ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Δευτέρα 10 Ιουνίου 2019 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ. (Ενδεικτικές Απαντήσεις)

Transcript

1 ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Δευτέρ Ιουνίου 9 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ (Ενδεικτικές Απντήσεις) ΘΕΜΑ Α Α. () Ορισμός σχολικού βιβλίου σελ.5 (β) (i) Μι συνάρτηση f :A έχει ντίστροφη ν η f είνι. (ii) Εφόσον ισχύουν οι προϋποθέσεις του προηγουμένου τότε γι κάθε στοιχείο y του συνόλου τιμών, f (A), της f υπάρχει μονδικό στοιχείο x του πεδίου ορισμού της A γι το οποίο ισχύει f (x) = y. Επομένως ορίζετι μι συνάρτηση g:f (A) με την οποί κάθε y f (A) ντιστοιχίζετι στο μονδικό x A γι το οποίο ισχύει f (x) = y. Από τον τρόπο που ορίστηκε η g προκύπτει ότι: έχει πεδίο ορισμού το σύνολο τιμών f (A) της f έχει σύνολο τιμών το πεδίο ορισμού Α της f κι ισχύει η ισοδυνμί: f (x) = y g(y) = x. Α. Θεώρημ (Fermat) σχολικό βιβλίο σελίδ 4 Α3.Απόδειξη σχολικού βιβλίου σελίδ 35

2 Α4.) Ο ισχυρισμός είνι λάθος. Αιτιολόγηση : Γι πράδειγμ, έστω η συνάρτηση, x f (x) =., x Πρτηρούμε ότι, ν κι f (x) = γι κάθε x (,) (, + ), εντούτοις η f δεν είνι στθερή στο (,) (, + ). (β) Ο ισχυρισμός είνι λάθος Αιτιολόγηση: Γι πράδειγμ η συνάρτηση x +, ν x f (x) = 3, ν x = έχουμε : lim f (x) =, ενώ f () = 3. x Α5). Σωστή επιλογή είνι η γ) ΘΕΜΑ Β Β. Εφόσον η y = είνι οριζόντι σύμπτωτη της f στο ( + ) ισχύει : lim f x = lim e + λ = lim + λ = + λ = λ x e Όμως x + x + x + Β. Θεωρώ τη συνάρτηση, άρ λ= g x = f x x g x = e x +, x. H g συνεχής στο,3 ως πράξη συνεχών συνρτήσεων. e g g( 3) = + = = e e g = e + = e 3 3 g( 3) e lim f x = x + Από Θεώρημ Bolzano υπάρχει τουλάχιστον έν x (,3) ώστε g' x = e γι κάθε x Επίσης Άρ η g γνησίως φθίνουσ, οπότε η x = x μονδική λύση. g x = f x = x

3 Β3. Η f πργωγίσιμη στο με Άρ η f είνι γνησίως φθίνουσ στο Το πεδίο ορισμού της f f ' x = e γι κάθε x είνι το σύνολο τιμών της f, οπότε είνι κι κι ντιστρέφετι. Η f συνεχής κι γνησίως φθίνουσ στο Α = (, + ) άρ το σύνολο τιμών της είνι f A = lim f x, lim f x =, + διότι : x + x Από υπόθεση = κι x lim f x x + Επομένως Α = (, + ) f Γι την εύρεση του τύπου της f lim f x = lim + = + x e x έχουμε x = = + = = ( ) = ( ) Άρ f ( x) = ln ( x ) y f x y e y e x ln y x ln y. Β4. Ελέγχουμε κτκόρυφες σύμπτωτες: lim f x = lim ln x = +. + x + x διότι θέτοντς u x Δηλδή u = lim u = lim x = = τότε + + x u + + x x lim ln x = lim ln u = +. Άρ η x = κτκόρυφη σύμπτωτη της C. + f 3

4 ΘΕΜΑ Γ Γ.Αφού η συνάρτηση f είνι πργωγίσιμη στο άρ θ είνι κι συνεχής. Επομένως lim f (x) = + + x lim f (x) = + β x f () = + lim f (x) = lim f (x) = limf (x), () + x x x Άρ λόγω της () θ είνι + = + β = β. f (x) f (x o) f (x) f (x o) Αφού η συνάρτηση f είνι πργωγίσιμη τότε lim = lim x + x x x o o () f (x) f () x x x x ( x )( x + ) lim = lim = lim = x x x κι x = β x f (x) f () e + βx e + x x lim = lim = lim = lim ( e + ) = + x x x x x x D.L.H x Επομένως λόγω της () έχουμε + = =. κι επειδή = β άρ β =. Γ. Γι x έχουμε : f (x) x Γι x έχουμε : = άρ η f γνησίως ύξουσ στο (, + ) x = + άρ η f γνησίως ύξουσ στο (,) f (x) e κι επειδή η f είνι συνεχής στο x =, θ είνι γνησίως ύξουσ στο Α= R. Η f συνεχής κι γνησίως ύξουσ στο Α= R f(α) = ( lim f (x), lim f (x)) = (, + ) φού : x x + e + = + + = + = + e x lim (x ) x, lim (e x) lim ( x) x + x x 4

5 Γ3. i. O ριθμός (μηδέν) νήκει στο σύνολο τιμών της f άρ υπάρχει x το οποίο είνι μονδικό διότι η συνάρτηση είνι γνησίως ύξουσ. όμως f ( ) = άρ γι κάθε x ισχύει f ( x) f ( ) f ( x) e κι επειδή υπάρχει άρ x (,) ii. Η εξίσωση f ( x) x f ( x) = με x ( x, ) A τέτοιο ώστε f ( x ) = e επομένως το x (, + ) + ισοδύνμ γράφετι: f x x f x = f x f x x = f x = ή f x = x Οι δύο τελευτίες εξισώσεις είνι δύντες στο ( x,+ ) διότι : Γι x ( x, + ) έχουμε x x f x f x f x Γ4. Με βάση το διπλνό σχήμ έχουμε: ΟΚ ΜΚ x(x + ) 3 E = = = (x + x) E άρ = Ε(t) τότε 3 Ε(t) = ((x(t)) + x(t)) 3 Ε '(t) = ((x(t)) + x(t)) = (3(x(t)) x'(t) + x'(t)). Την χρονική στιγμή t = t o,ισχυει Ε '(t o) = (3(x(t o)) x'(t o) + x'(t o)) = (6(x(t o)) + ) = 8τμ / sec. 5

6 ΘΕΜΑ Δ Δ. Εφόσον η ευθεί y = x + είνι η εξίσωση εφπτομένης της f στο σημείο της Α(, ) ισχύει f = κι f = Υπολογίζοντς βρίσκουμε : f = + β άρ + β = H f πργωγίσιμη στο με ( ) x x f ' x = ln x x + + x + f ' x = ln x x f = άρ = κι εφόσον + β = β = Δ. Το ζητούμενο εμβδόν είνι = ( + ) x x + x x + Ε f x x dx Θεωρούμε : φ( x) = f ( x) x + φ( x) = ( x ) ln ( x x + ) φ x x ln x + x διότι x + ln x + με την ισότητ ν ισχύει μόνο γι x = Άρ το εμβδόν είνι : = ( ) ( + ) Θέτω x x y Ε x ln x x dx. x dx = dy x dx = dy x dx = dy. + = οπότε Γι x = : y = κι x = : y = Ε = ln y dy = y ln y dy = yln y y dy yln y dy yln y y ln = y = = 6

7 Δ3. i. Ισχύει ( ) ( ) x x f '( x) = ln ( x x + ) + + = ln ( x ) Πίρνοντς κάθε πράστση χωριστά έχουμε : x x + x + ln x + κι η ισότητ ισχύει μόνο γι x = ( x ) x + κι η ισότητ ισχύει μόνο γι x = Άρ γι κάθε x πίρνουμε : ( ) ( ) x x ln x + + ln x + + f x x + x + Η ισότητ ισχύει γι x =. Πρτήρηση : Θ μπορούσμε ν ποδείξουμε ότι η f έχει ελάχιστο στη θέση x = το χρησιμοποιώντς το πρόσημο κι τις ρίζες της f ii. Ισοδύνμ η προς πόδειξη νίσωση γίνετι 3 3 f λ + + λ ( λ ) ln ( λ λ + ) + f λ + + λ f ( λ) + λ + Άρ ρκεί ν ποδείξουμε την ( ) f λ + f λ f λ + + λ + f λ + λ Θεωρώ τη συνάρτηση k( x) = f ( x) + x, x. Τότε k '( x) = f '( x) + (i) κι η ισότητ ισχύει μόνο γι x = Άρ η k είνι γνησίως ύξουσ επομένως πό την ( ) πίρνουμε πργμτικό ριθμό λ. k:γνησίως ύξουσ kλ + k λ λ + λ η οποί ισχύει γι κάθε 7

8 Πρτήρηση : Το ερώτημ μπορεί ν ντιμετωπιστεί κι με χρήση του θεωρήμτος μέσης τιμής γι την συνάρτηση f στο διάστημ Δ4. λ, λ + Η εξίσωση εφπτομένης της C στο τυχίο σημείο της f Α,f είνι : y f f x y = f x f + f Η εξίσωση εφπτομένης της C στο τυχίο σημείο της g B β,g β είνι : y g β g β x β y = g β x βg β + g β Γι ν έχουν κοινή εφπτομένη θ πρέπει ν τυτίζοντι οι δύο ευθείες δηλδή = g' ( β) f' κι f + f = βg β + g β Από (Δ3. i.) ισχύει f '( x) γι κάθε x με την ισότητ ν ισχύει μόνο γι x = Επιπλέον, η g' ( x) = 3x γι κάθε x με την ισότητ ν ισχύει μόνο γι x = Άρ f' ( ) g' ( β) γι κάθε,β με την ισότητ ν ισχύει μόνο γι = κι β = Γι = κι β = επληθεύετι κι η f ( ) + f ( ) = βg( β) + g( β) άρ οι γρφικές πρστάσεις των συνρτήσεων f,g έχουν κοινή εφπτομένη στ σημεί Α,f ( ) κι Β,g ( ) η οποί είνι η y = x + 8