3ο Επαναληπτικό διαγώνισμα στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου Θέμα A

Transcript

1 3ο Επνληπτικό διγώνισμ στ Μθημτικά κτεύθυνσης της Γ Λυκείου Θέμ A Α1 Έστω f μι συνεχής συνάρτηση σ έν διάστημ β ν ποδείξετε ότι: f t dt G β G Α Πότε μι συνάρτηση λέγετι 1-1; Α3 Πότε μι συνάρτηση f είνι πργωγίσιμη σε έν κλειστό διάστημ,β,β Αν G είνι μι πράγουσ της f στο,β, μονάδες 7 του πεδίου ορισμού της; ΑΝ χρκτηρίσετε τις προτάσεις που κολουθούν, γράφοντς στο τετράδιό σς την ένδειξη Σωστό ή Λάθος δίπλ στο γράμμ που ντιστοιχεί σε κάθε πρότση h g f h g f κι ισχύει ) Αν f, g, h είνι τρεις συνρτήσεις κι ορίζετι η τότε ορίζετι κι η h g f h g f β) Αν είνι lim f, τότε lim f γ) Αν η συνάρτηση f είνι πργωγίσιμη στο κι δεν είνι ντιστρέψιμη, τότε υπάρχει κλειστό διάστημ,β, στο οποίο η f ικνοποιεί τις προϋποθέσεις του θεωρήμτος Rolle δ) Αν μι συνάρτηση f είνι κυρτή σε έν διάστημ Δ, τότε η εφπτομένη της γρφικής πράστσης της f σε κάθε σημείο του Δ βρίσκετι «πάνω» πό τη γρφική της πράστση ε) Γι κάθε συνάρτηση f, συνεχή στο,, ισχύει: ν f d, τότε f στο, μονάδες 5 Θέμ Β Έστω δύο φορές πργωγίσιμη συνάρτηση f : Στο διπλνό σχήμ δίνετι η γρφική πράστση της πργώγου της f στο διάστημ 1,5 Β1 ) Ν προσδιορίσετε τ διστήμτ στ οποί η f είνι γνησίως ύξουσ, γνησίως φθίνουσ κι ν βρείτε τις θέσεις τοπικών κροτάτων της 1,5 ) ( στο β) Ν προσδιορίσετε τ διστήμτ στ οποί η f είνι κυρτή, κοίλη κι τις θέσεις των σημείων κμπής της 1,5 ) ( στο Β Έστω ότι η f, είνι πολυώνυμο τετάρτου βθμού ) Ν βρείτε την f κι ν σχεδιάσετε την υπόλοιπη γρφική της πράστση μονάδες 5 β) Ν βρείτε την f, ν επιπλέον γνωρίζετε ότι f 1 γ) Ν κάνετε μι πρόχειρη γρφική πράστση της f Θέμ Γ Δίνετι πργωγίσιμη συνάρτηση f : με συνεχή πρώτη πράγωγο, γι την οποί ισχύει ότι: f e γι κάθε, f 1 f 1 κι Γ1 Ν δείξετε ότι f e, f

2 1 Γ Ν ποδείξετε ότι f d f d, 1 Γ3 Ν υπολογίσετε το εμβδόν του χωρίου που περικλείετι πό την γρφική πράστση της f, τους άξονες, y y κι την ευθεί 1 μονάδες Γ Ν ποδείξετε ότι η f ντιστρέφετι κι στη συνέχει ν υπολογίσετε το Γ5 Ν ποδείξετε ότι η εξίσωση f 18 έχει κριβώς μί ρίζ f d Γ6 Ν ποδείξετε ότι υπάρχει ξ,1 τέτοιο, ώστε Θέμ Δ Δίνετι συνάρτηση Η f είνι κυρτή στο, f 1 1 f 1 5h f 1 h lim h h συν ξ 1 f ξ ημ ξ 1 f ξ 1 ξ f :, δύο φορές πργωγίσιμη γι την οποί ισχύουν: f 1 Θεωρούμε επίσης τη συνάρτηση g, 1 1 Δ1 Ν μελετήσετε την f ως προς την κυρτότητ Δ Ν μελετήσετε την g ως προς τη μονοτονί Δ3 Αν G ρχική της g στο 1, τότε: ) Ν λύσετε την νίσωση G8 6 G8 5 G 6 G 5 μονάδες 7 1 G G f 1, 1 έχει κριβώς μι ρίζ στο β) Ν δείξετε ότι η εξίσωση 1, Στέλιος Μιχήλογλου

3 Λύσεις Θέμ Α Α1 Η συνάρτηση F f tdt είνι μι πράγουσ της f στο,β πράγουσ της f στο,β, θ υπάρχει c τέτοιο, ώστε Επειδή κι η G είνι μι G F c (1) Από την (1), γι, έχουμε G F c f tdt c c, οπότε c G Επομένως, G F G οπότε, γι, έχουμε β κι άρ f t dt G β G G F G f t dt G Α Μι συνάρτηση f :A λέγετι συνάρτηση 1 1, ότν γι οποιδήποτε 1, A συνεπγωγή: ν 1, τότε f f 1 ισχύει η Α3 Η f είνι πργωγίσιμη σε έν κλειστό διάστημ, του πεδίου ορισμού της, ότν είνι πργωγίσιμη στο, Α ) Σ β) Σ γ) Σ δ) Λ ε) Λ κι επιπλέον ισχύει Θέμ Β Β1 ) Στ διστήμτ 1, κι 1, είνι f f lim κι f f lim f κι επειδή η f είνι συνεχής, είνι γνησίως φθίνουσ σε κθέν πό τ διστήμτ 1, κι 1, + + f TM Στ διστήμτ,1 κι,5 είνι f κι επειδή η f TE 1 TE 1 είνι συνεχής, είνι γνησίως ύξουσ σε κθέν πό τ διστήμτ,1 κι,5 Η f έχει τοπικό ελάχιστο στ, 1 κι τοπικό μέγιστο στο 1 1 β) Στ διστήμτ 1, κι 3,5 η f είνι γνησίως ύξουσ, άρ η f είνι κυρτή σε κθέν πό τ διστήμτ υτά Στο διάστημ 1,3 η f είνι γνησίως φθίνουσ, άρ η f είνι κοίλη στο διάστημ υτό Η f έχει σημεί κμπής τ 1 1,f κι 3,f 3 Β ) Αν η f είνι πολυώνυμο τετάρτου βθμού, τότε η f είνι τρίτου βθμού 3 Έστω f, Από το σχήμ πρτηρούμε ότι f 1 (1), f, f (3) f () κι Από το σύστημ των (1), (), (3) προκύπτει ότι 1, 5 κι -1 1/ f ΣΚ 3 ΣΚ 3 f 5, άρ 3

4 β) Επειδή η f είνι πολυώνυμο 3ου βθμού, δεν έχει σύμπτωτες 3 lim f lim κι lim f lim γ) f 5 f f c, c f 1 c 1 άρ f 1, iείνι f 1, f, f 1, f 3, f κι f 5 1 Συγκεντρωτικά οι μετβολές της f στο διάστημ 1,5 φίνοντι στον πρκάτω πίνκ Επειδή lim f lim f -1 1/ ΤΜ f ΣΚ ΣΚ ΤΕ πράστση έχει την πρκάτω μορφή ΤΕ κι η f ως πολυωνυμική ου βθμού δεν έχει σύμπτωτες, η γρφική της

5 Θέμ Γ Γ1 f e f e Επειδή (1) γι κάθε, είνι f 1 είνι e διτηρεί στθερό πρόσημο Επειδή f e, Γ Είνι f e f1 f 1 Είνι 1 f f f 1 ισότητ, έχουμε: f f Επειδή επιπλέον η f είνι συνεχής, f γι κάθε κι η (1) γίνετι: κι επειδή υπάρχουν τιμές του γι τις οποίες δεν ισχύει η 1 f d 1 f d 1 f 1 1 d f f d f f f d f 1 () f 1 Είνι 1 f 1 f f ισχύει η ισότητ, έχουμε: κι επειδή υπάρχουν τιμές του γι τις οποίες δεν f 1d f d f d f 1 f d f f 1 f d f (3) 1 1 Από τις (), (3) προκύπτει ότι f d f 1 1 f d Γ3 Γι κάθε 1 f f f 1 f 1 Το ζητούμενο εμβδόν είνι το E f d f d f f d f 1 e d 1 e d Θέτουμε u, τότε d du Γι είνι u κι γι 1 είνι u 1 Τότε: 1 1 u 1 u 1 e 1 3 e E 1 e du 1 e 1 Γ Επειδή η f είνι γνησίως ύξουσ είνι 1-1 κι ντιστρέφετι 1 Θέτουμε f y f y κι 1 f y 1 f 1 y 1 Τότε: είνι y y d f y dy Γι 1 e 1 f d yf ydy ye dy e Γ5 Είνι f e Γι κάθε είνι f άρ η f είνι κυρτή στο κοίλη στο, 1 έχει εξίσωση είνι 1 1 f y f y κι γι, κι γι κάθε είνι f f Η εφπτομένη της Cf στο y f f y Επειδή η f είνι κυρτή στο, βρίσκετι πάνω πό κάθε εφπτομένη της στο διάστημ υτό, εκτός του σημείου επφής, άρ f Επειδή η f είνι κοίλη στο του σημείου επφής, άρ f, Επειδή lim είνι κι lim f βρίσκετι κάτω πό κάθε εφπτομένη της στο διάστημ υτό, εκτός Επειδή lim είνι κι lim f

6 Επειδή η f είνι συνεχής κι γνησίως ύξουσ στο έχει σύνολο τιμών το f Επειδή 18f υπάρχει μονδικό 1 τέτοιο, ώστε f 1 18 Γ6 Θεωρούμε τη συνάρτηση h ημ 1f,,1 Η h είνι συνεχής στο,1 ως πράξεις συνεχών συνρτήσεων κι πργωγίσιμη στο h συν 1 f ημ 1 f 1 Είνι h ημ 1f, h1 ημ f 1 1 1, δηλδή h h 1 με το θεώρημ Rolle, υπάρχει ξ,1 τέτοιο, ώστε hξ συνξ 1 f ξ ημ ξ 1 f ξ 1 ξ συν 1 f ημ 1 f 1 ημ 1 f ημ 1 f 1,1 με, άρ σύμφων Θέμ Δ Δ1 Επειδή η f είνι κυρτή στο,, η f είνι γνησίως ύξουσ στο διάστημ υτό f 1 5h f 1 h f 1 5h f 1 f 1 h f 1 lim lim h h h h f 1 5h f 1 f 1 h f 1 lim (1) h h h u khuh f 1 kh f 1 k f 1 u f 1 f 1 u f 1 Είνι lim lim lim k kf 1, άρ η (1) h h h u u u u u k 5f 1 f 1 6f 1 f 1 γίνετι: f 1 Γι κάθε 1 f f 1 f,1 κι γι κάθε 1 f f 1 f 1, f 1 f 1 Δ Η g είνι πργωγίσιμη στο 1, με g 1 Θεωρούμε τη συνάρτηση h f 1 f 1, 1 Η h είνι πργωγίσιμη στο 1, με h f 1 f f f 1 Γι κάθε 1 είνι h h1 1,, οπότε h h1 άρ g γνησίως ύξουσ στο 1, f 1, οπότε η g είνι Δ3 ) Θεωρούμε τη συνάρτηση t G 1 G, 1 Η t είνι πργωγίσιμη στο 1, με t G 1 G g 1 g Είνι 1 κι g γνησίως ύξουσ στο 1,, άρ t t1 1, Επειδή γι κάθε είνι 5 1, είνι κι G 8 6 G 8 5 G 6 G 5 t t 8 5 t g 1 g g 1 g Γινόμενο + +

7 ,, ος τρόπος Θεωρούμε τη συνάρτηση t G8 6 G8 5, Είνι t 16 g g g8 6 g8 5 Επειδή κι g γνησίως ύξουσ στο 1,, είνι g8 6 g8 5 Γι κάθε είνι t t, 1 κι γι κάθε είνι t t, Γι κάθε είνι G8 6 G8 5 G 6 G 5 t t Γι κάθε είνι G8 6 G 8 5 G 6 G 5 t t Δ3 β) 1 ος τρόπος Η εφπτομένη της CG στο είνι η ε: y G G y g G Επειδή η G είνι κυρτή βρίσκετι πάνω πό κάθε εφπτομένη της, άρ G g G f 1 G G 1 G G f 1 με το ίσον ν ισχύει μόνο γι 1 Άρ η εξίσωση ληθεύει μόνο γι ος τρόπος 1 G G f 1, 1 Έστω Είνι f 1 f 1 f 1 1 f 1 1 1g g g Γι κάθε g g 1, Γι κάθε g1 1 Γι κάθε 1 g g 1, Γι κάθε Άρ η είνι η μονδική ρίζ της εξίσωσης 1