ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΜΠΤΗ 30 ΜΑΪΟΥ 2002 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

Transcript

1 ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΜΠΤΗ 3 ΜΑΪΟΥ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑ o A. Έστω µι συνεχής συνάρτηση σ' έν διάστηµ [, ]. Αν G είνι µι πράγουσ της στο [, ], τότε ν δείξετε ότι t dt G G. Μονάδες Β.. Έστω η συνάρτηση ηµ. Ν δείξετε ότι η είνι πργωγίσιµη στο ΙR κι ισχύει συν. Μονάδες 8 Β.. Ν χρκτηρίσετε τις προτάσεις που κολουθούν, γράφοντς στο τετράδιό σς την ένδειξη Σωστό ή Λάθος δίπλ στο γράµµ που ντιστοιχεί σε κάθε πρότση.. Αν η συνάρτηση είνι ορισµένη στο [,] κι συνεχής στο,], τότε η πίρνει πάντοτε στο [,] µί µέγιστη τιµή. Μονάδ. Κάθε συνάρτηση, που είνι - στο πεδίο ορισµού της, είνι γνησίως µονότονη. Μονάδ γ. Αν υπάρχει το όριο της συνάρτησης στο κι lim, τότε lim. Μονάδ δ. Αν η συνάρτηση είνι πργωγίσιµη στο ΙR, τότε d d. Μονάδ

2 lim, ε. Αν τότε > κοντά στο >. Μονάδ ΘΕΜΑ ο Έστω z ένς µιγδικός ριθµός κι ν i ν z, ν IN*.. Ν δείξετε ότι Μονάδες 7. Αν z ρ κι Argz θ, ν δείξετε ότι 3 ρ γ. Αν z κι Argz 3 π π π συν θ iηµ θ. Μονάδες 8, ν ρεθεί το εµδόν του τριγώνου µε κορυφές τ σηµεί του µιγδικού επιπέδου που είνι εικόνες των µιγδικών ριθµών, z κι 3. Μονάδες ΘΕΜΑ 3ο Έστω οι συνρτήσεις, g µε πεδίο ορισµού το ΙR. ίνετι ότι η συνάρτηση της σύνθεσης og είνι -.. Ν δείξετε ότι η g είνι -. Μονάδες 7. Ν δείξετε ότι η εξίσωση: g 3 - g - έχει κριώς δύο θετικές κι µί ρνητική ρίζ. Μονάδες 8 ΘΕΜΑ 4ο. Έστω δύο συνρτήσεις h, g συνεχείς στο [, ]. Ν ποδείξετε ότι ν h > g γι κάθε [, ], τότε κι hd > gd. Μονάδες. ίνετι η πργωγίσιµη στο ΙR συνάρτηση, που ικνοποιεί τις σχέσεις:, ΙR κι. ι Ν εκφρστεί η ως συνάρτηση της. ιι Ν δείξετε ότι, γι κάθε >. Μονάδες 5

3 Μονάδες ιιι Αν Ε είνι το εµδόν του χωρίου Ω που ορίζετι πό τη γρφική πράστση της, τις ευθείες, κι τον άξον, ν δείξετε ότι 4 E. Μονάδες 6

4 ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΘΕΜΑ ο Α. Σχολικό Βιλίο σελ Β.. Σχολικό Βιλίο σελ Β.. Λ Λ γ Σ δ Σ ε Σ ΘΕΜΑ ο. ν i ν. z, ν Ν* i 3. z i 8. z i 3. z i 8. z i 3 i 8 i 3 i 8 z -i i z. z ρσυνθ iηµθ 3 i 3. z iz συν π iηµ π ρσυνθ iηµθ ρ[συνθ π iηµθ π ] γ. z π π 3 z συν iηµ 3 3 i i 3 π π π π 3 συν ηµ 3 i 5π 5π 3 συν i ηµ 6 6

5 π π π π συν π iηµ π 6 6 συν i ηµ i 3 i Έστω Ο, Β, 3 Γ - 3, ΟΒ ΟΓ ΒΓ Πρτηρώ ότι το τρίγωνο Ο Β Γ είνι ισοσκελές κι ορθογώνιο διότι: ΟΒ ΟΓ 8 ΒΓ άρ Ε ΟΒΓ. τµ. ος τρόπος γι τον υπολογισµό του εµδού 3 ΟΒΓ dt ΟΒ, ΟΓ 3 τµ. 3 ΘΕΜΑ 3 ο. Γι κάθε, R µε g g τότε g g g g κι επειδή η g είνι θ είνι: οπότε η g είνι -.. Έχουµε: g 3 g επειδή η g είνι - πό το. ερώτηµ η πρπάνω είνι ισοδύνµη µε:

6 Θεωρούµε τη συνάρτηση h 3 3, R. h 3-3 Η h είνι συνεχής στο [-, -] ως πολυωνυµική. h- -, h- 3 οπότε h-. h- Άρ πό θεώρηµ Bolzano η h έχει τουλάχιστον µί ρίζ στο -, - κι επειδή ύξουσ η ρίζ µονδική. Όµοι εφρµόζουµε το Bolzano στο [-, ]. Η h γνήσι φθίνουσ. h- 3 h h- h > Η h δεν έχει ρίζ. Όµοι εφρµόζουµε θ. Bolzano στo διάστηµ [, ] Η h γνήσι φθίνουσ h h - h h Η h έχει µονδική ρίζ στο,. Η h στο [, ] γνήσι ύξουσ. h - h 3 h h Η h έχει µονδική θετική ρίζ στο,. Επειδή η h τρίτου θµού οι τρεις µονδικές ρίζες της εξίσωσης: 3 3 -, - η ύξουσ, άρ - µονδική ρίζ το, η φθίνουσ, άρ - µονδική ρίζ το 3, η ύξουσ, άρ - µονδική ρίζ το 3 δηλδή δύο θετικές κι µί ρνητική. ΘΕΜΑ 4 ο. h > g γι κάθε [, ] h g > d > Άρ h g

7 > d g d h > d g d h.i Πργωγίζοντς τη σχέση - έχουµε: R ii > > γι κάθε R. Άρ γνησίως ύξουσ στο R. Η στο [, ] συνεχής ως πργωγίσιµη. H στο, πργωγίσιµη. Άρ πό Θ.Μ.Τ. υπάρχει έν τουλάχιστον ξ, ώστε: ξ, ξ Όµως ξ, ξ ξ >

8 iii Από προηγούµενο ερώτηµ >, γι κάθε >. Άρ Ε d Από προηγούµενο ερώτηµ: γι > 4 d d d 4 Ε [ ] d Ε Ε Ε Ε 4 4 Άρ Ε Ε Ε Ε Εποµένως Ε 4 Επιµέλει Θεµάτων: Νίκος κουτρός, Τάκης ρούτσς, ιµντής Νικολάου, ηµήτρης Χτζόπουλος, Χρήστος Χρηστίδης, Πέτρος Κουνούκλς Μθηµτικοί