Κεφάλαιο 3 ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ ΚΑΙ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ. 3.1 Συσχέτιση δύο τ.µ.

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Κεφάλαιο 3 ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ ΚΑΙ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ. 3.1 Συσχέτιση δύο τ.µ."

Transcript

1 Κεφάλαιο 3 ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ ΚΑΙ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ Στα προηγούµενα κεφάλαια ορίσαµε και µελετήσαµε την τ.µ. µε τη ϐοήθεια της πιθανο- ϑεωρίας (κατανοµή, ϱοπές) και της στατιστικής (εκτίµηση, στατιστική υπόθεση). Σ αυτό το κεφάλαιο ϑα µελετήσουµε πως µια τ.µ. µεταβάλλεται όταν αλλάζει µια άλλη µεταβλητή (τυχαία ή µη). Πρώτα ϑα µελετήσουµε τη σχέση δύο τ.µ. και. Συχνά στη µελέτη ενός τεχνικού συστήµατος ενδιαφερόµαστε να προσδιορίσουµε τη σχέση µεταξύ δύο µεταβλητών του συστή- µατος. Για παράδειγµα στη λειτουργία µια µηχανής µας ενδιαφέρει η σχέση του χρόνου ως την αποτυχία κάποιου στοιχείου της µηχανής και της ταχύτητας του κινητήρα (σε περιστροφές ανά λεπτό). Θα προσδιορίσουµε και ϑα εκτιµήσουµε το συντελεστή συσχέτισης που µετράει τη γραµµική συσχέτιση δύο τ.µ.. Στη συνέχεια ϑα µελετήσουµε τη συναρτησιακή σχέση εξάρτησης µιας τ.µ. ως προς µια άλλη µεταβλητή. Η σχέση αυτή είναι πιθανοκρατική κι ορίζεται µε την κατανοµή της για κάθε τιµή της. Για παράδειγµα η απόδοση κάποιου εργαστηριακού πειράµατος µπορεί να ϑεωρηθεί τ.µ. µε κατανοµή που µεταβάλλεται µε τη ϑερµοκρασία στην οποία πραγµατοποιείται. Συνήθως η µεταβολή αφορά µόνο τη µέση τιµή (κι ορισµένες ϕορές και τη διασπορά), γι αυτό κι η περιγραφή της κατανοµής της ως προς τη περιορίζεται στη δεσµευµένη µέση τιµή E( ) και γίνεται µε τη λεγόµενη ανάλυση παλινδρόµησης. Θα µελετήσουµε την απλή γραµµική παλινδρόµηση, δηλαδή ϑα περιοριστούµε να εκτιµήσουµε τη γραµµική σχέση για τη µέση τιµή E( ) ως προς µια τ.µ.. 3. Συσχέτιση δύο τ.µ. ύο τ.µ. και µπορεί να συσχετίζονται µε κάποιο τρόπο. Αυτό συµβαίνει όταν επηρεάζει η µία την άλλη, ή αν δεν αλληλοεπηρεάζονται όταν επηρεάζονται και οι δύο από µια άλλη µεταβλητή. Για παράδειγµα ο χρόνος ως την αποτυχία ενός στοιχείου κάποιας µηχανής και η ταχύτητα του κινητήρα της µηχανής µπορούν να ϑεωρηθούν σαν δύο τ.µ. που συσχετίζονται, όπου ο χρόνος αποτυχίας εξαρτάται από την ταχύτητα του κινητήρα (το αντίθετο δεν έχει πρακτική σηµασία). Μπορούµε επίσης να ϑεωρήσουµε τη συσχέτιση του χρόνου αποτυχίας και της ϑερµοκρασίας του στοιχείου της µηχανής, αλλά τώρα δεν εξαρτάται η µια από την άλλη παρά εξαρτιούνται κι οι δύο από άλλες µεταβλητές, όπως η ταχύτητα του κινητήρα. Στη συνέχεια ϑα ϑεωρήσουµε ότι οι δύο τ.µ. και είναι συνεχείς. Για διακριτές τ.µ. µπορούµε πάλι να ορίσουµε µέτρο συσχέτισης τους αλλά δε ϑα µας απασχολήσει εδώ. 45

2 46 ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ ΚΑΙ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ 3.. Ο συντελεστής συσχέτισης ρ Ας ϑεωρήσουµε δύο τ.µ. και µε διασπορά σ και σ αντίστοιχα και συνδιασπορά σ Cov(, ) = E(, ) E()E( ). Η συνδιασπορά εκφράζει τη γραµµική συσχέτιση δύο τ.µ., δηλαδή την αναλογική µεταβολή (αύξηση ή µείωση) της µιας τ.µ. που αντιστοιχεί σε µεταβολή της άλλης µεταβλητής. Η συνδιασπορά είναι ένα ποσοτικό µέγεθος κι η µονάδα µέτρησης της εξαρτάται από τις µονάδες µέτρησης των δύο τ.µ. και. Γι αυτό για να µετρήσουµε καλύτερα τον ϐαθµό της γραµµικής συσχέτισης δύο τ.µ. χρησιµοποιούµε τον συντελεστή συσχέτισης (correlation coefficient) ρ που ορίζεται ως Ο συντελεστής συσχέτισης ρ παίρνει τιµές στο διάστηµα [, ]: ρ = : υπάρχει τέλεια ϑετική σχέση µεταξύ των και, ρ = σ σ σ. (3.) ρ = : δεν υπάρχει καµιά (γραµµική) σχέση µεταξύ των και, ρ = : υπάρχει τέλεια αρνητική σχέση µεταξύ των και. Οταν ρ = ± η σχέση είναι αιτιοκρατική κι όχι πιθανοκρατική γιατί γνωρίζοντας την τιµή της µιας τ.µ. γνωρίζουµε και την τιµή της άλλης τ.µ. ακριβώς. Οταν ο συντελεστής συσχέτισης είναι κοντά στο ή η γραµµική συσχέτιση των δύο τ.µ. είναι ισχυρή (συνήθως χαρακτηρί- Ϲουµε ισχυρές τις σχέσεις όταν ρ >.9) ενώ όταν είναι κοντά στο οι τ.µ. είναι πρακτικά ασυσχέτιστες. Οπως ϕαίνεται από τον ορισµό στη σχέση (3.), ο συντελεστής συσχέτισης ρ δεν εξαρτάται από τη µονάδα µέτρησης των και και είναι συµµετρικός ως προς τις και. 3.. Σηµειακή εκτίµηση του συντελεστή συσχέτισης Οταν έχουµε παρατηρήσεις των δύο τ.µ. και κατά Ϲεύγη {(x, y ), (x, y ),..., (x n, y n )}, µπορούµε να εκτιµήσουµε τη συσχέτιση τους ποιοτικά από το διάγραµµα διασποράς (scatter diagram), που είναι η απεικόνιση των σηµείων (x i, y i ), i =,..., n, σε καρτεσιανό σύστηµα συντεταγµένων. Στο Σχήµα 3. παρουσιάζονται τυπικά διαγράµµατα διασποράς για ισχυρές κι ασθενείς συσχετίσεις δύο τ.µ. και. Στα Σχήµατα 3.α και 3.δ η σχέση είναι τέλεια (ρ = και ρ = αντίστοιχα), στα Σχήµατα 3.ϐ και 3.ε είναι ισχυρή (ϑετική µε ρ =.97 κι αρνητική µε ρ =.97 αντίστοιχα) και στα Σχήµατα 3.γ και 3.Ϲ είναι λιγότερο ισχυρή (ϑετική µε ρ =.8 κι αρνητική µε ρ =.8 αντίστοιχα). Στο Σχήµα 3.η είναι ρ = γιατί οι τ.µ. και είναι ανεξάρτητες ενώ στο Σχήµα 3.ϑ είναι πάλι ρ = αλλά οι και δεν είναι ανεξάρτητες αλλά συσχετίζονται µόνο µη-γραµµικά. Τέλος για το Σχήµα 3.ι ο συντελεστής συσχέτισης δεν ορίζεται γιατί η είναι σταθερή (σ = στον ορισµό του ρ στην (3.)).

3 ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ ΚΑΙ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ 47 5 (α) 5 (β) 6 (γ) ρ = r = (δ) ρ = r = 3 ρ =.97 r = (ε) ρ =.97 r =.96 4 ρ =.8 r = (ζ) ρ =.8 r = (η) 5 3 (θ) (ι) ρ = r =.34.5 ρ,r = αoριστo ρ = r = Σχήµα 3.: ιάγραµµα διασποράς δύο τ.µ. και από n = παρατηρήσεις που παρουσιά- Ϲουν ϑετική σχέση στα σχήµατα (α), (ϐ) και (γ), αρνητική σχέση στα σχήµατα (δ), (ε) και (Ϲ) και καµιά συσχέτιση στα σχήµατα (η), (ϑ) και (ι). Σε κάθε σχήµα δίνεται η πραγµατική τιµή του συντελεστή συσχέτισης ρ κι η δειγµατική r. Στο (ι) ο συντελεστής συσχέτισης δεν ορίζεται. Η σηµειακή εκτίµηση του συντελεστή συσχέτισης ρ του πληθυσµού από το δείγµα των n Ϲευγαρωτών παρατηρήσεων των και γίνεται µε την αντικατάσταση στη σχέση (3.) της συνδιασποράς σ και των διασπορών σ και σ από τις αντίστοιχες εκτιµήσεις από το δείγµα ˆρ r = s s s. Οι αµερόληπτες εκτιµήτριες s, s και s δίνονται ως ( s = n n ) (x i x)(y i ȳ) = x i y i n xȳ n n ( s = n n ) (x i x) = x i n n n x (3.) (3.3)

4 48 ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ ΚΑΙ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ όπου x και ȳ είναι οι δειγµατικές µέσες τιµές των και. Από τα παραπάνω προκύπτει η έκφραση της εκτιµήτρια r n r = x iy i n xȳ ( n x i n x )( n y i nȳ ). (3.4) Είναι προφανές πως η παραπάνω σχέση για το r δεν αλλάζει αν ϑεωρήσουµε τις µεροληπτικές εκτιµήτριες των σ, σ και σ. Στο Σχήµα 3. δίνεται ο δειγµατικός συντελεστής συσχέτισης r για κάθε περίπτωση. Επειδή το δείγµα είναι µικρό (n = ) η τιµή του r δεν είναι πάντα κοντά στην πραγµατική τιµή ρ. Αυτό συµβαίνει γιατί η εκτιµήτρια r όπως δίνεται στη σχέση (3.4) είναι µια τ.µ. που εξαρτάται από τις τιµές και το πλήθος των Ϲευγών των παρατηρήσεων. Για να εκφράσουµε τη συσχέτιση δύο τ.µ. χρησιµοποιούµε επίσης την ποσότητα r που λέγεται και συντελεστής προσδιορισµού (coefficient of determination) (εκφράζεται συνήθως σε ποσοστό %, r ). Ο συντελεστής προσδιορισµού δίνει το ποσοστό µεταβλητότητας των τιµών της που υπολογίζεται από τη (κι αντίστροφα) κι είναι ένας χρήσιµος τρόπος να συνοψίσουµε τη σχέση δύο τ.µ.. Παράδειγµα 3. Θέλουµε να διερευνήσουµε τη συσχέτιση της αντίστασης και του χρόνου αποτυχίας κάποιου υπερφορτωµένου αντιστάτη. Γι αυτό πήραµε µετρήσεις αντίστασης (σε Ωµ, ohm) και χρόνου αποτυχίας (σε λεπτά, min) από δείγµα αντιστατών, οι οποίες παρουσιάζονται στον Πίνακα 3.. Για να ϐρούµε τον συντελεστή συσχέτισης r υπολογίζουµε πρώτα τα παρακάτω Από τη σχέση (3.4) ϐρίσκουµε x = 38 ȳ = 33.5 x i = 9634 y i = 39 x iy i = 635. r = ( ) ( ) =.84. Η τιµή του συντελεστή συσχέτισης r.8 υποδηλώνει ότι η αντίσταση κι ο χρόνος αποτυχίας αντιστάτη έχουν γραµµική ϑετική συσχέτιση αλλά όχι πολύ ισχυρή. Αυτό ϕαίνεται κι από το διάγραµµα διασποράς στο Σχήµα 3.. Η µεταβλητότητα της µιας τ.µ. (αντίσταση ή χρόνος αποτυχίας) µπορεί να εξηγηθεί από τη συσχέτιση της µε την άλλη κατά ποσοστό που δίνεται από το συντελεστή προσδιορισµού, που είναι r =.84 = %. Συµπεραίνουµε λοιπόν πως η γνώση της µιας τ.µ. δε µας επιτρέπει να προσδιορίσουµε την άλλη µε µεγάλη ακρίβεια. Πρέπει επίσης να σηµειωθεί ότι η εκτίµηση r του συντελεστή συσχέτισης µπορεί να αλλάξει σηµαντικά µε την πρόσθεση ή αφαίρεση λίγων παρατηρήσεων γιατί το µέγεθος του δείγµατος είναι µικρό. Για τον συντελεστή συσχέτισης ρ µπορούµε να υπολογίσουµε διαστήµατα εµπιστοσύνης κάτω από την υπόθεση κανονικής κατανοµής των και, αλλά εδώ δε ϑα ασχοληθούµε µε αυτά τα ϑέµατα.

5 ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ ΚΑΙ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ 49 Α/Α (i) Αντίσταση x i (ohm) Χρόνος αποτυχίας y i (min) Πίνακας 3.: εδοµένα αντίστασης x i και χρόνου αποτυχίας y i για αντιστάτες. 5 χρoνoς απoτυχιας y (min) r= αντισταση x (ohm) Σχήµα 3.: ιάγραµµα διασποράς για το δείγµα παρατηρήσεων αντίστασης και χρόνου αποτυχίας αντιστατών του Πίνακα Απλή Γραµµική Παλινδρόµηση Στη συσχέτιση που µελετήσαµε παραπάνω µετρήσαµε µε το συντελεστή συσχέτισης τη γραµ- µική σχέση δύο τ.µ. και. Στην παλινδρόµηση που ϑα µελετήσουµε τώρα σχεδιάζουµε

6 5 ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ ΚΑΙ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ την εξάρτηση µιας τ.µ., που την ονοµάζουµε εξαρτηµένη µεταβλητή (dependent variable), από κάποια άλλη µεταβλητή που την ονοµάζουµε ανεξάρτητη µεταβλητή (independent variable). Ενώ λοιπόν η συσχέτιση είναι συµµετρική ως προς τα και, στην παλινδρόµηση η εξαρτηµένη µεταβλητή καθοδηγείται από την ανεξάρτητη µεταβλητή. Γι αυτό και στην ανάλυση που κάνουµε παίζει ϱόλο ποιόν από τους δύο παράγοντες που µετράµε ορίζουµε σαν ανεξάρτητη µεταβλητή και ποιόν σαν εξαρτηµένη. Για παράδειγµα, σε µια µονάδα παραγωγής ηλεκτρικής ενέργειας από λιγνίτη, για να προσδιορίσουµε το κόστος της παραγωγής ενέργειας, µελετάµε την εξάρτηση του από το κόστος του λιγνίτη. Είναι ϕυσικό λοιπόν ως εξαρτηµένη µεταβλητή να ϑεωρήσουµε το κόστος παραγωγής ηλεκτρικής ενέργειας κι ως ανεξάρτητη µεταβλητή το κόστος του λιγνίτη. 3.. Το πρόβληµα της απλής γραµµικής παλινδρόµησης Η εξαρτηµένη τ.µ. ακολουθεί κάποια κατανοµή. Επειδή µας ενδιαφέρει η συµπερι- ϕορά της για κάθε δυνατή τιµή της ανεξάρτητης µεταβλητής ϑέλουµε να µελετήσουµε τη δεσµευµένη κατανοµή της για κάθε τιµή x της. Με αναφορά στη δεσµευµένη αθροιστική συνάρτηση κατανοµής ϑέλουµε να προσδιορίσουµε την F (y = x) για κάθε τιµή x της. Αυτό είναι αρκετά περίπλοκο πρόβληµα που στην πράξη συχνά δε χρειάζεται να λύσουµε. Πε- ϱιορίζουµε λοιπόν τη µελέτη του προβλήµατος της παλινδρόµησης στη δεσµευµένη µέση τιµή E( = x). Υποθέτοντας ότι η εξάρτηση εκφράζεται από γραµµική σχέση έχουµε E( = x) = α + βx (3.5) και η σχέση αυτή λέγεται απλή γραµµική παλινδρόµηση της στη (linear regression). [Λέγεται απλή γιατί η εξάρτηση είναι προς µόνο µια µεταβλητή.] Το πρόβληµα της παλινδρόµησης είναι η εύρεση των παραµέτρων α και β που εκφράζουν καλύτερα τη γραµµική εξάρτηση της από τη. Κάθε Ϲεύγος τιµών (α, β) καθορίζει µια διαφορετική γραµµική σχέση που εκφράζεται γεωµετρικά από ευθεία γραµµή. Ο σταθερός όρος α είναι η τιµή του y για x = και λέγεται διαφορά ύψους (intercept) κι ο συντελεστής του x, β, είναι η κλίση (slope) της ευθείας ή αλλιώς ο συντελεστής παλινδρόµησης (regression coefficient). Αν ϑεωρήσουµε τις παρατηρήσεις {(x, y ),..., (x n, y n )} και το διάγραµµα διασποράς που τις απεικονίζει σαν σηµεία, µπορούµε να σχηµατίσουµε πολλές τέτοιες ευθείες που προσεγγίζουν την υποτιθέµενη γραµµική εξάρτηση της E( = x) ως προς, όπως ϕαίνεται στο Σχήµα 3.3. Για κάποια τιµή x i της αντιστοιχούν διαφορετικές τιµές y i της, σύµφωνα µε κάποια κατανοµή πιθανότητας F (y i = x i ), δηλαδή µπορούµε να ϑεωρήσουµε την y i σαν τ.µ. [ϑα ήταν σωστότερο να χρησιµοποιούσαµε το συµβολισµό i αντί y i, όπου ο δείκτης i ορίζει την εξάρτηση από = x i, αλλά ϑα χρησιµοποιήσουµε εδώ τον ίδιο συµβολισµό y i για την τ.µ. και την παρατήρηση]. Η τ.µ. y i για κάποια τιµή x i της ϑα δίνεται κάτω από την υπόθεση της γραµµικής παλινδρόµησης ως y i = α + βx i + ǫ i, (3.6) όπου ǫ i είναι κι αυτή τ.µ., λέγεται σφάλµα παλινδρόµησης (regression error) κι ορίζεται ως η διαφορά της y i από τη δεσµευµένη µέση τιµή της ǫ i = y i E( = x i ). Για την ανάλυση της γραµµικής παλινδρόµησης κάνουµε τις παρακάτω υποθέσεις:

7 ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ ΚΑΙ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ 5 y y = α3+ β 3 x y = α+ β x y = α+ β x β α Σχήµα 3.3: Ευθείες απλής γραµµικής παλινδρόµησης x Η µεταβλητή είναι ελεγχόµενη για το πρόβληµα που µελετάµε, δηλαδή γνωρίζουµε τις τιµές της χωρίς καµιά αµφιβολία. Η σχέση (3.5) ισχύει, δηλαδή η εξάρτηση της από τη είναι γραµµική. E(ǫ i ) = και Var(ǫ i ) = σ ǫ για κάθε τιµή x i της, δηλαδή το σφάλµα παλινδρόµησης έχει µέση τιµή µηδέν για κάθε τιµή της και η διασπορά του είναι σταθερή και δεν εξαρτάται από τη. Η τελευταία συνθήκη είναι ισοδύναµη µε τη συνθήκη Var( = x) σ = σ, δηλαδή η διασπορά της εξαρτηµένης µεταβλητής είναι η ίδια για κάθε τιµή της και µάλιστα είναι σ = σ ǫ σ. Η τελευταία σχέση προκύπτει από τη σχέση (3.6), αφού οι παράµετροι α και β είναι σταθερές και το x i γνωστό. Η ιδιότητα αυτή λέγεται οµοσκεδαστικότητα (δες επίσης..3) και αντίθετα έχουµε ετεροσκεδαστικότητα όταν η διασπορά της (ή του σφάλµατος ǫ) µεταβάλλεται µε τη. Γενικά για να εκτιµήσουµε τις παραµέτρους της γραµµικής παλινδρόµησης µε τη µέθοδο των ελαχίστων τετραγώνων, όπως ϑα δούµε παρακάτω, δεν είναι απαραίτητο να υποθέσουµε κάποια συγκεκριµένη δεσµευµένη κατανοµή F (y i = x i ) της ως προς τη. Αν ϑέλουµε όµως να υπολογίσουµε διαστήµατα εµπιστοσύνης για τις παραµέτρους ϑα χρειαστούµε να υποθέσουµε κανονική δεσµευµένη κατανοµή για τη. Επίσης οι παραπάνω υποθέσεις για γραµµική σχέση και σταθερή διασπορά αποτελούν χαρακτηριστικά πληθυσµών µε κανονική κατανοµή. Συνήθως λοιπόν σε προβλήµατα γραµµικής παλινδρόµησης υποθέτουµε ότι η δεσµευµένη κατανοµή της είναι κανονική = x N(α + βx, σ ).

8 5 ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ ΚΑΙ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ 3.. Σηµειακή εκτίµηση παραµέτρων της απλής γραµµικής παλινδρόµησης Το πρόβληµα της απλής γραµµικής παλινδρόµησης µε τις υποθέσεις που ορίστηκαν παραπάνω συνίσταται στην εκτίµηση των τριών παραµέτρων της παλινδρόµησης:. της διαφοράς ύψους της ευθείας παλινδρόµησης α,. της κλίσης της ευθείας παλινδρόµησης β, 3. της διασποράς σφάλµατος της παλινδρόµησης σ. Τα α και β προσδιορίζουν την ευθεία παλινδρόµησης κι άρα καθορίζουν τη γραµµική σχέση εξάρτησης της τ.µ. από τη µεταβλητή. Η παράµετρος σ προσδιορίζει το ϐαθµό µεταβλητότητας γύρω από την ευθεία παλινδρόµησης κι εκφράζει την αβεβαιότητα της γραµµικής σχέσης. Εκτίµηση των παραµέτρων της ευθείας παλινδρόµησης Η εκτίµηση των παραµέτρων α και β γίνεται µε τη µέθοδο των ελαχίστων τετραγώνων (method of least squares). Η µέθοδος λέγεται έτσι γιατί ϐρίσκει την ευθεία παλινδρόµησης µε παραµέτρους a και b έτσι ώστε το άθροισµα των τετραγώνων των κατακόρυφων αποστάσεων των σηµείων από την ευθεία να είναι το ελάχιστο. Οι εκτιµήσεις των α και β δίνονται από την ελαχιστοποίηση του αθροίσµατος των τετραγώνων των σφαλµάτων min α,β n ǫ i ή min α,β n (y i α βx i ). (3.7) Για να λύσουµε αυτό το πρόβληµα ϑέτουµε τις µερικές παραγώγους ως προς τα α και β ίσες µε το µηδέν και καταλήγουµε στο σύστηµα δύο εξισώσεων µε δύο αγνώστους (y i α βx i ) α = (y i α βx i ) β = από το οποίο παίρνουµε τις εκτιµήσεις των α και β b = s s n y i = nα + β n x i n x iy i = α n x i + β n x i, a = ȳ b x, (3.8) όπου s και s είναι η δειγµατική συνδιασπορά των και και η δειγµατική διασπορά της που ορίστηκαν στις σχέσεις (3.) και (3.3) αντίστοιχα. Τα a και b ορίζουν την ευθεία ŷ = a + bx, που λέγεται κι ευθεία ελαχίστων τετραγώνων.

9 ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ ΚΑΙ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ 53 y y = a + bx y i e = y y^ y^i i i i x i x Σχήµα 3.4: Ευθεία ελαχίστων τετραγώνων και υπόλοιπα Εκτίµηση της διασποράς των σφαλµάτων παλινδρόµησης Για κάθε δοθείσα τιµή x i µε τη ϐοήθεια της ευθείας ελαχίστων τετραγώνων εκτιµούµε την τιµή ŷ i που γενικά είναι διαφορετική από την πραγµατική τιµή y i. Η διαφορά e i = y i ŷ i = y i a bx i είναι η κατακόρυφη απόσταση της πραγµατικής τιµής από την ευθεία ελαχίστων τετραγώνων και λέγεται σφάλµα ελαχίστων τετραγώνων ή απλά υπόλοιπο (residual). Στο Σχήµα 3.4 απεικονίζονται τα υπόλοιπα της παλινδρόµησης. Το υπόλοιπο e i είναι η εκτίµηση του σφάλµατος παλινδρόµησης ǫ i αντικαθιστώντας απλά τις παραµέτρους παλινδρόµησης µε τις εκτιµήσεις ελαχίστων τετραγώνων στον ορισµό του σ- ϕάλµατος ǫ i = y i α βx i. Άρα η εκτίµηση της διασποράς σ του σφάλµατος (που είναι κι η δεσµευµένη διασπορά της ως προς ) δίνεται από τη δειγµατική διασπορά s των υπολοίπων e i s σe = n (y i ŷ i ), (3.9) n όπου διαιρούµε µε n γιατί από τους ϐαθµούς ελευθερίας n του µεγέθους του δείγµατος αφαιρούµε δύο για τις δύο παραµέτρους που έχουν ήδη εκτιµηθεί. Η δειγµατική διασπορά s µπορεί να εκφραστεί ως προς τις δειγµατικές διασπορές των και και της συνδιασποράς τους, αν αντικαταστήσουµε τις εκφράσεις των a και b από την (3.8) στην παραπάνω σχέση (όπου ϑέτουµε ŷ i = a + bx i ) s = n ( ) s n s s = n n (s b s ) (3.) όπου και πάλι υποθέτουµε τις αµερόληπτες εκτιµήτριες για τις διασπορές. Παρατηρήσεις

10 54 ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ ΚΑΙ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ. Η ευθεία ελαχίστων τετραγώνων περνάει από το σηµείο ( x, ȳ) γιατί a + b x = ȳ b x + b x = ȳ. Άρα η ευθεία ελαχίστων τετραγώνων µπορεί επίσης να οριστεί ως y i ȳ = b(x i x).. Η εκτίµηση των α και β µε τη µέθοδο των ελαχίστων τετραγώνων δεν προϋποθέτει σταθερή διασπορά και κανονική κατανοµή της εξαρτηµένης µεταβλητής για κάθε τιµή της ανεξάρτητης µεταβλητής. Οταν όµως ισχύουν οι δύο αυτές συνθήκες οι εκτιµήτριες ελαχίστων τετραγώνων a και b είναι οι εκτιµήτριες µεγίστης πιθανοφάνειας (κι άρα έχουν και τις επιθυµητές ιδιότητες εκτιµητριών). 3. Αν η διασπορά της αλλάζει µε το, τότε η διαδικασία των ελαχίστων τετραγώνων πρέπει να διορθωθεί έτσι ώστε να δίνει περισσότερο ϐάρος στις παρατηρήσεις που αντιστοιχούν σε µικρότερη διασπορά. 4. Για κάθε τιµή x της µπορούµε να προβλέψουµε την αντίστοιχη τιµή y της από την ευθεία ελαχίστων τετραγώνων, ŷ = a + bx. Εδώ πρέπει να προσέξουµε ότι η τιµή x πρέπει να ανήκει στο εύρος τιµών της που έχουµε από το δείγµα. Για τιµές έξω από αυτό το διάστηµα η πρόβλεψη δεν είναι αξιόπιστη. Παράδειγµα 3. Θέλουµε να µελετήσουµε σ ένα ολοκληρωµένο κύκλωµα την εξάρτηση της απολαβής ϱεύµατος κρυσταλλολυχνίας (τρανζίστορ) από την αντίσταση του στρώµατος της κρυσταλλολυχνίας. Στον Πίνακα 3. παρουσιάζονται µετρήσεις της απολαβής ϱεύµατος για αντίστοιχες τιµές της αντίστασης στρώµατος της κρυσταλλολυχνίας. Α/Α (i) Αντίσταση στρώµατος x i (ohm/cm) Απολαβή ϱεύµατος y i Πίνακας 3.: εδοµένα απολαβής ϱεύµατος τρανζίστορ (y i ) για διαφορετικές τιµές της αντίστασης στρώµατος κρυσταλλολυχνίας (x i ). Υποθέτουµε πως η απολαβή ϱεύµατος της κρυσταλλολυχνίας εξαρτάται γραµµικά από την αντίσταση του στρώµατος της και το διάγραµµα διασποράς από το δείγµα στο Σχήµα 3.5 επιβεβαιώνει αυτήν την υπόθεση. Για να εκτιµήσουµε τις παραµέτρους a και b της ευθείας ελαχίστων τετραγών-

11 ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ ΚΑΙ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ 55 5 απoλαβη ρευµατoς y y y = x x αντισταση στρωµατoς x (ohm/cm) Σχήµα 3.5: ιάγραµµα διασποράς για τα δεδοµένα του Πίνακα 3. κι ευθεία ελαχίστων τετραγώνων. ων υπολογίζουµε πρώτα τα παρακάτω x i = 943 x = 93.9 ȳ = 8.46 y i = x iy i = 83. και χρησιµοποιώντας τις σχέσεις (3.) και (3.3) για τη δειγµατική συνδιασπορά και διασπορά αντίστοιχα, ϐρίσκουµε s = 4.8 s = 66. s = Οι εκτιµήσεις b και a είναι b = =.63 a = =.53. Από τη σχέση (3.) υπολογίζουµε την εκτίµηση διασποράς των σφαλµάτων παλινδρόµησης Τα αποτελέσµατα αυτά ερµηνεύονται ως εξής: s = 9 8 ( ) = b: Για αύξηση της αντίστασης στρώµατος κατά µία µονάδα µέτρησης ( ohm/cm) η απολαβή του ϱεύµατος της κρυσταλλολυχνίας αυξάνεται κατά.63.. a: Οταν δεν υπάρχει καθόλου αντίσταση στρώµατος (x = ), η απολαβή του ϱεύµατος είναι.53 µονάδες αλλά ϐέβαια είναι αδύνατο να ϑεωρήσουµε στρώµα χωρίς αντίσταση. ε ϑα πρέπει λοιπόν να επιχειρήσουµε προβλέψεις για τιµές της αντίστασης στρώµατος µικρότερης του 66 ohm/cm και µεγαλύτερης του 4 ohm/cm, που είναι οι ακραίες τιµές της αντίστασης του δείγµατος.

12 56 ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ ΚΑΙ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ 3. s : Η εκτίµηση της διασποράς γύρω από την ευθεία παλινδρόµησης για κάθε τιµή της (στο διάστηµα τιµών του πειράµατος) είναι 5.56, ή αλλιώς το τυπικό σφάλµα της εκτίµησης της παλινδρόµησης είναι.49 µονάδες, που είναι µεγάλο σε σχέση µε το επίπεδο τιµών της. Με ϐάση το µοντέλο παλινδρόµησης που εκτιµήσαµε µπορούµε να προβλέψουµε την απολαβή ϱεύµατος για κάθε αντίσταση στρώµατος κρυσταλλολυχνίας στο διάστηµα [66, 4] ohm/cm. Στο Σχήµα 3.5 απεικονίζεται η πρόβλεψη της απολαβής ϱεύµατος για αντίσταση στρώµατος x = ohm/cm και είναι y = =.. Για τις παραµέτρους α και β, καθώς και για τη διασπορά σ, µπορούµε να εκτιµήσουµε διαστήµατα εµπιστοσύνης και να κάνουµε στατιστικούς ελέγχους αλλά δε ϑα ασχοληθούµε µε αυτά τα ϑέµατα Σχέση του συντελεστή συσχέτισης και παλινδρόµησης Η παλινδρόµηση ορίζεται ϑεωρώντας την ανεξάρτητη µεταβλητή σταθερή και την εξαρτη- µένη µεταβλητή τυχαία, ενώ για τη συσχέτιση ϑεωρούµε και τις δύο µεταβλητές και τυχαίες. Για τις µεταβλητές και της παλινδρόµησης, µπορούµε να αγνοήσουµε ότι η δεν είναι τ.µ. και να ορίσουµε το συντελεστή συσχέτισης ρ όπως και πριν. Η σχέση µεταξύ του r (της εκτιµήτριας του ρ από το δείγµα) και του συντελεστή της παλινδρόµησης b δίνεται ως εξής (συνδυάζοντας τις σχέσεις r = s s s και b = s s ) r = b s s ή b = r s s. (3.) Και τα δύο µεγέθη, r και b, εκφράζουν ποσοτικά τη γραµµική συσχέτιση των µεταβλητών και, αλλά το b εξαρτάται από τη µονάδα µέτρησης των και ενώ το r, επειδή προκύπτει από το λόγο της συνδιασποράς προς τις τυπικές αποκλίσεις των και, δεν εξαρτάται από τη µονάδα µέτρησης των και και δίνει τιµές στο διάστηµα [, ]. Η σχέση των r και b περιγράφεται ως εξής: Αν η συσχέτιση είναι ϑετική (r > ) τότε η κλίση της ευθείας παλινδρόµησης b είναι επίσης ϑετική. Αν η συσχέτιση είναι αρνητική (r < ) τότε η κλίση της ευθείας παλινδρόµησης b είναι επίσης αρνητική. Αν οι µεταβλητές και δε συσχετίζονται (r = ) τότε η ευθεία παλινδρόµησης είναι οριζόντια (b = ). Επίσης µπορούµε να εκφράσουµε το r ως προς τη δειγµατική διασπορά του σφάλµατος s και αντίστροφα s = n n s ( r ) ή r = n s. (3.) n Η παραπάνω σχέση δηλώνει πως όσο µεγαλύτερο είναι το r (ή το r ) τόσο µειώνεται η διασπορά του σφάλµατος της παλινδρόµησης, δηλαδή τόσο ακριβέστερη είναι η πρόβλεψη που ϐασίζεται στην ευθεία παλινδρόµησης. s

13 ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ ΚΑΙ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ 57 Παράδειγµα 3.3 Στο παραπάνω παράδειγµα, ο συντελεστής συσχέτισης του κέρδους ϱεύµατος της κρυσταλλολυχνίας και της αντίστασης στρώµατος είναι r = s s s = =.753 που ϑα µπορούσαµε να υπολογίσουµε κι από τις σχέσεις (3.) ή (3.). Ο συντελεστής συσχέτισης δηλώνει την ασθενή ϑετική συσχέτιση του κέρδους ϱεύµατος και της αντίστασης στρώµατος, που δε µπορούµε όµως να συµπεράνουµε από την τιµή του συντελεστή παλινδρόµησης b =.63 ή την τιµή της διασποράς των σφαλµάτων s = 5.56 γιατί εξαρτιούνται από τις µονάδες µέτρησης των δύο µεταβλητών. Σ αυτό το κεφάλαιο ασχοληθήκαµε µόνο µε την απλή γραµµική παλινδρόµηση. Η µελέτη της παλινδρόµησης επεκτείνεται στη µη-γραµµική παλινδρόµηση, που αποτελεί γενικότερη και πιο ϱεαλιστική (αλλά και πιο πολύπλοκη) προσέγγιση για τον προσδιορισµό της εξάρτησης της από τη. Επίσης η τ.µ. µπορεί να εξαρτάται από περισσότερες από µια µεταβλητές που είναι το πρόβληµα της πολλαπλής παλινδρόµησης (γραµµική ή µη-γραµµική).

Κεφάλαιο 4 ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ ΚΑΙ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ. 4.1 Συσχέτιση δύο τ.µ.

Κεφάλαιο 4 ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ ΚΑΙ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ. 4.1 Συσχέτιση δύο τ.µ. Κεφάλαιο 4 ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ ΚΑΙ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ Στα προηγούµενα κεφάλαια ορίσαµε και µελετήσαµε την τ.µ. µε τη ϐοήθεια της πιθανο- ϑεωρίας (κατανοµή, ϱοπές) και της στατιστικής (εκτίµηση, στατιστική υπόθεση). Σ

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ ΚΑΙ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ

ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ ΚΑΙ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ Κεϕάλαιο 4 ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ ΚΑΙ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ Στα προηγούµενα κεϕάλαια ορίσαµε και µελετήσαµε την τ.µ. µε τη ϐοήθεια της πιθανο- ϑεωρίας (κατανοµή, ϱοπές) και της στατιστικής (εκτίµηση, στατιστική υπόθεση). Σ

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ακαδ. Έτος 06-07 Διδάσκων: Βασίλης ΚΟΥΤΡΑΣ Επικ. Καθηγητής v.koutra@fme.aegea.gr Τηλ: 7035468 Θα μελετήσουμε

Διαβάστε περισσότερα

Κεϕάλαιο 5 Συσχέτιση και Παλινδρόµηση

Κεϕάλαιο 5 Συσχέτιση και Παλινδρόµηση Κεϕάλαιο 5 Συσχέτιση και Παλινδρόµηση Στο προηγούµενο κεϕάλαιο µελετήσαµε τη διάδοση του σϕάλµατος από µια τυχαία µεταβλητή X σε µια τ.µ. Y που δίνεται ως συνάρτηση της X. Σε αυτό το κεϕάλαιο ϑα διερευνήσουµε

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΓΙΑ ΠΟΛΙΤΙΚΟΥΣ ΜΗΧΑΝΙΚΟΥΣ ΜΕΡΟΣ Β

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΓΙΑ ΠΟΛΙΤΙΚΟΥΣ ΜΗΧΑΝΙΚΟΥΣ ΜΕΡΟΣ Β ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΓΙΑ ΠΟΛΙΤΙΚΟΥΣ ΜΗΧΑΝΙΚΟΥΣ ΜΕΡΟΣ Β ηµήτρης Κουγιουµτζής http://users.auth.gr/dkugiu/teach/civilengineer E mail: dkugiu@gen.auth.gr 1/11/2009 2 Περιεχόµενα 1 ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένη Στατιστική: Συντελεστής συσχέτισης. Παλινδρόμηση απλή γραμμική, πολλαπλή γραμμική

Εφαρμοσμένη Στατιστική: Συντελεστής συσχέτισης. Παλινδρόμηση απλή γραμμική, πολλαπλή γραμμική ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΜΕΡΟΣ B Δημήτρης Κουγιουμτζής e-mal: dkugu@auth.gr Ιστοσελίδα αυτού του τμήματος του μαθήματος: http://uer.auth.gr/~dkugu/teach/cvltraport/dex.html Εφαρμοσμένη Στατιστική:

Διαβάστε περισσότερα

----------Εισαγωγή στη Χρήση του SPSS for Windows ------------- Σελίδα: 0------------

----------Εισαγωγή στη Χρήση του SPSS for Windows ------------- Σελίδα: 0------------ ----------Εισαγωγή στη Χρήση του SPSS for Windows ------------- Σελίδα: 0------------ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο 9.1 ηµιουργία µοντέλων πρόβλεψης 9.2 Απλή Γραµµική Παλινδρόµηση 9.3 Αναλυτικά για το ιάγραµµα ιασποράς

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ..Π.Μ.Σ. Μαθηµατικά των Υπολογιστών και των Αποφάσεων. Πάτρα, 27 Ιανουαρίου 2011

ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ..Π.Μ.Σ. Μαθηµατικά των Υπολογιστών και των Αποφάσεων. Πάτρα, 27 Ιανουαρίου 2011 Πάτρα, 7 Ιανουαρίου 011 Γενικά Πολλές ϕορές µας ενδιαφέρει να µελετήσουµε τις σχέσεις που υπάρχουν ανάµεσα στις µεταβλητές. Παράδειγµα 1 OZON 300 80 60 40 0 00 180 150 00 50 300 350 400 450 CFC 1 Από το

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2 ΕΚΤΙΜΗΣΗ ΠΑΡΑΜΕΤΡΩΝ. 2.1 Σηµειακή Εκτίµηση. ˆθ παίρνει διαφορετικές τιµές, δηλαδή η ˆθ είναι η ίδια τ.µ. µε κάποια κατανοµή κι έχει µέση

Κεφάλαιο 2 ΕΚΤΙΜΗΣΗ ΠΑΡΑΜΕΤΡΩΝ. 2.1 Σηµειακή Εκτίµηση. ˆθ παίρνει διαφορετικές τιµές, δηλαδή η ˆθ είναι η ίδια τ.µ. µε κάποια κατανοµή κι έχει µέση Κεφάλαιο 2 ΕΚΤΙΜΗΣΗ ΠΑΡΑΜΕΤΡΩΝ Οι στατιστικές δείγµατος, όπως η δειγµατική µέση τιµή x και η δειγµατική διασπορά s 2, που ϑα δούµε παρακάτω, υπολογίζονται από τα στατιστικά δεδοµένα που έχουµε συλλέξει

Διαβάστε περισσότερα

Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση και Συσχέτιση 19/5/2017

Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση και Συσχέτιση 19/5/2017 Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση και Συσχέτιση 2 Εισαγωγή Η ανάλυση παλινδρόμησης περιλαμβάνει το σύνολο των μεθόδων της στατιστικής που αναφέρονται σε ποσοτικές σχέσεις μεταξύ μεταβλητών Πρότυπα παλινδρόμησης

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Επιχειρήσεων Ι

Στατιστική Επιχειρήσεων Ι ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Στατιστική Επιχειρήσεων Ι Ενότητα 5: Παλινδρόμηση Συσχέτιση θεωρητική προσέγγιση Μιλτιάδης Χαλικιάς, Επίκουρος Καθηγητής Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων

Διαβάστε περισσότερα

Απλή Παλινδρόμηση και Συσχέτιση

Απλή Παλινδρόμηση και Συσχέτιση Απλή Παλινδρόμηση και Συσχέτιση Πωλήσεις, Δαπάνες Διαφήμισης και Αριθμός Πωλητών Έτος Πωλήσεις (χιλ ) Διαφήμιση (χιλ ) Πωλητές (Άτομα) Έτος Πωλήσεις (χιλ ) Διαφήμιση (χιλ ) Πωλητές (Άτομα) 98 050 6 3 989

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΕΓΧΟΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ

ΕΛΕΓΧΟΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ Κεφάλαιο 3 ΕΛΕΓΧΟΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ Σε πολλά προβλήµατα της µηχανικής δεν ενδιαφερόµαστε να εκτιµήσουµε την τιµή της παραµέτρου αλλά να διαπιστώσουµε αν η παραµέτρος είναι µικρότερη ή µεγαλύτερη από

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Δεδοµένων µε χρήση του Στατιστικού Πακέτου R

Ανάλυση Δεδοµένων µε χρήση του Στατιστικού Πακέτου R Ανάλυση Δεδοµένων µε χρήση του Στατιστικού Πακέτου R, Επίκουρος Καθηγητής, Τοµέας Μαθηµατικών, Σχολή Εφαρµοσµένων Μαθηµατικών και Φυσικών Επιστηµών, Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο. Περιεχόµενα Εισαγωγή στη

Διαβάστε περισσότερα

Κεϕάλαιο 2 ΕΚΤΙΜΗΣΗ ΠΑΡΑΜΕΤΡΩΝ. 2.1 Σηµειακή Εκτίµηση. {x 1,..., x n } της X από ένα δείγµα µεγέθους n. Τότε η σηµειακή εκτίµηση της θ δίνεται

Κεϕάλαιο 2 ΕΚΤΙΜΗΣΗ ΠΑΡΑΜΕΤΡΩΝ. 2.1 Σηµειακή Εκτίµηση. {x 1,..., x n } της X από ένα δείγµα µεγέθους n. Τότε η σηµειακή εκτίµηση της θ δίνεται Κεϕάλαιο 2 ΕΚΤΙΜΗΣΗ ΠΑΡΑΜΕΤΡΩΝ Οι στατιστικές δείγµατος που υπολογίζονται από τα δεδοµένα που έχουν συλλεχθεί, όπως η δειγµατική µέση τιµή x και η δειγµατική διασπορά s 2, χρησιµοποιούνται για την εκτίµηση

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ ιαφάνειες για το µάθηµα Information Management ΑθανάσιοςΝ. Σταµούλης 1 ΠΗΓΗ Κονδύλης Ε. (1999) Στατιστικές τεχνικές διοίκησης επιχειρήσεων, Interbooks 2 1 Γραµµική παλινδρόµηση Είναι

Διαβάστε περισσότερα

9. Παλινδρόμηση και Συσχέτιση

9. Παλινδρόμηση και Συσχέτιση 9. Παλινδρόμηση και Συσχέτιση Παλινδρόμηση και Συσχέτιση Υπάρχει σχέση ανάμεσα σε δύο ή περισσότερες μεταβλητές; Αν ναι, ποια είναι αυτή η σχέση; Πως μπορεί αυτή η σχέση να χρησιμοποιηθεί για να προβλέψουμε

Διαβάστε περισσότερα

cov(x, Y ) = E[(X E[X]) (Y E[Y ])] cov(x, Y ) = E[X Y ] E[X] E[Y ]

cov(x, Y ) = E[(X E[X]) (Y E[Y ])] cov(x, Y ) = E[X Y ] E[X] E[Y ] Πανεπιστήµιο Κρήτης - Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών ΗΥ-317: Εφαρµοσµένες Στοχαστικές ιαδικασίες-εαρινό Εξάµηνο 2016 ιδάσκων : Π. Τσακαλίδης Συνδιασπορά - Συσχέτιση Τυχαίων Μεταβλητών Επιµέλεια : Κωνσταντίνα

Διαβάστε περισσότερα

Εισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500

Εισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500 Εισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500 Πληθυσμός Δείγμα Δείγμα Δείγμα Ο ρόλος της Οικονομετρίας Οικονομική Θεωρία Διατύπωση της

Διαβάστε περισσότερα

Πρακτική µε στοιχεία στατιστικής ανάλυσης

Πρακτική µε στοιχεία στατιστικής ανάλυσης Πρακτική µε στοιχεία στατιστικής ανάλυσης 1. Για να υπολογίσουµε µια ποσότητα q = x 2 y xy 2, µετρήσαµε τα µεγέθη x και y και βρήκαµε x = 3.0 ± 0.1και y = 2.0 ± 0.1. Να βρεθεί η ποσότητα q και η αβεβαιότητά

Διαβάστε περισσότερα

1. Εισαγωγή Ο έλεγχος υποθέσεων αναφέρεται στις ιδιότητες µιας άγνωστης παραµέτρους του πληθυσµού: Ο κατηγορούµενος είναι αθώος

1. Εισαγωγή Ο έλεγχος υποθέσεων αναφέρεται στις ιδιότητες µιας άγνωστης παραµέτρους του πληθυσµού: Ο κατηγορούµενος είναι αθώος Έλεγχοι Υποθέσεων 1. Εισαγωγή Ο έλεγχος υποθέσεων αναφέρεται στις ιδιότητες µιας άγνωστης παραµέτρους του πληθυσµού: Ο κατηγορούµενος είναι αθώος µ = 100 Κάθε υπόθεση συνοδεύεται από µια εναλλακτική: Ο

Διαβάστε περισσότερα

της σ 2 είναι επίσης αµερόληπτη. n 1 +n 2

της σ 2 είναι επίσης αµερόληπτη. n 1 +n 2 ΑΣΚΗΣΕΙΣ Περιγραφική Στατιστική, Εκτίµηση Παραµέτρων 1. είξτε ότι η εκτιµήτρια s 2 της διασποράς σ 2 είναι αµερόληπτη. 2. ύο τυχαίες µεταβλητές X 1 και X 2 έχουν κοινή διασπορά σ 2 και s 2 1, s2 2 είναι

Διαβάστε περισσότερα

Μέρος V. Ανάλυση Παλινδρόμηση (Regression Analysis)

Μέρος V. Ανάλυση Παλινδρόμηση (Regression Analysis) Μέρος V. Ανάλυση Παλινδρόμηση (Regresso Aalss) Βασικές έννοιες Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση Πολλαπλή Παλινδρόμηση Εφαρμοσμένη Στατιστική Μέρος 5 ο - Κ. Μπλέκας () Βασικές έννοιες Έστω τ.μ. Χ,Υ όπου υπάρχει

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΧΡΗΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΜΟΝΤΕΛΩΝ ΚΑΙ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΧΡΗΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΜΟΝΤΕΛΩΝ ΚΑΙ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΧΡΗΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΜΟΝΤΕΛΩΝ ΚΑΙ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗΣ 6.1 Εισαγωγή Σε πολλές στατιστικές εφαρµογές συναντάται το πρόβληµα της µελέτης της σχέσης δυο ή περισσότερων τυχαίων µεταβλητών. Η σχέση

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Συμπερασματολογία

Στατιστική Συμπερασματολογία 4. Εκτιμητική Στατιστική Συμπερασματολογία εκτιμήσεις των αγνώστων παραμέτρων μιας γνωστής από άποψη είδους κατανομής έλεγχο των υποθέσεων που γίνονται σε σχέση με τις παραμέτρους μιας κατανομής και σε

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 0. Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση. Ένα Πρόβλημα. Η επιδιωκόμενη ιδιότητα. Ένα χρήσιμο γράφημα. Οι υπολογισμοί. Η μέθοδος ελαχίστων τετραγώνων ...

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 0. Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση. Ένα Πρόβλημα. Η επιδιωκόμενη ιδιότητα. Ένα χρήσιμο γράφημα. Οι υπολογισμοί. Η μέθοδος ελαχίστων τετραγώνων ... ΚΕΦΑΛΑΙΟ 0 Ένα Πρόβλημα Δεδομένα.6 3. 3.8 4. 4.4 5.8 6.0 6.7 7. 7.8 5.6 7.9 8.0 8. 8. 9. 9.5 9.4 9.6 9.9 Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση Μωυσιάδης Χρόνης 6 o Εξάμηνο Μαθηματικών Έχει σχέση το με το ; Ειδικότερα

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΑ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ ΣΕΙΡΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΟΤΗΤΑ

ΒΑΣΙΚΑ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ ΣΕΙΡΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΟΤΗΤΑ ΒΑΣΙΚΑ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ ΣΕΙΡΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΟΤΗΤΑ απόκλιση από την κανονικότητα µπορεί να σηµαίνει Ύπαρξη θετικής ή αρνητικής ασυµµετρίας Ύπαρξη λεπτοκύρτωσης, δηλαδή παρουσία ακραίων τιµών που δεν είναι συµβατές

Διαβάστε περισσότερα

Στόχος µαθήµατος: ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ. 1. Απλή γραµµική παλινδρόµηση. 1.2 Παράδειγµα 6 (συνέχεια)

Στόχος µαθήµατος: ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ. 1. Απλή γραµµική παλινδρόµηση. 1.2 Παράδειγµα 6 (συνέχεια) ΠΜΣ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΗ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗ ΥΓΕΙΑ, ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΠΟΤΙΜΗΣΗ ΑΚ. ΕΤΟΣ 2006-2007, 3ο εξάµηνο ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ. Απλή γραµµική παλινδρόµηση Παράδειγµα 6: Χρόνος παράδοσης φορτίου ΜΑΘΗΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική ΜΕΡΟΣ Β. για Ηλεκτρολόγους Μηχανικούς. ηµήτρης Κουγιουµτζής http://www.users.auth.gr/dkugiu/teach/electricengineer/

Στατιστική ΜΕΡΟΣ Β. για Ηλεκτρολόγους Μηχανικούς. ηµήτρης Κουγιουµτζής http://www.users.auth.gr/dkugiu/teach/electricengineer/ Στατιστική για Ηλεκτρολόγους Μηχανικούς ΜΕΡΟΣ Β ηµήτρης Κουγιουµτζής http://www.users.auth.gr/dkugiu/teach/electricengineer/ E mail: dkugiu@gen.auth.gr Απρίλιος 2010 2 Στο Μέρος Α ασχοληθήκαµε µε την τυχαία

Διαβάστε περισσότερα

Μοντέλα Παλινδρόμησης. Άγγελος Μάρκος, Λέκτορας ΠΤ Ε, ΠΘ

Μοντέλα Παλινδρόμησης. Άγγελος Μάρκος, Λέκτορας ΠΤ Ε, ΠΘ Μοντέλα Παλινδρόμησης Άγγελος Μάρκος, Λέκτορας ΠΤ Ε, ΠΘ Εισαγωγή (1) Σε αρκετές περιπτώσεις επίλυσης προβλημάτων ενδιαφέρει η ταυτόχρονη μελέτη δύο ή περισσότερων μεταβλητών, για να προσδιορίσουμε με ποιο

Διαβάστε περισσότερα

Περιγραφική Στατιστική, Εκτίµηση και Ελεγχος Παραµέτρων. της σ 2 είναι επίσης αµερόληπτη. n 1 +n 2

Περιγραφική Στατιστική, Εκτίµηση και Ελεγχος Παραµέτρων. της σ 2 είναι επίσης αµερόληπτη. n 1 +n 2 4.2. ΑΠΛ Η ΓΡΑΜΜΙΚ Η ΠΑΛΙΝ Ρ ΟΜΗΣΗ 79 ΑΣΚΗΣΕΙΣ Περιγραφική Στατιστική, Εκτίµηση και Ελεγχος Παραµέτρων 1. είξτε ότι η εκτιµήτρια s 2 της διασποράς σ 2 είναι αµερόληπτη. 2. ύο τυχαίες µεταβλητές X 1 και

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Κεφάλαιο 2

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Κεφάλαιο 2 013 [Κεφάλαιο ] ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Κεφάλαιο Μάθημα Εαρινού Εξάμηνου 01-013 M.E. OE0300 Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Τμήμα Μηχανικών Χωροταξίας, Πολεοδομίας και Περιφερειακής Ανάπτυξης [Οικονομετρία 01-013] Μαρί-Νοέλ

Διαβάστε περισσότερα

Κεϕάλαιο 4. Αβεβαιότητα και σϕάλµα µέτρησης

Κεϕάλαιο 4. Αβεβαιότητα και σϕάλµα µέτρησης Κεϕάλαιο 4 Αβεβαιότητα και σϕάλµα µέτρησης Από την κλασσική αρχαία εποχή που ο Αριστοτέλης ϑεώρησε τη ϐεβαιότητα (και αβεβαιότητα) ενός αποτελέσµατος ως σήµερα ο χαρακτηρισµός της αβεβαιότητας της µέτρησης

Διαβάστε περισσότερα

Παρεµβολή και Προσέγγιση Συναρτήσεων

Παρεµβολή και Προσέγγιση Συναρτήσεων Κεφάλαιο 4 Παρεµβολή και Προσέγγιση Συναρτήσεων 41 Παρεµβολή µε πολυώνυµο Lagrage Εστω ότι γνωρίζουµε τις τιµές µιας συνάρτησης f (x), f 0, f 1,, f ν σε σηµεία x 0, x 1,, x ν, και Ϲητάµε να υπολογίσουµε

Διαβάστε περισσότερα

Μέτρηση κατανοµής ηλεκτρικού πεδίου

Μέτρηση κατανοµής ηλεκτρικού πεδίου ρ. Χ. Βοζίκης Εργαστήριο Φυσικής ΙΙ 31 3. Άσκηση 3 Μέτρηση κατανοµής ηλεκτρικού πεδίου 3.1 Σκοπός της Εργαστηριακής Άσκησης Σκοπός της άσκησης είναι η µέτρηση της κατανοµής του ηλεκτρικού πεδίου Ε, µπροστά

Διαβάστε περισσότερα

Παρουσίαση 1 ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ

Παρουσίαση 1 ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Παρουσίαση ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Παρουσίαση η Κάθετες συνιστώσες διανύσµατος Παράδειγµα Θα αναλύσουµε το διάνυσµα v (, ) σε δύο κάθετες µεταξύ τους συνιστώσες από τις οποίες η µία να είναι παράλληλη στο α (3,) Πραγµατικά

Διαβάστε περισσότερα

e-mail@p-theodoropoulos.gr

e-mail@p-theodoropoulos.gr Ασκήσεις Μαθηµατικών Κατεύθυνσης Γ Λυκείου Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύµβουλος Μαθηµατικών e-mail@p-theodoropoulos.gr Στην εργασία αυτή ξεχωρίζουµε και µελετάµε µερικές περιπτώσεις ασκήσεων

Διαβάστε περισσότερα

EΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΗΣ ΨΗΦΙΑΚΗΣ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑΣ ΣΗΜΑΤΩΝ Γραµµική Εκτίµηση Τυχαίων Σηµάτων Φίλτρο Kalman

EΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΗΣ ΨΗΦΙΑΚΗΣ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑΣ ΣΗΜΑΤΩΝ Γραµµική Εκτίµηση Τυχαίων Σηµάτων Φίλτρο Kalman EΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΗΣ ΨΗΦΙΑΚΗΣ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑΣ ΣΗΜΑΤΩΝ Γραµµική Εκτίµηση Τυχαίων Σηµάτων Φίλτρο Kalma Εµµανουήλ Ζ. Ψαράκης Πολυτεχνική Σχολή Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Ακολουθιακή Επεξεργασία Τα δείγµατα

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΓΙΑ ΠΟΛΙΤΙΚΟΥΣ ΜΗΧΑΝΙΚΟΥΣ ΜΕΡΟΣ Β

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΓΙΑ ΠΟΛΙΤΙΚΟΥΣ ΜΗΧΑΝΙΚΟΥΣ ΜΕΡΟΣ Β ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΓΙΑ ΠΟΛΙΤΙΚΟΥΣ ΜΗΧΑΝΙΚΟΥΣ ΜΕΡΟΣ Β ηµήτρης Κουγιουµτζής http://users.auth.gr/dkugiu/teach/civilengineer E mail: dkugiu@gen.auth.gr 1/11/2009 2 Περιεχόµενα 1 ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ

Διαβάστε περισσότερα

) = a ο αριθµός των µηχανών n ο αριθµός των δειγµάτων που παίρνω από κάθε µηχανή

) = a ο αριθµός των µηχανών n ο αριθµός των δειγµάτων που παίρνω από κάθε µηχανή Ανάλυση Συνδιακύµανσης Alsis of Covrice Η ανάλυση συνδιακύµανσης είναι µία άλλη τεχνική για να βελτιώσουµε την ακρίβεια της προσέγγισης του µοντέλου µας στο πείραµα. Ας υποθέσουµε ότι σ ένα πείραµα εκτός

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑ

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑ Στα πλαίσια της ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑΣ προσπαθούµε να προσεγγίσουµε τα χαρακτηριστικά ενός συνόλου (πληθυσµός) δια της µελέτης των χαρακτηριστικών αυτών επί ενός µικρού

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Ι. Ανάλυση Παλινδρόμησης

Στατιστική Ι. Ανάλυση Παλινδρόμησης Στατιστική Ι Ανάλυση Παλινδρόμησης Ανάλυση παλινδρόμησης Η πρόβλεψη πωλήσεων, εσόδων, κόστους, παραγωγής, κτλ. είναι η βάση του επιχειρηματικού σχεδιασμού. Η ανάλυση παλινδρόμησης και συσχέτισης είναι

Διαβάστε περισσότερα

Πολύγωνο αθροιστικών σχετικών συχνοτήτων και διάµεσος µιας τυχαίας µεταβλητής ρ. Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος πρώην Σχολικός Σύµβουλος ΠΕ03 e-mail@p-theodoropoulos.gr Πρόλογος Στην εργασία αυτή αναλύονται

Διαβάστε περισσότερα

3. ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ

3. ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ 20 3. ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ ΟΡΙΣΜΟΣ ΤΗΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ Μια πολύ σηµαντική έννοια στη θεωρία πιθανοτήτων και τη στατιστική είναι η έννοια της µαθηµατικής ελπίδας ή αναµενόµενης τιµής ή µέσης τιµής µιας τυχαίας

Διαβάστε περισσότερα

12xy(1 x)dx = 12y. = 12 y. = 12 y( ) = 12 y 1 6 = 2y. x 6x(1 x)dx = 6. dx = 6 3 x4

12xy(1 x)dx = 12y. = 12 y. = 12 y( ) = 12 y 1 6 = 2y. x 6x(1 x)dx = 6. dx = 6 3 x4 Πανεπιστήµιο Κρήτης - Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών ΗΥ-7: Πιθανότητες-Χειµερινό Εξάµηνο 5 ιδάσκων: Π. Τσακαλίδης Λύσεις 6ης Σειρά Ασκήσεων Ασκηση. α) Η περιθωριακή σ.π.π. της f X,Y για την τ.µ X γίνεται:

Διαβάστε περισσότερα

1.4 Λύσεις αντιστρόφων προβλημάτων.

1.4 Λύσεις αντιστρόφων προβλημάτων. .4 Λύσεις αντιστρόφων προβλημάτων. Ο τρόπος παρουσίασης της λύσης ενός αντίστροφου προβλήµατος µπορεί να διαφέρει ανάλογα µε τη «φιλοσοφία» επίλυσης που ακολουθείται και τη δυνατότητα παροχής πρόσθετης

Διαβάστε περισσότερα

Περιγραϕική Στατιστική, Εκτίµηση και Ελεγχος Παραµέτρων

Περιγραϕική Στατιστική, Εκτίµηση και Ελεγχος Παραµέτρων 78 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ ΚΑΙ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Περιγραϕική Στατιστική, Εκτίµηση και Ελεγχος Παραµέτρων 1. είξτε ότι η εκτιµήτρια s 2 της διασποράς σ 2 είναι αµερόληπτη. 2. ύο τυχαίες µεταβλητές X 1

Διαβάστε περισσότερα

Είδη Μεταβλητών. κλίµακα µέτρησης

Είδη Μεταβλητών. κλίµακα µέτρησης ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Κεφάλαιο 1 Εισαγωγικές Έννοιες 19 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 Η Μεταβλητότητα Η Στατιστική Ανάλυση Η Στατιστική και οι Εφαρµοσµένες Επιστήµες Στατιστικός Πληθυσµός και Δείγµα Το στατιστικό

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ

ΘΕΩΡΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΑΠΛΟ ΓΡΑΜΜΙΚΟ ΥΠΟΔΕΙΓΜΑ Συντελεστής συσχέτισης (εκτιμητής Person: r, Y ( ( Y Y xy ( ( Y Y x y, όπου r, Y (ισχυρή θετική γραμμική συσχέτιση όταν, ισχυρή αρνητική

Διαβάστε περισσότερα

Χ. Εμμανουηλίδης, 1

Χ. Εμμανουηλίδης, 1 Εφαρμοσμένη Στατιστική Έρευνα Απλό Γραμμικό Υπόδειγμα AΠΛΟ ΓΡΑΜΜΙΚΟ ΥΠΟ ΕΙΓΜΑ Δρ. Χρήστος Εμμανουηλίδης Αν. Καθηγητής Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης Εφαρμοσμένη Στατιστική, Τμήμα Ο.Ε. ΑΠΘ Χ. Εμμανουηλίδης,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΕΓΧΟΙ ΠΡΟΣΑΡΜΟΓΗΣ & ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ

ΕΛΕΓΧΟΙ ΠΡΟΣΑΡΜΟΓΗΣ & ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ ΕΛΕΓΧΟΙ ΠΡΟΣΑΡΜΟΓΗΣ & ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ Μετά από την εκτίµηση των παραµέτρων ενός προσοµοιώµατος, πρέπει να ελέγχουµε την αλήθεια της υποθέσεως που κάναµε. Είναι ορθή η υπόθεση που κάναµε? Βεβαίως συνήθως υπάρχουν

Διαβάστε περισσότερα

Διαχείριση Υδατικών Πόρων

Διαχείριση Υδατικών Πόρων Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Διαχείριση Υδατικών Πόρων Γ.. Τσακίρης Μάθημα 3 ο Λεκάνη απορροής Υπάρχουσα κατάσταση Σενάριο 1: Μέσες υδρολογικές συνθήκες Σενάριο : Δυσμενείς υδρολογικές συνθήκες Μελλοντική

Διαβάστε περισσότερα

ΠΟΣΟΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΙI (ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΓΙΑ ΤΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ) (ΟΔΕ 2116)

ΠΟΣΟΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΙI (ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΓΙΑ ΤΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ) (ΟΔΕ 2116) Σελίδα 1 ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΟΡΓΑΝΩΣΗΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑ: ΠΟΣΟΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΙΙ (ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΓΙΑ ΤΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ) (ΟΔΕ 2116) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΟΣ ΥΠΟΤΡΟΦΟΣ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένη Στατιστική

Εφαρμοσμένη Στατιστική ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Εφαρμοσμένη Στατιστική Παλινδρόμηση Διδάσκων: Επίκουρος Καθηγητής Κωνσταντίνος Μπλέκας Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Τμήμα Τεχνολόγων Γεωπόνων-Κατεύθυνση Αγροτικής Οικονομίας Εφαρμοσμένη Στατιστική Μάθημα 4 ο :Τυχαίες μεταβλητές Διδάσκουσα: Κοντογιάννη Αριστούλα

Τμήμα Τεχνολόγων Γεωπόνων-Κατεύθυνση Αγροτικής Οικονομίας Εφαρμοσμένη Στατιστική Μάθημα 4 ο :Τυχαίες μεταβλητές Διδάσκουσα: Κοντογιάννη Αριστούλα Τμήμα Τεχνολόγων Γεωπόνων-Κατεύθυνση Αγροτικής Οικονομίας Εφαρμοσμένη Στατιστική Μάθημα 4 ο :Τυχαίες μεταβλητές Διδάσκουσα: Κοντογιάννη Αριστούλα Ορισμός τυχαίας μεταβλητής Τυχαία μεταβλητή λέγεται η συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

ΗΜΟΚΡΙΤΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΡΑΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΑΓΡΟΤΙΚΗΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ Θεόδωρος Χ. Κουτρουµ ανίδης Αναπληρωτής Καθηγητής ΠΘ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΗΜΟΚΡΙΤΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΡΑΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΑΓΡΟΤΙΚΗΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ Θεόδωρος Χ. Κουτρουµ ανίδης Αναπληρωτής Καθηγητής ΠΘ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΗΜΟΚΡΙΤΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΡΑΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΑΓΡΟΤΙΚΗΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ Θεόδωρος Χ. Κουτρουµ ανίδης Αναπληρωτής Καθηγητής ΠΘ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ορεστιάδα 7 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Κεφάλαιο ο : Παράγωγες κατανοµές

Διαβάστε περισσότερα

ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Συμπληρωματικές Σημειώσεις Δημήτριος Παντελής

ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Συμπληρωματικές Σημειώσεις Δημήτριος Παντελής ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Συμπληρωματικές Σημειώσεις Δημήτριος Παντελής ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΕΣ ΕΚΤΙΜΗΣΕΙΣ Οι συναρτήσεις πιθανότητας ή πυκνότητας πιθανότητας των διαφόρων τυχαίων μεταβλητών χαρακτηρίζονται από κάποιες

Διαβάστε περισσότερα

Αναπλ. Καθηγήτρια, Ελένη Κανδηλώρου. Αθήνα Σημειώσεις. Εκτίμηση των Παραμέτρων β 0 & β 1. Απλό γραμμικό υπόδειγμα: (1)

Αναπλ. Καθηγήτρια, Ελένη Κανδηλώρου. Αθήνα Σημειώσεις. Εκτίμηση των Παραμέτρων β 0 & β 1. Απλό γραμμικό υπόδειγμα: (1) Σημειώσεις Αναπλ. Καθηγήτρια, Ελένη Κανδηλώρου Αθήνα -3-7 Εκτίμηση των Παραμέτρων β & β Απλό γραμμικό υπόδειγμα: Y X () Η αναμενόμενη τιμή του Υ, δηλαδή, μέση τιμή του Υ, δίνεται παρακάτω: EY ( ) X EY

Διαβάστε περισσότερα

2) Περιγραφή ιακριτών Ποσοτικών εδοµένων

2) Περιγραφή ιακριτών Ποσοτικών εδοµένων ) Περιγραφή ιακριτών Ποσοτικών εδοµένων Για να περιγράψουµε διακριτά ποσοτικά δεδοµένα µε λίγες τιµές ( σε περίπτωση πολλών τιµών τα θεωρούµε ως συνεχή) κάνουµε: Πίνακας συχνοτήτων Ραβδόγραµµα, Κυκλικό

Διαβάστε περισσότερα

Λυµένες Ασκήσεις στο Μάθηµα Στατιστικής στο Τµήµα Πολιτικών Μηχανικών

Λυµένες Ασκήσεις στο Μάθηµα Στατιστικής στο Τµήµα Πολιτικών Μηχανικών Στατιστική Λυµένες Ασκήσεις, Πολιτικοί Μηχανικοί Ιανουάριος 6 Λυµένες Ασκήσεις στο Μάθηµα Στατιστικής στο Τµήµα Πολιτικών Μηχανικών Μέρος Α Θεωρία Πιθανοτήτων Άσκηση [Θέµα στις εξετάσεις Φεβρουαρίου ]

Διαβάστε περισσότερα

Οι θεµελιώδεις έννοιες που απαιτούνται στη Επαγωγική Στατιστική (Εκτιµητική, ιαστήµατα Εµπιστοσύνης και Έλεγχοι Υποθέσεων) είναι:

Οι θεµελιώδεις έννοιες που απαιτούνται στη Επαγωγική Στατιστική (Εκτιµητική, ιαστήµατα Εµπιστοσύνης και Έλεγχοι Υποθέσεων) είναι: Κατανοµές ειγµατοληψίας 1.Εισαγωγή Οι θεµελιώδεις έννοιες που απαιτούνται στη Επαγωγική Στατιστική (Εκτιµητική, ιαστήµατα Εµπιστοσύνης και Έλεγχοι Υποθέσεων) είναι: 1. Στατιστικής και 2. Κατανοµής ειγµατοληψίας

Διαβάστε περισσότερα

2. Η τιµή της εκτιµήσεως της µεταβλητής στα σηµεία όπου υπάρχουν µετρήσεις να είναι η ίδια µε τη

2. Η τιµή της εκτιµήσεως της µεταβλητής στα σηµεία όπου υπάρχουν µετρήσεις να είναι η ίδια µε τη ΜΕΘΟ ΟΙ ΧΩΡΙΚΗΣ ΠΑΡΕΜΒΟΛΗΣ, ΒΕΛΤΙΣΤΗ ΠΑΡΕΜΒΟΛΗ ΠΡΟΧΩΡΗΜΕΝΕΣ ΓΕΩΣΤΑΤΙΣΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟ ΟΙ Η παρεµβολή στο χώρο αποτελεί ένα σηµαντικό αντικείµενο µελέτης στη χαρτογραφία και σε όσους τοµείς της επιστήµης είναι

Διαβάστε περισσότερα

5.1 Συναρτήσεις δύο ή περισσοτέρων µεταβλητών

5.1 Συναρτήσεις δύο ή περισσοτέρων µεταβλητών Κεφάλαιο 5 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ 5.1 Συναρτήσεις δύο ή περισσοτέρων µεταβλητών Οταν ένα µεταβλητό µέγεθος εξαρτάται αποκλειστικά από τις µεταβολές ενός άλλου µεγέθους, τότε η σχέση που συνδέει

Διαβάστε περισσότερα

Α. 1. Μετρήσεις και Σφάλµατα

Α. 1. Μετρήσεις και Σφάλµατα Α. 1. Μετρήσεις και Σφάλµατα Κάθε πειραµατική µέτρηση υπόκειται σε πειραµατικά σφάλµατα. Με τον όρο αυτό δεν εννοούµε λάθη τα οποία γίνονται κατά την εκτέλεση του πειράµατος ή τη λήψη των µετρήσεων, τα

Διαβάστε περισσότερα

Μάθηµα 1. Κεφάλαιο 1o: Συστήµατα. γ R παριστάνει ευθεία και καλείται γραµµική εξίσωση µε δύο αγνώστους.

Μάθηµα 1. Κεφάλαιο 1o: Συστήµατα. γ R παριστάνει ευθεία και καλείται γραµµική εξίσωση µε δύο αγνώστους. Μάθηµα 1 Κεφάλαιο 1o: Συστήµατα Θεµατικές Ενότητες: A. Συστήµατα Γραµµικών Εξισώσεων B. Συστήµατα 3x3 Α. ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Ορισµοί Κάθε εξίσωση της µορφής α x+β =γ, µε α, β, γ R παριστάνει

Διαβάστε περισσότερα

Μετασχηµατισµοί Laplace, Αναλογικά Συστήµατα, ιαφορικές Εξισώσεις

Μετασχηµατισµοί Laplace, Αναλογικά Συστήµατα, ιαφορικές Εξισώσεις ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Μετασχηµατισµοί Laplace, Αναλογικά Συστήµατα, ιαφορικές Εξισώσεις 2.1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Όπως έχουµε δει, για να προσδιορίσουµε τις αποκρίσεις ενός κυκλώµατος, πρέπει να λύσουµε ένα σύνολο διαφορικών

Διαβάστε περισσότερα

Α. 1. Μετρήσεις και Σφάλµατα

Α. 1. Μετρήσεις και Σφάλµατα Α. 1. Μετρήσεις και Σφάλµατα Κάθε πειραµατική µέτρηση υπόκειται σε πειραµατικά σφάλµατα. Με τον όρο αυτό δεν εννοούµε λάθη τα οποία γίνονται κατά την εκτέλεση του πειράµατος ή τη λήψη των µετρήσεων, τα

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6 Παράγωγος

Κεφάλαιο 6 Παράγωγος Σελίδα από 5 Κεφάλαιο 6 Παράγωγος Στο κεφάλαιο αυτό στόχος µας είναι να συνδέσουµε µία συγκεκριµένη συνάρτηση f ( ) µε µία δεύτερη συνάρτηση f ( ), την οποία και θα ονοµάζουµε παράγωγο της f. Η τιµή της

Διαβάστε περισσότερα

5.1 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα

5.1 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα Κεφάλαιο 5 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα 5 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα Αν ο A είναι ένας n n πίνακας και το x είναι ένα διάνυσµα στον R n, τότε το Ax είναι και αυτό ένα διάνυσµα στον R n Συνήθως δεν υπάρχει

Διαβάστε περισσότερα

Κεφ. Ιο ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ

Κεφ. Ιο ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος 75 Κεφ. Ιο ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ 1.1. Τυχαία γεγονότα ή ενδεχόμενα 17 1.2. Πειράματα τύχης - Δειγματικός χώρος 18 1.3. Πράξεις με ενδεχόμενα 20 1.3.1. Ενδεχόμενα ασυμβίβαστα

Διαβάστε περισσότερα

7. Ταλαντώσεις σε συστήµατα µε πολλούς βαθµούς ελευθερίας

7. Ταλαντώσεις σε συστήµατα µε πολλούς βαθµούς ελευθερίας 7 Ταλαντώσεις σε συστήµατα µε πολλούς βαθµούς ελευθερίας Συζευγµένες ταλαντώσεις Βιβλιογραφία F S Crawford Jr Κυµατική (Σειρά Μαθηµάτων Φυσικής Berkeley, Τόµος 3 Αθήνα 979) Κεφ H J Pai Φυσική των ταλαντώσεων

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις στις συναρτήσεις

Σηµειώσεις στις συναρτήσεις Σηµειώσεις στις συναρτήσεις 4 Η έννοια της συνάρτησης Ο όρος «συνάρτηση» χρησιµοποιείται αρκετά συχνά για να δηλώσει ότι ένα µέγεθος, µια κατάσταση κτλ εξαρτάται από κάτι άλλο Και στα µαθηµατικά ο όρος

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού

Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού Σελίδα 1 από Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού Στο κεφάλαιο αυτό θα ασχοληθούµε µε τα βασικά θεωρήµατα του διαφορικού λογισµού καθώς και µε προβλήµατα που µπορούν να επιλυθούν χρησιµοποιώντας

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΣΤ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΩΡΓΙΚΟΥ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΣΜΟΥ. Τεστ 1 ο Κατανοµή Συχνοτήτων (50 βαθµοί)

ΤΕΣΤ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΩΡΓΙΚΟΥ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΣΜΟΥ. Τεστ 1 ο Κατανοµή Συχνοτήτων (50 βαθµοί) ΤΕΣΤ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΩΡΓΙΚΟΥ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΣΜΟΥ Τεστ 1 ο Κατανοµή Συχνοτήτων (50 βαθµοί) Α. Ερωτήσεις πολλαπλών επιλογών.(11 βαθµοί) (1:3 βαθµοί, 2-9:8 βαθµοί) 1. ίνεται ο πίνακας: Χ

Διαβάστε περισσότερα

( ) = inf { (, Ρ) : Ρ διαµέριση του [, ]}

( ) = inf { (, Ρ) : Ρ διαµέριση του [, ]} 7 ΙΙΙ Ολοκληρωτικός Λογισµός πολλών µεταβλητών Βασικές έννοιες στη µια µεταβλητή Έστω f :[ ] φραγµένη συνάρτηση ( Ρ = { t = < < t = } είναι διαµέριση του [ ] 0 ( Ρ ) = Μ ( ) όπου sup f ( t) : t [ t t]

Διαβάστε περισσότερα

Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrange

Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrange 64 Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrage Ας υποθέσουµε ότι ένας δεδοµένος χώρος θερµαίνεται και η θερµοκρασία στο σηµείο,, Τ, y, z Ας υποθέσουµε ότι ( y z ) αυτού του χώρου δίδεται από

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ ΛΑΘΟΥΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Γ ΓΕΝΙΚΗΣ ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ ΛΑΘΟΥΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Γ ΓΕΝΙΚΗΣ ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ ΛΑΘΟΥΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Γ ΓΕΝΙΚΗΣ 1 ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 1. Ένα σηµείο Α(χ, ψ) ανήκει στη γραφική παράσταση της f αν f(ψ)=χ. 2. Αν µια συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα σε ένα διάστηµα A,

Διαβάστε περισσότερα

T (K) m 2 /m

T (K) m 2 /m Ορθοί και λανθασµένοι τρόποι απεικονίσεως δεδοµένων σε διάγραµµα Από µετρήσεις σηµείου ζέσεως σειράς διαλυµάτων προκύπτουν τα εξής δεδοµένα: m /m.5..5..5.55.. Σύµφωνα µε την θεωρία τα δεδοµένα πρέπει να

Διαβάστε περισσότερα

αx αx αx αx 2 αx = α e } 2 x x x dx καλείται η παραβολική συνάρτηση η οποία στο x

αx αx αx αx 2 αx = α e } 2 x x x dx καλείται η παραβολική συνάρτηση η οποία στο x A3. ΕΥΤΕΡΗ ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ-ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ. εύτερη παράγωγος.παραβολική προσέγγιση ή επέκταση 3.Κυρτή 4.Κοίλη 5.Ιδιότητες κυρτών/κοίλων συναρτήσεων 6.Σηµεία καµπής ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ 7. εύτερη πλεγµένη παραγώγιση 8.Χαρακτηρισµός

Διαβάστε περισσότερα

Ενισχυτές Μετρήσεων. 3.1 Ο διαφορικός Ενισχυτής

Ενισχυτές Μετρήσεων. 3.1 Ο διαφορικός Ενισχυτής 3 Ενισχυτές Μετρήσεων 3.1 Ο διαφορικός Ενισχυτής Πολλές φορές ένας ενισχυτής σχεδιάζεται ώστε να αποκρίνεται στη διαφορά µεταξύ δύο σηµάτων εισόδου. Ένας τέτοιος ενισχυτής ονοµάζεται ενισχυτής διαφοράς

Διαβάστε περισσότερα

2.6 ΟΡΙΑ ΑΝΟΧΗΣ. πληθυσµού µε πιθανότητα τουλάχιστον ίση µε 100(1 α)%. Το. X ονοµάζεται κάτω όριο ανοχής ενώ το πάνω όριο ανοχής.

2.6 ΟΡΙΑ ΑΝΟΧΗΣ. πληθυσµού µε πιθανότητα τουλάχιστον ίση µε 100(1 α)%. Το. X ονοµάζεται κάτω όριο ανοχής ενώ το πάνω όριο ανοχής. 2.6 ΟΡΙΑ ΑΝΟΧΗΣ Το διάστηµα εµπιστοσύνης παρέχει µία εκτίµηση µιας άγνωστης παραµέτρου µε την µορφή διαστήµατος και ένα συγκεκριµένο βαθµό εµπιστοσύνης ότι το διάστηµα αυτό, µε τον τρόπο που κατασκευάσθηκε,

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ. Επικ. Καθ. Στέλιος Ζήμερας. Τμήμα Μαθηματικών Κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικά Χρηματοοικονομικά Μαθηματικά

ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ. Επικ. Καθ. Στέλιος Ζήμερας. Τμήμα Μαθηματικών Κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικά Χρηματοοικονομικά Μαθηματικά ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ Επικ Καθ Στέλιος Ζήμερας Τμήμα Μαθηματικών Κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικά Χρηματοοικονομικά Μαθηματικά 05 Έλεγχος διακυμάνσεων Μας ενδιαφέρει να εξετάσουμε 5 δίαιτες που δίνονται

Διαβάστε περισσότερα

5. ΜΕΘΟΔΟΙ ΜΕΓΙΣΤΗΣ ΠΙΘΑΝΟΦΑΝΕΙΑΣ

5. ΜΕΘΟΔΟΙ ΜΕΓΙΣΤΗΣ ΠΙΘΑΝΟΦΑΝΕΙΑΣ 5. ΜΕΘΟΔΟΙ ΜΕΓΙΣΤΗΣ ΠΙΘΑΟΦΑΕΙΑΣ 5. Η συνάρτηση μέγιστης πιθανοφάνειας Έστω µία τυχαία µεταβλητή η οποία αντιπροσωπεύει την µέτρηση κάποιας συγκεκριµένης ποσότητας µε πραγµατική αλλά άγνωστη τιµή θ σε ένα

Διαβάστε περισσότερα

(365)(364)(363)...(365 n + 1) (365) k

(365)(364)(363)...(365 n + 1) (365) k ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών HY-217: Πιθανότητες - Χειµερινό Εξάµηνο 2016 ιδάσκων : Π. Τσακαλίδης Λύσεις Τρίτης Σειράς Ασκήσεων Ηµεροµηνία Ανάθεσης : 21//2016 Ηµεροµηνία Παράδοσης :

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικές Ερωτήσεις για Οικονοµετρία 2

Επαναληπτικές Ερωτήσεις για Οικονοµετρία 2 Επαναληπτικές Ερωτήσεις για Οικονοµετρία 2 Κεφάλαιο 8 1) Τι είναι ετεροσκεδαστικότητα και τι είδους προβλήµατα παρουσιάζονται; ( 2, 4, σελίδες 370-372). 2) Γράψτε τον τύπο της διακύµανσης της κλίσης όταν

Διαβάστε περισσότερα

Το στατιστικό κριτήριο που μας επιτρέπει να. μιας ή πολλών άλλων γνωστών μεταβλητών. Η σχέση ανάμεσα στις μεταβλητές που μελετώνται

Το στατιστικό κριτήριο που μας επιτρέπει να. μιας ή πολλών άλλων γνωστών μεταβλητών. Η σχέση ανάμεσα στις μεταβλητές που μελετώνται Κεφάλαιο 10 Η Ανάλυση Παλινδρόμησης Η Ανάλυση Παλινδρόμησης Το στατιστικό κριτήριο που μας επιτρέπει να προβλέψουμε τις τιμές μιας μεταβλητής από τις τιμές μιας ή πολλών άλλων γνωστών μεταβλητών Η σχέση

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ: ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 11 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ 13

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ: ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 11 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ 13 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ: ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 11 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ 13 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ 20 2.1 Αβεβαιότητα, Τυχαία Διαδικασία, και Συναφείς Έννοιες 20 2.1.1 Αβεβαιότητα

Διαβάστε περισσότερα

Οικονομετρία Ι. Ενότητα 4: Διάστημα Εμπιστοσύνης - Έλεγχος Υποθέσεων. Δρ. Χαϊδώ Δριτσάκη Τμήμα Λογιστικής & Χρηματοοικονομικής

Οικονομετρία Ι. Ενότητα 4: Διάστημα Εμπιστοσύνης - Έλεγχος Υποθέσεων. Δρ. Χαϊδώ Δριτσάκη Τμήμα Λογιστικής & Χρηματοοικονομικής Οικονομετρία Ι Ενότητα 4: Διάστημα Εμπιστοσύνης - Έλεγχος Υποθέσεων Δρ. Χαϊδώ Δριτσάκη Τμήμα Λογιστικής & Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative

Διαβάστε περισσότερα

2. Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών

2. Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών Είναι φανερό ότι έως τώρα η µελέτη µας επικεντρώνεται κάθε φορά σε πιθανότητες που αφορούν µία τυχαία µεταβλητή Σε αρκετές όµως περιπτώσεις ενδιαφερόµαστε να εξετάσουµε

Διαβάστε περισσότερα

Πίνακας κατανοµής συχνοτήτων και αθροιστικών συχνοτήτων. Σχετ.

Πίνακας κατανοµής συχνοτήτων και αθροιστικών συχνοτήτων. Σχετ. Λυµένη Άσκηση στην οµαδοποιηµένη κατανοµή Στην Γ τάξη του Ενιαίου Λυκείου µιας περιοχής φοιτούν 4 µαθητές των οποίων τα ύψη τους σε εκατοστά φαίνονται στον ακόλουθο πίνακα. 7 4 76 7 6 7 3 77 77 7 6 7 6

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Ασκησεις - Φυλλαδιο 4. ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος :

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Ασκησεις - Φυλλαδιο 4. ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τµηµα Β Ασκησεις - Φυλλαδιο 4 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt2015/nt2015.html ευτέρα 30 Μαρτίου 2015 Ασκηση 1. Να ϐρεθούν όλοι

Διαβάστε περισσότερα

Επίλυση Γραµµικών Συστηµάτων

Επίλυση Γραµµικών Συστηµάτων Κεφάλαιο 3 Επίλυση Γραµµικών Συστηµάτων 31 Εισαγωγή Αριθµητική λύση γενικών γραµµικών συστηµάτων n n A n n x n 1 b n 1, όπου a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A [a i j, x a n1 a n2 a nn x n, b b 1 b 2 b n

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο M4. Κίνηση σε δύο διαστάσεις

Κεφάλαιο M4. Κίνηση σε δύο διαστάσεις Κεφάλαιο M4 Κίνηση σε δύο διαστάσεις Κινηµατική σε δύο διαστάσεις Θα περιγράψουµε τη διανυσµατική φύση της θέσης, της ταχύτητας, και της επιτάχυνσης µε περισσότερες λεπτοµέρειες. Θα µελετήσουµε την κίνηση

Διαβάστε περισσότερα

Για το Θέμα 1 στα Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου

Για το Θέμα 1 στα Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου Για το Θέμα 1 στα Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου Διαφορικός Λογισμός 1. Ισχύει f (g())) ) f ( = f (g())g () όπου f,g παραγωγίσιµες συναρτήσεις 2. Αν µια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη σε ένα διάστηµα

Διαβάστε περισσότερα

Η ΘΕΩΡΙΑ ΤΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΗΣ

Η ΘΕΩΡΙΑ ΤΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΗΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ ΚΩΣΤΑΣ ΒΕΛΕΝΤΖΑΣ Η ΘΕΩΡΙΑ ΤΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΗΣ. Μερικές έννοιες Η συνάρτηση παραγωγής (, ), όπου είναι το συνολικό προϊόν και και οι συντελεστές

Διαβάστε περισσότερα

11 Το ολοκλήρωµα Riemann

11 Το ολοκλήρωµα Riemann Το ολοκλήρωµα Riem Το πρόβληµα υπολογισµού του εµβαδού οποιασδήποτε επιφάνειας ( όπως κυκλικοί τοµείς, δακτύλιοι και δίσκοι, ελλειπτικοί δίσκοι, παραβολικά και υπερβολικά χωρία κτλ) είναι γνωστό από την

Διαβάστε περισσότερα

ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΟΥ ΣΧΕ ΙΑΣΜΟΥ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ

ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΟΥ ΣΧΕ ΙΑΣΜΟΥ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΟΥ ΣΧΕ ΙΑΣΜΟΥ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΚΑ ΠΡΟΤΥΠΑ ΜΑΘΗΜΑ ΠΡΩΤΟ ΘΕΩΡΙΑΣ-ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ρ. Κουνετάς Η Κωνσταντίνος Ακαδηµαϊκό Έτος 01-013 ΕΠΙΧ Οικονοµετρικά

Διαβάστε περισσότερα

HMY 799 1: Αναγνώριση Συστημάτων

HMY 799 1: Αναγνώριση Συστημάτων HMY 799 : Αναγνώριση Συστημάτων Διάλεξη Γραμμική παλινδρόμηση (Linear regression) Εμπειρική συνάρτηση μεταφοράς Ομαλοποίηση (smoothing) Y ( ) ( ) ω G ω = U ( ω) ω +Δ ω γ ω Δω = ω +Δω W ( ξ ω ) U ( ξ) G(

Διαβάστε περισσότερα

Κίνηση στερεών σωμάτων - περιστροφική

Κίνηση στερεών σωμάτων - περιστροφική Κίνηση στερεών σωμάτων - περιστροφική ΦΥΣ 211 - Διαλ.29 1 q Ενδιαφέρουσα κίνηση: Ø Αρκετά περίπλοκη Ø Δεν καταλήγει σε κίνηση ενός βαθµού ελευθερίας q Τι είναι το στερεό σώµα: Ø Συλλογή υλικών σηµείων

Διαβάστε περισσότερα

εξαρτάται από το θ και για αυτό γράφουµε την σ.π.π. στην εξής µορφή: ( θ, + ) θ θ n 2n (θ,+ ) 1, 0, x θ.

εξαρτάται από το θ και για αυτό γράφουµε την σ.π.π. στην εξής µορφή: ( θ, + ) θ θ n 2n (θ,+ ) 1, 0, x θ. Άσκηση : Έστω Χ,,Χ τυχαίο δείγµα µεγέους από την κατανοµή µε σππ 3 p (,, >, > 0 α είξτε ότι η στατιστική συνάρτηση Τ( Χ : Χ ( m είναι επαρκής για την παράµετρο και πλήρης κ β Βρείτε ΑΕΕ του α Το στήριγµα

Διαβάστε περισσότερα