ΘΕΜΑ Α Α1. Έστω συνεχής συνάρτηση f:[ α, β ] με παράγουσα συνάρτηση F. Τι ονομάζεται ορισμένο ολοκλήρωμα της συνάρτησης f από το α έως το β;

Transcript

1 ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ HMEΡΗΣΙΩΝ ΚΑΙ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ (ΟΜΑ Α A ) ΚΑΙ ΜΑΘΗΜΑΤΩΝ ΕΙ ΙΚΟΤΗΤΑΣ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ (ΟΜΑ Α Β ) ΠΕΜΠΤΗ 3 ΜΑΪΟΥ 013 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι ΗΜΕΡΗΣΙΑ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ: ΠΕΝΤΕ (5) ΘΕΜΑ Α Α1. Έστω συνεχής συνάρτηση f:[, ] με πράγουσ συνάρτηση F. Τι ονομάζετι ορισμένο ολοκλήρωμ της συνάρτησης f πό το έως το ; ΤΕΛΟΣ 1ΗΣ ΑΠΟ 5 ΣΕΛΙ ΕΣ Μονάδες 6 Α. Ν χρκτηρίσετε τις προτάσεις που κολουθούν, γράφοντς στο τετράδιό σς, δίπλ στο γράμμ που ντιστοιχεί σε κάθε πρότση, τη λέξη Σωστό, ν η πρότση είνι σωστή ή τη λέξη Λάθος, ν η πρότση είνι λνθσμένη. ) Εάν η τιμή του συντελεστή μετλητότητς είνι κάτω του 10%, ο πληθυσμός του δείγμτος θεωρείτι ομοιογενής. (Μον. ) ) Εάν οι συνρτήσεις f,g:a είνι πργωγίσιμες στο πεδίο ορισμού τους, με g(x) 0, τότε ισχύει: f ' f '(x) g(x) f(x)g '(x) (x) =. g g (x) (Μον. ) γ) Εάν μι συνάρτηση f δεν είνι συνεχής σε έν σημείο x 0 του πεδίου ορισμού της, τότε είνι πργωγίσιμη στο x 0. (Μον. )

2 ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ δ) Ισχύει ότι: ex dx e e = + 1 με 1 κι (Μον. ) ε) ίνοντι οι συνρτήσεις f,g συνεχείς στο [,]. Αν f(x) g(x) γι κάθε x [, ], τότε f(x) dx g(x) dx. (Μον. ) Μονάδες 10 Α3. Ν μετφέρετε στο τετράδιό σς τις πρκάτω ισότητες κι ν τις συμπληρώσετε: ) ημ xdx =... (Μον. 3) ) Αν η συνάρτηση f είνι πργωγίσιμη στο κι c μί στθερά, τότε: (c f) (x)=... γ) Αν * κι x > 0, τότε: (x ) =... (Μον. 3) (Μον. 3) ΘΕΜΑ B ίνετι η συνάρτηση f:(0, + ) με τύπο: Μονάδες 9 f(x) x+ lnx, ν 0< x 1κι = x x x+ 3, ν x > 1 ΤΕΛΟΣ ΗΣ ΑΠΟ 5 ΣΕΛΙ ΕΣ

3 ΑΡΧΗ 3ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ Β1. Ν ρείτε το lm f(x). x 1 - Β. Ν δείξετε ότι Μονάδες 7 lm x 1 + f(x)=4. Μονάδες 10 Β3. Ν ρείτε γι ποιες τιμές του η συνάρτηση f είνι συνεχής στο x 0 =1. ΘΕΜΑ Γ Μονάδες 8 Στον πρκάτω πίνκ προυσιάζοντι οι μισθοί των υπλλήλων μίς ετιρείς (σε εκτοντάδες ): Μισθός (εκτοντάδες ) x Συχνότητ (ριθμός υπλλήλων) ν Σχετική συχνότητ f % Σύνολ ν= x ν Γ1. Ν μετφέρετε στο τετράδιό σς τον πρπάνω πίνκ κι ν τον συμπληρώσετε. Μονάδες 5 Γ. Ν υπολογίσετε τη μέση τιμή x των μισθών των υπλλήλων. Μονάδες 5 Γ3. Τι ποσοστό υπλλήλων έχουν μισθό το πολύ 1000 ; Μονάδες 7 ΤΕΛΟΣ 3ΗΣ ΑΠΟ 5 ΣΕΛΙ ΕΣ

4 ΑΡΧΗ 4ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ Γ4. Ν υπολογίσετε τη δικύμνση s των μισθών των υπλλήλων της ετιρείς. ΘΕΜΑ ίνετι η συνάρτηση f(x) = (x ) (x + ), x,. Μονάδες 8 1. Ν ποδείξετε ότι η πράγωγος της συνάρτησης f είνι f(x) ' = (x )(3x+ ), x. Μονάδες 5. Ν ρείτε τον ριθμό, ν η συνάρτηση f προυσιάζει κρόττο στο x 0 =4. Μονάδες 5 3. Γι =-5, ν μελετήσετε τη συνάρτηση f ως προς τη μονοτονί κι ν ρείτε το είδος κι τις τιμές των κροτάτων. Μονάδες 8 4. ίνοντι οι συνρτήσεις g(x)=3x -1x, x κι h(x)=6x-4, x. Ν ρείτε το εμδόν του χωρίου Ω, που περικλείετι πό τις γρφικές πρστάσεις των συνρτήσεων g(x) κι h(x). Ο ΗΓΙΕΣ ΓΙΑ ΤΟΥΣ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟΥΣ Μονάδες 7 1. Στο τετράδιο ν γράψετε μόνον τ προκτρκτικά (ημερομηνί, εξετζόμενο μάθημ). Ν μην ντιγράψετε τ θέμτ στο τετράδιο.. Ν γράψετε το ονομτεπώνυμό σς στο πάνω μέρος των φωτοντιγράφων μέσως μόλις σς πρδοθούν. εν επιτρέπετι ν γράψετε κμιά άλλη σημείωση. Κτά την ΤΕΛΟΣ 4ΗΣ ΑΠΟ 5 ΣΕΛΙ ΕΣ

5 ΑΡΧΗ 5ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ποχώρησή σς ν πρδώσετε μζί με το τετράδιο κι τ φωτοντίγρφ. 3. Ν πντήσετε στο τετράδιό σς σε όλ τ θέμτ. 4. Ν γράψετε τις πντήσεις σς μόνον με μπλε ή μόνον με μύρο στυλό νεξίτηλης μελάνης. 5. Κάθε πάντηση τεκμηριωμένη επιστημονικά είνι ποδεκτή. 6. ιάρκει εξέτσης: τρεις (3) ώρες μετά τη δινομή των φωτοντιγράφων. 7. Χρόνος δυντής ποχώρησης: π.μ. KΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ ΤΕΛΟΣ ΜΗΝΥΜΑΤΟΣ ΤΕΛΟΣ 5ΗΣ ΑΠΟ 5 ΣΕΛΙ ΕΣ

6 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ I ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ (ΟΜΑΔΑ Α ) ΚΑΙ ΜΑΘΗΜΑΤΩΝ ΕΙΔΙΚΟΤΗΤΑΣ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 013 ΘΕΜΑ Α Α1. Ονομάζω τη στθερή διφορά F( ) F( ) κι το συμολίζω με f ( ) Α. ) Σ, ) Σ, γ) Λ, δ) Λ, ε) Σ Α3. ) xdx [ x] ημ = συν = συν + συν ) ( cf ) ( x) = c f ( x) xdx = 1 γ) ( x ) x ΘΕΜΑ Β Β1. ( ) ( ) Β. lm f x lm x ln x ln1 x 1 x 1 = + = + = ( )( ) ( x + 3) x( x 1)( x+ 3+ ) ( )( ) ( )( ) x x lm f ( x) = lm = lm x 1 x 1 x + 3 x 1 x+ 3 x+ 3 x x 1 x+ 3+ x x 1 x+ 3+ = lm = lm = 1 4 = x 1 x 1 x =

7 Β3. Πρέπει lm f ( x) = lm f ( x) = f ( 1) f ( 1) = 1+ ln1= + x 1 x 1 Άρ πρέπει = 4 δηλ. =± ΘΕΜΑ Γ Γ1. Μισθός (εκτοντάδεςευρώ) x ν Σχετική συχνότητ f Σύνολ ν = % xν f = ν άρ 5 1 ν f = = 0, Γ. Σx ν 450 x = = = 9 εκτοντάδες ευρώ ή 900 ευρώ ν 50 Γ3. το πολύ 1000 ευρώ (δηλ. 10 εκτοντάδες ευρώ στον πίνκ) έχει το 50% + 34% = 84% των υπλλήλων. Γ4. Συμπληρώνω τον πίνκ με τις στήλες: x x ( x x ) ( ) x x ν άρ 700 S = = ΘΕΜΑ Δ Δ1. f ( x) ( x ) ( x ) ( x ) ( x ) ( x )( x ) = = ( x+ ) + ( x ) = ( x )( x ) ( x ) ( x ) ( x a) x ( x )( x x ) ( x )( 3x ) = + + = + + = + + = + =

8 Δ. = Λύνω f ( x) 0 ( x )( 3x+ ) πρέπει ( ) x = 3x + = 0 άρ x= 3 f 4 = 0 άρ = 4 όποτε = 1 άρ = 5 3 ( ) ( )( ) Δ3. γι = 5 f x = x 3x 1 κι μηδενίζετι στ x = x 1 = 4 x 4 + f x + + ( ) f( x ) γνησίως ύξουσ γνησίως φθίνουσ γνησίως ύξουσ Γι κάθε x ( ] Γι κάθε x [,4 ] η Γι κάθε x [ ), η f είνι γνησίως ύξουσ f είνι γνησίως φθίνουσ 4, + η f είνι γνησίως ύξουσ γι γι x = προυσιάζει τοπικό μέγιστο το f ( ) = 0 x = 4 προυσιάζει τοπικό ελάχιστο το f ( 4) = 4 Δ4. Έστω ( ) ( ) ( ) f x = g x h x = 3x 1x 6x+ 4= 3x 18x+ 4 x Λύνω f ( x ) = 0 δηλδή x + 6x+ 8= 0 κι ρίσκω λύσεις x 1 = 4 =

9 Άρ ( ) ( ) ( ) ΕΩ = f x dx = x x + dx = x + x dx = x x / 3 18 [ 4 ] x = = / = = 4 τμ.. Επιμέλει Κθηγητών Φροντιστηρίων Βκάλη