just ( u) Πατρόκλου 66 Ίλιον

Transcript

1 just f ( u) du it Πτρόκλου 66 Ίλιον group-aei aei.gr

2 Νίκος Σούρµπης - - Γιώργος Βρδούκς Ν χρκτηρίσετε τ πρκάτω, σηµειώνοντς Σ (σωστό) ή Λ (λάθος). Αν z, z C, τοτε zz = zz. Η εξίσωση z+ i = πριστάνει τον κύκλο µε κέντρο το σηµείο Κ ( i) κι κτίν Αν η f διέρχετι πό τ σηµεί A(, ) κι B(,3 ) τότε η f είνι γνησίως ύξουσ. 4. Αν η πργωγίσιµη f έχει µέγιστο γι f = = τότε 5. Αν η f είνι γνησίως ύξουσ στο R τότε ισχύει : f ( ) > > f ( ) 6. Αν ισχύει ότι f ( ) f ( ) τότε 7. Γι κάθε > ισχύει ότι ln > 8. Αν η f εφρµόζει το Θ. Rolle στο [, ] τότε έχει µόνο µι οριζόντι εφπτοµένη 9. Αν η f εφρµόζει το ΘΜΤ στο [, ] τότε δεν έχει οριζόντι εφπτοµένη. Αν lim f <, τότε f < κοντά στο. Ισχύει ότι : ηµ γι κάθε R. Αν γι ισχυει f () > R τότε η f είνι γνησίως ύξουσ στο * R. 3. Έστω f :[, ] R συνεχής µε : f() ( f ) = γι κάθε [, ] τότε η f στθερή. 4. Ισχύει ότι : λ f()d = λ f()d, λ R 5. Αν, R κι ( + i) 8 = + i τότε ( + ) 8 i = i 6. Αν lim f = κι f()> τότε ισχύει ότι lim f = Ισχύει ότι : (+εφ )d= [ εφ] π 4 π π 4 π,, π Αν η f είνι κυρτή στο R τότε η f είνι γνησίως φθίνουσ στο R

3 Νίκος Σούρµπης - - Γιώργος Βρδούκς 9. i v = ή i ή ν v N. Κρίσιµ σηµεί της f λέγοντι οι ρίζες της πργώγου της. y = f. Με δεδοµένο το σχήµ της f ν ρείτε τη µονοτονί, τ κρόττ, τ κοίλ κι τ σηµεί κµπής της f.. Αν η f λλάζει κοίλ στο R τότε έχει σηµείο κµπής 3. Έστω f :[, ] R συνεχής µε ( f ) ( f ) = γι κάθε [,] τότε ισχύει ότι f = Αν η f κοίλη στο τότε f < γι κάθε 5. Αν lim f = + ή, τότε lim f = Η εικόν f ( ) ενός διστήµτος µέσω µις συνεχούς συνάρτησης f είνι διάστηµ. 7. Αν γι κάθε συνεχή συνάρτηση g ισχύει ότι : f =, [,] 8. Στο σύνολο C υπάρχει κριώς ένς µιγδικός z, ώστε f g d = τότε z =. 9. Έστω f µι συνεχής συνάρτηση σε έν διάστηµ [, ]. Αν f γι κάθε [, ], τότε f d >. 3. Αν οι συνρτήσεις f, g είνι πργωγίσιµες σ έν διάστηµ, τότε ισχύει : f g d + f g d = f g 3. Αν οι µιγδικοί z, z έχουν εικόνες ντίστοιχ τ σηµεί Μ, Μ τότε ισχύει : M M = z + z

4 Νίκος Σούρµπης Γιώργος Βρδούκς 3. Αν η συνάρτηση f δυο φορές πργωγίσιµη σε έν διάστηµ κι γι το σηµείο ισχύει f ( ) =, τότε το σηµείο,f ( ) κµπής της γρφικής πράστσης της f. ( ) Α είνι σηµείο 33. Έστω µι συνάρτηση f πργωγίσιµη σε έν διάστηµ (, ) µε εξίρεση ίσως έν σηµείο του τότε το f δεν είνι τοπικό κρόττο.. Αν η f διτηρεί πρόσηµο στο (, ) (, ), 34. Η πόστση των εικόνων δύο µιγδικών ισούτι µε τη διφορά των µιγδικών. 35. Η f = έχει κτκόρυφη σύµπτωτη την =. 36. Αν η f είνι κοίλη στο R τότε η f είνι γνησίως φθίνουσ στο R 37. Αν η f δεν είνι κυρτή στο τότε είνι κοίλη στο. 38. Αν η f είνι συνεχής κι γνησίως µονότονη στο R κι ισχύει ότι f f e d > τότε η f είνι γνησίως ύξουσ στο R f 39. Με δεδοµένο το σχήµ της f κι την g i) H g γνησίως ύξουσ στο [, ] ii) g( ) είνι τοπικό ελάχιστο iii) το (, ) είνι σηµείο κµπής της f iv) g( 4 ) είνι τοπικό ελάχιστο = f t dt ισχύουν : y = f 4 4. Αν η f έχει οριζόντι σύµπτωτη τότε η f έχει κτκόρυφη 4. Αν η f συνεχής στο R κι f τότε f f 5 > 4. Τ εσωτερικά σηµεί ενός διστήµτος στ οποί η f δε πργωγίζετι ή η πράγωγος της είνι ίση µε το µηδέν ονοµάζοντι κρίσιµ σηµεί της f 43. Ισχύει ότι : 4 3 t e dt γι κάθε R 44. Αν η f είνι πργωγίσιµη κι γνησίως ύξουσ στο διάστηµ τότε : f > γι κάθε

5 Νίκος Σούρµπης Γιώργος Βρδούκς 45. Αν γι τον µιγδικό z ισχύει z 3+ 4i = zz τότε η εικόν του κινείτι σε κύκλο µε κέντρο Κ (3,-4) κι κτίν 46. Ισχύει ότι : ( + ) f f h ρ = lim = f h h 47. Αν η f πργωγίσιµη στο (, ) κι η f διτηρεί πρόσηµο στο (, ) (, ) τότε το γνησίως µονότονη στο (, ) z f δεν είνι τοπικό κρόττο κι η f είνι 48. Αν ισχύει ότι f ( A ) =R τότε η f έχει µόνο µί ρίζ. 49. Με άση το σχήµ ισχύουν τ πρκάτω: 3 f 3. ( fof ) = f ( 3) f = 3. γ. η νίσωση f ( ) 3 είνι δύντη 5. Αν z, z C, τοτε z z z + z 5. Aν γι κάθε : f f R τότε η f έχει µέγιστο κι ελάχιστο 53. Αν η f άρτι στο R τότε η f είνι 54. Οι συνρτήσεις fof f of κι είνι ίσες στο A f 55. Αν f = γι κάθε R, τότε η f είνι στθερή. 56. Αν η f είνι δυο φορές πργωγίσιµη στοr µε κµπή στο 57. Aν f κι g είνι τότε f g είνι f =, τότε 58. Ισχύει ότι συν lim = 59. Ισχύει ότι 6. Ισχύει ότι t t e dt = e = e e ( ln ) ηµ lim = ln 6. Αν z, w C κι ισχύει z + w = τότε ( z = κι w = )

6 Νίκος Σούρµπης Γιώργος Βρδούκς 6. Ισχύει ότι ηµ = ηµ συν 63. Ισχύει ότι + t = + t 64. Ισχύει ότι ln, ή + = + = µετλητ 65. Αν η f συνεχής στο τότε η f πργωγίσιµη στο Η f = e e έχει οριζόντι εφπτοµένη 67. Ισχύει ότι + lim = lim = 68. Ισχύει ότι lim e ln( ) 69. Ισχύει ότι lim ( e ) + + = + = + (κνόνς DLH) 7. Ένς µόνο µιγδικός ικνοποιεί την εξίσωση : z i = z 7. Αν z = z z R 7. Αν η f : R R διέρχετι πό τ σηµεί Α(,), Β(3,4) τότε η f είνι γνησίως ύξουσ στο πεδίο ορισµού της 73. Η συνάρτηση fog ορίζετι ν f Α g 74. Αν η f είνι γνησίως φθίνουσ στο R τότε f < f ( + ), R 75. Aν lim f = 5 τότε lim f 5 = 76. Ισχύει ότι ηµ 3 lim = Αν lim f = 5 τότε 78. Ισχύει ότι lim = Η f ln ( ) f > γι κάθε R = + είνι σύνθεση των g = ln κι 8. Ισχύει ότι : f g h ( ) f ( h( g )) h = + = ν f, g, h ορίζοντι στο R 8. Αν ισχύει ότι f ( ) = f ( ) τότε υπάρχει 8. Αν η f είνι γνησίως ύξουσ στο R τότε ξ : f ξ =

7 Νίκος Σούρµπης Γιώργος Βρδούκς f ( ) < f < f ( + ), R 83. Αν f f = = τότε ο άξονς εφάπτετι στην γρφική πράστση της f 84. Αν η f κυρτή στο διάστηµ, τότε η -f κοίλη στο. f 85. Ισχύει ότι 86. Αν ισχύει ότι lim f g t dt = g f f ( ) = τότε f ( ) = 87. Γι κάθε µιγδικό z C ισχύει ότι : z z = z z Αν f είνι συνεχής στο διάστηµ [, ] τότε ισχύει ότι : f d > 89. Αν η f είνι πργωγίσιµη στο R κι δεν έχει τοπικό κρόττο τότε : f γι κάθε R 9. Αν ισχύει ότι lim f = τότε η ευθεί ε : y = + + είνι σύµπτωτη της συνάρτησης f στο Aν η f είνι πργωγίσιµη στο A = [,] τότε ισχύει ότι : f d + f d = f 9. Αν γι κάθε R ισχύει f τότε η f είνι γνησίως ύξουσ στο R. 93. Το = είνι κρίσιµο σηµείο της f 94. Αν z, z ρίζες της Ε : z z+ = µε R τότε = z = z =. 95. Αν γι κάθε R, f τότε η f δεν έχει τοπικό κρόττο. 96. Αν γι τον z C ισχύει ότι z = 3 τότε 9 z+ R z 97. Αν η f είνι πργωγίσιµη στο R κι f > f τότε υπάρχει ξ R ώστε f ( ξ ) >. 98. Αν f γι κάθε R τότε η f είνι γνησίως µονότονη στο R.

8 Νίκος Σούρµπης Γιώργος Βρδούκς 99. Η ρχική συνάρτηση της f. Αν ισχύει ότι f g + κ = είνι η F = +λ < γι > κι. Αν ο + i είνι ρίζ της εξίσωσης lim g() = + τότε + lim f () = + + z + z+ = τότε κι ο i είνι ρίζ. Αν µι συνάρτηση f είνι γνησίως ύξουσ κι συνεχής στο [, ), τότε το σύνολο τιµών της είνι f ( ),f ( ). 3. Το εµδόν του χωρίου που περικλείετι πό τη γρφική πράστση της συνεχούς συνάρτησης f σε έν διάστηµ κι πό τις ευθείες, = κι = είνι ίσο µε f d. 4. Αν µι συνάρτηση f είνι δυο φορές πργωγίσιµη κι κοίλη σε έν διάστηµ, τότε ισχύει f < γι κάθε. 5. Αν µι ρητή συνάρτηση δεν έχει κτκόρυφη σύµπτωτη, τότε υτή έχει πεδίο ορισµού το R. 6. Αν οι ρίζες της εξίσωσης πργµτικές, τότε υτές είνι συζυγείς µιγδικοί. z + z+ γ = µε,,γ R κι, δεν είνι 7. Αν γι κάθε R ισχύει f τότε η f είνι κυρτή στο R. 8. Το = είνι θέση κρόττου της f = 9. Αν γι τον z C ισχύει ότι z = τότε z I z. Αν η f είνι δυο φορές πργωγίσιµη στο R κι f f ξ R ώστε f ( ξ ) >.. Αν f γι κάθε R τότε η f δεν έχει σηµείο κµπής. > τότε υπάρχει. Ισχύει ότι 3 t e dt > γι κάθε 3. Αν ισχύει ότι f g γι > κι lim g() = + τότε + lim = f () + 4. Αν οι f, g είνι πργωγίσιµες στο τότε είνι κι η fog κι ισχύει ότι :

9 Νίκος Σούρµπης Γιώργος Βρδούκς ( fog) = f ( g ) g 5. Αν γι µι συνάρτηση f ισχύουν ότι : f ( ) f ( ) < κι f γι κάθε (, ), τότε η f δεν είνι συνεχής στο [, ]. 6. Aν γι δυο συνρτήσεις f, g συνεχείς στο διάστηµ ισχύει ότι : = γι κάθε εσωτερικό σηµείο του, τότε f g f g κάθε. ν 7. Αν ισχύει ότι i i κ = τότε.4 ν κ = πολ. 8. Aν οι συνρτήσεις f, g είνι συνεχείς στο [, ] κι ισχύει ότι : < g γι κάθε [, ], τότε f d < f 9. Ισχύει ότι συν = ηµ, R. 3. Η συνάρτηση ευθεί y = 3 g d = γι f = e + 3 έχει πλάγι σύµπτωτη στο + την. Αν f συνεχής στο Α = [, ] τότε οι τιµές f ( ) είνι οµόσηµες στο Α.. Αν γι R f = g τότε = + f g c 3. Αν η f εφρµόζει το Θ. Rolle στο A = [, ] τότε η f δεν είνι ντιστρέψιµη. 4. Αν η f είνι συνεχής κι γνησίως ύξουσ στο A = [, ] τότε το σύνολο τιµών της είνι f ( Α ) = f ( ),f ( ). 5. Αν γι R ισχύει ότι f = τότε f = + 6. Αν γι R ισχύει ότι f τότε η f έχει το πολύ µι ρίζ στο R 7. Η εξίσωση ηµ = έχει µόνο µί ρίζ ο 8. Αν η f είνι γνησίως ύξουσ στο A = (, ) τότε f ( Α ) = f ( ),f ( ) 9. Αν ισχύει f = f τότε f e = κ +λ

10 Νίκος Σούρµπης Γιώργος Βρδούκς 3. Αν z = τότε ισχύει ότι : z = z 3. Αν η f δεν είνι συνεχής στο τότε η f είνι πργωγίσιµη στο 3. Η συνάρτηση f ln( e ) 33. Η συνάρτηση 34. Ισχύει ότι : = έχει πεδίο ορισµού το f = t 4dt Ισχύει ότι * R έχει πεδίο ορισµού το A = [, + ) ln lim = συν ηµ συν lim = lim = lim = 36. Aν ισχύει ότι z = z τότε ο z είνι πργµτικός. 37. Iσχύει ότι : d = = 38. Αν η f δεν είνι συνεχής στο τότε η f είνι πργωγίσιµη στο 39. Η συνάρτηση f ln 4. Ισχύει ότι f d = έχει οριζόντι εφπτόµενη. 4. Ισχύει ότι : = lim e κ Η f = κι η g = έχουν κοινή εφπτοµένη στο. 43. Αν µι συνάρτηση f : A R είνι ντιστρεψιµη, τότε η f είνι γνησίως µονότονη στο Α. 44. Αν µι συνάρτηση f είνι συνεχής στο κι f >, τότε > γι τις τιµές του κοντά στο. f 45. Αν η συνάρτηση f είνι πργωγίσιµη στο R κι δεν έχει τοπικά κρόττ τότε f γι κάθε R. 46. Έστω η συνάρτηση f η οποί είνι κυρτή στο διάστηµ κι δυο φορές πργωγίσιµη σε υτό τότε ισχύει f > γι κάθε. 47. Αν η συνεχής συνάρτηση f δεν είνι πντού ίση µε µηδέν στο [, ]

11 Νίκος Σούρµπης - - Γιώργος Βρδούκς τότε ισχύει ότι f d >. 48. Αν γι τη συνάρτηση f ισχύει ότι f f 49. Aν lim f = τότε lim f = = τότε =. 5. Ισχύει ότι ln lim = 5. Αν η f είνι συνεχής κι γνησίως ύξουσ στο A = [, ) τότε το σύνολο τιµών της είνι το f ( Α ) = f ( ),limf 5. Αν γι R ισχύει ότι f = τότε f 53. Αν f ( ) g ( ). = + = τότε οι f,g έχουν κοινή εφπτοµένη στο. ( ) 54. Η εφπτοµένη της f στο 55. Ισχύει ότι : i Im( z) = z z M,f δεν έχει άλλο κοινό σηµείο µε την f. 56. Γι κάθε z C ισχύει ότι 4 z = z z. 57. Αν ισχύει ότι z i = i τότε η εικόν του z νήκει σε ευθεί. 58. Αν f πργωγίσιµη στο R τότε ισχύει ( f f ) () = ( f ) Αν f = 3 τότε f =. 6. Αν f = κι g = 3 τότε 6. Ισχύει ότι : e + 4 = e + 4 fg () = Αν η f δεν είνι συνεχής στο τότε η f είνι πργωγίσιµη στο. 63. Η συνάρτηση f g( ) = όπου A g =R είνι ντιστρέψιµη. 64. Η ευθεί y = 3 εφάπτετι στην f = e e 65. Ισχύει ότι : ( fog) = f ( g ) g 66. Ισχύει ότι : 67. Ισχύει ότι lim ln = ( ) f h f f = lim h h

12 Νίκος Σούρµπης - - Γιώργος Βρδούκς 68. Aν ισχύει ότι z = z τότε ο z είνι πργµτικός. 69. Ισχύει ότι Re( z) = z+ z γι z C 7. Αν lim f = lim f = 7. Η συνάρτηση f = e + 4 +συν έχει οριζόντι εφπτοµένη. 7. Αν η ευθεί ΑΒ µε A,f ( ) κι Β,f f λ ΑΒ = f = εφάπτετι στην f τότε 73. Αν ισχύει ότι z i = i τότε η εικόν του z νήκει σε ευθεί. 74. Αν + lim f = τότε η ευθεί y = + είνι πλάγι σύµπτωτη της f 75. Ισχύει ότι Το Ι = ( ) f f = γι κάθε A. d πριστάνει το εµδόν που περικλείετι νάµεσ 3 στη γρφική πράστση της f = µε τον άξον κι τις ευθείες = κι = 77. Αν η συνάρτηση f είνι πργωγίσιµη στο (, ) κι ισχύουν f ( ) = f ( ) κι f, γι κάθε (, ) τότε η f δεν είνι συνεχής στο [, ]. 78. Αν µι συνάρτηση f είνι πργωγίσιµη στο [, ] τότε γι κάθε (, ) ισχύει ότι f f f. 79. Αν γι τη συνάρτηση f ισχύει f στθερή στο R. 8. Αν f g =, γι κάθε R τότε η f είνι = γι κάθε R, τότε οι συνρτήσεις f κι g είνι ίσες. 8. Αν η f : R R είνι πργωγίσιµη κι δεν είνι ντιστρέψιµη τότε υπάρχει ξ R τέτοιο ώστε η εφπτόµενη της πράλληλη στον άξον των. C στο M ξ,f f ξ ν είνι 8. Αν οι f, g είνι πργωγίσιµες στο διάστηµ = [, ], f g d f g f g d. τότε ισχύει ότι : =

13 Νίκος Σούρµπης - - Γιώργος Βρδούκς 83. Αν γι R f = g κι f = g τότε 84. Αν γι κάθε R ισχύει f = f τότε f ce f = g + c =. 85. Αν f d = τότε υπάρχει ξ τέτοιο ώστε f ξ = 86. Αν η f δεν είνι συνεχής στο τότε η f είνι πργωγίσιµη στο. 87. Αν ισχύει ότι f f( t) e dt = τότε f = 88. Γι τη πργωγίσιµη συνάρτηση f ισχύει : lim f = f ( ) 89. Αν ισχύει ότι lim f = τότε η y = είνι πλάγι σύµπτωτη της f Aν ισχύει ότι z i = z+ i η εικόν του z νήκει στην ευθεί y 9. Ισχύει ότι lim ηµ = + =. 9. Αν η συνάρτηση f είνι συνεχής στο R κι f γι κάθε R, τότε η f ντιστρέψιµη. f d f t dt, όπου f συνεχής στο R. 93. Ισχύει ότι : = ( + ) 94. Ισχύει ότι : + ( ) συν + lim = 95. Αν η f είνι γνησίως ύξουσ στο R τότε f > γι κάθε R. 96. Αν f ( ) = τότε το 97. Ισχύει ότι : f είνι τοπικό κρόττο ln ln =, > 98. Αν η f δεν είνι συνεχής στο τότε η f δεν είνι πργωγίσιµη στο 99. Ισχύει ότι : lim e + =. Αν η συνάρτηση f είνι γνησίως µονότονη στο Rτότε είνι κι στο R.. Αν η f : R R διέρχετι πό τ σηµεί Ο(,), Α(,) τότε η f είνι γνησίως ύξουσ στο πεδίο ορισµού της.

14 Νίκος Σούρµπης Γιώργος Βρδούκς. Γι δυο συνρτήσεις f, g ισχύει πάντ ότι fog = gof. 3. Αν η f : R R διέρχετι πό τ σηµεί Α(,), Β(3,) τότε η f είνι γνησίως φθίνουσ στο πεδίο ορισµού της 4. Έστω συνάρτηση f συνεχής σε έν διάστηµ κι πργωγίσιµη στο εσωτερικό του. Αν η f είνι γνησίως ύξουσ στο τότε η πράγωγός της δεν είνι υποχρεωτικά θετική στο εσωτερικό του 5. Αν µι συνάρτηση f είνι γνησίως φθίνουσ κι συνεχής σε έν νοικτό διάστηµ (, ) τότε το σύνολο τιµών της στο διάστηµ υτό είνι το διάστηµ ( Α, Β ), όπου Α = lim f κι Β = lim f ( ) + 6. Αν το σύνολο τιµών της συνάρτησης f είνι f ( A ) =R τότε η εξίσωση f = 5 έχει µόνο µί ρίζ στο R 7. Αν η συνάρτηση f προυσιάζει τοπικό κρόττο στο κι είνι f = πργωγίσιµη σε υτό τότε 8. Αν ο ριθµός z είνι φντστικός, τότε Οι ριθµοί z i i i ως προς τον άξον y y. z + z = = + + κι w ( i) = έχουν εικόνες συµµετρικές. Αν γι τον µιγδικό ριθµό z = + yi, µε, y R ισχύει ότι + =, τότε z+ i =. y 4. Αν γι τους µιγδικούς z, w ισχύει z + w =, τότε z = w =. Αν ισχύει z = τότε z = z 3. Γι µί συνάρτηση f ισχύει ότι f ( f ) f f 4. Η συνάρτηση e + e 5. Ισχύει ότι : = γι κάθε A f = t dt έχει πεδίο ορισµού το R - e + = e +, > 6. Αν z = 5 τότε ισχύει ότι : 5 iz = i z

15 Νίκος Σούρµπης Γιώργος Βρδούκς 7. Αν f d = τότε f = γι [,] 8. Ισχύει ότι : ln( + ) lim e + + = 9. Αν οι συνρτήσεις f, f, R f είνι πργωγίσιµες στο R τότε. Αν ισχύει ότι η f = f τότε f e = γι κάθε R. Αν είνι < <, τότε = + + lim. Αν µι συνάρτηση f δεν είνι συνεχής σε έν σηµείο τότε δεν µπορεί ν είνι πργωγίσιµη στο 3. Έστω f µί συνεχής συνάρτηση σε έν διάστηµ [, ]. Aν G είνι η πράγουσ της f στο [, ] f t dt G G, τότε = ( ) ( ) 4. Γι όλους τους µιγδικούς ριθµούς z, w ισχύει η σχέση z w + z+ w = z + w 5. Αν η f είνι κυρτή στο R τότε είνι κάτω πό όλες τις εφπτόµενες. 6. Αν η συνάρτηση f είνι κυρτή στο R τότε f >. 7. Γι κάθε z C ισχύει z i z 8. Αν γι κάθε R f τότε η f είνι γνησίως µονότονη στο R. 9. Αν η συνάρτηση f είνι πργωγίσιµη στο R τότε ισχύει : f d = f f d

16 Νίκος Σούρµπης Γιώργος Βρδούκς 3. Ισχύει ότι ηµ = lim + e + 3. Αν ισχύει ότι lim f() = - 4 τότε f() < 3. Η συνάρτηση f() = e έχει σύµπτωτη στο Ισχύει ότι : z+ z = Re( z), z C 34. Ισχύει ότι : = + γι κάθε > (ln ) 35. Αν γι R ισχύει ότι f τότε η f έχει το πολύ µι ρίζ στο R 36. Αν ισχύει ότι f = e γι κάθε R τότε f = e η f = e 37. Αν το είνι σηµείο κµπής της f τότε f = 38. Ισχύει ότι lim π συν = Αν f = γι κάθε R, τότε f f = κι f = =, ν δίνετι ότι 4. Έστω f µί συνεχής συνάρτηση σε έν διάστηµ [, ]. Aν G είνι η πράγουσ της f στο [, ] f t dt G G, τότε = ( ) ( ) 4. Αν η f είνι κοίλη στο R τότε είνι κάτω πό όλες τις εφπτόµενες. 4. Αν η πργωγίσιµη στο R συνάρτηση f δεν είνι ντιστρέψιµη, τότε υπάρχει κλειστό διάστηµ [, ] στο οποίο η f ικνοποιεί τις προϋποθέσεις του θεωρήµτος Rolle. 43. Αν η συνάρτηση f είνι πργωγίσιµη στο [, ], µε f ( ) < f υπάρχει (, ) τέτοιο ώστε: f <, τότε 44. Αν η συνάρτηση f είνι συνεχής στο [, ], πργωγίσιµη στο (, ) f ( ) f ( ), τότε f γι κάθε (, ) κι

17 Νίκος Σούρµπης Γιώργος Βρδούκς 45. Αν γι µί συνάρτηση f : A R ισχύει ότι f κ όπου κ R γι κάθε A, τότε το κ είνι µέγιστη τιµή της f. 46. Αν υπάρχει το είνι lim f lim f =. =, τότε υπάρχει το όριο της f στο κι ε 47. Αν γι µί συνάρτηση f ισχύουν f ( ) f ( ) < κι f, τότε η f δεν είνι συνεχής στο [, ]. 48. Αν γι δύο συνρτήσεις f,g συνεχείς στο διάστηµ ισχύει f g κάθε εσωτερικό σηµείο του, τότε f g = γι κάθε 49. Αν οι συνρτήσεις f,g είνι συνεχείς στο [, ] κι ισχύει f g κάθε [, ], τότε 5. Γι τους z, z C ισχύει: zzzz R = γι < γι 5.Αν f f < κι f γι κάθε [,] τότε η f είνι συνεχής στο [, ] 5. Αν ισχύει ότι στο R 53. Αν f ( ) f e + f = 5 τότε η f είνι γνησίως µονότονη f ( ) f e f = γι κάθε R, τότε η f είνι δύο φορές πργωγίσιµη στο R 54. Η ηµ f = 4 t dt έχει πεδίο ορισµού το R 55. H γρφική πράστση της συνάρτησης f είνι συµµετρική της f, ως προς την ευθεί y =, 56. To Πεδίο Ορισµού της f = dt είνι το A = (,) 57. Αν f = 3 τότε f 3 = ln t

18 Νίκος Σούρµπης Γιώργος Βρδούκς 58. Αν f d τότε f γι κάθε [,] 59. Γι οποιοδήποτε µιγδικό z ισχύει z = z = z 6. Αν z, z είνι µιγδικοί ριθµοί τότε ισχύει: zz = z z 6. Μί συνάρτηση f µε πεδίο ορισµού Α λέµε ότι προυσιάζει (ολικό) ελάχιστο στο A, ότν f f ( ) γι κάθε A. 6. Αν f < γι R τότε η συνάρτηση f είνι γνησίως φθίνουσ στο R 63. Κάθε συνάρτηση f συνεχής σε έν σηµείο του πεδίου ορισµού της είνι κι πργωγίσιµη στο σηµείο υτό. 64. Οι ρίζες της εξίσωσης z + z+ γ = µε,, γ R είνι συζυγείς. 65. Αν µί συνάρτηση f είνι - στο πεδίο ορισµού της, τότε είνι γνησίως µονότονη σε υτό. 66. Αν γι κάθε ισχύει ότι 67. Αν f f d τότε η f είνι - γι κάθε R τότε lim f ( ) = Αν µί συνάρτηση f είνι συνεχής σε έν διάστηµ κι δεν µηδενίζετι σε υτό, τότε η f διτηρεί πρόσηµο στο διάστηµ. 69. Ισχύει ότι z z z z γι κάθε z, z C 7. Ισχύει ότι Im( z) = Im( z) 7. Αν z i = z+ i τότε z R 7. Αν ισχύει ότι z + z+ 4 = µε z C τότε z = 73. Αν f = τότε το ( ) A,f είνι σηµείο κµπής

19 Νίκος Σούρµπης Γιώργος Βρδούκς 74. Αν ισχύει ότι lim f = 4 τότε f < γι κάθε R 75. Αν ισχύει ότι z = τότε είνι z = z 76. Ισχύει ότι : z z = Im( z) 77. Αν z, z C, τοτε z + z = z + z + Re( z z ) 78. Ισχύει ότι : z i z 79. Aν γι κάθε R : f g = f = ή g = γι κάθε R 8. Αν γι R ισχύει f = τότε 3 f() = + 8. Αν γι ισχυει f () = 8. Αν f ( ) = τότε f R τότε η f είνι στθερή στο R *. = 83. Μι συνεχής συνάρτηση f διτηρεί πρόσηµο σε κθέν πό τ διστήµτ στ οποί οι διδοχικές ρίζες της f χωρίζουν το πεδίο ορισµού της. 84. Αν z R z+ z = 85. Αν f < γι κάθε R τότε η f είνι γνησίως φθίνουσ στο R 86. Ισχύει ότι t e dt > γι κάθε R 87. Αν z = z z = z 88. Αν f f ( ) f e = = κ +λ, κ, λ R 89. Αν είνι κρίσιµο σηµείο της f τότε f = 9. Αν γι κάθε R ισχύει ότι f τότε η συνάρτηση f διτηρεί 9. Αν πρόσηµο στο R e f = f t dt, R τότε η συνάρτηση f είνι πργωγίσιµη στο R

20 Νίκος Σούρµπης Γιώργος Βρδούκς f 9. Ισχύει ότι g t dt = f g f ( ) 93. Η συνάρτηση f = dt έχει πεδίο ορισµού το διάστηµ A = (,) ln t 94. Ισχύει ότι 4 t te dt > 95. Αν f = τότε το σηµείο Η f = + + έχει οριζόντι εφπτοµένη. A,f είνι σηµείο κµπής της συνάρτησης f 97. Αν z i = τότε η εικόν M( z ) νήκει σε κύκλο κέντρου K(, ) κι κτίνς ρ = 98. Αν f = τότε το σηµείο συνάρτησης f A,f είνι σηµείο κµπής της 99. Αν η συνάρτηση f είνι ντιστρέψιµη, τότε η f είνι γνησίως µονότονη στο Α 3. Ισχύει ότι 4 z = z z 3 + i γι κάθε z C 3. Γι τον ριθµό z C ισχύει ότι = z z Im z i 3. Κρίσιµ σηµεί της f λέγοντι τ τοπικά κρόττ. 33. Αν η συνάρτηση f είνι γνησίως µονότονη στο R όπου ισχύει f f d > f τότε η f είνι κυρτή στο R.