ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ. 1 x. Μονάδες 10 Α.2 Πότε μια συνάρτηση f λέμε ότι είναι συνεχής σε ένα κλειστό διάστημα [α,β]; Μονάδες 5

Transcript

1 ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΑΒΒΑΤΟ 24 ΜΑΪΟΥ 2008 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ: ΠΕΝΤΕ (5) ΘΕΜΑ 1 o A.1 Ν ποδειχθεί ότι η συνάρτηση f(x) = ln x πργωγίσιμη στο * κι ισχύει: 1 ( ln x ) = x, x * είνι Μονάδες 10 Α.2 Πότε μι συνάρτηση f λέμε ότι είνι συνεχής σε έν κλειστό διάστημ [,β]; Μονάδες 5 B. Ν χρκτηρίσετε τις προτάσεις που κολουθούν, γράφοντς στο τετράδιό σς δίπλ στο γράμμ που ντιστοιχεί σε κάθε πρότση, τη λέξη Σωστό, ν η πρότση είνι σωστή, ή Λάθος, ν η πρότση είνι λνθσμένη.. Αν μι συνάρτηση f:a είνι 1 1, τότε γι την ντίστροφη συνάρτηση f 1 ισχύει: 1 1 f (f ( x )) = x, x A κι f (f ( y )) = y, y f ( A ) Μονάδες 2 β. Μι συνεχής συνάρτηση f διτηρεί πρόσημο σε κθέν πό τ διστήμτ στ οποί οι διδοχικές ρίζες της f χωρίζουν το πεδίο ορισμού της. ΤΕΛΟΣ 1ΗΣ ΑΠΟ 5 ΣΕΛΙ ΕΣ

2 ΘΕΜΑ 2 ο ΑΡΧΗ 2ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ γ. Ότν η δικρίνουσ της εξίσωσης z 2 +βz+γ=0 με,β,γ κι 0 είνι ρνητική, τότε η εξίσωση δεν έχει ρίζες στο σύνολο των μιγδικών. δ. Αν μι συνάρτηση f είνι δύο φορές πργωγίσιμη στο κι στρέφει τ κοίλ προς τ άνω, τότε κτ νάγκη θ ισχύει f ( x ) > 0 γι κάθε πργμτικό ριθμό x. ε. Aν η f είνι συνεχής σε διάστημ κι,β,γ τότε ισχύει β γ f(x)dx = f(x)dx + β γ f(x)dx Αν γι τους μιγδικούς ριθμούς z κι w ισχύουν τότε ν βρείτε: ( i + 2 2)z = 6 κι w (1 i) = w (3 3i). το γεωμετρικό τόπο των εικόνων των μιγδικών ριθμών z. β. το γεωμετρικό τόπο των εικόνων των μιγδικών ριθμών w. γ. την ελάχιστη τιμή του w δ. την ελάχιστη τιμή του z w Μονάδες 7 ΤΕΛΟΣ 2ΗΣ ΑΠΟ 5 ΣΕΛΙ ΕΣ

3 ΑΡΧΗ 3ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΘΕΜΑ 3 ο ίνετι η συνάρτηση f(x) = x lnx, 0, x > 0 x = 0. Ν ποδείξετε ότι η συνάρτηση f είνι συνεχής στο 0. Μονάδες 3 β. Ν μελετήσετε ως προς τη μονοτονί τη συνάρτηση f κι ν βρείτε το σύνολο τιμών της. Μονάδες 9 γ. Ν βρείτε το πλήθος των διφορετικών θετικών ριζών της εξίσωσης δ. Ν ποδείξετε ότι ισχύει x x = e γι όλες τις πργμτικές τιμές του. f (x+1)>f(x+1) f(x), γι κάθε x > 0. Μονάδες 7 ΘΕΜΑ 4 ο Έστω f μι συνάρτηση συνεχής στο γι την οποί ισχύει f(x) = (10x 3 + 3x). Ν ποδείξετε ότι f(x)=20x 3 +6x f(t)dt 45 Μονάδες 8 ΤΕΛΟΣ 3ΗΣ ΑΠΟ 5 ΣΕΛΙ ΕΣ

4 ΑΡΧΗ 4ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ β. ίνετι επίσης μι συνάρτηση g δύο φορές πργωγίσιμη στο. Ν ποδείξετε ότι g (x) g (x h) g (x) = lim h 0 h Μονάδες 4 γ. Αν γι τη συνάρτηση f του ερωτήμτος () κι τη συνάρτηση g του ερωτήμτος (β) ισχύει ότι g(x + h) 2g(x) + g(x h) lim h 0 2 h = f(x) + 45 κι g(0)=g (0)=1, τότε i. ν ποδείξετε ότι g(x)=x 5 +x 3 +x+1 Μονάδες 10 ii. ν ποδείξετε ότι η συνάρτηση g είνι 1 1 Μονάδες 3 Ο ΗΓΙΕΣ (γι τους εξετζόμενους) 1. Στο τετράδιο ν γράψετε μόνο τ προκτρκτικά (ημερομηνί, κτεύθυνση, εξετζόμενο μάθημ). Ν μην ντιγράψετε τ θέμτ στο τετράδιο. 2. Ν γράψετε το ονομτεπώνυμό σς στο πάνω μέρος των φωτοντιγράφων, μέσως μόλις σς πρδοθούν. Κμιά άλλη σημείωση δεν επιτρέπετι ν γράψετε. Κτά την ποχώρησή σς ν πρδώσετε μζί με το τετράδιο κι τ φωτοντίγρφ. 3. Ν πντήσετε στο τετράδιό σς σε όλ τ θέμτ. ΤΕΛΟΣ 4ΗΣ ΑΠΟ 5 ΣΕΛΙ ΕΣ

5 ΑΡΧΗ 5ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ 4. Ν γράψετε τις πντήσεις σς μόνο με μπλε ή μόνο με μύρο στυλό. Μπορείτε ν χρησιμοποιήσετε μολύβι μόνο γι σχέδι, διγράμμτ κι πίνκες. 5. Κάθε πάντηση επιστημονικά τεκμηριωμένη είνι ποδεκτή. 6. ιάρκει εξέτσης: τρεις (3) ώρες μετά τη δινομή των φωτοντιγράφων. 7. Χρόνος δυντής ποχώρησης: μετά τη πρωινή. KΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ ΤΕΛΟΣ ΜΗΝΥΜΑΤΟΣ ΤΕΛΟΣ 5ΗΣ ΑΠΟ 5 ΣΕΛΙ ΕΣ