ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ

Transcript

1 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ Πρόγραµµα Σπουδών: ΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ και ΟΡΓΑΝΙΣΜΩΝ Θεµατική Ενότητα: ΕΟ-3 Ποσοτικές Μέθοδοι Ακαδηµαϊκό Έτος: ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ

2 . ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΤΩΝ Ε ΟΜΕΝΩΝ Προκειµένου να αντλήσουµε πολύτιµες πληροφορίες από ένα πολυπληθές σύνολο δεδοµένων και παράλληλα να αποκτήσουµε µία συνολική εικόνα του φαινοµένου στο οποίο αναφέρονται τα δεδοµένα θα πρέπει αυτά να συνοψισθούν µε κάποιο τρόπο. Οι βασικοί τρόποι σύνοψης δεδοµένων χωρίζονται στις παρακάτω κατηγορίες: Γραφικές Μέθοδοι Αριθµητικές Μέθοδοι και Μέθοδοι Ανιχνευτικής Ανάλυσης Οι γραφικές µέθοδοι επιχειρούν τη σύνοψη των δεδοµένων είτε µε Πίνακες όπως για παράδειγµα: Πίνακες Κατανοµής Συχνοτήτων είτε µε ιαγράµµατα όπως για παράδειγµα: Ιστογράµµατα ιαγράµµατα Σηµείων Ραβδογράµµατα Γραµµογραφήµατα Κυκλικά ιαγράµµατα Οι αριθµητικές µέθοδοι χρησιµοποιούν για τη σύνοψη των δεδοµένων αριθµητικές ποσότητες (στατιστικά µέτρα) οι οποίες προέρχονται από τα δεδοµένα και οι οποίες προκύπτουν ως τιµές στατιστικών συναρτήσεων. Τα κυριότερα µέτρα που χρησιµοποιούµε για την περιγραφή ενός συνόλου δεδοµένων εντάσσονται στις παρακάτω κατηγορίες: Μέτρα Κεντρικής Τάσης Μέτρα ιασποράς Μέτρα Σχετικής Θέσης Μέτρα Ασυµµετρίας Μέτρα Κύρτωσης Στη συνέχεια θα αναφερθούµε µε συντοµία στα σηµαντικότερα µέτρα, παραθέτοντας τον ορισµό τους και απλό παράδειγµα υπολογισµού για την περίπτωση των αταξινόµητων δεδοµένων. Το σύνολο των µέτρων, τόσο για την περίπτωση των αταξινόµητων όσο και για την περίπτωση των ταξινοµηµένων δεδοµένων περιλαµβάνεται στο Τυπολόγιο του µαθήµατος.

3 Οι µέθοδοι Ανιχνευτικής Ανάλυσης συνδυάζουν διάφορες επιµέρους παρατηρήσεις ή µέτρα για να συνοψίσουν τα δεδοµένα. Οι κυριότερες από αυτές είναι: ιάγραµµα Μίσχου Φύλλου Θηκόγραµµα. ΜΕΤΡΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΤΑΣΗΣ.. Αριθµητικός Μέσος Έστω X X,..., X n οι παρατηρήσεις ενός τυχαίου δείγµατος από έναν πληθυσµό. Τότε ο αριθµητικός µέσος, X, των παρατηρήσεων αυτών δίνεται από τη σχέση X = Παράδειγµα n = Παρακάτω δίνονται οι τελικές βαθµολογίες (µε άριστα το 00) ενός τυχαίου δείγµατος 5 φοιτητών του ΕΑΠ που έχουν εγγραφεί στη θεµατική ενότητα «Ποσοτικές Μέθοδοι» κατά το ακαδ. έτος n X 56, 67, 34, 89, 67, 89, 78, 57, 48, 47, 89, 80, 59, 89, 94 Ο αριθµητικός µέσος της βαθµολογίας του τυχαίου δείγµατος των 5 φοιτητών του ΕΑΠ είναι: X n X = 043 = = = 69,53 n 5.. ιάµεσος Η διάµεσος, Μ, είναι η τιµή που χωρίζει ένα σύνολο δεδοµένων περίπου στη µέση εφόσον τα δεδοµένα τοποθετηθούν σε αύξουσα σειρά. Ουσιαστικά η διάµεσος ενός συνόλου παρατηρήσεων είναι η τιµή που έχει την ιδιότητα ότι το πολύ 50% των µετρήσεων είναι µικρότερες από την τιµή αυτή και το πολύ το 50% των µετρήσεων είναι µεγαλύτερες από την τιµή αυτή. 3

4 Στην περίπτωση του παραδείγµατος των φοιτητών του ΕΑΠ η διάµεσος βρίσκεται αφού τοποθετήσουµε τις βαθµολογίες σε αύξουσα σειρά 34, 47, 48, 56, 57, 59, 67, 67, 78, 80, 89, 89, 89, 89, 94 Το πλήθος των παρατηρήσεων είναι 5, δηλαδή περιττός αριθµός, άρα η διάµεσος τιµή των βαθµολογιών θα είναι η τιµή της παρατήρησης που βρίσκεται στη θέση n + δηλαδή στη συγκεκριµένη περίπτωση η διάµεσος θα είναι η τιµή της 5 + παρατήρησης που βρίσκεται στη θέση = 8. Αρά η διάµεσος βαθµολογία είναι το 67. Στην περίπτωση που θα είχαµε 4 παρατηρήσεις η διάµεσος τιµή θα ήταν ο µέσος της 7 ης και της 8 ης παρατήρησης. Σε αυτήν την περίπτωση δηλαδή, η διάµεσος δίνεται από τον τύπο M = X n + X n +..3 Σύγκριση Αριθµητικού Μέσου και ιαµέσου Ο αριθµητικός µέσος Επηρεάζεται από την ύπαρξη ακραίων τιµών Είναι χρήσιµος για συµπερασµατολογία που αναφέρεται στο άθροισµα των τιµών του πληθυσµού Είναι ευκολότερο να εργασθούµε µε αυτόν θεωρητικά Η διάµεσος εν επηρεάζεται από την ύπαρξη ακραίων τιµών εν είναι χρήσιµη για συµπερασµατολογία που αναφέρεται στο άθροισµα των τιµών του πληθυσµού Είναι δύσκολο να εργασθούµε µε αυτήν θεωρητικά 4

5 ..4 Επικρατούσα Τιµή Ως επικρατούσα τιµή, T 0 µεγαλύτερη συχνότητα εµφάνισης., ενός συνόλου δεδοµένων χαρακτηρίζουµε εκείνη µε τη Στην περίπτωση του παραδείγµατος µε τους φοιτητές του ΕΑΠ η επικρατούσα τιµή της βαθµολογίας είναι το 89 που εµφανίζεται 4 φορές. Στην περίπτωση που υπάρχουν δύο ή περισσότερες τιµές µε την ίδια συχνότητα εµφάνισης τότε λέµε ότι τα δεδοµένα έχουν δύο ή περισσότερες επικρατούσες τιµές. Πρέπει να σηµειωθεί ότι η επικρατούσα τιµή χρησιµοποιείται συνήθως στις περιπτώσεις ποιοτικών δεδοµένων.. ΜΕΤΡΑ ΣΧΕΤΙΚΗΣ ΘΕΣΗΣ.. Τεταρτηµόρια Σε πολλές περιπτώσεις τα µέτρα κεντρικής τάσης των δεδοµένων δεν εξασφαλίζουν ικανοποιητική περιγραφή τους. Στις περιπτώσεις αυτές προσδιορίζουµε κάποια άλλα µέτρα που αναφέρονται στη σχετική θέση των δεδοµένων. Αυτά είναι τα λεγόµενα ποσοστιαία σηµεία. Τα πιο συχνά χρησιµοποιούµενα ποσοστιαία σηµεία είναι τα τεταρτηµόρια (Q, Q, Q 3 ) τα οποία χωρίζουν ένα σύνολο παρατηρήσεων σε τέταρτα. Για παράδειγµα το Q είναι η τιµή η οποία χωρίζει το σύνολο των παρατηρήσεων σε δύο µέρη έτσι ώστε το πολύ 5% να είναι µικρότερες και το πολύ 75% να είναι µεγαλύτερες από την τιµή αυτή. Όπως στην περίπτωση της διαµέσου, ο προσδιορισµός των τεταρτηµορίων προϋποθέτει διάταξη των παρατηρήσεων κατά αύξουσα σειρά και στη συνέχεια εντοπισµό της θέσης τους. Ειδικότερα: 5

6 n+ ( ) -Το =,,,3 τεταρτητοµόριο (Q ) βρίσκεται στην 4 θέση. -Η τιµή του =,,3 τεταρτηµορίου ( Q ) είναι: Q = X + X X AQ Q AQ+ AQ όπου Α Q = ακέραιο µέρος του πηλίκου Q = δεκαδικό µέρος του πηλίκου n+ ( ) 4 και n+ ( ) 4 Για τα δεδοµένα του παραδείγµατος της βαθµολογίας των φοιτητών του ΕΑΠ, τα οποία έχουν τοποθετηθεί κατά αύξουσα σειρά τάξης µεγέθους έχουµε: o -Το τεταρτηµόριο είναι η τιµή που βρίσκεται στη ( n + ) 6 = = Στη συγκεκριµένη περίπτωση Α Q = 4 και Q = 0 Q = X 4 = Τυποποιηµένες Τιµές Ένα άλλο µέτρο σχετικής θέσης των τιµών της παρατήρησης είναι οι λεγόµενες τυποποιηµένες τιµές ή Ζ-τιµές. Ως τυποποιηµένη τιµή µιας παρατήρησης ορίζεται η απόσταση της συγκεκριµένης παρατήρησης από το µέσο του συνόλου των παρατηρήσεων εκφρασµένη σε µονάδες τυπικής απόκλισης. (Η τυπική απόκλιση S είναι µέτρο της διασποράς των δεδοµένων και ορίζεται στην ενότητα.3.4) Εποµένως ο τρόπος υπολογισµού των τυποποιηµένων τιµών ενός παρατηρήσεων είναι: Z = X S X συνόλου Ας θεωρήσουµε τις επιδόσεις 00 φοιτητών στα µαθήµατα της Στατιστικής και των Μαθηµατικών. Θέλουµε να προσδιορίσουµε τη συγκριτική θέση που έχει κάθε φοιτητής σε σχέση µε την επίδοσή του στα δύο µαθήµατα. Πιο συγκεκριµένα ας 6

7 υποθέσουµε ότι ένας φοιτητής συγκέντρωσε 76 µονάδες (µε άριστα το 00) στη Στατιστική όταν η µέση επίδοση ήταν 70 µονάδες και η τυπική απόκλιση 5 µονάδες. Ο ίδιος φοιτητής στα Μαθηµατικά πήρε 55 µονάδες όταν η µέση επίδοση ήταν 50 µονάδες και η τυπική απόκλιση 4 µονάδες. Σε ποιο από τα δύο µαθήµατα ο φοιτητής είχε καλύτερη επίδοση σε σύγκριση µε το σύνολο των συναδέλφων του; Από τα δεδοµένα παρατηρούµε ότι η βαθµολογία του φοιτητή στη Στατιστική είναι µονάδες µεγαλύτερη από τη βαθµολογία του στα Μαθηµατικά. Ακόµη, η επίδοσή του στη Στατιστική είναι 6 µονάδες πάνω από το µέσο, ενώ στα Μαθηµατικά είναι µόνο 5 µονάδες. Με βάση τα δεδοµένα αυτά θα µπορούσε να υποστηριχθεί ότι ο φοιτητής είναι καλύτερος, σε σχέση µε τους συµφοιτητές του, στη Στατιστική παρά στα Μαθηµατικά. Το συµπέρασµα αυτό δεν εκφράζει την πραγµατική κατάσταση. Τα δύο σύνολα παρατηρήσεων παρουσιάζουν διαφορές και κατά συνέπεια δεν µπορούν να συγκριθούν ως έχουν. Η σωστή απάντηση στο παραπάνω ερώτηµα µπορεί να δοθεί µόνο µετά από σύγκριση των τυποποιηµένων τιµών των δύο βαθµολογιών. Συγκεκριµένα, Z Σ = = =, Z = =, 5 M 4 4 = Επειδή Ζ Μ >Ζ Σ, συµπεραίνεται ότι ο υπόψη φοιτητής είναι συγκριτικά καλύτερος (σε σχέση µε το σύνολο των συναδέλφων του) στα Μαθηµατικά και όχι στη Στατιστική..3 ΜΕΤΡΑ ΙΑΣΠΟΡΑΣ.3. Εύρος Το εύρος (R) ενός συνόλου παρατηρήσεων ορίζεται ως η διαφορά µεταξύ της µεγίστης και της ελαχίστης τιµής του συνόλου των παρατηρήσεων. R = X max - X mn 7

8 Για τα δεδοµένα του παραδείγµατος της βαθµολογίας των 5 φοιτητών του ΕΑΠ έχουµε ότι: R = X max - X mn = = Ενδοτεταρτηµοριακό Εύρος Το ενδοτεταρτηµοριακό εύρος (IR), το οποίο ορίζεται ως, IR = Q 3 - Q και περιλαµβάνει το 50% των παρατηρήσεων που βρίσκονται γύρω από τη διάµεσο. Για τα δεδοµένα του παραδείγµατος της βαθµολογίας των 5 φοιτητών του ΕΑΠ έχουµε ότι: IR = Q 3 - Q = = ιακύµανση Η ιακύµανση (S ) είναι ένα ακόµη µέτρο διασποράς το οποίο βασίζεται στην έννοια της απόστασης µιας παρατήρησης από το µέσο αριθµητικό των παρατηρήσεων. Ξεπερνά το πρόβληµα του µηδενικού αθροίσµατος αποκλίσεων χρησιµοποιώντας όχι απόλυτες τιµές αλλά τα τετράγωνα των αποκλίσεων τα οποία έχουν πάντοτε µη αρνητικές τιµές. Στην περίπτωση δείγµατος n παρατηρήσεων µε δειγµατικό µέσο X η δειγµατική διακύµανση ορίζεται ως η µέση τιµή των τετραγώνων των αποκλίσεων των n τιµών του δείγµατος από το δειγµατικό µέσο, S = n = ( X X ) n - Για τα δεδοµένα του παραδείγµατος της βαθµολογίας των 5 φοιτητών του ΕΑΠ έχουµε ότι: S n ( X X) 4993, 7 = = = 356, 69 n - 4 = 8

9 .3.4. Τυπική Απόκλιση Η διακύµανση είναι αναµφισβήτητα ένα πολύ χρήσιµο µέτρο διασποράς, Παρολαυτά, είναι δύσκολο να ερµηνευτεί δεδοµένου ότι εκφράζεται στα τετράγωνα των µονάδων των παρατηρήσεων. Η τυπική απόκλιση (S ) ορίζεται ως η θετική τετραγωνική ρίζα της διακύµανσης, δηλαδή, S =+ S Για τα δεδοµένα του παραδείγµατός µας έχουµε ότι: S S 356, 69 8,89 =+ = =.3.5 Ανισότητα του Chebyshev Οι τιµές του µέσου και της τυπικής απόκλισης µπορούν να αξιοποιηθούν για την απάντηση ερωτηµάτων της µορφής: τι ποσοστό των τιµών µιας µεταβλητής (κατανοµής) βρίσκεται εντός του διαστήµατος που προσδιορίζεται από µια, δύο ή τρεις τυπικές αποκλίσεις εκατέρωθεν της τιµής του µέσου; Το αναλυτικό εργαλείο που χρησιµοποιείται για την απάντηση τέτοιων ερωτηµάτων, όταν δεν είναι γνωστή η µορφή της κατανοµής των δεδοµένων, είναι η ανισότητα ή το θεώρηµα του Chebyshev. Θεώρηµα του Chebyshev: οθέντος ενός συνόλου τιµών και ενός αριθµού k, τότε τουλάχιστον το των παρατηρήσεων βρίσκεται, k τυπικές αποκλίσεις k εκατέρωθεν του µέσου (δηλαδή στο διάστηµα X ks και X + ks ). Ας θεωρήσουµε τις επιδόσεις 00 φοιτητών στη Στατιστική και τα Μαθηµατικά. Σε βαθµολογική κλίµακα από 0 έως 00 το δείγµα των 00 φοιτητών έδωσε τα εξής αποτελέσµατα: 9

10 Μαθηµατικά: Χ Μ = 50 και S Μ = 4 Στατιστική: Χ Σ = 70 και S = 5 Σ Για k = µπορούµε, χωρίς άλλη πληροφορία όσον αφορά την κατανοµή της βαθµολογίας των φοιτητών στα δύο µαθήµατα, να προσδιορίσουµε τα διαστήµατα στα οποία θα βρίσκεται η βαθµολογία τουλάχιστον του 75% των φοιτητών. Τα διαστήµατα αυτά είναι: X X X X Μ Μ Σ Σ SΜ = 50-*4= 4 + SΜ = 50+ *4= 58 SΣ = 70-*5= 60 + SΣ = 70+ *5= 80 για τα Μαθηµατικά για τη Στατιστική Εποµένως, το 75% των φοιτητών θα έχει βαθµολογία µεταξύ 4 και 58 µονάδες στα Μαθηµατικά και µεταξύ 60 και 80 µονάδες στη Στατιστική..4 ΜΕΤΡΑ ΣΧΕΤΙΚΗΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΟΤΗΤΑΣ.4. Συντελεστής Μεταβλητότητας Έστω ότι αντικείµενο έρευνας είναι η µεταβλητότητα που εµφανίζει η επίδοση των φοιτητών σε δύο µαθήµατα: τα Μαθηµατικά και τη Στατιστική. Ας θεωρήσουµε το παράδειγµα της βαθµολογίας των 00 φοιτητών που αναφέρθηκε πιο πάνω και το οποίο έδωσε τα εξής αποτελέσµατα: Μαθηµατικά: Χ Μ = 50 και S Μ = 4 Στατιστική: Χ Σ = 70 και S = 5 Σ Με βάση τις τιµές των S = 4 και Μ S = 5 Σ η διασπορά στην επίδοση των φοιτητών στη Στατιστική είναι µεγαλύτερη σε σύγκριση µε εκείνη των Μαθηµατικών. Το συµπέρασµα όµως αυτό είναι λανθασµένο δεδοµένου ότι τα δύο σύνολα παρατηρήσεων έχουν διαφορετικούς µέσους και άρα δεν επιτρέπεται η σύγκριση της διασποράς µε την τυπική απόκλιση. Το πρόβληµα της σύγκρισης που ανακύπτει στην περίπτωση αυτή αντιµετωπίζεται µε τη βοήθεια του συντελεστή µεταβλητότητας, ο οποίος µετράει τη διασπορά των τιµών της κατανοµής σε σχετικούς όρους και υπολογίζεται από τον τύπο: 0

11 CV S = X Για την επίδοση των 00 φοιτητών στα Μαθηµατικά και τη Στατιστική, σύµφωνα µε τα δεδοµένα του παραδείγµατος, έχουµε: Μαθηµατικά: CV CV Μ Μ SΜ 4 = = = 0,08 X 50 Μ = 8% Στατιστική: CV CV Σ Σ SΣ 5 = = = 0,07 X 70 Σ = 7% Συµπερασµατικά µπορούµε να πούµε ότι η σχετική ανοµοιογένεια (µεταβλητότητα) στην επίδοση των φοιτητών στη Στατιστική (7%) είναι µικρότερη από εκείνη στα Μαθηµατικά (8%)..5 ΜΕΤΡΑ ΑΣΥΜΜΕΤΡΙΑΣ Τα µέτρα κεντρικής τάσης και διασποράς µιας κατανοµής δίνουν µία πρώτη εικόνα της µορφής της. Η εικόνα αυτή βελτιώνεται αν προσδιορίσουµε και ένα µέτρο ασυµµετρίας της. Με άλλα λόγια αν προσδιορίσουµε πόσο και προς ποια κατεύθυνση αποκλίνει η κατανοµή µας από την πλήρως συµµετρική κατανοµή. Σηµειώνεται ότι η ασυµµετρία µπορεί να είναι θετική ή αρνητική. Θετικά ασυµµετρική είναι µια κατανοµή όταν παρουσιάζει εξόγκωση προς τα αριστερά και επιµήκυνση του άκρου της που αντιστοιχεί στις µεγαλύτερες τιµές του χαρακτηριστικού. Με άλλα λόγια η µεγάλη συγκέντρωση των παρατηρήσεων βρίσκεται στις µικρές τιµές της µεταβλητής. Αντίθετα, αρνητικά ασυµµετρική είναι µία κατανοµή όταν παρουσιάζει εξόγκωση προς τα δεξιά και επιµήκυνση του άκρου της που αντιστοιχεί στις µικρότερες τιµές του χαρακτηριστικού. Στην περίπτωση αυτή, η µεγάλη συγκέντρωση των παρατηρήσεων βρίσκεται στις µεγάλες τιµές της µεταβλητής.

12 y x y Θετική Ασυµµετρία Αρνητική Ασυµµετρία x.5. Μέτρο Ασυµµετρίας που βασίζεται στον Αριθµητικό Μέσο και στην Επικρατούσα Τιµή. Το µέτρο αυτό προτάθηκε από τον K. Pearson και βασίζεται στην σχέση που υπάρχει µεταξύ του αριθµητικού µέσου ( X ) και της επικρατούσας τιµής (Τ 0 ). Συγκεκριµένα: S P X T0 = S Η διαίρεση του ( X T0 ) µε την τυπική απόκλιση καθιστά το µέτρο ανεξάρτητο από τη µονάδα µέτρησης του χαρακτηριστικού και επιτρέπει τη χρήση του για σύγκριση κατανοµών που είτε αναφέρονται σε χαρακτηριστικά µε διαφορετικές µονάδες µέτρησης είτε έχουν διαφορετική διασπορά. Ισχύει ότι: S P > = = < ϑετικη ασυµµετρια αρνητικη συµµετρια ασυµµετρια Για τα δεδοµένα του παραδείγµατος της βαθµολογίας των 5 φοιτητών του ΕΑΠ έχουµε ότι: S P X T0 69,53 89 = = =, 03 S 8,89 Άρα η κατανοµή της βαθµολογίας παρουσιάζει ελαφρά αρνητική ασυµµετρία.

13 .5. Συντελεστής Ασυµµετρίας β 3 Ως µέτρο ασυµµετρίας της κατανοµής n παρατηρήσεων ο K. Pearson όρισε επίσης το συντελεστή: β = n ι= ( X X ) ι n S Το µέτρο αυτό είναι γνωστό ως συντελεστής ασυµµετρίας β 3 του Pearson. Ισχύει ότι: > β3 = = < ϑετικη ασυµµετρια συµµετρια αρνητικη ασυµµετρια Για τα δεδοµένα του παραδείγµατος της βαθµολογίας των 5 φοιτητών του ΕΑΠ έχουµε ότι: n 3 ( Xι X) ι= 598,3 n 5 73,5 β3 = = = = 0, S (8,89) 6740,56 Άρα η κατανοµή της βαθµολογίας παρουσιάζει ελαφρά αρνητική ασυµµετρία..6 ΜΕΤΡΑ ΚΥΡΤΩΣΗΣ ύο µονοκόρυφες κατανοµές µπορεί να έχουν τον ίδιο αριθµητικό µέσο, την ίδια τυπική απόκλιση, να είναι συµµετρικές αλλά παρόλα αυτά να διαφέρουν ως προς την οξύτητα της κορυφής τους. Με βάση το χαρακτηριστικό αυτό µια κατανοµή µπορεί να θεωρηθεί: 3

14 Λεπτόκυρτη Πλατύκυρτη Μεσόκυρτη Ως µέτρο κύρτωσης της κατανοµής n παρατηρήσεων ο K. Pearson όρισε το συντελεστή: β = n ι= ( X X ) 4 4 n S 4 Το µέτρο αυτό είναι γνωστό ως συντελεστής κύρτωσης Αποδεικνύεται ότι, β 4 του Pearson. > β 4 = = < λεπτοκυρτη µεσοκυρτη πλατυκυρτη Για τα δεδοµένα του παραδείγµατος της βαθµολογίας των 5 φοιτητών του ΕΑΠ έχουµε ότι: n 4 ( X X) ι= , β4 = n = = =, S (8,898) 739,5 Άρα η κατανοµή της βαθµολογίας είναι πλατύκυρτη..7 Ανιχνευτική Ανάλυση εδοµένων Η Ανιχνευτική Ανάλυση εδοµένων (Exploratory Data Analyss) αποτελείται από τεχνικές οι οποίες συνδυάζουν διάφορες επιµέρους παρατηρήσεις ή µέτρα για να συνοψίσουν τα δεδοµένα. Το ιάγραµµα Μίσχου Φύλλου και το Θηκόγραµµα εντάσσονται στην Ανιχνευτική Ανάλυση εδοµένων. 4

15 .7. ιάγραµµα Μίσχου-Φύλλου Το ιάγραµµα Μίσχου-Φύλλου (Stem-and-Leaf Plot) είναι ένας απλός αλλά περιγραφικός τρόπος παρουσίασης των δεδοµένων µε τρόπο που να υποδηλώνει την κατανοµή τους. Για να δηµιουργήσουµε το ιάγραµµα Μίσχου-Φύλλου χωρίζουµε καταρχήν κάθε παρατήρηση σε δύο µέρη, το µίσχο και το φύλλο. Στη συνέχεια κάνουµε µια κατακόρυφη γραµµή και αριστερά της τοποθετούµε τις τιµές των µίσχων τις οποίες κατατάσσουµε κατά αύξουσα τάξη µεγέθους και δεξιά της τα αντίστοιχα φύλλα. Σηµειώνεται ότι η επιλογή του φύλλου και του µίσχου γίνεται έτσι ώστε τα δεδοµένα να παρουσιάζονται µε τον καλύτερο δυνατό τρόπο. Ας υποθέσουµε ότι θέλουµε να κατασκευάσουµε το ιάγραµµα Μίσχου-Φύλλου για το παράδειγµα της βαθµολογίας των 5 φοιτητών του ΕΑΠ. Χωρίζουµε κάθε παρατήρηση (βαθµολογία) σε δύο µέρη το µίσχο και το φύλλο. Στην προκειµένη περίπτωση µίσχος είναι το ψηφίο των δεκάδων και φύλλο το ψηφίο των µονάδων. Χαράσσουµε µια κατακόρυφη γραµµή και αριστερά της τοποθετούµε τους µίσχους (τα ψηφία των δεκάδων σε αύξουσα σειρά) δεξιά της τα αντίστοιχα φύλλα (τα αντίστοιχα ψηφία των µονάδων). Παρατηρούµε λοιπόν ότι: Η πρώτη τιµή του µίσχου είναι το 3 (η µικρότερη τιµή ψηφίου δεκάδων που συναντάται στο δείγµα των 5 βαθµολογιών) και η τιµή του φύλλου είναι 4 (το ψηφίο των µονάδων που αντιστοιχεί στο βαθµό 34). Η επόµενη τιµή µίσχου είναι το 4 µε τιµές φύλλων 7, 8 που αντιστοιχούν στο ψηφίο των µονάδων των βαθµών 47 και 48. Η συνέχεια είναι προφανής και παρουσιάζεται στο διάγραµµα που ακολουθεί. Μίσχος Φύλλο

16 Από το διάγραµµα αυτό προκύπτει ότι οι περισσότεροι φοιτητές έχουν βαθµολογία µεταξύ 80 και Θηκόγραµµα Το Θηκόγραµµα απεικονίζει τις τιµές ορισµένων µέτρων κεντρικής τάσης και διασποράς που παρουσιάζουν ανθεκτικότητα, δηλαδή δεν επηρεάζονται από ακραίες τιµές των δεδοµένων ή από τυχόν µεταβολές σε κάποια από τα δεδοµένα. Τέτοια µέτρα είναι η διάµεσος και τα τεταρτηµόρια. Επιπλέον συνδυάζει τα ανθεκτικά αυτά µέτρα µε τις πληροφορίες που περιέχονται στις ακραίες τιµές; των δεδοµένων δίνοντας έτσι µια πληρέστερη εικόνα της κατανοµής τους. Συγκεκριµένα, το Θηκόγραµµα χρησιµοποιεί τις παρακάτω πέντε χαρακτηριστικές τιµές των δεδοµένων: X mn : Ελάχιστη τιµή των δεδοµένων Q : Πρώτο τεταρτηµόριο Μ : ιάµεσος Q 3 : Τρίτο τεταρτηµόριο X max : Μέγιστη τιµή των δεδοµένων Για το λόγο αυτό η µέθοδος αυτή παρουσίασης των δεδοµένων ονοµάζεται και σύνοψη των πέντε σηµείων (Fve Number Summary). Ένα τυπικό θηκόγραµµα παρουσιάζεται στο παρακάτω Σχήµα Q M Q 3 X mn X max 6

17 Τα ακραία σηµεία του διαγράµµατος αντιστοιχούν στην ελάχιστη και τη µέγιστη τιµή των δεδοµένων αντίστοιχα. Η µεταξύ τους απόσταση εκφράζει το εύρος των δεδοµένων. Τα άκρα του Πλαισίου αντιστοιχούν στο πρώτο και το τρίτο τεταρτηµόριο αντίστοιχα. Εποµένως το µήκος του Πλαισίου εκφράζει το ενδοτεταρτηµοριακό εύρος των παρατηρήσεων. Τέλος το διαχωριστικό ευθύγραµµο τµήµα µέσα στο πλαίσιο αντιστοιχεί στην διάµεσο των δεδοµένων. Το 50% των παρατηρήσεων βρίσκεται στο εσωτερικού του πλαισίου. Το 5% των παρατηρήσεων (οι µικρότερες τιµές) βρίσκονται στην αριστερή απόληξη, δηλαδή µεταξύ της ελάχιστης τιµής και του αριστερού άκρου του πλαισίου. Αντίστοιχα το υπόλοιπο 5% των παρατηρήσεων (οι µεγαλύτερες παρατηρήσεις βρίσκονται στη δεξιά απόληξη, δηλαδή µεταξύ του δεξιού άκρου του πλαισίου και της µέγιστης τιµής. Εστω ότι από ένα σύνολο δεδοµένων έχουν προκύψει τα παρακάτω: X mn : 90 Q : 057,5 Μ : 05 Q 3 : 5 X max : 55 Με βάση τα στοιχεία αυτά κατασκευάζουµε το παρακάτω Θηκόγραµµα των δεδοµένων Q = M = 05 Q 3 = 5 X mn = 90 X max =

18 Από το Θηκόγραµµα προκύπτει ότι: Q3 M > M Q (δηλαδή ότι το διαχωριστικό ενδιάµεσο τµήµα στο εσωτερικό του ορθογώνιου πλαισίου βρίσκεται πλησιέστερα προς το αριστερό άκρο του). X -Q > Q X (δηλαδή το µήκος της δεξιάς απόληξης είναι µεγαλύτερο από το max 3 mn αντίστοιχο της αριστερής) Κατά συνέπεια συµπεραίνουµε ότι η κατανοµή των δεδοµένων παρουσιάζει θετική ασυµµετρία. 8

19 . ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΠΟ ΤΗ ΘΕΩΡΙΑ ΤΩΝ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ. Βασικές Έννοιες Κάθε ανθρώπινη ενέργεια οσοδήποτε προγραµµατισµένη και αν είναι περικλείει πάντοτε ένα στοιχείο αβεβαιότητας έτσι ώστε το αποτέλεσµα της να εξαρτάται άλλοτε περισσότερο και άλλοτε λιγότερο από την τύχη δηλαδή από τους παράγοντες που δεν µπορούν να προβλεφτούν / ελεγχθούν εκ των προτέρων. Σε περιπτώσεις που δεν µπορούµε να κάνουµε ακριβή πρόβλεψη του αποτελέσµατος µιας ενέργειας έχουµε τη δυνατότητα να µετρήσουµε το βαθµό αβεβαιότητας ενός ορισµένου αποτελέσµατός της αφού σε µια ενέργεια που έχει αβέβαιη έκβαση τελικά θα εµφανιστεί ένα µόνο από τα δυνατά ενδεχόµενα της. Τυχαίο φαινόµενο είναι ένα φαινόµενο η κατάληξη του οποίου δεν είναι γνωστή εκ των προτέρων. Τυχαίο πείραµα είναι µια διαδικασία της οποίας το αποτέλεσµα δεν είναι γνωστό εκ των προτέρων (π.χ ρίξιµο ζαριού, στρίψιµο νοµίσµατος, γέννηση παιδιού κ.λ.π.). Απλά (ή Στοιχειώδη) Ενδεχόµενα ονοµάζονται τα δυνατά αποτελέσµατα ενός πειράµατος. (Το ενδεχόµενο συµβολίζεται, για παράδειγµα, µε A ). ειγµατικός χώρος είναι το σύνολο όλων των δυνατών αποτελεσµάτων ενός τυχαίου πειράµατος. Ο δειγµατικός χώρος συµβολίζεται συνήθως µε το γράµµα S. Ενδεχόµενο καλείται κάθε υποσύνολο του δειγµατικού χώρου. Ο ειγµατικός χώρος S ονοµάζεται και βέβαιο ενδεχόµενο. Το ενδεχόµενο ονοµάζεται αδύνατο ενδεχόµενο. 9

20 . Πράξεις µε ενδεχόµενα Ένωση δύο ενδεχοµένων και καλείται το ενδεχόµενο Α το οποίο Α Α συµβαίνει όταν συµβαίνει τουλάχιστον ένα από τα ενδεχόµενα,. Α Α Α Τοµή δύο ενδεχοµένων Α και Α καλείται το ενδεχόµενο Α Α το οποίο συµβαίνει όταν συµβαίνουν και τα δύο ενδεχόµενα, Α. Α Αν η τοµή των δύο ενδεχοµένων είναι το αδύνατο ενδεχόµενο τότε αυτά καλούνται ασυµβίβαστα ή ξένα ενδεχόµενα. Συµπλήρωµα του ενδεχοµένου Α καλείται το ενδεχόµενο Α το οποίο περιέχει τα αποτελέσµατα του δειγµατικού χώρου S τα οποία δεν περιέχονται στο Α..3 Έννοια και Ορισµός της Πιθανότητας Στη µελέτη τυχαίων φαινοµένων και πειραµάτων το πρόβληµα βρίσκεται στον προσδιορισµό του δειγµατικού χώρου, στην επιλογή των ενδεχοµένων που µας ενδιαφέρουν και στον υπολογισµό των πιθανοτήτων που έχουν αυτά να συµβούν. Πριν ορίσουµε την πιθανότητα θα πρέπει να σηµειώσουµε ότι οι διάφοροι ερευνητές έχουν προσεγγίσει την έννοια της πιθανότητας µε διαφορετικούς τρόπους και κατά συνέπεια υπάρχουν διαφορετικοί ορισµοί. Ο κλασικός ορισµός της πιθανότητας οφείλεται στον Laplace ο οποίος, µε την προϋπόθεση ότι όλα τα απλά ενδεχόµενα είναι ισοπίθανα, όρισε την πιθανότητα ενός ενδεχοµένου ως το λόγο του πλήθους των ευνοϊκών για το ενδεχόµενο περιπτώσεων δια του συνολικού αριθµού των περιπτώσεων (ως περίπτωση θεωρείται το απλό ενδεχόµενο): P(E) = N N ( E) ( S ) Όπου: Ν(Ε) ο αριθµός των ευνοϊκών για το ενδεχόµενο περιπτώσεων Ν(S) ο αριθµός των δυνατών περιπτώσεων. 0

21 .4 Αξιωµατική Θεµελίωση των Πιθανοτήτων Η αξιωµατική θεµελίωση των Πιθανοτήτων προτάθηκε το 933 από το µαθηµατικό A.N. Kolmogorov και έγινε κοινά αποδεκτή. Σύµφωνα µε τη θεωρία του Kolmogorov η πιθανότητα είναι µια συνάρτηση που ορίζεται ως εξής : Έστω S ένας δειγµατικός χώρος και έστω Β το σύνολο όλων των ενδεχοµένων του S. Ορίζουµε ως συνάρτηση πιθανότητας µια συνάρτηση Ρ: P: Β R η οποία σε κάθε ενδεχόµενο Α αντιστοιχεί έναν πραγµατικό αριθµό Ρ(Α) έτσι ώστε να ικανοποιούνται τα παρακάτω αξιώµατα:. P ( A) 0. P ( S ) =. n P A = P( A) + P( A) + + P( An) = P( A ), Α = L Α j =, j n =.5 Βασικά Θεωρήµατα των Πιθανοτήτων Έστω ο δειγµατικός χώρος S, Β το σύνολο όλων των ενδεχοµένων του S και P η συνάρτηση πιθανότητας που ικανοποιεί τα τρία αξιώµατα του Kolmogorov. Αποδεικνύεται ότι ισχύουν τα παρακάτω θεωρήµατα Θεώρηµα Για κάθε ενδεχόµενο Α ισχύει P( A ) = P( A). Θεώρηµα Ισχύει ότι: P( ) = 0 Θεώρηµα 3 Για κάθε ενδεχόµενο Α ισχύει P ( A). Θεώρηµα 4 Για οποιαδήποτε ενδεχόµενα και A ισχύει ότι: A ( U ) = ( ) + ( ) ( I ) P A A P A P A P A A Το θεώρηµα 4 γενικεύεται για την περίπτωση n ενδεχοµένων. Στην περίπτωση που n=3 γίνεται: ( U U ) = ( ) + ( ) + ( ) ( I ) ( I ) ( I ) + ( I I ) P A A A P A P A P A P A A P A A P A A P A A A Για δύο ενδεχόµενα τα οποία είναι ασυµβίβαστα το θεώρηµα 4 οδηγεί στο συµπέρασµα

22 P ( A U A ) P ( A ) + P ( A ) A I = =, A το οποίο είναι ειδική περίπτωση του 3 ου αξιώµατος..6 Αρχές Απαρίθµησης Σύµφωνα µε τον κλασικό ορισµό η πιθανότητα εµφάνισης ενός ενδεχοµένου Α εκφράζεται ως ο λόγος του αριθµού των ευνοϊκών για το ενδεχόµενο αποτελεσµάτων προς τον αριθµό του συνόλου των δυνατών αποτελεσµάτων του: ( A) P = n ( A) N Σε απλά προβλήµατα τόσο ο αριθµός των ευνοϊκών όσο και ο αριθµός των δυνατών αποτελεσµάτων µπορούν εύκολα να µετρηθούν. Σε πιο σύνθετα όµως προβλήµατα η απαρίθµηση των ευνοϊκών και των δυνατών αποτελεσµάτων είναι εξαιρετικά δύσκολη αν όχι αδύνατη. Για το λόγο αυτό χρησιµοποιούµε τις Αρχές Απαρίθµησης..6. Πολλαπλασιαστική Αρχή Έστω ότι η σύνθετη ενέργεια Ε συνίστανται στην εκτέλεση των επί µέρους ενεργειών Ε, Ε,...,Ε k. Έστω επιπλέον ότι καθεµιά από τις ενέργειες αυτές έχει αντίστοιχα n, n,..., nk αποτελέσµατα. Τότε η ενέργεια Ε έχει nn... n k δυνατά αποτελέσµατα..6. Μεταθέσεις Οι µεταθέσεις n στοιχείων εκφράζουν τους διαφορετικούς τρόπους µε τους οποίους µπορεί κανείς να τοποθετήσει τα στοιχεία αυτά. Το πλήθος των διαφορετικών αυτών τρόπων δίνεται από τον τύπο P n = n! Υπενθυµίζεται ότι το n! (n παραγοντικό) ορίζεται ως εξής: n! = **3* *n Επιπλέον σηµειώνεται ότι εξ ορισµού 0! =.

23 Παράδειγµα Να υπολογιστούν οι διαφορετικοί τρόποι µε τους οποίους τρεις φοιτητές µπορούν να καθίσουν σε τρεις καρέκλες. Λύση Οι τρόποι αυτοί είναι P = n! P = 3! = **3=6 n 3 Αν µεταξύ των n στοιχείων που θέλουµε να τοποθετήσουµε υπάρχουν και ορισµένα όµοια µεταξύ τους τότε το σύνολο των n στοιχείων µπορεί να χωρισθεί σε k υποσύνολα έτσι ώστε το πρώτο να περιέχει n όµοια στοιχεία, το δεύτερο κ.λ.π. ( n + n nk = n). n όµοια Στην περίπτωση αυτή οι δυνατοί τρόποι τοποθέτησης των n στοιχείων ονοµάζονται επαναληπτικές µεταθέσεις και δίνονται από τον τύπο: Παράδειγµα n! n! n!... n! k Να υπολογιστούν οι διαφορετικοί τρόποι µε τους οποίους µπορούν να τοποθετηθούν 6 όµοιοι κύβοι από τους οποίους είναι κόκκινοι, πράσινοι, κίτρινος και λευκός Λύση Οι τρόποι αυτοί είναι n! 6! **3*4*5*6 80 n! n! n! n! =!*!*!*! = (* ) * (* ) ** = ιατάξεις Οι ιατάξεις των n στοιχείων ενός συνόλου ανά x εκφράζουν τους διαφορετικούς τρόπους µε τους οποίους µπορεί να επιλέξει κάποιος x από τα n ( x n) στοιχεία ενός συνόλου όταν τους ενδιαφέρει η σειρά επιλογής. Οι διαφορετικοί αυτοί τρόποι δίνονται από τον τύπο: 3

24 P x n = P ( n, x) n! = ( n x)! Παράδειγµα Να υπολογιστούν οι διαφορετικοί διψήφιοι αριθµοί που µπορούν να σχηµατιστούν από τα ψηφία,,3,4,5 (επανάληψη του ίδιου ψηφίου στον αριθµό δεν επιτρέπεται) Λύση Οι τρόποι αυτοί είναι n P( n, x) =! ( 5,) 5! 5! **3*4*5! P = 5! = 3! = **3 =0 ( n x) ( ).6.4 Επαναληπτικές ιατάξεις Οι επαναληπτικές διατάξεις των n στοιχείων ανά k εκφράζουν τους διαφορετικούς τρόπους µε τους οποίους µπορούν να τοποθετηθούν σε σειρά k στοιχεία που λαµβάνουµε από τα n αν κάθε στοιχείο µπορεί να επαναληφθεί µέχρι k φορές (εδώ το k µπορεί να είναι µικρότερο, ίσο ή µεγαλύτερο από το n) Οι διαφορετικοί τρόποι δύνονται από τον τύπο : Παράδειγµα k n Να υπολογιστεί το πλήθος των διαφορετικών τριψήφιων αριθµών που µπορούν να σχηµατισθούν από τα ψηφία,,3,4 όταν κάθε αριθµός µπορεί να έχει µερικά ή όλα τα ψηφία του ίδια. Λύση Οι τρόποι αυτοί είναι: 3 4 = Συνδυασµοί Οι συνδυασµοί των n στοιχείων ενός συνόλου ανά x εκφράζουν τους διαφορετικούς τρόπους µε τους οποίους µπορεί να επιλέξει κάποιος x από τα n στοιχεία ενός συνόλου όταν η σειρά επιλογής δεν τον ενδιαφέρει. Οι διαφορετικοί τρόποι δίνονται από τον τύπο: 4

25 C n x = C ( n, x) n! = x!( n x)! Κατά συνέπεια στην περίπτωση των Συνδυασµών δύο επιλογές είναι διαφορετικές µόνο όταν περιέχουν διαφορετικά στοιχεία. Παράδειγµα Να υπολογιστούν οι τρόποι µε τους οποίους µπορεί να συγκροτηθεί µια τριµελής επιτροπή από µία οµάδα επτά ατόµων Λύση Οι τρόποι αυτοί είναι! 7! 7! * *3* 4*5*6*7 (, ) = n C n x ( 7,3) = = = = 35 x! ( n x)! C 3! ( 7 3)! 3!4! (* *3) *(* *3* 4).7 εσµευµένη Πιθανότητα Σε πολλές περιπτώσεις όταν ζητάµε να υπολογίσουµε την πιθανότητα ενός ενδεχοµένου έχουµε ήδη κάποιες πληροφορίες γι αυτό. Οι πληροφορίες αυτές στην ουσία περιορίζουν τον αρχικό δειγµατικό χώρο. Για παράδειγµα, η πιθανότητα ότι ένα χαρτί τυχαία επιλεγµένο από µια τράπουλα θα είναι σπαθί γίνεται µεγαλύτερη αν γνωρίζουµε ότι ήδη από την τράπουλα αυτή έχουν αφαιρεθεί τα µπαστούνια. Η πιθανότητα να συµβεί ένα ενδεχόµενο A δοθέντος ότι έχει συµβεί ένα ενδεχόµενο A ονοµάζεται δεσµευµένη πιθανότητα του A δοθέντος του A, συµβολίζεται µε P A A ) και ορίζεται ως εξής: ( ( ) P A A ( A) P( A ) P A =, P A > 0. ( ) 5

26 Αντίστοιχα η δεσµευµένη πιθανότητα ενός ενδεχοµένου το A συµβολίζεται µε P ( A A ) και ορίζεται ως εξής: A δοθέντος ότι έχει συµβεί ( ) P A A ( A) P( A ) P A =, P A > 0 ( ).8 Νόµος πολλαπλασιασµού πιθανοτήτων, από κοινού πιθανότητες και περιθώριες πιθανότητες Ξεκινώντας από τη δεσµευµένη πιθανότητα του ενδεχοµένου A δοθέντος του A µπορούµε να προσδιορίζουµε την από κοινού πιθανότητα των και A. Όπως έχουµε ήδη ορίσει: A ( ) P A A ( A) P( A ) P A =, P A > 0. ( ) ( ) P A A ( A) P( A ) P A =, P A > 0. ( ) Από τις σχέσεις αυτές προκύπτει αµέσως ότι: ( ) ( ) ( ) ( ) P A A = P A P A A, P A > 0 και P( A A ) P( A ) P( A A ) P( A ) =, > 0 Οι σχέσεις αυτές είναι γνωστές ως Νόµος του Πολλαπλασιασµού και η Ρ( A ) ονοµάζεται από κοινού πιθανότητα των και A. A A 6

27 Ο νόµος του πολλαπλασιασµού µπορεί να γενικευθεί για περισσότερα από δύο ενδεχόµενα Για 3 ενδεχόµενα: P [ A I A I A ] = P[ A ] P[ A A ] P[ A A I ]. 3 3 A P Για n ενδεχόµενα: n [ A I A I... I An ] = P[ A ] P[ A A ] P[ A3 A I A ]... P An I A =.9 Θεώρηµα του Bayes Στην ενότητα αυτή θα παρουσιάσουµε το θεώρηµα του Bayes, που είναι η βάση µιας ολόκληρης στατιστικής φιλοσοφίας γνωστής ως Μπεϋζιανής Στατιστικής (Bayesan Statstcs). Για να το κάνουµε όµως αυτό πρέπει πρώτα να ορίσουµε τη διαµέριση ενός συνόλου και να διατυπώσουµε το θεώρηµα της Ολικής Πιθανότητας. Ορίζουµε ως διαµέριση ενός συνόλου S µια πεπερασµένη συλλογή υποσυνόλων του S τα οποία ικανοποιούν τις παρακάτω δύο συνθήκες: A, A,..., A n. S = A A... A n. A A j =,, j =,,, n, j. Μετά τον ορισµό της διαµέρισης µπορούµε να διατυπώσουµε το Θεώρηµα της Ολικής Πιθανότητας. Έστω ότι A, A,..., A n είναι µία διαµέριση του δειγµατικού χώρου S τέτοια ώστε P ( A ) 0, =,,, n. Τότε για κάθε ενδεχόµενο Ε έχουµε ότι, P n ( E) = P( A ) P( = E A ). Μπορούµε τώρα να παρουσιάσουµε το θεώρηµα του Bayes. 7

28 Έστω A, A,..., A n µία διαµέριση του δειγµατικού χώρου S τέτοια ώστε P ( A ) 0, =,,, n. Τότε για κάθε ενδεχόµενο Ε µε ( E) > 0 P έχουµε ότι, P ( A E) k P( Ak ) P( E Ak ) P( A ) P( E A ) = n = = P ( A ) P( E A ) k P ( E) k Παράδειγµα Μια βιοµηχανία Β προµηθεύεται ανταλλακτικά για τις µηχανές της από δύο προµηθευτές Π και Π σε ποσοστό 65% και 35% αντίστοιχα. Η ποιότητα των ανταλλακτικών διαφέρει ανάµεσα στις δύο εταιρείες όπως διαπιστώνεται από τα ιστορικά στοιχεία που τηρούνται στο Τµήµα Ποιοτικού Ελέγχου της βιοµηχανίας Β % Αποδεκτών Ανταλλακτικών % Ελαττωµατικών Ανταλλακτικών Προµηθευτής Π 98 Προµηθευτής Π 95 5 Με βάση τα παραπάνω στοιχεία:. Να υπολογισθεί η πιθανότητα ότι ένα τυχαίο επιλεγµένο ανταλλακτικό που φθάνει στη βιοµηχανία Β είναι αποδεκτό.. Αν ένα τυχαίο επιλεγµένο ανταλλακτικό που φθάνει στη βιοµηχανία Β κριθεί ως ελαττωµατικό να υπολογισθεί η πιθανότητα ότι προέρχεται από τον Προµηθευτή Π. Λύση Έστω Π το ενδεχόµενο προµήθειας από την εταιρεία Π Π το ενδεχόµενο προµήθειας από την εταιρεία Π Α το ενδεχόµενο αποδεκτού προϊόντος 8

29 Ε το ενδεχόµενο ελαττωµατικού προϊόντος ίνονται ότι: Ρ(Π )=0,65, Ρ(Π )=0,35 Ρ ( Π Π ) Α ) =0,98, Ρ ( Ε =0,0, Ρ ( Α ) =0,95,Ρ ( ) =0,05 Π Ε Π. Ζητάµε να υπολογίσουµε την πιθανότητα Ρ(Α) Από το Θεώρηµα της Ολικής Πιθανότητας έχουµε: Ρ(Α) = Ρ(Π )Ρ ( Α Π ) + Ρ(Π)Ρ ( Α Π ) = (0.65)(0.98)+(0.35)(0.95) = = = Ρ(Α)=0,9695 0,97 Άρα Ρ(Ε)=-0,9695 Ρ(Ε) = 0, Ζητάµε την πιθανότητα Ρ( Π Ε ) Από το Θεώρηµα Bayes έχουµε: ΡΠ ( ) ΡΕΠ ( ) (0,35)(0,05) 0,075 ΡΠ ( Ε ) = = = = 0,5738 ΡΕ ( ) 0,0305 0,0305 ΡΠ ( Ε ) = 0,5738 0,57.0 Ανεξάρτητα Ενδεχόµενα Ο ορισµός της δεσµευµένης πιθανότητας µας επιτρέπει να αναθεωρήσουµε την πιθανότητα Ρ( ) ενός ενδεχοµένου όταν έχουµε πληροφορίες ότι κάποιο άλλο ενδεχόµενο Αν Ρ( ) A A A έχει συµβεί. Η αναθεωρηµένη πιθανότητα είναι η Ρ( A A ) A A Ρ( ) συµπεραίνουµε ότι η πληροφορία ότι το A έχει συµβεί έχει ως A αποτέλεσµα να µεταβληθεί η πιθανότητα να συµβεί το. A Αντίθετα, αν Ρ( A A ) = Ρ( A ) η πληροφορία ότι το A έχει συµβεί δεν έχει καµία επίδραση στην πιθανότητα να συµβεί το. Στις περιπτώσεις αυτές λέµε ότι το A A είναι ανεξάρτητο του A. Αντίστοιχα, αν Ρ( A A) = Ρ( ) τότε λέµε ότι το A A είναι ανεξάρτητο του. Αποδεικνύεται ότι αν το A είναι ανεξάρτητο του A τότε A 9

30 και το είναι ανεξάρτητο του και αντίστροφα µε την προϋπόθεση ότι Ρ( A ) > 0, Ρ( ) > 0. A A A Ένας γενικότερος ορισµός της ανεξαρτησίας δύο ενδεχοµένων είναι ο ακόλουθος : Ανεξάρτητα Ενδεχόµενα Αν Ρ P( A A ) = P( A ), τότε το ενδεχόµενο είναι ανεξάρτητο του A A Αν P( A A ) = P( A ), τότε το ενδεχόµενο είναι ανεξάρτητο του A A Ένας γενικότερος ορισµός της ανεξαρτησίας ενδεχοµένων είναι ο ακόλουθος: I A P A P( A ενδεχόµενα Α, Α είναι ανεξάρτητα αν ισχύει: P ( A ) = ( ) ) 3 ενδεχόµενα Α, Α, Α 3 είναι ανεξάρτητα αν ισχύει: P P P P ( A I A ) = P( A ) P( A ) ( A I A3 ) = P( A ) P( A3 ) ( A I A3 ) = P( A ) P( A3 ) ( A I A I A3 ) = P( A ) P( A ) P( A3 ) n ενδεχόµενα Α, Α,, Α n είναι ανεξάρτητα αν για κάθε συνδυασµό ή περισσοτέρων από αυτά ισχύει: P A A... =... A P A k P A P A, < <... < k n. k Ενδεχόµενα Ανεξάρτητα κατά Ζεύγη Τα ενδεχόµενα Α, Α,, Α n λέγονται ανεξάρτητα κατά ζεύγη αν ισχύει: ( A A j ) P( A ) P( ) P I =,, j =,,, n, j. A j Προφανώς, n ενδεχόµενα µπορεί να είναι ανεξάρτητα κατά ζεύγη χωρίς να είναι ανεξάρτητα. 30

31 3. ΘΕΩΡΗΤΙΚΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ 3.. Βασικές Έννοιες Για τον ευκολότερο υπολογισµό πιθανοτήτων σε οποιοδήποτε δειγµατικό χώρο θα ήταν χρήσιµο να ορισθεί µία συνάρτηση η οποία να αντιστοιχεί έναν πραγµατικό αριθµό σε κάθε στοιχείο του δειγµατικού χώρου. Η συνάρτηση αυτή ονοµάζεται τυχαία µεταβλητή. Έτσι τα στοιχεία του δειγµατικού χώρου (µε άλλα λόγια τα απλά ενδεχόµενα) µεταφέρονται µέσω της τυχαίας µεταβλητής σε πραγµατικούς αριθµούς. Οι πιθανότητες επάγονται στο πεδίο τιµών της τυχαίας µεταβλητής µέσω των πιθανοτήτων που έχουν ορισθεί στο δειγµατικό χώρο. Οι τυχαίες µεταβλητές διακρίνονται σε διακριτές και συνεχείς. Μια τυχαία µεταβλητή ονοµάζεται διακριτή όταν µπορεί να πάρει µόνο διακεκριµένες τιµές σε κάποιο διάστηµα, ενώ συνεχής όταν µπορεί να πάρει οποιαδήποτε τιµή σε κάποιο διάστηµα. Από τον ορισµό της συνάρτησης πιθανότητας και τα αξιώµατα των πιθανοτήτων είναι φανερό ότι:. PX ( = x) 0 για κάθε x.. PX ( = x) = Οι ιδιότητες αυτές δίνουν τις ικανές και αναγκαίες συνθήκες που πρέπει να πληροί µία συνάρτηση για να είναι συνάρτηση πιθανότητας. Το αντίστοιχο συµπέρασµα για µια συνεχή τυχαία µεταβλητή Χ εκφράζεται ως: όπου X. f( x) 0 +. f ( x) dx = f (x) η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας (σ.π.π.) της τυχαίας µεταβλητής Κάθε τυχαία µεταβλητή έχει τη δική της κατανοµή πιθανότητας αλλά σε πολλές περιπτώσεις οι κατανοµές αυτές έχουν µεγάλες οµοιότητες. Μπορούµε λοιπόν να δηµιουργήσουµε κάποιες βασικές µορφές κατανοµών που τις ονοµάζουµε θεωρητικές κατανοµές και τις οποίες χρησιµοποιούµε αντί των πραγµατικών κατανοµών. 3

32 Η επιλογή της κατάλληλης θεωρητικής κατανοµής µας επιτρέπει να µελετήσουµε µε µεγαλύτερη ευκολία αλλά και ακρίβεια την κατανοµή της τυχαίας µεταβλητής που εξετάζουµε. Λόγω ακριβώς της µεγάλης τους χρησιµότητας τα χαρακτηριστικά και οι ιδιότητες των κατανοµών αυτών έχουν µελετηθεί διεξοδικά και τα αποτελέσµατα διαφόρων υπολογισµών που χρησιµοποιούνται συχνά έχουν συγκεντρωθεί σε εύχρηστους πίνακες. Οι σπουδαιότερες από τις κατανοµές αυτές, τόσο διακριτές όσο και συνεχείς θα παρουσιαστούν στη συνέχεια. 3.. ιακριτές Κατανοµές Στην ενότητα αυτή θα µελετήσουµε δύο διακριτές κατανοµές οι οποίες παρουσιάζουν ιδιαίτερο ενδιαφέρον κυρίως λόγω των πολλών εφαρµογών τους, τη ιωνυµική και την Posson 3... ιωνυµική Κατανοµή Ο ορισµός και η µελέτη της ιωνυµικής Κατανοµής προϋποθέτει τον ορισµό του πειράµατος Bernoull που παρουσιάζεται στην συνέχεια Πείραµα Bernoull Ας υποθέσουµε ότι πραγµατοποιούµε ένα τυχαίο πείραµα το οποίο έχει δύο µόνον πιθανά (αµοιβαίως αποκλειόµενα) αποτελέσµατα. Για παράδειγµα «ρίχνουµε» ένα νόµισµα και καταγράφουµε αν έχουµε κεφάλι ή γράµµατα. Ή «ρίχνουµε» ένα ζάρι και καταγράφουµε εάν το αποτέλεσµα είναι ή «όχι» (παρά το γεγονός ότι το ζάρι έχει 6 όψεις εµείς ενδιαφερόµαστε εάν το αποτέλεσµα ήταν ή «όχι», κοινώς έχουµε δύο πιθανά αποτελέσµατα). Για λόγους ευκολίας συνήθως αποκαλούµε (αυθαίρετα) το ένα εκ των δύο αποτελεσµάτων Επιτυχία (Ε) και το άλλο Αποτυχία (Α). Στο παράδειγµα µε το ζάρι, µπορούµε να κωδικοποιήσουµε ως επιτυχία την περίπτωση που το αποτέλεσµα του 3

33 πειράµατος «είναι» και ως αποτυχία όταν «δεν είναι» (τίποτε δεν αλλάζει αν ο τρόπος ονοµασίας αντιστραφεί). Η πιθανότητα το αποτέλεσµα του πειράµατος να είναι Ε είναι p. Εποµένως η πιθανότητα αποτυχίας θα είναι q=-p. Ένα τυχαίο πείραµα µε τα παραπάνω χαρακτηριστικά, αποκαλείται πείραµα Bernoull, µε πιθανότητα επιτυχίας p. Το παράδειγµα µε την ρίψη του ζαριού, αποτελεί ένα πείραµα Bernoull, µε πιθανότητα επιτυχίας /6. Η ρίψη ενός νοµίσµατος είναι επίσης ένα πείραµα Bernoull, µε πιθανότητα επιτυχίας / (είτε ονοµάσω επιτυχία το αποτέλεσµα να έρθει «γράµµατα» ή «κορόνα», αφού και τα δύο είναι ισοπίθανα). Έχοντας ορίσει το πείραµα Bernoull µπορούµε να προχωρήσουµε στην παρουσίαση της ιωνυµικής κατανοµής Ας υποθέσουµε ότι πραγµατοποιούµε n ανεξάρτητες επαναλήψεις ενός πειράµατος Bernoull. Η πιθανότητα του να έχουµε k επιτυχίες στις n προσπάθειες (0 k n) δίνεται από την διωνυµική κατανοµή. Για παράδειγµα ρίχνουµε ένα νόµισµα 0 φορές (n=0) και θέλουµε να υπολογίσουµε την πιθανότητα 7 από τις 0 ρίψεις (k=7) να είναι γράµµατα. Η διωνυµική κατανοµή συµβολίζεται B(n,p) και χαρακτηρίζεται από δύο παραµέτρους: τον αριθµό των επαναλήψεων του πειράµατος (n) και την πιθανότητα, (p) το αποτέλεσµα του πειράµατος να είναι επιτυχία. Αν λοιπόν θεωρήσουµε ότι η τυχαία µεταβλητή X ακολουθεί την B(n,p) [X~B(n,p)] έχουµε την συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας: P( X n = k) = p k k q n k = n! p k!( n k)! k q n k, 0 k n, 0 < p <, q = p Για την ιωνυµική κατανοµή αποδεικνύεται ότι ισχύουν E ( X ) = np V ( X ) = npq 33

34 Παράδειγµα Έστω ότι ρίχνουµε ένα ζάρι 5 φορές και ενδιαφερόµαστε αν το αποτέλεσµα κάθε ρίψης ήταν ή «όχι». Να απαντηθούν τα ακόλουθα ερωτήµατα:. Ποια η πιθανότητα να µην έρθει ούτε µια φορά στις 5 προσπάθειες το?. Ποια η πιθανότητα να έρθει ακριβώς τρεις φορές στις 5 προσπάθειες το? 3. Ποια η πιθανότητα να έρθει τουλάχιστο δύο φορές στις 5 προσπάθειες το? Λύση Ας θεωρήσουµε ως επιτυχία (Ε) το αποτέλεσµα της ρίψης να είναι το και ως αποτυχία (Α) το αποτέλεσµα να είναι «όχι» (κοινώς το «όχι» σηµαίνει ότι το αποτέλεσµα µπορεί να είναι,3,4,5 ή 6). Η πιθανότητα να έρθει όταν ρίχνουµε ένα ζάρι είναι /6. Άρα η πιθανότητα επιτυχίας είναι p=/6 και εποµένως η πιθανότητα αποτυχίας θα είναι q=-p=5/6. Αν µε X συµβολίσουµε το συνολικό αριθµό επιτυχιών στις 5 επαναλήψεις του πειράµατος, τότε X~B(0,/6). Έχουµε λοιπόν: ! 5 PX ( = 0) = 0,409 0!(5 0)! ! ! 5 5 PX ( = 3) = = = 0 0, !(5 3)! 6 6 3!! PX ( ) PX ( ) [ PX ( 0) PX ( ) ] = < = = + = () όµως η πιθανότητα P ( X = 0) υπολογίστηκε στο πρώτο ερώτηµα ενώ για την P( X = ) έχουµε: 5 4 5! 5 5 PX ( = ) = = 5 0, 409 5!(5 )! άρα η σχέση () γίνεται: PX ( ) [0, , 409] = 0,96 34

35 3... Κατανοµή Posson Η κατανοµή Posson χρησιµοποιείται για να περιγράψει φαινόµενα τα οποία µπορούν να θεωρηθούν ως διαδικασία παραγωγής τυχαίων εµφανίσεων ενδεχοµένων κατά διαστήµατα χρόνου ή χώρου και τα οποία ικανοποιούν τις παρακάτω συνθήκες :. Σε κάθε διάστηµα χρόνου ή χώρου ένα ενδεχόµενο µπορεί να συµβεί ή να µη συµβεί. Η εµφάνιση του ενδεχοµένου καλείται συνήθως επιτυχία ενώ η µη εµφάνιση του αποτυχία.. Οι τυχαίες εµφανίσεις ενδεχοµένων είναι ανεξάρτητες δηλαδή η εµφάνιση ενός ενδεχοµένου σε ένα διάστηµα χρόνου ή χώρου δεν επηρεάζει την πιθανότητα εµφάνισης του στο επόµενο διάστηµα χρόνου ή χώρου.. Η πιθανότητα εµφάνισης (ή µη εµφάνισης ) ενός ενδεχοµένου σε ένα διάστηµα χρόνου ή χώρου παραµένει σταθερή για όλη τη διάρκεια του φαινοµένου. Η κατανοµή Posson συµβολίζεται µε P(λ) και χαρακτηρίζεται από µία παράµετρο, το µέσο αριθµό επιτυχιών σε ένα διάστηµα χώρου ή χρόνου λ. Αν λοιπόν θεωρήσουµε ότι η τυχαία µεταβλητή ακολουθεί την P(λ) [X~P(λ)] έχουµε τη συνάρτηση πιθανότητας: k e λ λ Pk ( ) = PX ( = k) =, k= 0,,,... k! Όπου k = 0,,, ο αριθµός των επιτυχιών που θέλουµε να εµφανιστεί. Για την κατανοµή Posson αποδεικνύεται ότι ισχύουν: Ε(Χ) = λ V(Χ) = λ 35

36 Παράδειγµα Μια υπάλληλος η οποία εισάγει δεδοµένα στον Η/Υ κάνει κατά µέσο όρο τρία λάθη ανα σελίδα. Να υπολογιστεί η πιθανότητα σε τυχαία επιλεγµένη σελίδα να βρεθούν δύο λάθη. Λύση Εστω Χ ο αριθµός των λαθών ανα σελίδα. Σύµφωνα µε τα δεδοµένα X~P(λ=3).. Ζητάµε την πιθανότητα PX= ( ) 3 * 3 e 3 3 ( 0, 050)* 9 P ( X = ) = = e = = 0, 5! * 3.3. Συνεχείς Κατανοµές Στην ενότητα αυτή θα µελετήσουµε µια συνεχή κατανοµή η οποία παρουσιάζει ιδιαίτερο ενδιαφέρον κυρίως λόγω των πολλών εφαρµογών της Kανονική Κατανοµή Η κανονική κατανοµή είναι η σηµαντικότερη όχι µόνο από τις συνεχείς αλλά και από όλες τις κατανοµές πιθανότητας και αποτελεί τη βάση της σύγχρονης στατιστικής θεωρίας. Η σπουδαιότητα της οφείλεται σε τρεις κυρίως λόγους :. Πολλά πειράµατα µπορούν να εκφραστούν µέσω τυχαίων µεταβλητών που ακολουθούν κανονική κατανοµή.. Μπορεί να χρησιµοποιηθεί ως προσέγγιση πολλών άλλων κατανοµών..αποτελεί τη βάση για πολλές τεχνικές που χρησιµοποιούνται στη στατιστική συµπερασµατολογία. Η κανονική κατανοµή µελετήθηκε διεξοδικά από το µαθηµατικό K. Gauss και για το λόγο αυτό είναι γνωστή και ως κατανοµή Gauss. 36

37 Έστω Χ συνεχής τυχαία µεταβλητή που µπορεί να πάρει τιµές σε ολόκληρη την ευθεία των πραγµατικών αριθµών. Λέµε ότι η Χ ακολουθεί την κατανοµή µε παραµέτρους µ και σ ( και το συµβολίζουµε X~Ν(µ, σ )) αν η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας δίνεται από τον τύπο: x µ σ f( x) = e () σ π όπου π = 3,46 e =,783 Για την κανονική κατανοµή αποδεικνύεται ότι ισχύουν: Ε(Χ) = µ, V(Χ) = σ Από τη µελέτη της συνάρτησης () προκύπτει ότι η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας της κανονικής κατανοµής έχει µορφή παρόµοια µε αυτήν που απεικονίζεται στο παρακάτω Σχήµα. 0,6 f(x) 0,4 0, x Καµπύλη συνάρτησης πυκνότητας πιθανότητας της κανονικής κατανοµής 37

38 Όπως φαίνεται από το παραπάνω Σχήµα η καµπύλη της συνάρτησης πυκνότητας πιθανότητας της κανονικής κατανοµής :. Είναι µονοκόρυφη, µε κωδωνοειδές σχήµα και συµµετρική γύρω από το µ.. Η µέση τιµή (µ), και η διάµεσος (Μ) και η επικρατούσα τιµή (Τ 0 ) συµπίπτουν.. Είναι ασύµπτωτη ως προς τον άξονα των Χ. Επίσης, παρατηρούµε ότι από τις δύο παραµέτρους της το µ προσδιορίζει τη θέση της κατανοµής ως προς τον άξονα των Χ το δε σ το σχήµα της. Σύµφωνα µε τον ορισµό της κανονικής κατανοµής ο υπολογισµός µιας πιθανότητας της ισοδυναµεί µε τον υπολογισµό του αντίστοιχου ολοκληρώµατος της, δηλαδή b P(a<X<b)= f ( xdx ) όπου f(x) η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας που δίνεται από την σχέση (). a Λόγω όµως της πολύπλοκης µορφής της ολοκληρωτέας συνάρτησης f(x), ο υπολογισµός του ολοκληρώµατος είναι δύσκολος και χρονοβόρος. Ειδικά όµως για την κανονική κατανοµή αποδεικνύεται ότι: Αν η τ.µ Χ~Ν(µ, σ ), τότε η τ.µ Ζ= X µ ~Ν(0,) σ Προφανώς η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας της Ζ δίνεται από τον τύπο: f ( z) = e π z, z + και αποδεικνύεται ότι ισχύουν Ε(Χ) = 0 V(Χ) =. 38

39 Με βάση τα παραπάνω, ο υπολογισµός οποιασδήποτε πιθανότητας για µία κανονική κατανοµή, ανάγεται στον υπολογισµό µιας αντίστοιχης πιθανότητας για την ειδική κανονική κατανοµή Ν(0,). Η κατανοµή αυτή λέγεται τυπική κανονική (ή τυποποιηµένη κανονική) και ο µετασχηµατισµός λέγεται τυποποίηση. Για την τυπική κανονική κατανοµή υπάρχουν πίνακες που δίνουν τις τιµές των πιθανοτήτων για τις διάφορες τιµές της Ζ. Παράδειγµα Έστω ότι η εσωτερική διάµετρος των δακτυλίων µετάλλου («παξιµάδια»), που παράγει κάποιο εργοστάσιο, ακολουθεί κανονική κατανοµή µε µέσο 0,373 εκ. και τυπική απόκλιση 0,00 εκ. Οι δακτύλιοι αυτοί προορίζονται, µεταξύ των άλλων χρήσεών τους και για τη συναρµολόγηση ορισµένων µερών, ενός συγκεκριµένου τύπου µοτοποδηλάτου, όπου σύµφωνα µε τις τεχνικές προδιαγραφές απαιτούνται δακτύλιοι εσωτερικής διαµέτρου (0,375 ± 0,003) εκ. Ποιά η πιθανότητα ένας τέτοιος δακτύλιος να πληρεί τις τεχνικές προδιαγραφές; Λύση Ζητάµε ουσιαστικά την πιθανότητα: P(0,375 0,003 < Χ < 0, ,003) ή Ρ(0,37 < Χ < 0,378) όπου Χ η τυχαία µεταβλητή που εκφράζει την εσωτερική διάµετρο του «παξιµαδιού» και για την οποία µας δίνεται ότι: Χ ~ Ν (0,373, 0,00 ). Για τον υπολογισµό της πιθανότητας αυτής θα έχουµε: 0,37 0,373 X 0,378 0,373 Ρ(0,37 < Χ < 0,378) = P µ < < 0,00 σ 0,00 P ( 0,5 <Ζ<,5) = ( ) P Ζ<,5 P( Z < 0,5) = P ( ) Ζ <,5 ( P( Z < 0,5)) = 0, ,695 =,6853- = 0,

40 4. ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ ΚΑΙ ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ 4. Βασικές Έννοιες Στις προηγούµενες ενότητες επικεντρώσαµε την προσοχή µας στη µελέτη µια µόνο τυχαίας µεταβλητής όπως, για παράδειγµα το ύψος των πρωτοετών φοιτητών ενός Πανεπιστηµιακού Τµήµατος, οι αµοιβές των εργαζοµένων σ ένα βιοµηχανικό κλάδο, το διαθέσιµο εισόδηµα των οικογενειών µιας πόλης. Στην ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε προβλήµατα στα οποία εµπλέκονται δύο τυχαίες µεταβλητές,, όπως για παράδειγµα ύψος και βάρος φοιτητών, αµοιβές εργαζοµένων και έτη προϋπηρεσίας, οικογενειακό εισόδηµα και αντίστοιχες δαπάνες. Η µεταβλητή της οποίας οι τιµές καθορίζονται από τον ερευνητή ονοµάζεται ανεξάρτητη ή ερµηνευτική ενώ η άλλη εξαρτηµένη. Η Ανάλυση Παλινδρόµησης έχει ως στόχο την επιλογή κατάλληλου µοντέλου το οποίο θα χρησιµοποιηθεί για την εκτίµηση των τιµών της εξαρτηµένης µεταβλητής για δεδοµένες τιµές της ανεξάρτητης. Η Συσχέτιση έχει ως στόχο τη µέτρηση του βαθµού εξάρτησης, δηλαδή της φοράς και της έντασης της συµµεταβολής που υπάρχει µεταξύ των τυχαίων µεταβλητών Χ και Υ. 4.. Απλή Γραµµική Παλινδρόµηση Ας υποθέσουµε ότι θέλουµε να µελετήσουµε τη σχέση που υπάρχει ανάµεσα σε δύο µεταβλητές Χ και Υ. Ας υποθέσουµε επίσης ότι η συναρτησιακή σχέση ανάµεσα στις δύο µεταβλητές είναι γραµµική. Στην περίπτωση αυτή η σχέση µεταξύ των δύο µεταβλητών εκφράζεται από το µοντέλο της απλής γραµµικής παλινδρόµησης: Όπου Y = + a X + ε, =,, n Χ Υ a 0 K : η παρατήρηση της ανεξάρτητης µεταβλητής : η παρατήρηση της εξαρτηµένης µεταβλητής a 0, a : οι συντελεστές της ευθείας παλινδρόµησης ε : το σφάλµα της εξίσωσης 40

41 Οι συντελεστές α 0 και α υπολογίζονται από τους παρακάτω τύπους, στους οποίους καταλήγουµε µε τη µέθοδο των ελαχίστων τετραγώνων. a ( Y Y)( X X) x y = = ( X X) x Y X n n α = 0 a = Y a X ένας εναλλακτικός τρόπος υπολογισµού του α είναι a = XY X ( X ) X Έχοντας υπολογίσει τους συντελεστές της µπορούµε τώρα να ορίσουµε την Ευθεία Παλινδρόµησης n n Y Yˆ = a + a X 0 Ο συντελεστής α 0 εκφράζει την τιµή της εξαρτηµένης µεταβλητής Y όταν η ανεξάρτητη µεταβλητή Χ παίρνει την τιµή µηδέν. Ο συντελεστής α εκφράζει τη µεταβολή της εξαρτηµένης µεταβλητής Y όταν η ανεξάρτητη µεταβλητή Χ αυξηθεί κατά µία µονάδα Συντελεστής Συσχέτισης Ο Συντελεστής Συσχέτισης εκφράζει τη φορά και την ένταση της συµµεταβολής των δύο µεταβλητών και µπορεί να χρησιµοποιηθεί ως µέτρο ισχυρότητας της γραµµικής εξάρτησής τους. Ορίζεται από τον τύπο: 4

42 XY ( Y Y)( X X) XY n ( Y Y) ( X X) ( X) ( Y) X Y r = = n n και παίρνει τιµές στο διάστηµα [-, +]. Ειδικότερα, όταν r = τότε υπάρχει τέλεια θετική συσχέτιση µεταξύ των δύο µεταβλητών r = - τότε υπάρχει τέλεια αρνητική συσχέτιση µεταξύ των δύο µεταβλητών r = 0 τότε οι δύο µεταβλητές είναι γραµµικά ασυσχέτιστες Θα πρέπει να τονιστεί ότι ο συντελεστής συσχέτισης είναι µέτρο γραµµικής εξάρτησης µόνο και όχι µέτρο εξάρτησης οποιασδήποτε µορφής. Αν δηλαδή r = 0 αυτό δεν συνεπάγεται ότι τα Χ και Y είναι ανεξάρτητα. Είναι µεν γραµµικά ασυσχέτιστα αλλά µπορεί να έχουν άλλη µορφή εξάρτησης Συντελεστής Προσδιορισµού Ο Συντελεστής Προσδιορισµού χρησιµοποιείται ως κριτήριο καλής προσαρµογής των δεδοµένων στο γραµµικό µοντέλο και εκφράζει το ποσοστό της µεταβλητότητας της εξαρτηµένης µεταβλητής Υ που ερµηνεύεται από την ανεξάρτητη µεταβλητή Χ. Ορίζεται από τον τύπο R X Y XY ( ( Y Y)( X X ) ) n ( Y Y) ( X X) ( X) ( Y) X Y = = και παίρνει τιµές µεταξύ 0 και (0 R ), n n 4

43 Κατά συνέπεια, όσο µεγαλύτερη είναι η τιµή του R, τόσο καλύτερη είναι η προσαρµογή των δεδοµένων στο γραµµικό µοντέλο ή αλλιώς τόσο καλύτερα το γραµµικό µοντέλο εκφράζει τα δεδοµένα, Σηµειώνεται ότι r = (προσηµο a ) ( + R ) Θα πρέπει να τονιστεί ότι χρειάζεται προσοχή στη χρησιµοποίηση του r και του R. Το R µπορεί να χρησιµοποιηθεί σαν µέτρο ισχυρότητας της γραµµικής σχέσης ανεξάρτητα από το αν το Χ παίρνει καθορισµένες τιµές ή αν είναι τυχαία µεταβλητή, Αντίθετα το r µπορεί να χρησιµοποιηθεί µόνο αν το Υ και το Χ είναι τυχαίες µεταβλητές, Παράδειγµα Ένα Ιατρικό Κέντρο δοκιµάζει µια νέα δίαιτα αδυνατίσµατος, Ο Πίνακας 4, περιέχει, για 5 τυχαία επιλεγµένα άτοµα (Α Ε) από αυτά που υποβλήθηκαν στη συγκεκριµένη δίαιτα, τον αριθµό των εβδοµάδων (Χ) που την ακολούθησαν και το βάρος (Υ) σε κιλά που έχασαν Πίνακας 4, Άτοµα Α Β Γ Ε Χ Υ Με βάση τα παραπάνω στοιχεία και αν επιπλέον γνωρίζουµε ότι οι µεταβλητές X και Y συνδέονται µε γραµµική σχέση: α. Να εκτιµηθεί η ευθεία παλινδρόµησης της Υ πάνω στη Χ και να ερµηνευτεί ο συντελεστής της ανεξάρτητης µεταβλητής β. Να εκτιµηθεί ο συντελεστής συσχέτισης και να ερµηνευτεί, γ. Να εκτιµηθεί ο συντελεστής προσδιορισµού και να ερµηνευτεί δ. Να εκτιµηθεί το βάρος που θα χάσει ένα άτοµο αν ακολουθήσει τη δίαιτα για 4 εβδοµάδες. 43

44 Λύση Με βάση τα δεδοµένα της άσκησης δηµιουργείται ο παρακάτω πίνακας () () (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) X Y X Y ( X X ) ( Y Y) ( X X ) ( Y Y) ( X X ) ( Y Y) 4 -,8-3, 8,96 7,84 0, ,8 -, 3,96 3,4 4, , 0,8 0,6 0,04 0, ,,8,6,44 3, ,,8 8,96 0,4 7, ,,8 6,8 Ο πίνακας αυτός περιέχει τα βοηθητικά στοιχεία που απαιτούνται για τον υπολογισµό των a 0 a, r,, R µε όλους τους εναλλακτικούς τύπους, Η επιλογή του τύπου καθορίζει και ποια από τα στοιχεία αυτά θα πρέπει κάθε φορά να υπολογίζονται. Βοηθητικά Στοιχεία X = 4, Y =, X X 4 Y = = = 4,8, Y = = = 4, n 5 n 5 ( X X) =,8, ( Y Y) = 6,8, ( X X)( Y Y) 4 =, α. Ευθεία Παλινδρόµησης ( Y Y)( X X) a = =, 06 ( X X) Εναλλακτικά X Y XY a = n =, 06 ( X ) X n α 0 = Y ax = 0,89 44

45 Άρα η ευθεία παλινδρόµησης είναι: Yˆ = a + a X = 0,89 +,06X 0 Η τιµή του a δηλώνει ότι αν η διάρκεια της δίαιτας ενός ατόµου αυξηθεί κατά µία βδοµάδα, η απώλεια βάρους του θα αυξηθεί κατά,06 κιλά β. Συντελεστής Συσχέτισης ( Y Y)( X X) ( Y Y) ( X X) r = = 0,98 Εναλλακτικά X Y XY r = n = 0,98 ( X) ( Y) Y X n n Η τιµή του r δηλώνει ότι υπάρχει έντονη θετική συσχέτιση µεταξύ του χρόνου δίαιτας ενός ατόµου και της απώλειας βάρους του. γ. Συντελεστής Προσδιορισµού R ( ( Y Y)( X X) ) ( Y Y) ( X X) = = 0,96 Εναλλακτικά R X Y XY n = = 0,96 ( X) ( Y) X Y n n 45