µε Horner 3 + x 2 = 0 (x 1)(x

Transcript

1 998 ΘΕΜΑΤΑ. Η συνάρτηση f: ικνοποιεί τη σχέση f(f()) +f ) Ν ποδείξετε ότι η f είνι «έν προς έν». β) Ν λύσετε την εξίσωση f( 3 + ) f(4 ),. 3 () + 3,. ) Έστω, µε f( ) f( ). Τότε f(f( )) f(f( )) κι f 3 ( ) f 3 ( ), οπότε f(f( )) + f 3 ( ) f(f( )) + f 3 ( ) Άρ η f είνι.. β) Επειδή η f είνι έχουµε f( 3 + ) f(4 ) µε Hornr 3 + ( )( + + ) Επειδή + + >, φού β 4γ 4-7 κι >.. Ένς γεωργός προσθέτει µονάδες λιπάσµτος σε µι γροτική κλλιέργει κι συλλέγει g() µονάδες του πργόµενου προϊόντος. Αν g() M + M( -µ ),, όπου M, Μ κι µ είνι θετικές στθερές, ν εκφράσετε το ρυθµό µετβολής του πργόµενου προϊόντος ως συνάρτηση της g(). Ποι είνι η σηµσί της στθεράς M ; Γι κάθε είνι g() M + M( -µ ) () κι g () Μµ -µ (). Από την () έχουµε Μ -µ M +M g() (3). Από τις () κι (3) πίρνουµε: g () µ(m + M g()),. Γι πό την () πίρνουµε g() M + M( ) g() M. Άρ το M είνι οι µονάδες του πργόµενου προϊόντος που προκύπτουν χωρίς τη χρήση λιπάσµτος. 3. ίνετι η πργωγίσιµη συνάρτηση f: (, + ) γι την οποί γι κάθε > ισχύουν f() >, f () + f() κι η γρφική της πράστση διέρχετι πό το σηµείο Α(, ). ) Ν δείξετε ότι η πράγωγος της f είνι συνεχής στο νοικτό διάστηµ (, + ) κι ν βρείτε τη συνάρτηση f. f() β) Ν δείξετε ότι f() < d <, >. γ) Ν βρείτε τη συνάρτηση F() ( + ) f() d, >.

2 δ) Ν ποδείξετε ότι d <, γι κάθε µεγλύτερο του έν. ) Γι κάθε > είνι f () + f() f () - f(). Η συνάρτηση f είνι συνεχής στο (, + ) ως γινόµενο συνεχών συνρτήσεων, φού η συνάρτηση - είνι συνεχής στο (, + ) κι η f() είνι πργωγίσιµη άρ κι συνεχής στο (, + ). Επειδή ( ), γι κάθε > έχουµε f () + f() f () + f() ( f()) f() c, όπου c πργµτική στθερά. Επειδή η γρφική πράστση της f διέρχετι πό το σηµείο Α(, ) είνι f() f() c c c. Συνεπώς γι κάθε > έχουµε f() β) Έστω g(), >, τότε g () f () f()( ) ( ) f() f(). f() 4 4 f() f() <, γι κάθε >. Άρ η g είνι γνησίως φθίνουσ στο (, + ). Γι κάθε [, ] έχουµε: g() g() κι g() g(). g g() g() g(), οπότε Οι g() g() κι g() g() είνι συνεχείς κι µη ρνητικές στο [, ]. Επίσης ν < < g g() > g() > g(), οπότε g() g() > (g() g()) d > g() d > d > f() d f() d < ( ), κι g() d g() g() > (g() g()) d > g() d > g() d f() d > g() d f() ( ) < f() d. f() Εποµένως f() < d <, >. γ) Γι κάθε > έχουµε

3 F() ( + ) f() d (f() + f()) d ( + ) d ( ) d χ δ) Η σχέση d < γράφετι ισοδύνµ d < f() d < < f() d. Είνι > > - f() [ ] f() f() > - f() > - f () d > - f() d > - < f( ) d (). Γι κάθε > f() > f() > f() f() f() > κι f() f(), [, ] είνι συνεχής στο [, ] (µε > ) οπότε ( f() f()) d > f() d f() d > f() d > f( ) d < (). f() d f() d Από τις () κι () πίρνουµε f() d < f() d < d < d <. 4. ίνετι η συνάρτηση φ() + µ,, όπου η πράµετρος µ είνι ένς πργµτικός ριθµός. Μι επιχείρηση έχει έσοδ Ε() που δίνοντι σε εκτοµµύρι δρχµές, µε τον τύπο Ε() ( )φ(),, όπου συµβολίζει το χρόνο σε έτη. Το κόστος λειτουργίς Κ() της επιχείρησης δίνετι, επίσης σε εκτοµµύρι δρχµές, σύµφων µε τον τύπο Κ() φ( + 4),. ) Ν βρείτε τη συνάρτηση κέρδους P(), γι, ότν γνωρίζουµε ότι κτά το πρώτο έτος λειτουργίς η επιχείρηση προυσίσε ζηµιά δώδεκ εκτοµµύρι δρχµές. β) Ποι χρονική στιγµή θ ρχίσει η επιχείρηση ν προυσιάζει κέρδη; γ) Ποιος θ είνι ο ρυθµός µετβολής της συνάρτησης κέρδους στο τέλος του δεύτερου έτους; δ) Ν υπολογίσετε την τιµή του ολοκληρώµτος J 6 P() d.

4 ) Γι κάθε έχουµε: P() Ε() Κ() ( ) φ() φ( + 4) ( )( + µ) (( + 4) + µ) + µ µ 8 µ + (µ 4) µ 8. Επειδή κτά το πρώτο έτος λειτουργίς η επιχείρηση προυσίσε ζηµιά εκτοµµύρι δρχµές έχουµε P() - + (µ 4) µ 8 - µ. Άρ P() + ( 4) 8 P(),. β) Η επιχείρηση προυσιάζει κέρδη ότν P() > > 6 > > 3. Άρ η επιχείρηση θ ρχίσει ν προυσιάζει κέρδη µετά το τέλος του τρίτου έτους. γ) Έχουµε P () 4,. Άρ P () 4 6 εκτοµµύρι δρχµές νά έτος. δ) J 6 P() d 6 ( ) d ίνετι η συνάρτηση h() 4 ( - ),, όπου πργµτικός ριθµός µεγλύτερος του 4. ) Ν δείξετε ότι lim h() h(). + β) Ν µελετήσετε ως προς τ κρόττ τη συνάρτηση h(). γ) Αν είνι ρίζ της πρώτης πργώγου κι είνι ρίζ της δευτέρς πργώγου της h(), ν βρείτε τη σχέση που συνδέει τ,. δ) Ν υπολογίσετε το ολοκλήρωµ M ) Έχουµε h() ( ). lim h() 4 ( lim ) + lim ( ). + Άρ lim h() h(). + β) Γι κάθε έχουµε h () ( ). + ln h() d, ότν 8. 4 Έχουµε h () ( 4) 4 ( 4) ln ( > 4 4 > ).

5 4 h () < < < 4 4 ( 4) > 4 h () > ( 4) > ln 4. 4 > Η h είνι γνησίως ύξουσ στο [, 4. 4 ( > 4 4 > ). Η h είνι γνησίως φθίνουσ στο 4, + ). Άρ η h προυσιάζει ολικό µέγιστο στη θέση 4, το η h προυσιάζει ολικό ελάχιστο στη θέση, το h() (φού lim + h() h() ). γ) Γι κάθε έχουµε h () 4 (6 ). κι έχουµε 4 h () ( 4) 6 4 Έχουµε λοιπόν ( 4) ln( ( > 4 4 > ). 4 κι 4 ) ( 4) ln 4 4 άρ προκύπτει η σχέση. δ) Γι 8 έχουµε h() ( 4 8 ),. Εποµένως: M ln h() d ln 4 8 ( ) d ln 4ln 8ln

6 4 8 ln ln