4o Επαναληπτικό Διαγώνισμα 2016

Transcript

1 wwwaskisopolisgr ΘΕΜΑ A 4o Επνληπτικό Διγώνισμ 6 Διάρκει: ώρες Α Έστω μι συνάρτηση f πργωγίσιμη σ έν διάστημ,, με εξίρεση ίσως έν σημείο του f διτηρεί πρόσημο στο,,, ν,στο οποίο όμως η f είνι συνεχής Αν η ποδείξετε ότι το f δεν είνι τοπικό κρόττο κι η f είνι γνησίως μονότονη στο (,) Α Πότε το σημείο A, f ονομάζετι σημείο κμπής της γρφικής πράστσης της f; μονάδες 7 Α Έστω f μι συνάρτηση ορισμένη σε έν διάστημ Δ Ποι σημεί ονομάζοντι κρίσιμ σημεί της f στο Δ; Α4 Ν χρκτηρίσετε τις προτάσεις που κολουθούν, γράφοντς στο τετράδιό σς την ένδειξη Σωστό ή Λάθος δίπλ στο γράμμ που ντιστοιχεί σε κάθε πρότση Αν f συνεχής στο, τότε fd fd Αν f,g συνεχής στο, με fd gd, τότε γ Αν συνάρτηση f είνι κυρτή κι δύο φορές πργωγίσιμη στο,τότε f g γι κάθε, f γι κάθε δ Έν τοπικό μέγιστο μις συνάρτησης f, μπορεί ν είνι μικρότερο πό έν τοπικό ελάχιστο της f ε Αν γι μι συνάρτηση f εφρμόζετι το θεώρημ Rolle στο,, τότε εφρμόζετι κι το θεώρημ της μέσης τιμής, στο ίδιο διάστημ μονάδες 5 ΘΕΜΑ Β Έστω η συνεχής συνάρτηση f : R R γι την οποί ισχύουν: f lim f κι η f είνι γνησίως ύξουσ f f Β Ν ποδείξετε ότι Β Ν ποδείξετε ότι υπάρχει μονδικό ξ, τέτοιο, ώστε η εφπτομένη της γρφικής πράστσης της f στο σημείο ξ, fξ ν είνι πράλληλη προς τον άξον Β Ν ποδείξετε ότι f fξ γι κάθε Β4 Αν F ρχική της f κι fξ, ν ποδείξετε ότι η εξίσωση F F μονάδες 8 μονάδες 5

2 wwwaskisopolisgr έχει κριώς μι ρίζ στο διάστημ, ΘΕΜΑ Γ f 6 ln, Έστω η συνάρτηση Γ Ν ποδείξετε ότι η f έχει ολικό ελάχιστο Γ Αν η θέση ελχίστου της f, ν ποδείξετε ότι, Γ Ν ρείτε το πλήθος των ριζών της εξίσωσης 6ln 6 μονάδες 8 μονάδες 8 μονάδες 5 Γ4 Ν υπολογίσετε το εμδόν του χωρίου που περικλείετι πό τη C, τον άξον κι f τις ευθείες κι ΘΕΜΑ Δ Δίνετι συνάρτηση f πργωγίσιμη στο f f e f γι κάθε, με σύνολο τιμών το, κι f Δ Ν ποδείξετε ότι η f είνι γνησίως ύξουσ στο, Δ Ν ποδείξετε ότι f e f γι κάθε Δ Ν ποδείξετε ότι η f είνι ντιστρέψιμη κι ν ρείτε την ντίστροφή της Δ4 Ν υπολογίσετε το εμδόν Eλ της f, την εφπτομένη της στο Δ5 Ν υπολογίσετε το όριο lim Ε λ λ γι την οποί ισχύει: μονάδες 5 του χωρίου που περικλείετι πό τη γρφική πράστση κι την ευθεί λe λ, λ > Στέλιος Μιχήλογλου

3 wwwaskisopolisgr ΘΕΜΑ A Α Έστω ότι f() Λύσεις, γι κάθε (, )(,) Επειδή η f είνι συνεχής στο θ είνι γνησίως ύξουσ σε κάθε έν πό τ διστήμτ (, ] κι [,) Επομένως, γι ισχύει f() f() f() Άρ το f() δεν είνι τοπικό κρόττο της f Θ δείξουμε, τώρ, ότι η f είνι γνησίως ύξουσ στο (,) Πράγμτι, έστω, (,) με Αν, (, ], επειδή η f είνι γνησίως ύξουσ στο (, ], θ ισχύει f() f() Αν, [,), επειδή η f είνι γνησίως ύξουσ στο [,), θ ισχύει f() f() Τέλος, ν, τότε όπως είδμε f() f() f() Επομένως, σε όλες τις περιπτώσεις ισχύει f() f(), οπότε η f είνι γνησίως ύξουσ στο (,) Ομοίως, ν f() γι κάθε (, )(,) Α Έστω μι συνάρτηση f πργωγίσιμη σ έν διάστημ (,), με εξίρεση ίσως έν σημείο του Αν η f είνι κυρτή στο (, ) κι κοίλη στο (,), ή ντιστρόφως, κι η Cf έχει εφπτομένη στο σημείο A(,f()), τότε το σημείο A(,f()) ονομάζετι σημείο κμπής της γρφικής πράστσης της f Α Τ εσωτερικά σημεί του Δ στ οποί η f δεν πργωγίζετι ή η πράγωγός της είνι ίση με το μηδέν, λέγοντι κρίσιμ σημεί της f στο διάστημ Δ Α4 ) Σ ) Λ γ) Λ δ) Σ ε) Σ ΘΕΜΑ Β f h, lim f lim h f B Έστω f f f Είνι lim lim f, τότε f h f h, οπότε B Επειδή η f είνι συνεχής στο,, πργωγίσιμη στο, κι f f υπάρχει, τέτοιο, ώστε f f, σύμφων με το θrolle, Επειδή η f είνι γνησίως ύξουσ, το ξ είνι μονδικό Β Γι κάθε f f f, κι γι κάθε f f f, Η f έχει ελάχιστο στο ξ, άρ f f γι κάθε Β4 Έστω g F F,, Επειδή η F είνι πργωγίσιμη στο, με F f κι η g είνι συνεχής στο Είνι g F F κι g F F Είνι f f γι κάθε, οπότε κι f, είνι κι συνεχής στο διάστημ υτό, οπότε, ως άθροισμ συνεχών συνρτήσεων

4 wwwaskisopolisgr f d f d f f F F g, άρ gg οπότε σύμφων με το ΘBolzano, η εξίσωση g F F έχει τουλάχιστον μι στο Είνι g F f Επειδή f f κι γι κάθε,, είνι g g,, οπότε η προηγούμενη ρίζ είνι μονδική, ΘΕΜΑ Γ f 6 ln 6 6 f 6 f, lim f lim 6ln 6 Γ Η f είνι πργωγίσιμη στο, με Η f είνι πργωγίσιμη στο, με Είνι lim f lim 6ln 6 κι Επειδή η f είνι συνεχής κι γνησίως ύξουσ στο διάστημ, τιμών της είνι f Επειδή f, υπάρχει, τέτοιο, ώστε γνησίως ύξουσ, το είνι η μονδική της ρίζ f Γι κάθε f f f, f κι γι κάθε f f f, 6ln 6, το σύνολο f κι επειδή η f είνι Η f έχει ελάχιστο στο Γ Είνι f 6ln6 κι f είνι συνεχής, η εξίσωση f έχει τουλάχιστον μί ρίζ στο είνι η μονδική ρίζ της f, άρ, f 6ln 6 6 6ln, κι επειδή η, Όμως το 6ln 6 6 ln 6 ln f Γ f, Είνι f f 9 Είνι lim f lim 6 ln, γιτί ln lim ln lim lim lim lim f lim 6 ln DLH Επίσης Επειδή η f είνι συνεχής κι γνησίως φθίνουσ στο, τιμών της είνι το f f, lim f f, Επειδή f υπάρχει μονδικό τέτοιο, ώστε Επειδή η f είνι συνεχής κι γνησίως ύξουσ στο, τιμών της είνι: f f, Επειδή f υπάρχει μονδικό τέτοιο, ώστε Επομένως η εξίσωση f έχει κριώς ρίζες f, το ντίστοιχο σύνολο, το ντίστοιχο σύνολο f

5 wwwaskisopolisgr f Γ4 Είνι f f f ln 4 Όμως e ln ln e ln 4 ln 4 f, άρ γι κάθε, f Επειδή f f 9 ζητούμενο εμδό είνι:, είνι f E f d 6 ln d E d 6 ln d d d γι κάθε, E ln d 6 ln, οπότε το f d 8 E 6 ln ln 6 ln ln ΘΕΜΑ Δ Δ Είνι f t e, κι f γι κάθε φού f, άρ κι f f, f Δ Είνι f f f e f f f e f f f f e f e f f e c, c Γι είνι f f e c c f f f e f e, οπότε f f f e f f e f e γι κάθε Δ Επειδή η f είνι γνησίως ύξουσ στο,, είνι κι κι ντιστρέφετι f e,, άρ f e, Δ4 Γι f Η εφπτομένη της γρφικής πράστσης της f στο e : f f είνι f είνι η ευθεί f f e e f f Είνι f f f f Επειδή η f είνι κοίλη, ρίσκετι κάτω πό κάθε εφπτομένη της στο διάστημ υτό, εκτός έι του σημείου επφής, άρ ρίσκετι κάτω κι πό την ε, οπότε ισχύει: f γι κάθε e E f d f d e e Είνι Επειδή f f κι f e f e d e e d, τότε Γι είνι κι γι e, γι κάθε είνι Τότε, οπότε η f είνι κοίλη στο, έχουμε: e f e e E e e d e d Θέτουμε

6 wwwaskisopolisgr e E e e d E e e d e E e e d e E e e e d e E e e e e e E e e e E e e lim E lim e Δ5 lim E lim e e e e e