ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2004

Transcript

1 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 4 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑο Α Έστω µι συνάρτηση f ορισµένη σ' έν διάστηµ κι έν εσωτερικό σηµείο του Αν η f προυσιάζει τοπικό κρόττο στο κι είνι πργωγίσιµη στο σηµείο υτό, ν ποδείξετε ότι f ( ) = Μονάδες Β Πότε µι συνάρτηση f λέµε ότι είνι πργωγίσιµη σε έν σηµείο του πεδίου ορισµού της; Μονάδες 5 Γ Ν χρκτηρίσετε τις προτάσεις που κολουθούν γράφοντς στο τετράδιό σς τη λέξη Σωστό ή Λάθος δίπλ στο γράµµ που ντιστοιχεί σε κάθε πρότση Η δινυσµτική κτίν του θροίσµτος δύο µιγδικών ριθµών είνι το άθροισµ των δινυσµτικών κτίνων τους Μονάδες β f() = l, ν κι µόνο ν lim f() = lim f() = l lim Μονάδες γ Αν οι συνρτήσεις f, g είνι πργωγίσιµες στο, τότε η συνάρτηση f g είνι πργωγίσιµη στο κι ισχύει: (f g) ( ) = f'( ) g ( ) Μονάδες δ Έστω µι συνάρτηση f, η οποί είνι συνεχής σε έν διάστηµ Αν f ()> σε κάθε εσωτερικό σηµείο του, τότε η f είνι γνησίως φθίνουσ σε όλο το Μονάδες ε Έστω f µι συνεχής συνάρτηση σ' έν διάστηµ [, β] Αν G είνι µι πράγουσ της f στο [, β], τότε β f(t)dt = G(β) G() Μονάδες Τεχνική Επεξεργσί: Keystone

2 ΘΕΜΑο ίνετι η συνάρτηση f µε τύπο f()= ln ΘΕΜΑ ο Ν βρείτε το πεδίο ορισµού της συνάρτησης f, ν µελετήσετε την µονοτονί της κι ν βρείτε τ κρόττ Μονάδες β Ν µελετήσετε την f ως προς την κυρτότητ κι ν βρείτε τ σηµεί κµπής Μονάδες 8 γ Ν βρείτε το σύνολο τιµών της f Μονάδες 7 ίνετι η συνάρτηση g()=e f(), όπου f συνάρτηση πργωγίσιµη στο R κι f () = f = Ν ποδείξετε ότι υπάρχει έν τουλάχιστο ξ, τέτοιο ώστε f (ξ)=-f(ξ) Μονάδες 8 β Εάν f()= -, ν υπολογίσετε το ολοκλήρωµ γ Ν βρείτε το όριο lim Ι() I() g()d, R = Μονάδες 8 Μονάδες 9 ΘΕΜΑ 4ο Έστω η συνεχής συνάρτηση f: R R τέτοι ώστε f()= Αν γι κάθε R, ισχύει g() = f (t)dt ( ), όπου =βi C, µε, β R*, τότε: Ν ποδείξετε ότι η συνάρτηση g είνι πργωγίσιµη στο R κι ν βρείτε τη g Μονάδες 5 β Ν ποδείξετε ότι = Μονάδες 8 γ Με δεδοµένη τη σχέση του ερωτήµτος β ν ποδείξετε ότι Re( ) = Μονάδες 6 Τεχνική Επεξεργσί: Keystone

3 δ Αν επιπλέον f()=>, f()=β κι >β, ν ποδείξετε ότι υπάρχει (, ) τέτοιο ώστε f( )= Μονάδες 6 Τεχνική Επεξεργσί: Keystone

4 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑο Α Θεώρηµ (Fermat) σελ 6 σχολ βιβλίου Β Ορισµός σελ σχολ βιβλίου Γ β γ δ ε Σ * Λ Λ Σ (*) Η πάντηση στο ερώτηµ Γ β µπορεί ν χρκτηρισθεί Σωστό µόνο εφ όσον η συνάρτηση f είνι ορισµένη σε σύνολο της µορφής ( a, ) (, β ) Όπως είνι διτυπωµένη, σωστό είνι µόνο το ντίστροφο ηλδή ν lim f ( ) = lim f ( ) = l lim f ( = l, φού ΘΕΜΑο ) γι την περίπτωση του ευθέως µπορεί ν θεωρηθούν ως σύνολ ορισµού της f κι τ µεµονωµέν σύνολ ( a, ) ή (, β ) Εποµένως πό υστηρή µθηµτική άποψη, η πάντηση είνι Λάθος Πρέπει > Άρ A f = (, ) H f είνι πργωγίσιµη στο διάστηµ (, ) συνρτήσεων σ υτό µε ( ln ) = f '( ) = ( ln ) ' = ( ) ' ln ' = ln = ln = (ln ) Έχουµε: f '() = ( ln ) = Οπότε: =, A f = πορρίπτετι φού ( ) ή ln = ln = = e ως γινόµενο πργωγίσιµων Εποµένως η συνάρτηση f είνι: Τεχνική Επεξεργσί: Keystone 4

5 Γνησίως φθίνουσ στο (, e ], φού είνι συνεχής στο (, e ] κι ισχύει ότι f () < στο (, e ) Γνησίως ύξουσ στο [ e, ), φού είνι συνεχής στο [ e, ) κι ισχύει ότι f () > στο ( e, ) Άρ προυσιάζει ολικό ελάχιστο γι = e το f ( e ) = ( e ) ln e = e = e β Η f είνι κι η φορά πργωγίσιµη στο (, ) ως γινόµενο δις πργωγίσιµων συνρτήσεων σε υτό µέ f ''( ) = ( ln ) ' = ln = ln Έχουµε: f ''() = ln = ln = = e f ( e ) = ( e ) ln( e ) = e Εποµένως η συνάρτηση f είνι: κοίλη στο (, e ] κυρτή στο [ e, ) = e Άρ προυσιάζει σηµείο κµπής το Μ ( e, ) e γ Είνι: ln lim o 4 = lim = lim = lim = o o o 4 ( De L' Hospital) f ( ) = lim ln = lim = o o Τεχνική Επεξεργσί: Keystone 5

6 lim f ( ) = lim ( ln ) = Επειδή η f είνι γνησίως φθίνουσ κι συνεχής στο διάστηµ (, e ], είνι f (, e ] = [,) e Επειδή η f είνι γνησίως ύξουσ κι συνεχής στο διάστηµ [ e, ) είνι f [, ) e = [, ) e Άρ το σύνολο τιµών της f είνι f ((, ) ) = [,) [, ) = [, ) e e e Έτσι, το τοπικό κρόττο πο το ερώτηµ, µπορεί ν χρκτηριστει κι ως ολικό ελάχιστο ΘΕΜΑ ο Αφού f πργωγίσιµη στο R, τότε κι η g είνι πργωγίσιµη στο R ως γινόµενο πργωγίσιµων συνρτήσεων σε υτό Άρ η g είνι κι συνεχής στο R Έτσι η g είνι συνεχής στο, R κι πργωγίσιµη στο, R µε g'() = e f() e f '() Επίσης είνι g() = e f() = g = e f = άρ g() = g Οπότε πό θεώρηµ Rolle υπάρχει έν τουλάχιστον ( ) = = = Όµως e ξ άρ προκύπτει ότι υπάρχει τουλάχιστον έν β Αφού f() = - είνι f (ξ) = -f(ξ) Ι()= g()d = e ( ) d = ( e ) ( ) d = = = = [ e ( ) ] e ( ) ' d = [ e ( ) ] e (4 )d = [ e ( ) ] ( e ) ξ, ώστε ξ, ώστε (4 )d = [ e ( ) ] [ e ( 4 ) ] e (4 ) ' d = Τεχνική Επεξεργσί: Keystone 6

7 = = [ e ( ) ] [ e ( 4 ) ] e 4d = [ e ( ) ] [ e ( 4 ) ] 4[ e ] = = e = ( ) e ( ) e (4 ) 4e 4e = e ( ) e (4 ) 4 4e = 7 e ( ) = (- 7 7) = 7 e Άρ Ι() 7 e (- 7 7), R = 7 7 γ Είνι γι <, Ι() = 7 e a a a e 7 7 κι lim = Άρ lim Ι() = 7 ( ) = 7 Έχουµε lim ( e ) = lim = lim = lim = ΘΕΜΑ4ο Η συνάρτηση g() γράφετι: e e g( ) = f ( t) dt ( ) Επειδή η f είνι συνεχής στο R, η συνάρτηση φ()= f ( t) dt είνι πργωγίσιµη σ υτό Ακόµ, η συνάρτηση h ( ) = είνι πργωγίσιµη στο R ως πολυωνυµική Έτσι η συνάρτηση F = ) f ( t) dt = φ( h( ) ) ( είνι πργωγίσιµη στο R ως σύνθεση των πργωγίσιµων συνρτήσεων h κι φ στο R, µε F' ( ) = f ( ) = f ( ) Ακόµ η συνάρτηση l ( ) = ( ) είνι πργωγίσιµη στο R µε l' ( ) = Εποµένως η συνάρτηση g είνι πργωγίσιµη στο R ως διφορά πργωγίσιµων συνρτήσεων µε g' ( ) = f ( ) Τεχνική Επεξεργσί: Keystone 7

8 β Αφού g ( ) γι κάθε R κι g()=, η δοσµένη νισότητ γράφετι: g( ) g() γι κάθε R Έτσι όµως η g στο = προυσιάζει ελάχιστο κι επειδή είνι πργωγίσιµη σε υτό συνεπάγετι πο θ Fermat ότι g ()= Όµως g ()= f () κι επειδή f()= βρίσκουµε ότι g ()= Αφού g ()=, έπετι = γ Επειδή είνι =, προκύπτει ότι = = ( ) ( ) = = = _ = Re( ) = Re( ) = δ Είνι = ( a β i) = β β i οπότε Re( ) = a β κι λόγω του ερωτήµτος γ έχουµε: a β = ή ( β ) ( β ) = Επειδή >β προκύπτει ότι β <, οπότε β < < Έτσι γι την συνάρτηση f η οποί είνι συνεχής στο R άρ κι στο [,] είνι: f()=> κι f()=β<, οπότε f() f() < Συνεπώς, εφρµόζοντς το θεώρηµ Bolano γι την f στο διάστηµ [,], συµπερίνουµε ότι υπάρχει ( a, ) τέτοιο ώστε f ( ) = β Τεχνική Επεξεργσί: Keystone 8