4ο Επαναληπτικό διαγώνισμα στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου Θέμα A

Transcript

1 4ο Επνληπτικό διγώνισμ στ Μθημτικά κτεύθυνσης της Γ Λυκείου 7-8 Θέμ A Α Έστω η συνάρτηση Ν ποδείξετε ότι η είνι πργωγίσιμη στο,, δηλδή κι ισχύει Ν ποδείξετε ότι η δεν είνι πργωγίσιμη στο μονάδες 7 A Ν διτυπώσετε το θεώρημ Bolzano κι ν «δώσετε» την γεωμετρική του ερμηνεί A Έστω μι συνάρτηση με πεδίο ορισμού A Πότε λέμε ότι η προυσιάζει στο A (ολικό) μέγιστο, το ; A4 Ν χρκτηρίσετε τις προτάσεις που κολουθούν, γράφοντς στο τετράδιό σς την ένδειξη Σωστό ή Λάθος δίπλ στο γράμμ που ντιστοιχεί σε κάθε πρότση ) Μι πολυωνυμική συνάρτηση τρίτου θμού έχει πάντ σημείο κμπής ) Αν μι συνάρτηση ορίζετι στο τότε η δεν μπορεί ν είνι κτκόρυφη σύμπτωτή της γ) Αν μι συνάρτηση είνι πργωγίσιμη κι γνησίως ύξουσ σε έν διάστημ Δ, τότε μπορεί ν υπάρχει Δ τέτοιο, ώστε δ) Αν συνάρτηση πργωγίσιμη στο κι προυσιάζει κρόττο στο,τότε ε) Κάθε συνεχής συνάρτηση σε έν διάστημ Δ, έχει μόνο μι πράγουσ στο Δ Θέμ Β Δίνετι η συνάρτηση, Β Ν μελετήσετε την ως προς τη μονοτονί Β Ν ποδείξετε ότι η εφπτομένη της Β Ν ποδείξετε ότι γι κάθε C στο σημείο A, διπερνά τη C είνι: Β4 Ν υπολογίσετε το εμδόν του χωρίου που ορίζετι πό την γρφική πράστση της, y y κι την ευθεί Β5 Ν ποδείξετε ότι d,, με Β6 Ν ποδείξετε ότι η ντιστρέφετι κι ν ρείτε την ντίστροφή της μονάδες, τους άξονες

2 Θέμ Γ Δίνετι συνάρτηση πργωγίσιμη στο κι η συνάρτηση g της οποίς η γρφική πράστση δίνετι στο διπλνό σχήμ Γ Ν δείξετε ότι η είνι γνησίως ύξουσ Γ Ν ρείτε το πλήθος των λύσεων της εξίσωσης Γ Ν ρείτε την εφπτομένη της C στο Γ4 Ν δείξετε ότι η είνι συνεχής στο Γ5 Ν υπολογίσετε τ όρι: i lim 8 μονάδες κι ii lim Γ6 Υλικό σημείο Μ κινείτι επί της C κι η τετμημένη του υξάνετι με ρυθμό μονάδ το δευτερόλεπτο Ν ρείτε τον ρυθμό μετολής της πόστσής του πό την ρχή των ξόνων, τη χρονική στιγμή που διέρχετι πό το σημείο A, Θέμ Δ Δίνετι συνάρτηση πργωγίσιμη στο γι την οποί ισχύει ότι κι Έστω F ρχική της με F μονάδες 6 γι κάθε Δ Ν δείξετε ότι, Δ Ν υπολογίσετε το εμδόν του χωρίου που περικλείετι πό την γρφική πράστση της F, τους άξονες, y y κι την ευθεί π Δ Ν δείξετε ότι εφημd Δ4 Ν δείξετε ότι F F γι κάθε μονάδες 6 Δ5 Ν υπολογίσετε το όριο lim F Στέλιος Μιχήλογλου

3 Λύσεις Θέμ A Α Αν είνι έν σημείο του,, τότε γι ισχύει: lim lim Στο, δηλδή,οπότε είνι lim lim lim, δηλδή η δεν είνι πργωγίσιμη στο A Έστω μι συνάρτηση, ορισμένη σε έν κλειστό διάστημ, Αν: η είνι συνεχής στο, κι, επιπλέον, ισχύει, τότε υπάρχει έν, τουλάχιστον,, τέτοιο, ώστε τουλάχιστον, ρίζ της εξίσωσης στο νοικτό διάστημ, Γεωμετρική ερμηνεί Στο διπλνό σχήμ έχουμε τη γρφική πράστση μις συνεχούς συνάρτησης στο[, ] Επειδή τ σημεί A(,()) κι B(,()) ρίσκοντι εκτέρωθεν του άξον, η γρφική πράστση της τέμνει τον άξον σε έν τουλάχιστον σημείο y () O (a) Δηλδή, υπάρχει μι, a Α(,()) B(,()) A Μι συνάρτηση με πεδίο ορισμού Α θ λέμε ότι προυσιάζει στο, ότν γι κάθε A A (ολικό) μέγιστο, το Α4 ) Σ ) Λ γ) Σ δ) Σ ε) Λ Θέμ Β Β Η είνι πργωγίσιμη στο με Είνι Β Αρκεί το Α ν είνι σημείο κμπής της Η είνι πργωγίσιμη στο με C

4 Γι κάθε οπότε η είνι, C έχει σημείο κμπής στο Α 4 κι γι κάθε είνι,, Β Έστω gt t, t, Η g είνι πργωγίσιμη στο, με gt t g, g Είνι 5 6 g 5 g () κι g 7 8 g 7 g () Με πρόσθεση κτά μέλη των (),() προκύπτει ότι: Β4 Επειδή η είνι συνεχής κι EΩ d d γι κάθε, το ζητούμενο εμδόν είνι το Έστω u, τότε ln u κι d du Γι είνι u κι γι είνι u Τότε u u u EΩ du du u u u u u A B Au A Bu A B u A A B B Είνι, άρ uu u u u u u u A A E Ω du du lnu ln u ln u u Β5 Επειδή lim κι lim, είνι lim lim κι lim lim lim DLH Επειδή η είνι συνεχής κι γνησίως φθίνουσ στο έχει σύνολο τιμών το,, άρ γι κάθε ισχύει ότι: d d d d d A, y y y y y y y y y y Β6 Επειδή η είνι γνησίως φθίνουσ, είνι - κι ντιστρέφετι Είνι y ln y, άρ y y ln, y, y Θέμ Γ, οπότε Γ Από το σχήμ πρτηρούμε ότι η g είνι γνησίως ύξουσ στο g g Είνι Είνι g g Έστω, με ln,, κι οπότε κι

5 g g άρ η είνι γνησίως ύξουσ στο είνι g Επειδή lim είνι κι lim Γ Γι κάθε Γι κάθε είνι g Επειδή είνι κι lim lim Επειδή η είνι συνεχής κι γνησίως ύξουσ στο A έχει σύνολο τιμών το lim, lim Επειδή 8 A A 8 υπάρχει μονδικό τέτοιο, ώστε Γ Από το σχήμ πρτηρούμε ότι η ευθεί y είνι εφπτομένη της g Είνι g, άρ Είνι g έχει εξίσωση y y Η εφπτομένη της Γ4 Είνι C στο g g λ C στο Ο, οπότε ε lim Όμως lim lim lim, άρ DLH lim, οπότε η είνι συνεχής στο Γ5 i lim lim lim lim ( lim lim κι lim ) DLH ii Από το σχήμ προκύπτει ότι lim lim lim, οπότε lim g lim lim g lim lim Γ6 Έστω Mt, yt, όπου yt t Έστω t διέρχετι πό το Α, τότε: t, yt t κι Είνι OMt t y t t t yt yt OM t κι η χρονική στιγμή που το Μ t y t t y t t t t t t t, οπότε

6 OM t μονάδες μήκους/sc Θέμ Δ Δ c c, c Είνι c άρ, F F Δ Είνι F Γι κάθε F F E Ω F d F d F d Το ζητούμενο εμδόν είνι το EΩ F F d F d d d E Ω ln ln π π π π εφ ημd ημd συν ημd Δ συν εφ g F F, Η g είνι πργωγίσιμη στο, με Δ4 Έστω g F F άρ g γι κάθε c, c Είνι g F F άρ c Δ5 Είνι F κι F Η εφπτομένη της Είνι C στο F έχει εξίσωση g,, F F κι y F F y γι κάθε άρ η F είνι κοίλη στο,, οπότε ρίσκετι F F κάτω πό κάθε εφπτομένη της εκτός του σημείου επφής, δηλδή γι κάθε, Θέτουμε F u Επειδή,,, ότν τότε u lim F κι F γι κάθε, οπότε: lim lim F u u