΜΑΤΑ ίνονται οι πραγµατικοί αριθµοί κ, λ µε κ < λ και η συνάρτηση f(x)= (x κ) 5 (x λ) 3 µε x. Να αποδείξετε ότι:, για κάθε x κ και x λ.

1995 ΘΕΜΑΤΑ ίνονται οι πραγµατικοί αριθµοί κ, λ µε κ < λ και η συνάρτηση f(x)= (x κ) 5 (x λ) 3 µε x. Να αποδείξετε ότι:, για κάθε x κ και x λ. 995 ΘΕΜΑΤΑ. ίνοντι οι πργµτικοί ριθµοί κ, λ µε κ < λ κι η συνάρτηση f() ( κ) 5 ( λ) µε. Ν ποδείξετε ότι: ) f () f() 5 κ, γι κάθε κ κι λ. λ ) Η συνάρτηση g() ln f() στρέφει τ κοίλ προς τ κάτω στο διάστηµ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ 2

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ 2 - 7 - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ. ίνετι η συνάρτηση f η οποί είνι συνεχής στο διάστηµ [, ]. Ν ποδείξετε ότι υπάρχει έν τουλάχιστον ξ (, τέτοιο, ώστε: ξ f(d=ξf(ξ. ( Θ. Rolle στην F(= f( d. ίνετι

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ Έστω η πργωγίσιμη συνάρτηση f: (, + ) R γι την οποί ισχύει η σχέση f() yf(y) = yf + y y γι κάθε, y (, + ) i. Ν δειχθεί ότι η f είνι στθερή στο (, + ). ii. Εάν iii.

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΗΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΘΕΩΡΗΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 1 ΘΕΩΡΗΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 1. ) Πότε µι συνάρτηση µε Πεδίο ορισµού το Α ονοµάζετι περιοδική; β) Ποιο είνι το πεδίο ορισµού κι η περίοδος των συνρτήσεων ηµx, συνx, εφx κι σφx;. Περιοδική ονοµάζετι

Διαβάστε περισσότερα

Θέμα: Ολοκληρώματα. Υπολογισμός ολοκληρωμάτων. Μέθοδοι ολοκλήρωσης. Εμβαδά. Η συνάρτηση που ορίζεται από ολοκλήρωμα

Θέμα: Ολοκληρώματα. Υπολογισμός ολοκληρωμάτων. Μέθοδοι ολοκλήρωσης. Εμβαδά. Η συνάρτηση που ορίζεται από ολοκλήρωμα Θέμ: Ολοκληρώμτ Υολογισμός ολοκληρωμάτων Μέθοδοι ολοκλήρωσης Εμβδά Η συνάρτηση ου ορίζετι ό ολοκλήρωμ Ενλητικές σκήσεις ολοκληρωμάτων ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΩΝ ΜΕ ΕΥΡΕΣΗ ΤΗΣ ΑΡΧΙΚΗΣ ή ΠΑΡΑΓΟΥΣΑΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2010

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2010 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ 5 : Δίνετι η πργωγίσιμη συνάρτηση, με πεδί ρισμύ κι σύνλ τιμών

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ Έστω η πργωγίσιμη συνάρτηση f: (, + ) R γι την οποί ισχύει η σχέση f() yf(y) = yf + y y γι κάθε, y (, + ) i. Ν δειχθεί ότι η f είνι στθερή στο (, + ). ii. Εάν iii.

Διαβάστε περισσότερα

1.3 ΜΟΝΟΤΟΝΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ

1.3 ΜΟΝΟΤΟΝΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ 5 ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 3 ΜΟΝΟΤΟΝΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Μονοτονί συνάρτησης Οι έννοιες γνησίως ύξουσ συνάρτηση, γνησίως φθίνουσ συνάρτηση είνι γνωστές πό προηγούμενη τάξη Συγκεκριμέν,

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ - ΣΕΙΡΕΣ

ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ - ΣΕΙΡΕΣ ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ - ΣΕΙΡΕΣ Το ορισμένο ολοκλήρωμ ή ολοκλήρωμ Riema μις πργμτικής συνάρτησης f με διάστημ ολοκλήρωσης το πεπερσμένο διάστημ [, ], υπάρχει ότν: η f είνι συνεχής στο διάστημ υτό, κθώς

Διαβάστε περισσότερα

ΕΚΘΕΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ f (x)=α x,α>0 και α 1 λέγεται εκθετική συνάρτηση

ΕΚΘΕΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ f (x)=α x,α>0 και α 1 λέγεται εκθετική συνάρτηση ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΜΕ ΕΚΘΕΤΗ ΡΗΤΟ - ΑΡΡΗΤΟ Αν >0, μ κέριος κι ν θετικός κέριος, τότε ορίζουμε: Επιπλέον, ν μ,ν θετικοί κέριοι, ορίζουμε: 0 =0. Πρδείγμτ: 4 4,, 5 5, 4 0 =0. Γενικότερ μπορούμε ν ορίσουμε δυνάμεις

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Πηγή: KEE

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Πηγή: KEE 1. Ν ρεθεί η εξίσωση του κύκλου σε κθεµιά πό τις πρκάτω περιπτώσεις: ) έχει κέντρο την ρχή των ξόνων κι κτίν ) έχει κέντρο το σηµείο (3, - 1) κι κτίν 5 γ) έχει κέντρο το σηµείο (-, 1) κι διέρχετι πό το

Διαβάστε περισσότερα

Η έννοια της συνάρτησης

Η έννοια της συνάρτησης Η έννοι της συνάρτησης Τι ονομάζουμε πργμτική συνάρτηση; Έστω Α έν υποσύνολο του R Ονομάζουμε πργμτική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α μι διδικσί (κνόν), με την οποί κάθε στοιχείο A ντιστοιχίζετι σε έν

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ I

ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ I ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ I Σε κθεµιά πό τις πρκάτω περιπτώσεις ν κυκλώσετε το γράµµ Α, ν ο ισχυρισµός είνι ληθής κι το γράµµ Ψ, ν ο ισχυρισµός είνι ψευδής δικιολογώντς συγχρόνως την πάντησή

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικό Διαγώνισµα Μαθηµατικών Γ Λυκείου ΕΠΑΛ

Επαναληπτικό Διαγώνισµα Μαθηµατικών Γ Λυκείου ΕΠΑΛ ΘΕΜΑ Α Επνληπτικό Διγώνισµ Μθηµτικών Γ Λυκείου ΕΠΑΛ Α. Ν δώσετε τον ορισµό της συχνότητς κι της σχετικής συχνότητς µις πρτήρησης x i. (7 Μονάδες) Α. Ν χρκτηρίσετε τις προτάσεις που κολουθούν, γράφοντς

Διαβάστε περισσότερα

ίνονται οι πραγµατικές συναρτήσεις f, g µε πεδίο ορισµού το έχουν πρώτη και δεύτερη παράγωγο και g(x) f(α) g(α) f(x) g (x) για κάθε x { α}

ίνονται οι πραγµατικές συναρτήσεις f, g µε πεδίο ορισµού το έχουν πρώτη και δεύτερη παράγωγο και g(x) f(α) g(α) f(x) g (x) για κάθε x { α} 1997 ΘΕΜΑΤΑ 1 ίνοντι οι πργµτικές συνρτήσεις f, g µε πεδίο ορισµού το έχουν πρώτη κι δεύτερη πράγωγο κι πργµτικός ριθµός Θέτουµε Α f() g(), που γι κάθε Έστω κι Β f () Α g () Αν φ g() είνι πργµτική συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ Α Α1. Τι ονομάζεται διάμεσος δ ενός δείγματος ν παρατηρήσεων που έχουν διαταχθεί σε αύξουσα σειρά;

ΘΕΜΑ Α Α1. Τι ονομάζεται διάμεσος δ ενός δείγματος ν παρατηρήσεων που έχουν διαταχθεί σε αύξουσα σειρά; ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ HMEΡΗΣΙΩΝ ΚΑΙ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ (ΟΜΑΔΑ A ) ΚΑΙ ΜΑΘΗΜΑΤΩΝ ΕΙΔΙΚΟΤΗΤΑΣ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΠΕΜΠΤΗ 4 ΜΑΪΟΥ 0 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι ΗΜΕΡΗΣΙΑ ΘΕΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ - ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ - ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ - ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Ιδιότητες πρόσθεσης δινυσµάτων () + = + () ( + ) + γ = + ( + γ) (3) + = (4) + ( ) =. Αν Ο είνι έν σηµείο νφοράς, τότε γι κάθε διάνυσµ ΑΒ έχουµε: AB = OB OA

Διαβάστε περισσότερα

Καρτεσιανές Συντεταγµένες

Καρτεσιανές Συντεταγµένες Γρφική Πράστση Συνάρτησης Κρτεσινές Συντετγµένες Κρτεσινό σύστηµ συντετγµένων ή ορθογώνιο σύστηµ ξόνων O είνι έν σύστηµ δύο κθέτων ξόνων O κι O ( 0 0) µε κοινή ρχή το σηµείο O,. O Ορθοκνονικό σύστηµ ξόνων

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ σε μια σελίδα Α4 ανά έτος.. προσαρμοσμένα στις επιταγές του ΔΝΤ (IMF:.4o μεσοπρόθεσμο.) ( WWF:.εξοικονόμηση πόρων.

ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ σε μια σελίδα Α4 ανά έτος.. προσαρμοσμένα στις επιταγές του ΔΝΤ (IMF:.4o μεσοπρόθεσμο.) ( WWF:.εξοικονόμηση πόρων. ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ σε μια σελίδα Α4 ανά έτος.. προσαρμοσμένα στις επιταγές του ΔΝΤ (IMF:.4o μεσοπρόθεσμο.) ( WWF:.εξοικονόμηση πόρων.) ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ TEXΝΟΛΟΓ. 5... ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος ΜEd: «Σπουδές στην εκπαίδευση»

Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος ΜEd: «Σπουδές στην εκπαίδευση» Η συνάρτηση f() =, 0 Υπερβολή Δύο ποσά λέγοντι ντιστρόφως νάλογ, εάν μετβάλλοντι με τέτοιο τρόπο, που ότν οι τιμές του ενός πολλπλσιάζοντι με ένν ριθμό, τότε κι οι ντίστοιχες τιμές του άλλου ν διιρούντι

Διαβάστε περισσότερα

Εκθετική - Λογαριθµική συνάρτηση

Εκθετική - Λογαριθµική συνάρτηση Εκθετική - ογριθµική συνάρτηση Ορισµός δύνµης µε εκθέτη θετικό κέριο..., νν> ν 0 Ορίζουµε: ν πράγοντες,, γι 0., ν ν Αν ν θετικός κέριος, ορίζουµε: ν -ν. ν µ ν ν µ ν Αν >0, µ κέριος κι ν θετικός κέριος,

Διαβάστε περισσότερα

Qwφιertyuiopasdfghjklzxερυυξnmηq σwωψerβνtyuςiopasdρfghjklzxcvbn mqwertyuiopasdfghjklzxcvbnφγιmλι qπςπζαwωeτrtνyuτioρνμpκaλsdfghςj

Qwφιertyuiopasdfghjklzxερυυξnmηq σwωψerβνtyuςiopasdρfghjklzxcvbn mqwertyuiopasdfghjklzxcvbnφγιmλι qπςπζαwωeτrtνyuτioρνμpκaλsdfghςj Qwφιertuiopasdfghjklzερυυξnmηq σwωψertuςiopasdρfghjklzcvbn mqwertuiopasdfghjklzcvbnφγιmλι qπςπζwωeτrtuτioρμpκaλsdfghςj ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ klzcvλοπbnmqwertuiopasdfghjklz ΤΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

( ) 2.3. ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Ορισμός συνάρτησης:

( ) 2.3. ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Ορισμός συνάρτησης: Πγκόσμιο χωριό γνώσης.3. ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ.3.1. Ορισμός συνάρτησης: 6 Ο ΜΑΘΗΜΑ Συνάρτηση f / A B, ονομάζετι η διδικσί (νόμος ) που ντιστοιχίζει κάθε στοιχείο του συνόλου Α ( πεδίο ορισμού ) σε έν μόνο στοιχείο

Διαβάστε περισσότερα

Βασικό θεώρηµα της παράγουσας Θ.Θ του ολοκληρωτικού λογισµού Μέθοδοι ολοκλήρωσης

Βασικό θεώρηµα της παράγουσας Θ.Θ του ολοκληρωτικού λογισµού Μέθοδοι ολοκλήρωσης ΜΑΘΗΜΑ.5 Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ F() ΘΕΩΡΙΑ. Θεώρηµ f ()d Βσικό θεώρηµ της πράγουσς Θ.Θ του ολοκληρωτικού λογισµού Μέθοδοι ολοκλήρωσης Θεωρί - Σχόλι - Μέθοδοι Ασκήσεις Αν η f είνι µι συνεχής συνάρτηση σε διάστηµ κι

Διαβάστε περισσότερα

ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. Δίνετι η εκθετική συνάρτηση: f a Γι ποιες τιμές του η ) γνησίως ύξουσ; β) γνησίως φθίνουσ; ( ) είνι:. Δίνοντι οι

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ η ΜΟΡΦΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ: Μς ζητούν ν βρούμε την εξίσωση ενός κύκλου Ν βρεθεί η εξίσωση του κύκλου που έχει κέντρο το σημείο: Κ (3, 3) κι τέμνει πό την ευθεί

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΤΥΠΟΥ ΠΟΛΛΑΠΛΗΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ Πηγή: KEE

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΤΥΠΟΥ ΠΟΛΛΑΠΛΗΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ Πηγή: KEE ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΤΥΠΟΥ ΠΟΛΛΑΠΛΗΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ Πηγή: KEE 1. Το σηµείο Μ (-, ) νήκει στη γρµµή µε εξίσωση Α. = = - Γ. = 1. ( ) ( - ) = 1 Ε. = -. Το κέντρο του κύκλου που έχει διάµετρο ΑΒ µε Α

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά θετικής & τεχνολογικής κατεύθυνσης

Μαθηματικά θετικής & τεχνολογικής κατεύθυνσης ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 5 Μθημτικά θετικής & τεχνολογικής κτεύθυνσης Α. Σχολικό βιβλίο, σελ: 94 ΘΕΜΑ Α Α. Σχολικό βιβλίο, σελ: 88 Α. Σχολικό βιβλίο, σελ: 59 Α4. ) ΛΑΘΟΣ β) ΣΩΣΤΟ γ) ΛΑΘΟΣ δ) ΣΩΣΤΟ ε) ΣΩΣΤΟ

Διαβάστε περισσότερα

Π Α Ν Ε Λ Λ Η Ν Ι Ε Σ 2 0 1 3 Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Κ Α T E Y Θ Υ Ν Σ Η Σ

Π Α Ν Ε Λ Λ Η Ν Ι Ε Σ 2 0 1 3 Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Κ Α T E Y Θ Υ Ν Σ Η Σ Π Α Ν Ε Λ Λ Η Ν Ι Ε Σ 3 Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Κ Α T E Y Θ Υ Ν Σ Η Σ Ε ι μ ε λ ε ι : Τ κ η ς Τ σ κ λ κ ο ς o ΘΕΜΑ Π ν ε λ λ δ ι κ ε ς Ε ξ ε τ σ ε ι ς ( 3 ) A. Εστω f μι συνεχης συνρτηση σε εν διστημ [, β].

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ & ΛΥΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ( 2001 2011 ) ΘΕΜΑΤΩΝ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΕΙΣ Ο.Ε.Φ.Ε. ( 2003 2011 )

ΘΕΜΑΤΑ & ΛΥΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ( 2001 2011 ) ΘΕΜΑΤΩΝ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΕΙΣ Ο.Ε.Φ.Ε. ( 2003 2011 ) ΘΕΜΑΤΑ & ΛΥΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ( & ΘΕΜΑΤΩΝ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΕΙΣ Ο.Ε.Φ.Ε. ( Επιμέλεια Συρραφή Θεμάτων Ζαχαριάδης Λάζαρος - Μαθηματικός ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΑΠΟ ΕΩΣ ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΤΑΞΗ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

έλλειψη µε εστίες Ε (- γ, 0), Ε (γ, 0) και σταθερό άθροισµα 2α. 2. * Η εξίσωση

έλλειψη µε εστίες Ε (- γ, 0), Ε (γ, 0) και σταθερό άθροισµα 2α. 2. * Η εξίσωση Γ. ΕΛΛΕΙΨΗ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό - Λάθος» 1. * Η εξίσωση x + y = µε = γ πριστάνει έλλειψη µε εστίες Ε (- γ, 0), Ε (γ, 0) κι στθερό άθροισµ.. * Η εξίσωση x + y = µε = γ πριστάνει έλλειψη µε εστίες

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑ ΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ HMEΡΗΣΙΩΝ ΚΑΙ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ (ΟΜΑ Α A ) ΚΑΙ ΜΑΘΗΜΑΤΩΝ ΕΙ ΙΚΟΤΗΤΑΣ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ (ΟΜΑ Α Β ) ΤΡΙΤΗ 3 IOYNIOY 04 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ:

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΛΟΣ 1ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙ ΕΣ

ΤΕΛΟΣ 1ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙ ΕΣ ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ HMEΡΗΣΙΩΝ ΚΑΙ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ (ΟΜΑ Α A ) ΚΑΙ ΜΑΘΗΜΑΤΩΝ ΕΙ ΙΚΟΤΗΤΑΣ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ (ΟΜΑ Α Β ) ΠΕΜΠΤΗ 4 ΜΑΪΟΥ 01 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ:

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2015

ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2015 ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 05 ΘΕΜΑ Α. Γι μι συνεχή συνάρτηση f ν γράψετε τις τρείς κτηγορίες σημείων, τ οποί εινι πιθνές θέσεις τοπικών κροτάτων. (6 Μονάδες). Ν χρκτηρίσετε τις προτάσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 3 ΘΕΩΡΙΑ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΕΠΙΣΗΜΑΝΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΟ Α ΘΕΜΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ Βγγέλης Α Νικολκάκης Μθημτικός ΛΙΓΑ ΛΟΓΙΑ Η προύσ εργσί μµου δε στοχεύει πλά στο κυήγι του 5,δηλδή τω μµοάδω του

Διαβάστε περισσότερα

Η συνάρτηση F(x)= 13/3/2010 ΘΕΩΡΗΜΑ Αν f είναι συνάρτηση συνεχής σε διάστημα Δ και α είναι ένα σημείο του Δ, τότε

Η συνάρτηση F(x)= 13/3/2010 ΘΕΩΡΗΜΑ Αν f είναι συνάρτηση συνεχής σε διάστημα Δ και α είναι ένα σημείο του Δ, τότε Μθημτικός Η συνάρτηση F()= //200 ΘΕΩΡΗΜΑ Αν f είνι συνάρτηση συνεχής σε διάστημ Δ κι είνι έν σημείο του Δ, τότε η συνάρτηση F()=, Δ είνι μι πράγουσ της f στο Δ. Δηλδή ισχύει: = f() γι κάθε Δ. (H πργώγιση

Διαβάστε περισσότερα

= 1-3 i, να γράψετε στο τετράδιό

= 1-3 i, να γράψετε στο τετράδιό ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΤΑΞΗ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΑΒΒΑΤΟ ΙΟΥΝΙΟΥ 001 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ: ΤΕΣΣΕΡΙΣ (4) ΘΕΜΑ 1o A.1. ίνονται

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. α > α. Γνωρίζουµε ότι για κάθε x ( 0, + ) l οg x. Αυτό σηµαίνει ότι σε κάθε x ( 0, ) l οg x, εποµένως έχουµε τη συνάρτηση:

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. α > α. Γνωρίζουµε ότι για κάθε x ( 0, + ) l οg x. Αυτό σηµαίνει ότι σε κάθε x ( 0, ) l οg x, εποµένως έχουµε τη συνάρτηση: Λυµέν Θέµτ κι Ασκήσεις κ.λ.π. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 Επιµέλει: Σκουφά Σωτήρη Βούρβχη Κώστ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Λογριθµική συνάρτηση >. Γνωρίζουµε ότι γι κάθε ( 0, + ) l οg. Αυτό σηµίνει ότι σε κάθε ( 0, ) Θεωρούµε

Διαβάστε περισσότερα

Ιόνιο Πανεπιστήμιο - Τμήμα Πληροφορικής. Μαθηματικός Λογισμός. Ενότητα: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ- ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ.

Ιόνιο Πανεπιστήμιο - Τμήμα Πληροφορικής. Μαθηματικός Λογισμός. Ενότητα: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ- ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ. Ιόνιο Πνεπιστήμιο - Τμήμ Πληροορικής Μθημτικός Λογισμός Ενότητ: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ- ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Πνγιώτης Βλάμος Αδειες Χρήσης Το πρόν εκπιδευτικό υλικό υπόκειτι σε άδειες χρήσης Cativ Commo

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. 1. Μιγαδικοί αριθμοί

ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. 1. Μιγαδικοί αριθμοί Σελίδα από 4 ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Θετική & Τεχνολογική κατεύθυνση Το παρόν κείμενο αποτελεί μια μορφοποιημένη έκδοση του αρχείου που μας έστειλε ο συνάδελφος Σπύρος Κούρτης.(Επιμέλεια : Μπάμπης

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Αόριστο & Ορισμένο Ολοκλήρωμα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Αόριστο & Ορισμένο Ολοκλήρωμα Ορισμό ΚΕΦΑΛΑΙΟ Αόριστ & Ορισμέν Ολκλήρωμ Αρχική-Πράγυσ Πράγυσ ή Αρχική ή Αντιπράγωγ μι συνάρτηση f, σε έν διάστημ Δ νμάζετι η πργωγίσιμη συνάρτηση F γι την πί ισχύει F ( ) = f ( ) γι κάθε Ξ D π.χ. π.χ.

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΠΑΡΑΓΟΥΣΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ [Αρχική Συνάρτηση του κεφ.3.1 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου].

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΠΑΡΑΓΟΥΣΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ [Αρχική Συνάρτηση του κεφ.3.1 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΠΑΡΑΓΟΥΣΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ [Αρχική Συνάρτηση του κεφ.3. Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ Πράγουσ συνάρτηση ΟΡΙΣΜΟΣ Έστω f μι συνάρτηση ορισμένη σε έν διάστημ.

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΩΝ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. 1 ο δείγμα

ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΩΝ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. 1 ο δείγμα ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΩΝ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ο δείγμα ΘΕΜΑ ο Α. Έστω μία συνάρτηση f συνεχής σε ένα διάστημα α,β. Αν G είναι μία παράγουσα της f στο α,β τότε να αποδείξετε ότι

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΛΟΣ 1ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙ ΕΣ

ΤΕΛΟΣ 1ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙ ΕΣ ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ HMEΡΗΣΙΩΝ ΚΑΙ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ (ΟΜΑ Α A ) ΚΑΙ ΜΑΘΗΜΑΤΩΝ ΕΙ ΙΚΟΤΗΤΑΣ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ (ΟΜΑ Α Β ) ΠΕΜΠΤΗ 24 ΜΑΪΟΥ 202 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ:

Διαβάστε περισσότερα

Ορισμένο ολοκλήρωμα συνάρτησης Η συνάρτηση F( x ) = ( )

Ορισμένο ολοκλήρωμα συνάρτησης Η συνάρτηση F( x ) = ( ) 9 Ορισμένο ολοκλήρωμ συνάρτησης Η συνάρτηση F( = f t dt Θεωρούμε τη συνεχή συνάρτηση f:a R με A = [,] Χωρίζουμε το [,] σε ν ισομήκη υοδιστήμτ ου το κθέν έχει μήκος Δ = Σε κάθε υοδιάστημ ου σχημτίζετι ν

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΡΑΤΗΣ ΑΝΤΩΝΕΑΣ. Περιέχει την ύλη που διδάσκεται στα Μαθηματικά της Κατεύθυνσης στη Γ Λυκείου

ΣΤΡΑΤΗΣ ΑΝΤΩΝΕΑΣ. Περιέχει την ύλη που διδάσκεται στα Μαθηματικά της Κατεύθυνσης στη Γ Λυκείου ΣΤΡΑΤΗΣ ΑΝΤΩΝΕΑΣ Περιέχει την ύλη που διδάσκετι στ Μθημτικά της Κτεύθυνσης στη Γ Λυκείου Στους δσκάλους μου με ευγνωμοσύνη Στους μθητές μου με ελπίδ Κάθε γνήσιο ντίτυπο έχει την ιδιόχειρη υπογρφή του συγγρφέ

Διαβάστε περισσότερα

Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Ορισμοί τω εοιώ κι θεωρήμτ χωρίς πόδειξη ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Πως ορίζετι το σύολο C τω μιγδικώ ριθμώ; Το σύολο C τω μιγδικώ ριθμώ είι έ υπερσύολο του συόλου R τω

Διαβάστε περισσότερα

x 3. Οι περιττές δυνάμεις άνισων αριθμών είναι ομοιοτρόπως άνισες: Αν α, β ε IR

x 3. Οι περιττές δυνάμεις άνισων αριθμών είναι ομοιοτρόπως άνισες: Αν α, β ε IR Σερίφης Κωννος Α. Βσικές γνώσεις Τυτότητες ± ) ± + ± ) 3 3 ± 3 +3 ± 3 + ± ) ++γ) + +γ ++γ+γ - -)+) 3-3 -) ++ ) ν - ν -) ν- + ν- + + ν- + ν- ) 3 + 3 +) -+ ) ν + ν +) ν- - ν- + - ν- + ν- ) ΜΟΝΟ ΓΙΑ ν ΠΕΡΙΤΤΟ.

Διαβάστε περισσότερα

4.1 δες αντίστοιχη θεωρία 4.2. Α) ναι. Β) όχι. 4.3 δες αντίστοιχη θεωρία. 4.4 δες αντίστοιχη θεωρία 4.5 Α Λ Β Σ Γ Σ Δ Σ ,8 θεωρία.

4.1 δες αντίστοιχη θεωρία 4.2. Α) ναι. Β) όχι. 4.3 δες αντίστοιχη θεωρία. 4.4 δες αντίστοιχη θεωρία 4.5 Α Λ Β Σ Γ Σ Δ Σ ,8 θεωρία. ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΛΥΣΕΙΣ 4. δες ντίστοιχη θεωρί 4. Α) νι Β) όχι 4. δες ντίστοιχη θεωρί 4.4 δες ντίστοιχη θεωρί 4.5 Α Λ Β Σ Γ Σ Δ Σ 4. 6 f d f ()g()d f()g() f()g ()d f()d f () f()d f () () () f(g())d f(g( ())

Διαβάστε περισσότερα

AΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ

AΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Αποδείξεις Θεωρίς Γ Λυκείου Κτεύθυσης Θέμ 1 ο [σελ 167 σχ. Βιβλίου] P 1 Έστω το πολυώυμο Έχουμε 1 1 1 lim P lim... AΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

3x 2x 1 dx. x dx. x x x dx.

3x 2x 1 dx. x dx. x x x dx. ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Άσκηση (Υολογισμός του f () d Βσιζόμενος σε Ιδιότητες Ή στην Αρχική της f, η οοί Βρίσκετι ό Κνόνες Πργώγισης) Ν υολογίσετε το ολοκλήρωμ ( + ) d (Θέμ Β) Άσκηση (Υολογισμός του f () d

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑ ΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ HMEΡΗΣΙΩΝ ΚΑΙ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΟΜΑ Α A ΚΑΙ ΜΑΘΗΜΑΤΩΝ ΕΙ ΙΚΟΤΗΤΑΣ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΟΜΑ Α Β ΤΡΙΤΗ 3 IOYNIOY 4 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ:

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ. Το 1ο Θέμα στις πανελλαδικές εξετάσεις

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ. Το 1ο Θέμα στις πανελλαδικές εξετάσεις Επιμέλεια Καραγιάννης Β. Ιωάννης Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Το ο Θέμα στις πανελλαδικές εξετάσεις Ερωτήσεις+Απαντήσεις

Διαβάστε περισσότερα

Θέµατα Μαθηµατικών Θετικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου 1999

Θέµατα Μαθηµατικών Θετικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου 1999 Θέµτ Μθηµτικών Θετικής Κτεύθυνσης Β Λυκείου 999 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Ζήτηµ ο Α. Έστω a, ) κι, ) δύο δινύσµτ του κρτεσινού επιπέδου Ο. ) Ν εκφράσετε χωρίς πόδειξη) το εσωτερικό γινόµενο των δινυσµάτων a κι συνρτήσει

Διαβάστε περισσότερα

1. Έςτω f:r R, ςυνεχήσ ςυνάρτηςη και α,b,c R. Αποδείξτε ότι

1. Έςτω f:r R, ςυνεχήσ ςυνάρτηςη και α,b,c R. Αποδείξτε ότι Έςτω :RR, ςυνεχήσ ςυνάρτηςη κι,,cr Αποδείξτε ότι ) d d β) d d γ) d c c d c c δ) d c c c d ε) d στ) d Απάντηση:, εάν η είνι περιττή d, εάν η είνι άρτι Πρόκειτι γι πολύ βσική άσκηση, που είνι εφρμογή της

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηµατικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης ΚΕΦΑΛΑΙΟ. 1 ο :Μιγαδικοί Αριθµοί

Μαθηµατικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης ΚΕΦΑΛΑΙΟ. 1 ο :Μιγαδικοί Αριθµοί ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο :Μιγαδικοί Αριθµοί. Ποιο σύνολο ονοµάζεται σύνολο των µιγαδικών αριθµών ;. Tι ονοµάζεται µιγαδικός αριθµός; Ποιο είναι το πραγµατικό και ποιο το φανταστικό του µέρος ; 3. Tι ονοµάζεται εικόνα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ 2002 ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ 2002 ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ ο Α) Έστω η συνάρτηση f, η οποία είναι συνεχής στο διάστημα [α,β] με f(α) f(β). Να αποδείξετε ότι για κάθε αριθμό η μεταξύ των f(α) και

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΚΑΤ/ΝΣΗΣ ΘΕΩΡΙΑ - ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΚΑΤ/ΝΣΗΣ ΘΕΩΡΙΑ - ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ Επιμέλει - Κ Μυλωάκης Ν δείξετε ότι: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΚΑΤ/ΝΣΗΣ ΘΕΩΡΙΑ - ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ i γ δi γ δ δ γ i Γι το πολλπλσισμό δύο μιγδικώ i κι γ δi έχουμε: i γ δi γ δi i γ δi γ δi γi i δi γ δi γi δi γ δi γi δ γ δ

Διαβάστε περισσότερα

αριθμών Ιδιότητες της διάταξης

αριθμών Ιδιότητες της διάταξης Ανισότητες Διάτξη πργμτικών ριθμών Ιδιότητες της διάτξης Διάτξη (σύγκριση) δύο ριθμών. Πώς μπορούμε ν συγκρίνουμε δύο ριθμούς κι ; Απάντηση Ο ριθμός είνι μεγλύτερος του (συμολικά > ), ότν η διφορά είνι

Διαβάστε περισσότερα

2.1 Πολυώνυμα. 1 η Μορφή Ασκήσεων: Ασκήσεις στις βασικές έννοιες του πολυωνύμου. 1. Ποιες από τις παρακάτω παραστάσεις είναι πολυώνυμα του x i.

2.1 Πολυώνυμα. 1 η Μορφή Ασκήσεων: Ασκήσεις στις βασικές έννοιες του πολυωνύμου. 1. Ποιες από τις παρακάτω παραστάσεις είναι πολυώνυμα του x i. . Πολυώνυμ η Μορφή Ασκήσεων: Ασκήσεις στις βσικές έννοιες του πολυωνύμου. Ποιες πό τις πρκάτω πρστάσεις είνι πολυώνυμ του i. ii. iii. iv. v. vi. 5 Σύμφων με τον ορισμό πολυώνυμ του είνι οι πρστάσεις i,

Διαβάστε περισσότερα

23 2011 ΘΕΜΑ Α A1. Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα Δ και x 0 ένα εσωτερικό σημείο του Δ. Αν η f παρουσιάζει τοπικό ακρότατο στο x 0 και είναι παραγωγίσιμη στο σημείο αυτό, να αποδείξετε ότι:

Διαβάστε περισσότερα

ν ν = α 0 α β = ( ) β α = α ( α β)( α β)

ν ν = α 0 α β = ( ) β α = α ( α β)( α β) Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ν 0 ν = 1 = β β ν 1= ν µ = ν + µ ν ν µ 1 µ = ν = ν ( ν ) µ ν ν = ν µ β = β ( β) ν = ν βν ν > 0 τότε 2 = β = β β = β Ιδιότητες υνάµεων ν > β τότε + γ > β+ γ. ν > β κι γ > δ τότε + γ > β+ δ.

Διαβάστε περισσότερα

ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ. Άσκηση 1.

ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ. Άσκηση 1. ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Άσκηση 1. Δύο μηχνικά κύμτ ίδις συχνότητς διδίδοντι σε ελστική χορδή. Αν λ 1 κι λ 2 τ μήκη κύμτος υτών των κυμάτων ισχύει: ) λ 1 λ 2 γ) λ 1 =λ 2 Δικιολογήστε την πάντησή

Διαβάστε περισσότερα

Σημειωση Αν καποια προταση απο τις επομενες χρησιμοποιηθει χρειαζεται αποδειξη. Εξαιρεση αποτελουν οι(3),(13),(21)

Σημειωση Αν καποια προταση απο τις επομενες χρησιμοποιηθει χρειαζεται αποδειξη. Εξαιρεση αποτελουν οι(3),(13),(21) È Ö Ñ Ø Ä Ó Ù Ð ËÕÓÐ ËÑ ÖÒ ¾½ÆÓ Ñ ÖÓÙ¾¼¼ È Ö ØÛÔ Ö Ð Ñ ÒÓÒØ Ñ Ö ÔÖÓØ Ñ Ö Ð ÑÑ Ø ÕÖ Ñ È ÖÐ Ý Ø Ü Ø ØÓÑ Ñ Ø ÙÒ Ø ³ÄÙ ÓÙº Σημειωση Αν κποι προτση πο τις επομενες χρησιμοποιηθει χρειζετι ποδειξη. Εξιρεση ποτελουν

Διαβάστε περισσότερα

ΔΟΚΙΜΙΑ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗΣ ΜΕ ΘΕΜΑΤΑ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Η συμβολή των γεωμετρικών αναπαραστάσεων στην απόδειξη μαθηματικών προτάσεων

ΔΟΚΙΜΙΑ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗΣ ΜΕ ΘΕΜΑΤΑ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Η συμβολή των γεωμετρικών αναπαραστάσεων στην απόδειξη μαθηματικών προτάσεων y y=e y= ð 3 e Ä Ã Å 2 y = ln lnð 1 O A Â 1 lnð 2 e 3 ð 4 Δημήτρης Α. Ντρίζος Σχολ. Σύμ. Μθημτικών ΔΟΚΙΜΙΑ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗΣ ΜΕ ΘΕΜΑΤΑ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Η συμολή των γεωμετρικών νπρστάσεων στην πόδειξη μθημτικών προτάσεων

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις 1 ης Εργασίας 1. Γράψτε και σχεδιάστε ποιοτικά στο ίδιο διάγραµµα καθένα από τα επόµενα

Λύσεις 1 ης Εργασίας 1. Γράψτε και σχεδιάστε ποιοτικά στο ίδιο διάγραµµα καθένα από τα επόµενα Λύσεις ης Εργσίς. Γράψτε κι σχεδιάστε ποιοτικά στο ίδιο διάγρµµ κθέν πό τ επόµεν v δινύσµτ στη µορφή x y : () Το διάνυσµ που συνδέει την ρχή του συστήµτος συντετγµένων µε το σηµείο Ρ(,-). () Το διάνυσµ

Διαβάστε περισσότερα

f(x) dx ή f(x) dx f(x) dx

f(x) dx ή f(x) dx f(x) dx ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ Ορισμός. Αν η f είνι ολοκληρώσιμη στο διάστημ [ a, ) ή στο διάστημ (,], τότε ονομάζουμε γενικευμένο ολοκλήρωμ είδους το ολοκλήρωμ της μορφής f() d ή - f() d Ορισμός. Το σημείο

Διαβάστε περισσότερα

2.1 ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΗ ΡΙΖΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ

2.1 ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΗ ΡΙΖΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕΡΟΣ Α. ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΗ ΡΙΖΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ 7. ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΗ ΡΙΖΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΟΡΙΣΜΟΣ Ονομάζουμε τετργωνική ρίζ ενός θετικού ριθμού τον θετικό ριθμό (ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΣ: ) που ότν υψωθεί στο τετράγωνο μς δίνει

Διαβάστε περισσότερα

= 1-3 i, να γράψετε στο τετράδιό σας τους αριθμούς της Στήλης Α και δίπλα σε κάθε αριθμό το γράμμα της Στήλης Β έτσι, ώστε να προκύπτει ισότητα.

= 1-3 i, να γράψετε στο τετράδιό σας τους αριθμούς της Στήλης Α και δίπλα σε κάθε αριθμό το γράμμα της Στήλης Β έτσι, ώστε να προκύπτει ισότητα. ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ Γ ΤΑΞΗ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΑΒΒΑΤΟ ΙΟΥΝΙΟΥ 1 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: ΤΕΣΣΕΡΙΣ (4) ΘΕΜΑ 1o A.1. Δίνονται

Διαβάστε περισσότερα

e 1 1. Μια συνάρτηση f: R R έχει την ιδιότητα: (fof)(x)=2-x για κάθε χє R. Να δείξετε ότι: α) f(1)=1, β) η f αντιστρέφεται, γ) f x lim

e 1 1. Μια συνάρτηση f: R R έχει την ιδιότητα: (fof)(x)=2-x για κάθε χє R. Να δείξετε ότι: α) f(1)=1, β) η f αντιστρέφεται, γ) f x lim ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. Μια συνάρτηση f: R R έχει την ιδιότητα: (fof)()=- για κάθε χє R. Να δείξετε ότι: α) f()=, β) η f αντιστρέφεται, γ) f - ()=-f(), є R., δ ) να λύσετε

Διαβάστε περισσότερα

Πραγματικοί αριθμοί Οι πράξεις & οι ιδιότητες τους

Πραγματικοί αριθμοί Οι πράξεις & οι ιδιότητες τους 0 Πργμτικοί ριθμοί Οι πράξεις & οι ιιότητες τους Βρέντζου Τίν Φυσικός Μετπτυχικός τίτλος ΜEd: «Σπουές στην εκπίευση» 0 1 Πργμτικοί ριθμοί : Αποτελούντι πό τους ρητούς ριθμούς κι τους άρρητους ριθμούς.

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Οι ερωτήσεις Α Ψ του σχολικού βιβλίου [1]

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Οι ερωτήσεις Α Ψ του σχολικού βιβλίου [1] ΛΓΕΒΡ ΛΥΚΕΙΟΥ Οι ερωτήσεις του σχολικού βιβλίου [] Εισγωγικό Κεφάλιο. 9 3 Γι = - 3, η υπόθεση είνι ληθής, ενώ το συμπέρσμ ψευδές Το σύνολο λήθεις της υπόθεσης είνι το = 3, 3, ενώ του συμπεράσμτος είνι

Διαβάστε περισσότερα

Η έννοια του διανύσματος

Η έννοια του διανύσματος Η έννοι του δινύσμτος Από τη γεωμετρί είμστε εξοικειωμένοι με την έννοι του ευθυγράμμου τμήμτος: δύο διφορετικά σημεί Α κι Β μις ευθείς (ε), ορίζουν το ευθύγρμμο τμήμ ΑΒ Έν ευθύγρμμο τμήμ λέγετι προσντολισμένο,

Διαβάστε περισσότερα

lim f(x) =, τότε f(x)<0 κοντά στο x Επιμέλεια : Ταμπούρης Αχιλλέας M.Sc. Mαθηματικός 1

lim f(x) =, τότε f(x)<0 κοντά στο x Επιμέλεια : Ταμπούρης Αχιλλέας M.Sc. Mαθηματικός 1 ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΔΕΥΤΕΡΑ 8 ΜΑΪΟΥ 0 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: ΤΕΣΣΕΡΙΣ (4) ΘΕΜΑ Α Α.

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικά Θέματα Μαθηματικών Γ Λυκείου Κατεύθυνσης

Επαναληπτικά Θέματα Μαθηματικών Γ Λυκείου Κατεύθυνσης 6 Επαναληπτικά Θέματα Μαθηματικών Γ Λυκείου Κατεύθυνσης ΘΕΜΑ Έστω η συνεχής συνάρτηση f : (, ) R τέτοια ώστε για κάθε να ισχύει: t f ( ) dt. f () t te ( ) α) Να αποδείξετε ότι για κάθε ισχύει: β) Να αποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ. Ενότητα 6 ΑΟΡΙΣΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ. Ενότητα 6 ΑΟΡΙΣΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ Ενότητ 6 ΑΡΙΘΜΟΙ ΘΕΩΡΙΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΩΝ Ορισµό ΑΟΡΙΣΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ Έστω f µί συνάρτηση ορισµένη σε έν διάστηµ. Αρχιή συνάρτηση ή πράουσ f στο ονοµάζετι άθε συνάρτηση F που είνι πρωίσιµη στο ι ισχύει

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 5 ΧΡΟΝΙΑ ΕΜΠΕΙΡΙΑ ΣΤΗΝ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Α A. Έστω μια συνάρτηση f, η οποία είναι ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα [α,β]. Αν η f είναι συνεχής στο [α,β]

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΥ ΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΑΠΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ. ΣΧΕΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΥ ΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΑΠΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ. ΣΧΕΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΥ ΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΑΠΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ ΣΧΕΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΝΤΩΝΗΣ ΚΥΡΙΑΚΟΠΟΥΛΟΣ Μθηµτικός Συγγρφές µέλος του Σ της ΕΜΕ Πρόεδρος της Συντκτικής Επιτροπής του περιοδικού «Ευκλείδης Β» ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΥ ΟΡΙΖΟΝΤΑΙ

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 ÔÑÉÐÔÕ Ï

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 ÔÑÉÐÔÕ Ï ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 3 Ε_3.Μλ3ΘΤ(ε) ΤΑΞΗ: ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ: ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΜΑ Α Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Αναλυτικές λύσεις όλων των θεμάτων στα Μαθηματικά των Πανελλαδικών εξετάσεων και των Επαναληπτικών εξετάσεων Θεολόγης Καρκαλέτσης

Αναλυτικές λύσεις όλων των θεμάτων στα Μαθηματικά των Πανελλαδικών εξετάσεων και των Επαναληπτικών εξετάσεων Θεολόγης Καρκαλέτσης Αναλυτικές λύσεις όλων των θεμάτων στα Μαθηματικά των Πανελλαδικών εξετάσεων και των Επαναληπτικών εξετάσεων 9 Θεολόγης Καρκαλέτσης Μαθηματικός teomail@schgr Πρόλογος Στο βιβλίο αυτό περιέχονται όλα τα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ II ΕΠΑ.Λ (ΟΜΑ Α Β ) 2009 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ II ΕΠΑ.Λ (ΟΜΑ Α Β ) 2009 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ II ΕΠΑΛ ΟΜΑ Α Β 9 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ ο Α Έστω µί συνάρτηση ορισµένη σε έν διάστηµ Αν η είνι συνεχής στο ι γι άθε εσωτεριό σηµείο του ισχύει, ν ποδείετε ότι η είνι στθερή σε όο το διάστηµ Μονάδες

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ κατεύθυνσης Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ κατεύθυνσης Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 0 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ κτεύθυνσης Β ΛΥΚΕΙΟΥ Συνοπτικη θεωρι με ποδειξεις Λυμεν θεμτ γι εξετάσεις Θέμτ πό εξετάσεις Βγγέλης Α Νικολκάκης Μθημτικός ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ENOTHTA ΘΕΜΑ ΣΕΛΙΔΕΣ ΤΥΠΟΛΟΓΙΑ-ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ-ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ (1 η σειρά)

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ (1 η σειρά) 9 ΘΕΡΙΝΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ( η σειρά) ΘΕΜΑ ο Α. Έστω η συνάρτηση f με f() ημ. Να αποδείξετε ότι η f είναι παραγωγίσιμη στο και ισχύει f () συν Β. Πότε μια συνάρτηση f λέμε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΘΕΜΑ Α

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΘΕΜΑ Α ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΘΕΜΑ Α Άσκηση i. Έστω μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα Δ. Αν F είναι μια παράγουσα της στο Δ, τότε να αποδείξετε ότι: όλες οι συναρτήσεις της

Διαβάστε περισσότερα

Για παραγγελίες των βιβλίων 2310610920

Για παραγγελίες των βιβλίων 2310610920 Για παραγγελίες των βιβλίων 369 Θέματα Προσομοίωσης Πανελλαδικών D.A.T. ΘΕΜΑ o ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΕΤΑΡΤΗ 3 ΑΠΡΙΛΙΟΥ 8 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ:

Διαβάστε περισσότερα