ΝΕΟ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ. Λύσεις. Θέμα Α. Α1. Σχολικό βιβλίο σελίδα 262. Α2. Σχολικό βιβλίο σελίδα 169. Α3. α) (1) κάτω, (2) το σημείο επαφής τους

Transcript

1 Λύσεις Θέμ Α Α. Σχοικό ιίο σείδ. Α. Σχοικό ιίο σείδ 9. Α. ) () κάτω, () το σημείο επφής τους ) () Α4. ) Σωστό ) Λάθος γ) Λάθος Θέμ Β ν ( ν κ= f(ξ κ )Δ ), f()d Β. Επειδή τ σημεί Α(,), Β(,) νήκουν στη γρφική πράστση της f, έχουμε f()= κι f()=. Δηδή είνι < με f()<f() κι f γνησίως μονότονη, άρ η f είνι γνησίως ύξουσ στο Δ=[,+ ). Έστω Γ(,) C f. Τότε f()= κι έχουμε < f f()<f() <, άτοπο. Άρ το σημείο Γ δεν νήκει στη γρφική πράστση της f. Β. Έχουμε f()= + + = ( ) = = Τότε f()= + + = ( ) +,. H f είνι γνησίως ύξουσ στο [,+ ), οπότε κι -. Άρ ορίζετι η ντίστροφη συνάρτηση f. Γι ν ρούμε την ντίστροφη της f, ύνουμε την εξίσωση f()=y ως προς Δ. Έχουμε f() = y ( ) + = y ( ) = y y y = y = y + Με y, y + y ισχύει Άρ f (y) = y +, y, οπότε η ντίστροφη της f είνι η συνάρτηση f () = +, γι. Β. Η ζητούμενη σύνθεση είνι η g f. Η g() = e ορίζετι, ότν κι μόνο ότν e e e, οπότε το πεδίο ορισμού της Dg=[,+ ). Η f() = ( ) + έχει πεδίο ορισμού Δ=[,+ ). Η g f έχει πεδίο ορισμού Α = { Δ /f() Dg}, δηδή Α = { [, + )/ (χ ) + } Είνι ( ) + ( ) Άρ A'=[,+ ). Γι κάθε A είνι (g f)() = g(f()) = g(( ) + ) = e ( ).

2 Β4. Είνι h() = g () + +e = e +e, >,. Αν > e, τότε < e h() = Απορρίπτετι. <, οπότε (e ) = κι [ e e ] [+ e Αν = e, τότε h() = Αν < < e, τότε < e ] = e e = e +e ( e ) e +( e ) = + =, <, οπότε ( e ) = κι h() = e [e e ] e ( = e ) e [ e + ] ( e ) + Άρ h() = e μόνο γι (, e). e (e ) = e, Απορρίπτετι. 5e 5 = e = e Θέμ Γ Γ. Η f() = e e έχει πεδίο ορισμού A=R. Η u = e είνι πργωγίσιμη στο R, άρ η e u πργωγίσιμη στο R, οπότε η f πργωγίσιμη στο R άρ κι συνεχής με f () = (e e ) = e e ( e ) = e e e = e e + Είνι f () < γι κάθε R, οπότε η f είνι γνησίως φθίνουσ στο R. Γ. Η f () είνι πργωγίσιμη στο R ως γινόμενο πργωγισίμων με f () = ( e e + ) = e e + ( e ) f () = e = e = = Το πρόσημο της f, η κυρτότητ κι το σημείο κμπής της C f φίνοντι στον πίνκ Δηδή, f()< στο (-,) άρ η f είνι κοίη στο (-,] f()> στο (,+) άρ η f είνι κυρτή στο [,+) f()= κι f άζει πρόσημο εκτέρωθεν του = άρ το Σ(,) είνι σημείο κμπής της C f. Γ. Η f είνι συνεχής στο R οπότε δεν έχει κτκόρυφες σύμπτωτες. Η πάγι σύμπτωτη της C f στο -, ν υπάρχει, είνι της μορφής y = + f() Έχουμε: = u = - + f () + f() Σ.Κ. e e = ( e e ) = e =, γιτί ( e ) = = άρ e e = e u = e, άρ = κι u (f() ) = e e = e u = e, άρ = e. u Οπότε η C f έχει στο - οριζόντι σύμπτωτη την ευθεί ε : y = e.

3 Η πάγι σύμπτωτη της C f στο +, ν υπάρχει, είνι της μορφής y = + γ f() Έχουμε: = u = e e ( e ) = άρ (f() ) = = ( e e ) = =, γιτί e e = e e = u eu =, άρ = κι u eu =, άρ γ =. Οπότε η C f έχει στο + οριζόντι σύμπτωτη την ευθεί ε : y =, δηδή τον άξον '. Γ4. Ο πίνκς μετοών της f είνι: - + f() + f'() f() e Σ.Κ. Η γρφική πράστση της f φίνετι στο πρκάτω σχήμ: y e y = e ' Γ5. H f () = e e e είνι συνεχής στο [ln,] κι ισχύει f () <. Άρ Ε = f() d = ln e e e d ln Θέτουμε u = e, άρ du = e d. Γι = ln είνι u = e ln κι γι = είνι u = e =. Άρ E = e u du = [ e u ] = + e = e.

4 Θέμ Δ Δ. f () 5 = G()(G() )f () = [G() 5] () γι κάθε Δ Έστω = ρ > ρίζ της f, (f() > ), οπότε f(ρ) = =ρ κι πό () f (ρ) = [G(ρ) 5] G(ρ) = 5 Η G είνι ρχική της g στο Δ, άρ G () = g() γι κάθε Δ κι G συνεχής ως πρ/μη στο Δ. Αφού g() γι κάθε Δ κι g() όχι πντού στο Δ, είνι G () γι κάθε Δ κι G () δεν είνι πντού στο Δ, άρ G γνησίως φθίνουσ στο Δ. Έχουμε < ρ G() > G(ρ) > 5 Άτοπο. Άρ f() γι κάθε Δ κι f συνεχής στο Δ, οπότε η f διτηρεί πρόσημο στο Δ κι εφόσον f() >, είνι f() > γι κάθε Δ. Από () έχουμε f() = G() 5 γι κάθε Δ. G Είνι > G() < G() 5 < 5, άρ f() = 5 G() γι κάθε Δ. Δ. i. F ρχική της f στο διάστημ Δ, άρ F () = f() γι κάθε Δ, F συνεχής στο Δ κι όγω του Δ. F () = 5 G() γι κάθε Δ. F' πρ/μη στο Δ ως άθροισμ πρ/μων (G ρχική της g στο Δ) Άρ F () = (5 G()) = G () = g() γι κάθε Δ. Αφού g() γι κάθε Δ κι η g() δεν είνι πντού το Δ έχουμε F () γι κάθε Δ κι F () δεν είνι πντού στο Δ. Άρ η F είνι κυρτή στο Δ. F κυρτή στο Δ άρ F' γνησίως ύξουσ στο Δ κι εφόσον F () = f() γι κάθε Δ κι f συνεχής στο Δ, η f είνι γνησίως ύξουσ στο Δ. ii. Η F είνι συνεχής στο[, ]CΔ ως πρ/μη στο Δ Η F είνι πρ/μη στο (,) με F () = f() Άρ πό ΘΜΤ υπάρχει ξ(,) τέτοιο ώστε F (ξ) = F() F() f(ξ) = F(). iii. Από ii. είνι < ξ < F () < F (ξ) < F () () Έχουμε F () = f() = 5 G() = 5, F (ξ) = F(), F () = f() = 5 G(), οπότε () 5 < F() < 5 G() 5 < F() < (5 G()) γι κάθε >. Δ. Έχουμε γνησίως ύξουσ στο [,]CΔ, οπότε f() f() f() (f() f() κι f() f() () Οι συνρτήσεις f() f(), f() f() είνι συνεχείς στο [,] κι δεν είνι πντού φού τ ίσον στις σχέσεις () ισχύουν μόνο γι =, = ντίστοιχ, οπότε ( (f() f()) d > (f() f()) ( )f() < f()d < F' > d > ) f(a)d < ( )f() f() < f()d < f()d f()d < f() (4)

5 Έστω n = f()d οπότε (4) f() < n < f(), δηδή f() f() κι ο ριθμός n ρίσκετι νάμεσ στ f(), f(). Επίσης η f είνι συνεχής στο [,], άρ πό ΘΕΤ υπάρχει (,) τέτοιο ώστε f( ) = n στο [,]. f()d = ( ) f( ) κι είνι μονδικό φού η f είνι γνησίως ύξουσ Δ I. Ι ν + I ν+ = ν+ dt + ν+ dt = ν+ (+ ) dt = ν+ dt = [ ν+ II. Ι = t t + = [ln(t + )] = ln( + ) + Από την () με ν= έχουμε Ι + Ι = Ι = ln( +) ν+ ] ) Έχουμε G () = g() = () γι κάθε + Η Ι () είνι πργωγίσιμη ως άθροισμ κι σύνθεση πργωγισίμων γι κάθε με Ι () = ( ln( +) ) = + = + + = + () = ν+ ν+ () Από () κι () ισχύει G () = ( Ι () ) γι κάθε > κι G(), Ι () συνεχείς στο [,+ ) ως πργωγίσιμες άρ υπάρχει στθερά c R, τέτοι ώστε G() = Ι () γι κάθε ) Η F είνι ρχική της f στο Δ άρ f()d = F() F() = F() (4) Δ ) Είνι f() = 5 G() = 5 + Ι () = 5 + ln( +),, οπότε πό την (4) έχουμε Είνι 7 ln 8 F() = (5 + = 5 + [ ] = 5 + [ ln( +) = ln = ln = ln = ln = 7 ln 8 ln( +) ) d ln( +) d ] + d + d + d + d + d > γι κάθε [,], άρ + + d < 7 ln 8 + F() < 7 ln 8 ( ln( +) ) d d d > + d <