Τετάρτη, 20 Μα ου 2009 Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

Transcript

1 Τετάρτη, Μ ου 9 Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑ o Α. Έστω μί συνάρτηση f ορισμένη σε έν διάστημ Δ. Αν η f είνι συνεχής στο Δ κι γι κάθε εσωτερικό σημείο του Δ ισχύει f (), ν ποδείξετε ότι η f είνι στθερή σε όλο το διάστημ Δ. Μονάδες Β. Πότε μί συνάρτηση f λέγετι πργωγίσιμη σε έν σημείο του πεδίου ορισμού της; Μονάδες 5 Γ. Ν χρκτηρίσετε τις προτάσεις που κολουθούν, γράφοντς στο τετράδιό σς δίπλ στο γράμμ που ντιστοιχεί σε κάθε πρότση τη λέξη Σωστό, ν η πρότση είνι σωστή, ή Λάθος, ν η πρότση είνι λνθσμένη.. Αν z, z είνι μιγδικοί ριθμοί, τότε ισχύει zz z z β. Μί συνάρτηση f με πεδίο ορισμού Α λέμε ότι προυσιάζει (ολικό) ελάχιστο στο A, ότν f() f() γι κάθε A. συν γ. lim δ. Κάθε συνάρτηση f συνεχής σε έν σημείο του πεδίου ορισμού της είνι κι πργωγίσιμη στο σημείο υτό.

2 ε. Αν μί συνάρτηση f είνι συνεχής σε έν διάστημ [, β] κι ισχύει f()< γι κάθε [, β], τότε το εμβδόν του χωρίου Ω που ορίζετι πό τη γρφική πράστση της f, τις ευθείες, β κι τον άξον είνι β Ε(Ω) f()d Α. Θεωρί Σχολικού Βιβλίου σελ. 5 Β. Θεωρί Σχολικού Βιβλίου σελ. Γ.. Σ β. Σ γ. Λ δ. Λ ε. Λ ΘΕΜΑ o Θεωρούμε τους μιγδικούς ριθμούς z(λ+)+(λ )i, λ R Α.. Ν βρείτε την εξίσωση της ευθείς πάνω στην οποί βρίσκοντι οι εικόνες των μιγδικών ριθμών z, γι τις διάφορες τιμές του λ R. Μονάδες 9 β. Από τους πρπάνω μιγδικούς ριθμούς ν ποδείξετε ότι ο μιγδικός ριθμός z i έχει το μικρότερο δυντό μέτρο. Β. Ν βρεθούν οι μιγδικοί ριθμοί w οι οποίοι ικνοποιούν την εξίσωση w +w z όπου z o μιγδικός ριθμός που νφέρετι στο προηγούμενο ερώτημ. Α. z(λ+)+(λ )i, λ R λ+ λ. Έστω Μ(z), z+yi τότε, λ R y λ y άρ οι εικόνες των z νήκουν στην ευθεί ε: y. Μονάδες 8 Μονάδες 8

3 β. ε: y y ε: y Έστω ΟΚ ε, όπου (ΟΚ) ευθεί της μορφής yλ κι φού λε O τότε λοκ λe λοκ λοκ οπότε (ΟΚ): y K(, ) ε : y y y Κ: OK : y y Άρ Κ(, ) συνεπώς ο μιγδικός z i με εικόν το Κ είνι εκείνος πό τους πρπάνω μιγδικούς με το μικρότερο μέτρο. B. w +w z w + yi w +w i +y + yi i + y ( +y + ) yi i y y + ή 4 y y άρ οι ζητούμενοι μιγδικοί είνι οι w+i, w 4+i. ΘΕΜΑ o Δίνετι η συνάρτηση όπου > κι f() ln(+), >, A. Αν ισχύει f() γι κάθε >, ν ποδείξετε ότι e. Μονάδες 8 Β. Γι e,. ν ποδείξετε ότι η συνάρτηση f είνι κυρτή. Μονάδες 5 β. ν ποδείξετε ότι η συνάρτηση f είνι γνησίως φθίνουσ στο διάστημ (,] κι γνησίως ύξουσ στο διάστημ [,+ ). Μονάδες 6 γ. ν β, γ (,) (,+ ), ν ποδείξετε ότι η εξίσωση f(β) f(γ) + έχει τουλάχιστον μι ρίζ στο (,). Μονάδες 6

4 Α. Έστω h()f() h() ln(+), με h() Από υπόθεση έχουμε ότι h() δηλδή h() h() γι κάθε > Οπότε η h προυσιάζει στο ολικό ελάχιστο κι επειδή είνι πργωγίσιμη με h () ln πό Θ.Fermat ισχύει + h () ln ln lnlne e + Β. f()e ln(+), >. Η f είνι πργωγίσιμη στο (,+ ) ως ποτέλεσμ πράξεων μετξύ πργωγισίμων με f ()e +. Η f είνι πργωγίσιμη στο (,+ ) ως ποτέλεσμ πράξεων μετξύ πργωγισίμων με f ()e + >, > (+ ) άρ η f κυρτή στο (,+ ). β. f'() e με προφνής ρίζ το κι επειδή η f () >, + η f (,+ ) συνεπώς το μονδική ρίζ της f (). f γν.υξ. Γι > f () > f () f () > f γν.υξ. Γι < f () < f () f () < + f () + f() f() O.E f(β) f(γ) γ. + (Ι) Η (Ι) στο (,) (,+ ) {,} είνι ισοδύνμη με την [f(β) ]( )+[f(γ) ]( ) Έστω g()[f(β) ]( )+[f(γ) ]( ) συνεχής στο [,] ως πράξεις συνεχών με g() [f(β) ] f(β) < g()f(γ) > γιτί φού ισχύει f(), γι κάθε (,+ ) κι f() κι φού β, γ (,) (,+ ) οπότε f(β) > κι f(γ) > άρ g()g() < οπότε πό Θεώρημ Bolzano η εξίσωση g() άρ κι η ισοδύνμή της (Ι) θ έχει στο (,) μι τουλάχιστον ρίζ. 4

5 ΘΕΜΑ 4o Έστω f μί συνεχής συνάρτηση στο διάστημ [, ] γι την οποί ισχύει (t )f(t)dt Ορίζουμε τις συνρτήσεις H() tf (t)dt, [,], H() f(t)dt+, (,] G() t 6lim, t t. Ν ποδείξετε ότι η συνάρτηση G είνι συνεχής στο διάστημ [,]. Μονάδες 5 β. Ν ποδείξετε ότι η συνάρτηση G είνι πργωγίσιμη στο διάστημ (,) κι ότι ισχύει H() G (), < < Μονάδες 6 γ. Ν ποδείξετε ότι υπάρχει ένς ριθμός (,) τέτοιος ώστε ν ισχύει Η(). Μονάδες 7 δ. Ν ποδείξετε ότι υπάρχει ένς ριθμός ξ (, ) τέτοιος ώστε ν ισχύει ξ tf(t)dt ξ f(t)dt Μονάδες 7. Η G είνι συνεχής στο (,] ως ποτέλεσμ πράξεων μετξύ συνεχών. Εξετάζουμε την συνέχει στο. t ( t ) t Είνι G() 6lim 6lim 6lim t t t t t (+ t ) t (+ 6lim 6 t + t Επίσης limg() H() lim + f(t)dt () H() H() έχουμε lim lim lim(f()) f() DLH t ) 5

6 επίσης lim f(t)dt, φού η συνάρτηση f (t)dt πργωγίσιμη άρ κι συνεχής άρ πό () limg() +G(), οπότε G συνεχής στο, επομένως συνεχής στο [,]. β. H H() tf (t)dt είνι πργωγίσιμη στο [,] φού tf(t) συνεχής στο [,] κι [,], άρ πργωγίσιμη στο (,) [,] H() η πργωγίσιμη στο R άρ κι στο (,), οπότε η πργωγίσιμη στο (,) ως πηλίκο πργωγισίμων συνρτήσεων, η συνάρτηση f (t)dt πργωγίσιμη στο [,], φού η f συνεχής στο [,] κι [,] άρ πργωγίσιμη κι στο (,) [,], οπότε G πργωγίσιμη στο (,) ως πράξεις μετξύ πργωγίσιμων στο (,) με G () H() H() + ( ) f(t)dt+ f(t)dt H() H() f() H() f() f() f() H() H() H() f() f() f(), γι < < γ. Η G είνι συνεχής στο [,] όπως δείξμε στο () ερώτημ, επίσης πργωγίσιμη στο (,) όπως δείξμε στο (β) ερώτημ κι G() κι H() G() f(t)dt+ tf(t)dt f(t)dt+ tf(t)dt f(t)dt + + (t )f(t)dt υπ. (tf(t) f(t))dt + + οπότε G()G() κι σύμφων με Θεώρημ Rolle υπάρχει (,) ώστε G (), Η() δηλδή Η() δ. ( τρόπος) Στο [,] η G είνι συνεχής κι πργωγίσιμη στο (,) (,), φού (,) οπότε σύμφων με Θ.Μ.Τ. υπάρχει ξ (,) ώστε G() G() G() G (ξ) Η() f(t)dt+ Η() f(t)dt 6

7 f(t)dt Η(ξ) δηλδή G (ξ) όμως G (ξ) οπότε ξ Η (ξ) ξ f(t)dt ξ Η(ξ) ξ f (t)dt tf(t)dt ξ f (t)dt. (β τρόπος) Αρκεί ν δείξουμε ότι μί τουλάχιστον ρίζ ξ (,) η εξίσωση H () tf (t)dt f(t)dt Η() f (t)dt G ()+ f (t)dt δηλδή G() + f(t)dt (Ι) Θεωρούμε την Κ() G () + f (t)dt (πό(β)) f(t)dt, [,] που είνι συνεχής στο [,] κι πργωγίσιμη στο (,) όπως είδμε στ προηγούμεν ερωτήμτ με Κ()G()+, Κ()G()+ H() f (t)dt f (t)dt ++ f (t)dt+, οπότε Κ()Κ() κι σύμφων με το Θεώρημ Rolle υπάρχει ξ (,) ώστε Κ (ξ), δηλδή Κ (), οπότε κι η (Ι) έχει λύση στο (,). ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ Τ σημερινά θέμτ κλύπτουν μεγάλο κι ουσιώδες μέρος της εξετστές ύλης κι δικρίνοντι ως προς τον βθμό κλιμκούμενης δυσκολίς, στην σειρά των ερωτημάτων σε κάθε ζήτημ. Ειδικά το 4 ο ΘΕΜΑ πιτεί ξεχωριστή συνθετική κι κριτική ικνότητ κι ο τρόπος ντιμετώπισής του θ κρίνει το ποσοστό υψηλών βθμολογιών. 7