just ( u) Πατρόκλου 66 Ίλιον

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "just ( u) Πατρόκλου 66 Ίλιον"

Transcript

1 just f ( u) du it Πτρόκλου 66 Ίλιον group-aei aei.gr

2 Νίκος Σούρµπης - - Γιώργος Βρδούκς Ν χρκτηρίσετε τ πρκάτω, σηµειώνοντς Σ (σωστό) ή Λ (λάθος). Αν z, z C, τοτε zz = zz. Η εξίσωση z+ i = πριστάνει τον κύκλο µε κέντρο το σηµείο Κ ( i) κι κτίν Αν η f διέρχετι πό τ σηµεί A(, ) κι B(,3 ) τότε η f είνι γνησίως ύξουσ. 4. Αν η πργωγίσιµη f έχει µέγιστο γι f = = τότε 5. Αν η f είνι γνησίως ύξουσ στο R τότε ισχύει : f ( ) > > f ( ) 6. Αν ισχύει ότι f ( ) f ( ) τότε 7. Γι κάθε > ισχύει ότι ln > 8. Αν η f εφρµόζει το Θ. Rolle στο [, ] τότε έχει µόνο µι οριζόντι εφπτοµένη 9. Αν η f εφρµόζει το ΘΜΤ στο [, ] τότε δεν έχει οριζόντι εφπτοµένη. Αν lim f <, τότε f < κοντά στο. Ισχύει ότι : ηµ γι κάθε R. Αν γι ισχυει f () > R τότε η f είνι γνησίως ύξουσ στο * R. 3. Έστω f :[, ] R συνεχής µε : f() ( f ) = γι κάθε [, ] τότε η f στθερή. 4. Ισχύει ότι : λ f()d = λ f()d, λ R 5. Αν, R κι ( + i) 8 = + i τότε ( + ) 8 i = i 6. Αν lim f = κι f()> τότε ισχύει ότι lim f = Ισχύει ότι : (+εφ )d= [ εφ] π 4 π π 4 π,, π Αν η f είνι κυρτή στο R τότε η f είνι γνησίως φθίνουσ στο R

3 Νίκος Σούρµπης - - Γιώργος Βρδούκς 9. i v = ή i ή ν v N. Κρίσιµ σηµεί της f λέγοντι οι ρίζες της πργώγου της. y = f. Με δεδοµένο το σχήµ της f ν ρείτε τη µονοτονί, τ κρόττ, τ κοίλ κι τ σηµεί κµπής της f.. Αν η f λλάζει κοίλ στο R τότε έχει σηµείο κµπής 3. Έστω f :[, ] R συνεχής µε ( f ) ( f ) = γι κάθε [,] τότε ισχύει ότι f = Αν η f κοίλη στο τότε f < γι κάθε 5. Αν lim f = + ή, τότε lim f = Η εικόν f ( ) ενός διστήµτος µέσω µις συνεχούς συνάρτησης f είνι διάστηµ. 7. Αν γι κάθε συνεχή συνάρτηση g ισχύει ότι : f =, [,] 8. Στο σύνολο C υπάρχει κριώς ένς µιγδικός z, ώστε f g d = τότε z =. 9. Έστω f µι συνεχής συνάρτηση σε έν διάστηµ [, ]. Αν f γι κάθε [, ], τότε f d >. 3. Αν οι συνρτήσεις f, g είνι πργωγίσιµες σ έν διάστηµ, τότε ισχύει : f g d + f g d = f g 3. Αν οι µιγδικοί z, z έχουν εικόνες ντίστοιχ τ σηµεί Μ, Μ τότε ισχύει : M M = z + z

4 Νίκος Σούρµπης Γιώργος Βρδούκς 3. Αν η συνάρτηση f δυο φορές πργωγίσιµη σε έν διάστηµ κι γι το σηµείο ισχύει f ( ) =, τότε το σηµείο,f ( ) κµπής της γρφικής πράστσης της f. ( ) Α είνι σηµείο 33. Έστω µι συνάρτηση f πργωγίσιµη σε έν διάστηµ (, ) µε εξίρεση ίσως έν σηµείο του τότε το f δεν είνι τοπικό κρόττο.. Αν η f διτηρεί πρόσηµο στο (, ) (, ), 34. Η πόστση των εικόνων δύο µιγδικών ισούτι µε τη διφορά των µιγδικών. 35. Η f = έχει κτκόρυφη σύµπτωτη την =. 36. Αν η f είνι κοίλη στο R τότε η f είνι γνησίως φθίνουσ στο R 37. Αν η f δεν είνι κυρτή στο τότε είνι κοίλη στο. 38. Αν η f είνι συνεχής κι γνησίως µονότονη στο R κι ισχύει ότι f f e d > τότε η f είνι γνησίως ύξουσ στο R f 39. Με δεδοµένο το σχήµ της f κι την g i) H g γνησίως ύξουσ στο [, ] ii) g( ) είνι τοπικό ελάχιστο iii) το (, ) είνι σηµείο κµπής της f iv) g( 4 ) είνι τοπικό ελάχιστο = f t dt ισχύουν : y = f 4 4. Αν η f έχει οριζόντι σύµπτωτη τότε η f έχει κτκόρυφη 4. Αν η f συνεχής στο R κι f τότε f f 5 > 4. Τ εσωτερικά σηµεί ενός διστήµτος στ οποί η f δε πργωγίζετι ή η πράγωγος της είνι ίση µε το µηδέν ονοµάζοντι κρίσιµ σηµεί της f 43. Ισχύει ότι : 4 3 t e dt γι κάθε R 44. Αν η f είνι πργωγίσιµη κι γνησίως ύξουσ στο διάστηµ τότε : f > γι κάθε

5 Νίκος Σούρµπης Γιώργος Βρδούκς 45. Αν γι τον µιγδικό z ισχύει z 3+ 4i = zz τότε η εικόν του κινείτι σε κύκλο µε κέντρο Κ (3,-4) κι κτίν 46. Ισχύει ότι : ( + ) f f h ρ = lim = f h h 47. Αν η f πργωγίσιµη στο (, ) κι η f διτηρεί πρόσηµο στο (, ) (, ) τότε το γνησίως µονότονη στο (, ) z f δεν είνι τοπικό κρόττο κι η f είνι 48. Αν ισχύει ότι f ( A ) =R τότε η f έχει µόνο µί ρίζ. 49. Με άση το σχήµ ισχύουν τ πρκάτω: 3 f 3. ( fof ) = f ( 3) f = 3. γ. η νίσωση f ( ) 3 είνι δύντη 5. Αν z, z C, τοτε z z z + z 5. Aν γι κάθε : f f R τότε η f έχει µέγιστο κι ελάχιστο 53. Αν η f άρτι στο R τότε η f είνι 54. Οι συνρτήσεις fof f of κι είνι ίσες στο A f 55. Αν f = γι κάθε R, τότε η f είνι στθερή. 56. Αν η f είνι δυο φορές πργωγίσιµη στοr µε κµπή στο 57. Aν f κι g είνι τότε f g είνι f =, τότε 58. Ισχύει ότι συν lim = 59. Ισχύει ότι 6. Ισχύει ότι t t e dt = e = e e ( ln ) ηµ lim = ln 6. Αν z, w C κι ισχύει z + w = τότε ( z = κι w = )

6 Νίκος Σούρµπης Γιώργος Βρδούκς 6. Ισχύει ότι ηµ = ηµ συν 63. Ισχύει ότι + t = + t 64. Ισχύει ότι ln, ή + = + = µετλητ 65. Αν η f συνεχής στο τότε η f πργωγίσιµη στο Η f = e e έχει οριζόντι εφπτοµένη 67. Ισχύει ότι + lim = lim = 68. Ισχύει ότι lim e ln( ) 69. Ισχύει ότι lim ( e ) + + = + = + (κνόνς DLH) 7. Ένς µόνο µιγδικός ικνοποιεί την εξίσωση : z i = z 7. Αν z = z z R 7. Αν η f : R R διέρχετι πό τ σηµεί Α(,), Β(3,4) τότε η f είνι γνησίως ύξουσ στο πεδίο ορισµού της 73. Η συνάρτηση fog ορίζετι ν f Α g 74. Αν η f είνι γνησίως φθίνουσ στο R τότε f < f ( + ), R 75. Aν lim f = 5 τότε lim f 5 = 76. Ισχύει ότι ηµ 3 lim = Αν lim f = 5 τότε 78. Ισχύει ότι lim = Η f ln ( ) f > γι κάθε R = + είνι σύνθεση των g = ln κι 8. Ισχύει ότι : f g h ( ) f ( h( g )) h = + = ν f, g, h ορίζοντι στο R 8. Αν ισχύει ότι f ( ) = f ( ) τότε υπάρχει 8. Αν η f είνι γνησίως ύξουσ στο R τότε ξ : f ξ =

7 Νίκος Σούρµπης Γιώργος Βρδούκς f ( ) < f < f ( + ), R 83. Αν f f = = τότε ο άξονς εφάπτετι στην γρφική πράστση της f 84. Αν η f κυρτή στο διάστηµ, τότε η -f κοίλη στο. f 85. Ισχύει ότι 86. Αν ισχύει ότι lim f g t dt = g f f ( ) = τότε f ( ) = 87. Γι κάθε µιγδικό z C ισχύει ότι : z z = z z Αν f είνι συνεχής στο διάστηµ [, ] τότε ισχύει ότι : f d > 89. Αν η f είνι πργωγίσιµη στο R κι δεν έχει τοπικό κρόττο τότε : f γι κάθε R 9. Αν ισχύει ότι lim f = τότε η ευθεί ε : y = + + είνι σύµπτωτη της συνάρτησης f στο Aν η f είνι πργωγίσιµη στο A = [,] τότε ισχύει ότι : f d + f d = f 9. Αν γι κάθε R ισχύει f τότε η f είνι γνησίως ύξουσ στο R. 93. Το = είνι κρίσιµο σηµείο της f 94. Αν z, z ρίζες της Ε : z z+ = µε R τότε = z = z =. 95. Αν γι κάθε R, f τότε η f δεν έχει τοπικό κρόττο. 96. Αν γι τον z C ισχύει ότι z = 3 τότε 9 z+ R z 97. Αν η f είνι πργωγίσιµη στο R κι f > f τότε υπάρχει ξ R ώστε f ( ξ ) >. 98. Αν f γι κάθε R τότε η f είνι γνησίως µονότονη στο R.

8 Νίκος Σούρµπης Γιώργος Βρδούκς 99. Η ρχική συνάρτηση της f. Αν ισχύει ότι f g + κ = είνι η F = +λ < γι > κι. Αν ο + i είνι ρίζ της εξίσωσης lim g() = + τότε + lim f () = + + z + z+ = τότε κι ο i είνι ρίζ. Αν µι συνάρτηση f είνι γνησίως ύξουσ κι συνεχής στο [, ), τότε το σύνολο τιµών της είνι f ( ),f ( ). 3. Το εµδόν του χωρίου που περικλείετι πό τη γρφική πράστση της συνεχούς συνάρτησης f σε έν διάστηµ κι πό τις ευθείες, = κι = είνι ίσο µε f d. 4. Αν µι συνάρτηση f είνι δυο φορές πργωγίσιµη κι κοίλη σε έν διάστηµ, τότε ισχύει f < γι κάθε. 5. Αν µι ρητή συνάρτηση δεν έχει κτκόρυφη σύµπτωτη, τότε υτή έχει πεδίο ορισµού το R. 6. Αν οι ρίζες της εξίσωσης πργµτικές, τότε υτές είνι συζυγείς µιγδικοί. z + z+ γ = µε,,γ R κι, δεν είνι 7. Αν γι κάθε R ισχύει f τότε η f είνι κυρτή στο R. 8. Το = είνι θέση κρόττου της f = 9. Αν γι τον z C ισχύει ότι z = τότε z I z. Αν η f είνι δυο φορές πργωγίσιµη στο R κι f f ξ R ώστε f ( ξ ) >.. Αν f γι κάθε R τότε η f δεν έχει σηµείο κµπής. > τότε υπάρχει. Ισχύει ότι 3 t e dt > γι κάθε 3. Αν ισχύει ότι f g γι > κι lim g() = + τότε + lim = f () + 4. Αν οι f, g είνι πργωγίσιµες στο τότε είνι κι η fog κι ισχύει ότι :

9 Νίκος Σούρµπης Γιώργος Βρδούκς ( fog) = f ( g ) g 5. Αν γι µι συνάρτηση f ισχύουν ότι : f ( ) f ( ) < κι f γι κάθε (, ), τότε η f δεν είνι συνεχής στο [, ]. 6. Aν γι δυο συνρτήσεις f, g συνεχείς στο διάστηµ ισχύει ότι : = γι κάθε εσωτερικό σηµείο του, τότε f g f g κάθε. ν 7. Αν ισχύει ότι i i κ = τότε.4 ν κ = πολ. 8. Aν οι συνρτήσεις f, g είνι συνεχείς στο [, ] κι ισχύει ότι : < g γι κάθε [, ], τότε f d < f 9. Ισχύει ότι συν = ηµ, R. 3. Η συνάρτηση ευθεί y = 3 g d = γι f = e + 3 έχει πλάγι σύµπτωτη στο + την. Αν f συνεχής στο Α = [, ] τότε οι τιµές f ( ) είνι οµόσηµες στο Α.. Αν γι R f = g τότε = + f g c 3. Αν η f εφρµόζει το Θ. Rolle στο A = [, ] τότε η f δεν είνι ντιστρέψιµη. 4. Αν η f είνι συνεχής κι γνησίως ύξουσ στο A = [, ] τότε το σύνολο τιµών της είνι f ( Α ) = f ( ),f ( ). 5. Αν γι R ισχύει ότι f = τότε f = + 6. Αν γι R ισχύει ότι f τότε η f έχει το πολύ µι ρίζ στο R 7. Η εξίσωση ηµ = έχει µόνο µί ρίζ ο 8. Αν η f είνι γνησίως ύξουσ στο A = (, ) τότε f ( Α ) = f ( ),f ( ) 9. Αν ισχύει f = f τότε f e = κ +λ

10 Νίκος Σούρµπης Γιώργος Βρδούκς 3. Αν z = τότε ισχύει ότι : z = z 3. Αν η f δεν είνι συνεχής στο τότε η f είνι πργωγίσιµη στο 3. Η συνάρτηση f ln( e ) 33. Η συνάρτηση 34. Ισχύει ότι : = έχει πεδίο ορισµού το f = t 4dt Ισχύει ότι * R έχει πεδίο ορισµού το A = [, + ) ln lim = συν ηµ συν lim = lim = lim = 36. Aν ισχύει ότι z = z τότε ο z είνι πργµτικός. 37. Iσχύει ότι : d = = 38. Αν η f δεν είνι συνεχής στο τότε η f είνι πργωγίσιµη στο 39. Η συνάρτηση f ln 4. Ισχύει ότι f d = έχει οριζόντι εφπτόµενη. 4. Ισχύει ότι : = lim e κ Η f = κι η g = έχουν κοινή εφπτοµένη στο. 43. Αν µι συνάρτηση f : A R είνι ντιστρεψιµη, τότε η f είνι γνησίως µονότονη στο Α. 44. Αν µι συνάρτηση f είνι συνεχής στο κι f >, τότε > γι τις τιµές του κοντά στο. f 45. Αν η συνάρτηση f είνι πργωγίσιµη στο R κι δεν έχει τοπικά κρόττ τότε f γι κάθε R. 46. Έστω η συνάρτηση f η οποί είνι κυρτή στο διάστηµ κι δυο φορές πργωγίσιµη σε υτό τότε ισχύει f > γι κάθε. 47. Αν η συνεχής συνάρτηση f δεν είνι πντού ίση µε µηδέν στο [, ]

11 Νίκος Σούρµπης - - Γιώργος Βρδούκς τότε ισχύει ότι f d >. 48. Αν γι τη συνάρτηση f ισχύει ότι f f 49. Aν lim f = τότε lim f = = τότε =. 5. Ισχύει ότι ln lim = 5. Αν η f είνι συνεχής κι γνησίως ύξουσ στο A = [, ) τότε το σύνολο τιµών της είνι το f ( Α ) = f ( ),limf 5. Αν γι R ισχύει ότι f = τότε f 53. Αν f ( ) g ( ). = + = τότε οι f,g έχουν κοινή εφπτοµένη στο. ( ) 54. Η εφπτοµένη της f στο 55. Ισχύει ότι : i Im( z) = z z M,f δεν έχει άλλο κοινό σηµείο µε την f. 56. Γι κάθε z C ισχύει ότι 4 z = z z. 57. Αν ισχύει ότι z i = i τότε η εικόν του z νήκει σε ευθεί. 58. Αν f πργωγίσιµη στο R τότε ισχύει ( f f ) () = ( f ) Αν f = 3 τότε f =. 6. Αν f = κι g = 3 τότε 6. Ισχύει ότι : e + 4 = e + 4 fg () = Αν η f δεν είνι συνεχής στο τότε η f είνι πργωγίσιµη στο. 63. Η συνάρτηση f g( ) = όπου A g =R είνι ντιστρέψιµη. 64. Η ευθεί y = 3 εφάπτετι στην f = e e 65. Ισχύει ότι : ( fog) = f ( g ) g 66. Ισχύει ότι : 67. Ισχύει ότι lim ln = ( ) f h f f = lim h h

12 Νίκος Σούρµπης - - Γιώργος Βρδούκς 68. Aν ισχύει ότι z = z τότε ο z είνι πργµτικός. 69. Ισχύει ότι Re( z) = z+ z γι z C 7. Αν lim f = lim f = 7. Η συνάρτηση f = e + 4 +συν έχει οριζόντι εφπτοµένη. 7. Αν η ευθεί ΑΒ µε A,f ( ) κι Β,f f λ ΑΒ = f = εφάπτετι στην f τότε 73. Αν ισχύει ότι z i = i τότε η εικόν του z νήκει σε ευθεί. 74. Αν + lim f = τότε η ευθεί y = + είνι πλάγι σύµπτωτη της f 75. Ισχύει ότι Το Ι = ( ) f f = γι κάθε A. d πριστάνει το εµδόν που περικλείετι νάµεσ 3 στη γρφική πράστση της f = µε τον άξον κι τις ευθείες = κι = 77. Αν η συνάρτηση f είνι πργωγίσιµη στο (, ) κι ισχύουν f ( ) = f ( ) κι f, γι κάθε (, ) τότε η f δεν είνι συνεχής στο [, ]. 78. Αν µι συνάρτηση f είνι πργωγίσιµη στο [, ] τότε γι κάθε (, ) ισχύει ότι f f f. 79. Αν γι τη συνάρτηση f ισχύει f στθερή στο R. 8. Αν f g =, γι κάθε R τότε η f είνι = γι κάθε R, τότε οι συνρτήσεις f κι g είνι ίσες. 8. Αν η f : R R είνι πργωγίσιµη κι δεν είνι ντιστρέψιµη τότε υπάρχει ξ R τέτοιο ώστε η εφπτόµενη της πράλληλη στον άξον των. C στο M ξ,f f ξ ν είνι 8. Αν οι f, g είνι πργωγίσιµες στο διάστηµ = [, ], f g d f g f g d. τότε ισχύει ότι : =

13 Νίκος Σούρµπης - - Γιώργος Βρδούκς 83. Αν γι R f = g κι f = g τότε 84. Αν γι κάθε R ισχύει f = f τότε f ce f = g + c =. 85. Αν f d = τότε υπάρχει ξ τέτοιο ώστε f ξ = 86. Αν η f δεν είνι συνεχής στο τότε η f είνι πργωγίσιµη στο. 87. Αν ισχύει ότι f f( t) e dt = τότε f = 88. Γι τη πργωγίσιµη συνάρτηση f ισχύει : lim f = f ( ) 89. Αν ισχύει ότι lim f = τότε η y = είνι πλάγι σύµπτωτη της f Aν ισχύει ότι z i = z+ i η εικόν του z νήκει στην ευθεί y 9. Ισχύει ότι lim ηµ = + =. 9. Αν η συνάρτηση f είνι συνεχής στο R κι f γι κάθε R, τότε η f ντιστρέψιµη. f d f t dt, όπου f συνεχής στο R. 93. Ισχύει ότι : = ( + ) 94. Ισχύει ότι : + ( ) συν + lim = 95. Αν η f είνι γνησίως ύξουσ στο R τότε f > γι κάθε R. 96. Αν f ( ) = τότε το 97. Ισχύει ότι : f είνι τοπικό κρόττο ln ln =, > 98. Αν η f δεν είνι συνεχής στο τότε η f δεν είνι πργωγίσιµη στο 99. Ισχύει ότι : lim e + =. Αν η συνάρτηση f είνι γνησίως µονότονη στο Rτότε είνι κι στο R.. Αν η f : R R διέρχετι πό τ σηµεί Ο(,), Α(,) τότε η f είνι γνησίως ύξουσ στο πεδίο ορισµού της.

14 Νίκος Σούρµπης Γιώργος Βρδούκς. Γι δυο συνρτήσεις f, g ισχύει πάντ ότι fog = gof. 3. Αν η f : R R διέρχετι πό τ σηµεί Α(,), Β(3,) τότε η f είνι γνησίως φθίνουσ στο πεδίο ορισµού της 4. Έστω συνάρτηση f συνεχής σε έν διάστηµ κι πργωγίσιµη στο εσωτερικό του. Αν η f είνι γνησίως ύξουσ στο τότε η πράγωγός της δεν είνι υποχρεωτικά θετική στο εσωτερικό του 5. Αν µι συνάρτηση f είνι γνησίως φθίνουσ κι συνεχής σε έν νοικτό διάστηµ (, ) τότε το σύνολο τιµών της στο διάστηµ υτό είνι το διάστηµ ( Α, Β ), όπου Α = lim f κι Β = lim f ( ) + 6. Αν το σύνολο τιµών της συνάρτησης f είνι f ( A ) =R τότε η εξίσωση f = 5 έχει µόνο µί ρίζ στο R 7. Αν η συνάρτηση f προυσιάζει τοπικό κρόττο στο κι είνι f = πργωγίσιµη σε υτό τότε 8. Αν ο ριθµός z είνι φντστικός, τότε Οι ριθµοί z i i i ως προς τον άξον y y. z + z = = + + κι w ( i) = έχουν εικόνες συµµετρικές. Αν γι τον µιγδικό ριθµό z = + yi, µε, y R ισχύει ότι + =, τότε z+ i =. y 4. Αν γι τους µιγδικούς z, w ισχύει z + w =, τότε z = w =. Αν ισχύει z = τότε z = z 3. Γι µί συνάρτηση f ισχύει ότι f ( f ) f f 4. Η συνάρτηση e + e 5. Ισχύει ότι : = γι κάθε A f = t dt έχει πεδίο ορισµού το R - e + = e +, > 6. Αν z = 5 τότε ισχύει ότι : 5 iz = i z

15 Νίκος Σούρµπης Γιώργος Βρδούκς 7. Αν f d = τότε f = γι [,] 8. Ισχύει ότι : ln( + ) lim e + + = 9. Αν οι συνρτήσεις f, f, R f είνι πργωγίσιµες στο R τότε. Αν ισχύει ότι η f = f τότε f e = γι κάθε R. Αν είνι < <, τότε = + + lim. Αν µι συνάρτηση f δεν είνι συνεχής σε έν σηµείο τότε δεν µπορεί ν είνι πργωγίσιµη στο 3. Έστω f µί συνεχής συνάρτηση σε έν διάστηµ [, ]. Aν G είνι η πράγουσ της f στο [, ] f t dt G G, τότε = ( ) ( ) 4. Γι όλους τους µιγδικούς ριθµούς z, w ισχύει η σχέση z w + z+ w = z + w 5. Αν η f είνι κυρτή στο R τότε είνι κάτω πό όλες τις εφπτόµενες. 6. Αν η συνάρτηση f είνι κυρτή στο R τότε f >. 7. Γι κάθε z C ισχύει z i z 8. Αν γι κάθε R f τότε η f είνι γνησίως µονότονη στο R. 9. Αν η συνάρτηση f είνι πργωγίσιµη στο R τότε ισχύει : f d = f f d

16 Νίκος Σούρµπης Γιώργος Βρδούκς 3. Ισχύει ότι ηµ = lim + e + 3. Αν ισχύει ότι lim f() = - 4 τότε f() < 3. Η συνάρτηση f() = e έχει σύµπτωτη στο Ισχύει ότι : z+ z = Re( z), z C 34. Ισχύει ότι : = + γι κάθε > (ln ) 35. Αν γι R ισχύει ότι f τότε η f έχει το πολύ µι ρίζ στο R 36. Αν ισχύει ότι f = e γι κάθε R τότε f = e η f = e 37. Αν το είνι σηµείο κµπής της f τότε f = 38. Ισχύει ότι lim π συν = Αν f = γι κάθε R, τότε f f = κι f = =, ν δίνετι ότι 4. Έστω f µί συνεχής συνάρτηση σε έν διάστηµ [, ]. Aν G είνι η πράγουσ της f στο [, ] f t dt G G, τότε = ( ) ( ) 4. Αν η f είνι κοίλη στο R τότε είνι κάτω πό όλες τις εφπτόµενες. 4. Αν η πργωγίσιµη στο R συνάρτηση f δεν είνι ντιστρέψιµη, τότε υπάρχει κλειστό διάστηµ [, ] στο οποίο η f ικνοποιεί τις προϋποθέσεις του θεωρήµτος Rolle. 43. Αν η συνάρτηση f είνι πργωγίσιµη στο [, ], µε f ( ) < f υπάρχει (, ) τέτοιο ώστε: f <, τότε 44. Αν η συνάρτηση f είνι συνεχής στο [, ], πργωγίσιµη στο (, ) f ( ) f ( ), τότε f γι κάθε (, ) κι

17 Νίκος Σούρµπης Γιώργος Βρδούκς 45. Αν γι µί συνάρτηση f : A R ισχύει ότι f κ όπου κ R γι κάθε A, τότε το κ είνι µέγιστη τιµή της f. 46. Αν υπάρχει το είνι lim f lim f =. =, τότε υπάρχει το όριο της f στο κι ε 47. Αν γι µί συνάρτηση f ισχύουν f ( ) f ( ) < κι f, τότε η f δεν είνι συνεχής στο [, ]. 48. Αν γι δύο συνρτήσεις f,g συνεχείς στο διάστηµ ισχύει f g κάθε εσωτερικό σηµείο του, τότε f g = γι κάθε 49. Αν οι συνρτήσεις f,g είνι συνεχείς στο [, ] κι ισχύει f g κάθε [, ], τότε 5. Γι τους z, z C ισχύει: zzzz R = γι < γι 5.Αν f f < κι f γι κάθε [,] τότε η f είνι συνεχής στο [, ] 5. Αν ισχύει ότι στο R 53. Αν f ( ) f e + f = 5 τότε η f είνι γνησίως µονότονη f ( ) f e f = γι κάθε R, τότε η f είνι δύο φορές πργωγίσιµη στο R 54. Η ηµ f = 4 t dt έχει πεδίο ορισµού το R 55. H γρφική πράστση της συνάρτησης f είνι συµµετρική της f, ως προς την ευθεί y =, 56. To Πεδίο Ορισµού της f = dt είνι το A = (,) 57. Αν f = 3 τότε f 3 = ln t

18 Νίκος Σούρµπης Γιώργος Βρδούκς 58. Αν f d τότε f γι κάθε [,] 59. Γι οποιοδήποτε µιγδικό z ισχύει z = z = z 6. Αν z, z είνι µιγδικοί ριθµοί τότε ισχύει: zz = z z 6. Μί συνάρτηση f µε πεδίο ορισµού Α λέµε ότι προυσιάζει (ολικό) ελάχιστο στο A, ότν f f ( ) γι κάθε A. 6. Αν f < γι R τότε η συνάρτηση f είνι γνησίως φθίνουσ στο R 63. Κάθε συνάρτηση f συνεχής σε έν σηµείο του πεδίου ορισµού της είνι κι πργωγίσιµη στο σηµείο υτό. 64. Οι ρίζες της εξίσωσης z + z+ γ = µε,, γ R είνι συζυγείς. 65. Αν µί συνάρτηση f είνι - στο πεδίο ορισµού της, τότε είνι γνησίως µονότονη σε υτό. 66. Αν γι κάθε ισχύει ότι 67. Αν f f d τότε η f είνι - γι κάθε R τότε lim f ( ) = Αν µί συνάρτηση f είνι συνεχής σε έν διάστηµ κι δεν µηδενίζετι σε υτό, τότε η f διτηρεί πρόσηµο στο διάστηµ. 69. Ισχύει ότι z z z z γι κάθε z, z C 7. Ισχύει ότι Im( z) = Im( z) 7. Αν z i = z+ i τότε z R 7. Αν ισχύει ότι z + z+ 4 = µε z C τότε z = 73. Αν f = τότε το ( ) A,f είνι σηµείο κµπής

19 Νίκος Σούρµπης Γιώργος Βρδούκς 74. Αν ισχύει ότι lim f = 4 τότε f < γι κάθε R 75. Αν ισχύει ότι z = τότε είνι z = z 76. Ισχύει ότι : z z = Im( z) 77. Αν z, z C, τοτε z + z = z + z + Re( z z ) 78. Ισχύει ότι : z i z 79. Aν γι κάθε R : f g = f = ή g = γι κάθε R 8. Αν γι R ισχύει f = τότε 3 f() = + 8. Αν γι ισχυει f () = 8. Αν f ( ) = τότε f R τότε η f είνι στθερή στο R *. = 83. Μι συνεχής συνάρτηση f διτηρεί πρόσηµο σε κθέν πό τ διστήµτ στ οποί οι διδοχικές ρίζες της f χωρίζουν το πεδίο ορισµού της. 84. Αν z R z+ z = 85. Αν f < γι κάθε R τότε η f είνι γνησίως φθίνουσ στο R 86. Ισχύει ότι t e dt > γι κάθε R 87. Αν z = z z = z 88. Αν f f ( ) f e = = κ +λ, κ, λ R 89. Αν είνι κρίσιµο σηµείο της f τότε f = 9. Αν γι κάθε R ισχύει ότι f τότε η συνάρτηση f διτηρεί 9. Αν πρόσηµο στο R e f = f t dt, R τότε η συνάρτηση f είνι πργωγίσιµη στο R

20 Νίκος Σούρµπης Γιώργος Βρδούκς f 9. Ισχύει ότι g t dt = f g f ( ) 93. Η συνάρτηση f = dt έχει πεδίο ορισµού το διάστηµ A = (,) ln t 94. Ισχύει ότι 4 t te dt > 95. Αν f = τότε το σηµείο Η f = + + έχει οριζόντι εφπτοµένη. A,f είνι σηµείο κµπής της συνάρτησης f 97. Αν z i = τότε η εικόν M( z ) νήκει σε κύκλο κέντρου K(, ) κι κτίνς ρ = 98. Αν f = τότε το σηµείο συνάρτησης f A,f είνι σηµείο κµπής της 99. Αν η συνάρτηση f είνι ντιστρέψιµη, τότε η f είνι γνησίως µονότονη στο Α 3. Ισχύει ότι 4 z = z z 3 + i γι κάθε z C 3. Γι τον ριθµό z C ισχύει ότι = z z Im z i 3. Κρίσιµ σηµεί της f λέγοντι τ τοπικά κρόττ. 33. Αν η συνάρτηση f είνι γνησίως µονότονη στο R όπου ισχύει f f d > f τότε η f είνι κυρτή στο R.

β ] και συνεχής στο ( a, β ], τότε η f παίρνει πάντοτε στο [ a,

β ] και συνεχής στο ( a, β ], τότε η f παίρνει πάντοτε στο [ a, ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ Σ Λ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ - Ν χρκτηρίσετε τις προτάσεις που κολουθούν, γράφοντς στο τετράδιό σς την ένδειξη σωστό ή λάθος δίπλ στο γράμμ που ντιστοιχεί σε κάθε πρότση

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. 1. y - -2 x + π. f (x) = 3x, x = 1. π y = 9 x - 6. δ. f (x) = x, x0. 4. y = -9 x + 5. (2000-1ο)

ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. 1. y - -2 x + π. f (x) = 3x, x = 1. π y = 9 x - 6. δ. f (x) = x, x0. 4. y = -9 x + 5. (2000-1ο) ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ 6 Α) Αν η συνάρτηση f είνι πργωγίσιµη σε έν σηµείο του πεδίου ορισµού της, ν γρφεί η εξίσωση της εφπτοµένης της γρφ πρ/σης της f στο σηµείο A(,f ( )) Α) Ν ποδείξετε ότι ν µι συνάρτηση f

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. 1. y - -2 x + π. f (x) = 3x, x = 1. π y = 9 x - 6. δ. f (x) = x, x0. 4. y = -9 x + 5. (2000-1ο) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. 1. y - -2 x + π. f (x) = 3x, x = 1. π y = 9 x - 6. δ. f (x) = x, x0. 4. y = -9 x + 5. (2000-1ο) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ 6 Α) Αν η συνάρτηση f είνι πργωγίσιµη σε έν σηµείο του πεδίου ορισµού της, ν γρφεί η εξίσωση της εφπτοµένης της γρφ πρ/σης της f στο σηµείο A(,f ( )) Α)

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2000-2008 1. ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ

ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2000-2008 1. ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ -8 ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΘΕΜΑ Αν η συνάρτηση f είνι πργωγίσιμη σε έν σημείο του πεδίου ορισμού της, ν γρφεί η εξίσωση της εφπτομένης της γρφικής πράστσης της f στο σημείο Α(,f( ))

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ. συνάρτηση φ: α,β. Ορισμός Έστω f συνάρτηση ορισμένη στο., αν. κάθε xo.

Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ. συνάρτηση φ: α,β. Ορισμός Έστω f συνάρτηση ορισμένη στο., αν. κάθε xo. Ορισμός συντελεστή διεύθυνσης ευθείς Έστω συνάρτηση κι M, έν σημείο της γρφικής της πράστσης. υπάρχει το κι είνι πργμτικός ριθμός λ, τότε ορίζουμε ως εφπτομένη της στο σημείο M, την ευθεί (ε) που διέρχετι

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2012

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2012 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ ο : Έστω z, z C με (z ) = κι (z ) = Αν f() ( z )( z )( z )( z ) = κι f(i ) = 64 8i, τότε ν ποδείξετε ότι: ) f( i )

Διαβάστε περισσότερα

γραπτή εξέταση στo μάθημα ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

γραπτή εξέταση στo μάθημα ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ δυδικό η εξετστική περίοδος πό 9/0/5 έως 9/04/5 γρπτή εξέτση στo μάθημ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Τάξη: Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Τμήμ: Βθμός: Ονομτεπώνυμο: Κθηγητές: Θ Ε Μ Α Α Α. Έστω μι συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

Α) Να αποδείξετε ότι η νιοστή παράγωγος της συνάρτησης f µπορεί να πάρει. )e όπου α ν, β ν είναι συντελεστές

Α) Να αποδείξετε ότι η νιοστή παράγωγος της συνάρτησης f µπορεί να πάρει. )e όπου α ν, β ν είναι συντελεστές . ίνετι η συνάρτηση f() e. Α) Ν ποδείξετε ότι η νιοστή πράγωγος της συνάρτησης f µπορεί ν πάρει τη µορφή (ν) f () ( + ν + ν )e όπου ν ν είνι συντελεστές εξρτηµένοι πό το ν τους οποίους κι ν υπολογίσετε.

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηµατικά Κατεύθυνσης Γ Λυκείου Θέµατα Θεωρίας

Μαθηµατικά Κατεύθυνσης Γ Λυκείου Θέµατα Θεωρίας Μθηµτικά Κτεύθυνσης Γ Λυκείου Θέµτ Θεωρίς ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ. N ποδείξετε ότι οι γρφικές πρστάσεις C κι C των συνρτήσεων κι - είνι συµµετρικές ως προς την ευθεί y που διχοτοµεί τις γωνίες Oy κι Oy Aς πάρουµε µι

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρήματα, Προτάσεις, Εφαρμογές

Θεωρήματα, Προτάσεις, Εφαρμογές Θεωρήμτ, Προτάσεις, Εφρμογές Μιγδικοί Ιδιότητες συζυγών: Αν z i κι z γ δi είνι δυο μιγδικοί ριθμοί, τότε: Μέτρο: z z z z z z z z 3 z z z z 4 z z z z Αν z, z είνι μιγδικοί ριθμοί, τότε z z z z z z z z 3

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 3: Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. F(x) = f(t)dt Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 3: Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. F(x) = f(t)dt Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ F( = (d [Kεφ:.5 H Συνάρτηση F( = (d Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β Πράδειγμ. lim e d. Ν υπολογίσετε το όριο: ( Έχουμε ( e d

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ 2

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ 2 - 7 - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ. ίνετι η συνάρτηση f η οποί είνι συνεχής στο διάστηµ [, ]. Ν ποδείξετε ότι υπάρχει έν τουλάχιστον ξ (, τέτοιο, ώστε: ξ f(d=ξf(ξ. ( Θ. Rolle στην F(= f( d. ίνετι

Διαβάστε περισσότερα

ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 4: ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΧΩΡΙΟΥ

ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 4: ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΧΩΡΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 4: ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΧΩΡΙΟΥ [Κεφ..7 Μέρος Β του σχολικού ιλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β Πράδειγμ. Ν ρεθεί το εμδόν του χωρίου Ω που περικλείετι πό τη γρφική πράστση

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ I

ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ I ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ I Σε κθεµιά πό τις πρκάτω περιπτώσεις ν κυκλώσετε το γράµµ Α, ν ο ισχυρισµός είνι ληθής κι το γράµµ Ψ, ν ο ισχυρισµός είνι ψευδής δικιολογώντς συγχρόνως την πάντησή

Διαβάστε περισσότερα

ρ3ρ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Επιμέλεια: Τομέας Μαθηματικών της Ώθησης

ρ3ρ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Επιμέλεια: Τομέας Μαθηματικών της Ώθησης ΕΘΝΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 5 ρρ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Επιμέλει: Τομές Μθημτικών της Ώθησης ΕΘΝΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 5 ευτέρ, 5 Μ ου 5 Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑ Α A. Έστω μι συνάρτηση, η οποί είνι ορισμένη σε έν κλειστό

Διαβάστε περισσότερα

α) Στο μιγαδικό επίπεδο οι εικόνες δύο συζυγών μιγαδικών είναι σημεία συμμετρικά ως προς τον πραγματικό άξονα

α) Στο μιγαδικό επίπεδο οι εικόνες δύο συζυγών μιγαδικών είναι σημεία συμμετρικά ως προς τον πραγματικό άξονα Α Π Α Ν Τ Η Σ Ε Ι Σ Θ Ε Μ Α Τ Ω Ν Π Α Ν Ε Λ Λ Α Δ Ι Κ Ω Ν Ε Ξ Ε Τ Α Σ Ε Ω Ν ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 8.5. ΘΕΜΑ Α A. Έστω μι συνάρτηση f η οποί είνι συνεχής σε έν διάστημ Δ.

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ στο ΔΙΑΦΟΡΙΚΟ ΛΟΓΙΣΜΟ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ στο ΔΙΑΦΟΡΙΚΟ ΛΟΓΙΣΜΟ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ στο ΔΙΑΦΟΡΙΚΟ ΛΟΓΙΣΜΟ Ι. Σε κθεμιά πό τις πρκάτω περιπτώσεις ν κυκλώσετε το γράμμ Α, ν ο ισχυρισμός είνι ληθής κι το γράμμ Ψ, ν ο ισχυρισμός είνι ψευδής δικιολογώντς συγχρόνως την

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΚΛΗΣ Γ. ΚΑΤΣΙΜΑΓΚΛΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΟ ΠΡΩΤΟ ΘΕΜΑ ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΟΡΟΣΗΜΟ ΖΩΓΡΑΦΟΥ

ΠΕΡΙΚΛΗΣ Γ. ΚΑΤΣΙΜΑΓΚΛΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΟ ΠΡΩΤΟ ΘΕΜΑ ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΟΡΟΣΗΜΟ ΖΩΓΡΑΦΟΥ ΠΕΡΙΚΛΗΣ Γ ΚΑΤΣΙΜΑΓΚΛΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΟ ΠΡΩΤΟ ΘΕΜΑ ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΚΕΝΤΡΙΚΗ ΔΙΑΘΕΣΗ Τρυλντώνη 8, 577 Ζωγράφου Τηλ: 747344 747395 email:info@orosimoeu wwworosimoeu ISBN: 978-68-873--4 ΕΚΔΟΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2010

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2010 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ 5 : Δίνετι η πργωγίσιμη συνάρτηση, με πεδί ρισμύ κι σύνλ τιμών

Διαβάστε περισσότερα

Τάξη Γ. Κεφάλαιο. Εμβαδόν Επιπέδου Χωρίου Θεωρία-Μεθοδολογία-Ασκήσεις. Ολοκληρωτικός Λογισμός

Τάξη Γ. Κεφάλαιο. Εμβαδόν Επιπέδου Χωρίου Θεωρία-Μεθοδολογία-Ασκήσεις. Ολοκληρωτικός Λογισμός Τάξη Γ Κεφάλιο Ολοκληρωτικός Λογισμός Θεωρί-Μεθοδολογί-Ασκήσεις Κεφάλιο 3 Ολοκληρωτικός Λογισμός Σε κάθε μί πό τις πρκάτω περιπτώσεις ορίζετι πό τη γρφική πράστση μις τουλάχιστον συνάρτησης κι πό κάποιες

Διαβάστε περισσότερα

Ο Λ Ο Κ Λ Η Ρ Ω Μ Α Τ Α

Ο Λ Ο Κ Λ Η Ρ Ω Μ Α Τ Α Ο Λ Ο Κ Λ Η Ρ Ω Μ Α Τ Α ΒΑΣΙΚΕΣ ΜΕΘΟ ΟΙ 4 Ν υπολογίσετε το ολοκλήρωµ: 5 + d (988) 4 Αν I v π 4 v = εϕ d, ν Ν*, τότε: ) Ν ποδείξετε ότι γι κάθε ν>, ισχύει: Iv = Iv v β) Ν υπολογίσετε το Ι 5 (99) 4 Ν βρεθεί

Διαβάστε περισσότερα

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει να είναι σε θέση:

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει να είναι σε θέση: Ο μθητής που έχει μελετήσει το κεφάλιο υτό θ πρέπει ν είνι σε θέση:. Ν γνωρίζει τις έννοιες πράγουσ ή ρχική συνάρτηση, όριστο ολοκλήρωμ κι ν μπορεί ν υπολογίζει πλά όριστ ολοκληρώμτ με τη οήθει των μεθόδων

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ 52 ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 8 η ΕΚΑ Α

ΜΑΘΗΜΑ 52 ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 8 η ΕΚΑ Α ΜΑΘΗΜΑ 5 ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 8 η ΕΚΑ Α 7. Έστω συνάρτηση f : R R, η οποί είνι πργωγίσιµη κι κυρτή στο R µε f() κι f () i) Ν ποδείξετε ότι f() γι κάθε R f (t)dt Ν ποδείξετε ότι ηµ Αν επιπλέον ισχύει f () (f()

Διαβάστε περισσότερα

1995 ΘΕΜΑΤΑ ίνονται οι πραγµατικοί αριθµοί κ, λ µε κ < λ και η συνάρτηση f(x)= (x κ) 5 (x λ) 3 µε x. Να αποδείξετε ότι:, για κάθε x κ και x λ.

1995 ΘΕΜΑΤΑ ίνονται οι πραγµατικοί αριθµοί κ, λ µε κ < λ και η συνάρτηση f(x)= (x κ) 5 (x λ) 3 µε x. Να αποδείξετε ότι:, για κάθε x κ και x λ. 995 ΘΕΜΑΤΑ. ίνοντι οι πργµτικοί ριθµοί κ, λ µε κ < λ κι η συνάρτηση f() ( κ) 5 ( λ) µε. Ν ποδείξετε ότι: ) f () f() 5 κ, γι κάθε κ κι λ. λ ) Η συνάρτηση g() ln f() στρέφει τ κοίλ προς τ κάτω στο διάστηµ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΕΤΑΡΤΗ 20 ΜΑΪΟΥ 2009 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΕΤΑΡΤΗ 20 ΜΑΪΟΥ 2009 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 1 ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΕΤΑΡΤΗ ΜΑΪΟΥ 9 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Θέµ 1ο Α. Έστω µι συνεχής συνάρτηση f ορισµένη σε έν διάστηµ.

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. 1. * Αν η γραφική παράσταση µιας συνάρτησης f είναι αυτή που φαίνεται στο σχήµα, τότε λάθος είναι

Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. 1. * Αν η γραφική παράσταση µιας συνάρτησης f είναι αυτή που φαίνεται στο σχήµα, τότε λάθος είναι Ερωτήσεις πολλπλής επιλογής 1. * Αν η γρφική πράστση µις συνάρτησης f είνι υτή που φίνετι στο σχήµ, τότε λάθος είνι Α. lim f () = 4 B. lim f () = 1 1 1 Γ. lim f () =. f ( 1) = 1 4 0 1 1 1 E. f (1) = 4.

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής - Τεχνολογικής κατεύθυνσης Γ Λυκείου

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής - Τεχνολογικής κατεύθυνσης Γ Λυκείου ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΚΑΣΤΡΙΤΣΙΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: Κωνστντόπουλος Κων/νος Μθημτικός ΜSc ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής - Τεχνολογικής κτεύθυνσης Γ Λυκείου ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ -ΥΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΤΟΥ ου ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ ΘΕΜΑ Α Α. (i) Βλέπε σχολικό

Διαβάστε περισσότερα

1. Να σημειώσετε το Σωστό ( ) ή το Λάθος ( ) στους παρακάτω ισχυρισμούς:

1. Να σημειώσετε το Σωστό ( ) ή το Λάθος ( ) στους παρακάτω ισχυρισμούς: 1. Ν σημειώσετε το Σωστό ( ) ή το Λάθος ( ) στους πρκάτω ισχυρισμούς: 1. Αν γι την συνεχή στο συνάρτηση f ισχύουν: f(0) f(2) 0 κι f(0) f(5) 0 τότε η εξίσωση ( ) 0 f έχει τουλάχιστον δύο ρίζες. 2. Αν ισχύει

Διαβάστε περισσότερα

( 0) = lim. g x - 1 -

( 0) = lim. g x - 1 - ν ν ΘΕΜΑ Η πολυωνυµική συνάρτηση ν + ν + + + έχει όριο στο R κι ισχύει lim ν ν Έχουµε lim + + + lim ν ν ν ν lim ν + lim ν + ν ν ν lim + ν lim + + lim + lim ν ν ν + ν + + Εποµένως, lim ΘΕΜΑ Η ρητή συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2009.

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2009. ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 9. ΘΕΜΑ ο Α. Έστω, Δ. Δικρίνουμε τις περιπτώσεις: Αν =, τότε f( ) = f( ). Αν

Διαβάστε περισσότερα

ΚΑΡΑΓΕΩΡΓΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ - ΜΑΥΡΑΓΑΝΗΣ ΣΤΑΘΗΣ

ΚΑΡΑΓΕΩΡΓΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ - ΜΑΥΡΑΓΑΝΗΣ ΣΤΑΘΗΣ ΚΑΡΑΓΕΩΡΓΟ ΒΑΙΗ - ΜΑΥΡΑΓΑΝΗ ΤΑΘΗ ΠΑΝΕΗΝΙΕ ΕΞΕΤΑΕΙ 5 - - Οι πρκάτω σημειώσεις βσίστηκν στ έντυπ του Κ.Ε.Ε. (999 ) κι στη θεμτοδοσί των Πνελλδικών Εξετάσεων στ Μθημτικά Κτεύθυνσης της Γ υκείου. τις επόμενες

Διαβάστε περισσότερα

1 η ΕΚΑ Α ΜΑΘΗΜΑ 45 ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

1 η ΕΚΑ Α ΜΑΘΗΜΑ 45 ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑ 45 ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ η ΕΚΑ Α. ίνετι η συνάρτηση f () ( ) κι το σηµείο Α(, 0) µε > 0 Ν µελετηθεί η f ως προς την µονοτονί, τ κρόττ, την κυρτότητ, τ σηµεί κµπής κι τις σύµπτωτες. Γι τις διάφορες τιµές

Διαβάστε περισσότερα

Θέμα 1 ο. Θέμα 2 ο. Θέμα 3 ο. Θέμα 4 ο

Θέμα 1 ο. Θέμα 2 ο. Θέμα 3 ο. Θέμα 4 ο ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΛΕΙΣΤΟΥ ΤΎΠΟΥ Θέμ ο 6 Αν υπάρχουν,β R ώστε οι εξισώσεις: ( + ) β = 4( ) κι + 4 3 + β( + ) = ( + 3) ν έχουν κοινή λύση τότε ν ποδειχθεί ότι η εικόν του + z = + βi στο μιγδικό επίπεδο νήκει σε

Διαβάστε περισσότερα

ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ-ΑΟΡΙΣΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ

ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ-ΑΟΡΙΣΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ εθοδολογί Πρδείγµτ σκήσεις πιµέλει.: άτσιος ηµήτρης ΡΩ-Ρ ΡΩ διότητες: Ρ Πρδείγµτ:. υπολογίσετε τ πρκάτω ολοκληρώµτ: 5 d d συν π ( + ) d 4 Π ΡΩ ΡΩΩ. d c 6. d. d. d 4. d 5. συνd f '( ) d f ( ) + c. ηµ συν

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ Α Α1. Τι ονομάζεται διάμεσος δ ενός δείγματος ν παρατηρήσεων που έχουν διαταχθεί σε αύξουσα σειρά;

ΘΕΜΑ Α Α1. Τι ονομάζεται διάμεσος δ ενός δείγματος ν παρατηρήσεων που έχουν διαταχθεί σε αύξουσα σειρά; ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ HMEΡΗΣΙΩΝ ΚΑΙ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ (ΟΜΑΔΑ A ) ΚΑΙ ΜΑΘΗΜΑΤΩΝ ΕΙΔΙΚΟΤΗΤΑΣ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΠΕΜΠΤΗ 4 ΜΑΪΟΥ 0 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι ΗΜΕΡΗΣΙΑ ΘΕΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 2002 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 2002 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ o ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ A Έστω µι συνεχής συνάρτηση σ' έν διάστηµ [, β] Αν G είνι µι πράγουσ της στο [, β], τότε ν δείξετε ότι β d Gβ G

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΡΙΑ ΓΚΟΥΝΤΑΡΟΠΟΥΛΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΡΙΑ ΓΚΟΥΝΤΑΡΟΠΟΥΛΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Η διυσμτική κτί του θροίσμτος τω μιγδικώ i κι γ δi είι το άθροισμ τω διυσμτικώ κτίω τους Α M κι M γ δ είι οι εικόες τω i κι γ δi τιστοίχως

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ (27 /5/ 2004)

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ (27 /5/ 2004) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ (7 /5/ 4) ΘΕΜΑ ο Α. Έστω μι συνάρτηση f ορισμένη σ' έν διάστημ Δ κι έν εσωτερικό σημείο του Δ. Αν η f προυσιάζει τοπικό κρόττο στο κι είνι πργωγίσιμη

Διαβάστε περισσότερα

Τα παρακάτω είναι τα κυριότερα θεωρήματα και ορισμοί από το σχολικό βιβλίο ακολουθούμενα από δικά μας σχόλια. 1 ο ΠΡΩΤΟ. www.1proto.gr. www.1proto.

Τα παρακάτω είναι τα κυριότερα θεωρήματα και ορισμοί από το σχολικό βιβλίο ακολουθούμενα από δικά μας σχόλια. 1 ο ΠΡΩΤΟ. www.1proto.gr. www.1proto. 1 Τ πρκάτω είνι τ κυριότερ θεωρήμτ κι ορισμοί πό το σχολικό βιβλίο κολουθούμεν πό δικά μς σχόλι. 1 ο ΠΡΩΤΟ 2 Συνρτήσεις Γνησίως μονότονη συνάρτηση Μι γνησίως ύξουσ ή γνησίως φθίνουσ συνάρτηση λέμε ότι

Διαβάστε περισσότερα

Θέμα: Ολοκληρώματα. Υπολογισμός ολοκληρωμάτων. Μέθοδοι ολοκλήρωσης. Εμβαδά. Η συνάρτηση που ορίζεται από ολοκλήρωμα

Θέμα: Ολοκληρώματα. Υπολογισμός ολοκληρωμάτων. Μέθοδοι ολοκλήρωσης. Εμβαδά. Η συνάρτηση που ορίζεται από ολοκλήρωμα Θέμ: Ολοκληρώμτ Υολογισμός ολοκληρωμάτων Μέθοδοι ολοκλήρωσης Εμβδά Η συνάρτηση ου ορίζετι ό ολοκλήρωμ Ενλητικές σκήσεις ολοκληρωμάτων ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΩΝ ΜΕ ΕΥΡΕΣΗ ΤΗΣ ΑΡΧΙΚΗΣ ή ΠΑΡΑΓΟΥΣΑΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ίνονται οι πραγµατικές συναρτήσεις f, g µε πεδίο ορισµού το έχουν πρώτη και δεύτερη παράγωγο και g(x) f(α) g(α) f(x) g (x) για κάθε x { α}

ίνονται οι πραγµατικές συναρτήσεις f, g µε πεδίο ορισµού το έχουν πρώτη και δεύτερη παράγωγο και g(x) f(α) g(α) f(x) g (x) για κάθε x { α} 1997 ΘΕΜΑΤΑ 1 ίνοντι οι πργµτικές συνρτήσεις f, g µε πεδίο ορισµού το έχουν πρώτη κι δεύτερη πράγωγο κι πργµτικός ριθµός Θέτουµε Α f() g(), που γι κάθε Έστω κι Β f () Α g () Αν φ g() είνι πργµτική συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

ολοκληρωτικος λογισμος

ολοκληρωτικος λογισμος γ λυκειου ` κεφλιο κεφλιο κεφλιο κεφλιο κεφλιο κεφλιο ολοκληρωτικος λογισμος επιμελει : τκης τσκλκος 7 ... ρχικη συνρτηση... ορισμενο ολοκληρωμ... η συνρτηση F()= f()d... εμδον επιπεδου χωριου γιτι...

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά θετικής & τεχνολογικής κατεύθυνσης

Μαθηματικά θετικής & τεχνολογικής κατεύθυνσης ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 5 Μθημτικά θετικής & τεχνολογικής κτεύθυνσης Α. Σχολικό βιβλίο, σελ: 94 ΘΕΜΑ Α Α. Σχολικό βιβλίο, σελ: 88 Α. Σχολικό βιβλίο, σελ: 59 Α4. ) ΛΑΘΟΣ β) ΣΩΣΤΟ γ) ΛΑΘΟΣ δ) ΣΩΣΤΟ ε) ΣΩΣΤΟ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2004

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2004 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 4 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑο Α Έστω µι συνάρτηση f ορισµένη σ' έν διάστηµ κι έν εσωτερικό σηµείο του Αν η f προυσιάζει τοπικό κρόττο στο κι είνι πργωγίσιµη

Διαβάστε περισσότερα

ΕΚΘΕΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ f (x)=α x,α>0 και α 1 λέγεται εκθετική συνάρτηση

ΕΚΘΕΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ f (x)=α x,α>0 και α 1 λέγεται εκθετική συνάρτηση ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΜΕ ΕΚΘΕΤΗ ΡΗΤΟ - ΑΡΡΗΤΟ Αν >0, μ κέριος κι ν θετικός κέριος, τότε ορίζουμε: Επιπλέον, ν μ,ν θετικοί κέριοι, ορίζουμε: 0 =0. Πρδείγμτ: 4 4,, 5 5, 4 0 =0. Γενικότερ μπορούμε ν ορίσουμε δυνάμεις

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2004

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2004 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 4 ΘΕΜΑο Α Έστω µι συνάρτηση f ορισµένη σ' έν διάστηµ κι έν εσωτερικό σηµείο του Αν η f προυσιάζει τοπικό κρόττο στο κι είνι πργωγίσιµη στο σηµείο

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΜΠΤΗ 30 ΜΑΪΟΥ 2002 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΜΠΤΗ 30 ΜΑΪΟΥ 2002 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΜΠΤΗ 3 ΜΑΪΟΥ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑ o A. Έστω µι συνεχής συνάρτηση σ' έν διάστηµ [, ]. Αν G είνι µι πράγουσ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ. Σύνολο τιμών της f λέμε το σύνολο που έχει για στοιχεία του τις τιμές της f σε όλα τα.

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ. Σύνολο τιμών της f λέμε το σύνολο που έχει για στοιχεία του τις τιμές της f σε όλα τα. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ Β Γενικό μέρος των συνρτήσεων Τι λέμε σύνολο τιμών μις συνάρτησης με πεδίο ορισμού το σύνολο A ; Σύνολο τιμών της λέμε το σύνολο που έχει γι στοιχεί του τις τιμές

Διαβάστε περισσότερα

Μελέτη συνάρτησης f(x) = α x. α f(x) είναι περιττή α 0 x. Να μελετηθεί ως προς την μονοτονία η συνάρτηση f με f(x),α 0

Μελέτη συνάρτησης f(x) = α x. α f(x) είναι περιττή α 0 x. Να μελετηθεί ως προς την μονοτονία η συνάρτηση f με f(x),α 0 Z. 7. Μελέτη συνάρτησης f() = Απρίτητες γνώσεις Θεωρίς Θεωρί 4. Ν ποδείξετε ότι η συνάρτηση: f() είνι περιττή 0 Απόδειξη: Το πεδίο ορισμού της f είνι το R* R 0 Γι κάθε R*, R* κι f(-) f() ( ) Επομένως η

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικό Διαγώνισµα Μαθηµατικών Γ Λυκείου ΕΠΑΛ

Επαναληπτικό Διαγώνισµα Μαθηµατικών Γ Λυκείου ΕΠΑΛ ΘΕΜΑ Α Επνληπτικό Διγώνισµ Μθηµτικών Γ Λυκείου ΕΠΑΛ Α. Ν δώσετε τον ορισµό της συχνότητς κι της σχετικής συχνότητς µις πρτήρησης x i. (7 Μονάδες) Α. Ν χρκτηρίσετε τις προτάσεις που κολουθούν, γράφοντς

Διαβάστε περισσότερα

) f (x) = e x - f(x) ΜΑΘΗΜΑ Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ F(x) = ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Ασκήσεις Εύρεση συνάρτησης Ύπαρξη ρίζας. f (t)dt

) f (x) = e x - f(x) ΜΑΘΗΜΑ Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ F(x) = ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Ασκήσεις Εύρεση συνάρτησης Ύπαρξη ρίζας. f (t)dt ΜΑΘΗΜΑ 4 3.5 Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ F() = Ασκήσεις Εύρεση συνάρτησης Ύπρξη ρίζς f ()d ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Έστω συνεχής συνάρτηση f : R R γι την οποί ισχύει f ( ) f() = e d γι κάθε R. Ν βρεθεί η f. Είνι f () = ( f e d ) f ()

Διαβάστε περισσότερα

ίνονται οι πραγµατικές συναρτήσεις f, g που έχουν πεδίο ορισµού το σύνολο

ίνονται οι πραγµατικές συναρτήσεις f, g που έχουν πεδίο ορισµού το σύνολο 996 ΘΕΜΑΤΑ. ίνοντι οι πργµτικές συνρτήσεις f, g που έχουν πεδίο ορισµού το σύνολο. Αν οι f κι g έχουν συνεχείς πρώτες πργώγους κι συνδέοντι µετξύ τους µε τις σχέσεις f = g, g = - f τότε ν ποδείξετε ότι:

Διαβάστε περισσότερα

Βασικό θεώρηµα της παράγουσας Θ.Θ του ολοκληρωτικού λογισµού Μέθοδοι ολοκλήρωσης

Βασικό θεώρηµα της παράγουσας Θ.Θ του ολοκληρωτικού λογισµού Μέθοδοι ολοκλήρωσης ΜΑΘΗΜΑ.5 Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ F() ΘΕΩΡΙΑ. Θεώρηµ f ()d Βσικό θεώρηµ της πράγουσς Θ.Θ του ολοκληρωτικού λογισµού Μέθοδοι ολοκλήρωσης Θεωρί - Σχόλι - Μέθοδοι Ασκήσεις Αν η f είνι µι συνεχής συνάρτηση σε διάστηµ κι

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑ ΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ HMEΡΗΣΙΩΝ ΚΑΙ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ (ΟΜΑ Α A ) ΚΑΙ ΜΑΘΗΜΑΤΩΝ ΕΙ ΙΚΟΤΗΤΑΣ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ (ΟΜΑ Α Β ) ΤΡΙΤΗ 3 IOYNIOY 014 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ-ΛΑΘΟΥΣ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ-ΛΑΘΟΥΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ-ΛΑΘΟΥΣ 1. Αν f συνεχής στο [α, β] είναι f ( ) d 0 f ( ) 0 2. Αν f συνεχής και γν. αύξουσα στο [α, β] ισχύει ότι: f ( ) d 0. 3. Αν f ( ) d g( ) d, ό f ( ) g( ) ά [, ]. 4. Το σύνολο τιμών

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΛΟΣ 1ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙ ΕΣ

ΤΕΛΟΣ 1ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙ ΕΣ ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ HMEΡΗΣΙΩΝ ΚΑΙ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ (ΟΜΑ Α A ) ΚΑΙ ΜΑΘΗΜΑΤΩΝ ΕΙ ΙΚΟΤΗΤΑΣ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ (ΟΜΑ Α Β ) ΠΕΜΠΤΗ 4 ΜΑΪΟΥ 01 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ:

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ Έστω η πργωγίσιμη συνάρτηση f: (, + ) R γι την οποί ισχύει η σχέση f() yf(y) = yf + y y γι κάθε, y (, + ) i. Ν δειχθεί ότι η f είνι στθερή στο (, + ). ii. Εάν iii.

Διαβάστε περισσότερα

Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος ΜEd: «Σπουδές στην εκπαίδευση»

Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος ΜEd: «Σπουδές στην εκπαίδευση» Η συνάρτηση f() =, 0 Υπερβολή Δύο ποσά λέγοντι ντιστρόφως νάλογ, εάν μετβάλλοντι με τέτοιο τρόπο, που ότν οι τιμές του ενός πολλπλσιάζοντι με ένν ριθμό, τότε κι οι ντίστοιχες τιμές του άλλου ν διιρούντι

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Σττιστική είνι ο κλάδος των µθηµτικών που συγκεντρώνει στοιχεί τ τξινοµεί κι τ προυσιάζει σε κτάλληλη µορφή ώστε ν µπορούν ν νλυθούν κι ν ερµηνευτούν. Πληθυσµός είνι το σύνολο των

Διαβάστε περισσότερα

1.3 ΜΟΝΟΤΟΝΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ

1.3 ΜΟΝΟΤΟΝΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ 5 ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 3 ΜΟΝΟΤΟΝΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Μονοτονί συνάρτησης Οι έννοιες γνησίως ύξουσ συνάρτηση, γνησίως φθίνουσ συνάρτηση είνι γνωστές πό προηγούμενη τάξη Συγκεκριμέν,

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑ ΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ HMEΡΗΣΙΩΝ ΚΑΙ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ (ΟΜΑ Α A ) ΚΑΙ ΜΑΘΗΜΑΤΩΝ ΕΙ ΙΚΟΤΗΤΑΣ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ (ΟΜΑ Α Β ) ΤΡΙΤΗ 3 IOYNIOY 04 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ:

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ Έστω η πργωγίσιμη συνάρτηση f: (, + ) R γι την οποί ισχύει η σχέση f() yf(y) = yf + y y γι κάθε, y (, + ) i. Ν δειχθεί ότι η f είνι στθερή στο (, + ). ii. Εάν iii.

Διαβάστε περισσότερα

η οποία ονομάζεται εκθετική συνάρτηση με βάση α. Αν α 1, τότε έχουμε τη σταθερή συνάρτηση f x 1.

η οποία ονομάζεται εκθετική συνάρτηση με βάση α. Αν α 1, τότε έχουμε τη σταθερή συνάρτηση f x 1. Εκθετική συνάρτηση Αν θετικός πργμτικός ριθμός, σε κάθε ντιστοιχεί η δύνμη. Έτσι ορίζετι η συνάρτηση : f : με f, 0 η οποί ονομάζετι εκθετική συνάρτηση με βάση. Αν, τότε έχουμε τη στθερή συνάρτηση f. Ας

Διαβάστε περισσότερα

Χαράλαμπος Στεργίου Χρήστος Νάκης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ2. Υποδείξεις Απαντήσεις των προτεινόμενων ασκήσεων

Χαράλαμπος Στεργίου Χρήστος Νάκης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ2. Υποδείξεις Απαντήσεις των προτεινόμενων ασκήσεων Χράλμπος Στεργίου Χρήστος Νάκης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Υποδείξεις Απντήσεις των προτεινόμενων σκήσεων 5.65 5.8 Ενότητ 5 Συμπληρωμτικές σκήσεις κι θέμτ 5.65 ) Από τ δεδομέν της άσκησης έχουμε: f () + f() = ( f ())

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΑΠΟΣΤΑΣΗ ΥΟ ΣΗΜΕΙΩΝ ( ) = +. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x x ( ) ( ) ΙΑΜΑΝΤΟΠΟΥΛΟΣ ΘΥΜΙΟΣ 1

ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΑΠΟΣΤΑΣΗ ΥΟ ΣΗΜΕΙΩΝ ( ) = +. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x x ( ) ( ) ΙΑΜΑΝΤΟΠΟΥΛΟΣ ΘΥΜΙΟΣ 1 ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΑΠΟΣΤΑΣΗ ΥΟ ΣΗΜΕΙΩΝ Υπενθυµίζουµε ότι ν στ σηµεί Α, Β ενός άξον ντιστοιχίζοντι οι πργµτικοί ριθµοί, ντίστοιχ τότε: ( ΑΒ) = Β Α Α Β Σχετικά µε την πόστση δύο σηµείων στο κρτεσινό

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΗΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΘΕΩΡΗΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 1 ΘΕΩΡΗΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 1. ) Πότε µι συνάρτηση µε Πεδίο ορισµού το Α ονοµάζετι περιοδική; β) Ποιο είνι το πεδίο ορισµού κι η περίοδος των συνρτήσεων ηµx, συνx, εφx κι σφx;. Περιοδική ονοµάζετι

Διαβάστε περισσότερα

Qwφιertyuiopasdfghjklzxερυυξnmηq σwωψerβνtyuςiopasdρfghjklzxcvbn mqwertyuiopasdfghjklzxcvbnφγιmλι qπςπζαwωeτrtνyuτioρνμpκaλsdfghςj

Qwφιertyuiopasdfghjklzxερυυξnmηq σwωψerβνtyuςiopasdρfghjklzxcvbn mqwertyuiopasdfghjklzxcvbnφγιmλι qπςπζαwωeτrtνyuτioρνμpκaλsdfghςj Qwφιertuiopasdfghjklzερυυξnmηq σwωψertuςiopasdρfghjklzcvbn mqwertuiopasdfghjklzcvbnφγιmλι qπςπζwωeτrtuτioρμpκaλsdfghςj ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ klzcvλοπbnmqwertuiopasdfghjklz ΤΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ. Κεφάλαιο 3ο: Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος»

ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ. Κεφάλαιο 3ο: Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος» Κεφάλιο ο: ΚΩΝΙΚΕ ΤΟΜΕ Ερωτήσεις του τύπου «ωστόάθος» 1. * Η εξίσωση + = ( > 0) πριστάνει κύκλο.. * Η εξίσωση + + κ + λ = 0 µε κ, λ 0 πριστάνει πάντ κύκλο.. * Ο κύκλος µε κέντρο Κ (1, 1) που περνά πό το

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΛΟΣ 1ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙ ΕΣ

ΤΕΛΟΣ 1ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙ ΕΣ ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ HMEΡΗΣΙΩΝ ΚΑΙ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ (ΟΜΑ Α A ) ΚΑΙ ΜΑΘΗΜΑΤΩΝ ΕΙ ΙΚΟΤΗΤΑΣ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ (ΟΜΑ Α Β ) ΠΕΜΠΤΗ 24 ΜΑΪΟΥ 202 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ:

Διαβάστε περισσότερα

qwertyuiopasdfghjklzxcvbnmq wertyuiopasdfghjklzxcvbnmqw ertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwer tyuiopasdfghjklzxcvbnmqwerty uiopasdfghjklzxcvbnmqwertyui

qwertyuiopasdfghjklzxcvbnmq wertyuiopasdfghjklzxcvbnmqw ertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwer tyuiopasdfghjklzxcvbnmqwerty uiopasdfghjklzxcvbnmqwertyui qwertyuiopasdfghjklzcvbnmq wertyuiopasdfghjklzcvbnmqw ertyuiopasdfghjklzcvbnmqwer tyuiopasdfghjklzcvbnmqwerty ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ uiopasdfghjklzcvbnmqwertyui ΟΛΟΚΛΗΡΩΤ ΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

( ) 2.3. ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Ορισμός συνάρτησης:

( ) 2.3. ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Ορισμός συνάρτησης: Πγκόσμιο χωριό γνώσης.3. ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ.3.1. Ορισμός συνάρτησης: 6 Ο ΜΑΘΗΜΑ Συνάρτηση f / A B, ονομάζετι η διδικσί (νόμος ) που ντιστοιχίζει κάθε στοιχείο του συνόλου Α ( πεδίο ορισμού ) σε έν μόνο στοιχείο

Διαβάστε περισσότερα

Καρτεσιανές Συντεταγµένες

Καρτεσιανές Συντεταγµένες Γρφική Πράστση Συνάρτησης Κρτεσινές Συντετγµένες Κρτεσινό σύστηµ συντετγµένων ή ορθογώνιο σύστηµ ξόνων O είνι έν σύστηµ δύο κθέτων ξόνων O κι O ( 0 0) µε κοινή ρχή το σηµείο O,. O Ορθοκνονικό σύστηµ ξόνων

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑ ΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ HMEΡΗΣΙΩΝ ΚΑΙ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΟΜΑ Α A ΚΑΙ ΜΑΘΗΜΑΤΩΝ ΕΙ ΙΚΟΤΗΤΑΣ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΟΜΑ Α Β ΤΡΙΤΗ 3 IOYNIOY 4 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ:

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ. 3. Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 + z2 = z1 + z2. 4. Για κάθε z C ισχύει z z 2 z. 5. Για κάθε µιγαδικό z ισχύει: 6.

ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ. 3. Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 + z2 = z1 + z2. 4. Για κάθε z C ισχύει z z 2 z. 5. Για κάθε µιγαδικό z ισχύει: 6. ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ 1 Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 z2 z1 z2 1 2 Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 z2 z1 z2 3 Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 + z2 = z1 + z2 4 Για κάθε z C ισχύει z z 2 z 5 Για κάθε µιγαδικό z ισχύει:

Διαβάστε περισσότερα

Γ. Ε. ΛΥΚΕΙΟ 2008 ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΑΞΗ Β

Γ. Ε. ΛΥΚΕΙΟ 2008 ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΑΞΗ Β Γ. Ε. ΛΥΚΕΙΟ 008 81 Γ. Ε. ΛΥΚΕΙΟ 008 8 Α. Ν ποδείξετε ότι ν συν( + β) 0, συν 0 κι συνβ 0 ισχύει: εφ + εφβ εφ( + β) = 1 εφ εφβ Β. Ν χρκτηρίσετε με Σ(σωστό) ή Λ(λάθος)κάθε μι πό τις πρκάτω προτάσεις:. Αν

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 11: ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ - ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Κεφ 2.8: Κυρτότητα Σημεία Καμπής του σχολικού βιβλίου].

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 11: ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ - ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Κεφ 2.8: Κυρτότητα Σημεία Καμπής του σχολικού βιβλίου]. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ - ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Κεφ.8: Κυρτότητ Σημεί Κμής του σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Β Άσκηση. Δίνοντι οι συνρτήσεις f, g ορισμένες στο [, ]

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία 1 Αποδείξτε ότι η διανυσματική ακτίνα του αθροίσματος των μιγαδικών α+βi και γ+δi είναι το άθροισμα των διανυσματικών ακτίνων τους.

Θεωρία 1 Αποδείξτε ότι η διανυσματική ακτίνα του αθροίσματος των μιγαδικών α+βi και γ+δi είναι το άθροισμα των διανυσματικών ακτίνων τους. Θεωρί - Αποδείξεις Θεωρί Αποδείξτε ότι η δινσμτική κτίν το θροίσμτος των μιδικών κι δ είνι το άθροισμ των δινσμτικών κτίνων τος. Αν Μ κι Μ δ είνι οι εικόνες των κι δ ντιστοίχως στο μιδικό επίπεδο τότε

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 1. Ν χρκτηρίσετε τις πρκάτω προτάσεις με Σωστό ( Σ ) ή Λάθος ( Λ ) i. ( - ) =- ii. ( 1- ) =1- iii. Αν χ < 1 τότε χ -χ + 1 = χ - 1 iv. Ισχύει: χ = Û χ = v.

Διαβάστε περισσότερα

έλλειψη µε εστίες Ε (- γ, 0), Ε (γ, 0) και σταθερό άθροισµα 2α. 2. * Η εξίσωση

έλλειψη µε εστίες Ε (- γ, 0), Ε (γ, 0) και σταθερό άθροισµα 2α. 2. * Η εξίσωση Γ. ΕΛΛΕΙΨΗ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό - Λάθος» 1. * Η εξίσωση x + y = µε = γ πριστάνει έλλειψη µε εστίες Ε (- γ, 0), Ε (γ, 0) κι στθερό άθροισµ.. * Η εξίσωση x + y = µε = γ πριστάνει έλλειψη µε εστίες

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΤΥΠΟΥ ΠΟΛΛΑΠΛΗΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ Πηγή: KEE

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΤΥΠΟΥ ΠΟΛΛΑΠΛΗΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ Πηγή: KEE ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΤΥΠΟΥ ΠΟΛΛΑΠΛΗΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ Πηγή: KEE 1. Το σηµείο Μ (-, ) νήκει στη γρµµή µε εξίσωση Α. = = - Γ. = 1. ( ) ( - ) = 1 Ε. = -. Το κέντρο του κύκλου που έχει διάµετρο ΑΒ µε Α

Διαβάστε περισσότερα

Η συνάρτηση F(x)= 13/3/2010 ΘΕΩΡΗΜΑ Αν f είναι συνάρτηση συνεχής σε διάστημα Δ και α είναι ένα σημείο του Δ, τότε

Η συνάρτηση F(x)= 13/3/2010 ΘΕΩΡΗΜΑ Αν f είναι συνάρτηση συνεχής σε διάστημα Δ και α είναι ένα σημείο του Δ, τότε Μθημτικός Η συνάρτηση F()= //200 ΘΕΩΡΗΜΑ Αν f είνι συνάρτηση συνεχής σε διάστημ Δ κι είνι έν σημείο του Δ, τότε η συνάρτηση F()=, Δ είνι μι πράγουσ της f στο Δ. Δηλδή ισχύει: = f() γι κάθε Δ. (H πργώγιση

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηµατικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης ΚΕΦΑΛΑΙΟ. 1 ο :Μιγαδικοί Αριθµοί

Μαθηµατικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης ΚΕΦΑΛΑΙΟ. 1 ο :Μιγαδικοί Αριθµοί ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο :Μιγαδικοί Αριθµοί. Ποιο σύνολο ονοµάζεται σύνολο των µιγαδικών αριθµών ;. Tι ονοµάζεται µιγαδικός αριθµός; Ποιο είναι το πραγµατικό και ποιο το φανταστικό του µέρος ; 3. Tι ονοµάζεται εικόνα

Διαβάστε περισσότερα

Η έννοια της συνάρτησης

Η έννοια της συνάρτησης Η έννοι της συνάρτησης Τι ονομάζουμε πργμτική συνάρτηση; Έστω Α έν υποσύνολο του R Ονομάζουμε πργμτική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α μι διδικσί (κνόν), με την οποί κάθε στοιχείο A ντιστοιχίζετι σε έν

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Αόριστο & Ορισμένο Ολοκλήρωμα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Αόριστο & Ορισμένο Ολοκλήρωμα Ορισμό ΚΕΦΑΛΑΙΟ Αόριστ & Ορισμέν Ολκλήρωμ Αρχική-Πράγυσ Πράγυσ ή Αρχική ή Αντιπράγωγ μι συνάρτηση f, σε έν διάστημ Δ νμάζετι η πργωγίσιμη συνάρτηση F γι την πί ισχύει F ( ) = f ( ) γι κάθε Ξ D π.χ. π.χ.

Διαβάστε περισσότερα

Σημειωση Αν καποια προταση απο τις επομενες χρησιμοποιηθει χρειαζεται αποδειξη. Εξαιρεση αποτελουν οι(3),(13),(21)

Σημειωση Αν καποια προταση απο τις επομενες χρησιμοποιηθει χρειαζεται αποδειξη. Εξαιρεση αποτελουν οι(3),(13),(21) È Ö Ñ Ø Ä Ó Ù Ð ËÕÓÐ ËÑ ÖÒ ¾½ÆÓ Ñ ÖÓÙ¾¼¼ È Ö ØÛÔ Ö Ð Ñ ÒÓÒØ Ñ Ö ÔÖÓØ Ñ Ö Ð ÑÑ Ø ÕÖ Ñ È ÖÐ Ý Ø Ü Ø ØÓÑ Ñ Ø ÙÒ Ø ³ÄÙ ÓÙº Σημειωση Αν κποι προτση πο τις επομενες χρησιμοποιηθει χρειζετι ποδειξη. Εξιρεση ποτελουν

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ (Α κύκλος)

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ (Α κύκλος) ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ (Α κύκλος) Δίνεται η εξίσωση z-=z-3i,zc α) Να αποδείξετε ότι ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του z είναι η ευθεία ε: -3y+4= β) Να βρείτε την εικόνα του μιγαδικού z, για τον οποίο το

Διαβάστε περισσότερα

Π Α Ν Ε Λ Λ Η Ν Ι Ε Σ 2 0 1 3 Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Κ Α T E Y Θ Υ Ν Σ Η Σ

Π Α Ν Ε Λ Λ Η Ν Ι Ε Σ 2 0 1 3 Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Κ Α T E Y Θ Υ Ν Σ Η Σ Π Α Ν Ε Λ Λ Η Ν Ι Ε Σ 3 Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Κ Α T E Y Θ Υ Ν Σ Η Σ Ε ι μ ε λ ε ι : Τ κ η ς Τ σ κ λ κ ο ς o ΘΕΜΑ Π ν ε λ λ δ ι κ ε ς Ε ξ ε τ σ ε ι ς ( 3 ) A. Εστω f μι συνεχης συνρτηση σε εν διστημ [, β].

Διαβάστε περισσότερα

, οπότε α γ. y x. y y άξονες. τα σημεία της υπερβολής C βρίσκονται έξω από την ταινία των ευθειών x α

, οπότε α γ. y x. y y άξονες. τα σημεία της υπερβολής C βρίσκονται έξω από την ταινία των ευθειών x α YΠΡΒΛΗ ρισμός: Υπερολή με εστίες κι λέγετι ο γεωμ. τόπος των σημείων του επιπέδου των οποίων η πόλυτη τιμή της διφοράς των ποστάσεων πό τ κι είνι στθερή κι μικρότερη του Έ. Τη στθερή υτή διφορά τη συμολίζουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 3 ΘΕΩΡΙΑ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΕΠΙΣΗΜΑΝΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΟ Α ΘΕΜΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ Βγγέλης Α Νικολκάκης Μθημτικός ΛΙΓΑ ΛΟΓΙΑ Η προύσ εργσί μµου δε στοχεύει πλά στο κυήγι του 5,δηλδή τω μµοάδω του

Διαβάστε περισσότερα

ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. Δίνετι η εκθετική συνάρτηση: f a Γι ποιες τιμές του η ) γνησίως ύξουσ; β) γνησίως φθίνουσ; ( ) είνι:. Δίνοντι οι

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΡΙΣΜΟΙ ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΤΥΠΟΙ ΧΩΡΙΣ ΑΠΟΔΕΙΞΗ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΡΙΣΜΟΙ ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΤΥΠΟΙ ΧΩΡΙΣ ΑΠΟΔΕΙΞΗ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΟΡΙΣΜΟΙ ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΤΥΠΟΙ ΧΩΡΙΣ ΑΠΟΔΕΙΞΗ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Το σύολο C τω μιγδικώ ριθμώ είι έ υπερσύολο του συόλου R τω πργμτικώ ριθμώ, στο οποίο: Επεκτείοτι οι πράξεις της πρόσθεσης κι του πολλπλσισμού έτσι,

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2ο: ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 2ο ΜΕΡΟΣ

Κεφάλαιο 2ο: ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 2ο ΜΕΡΟΣ Κεφάλαιο ο: ΙΑΦΟΡΙΚΟ ΟΓΙΜΟ ο ΜΕΡΟ Ερωτήσεις του τύπου «ωστό - άθος» 1. * Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη στο R και f (α) f (β), α, β R, α < β, τότε ισχύει f () για κάθε (α, β).. * Αν η συνάρτηση f

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΚΑΤ/ΝΣΗΣ ΘΕΩΡΙΑ - ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΚΑΤ/ΝΣΗΣ ΘΕΩΡΙΑ - ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ Επιμέλει - Κ Μυλωάκης Ν δείξετε ότι: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΚΑΤ/ΝΣΗΣ ΘΕΩΡΙΑ - ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ i γ δi γ δ δ γ i Γι το πολλπλσισμό δύο μιγδικώ i κι γ δi έχουμε: i γ δi γ δi i γ δi γ δi γi i δi γ δi γi δi γ δi γi δ γ δ

Διαβάστε περισσότερα

3.4 Η ΥΠΕΡΒΟΛΗ. Ορισμός Υπερβολής

3.4 Η ΥΠΕΡΒΟΛΗ. Ορισμός Υπερβολής 6 3. Η ΥΠΕΡΒΟΛΗ Ορισμός Υπερολής Έστω E κι Ε δύο σημεί ενός επιπέδου. Ονομάζετι υπερολή με εστίες τ σημεί E κι Ε ο εωμετρικός τόπος C των σημείων του επιπέδου των οποίων η πόλυτη τιμή της διφοράς των ποστάσεων

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΩΝ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. 1 ο δείγμα

ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΩΝ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. 1 ο δείγμα ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΩΝ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ο δείγμα ΘΕΜΑ ο Α. Έστω μία συνάρτηση f συνεχής σε ένα διάστημα α,β. Αν G είναι μία παράγουσα της f στο α,β τότε να αποδείξετε ότι

Διαβάστε περισσότερα

Ολοκληρωτικός. Λογισμός

Ολοκληρωτικός. Λογισμός Ολοκληρωτικός Λογισμός Συλλογή 6 Ασκήσεων mahmaica -99 ΕΠΙΛΟΓΗ + ΕΠΙΛΥΣΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΣΥΛΛΟΓΗΣ: 9// 7// Πηγή Απντήσεις Έλυσν οι: XRIMAK Βσίλης Κκβάς Γιάννης Κουτσούκος Δημήτρης Κτσίποδς Διονύσης Βουτσάς Θάνος

Διαβάστε περισσότερα

Η Θεωρία σε 99 Ερωτήσεις

Η Θεωρία σε 99 Ερωτήσεις Μθημτικά Κτεύθυσης Γ Λυκείου Η Θεωρί σε 99 Ερωτήσεις Ορισμοί, Θεωρήμτ 4 Μθημτικά Κτεύθυσης Γ Λυκείου Ερωτήσεις Θεωρίς Ορισιμοί θεωρήμτ με πτήσεις Μ Ππγρηγοράκης Μθημτικά Κτεύθυσης Γ Λυκείου Ερωτήσεις Θεωρίς

Διαβάστε περισσότερα

Εκθετική - Λογαριθµική συνάρτηση

Εκθετική - Λογαριθµική συνάρτηση Εκθετική - ογριθµική συνάρτηση Ορισµός δύνµης µε εκθέτη θετικό κέριο..., νν> ν 0 Ορίζουµε: ν πράγοντες,, γι 0., ν ν Αν ν θετικός κέριος, ορίζουµε: ν -ν. ν µ ν ν µ ν Αν >0, µ κέριος κι ν θετικός κέριος,

Διαβάστε περισσότερα

Η θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης :

Η θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης : Σελίδ πό 45 Η θεωρί στ Μθημτικά κτεύθυσης : Ορισμοί Ιδιότητες - Προτάσεις Θεωρήμτ Αποδείξεις Α Μιγδικοί ριθμοί Πότε δυο μιγδικοί είι ίσοι κι πότε ές μιγδικός είι ίσος με ; Δύο μιγδικοί ριθμοί ισχύει: βi

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ (των οποίων πρέπει να ξέρουμε & τις αποδείξεις) από το σχολικό βιβλίο της ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ & ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ Λυκείου

ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ (των οποίων πρέπει να ξέρουμε & τις αποδείξεις) από το σχολικό βιβλίο της ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ & ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ Λυκείου Θεωρήμτ θετικής-τεχολογικής κτεύθυσης ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ (τω οποίω πρέπει ξέρουμε & τις ποδείξεις πό το σχολικό βιβλίο της ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ & ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ Λυκείου υ υ όπου υ το υπόλοιπο της διίρεσης του με

Διαβάστε περισσότερα