Αθ.Κεχαγιας. v Λογισµος Συναρτησεων Πολλων Μεταβλητων και ιανυσµατικων Συναρτησεων. Σηµειωσεις : Θ. Κεχαγιας.

Transcript

1 Σηµειωσεις : Λογισµος Συναρτησεων Πολλων Μεταβλητων και ιανυσµατικων Συναρτησεων v..95 Θ. Κεχαγιας Σεπτεµβρης 1

2 Περιεχόµενα Προλογος 1 Οριο και Συνεχεια Θεωρια Λυµενα Προβληµατα Αλυτα Προβληµατα Παραγωγιση 8.1 Θεωρια Λυµενα Προβληµατα Αλυτα Προβληµατα Αλυσωτη και Πεπλεγµενη Παραγωγιση Θεωρια Λυµενα Προβληµατα Αλυτα Προβληµατα Συστηµατα Συντεταγµενων Θεωρια Λυµενα Προβληµατα Αλυτα Προβληµατα Σειρες T aylor και Ακροτατα Συναρτησεων Θεωρια Λυµενα Προβληµατα Αλυτα Προβληµατα ιπλα Ολοκληρωµατα Θεωρια Λυµενα Προβληµατα Αλυτα Προβληµατα Τριπλα Ολοκληρωµατα Θεωρια Λυµενα Προβληµατα Αλυτα Προβληµατα iv i

3 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 8 Καµπυλες και ιανυσµατικες Συναρτησεις Θεωρια Λυµενα Προβληµατα Αλυτα Προβληµατα Επικαµπυλια Ολοκληρωµατα Θεωρια Λυµενα Προβληµατα Αλυτα Προβληµατα Βαθµωτα και ιανυσµατικα Πεδια Θεωρια Λυµενα Προβληµατα Αλυτα Προβληµατα Επιφανειες σε Παραµετρικη Αναπαρασταση Θεωρια Λυµενα Προβληµατα Αλυτα Προβληµατα Επιφανειακα Ολοκληρωµατα Θεωρια Λυµενα Προβληµατα Αλυτα Προβληµατα ii

4 iii

5 Προλογος Το παρον τευχος περιεχει µια συνοψη του λογισµου συναρτησεων πολλων µεταβλητων και διανυσµατικων συναρτησεων, για χρηση των ϕοιτητων της Πολυτεχνικης Σχολης του ΑΠΘ. Το τευχος προοριζεται να χρησιµοποιηθει σε συνδυασµο µε ενα πιο εκτενες διδακτικο ϐιβλιο. Το τευχος υποκειται σε συνεχη αναθεωρηση η παρουσα εκδοση ειναι η v..9 Μαρτιος 1). Ασχολουµαστε µε συναρτησεις της µορφης φ x, y), φ x, y, z), φ x 1, x,..., x N ) κτλ. Η εµφαση δινεται στις συναρτησεις δυο και τριων µεταβλητων. Επισης εξεταζουµε διανυσ- µατικες συναρτησεις, π.χ. F t) ix t)+jy t)+kz t) διαν. συναρτηση µιας ανεξαρτητης µεταβλητης), F x, y, z) ip x, y, z) + jq x, y, z) + kr x, y, z) διαν. συναρτηση τριων ανεξαρτητων µεταβλητων) κτλ. Υπενθυµιζουµε στον αναγνωστη µερικους ϐασικους συµβολισµους της αλγεβρας των διανυσµατων. 1. Τα διανυσµατα συµβολιζονται µε εντονα γραµµατα : u ai+bj+ck ή και u a, b,c).. Τα i, j, k ειναι τα µοναδιαια διανυσµατα κατα τις κατευθυνσεις των αξονων x, y, z αντιστοιχα. 3. Παντοτε ο ορος διανυσµα σηµαινει ελευθερο διανυσµα, δηλ. u a, b,c) σηµαινει το διανυσµα µε συνιστωσες a, b, c αλλα χωρις να προσδιοριζεται το αρχικο και το τελικο σηµειο του διανυσµατος. Ετσι, π.χ., το διανυσµα M 1 M µε αρχη το σηµειο M 1,, ) και τελος το M 1,, 3) ειναι ισοδυναµο µε το διανυσµα N 1 N µε αρχη το N 1 1, 1, 1) και τελος το N, 1, 4) και τα δυο ειναι το ιδιο ακριβως διανυσµα, το u 1, 1, 1). 4. Το εσωτερικο γινοµενο των u ai + bj + ck, v di + ej + fk ειναι u v ai + bj + ck) di + ej + fk) ad + be + cf. 5. Το εξωτερικο γινοµενο των u ai + bj + ck, v di + ej + fk ειναι u v ai + bj + ck) di + ej + fk) i j k a b c bf ce) i + dc af) j + ae db) k. d e f iv

6 6. Το µετρο του u ai + bj + ck ειναι u a + b + c. 7. Γενικοτερα, ενα N-διαστατο διανυσµα ειναι µια N-αδα αριθµων : a a 1, a,...,a N ). Το συνολο των N-διαστατων διανυσµατων ειναι εφοδιασµενο µε τις παρξεις προσ- ϑεσης διανυσµατων) και πολλαπλασιασµου αριθµου επι διανυσµα). 8. Το µετρο N-διαστατου διανυσµατος a a 1, a,...,a N ) ειναι a a a N και το εσωτερικο γινοµενο των a και b ειναι a b N n1 a nb n. Χρησιµοποιουµε τον ορο χωριο στον R για να δηλωσουµε ενα συνολο σηµειων. Π.χ. ενα χωριο ειναι το { x, y) : x + y 1 } δηλ. ο δισκος µε κεντρο το, ) και ακτινα 1. Παροµοια ο ορος χωριο στον R 3 δηλωνει ενα συνολο σηµειων. Π.χ. ενα χωριο ειναι το { x, y, z) : x + y + z 1 } δηλ. η µπαλα µε κεντρο το,, ) και ακτινα 1. Συµβουλευω τον αναγνωστη να λυσει οσο µπορει περισσοτερες απο τις αλυτες ασκησεις του παροντος τευχους. Η ϑεωρια παρουσιαζεται εντελως συνοπτικα, µε µονο σκοπο την υποστηριξη της διαδικασιας επιλυσης. Για τους περισσοτερους απο εµας ο µονος τροπος εκµαθησης των µαθηµατικων ειναι µεσω της επιλυσης ασκησεων. Καλη δουλεια λοιπον! Θανασης Κεχαγιας Θεσσαλονικη, Μαρτης 1 v

7 Κεφάλαιο 1 Οριο και Συνεχεια 1.1 Θεωρια Εστω οτι µας δινεται µια συναρτηση δυο µεταβλητων φ x, y). Λεµε οτι το ο- ϱιο της φ x, y), οταν το σηµειο x, y) τεινει στο x, y ), ειναι το φ o " και γραφουµε lim x,y) x,y ) φ x, y) φ " ) ανν ε > δ > : < x x ) + y y ) < δ φ x, y) φ < ε. 1.1) Το νοηµα της 1.1) ειναι το εξης : µπορουµε να εξασφαλισουµε οτι η διαφορα της µεταβλητης ποσοτητας φ x, y) και τη σταθερης ποσοτητας φ δεν ϑα ειναι µεγαλυτερη κατ απολυτη τιµη) απο ε, αρκει να χρησιµοποιησουµε σηµεια x, y) τα οποια δεν δεν εχουν αποσταση απο την x, y ) µεγαλυτερη απο δ για καθε ε > υπαρχει δ > που εξασφαλιζει αυτη την απαιτηση Προσοχη : µπορει να ισχυει οτι lim x,y) x,y ) x, x φ x, y) lim x, x y, y ) lim φ x, y) y y και µαλιστα υπαρχουν παραδειγµατα οπου ) ) lim lim φ x, y) lim lim φ x, y). y y x, x Λεµε οτι η φ x, y) ειναι συνεχης στο σηµειο x, y ) αν ισχυει lim φ x, y) φ x, y ). x,y) x,y ) Λεµε οτι η φ x, y) ειναι συνεχης στο χωριο R ανν ειναι συνεχης σε καθε σηµειο x, y ) Καθε πολυωνυµο δυο µεταβλητων φ x, y) a + a 1 x + a 1 y + a 11 xy + a x + a y a mn x m y n 1

8 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΟΡΙΟ ΚΑΙ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ειναι συνεχης συναρτηση στο R, δηλ. x, y ) R ισχυει lim φ x, y) φ x, y ). x,y) x,y ) Καθε ϱητη συναρτηση δυο µεταβλητων φ x, y) f x, y) g x, y) οπου f x, y), g x, y) ειναι πολυωνυµα, ειναι συνεχης συναρτηση στο R, δηλ. x, y ) R P ισχυει lim φ x, y) φ x, y ) x,y) x,y ) οπου P ειναι το συνολο των ϱιζων της g x, y) : P {x, y) : g x, y) } Αν οι f x, y), g x, y) ειναι συνεχης στο R τοτε και οι f x, y) + g x, y), f x, y) g x, y), f x, y) g x, y), f x, y) g x, y). ειναι συνεχεις στο R για την fx,y) εξαιρουµε απο το σηµεια µηδενισµου της gx,y) g x, y)) Αν f x) ειναι συνεχης στο R και g x, y) ειναι συνεχης στο R τοτε και η f g x, y)) ειναι συνεχης στο R Αντιστοιχα πραγµατα ισχυουν και για συναρτησεις τριων η περισσοτερων µεταβλητων. Π.χ. lim x,y,z) x,y,z ) φ x, y, z) φ ανν ε > δ > : < x x ) + y y ) + z z ) < δ φ x, y, z) φ < ε και λεµε οτι η φ x, y, z) ειναι συνεχης στο σηµειο x, y, z ) ανν 1. Λυµενα Προβληµατα lim φ x, y, z) φ x, y, z ). x,y,z) x,y,z ) Να αποδειχτει οτι lim x,y) a,b) 3x 3a. Λυση. Αρκει, συµφωνα µε τον ορισµο, να δειξουµε οτι για καθε ε > υπαρχει δ ε) > τετοιο ωστε < x x ) + y y ) < δ 3x 3a < ε. Πραγµατι, ας παρουµε δ ε) ε/3. Τοτε < x a) + y b) < δ ε) ε 3 x a) < ε 3 x a < ε 3x 3a < ε 3 που ηταν το Ϲητουµενο.

9 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΟΡΙΟ ΚΑΙ ΣΥΝΕΧΕΙΑ 3 3x 1... Να αποδειχτει οτι lim y x,y),). x +y Λυση. Πραγµατι, ας παρουµε δ ε) ε/3. Τοτε < x ) + y ) < δ ε) ε 3 y < ε 3 y < ε 3. Εχουµε επισης. Οποτε x x + y < 1 3x y x + y 3 y x x + y < 3ε 3 1 ε 3x y που αποδεικνψυει οτι lim x,y),). x +y x Να αποδειχτει οτι το οριο lim y x,y),) δεν υπαρχει. x +y Λυση. Εαν το Ϲητουµενο οριο υπαρχει, ϑα πρεπει να ειναι ισο µε τα επαναληπτικα ορια x y lim x,y),) x + y lim lim x y x y x + y lim lim x y y x x + y. Αλλα Αρα το Ϲητουµενο οριο δεν υπαρχει. lim lim x y x y x + y lim x x x + 1 lim lim x y y x x + y lim y y + y 1. xy Να αποδειχτει οτι το οριο lim x,y),) δεν υπαρχει. x +y Λυση. Εαν το Ϲητουµενο οριο υπαρχει, ϑα πρεπει να ειναι ισο µε οποιοδηποτε οριο το οποιο παιρνουµε προσεγγιζοντας το, ) κατα µηκος της ευθειας y kx, δηλ. για καθε k ϑα πρεπει να εχουµε lim x,y),) xy x + y lim x,kx),) xy x + y. Αλλα lim x,kx),) Οµως η ποσοτητα υπαρχει. xy x + y lim x,kx),) lim x,kx),) xkx x + k x x k x 1 k ) lim x,kx),) k 1 k ) k 1 k ). k 1 k ) δεν ειναι σταθερη, αρα το Ϲητουµενο οριο lim x,y),) xy x +y δεν Να υπολογιστουν τα ορια

10 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΟΡΙΟ ΚΑΙ ΣΥΝΕΧΕΙΑ 4 1. lim x,y) 1,1) x + xy x + 5y x 3. Ειναι µια πολυωνυµικη συναρτηση, αρα lim x,y) 1,1) x + xy x + 5y x 3 x + xy x + 5y x 3) x,y)1,1) x. lim y x,y) 1,). Το οριο αυτο αποτελειται απο συνεχεις συναρτησεις και ο x +y παρονοµαστης ειναι διαφορος του µηδενος. Οποτε lim x,y) 1,) x y x + y lim x 1,y x 3. lim y x,y. Ο παρονοµαστης αυτου του οριου µηδενιζεται. Εστω y Kx x +y αν x τοτε και y Kx οποτε x y lim x + y lim x K x x x + K x 1 K 1 + K x Το οριο λοιπον εξαρταται απο τον τροπο που x, y), ), αρα το οριο δεν υπαρχει x 4. lim +x y+y x,y 1. Το οριο αποτελειται απο συνεχεις συναρτησεις και ο παρονοx +y µαστης ειναι διαφορος του µηδενος. Οποτε lim x,y),1) x + x y + y lim x + y x,y),1) x 5. lim +x y+y x,y) 1,1). Παροµοια εχουµε lim x +y x 1,y Να υπολογιστουν τα ορια lim x,y) 1,1) sin x + xy x + 5y x 3 ). Η g z) sin z) ειναι συνεχης συναρτηση µιας µεταβλητης. Η g x, y) x + xy x + 5y x 3 ειναι πολυωνυµικη και αρα συνεχης συναρτηση δυο µεταβλητων. Αρα η sin x + xy x + 5y x 3 ) ειναι συνεχης συναρτηση και αρα lim sin x + xy x + 5y x 3) sin x + xy x + 5y x 3) sin 7). x,y) 1,1) x,y)1,1). lim x,y),) e sinx +xy x +5y x 3 ). Η p x, y) sin x + xy x + 5y x 3 ) ειναι συνεχης συναρτηση. Αρα και η e px,y) ειναι συνεχης συναρτηση και lim x,y),) esinx +xy x +5yx3 ) [e sinx +xy x +5yx3 ) ] e sin7).. x,y)1,1)

11 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΟΡΙΟ ΚΑΙ ΣΥΝΕΧΕΙΑ Να υπολογιστει το οριο lim x,y),) x xy. x y Λυση. Εδω ο παρονοµαστης µηδενιζεται στο, ). Ωστοσο παρατηρουµε το εξης x xy x ) xy x + y lim lim x,y),) x y x,y),) x y x + y x x y) lim x + y )) )) lim x x + y. x,y),) x y x,y),) Να υπολογιστει το οριο lim x,y),) x + y 4. x + y Λυση. Εδω ο αριθµητης και παρονοµαστης µηδενιζεται στο, ). Ωστοσο παρατηρουµε το εξης ) x + y 4 x + y 4 x + y + lim lim x + y x + y x + y + x,y),) x,y),) lim x,y),) Να υπολογιστει το οριο Λυση. Εχουµε lim x,y,z),1,) x + y 4) x + y + ) lim x + y 4) lim x,y,z),1,) Να ορισετε την σηµασια του συµβολισµου x + y + z 1. x + yz x + y + z x + yz lim x,y) x,y ) φ x, y) x,y),) x + y + ).. και να την εξηγησετε. Λυση. Κατ αναλογια µε lim x,y) x,y ) φ x, y) φ o R και χρησιµοποιωντας στοιχεια γνωστα απο τα ορια συναρτησεων µιας µεταβλητης) µπορουµε να ορισουµε lim x,y) x,y ) φ x, y) ανν M R δ > : < x x ) + y y ) < δ φ x, y) > M. το οποιο εχει την εξης σηµασια : το οριο της φ x, y) ειναι το οταν το x, y) τεινει στο x, y ) σηµαινει µπορουµε να κανουµε την f x, y) µεγαλυτερη απο καθε πραγµατικο αριθµο M, αρκει το x, y) να µην απεχει απο το x, y ) περισσοτερο απο δ.

12 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΟΡΙΟ ΚΑΙ ΣΥΝΕΧΕΙΑ Σε ποια σηµεια του R ειναι συνεχης η f x, y) x y x 3x+ ; Λυση. Ως ϱητη συναρτηση, η f x, y) ϑα ειναι συνεχης σε καθε x, y ) το οποιο δεν µηδενιζει τον παρονοµαστη. Αρα ϑα ειναι συνεχης στο {x, y) : x / {1, }} Σε ποια σηµεια του R ειναι συνεχης η f x, y) x y x y ; Λυση. Ως ϱητη συναρτηση, η f x, y) ϑα ειναι συνεχης σε καθε x, y ) το οποιο δεν µηδενιζει τον παρονοµαστη. Αρα ϑα ειναι συνεχης στο 1.3 Αλυτα Προβληµατα { x, y) : y x } Να αποδειχτει οτι lim x,y) 1,1) x + y Να αποδειχτει οτι lim x,y) 1,1) xy Να αποδειχτει οτι lim x,y) 1,1) x + y. xy Να αποδειχτει οτι lim x,y) 1,1) x 1. +y xy Να αποδειχτει οτι lim x,y),) x. +y x Να υπολογιστει το οριο lim x,y),) Απ.. x+y Να υπολογιστει το οριο lim x,y) π/,π/) sin x + y) Απ.. sinx Να υπολογιστει το οριο lim +y ) x,y),) x +y Απ. 1. x Να υπολογιστει το οριο lim 4 y 4 x,y),) Απ.. x +y. x Να υπολογιστει το οριο lim x,y),) Απ. εν υπαρχει. x+y x Να υπολογιστει το οριο lim +y x,y),) Απ Να υπολογιστει το οριο lim x,y),) Απ.. x +y +1 1 x y +1 1 x +y Να υπολογιστει το οριο lim x,y),) sinx +y ) x +y Απ. 1.

13 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΟΡΙΟ ΚΑΙ ΣΥΝΕΧΕΙΑ 7 x+y Να υπολογιστει το οριο lim x,y),) x y Απ. εν υπαρχει Απο την γραφικη παρασταση της συναρτησης f x, y) x+y x y lim x,y) 1,) f x, y). ϐρειτε το οριο Απο την γραφικη παρασταση της συναρτησης f x, y) x+y δειξτε οτι το οριο x y lim x,y),) δεν υπαρχει. Σε ποια αλλα σηµεια του R ϕαινεται να µην εχει οριο η συναρτηση ; ινεται η συναρτηση φ x, y) sinx+y) αυτη συνεχης στο, ); Απ. Ναι. x+y ινεται η συναρτηση φ x, y) x y αυτη συνεχης στο, ); Απ. Ναι. x +y ινεται η συναρτηση φ x, y) xy αυτη συνεχης στο, ); Απ. Οχι. x +y ινεται η συναρτηση φ x, y) x4 y 4 αυτη συνεχης στο, ); Απ. Οχι. x 4 +y Να δειχτει οτι lim x,y),). x ινεται η συναρτηση φ x, y) x4 y 4 αυτη συνεχης στο, ); Απ. Οχι. x 4 +y 4 x Να υπολογιστει το οριο lim x,y,z) 1,1,1) Απ. 1/3. για x, y), ) και φ, ) 1. Ειναι για x, y), ) και φ, ). Ειναι για x, y), ) και φ, ) 1. Ειναι για x, y), ) και φ, ) 1. Ειναι για x, y), ) και φ, ) 1. Ειναι x+y+z x Να υπολογιστει το οριο lim x,y,z),,) Απ.. x+y+z xy+yz+zx Να υπολογιστει το οριο lim x,y,z),,) x +y +z Απ. εν υπαρχει.

14 Κεφάλαιο Παραγωγιση.1 Θεωρια.1.1. Η µερικη παραγωγος της φ x, y) ως προς x συµβολιζεται µε φ x ή και µε φ x και οριζεται ως εξης φ x lim φ x + x, y) φ x, y). x x ηλ. η φ ειναι η παραγωγος της φ x, y) ως προς x, αν ϑεωρησουµε την µεταβλητη y x σταθερη. Οµοια συµβολιζουµε την µερικη παραγωγο της φ x, y) ως προς y µε φ y ή φ y και την οριζουµε ως εξης φ y lim y φ x, y + y, z) φ x, y, z). y.1.. Οριζουµε τις µερικες παραγωγους ανωτερης ταξης µε αντιστοιχο τροπο. Π.χ. φ xx φ x ) φ, φ yx φ x x y x ) φ x y φ yy φ y ) φ, φ xy φ y y x y ) φ. y x.1.3. Αντιστοιχα πραγµατα ισχυουν και για συναρτησεις τριων η περισσοτερων µεταβλητων. Π.χ. η φ x, y, z) εχει µερικες παραγωγους πρωτης ταξης φ x, φ y, φ z η φ x 1, x,..., x N ) εχει τις φ φ x 1,..., κτλ. x N.1.4. Επισης ϑα χρησιµοποιησουµε τον συµβολισµο των διαφορικων τελεστων. Ετσι, x φ φ x, y φ φ y, xx xφ φ xx, x y φ φ xy κτλ Οταν οι µεταβλητες x, y υφιστανται µικρες µεταβολες, x, y, τοτε η συναρτηση φ x, y) µεταβαλλεται προσεγγιστικα κατα φ φ x + x, y + y) φ x, y) φ φ x + x y y. Στο οριο x, y εχουµε µεταβολη ιση µε το διαφορικο της φ x, y) που ειναι dφ φ φ dx + x y dy. 8

15 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗ Μπορουµε να συνδυασουµε ολες τις µερικες παραγωγους της φ x, y) σε µια διανυσµατικη παραγωγο. Η κλιση της φ x, y), συµβολιζεται gradφ και οριζεται ως εξησ: gradφ i φ x + j φ y Αντιστοιχα, µπορουµε να συνδυασουµε ολες τις µερικες παραγωγους της φ x, y, z) σε µια διανυσµατικη παραγωγο, την κλιση της φ x, y, z), που συµβολιζεται gradφ και οριζεται ως εξης : gradφ i φ x + j φ y + k φ z Ο τελεστης αναδελτα συµβολιζεται µε και οριζεται ως εξης : i x + +j για συναρτησεις δυο µεταβλητων και y i x + j y + k για συναρτησεις τριων µεταβλητων z.1.9. Τοτε η κλιση της φ µπορει να γραφτει gradφ φ.1.1. Επισης το διαφορικο της φ µπορει να γραφτει στην µορφη dφ φ dr οπου, για συναρτησεις δυο µεταβλητων, εχουµε r ix + jy και dr idx + jdy για συναρτησεις τριων µεταβλητων εχοψυµε r ix + jy + kz και dr idx + jdy + kdz). ηλ. το r ειναι το διανυσµα ϑεσης Η κλιση εχει ιδιοτητες παροµοιες µε αυτες της συνηθους παραγωγου. Π.χ. ισχυει οτι φψ) φ) ψ + φ ψ) Γεωµετρικα, η φ δινει τον ϱυθµο µεταβολης της φ x, y) οταν το διανυσµα x, y) x µεταβαλλεται κατα την κατευθυνση x. φ x lim r φ x+ x, y) φ. x Αντιστοιχα πραγµατα ισχυουν για τις φ y, φ z κ.τ.λ Αν τωρα τα x, y µεταβαλλονται ταυτοχρονως κατα την κατευθυνση του διανυσ- µατος v ia + jb, τοτε ο ϱυθµος µεταβολης δηλ.η παραγωγος) της φ x, y)) κατα την κατευθυνση v ειναι και δινεται απο την σχεση dφ dv lim φ x + a s, y + b s) φ x, y) s s dφ dv φ v v..1)

16 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗ Η κατευθυνση κατα την οποια µεγιστοποιειται η dφ φ ειναι η φ και οταν v dv τοτε εχουµε dφ dv φ Εστω οτι οριζεται µια επιφανεια στην πεπλεγµενη µορφη φ x, y, z). Τοτε ενα καθετο διανυσµα στην επιφανεια, στο σηµειο x, y o, z ), ειναι το φ x,y,z)x,y o,z ). Η καθετη ευθεια στην επιφανεια, στο σηµειο x, y o, z ), εχει εξισωση x x φ x x, y, z ) y y φ y x, y, z ) z z φ z x, y, z ). Το δε εφαπτοµενο επιπεδο στην επιφανεια, στο σηµειο x, y o, z ), εχει εξισωση φ x x, y, z ) x x ) + φ y x, y, z ) y y ) + φ z x, y, z ) z z ) Η Λαπλασιανη της φ x, y) οριζεται ως και της φ x, y, z) οριζεται ως. Λυµενα Προβληµατα φ φ x + φ y φ φ x + φ y + φ z...1. Να υπολογιστουν οι µερικες παραγωγοι πρωτης ταξης της φ x, y) x e y+x3. Λυση. Εχουµε x x e y+x3 ) xe y+x3 + x e y+x3 x 3 ) xe y+x3 + 3x 4 e y+x3 y x e y+x3 ) x e y+x3 y) x e y+x3... Να υπολογιστουν οι µερικες παραγωγοι πρωτης ταξης της φ x, y) 1 Λυση. Εχουµε φ x 1 y + x 3 ) y + x3 ) 3x y + x 3 ) φ y 1 1 y) y + x 3) y + x 3) y+x 3 φ

17 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗ Υπολογιστε τις µερικες παραγωγους πρωτης και δευτερης ταξης της φ x, y) x 3 + xy + y 3 + 4x. Λυση. Για τις πρωτης ταξης παραγωγους εχουµε x x 3 + xy + y 3 + 4x ) 3x + 8x + y y x 3 + xy + y 3 + 4x ) 3y + x Για τις δευτερης ταξης παραγωγους εχουµε : xx x 3 + xy + y 3 + 4x ) x x x 3 + xy + y 3 + 4x )) x 3x + 8x + y ) 6x + 8 yy x 3 + xy + y 3 + 4x ) y y x 3 + xy + y 3 + 4x )) 6y xy x 3 + xy + y 3 + 4x ) y x x 3 + xy + y 3 + 4x )) 1 yx x 3 + xy + y 3 + 4x ) x y x 3 + xy + y 3 + 4x )) 1 Παρατηρουµε οτι xy x 3 + xy + y 3 + 4x ) yx x 3 + xy + y 3 + 4x )...4. Υπολογιστε τις µερικες παραγωγους φ x, φ y, φ xx, φ yy, φ xy της φ x, y) x sin x + y). x x sin x + y) ) x sin x + y) + x cos x + y), y x sin x + y) ) x cos x + y) xx x sin x + y) ) x x sin x + y) + x cos x + y) ) sin x + y) + 4x cos x + y) x sin x + y) yy x sin x + y) ) y x cos x + y) ) x sin x + y) xy x sin x + y) ) y x sin x + y) + x cos x + y) ) x cos x + y) x sin x + y) yx x sin x + y) ) x x cos x + y) ) x cos x + y) x sin x + y)..5. Υπολογιστε το το διαφορικο της φ x, y) x + y Λυση. Εχουµε dφ φ φ dx + dy dx + dy. x y..6. Υπολογιστε το το διαφορικο της φ x, y) x + y 3 Λυση. Εχουµε dφ φ φ dx + x y dy xdx + 3y dy...7. Υπολογιστε το το διαφορικο της φ x, y, z) x + y 3 + z 4 Λυση. Εχουµε dφ φ φ φ dx + dy + x y z dz xdx + 3y dy + 4z 3 dz...8. Υπολογιστε το το διαφορικο της φ x, y, z) sin x + y + z 3 ) Λυση. Εχουµε dφ φ φ φ dx + dy + x y z dz sin y + z 3 + x ) dx y sin y + z 3 + x ) dy 3z sin y + z 3 + x ) dz.

18 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗ Να υπολογιστει το φ και το dφ στο x, y) x, y ) για φ x, y) x 3 + y, x, y ) 1, 1) και α) για x.1, y.1 ϐ) για x.1, y.1. Λυση. Εχουµε dφ φ φ dx + x y dy 3x dx + ydy. Αυτο το αποτελεσµα ειναι το ιδιο για τις περιπτωσεις α) και ϐ). Τωρα, στην περιπτωση α) εχουµε x y.1 και φ φ x + x, y + y) φ x, y ) ) ).541. Στην περιπτωση ϐ) εχουµε x y.1 και φ φ x + x, y + y) φ x, y ) ) ).54. Η προσεγγιση µε το διαφορικο δινει dφ x.1, y.1) 3x x + y y Βλεπουµε λοιπον οτι, οταν τα x, y ειναι µικροτερα, η προσεγγιση του φ απο το dφ ειναι καλυτερη εχει µικροτερο σφαλµα)...1. Να υπολογιστει το φ και το dφ στο x, y) x, y ) για φ x, y) sin x + y), x, y ), ), x.1, y. Λυση. Εχουµε φ sin.1 +.) sin. +.) dφ cos x + y) x + cos x + y) y cos ).1 + cos ) Να υπολογιστει η κλιση των παρακατω συναρτησεων. 1. grad φ για φ x + y 3. Εδω ειναι. grad φ για φ x y 3 z. Εδω ειναι grad φ φ x i + φ y j xi + 3y j. grad φ φ x i + φ y j + φ z k xy3 zi + 3xy zj + x y k. 3. grad φ για φ x e y+x3. Εδω ειναι grad φ φ x i + φ y j + 3x 4 e xey+x3 y+x3 )i + x e y+x3 )j 4. grad φ για φ x ye zy. Εδω ειναι grad φ φ x i + φ y j + φ z k xyezy )i + x e zy + x ye zy )j + x ye zy )k

19 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗ grad φ για φ 1. Εδω ειναι y+x 3 grad φ φ x i+ φ y j [ 1 1 3x y + x 3 ) x3 ) ]i+[ y) ]j y + x 3 ) y + x 3 ) i 1 y + x 3 ) j..1. Να ϐρεθει η κλιση φ και να υπολογιστει η τιµη της στο σηµειο x, y), 3) για φ x, y) y sin x + x y ) ) Λυση. Εχουµε φ x, y) i y cos x + 1 +j sin x xy και φ, 3) i 3 cos + y 3) 1 + j sin 9) Να ϐρεθει η κλιση φ και να υπολογιστει η τιµη της στο σηµειο x, y, z) 1, 1, 1) για φ x, y, z) x y 3 z Λυση. Εχουµε ηδη υπολογισει οτι φ ixy 3 z + j3x y z + kx y 3. Στο 1, 1, 1) ϑα ειναι φ 1, 1, 1) i + j3 + k. Απ. 6 cos x + y + z ) 4 sin x + y + z )) x 4 sin x + y + z )) y 4 sin x + y + z )) z ) Αποδειξτε οτι dφ φ dr. Λυση. Πραγµατι, αν φ i φ + j φ και dr idx + jdy, τοτε το εσωτερικο γινοµενο x y ειναι φ dr φ φ dx + dy dφ. x y Αναλογη ειναι αποδειξη οταν η φ ειναι συναρτηση τριων µεταβλητων Αν c ειναι σταθερο διανυσµα, να δειχτει οτι c r) c Λυση. Πραγµατι, αν r ix + jy και c ai + bj, τοτε c r) ax + by) i x ax + by) + j y ax + by) ai + bj c ινονται παραγωγισιµες συναρτησεις P x, y), Q x, y). Να δειχτει οτι φ : P x, y) dx + Q x, y) dy dφ) P y Q x..18. Λυση. Εστω οτι υπαρχει φ τετοια ωστε P x, y) dx + Q x, y) dy dφ. Οµως, για καθε dx, dy, ισχυει και οτι Αρα ϑα εχουµε οποτε εχουµε dφ φ φ dx + x y dy P φ x και Q φ y P y φ y x φ x y φ y x φ x y Q x.

20 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗ Να υπολογιστει η παραγωγος της φ xy στο σηµειο A1, ) και κατα την κατευ- ϑυνση n 3i + 4j Λυση. Το n εχει µετρο n Οποτε n i + ) j + και µοναδιαιο διανυσµα n o 8,,. n Επισης φ φ, φ, φ x y z ) xy, yx, sin z) και φ 1,1,,, ). Οποτε dφ dn φx o, y o, z o ) n o,, ),, ) Να υπολογιστει η παραγωγος της φ y x +cos z στο σηµειο A1, 1, ) και κατα την κατευθυνση n i + j+k. Λυση. Το n εχει µετρο n Οποτε n n 3 5 i j και µοναδιαιο διανυσµα n o 3 5, 4 5 ). Επισης φ i φ + j φ iy + jx x y και φ 1,, 1). Οποτε dφ dn φx o, y o ) n o, 1) 3 5, 4 5 ) Υπολογιστε την παραγωγο κατα κατευθυνση της φ xyz στο σηµειο 1,, 3) και κατα την κατευθυνση προς το σηµειο, 3, ). Λυση. Εχουµε φx, y, z) iyz + jxz + kxy και φ1,, 3) 6i + 3j + k. Επισης το διανυσµα απο το A 5, 1, ) προς το B 9, 4, 14) ειναι AB n i 1) + j 3 ) + k 3) i + j k και το µοναδιαιο διανυσµα ειναι n 1 i + 1 j 1 k Οποτε η παραγωγος ειναι dφ dn ) 7 13.

21 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗ Υπολογιστε την παραγωγο κατα κατευθυνση της u x + y + z στο σηµειο 1, 1, 1) και κατα την κατευθυνση προς το σηµειο, 1, 1). Λυση. Εχουµε φx, y, z) ix + jy + kz και φ1, 1, 1) i + j + k. Επισης το διανυσµα απο το A 1, 1, 1) προς το B, 1, 1) ειναι AB n i 1) + j 1 1) + k 1 1) i το οποιο ειναι µοναδιαιο : n n. Οποτε η παραγωγος ειναι Αυτη ειναι η φ x 1, 1, 1) γιατι ;). dφ ). dn..3. Υπολογιστε την παραγωγο κατα κατευθυνση της φ 1 1 σε τυχον r x +y +z σηµειο και κατα την κατευθυνση φ. Λυση. Με αλλα λογια το Ϲητουµενο ειναι το µετρο φ γιατι ;). Εχουµε δε φ οποτε η Ϲητουµενη παραγωγος ειναι x x + y + z ) i + y x + y + z ) j + z x + y + z ) k 4x +4y +4z x +y +z ) 4 dφ dn φ 4x + 4y + 4z x + y + z ) 4 x + y + z ) 3/ r Να υπολογιστει το εφαπτοµενο επιπεδο και η καθετη ευθεια, στην επιφανεια x + y z στο σηµειο 3, 1, ). Λυση. Στο τυχον σηµειο x, y, z) η επιφανεια εχει καθετο διανυσµα n iφ x + jφ y + kφ z ix + j4y k. και στο σηµειο 3, 1, ) εχει καθετο διανυσµα n 1 6i + 4j k. Οποτε η καθετη υθεια εχει εξισωσεις x 3 y 1 z και το εφαπτοµενο επιπεδο εχει εξισωση 6 x 3) + 4 y 1) z ) δηλ. 6x + 4y z.

22 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗ Να υπολογιστει το εφαπτοµενο επιπεδο και η καθετη ευθεια, στην επιφανεια xyz a 3 στο σηµειο x, y, z ). Λυση. Στο τυχον σηµειο x, y, z ) η επιφανεια εχει καθετο διανυσµα Οποτε η καθετη υθεια εχει εξισωσεις και το εφαπτοµενο επιπεδο εχει εξισωση δηλ. ή και n iφ x + jφ y + kφ z iy z + jx z +kx y. x x y y z z. y z x z x y y z x x ) + x z y y ) + x y z z ) xy z + yx z + zx z 3x y z xy z + yx z + zx z 3a 3 αφου x, y, z ) ειναι σηµειο της επιφανειας ϑα ικανοποιει την εξισωση xyz a 3 )...6. Να υπολογιστει το εφαπτοµενο επιπεδο και η καθετη ευθεια, στην επιφανεια x + y + z 1 στο σηµειο 1, 1, ). a b c Λυση. Στο τυχον σηµειο x, y, z) η επιφανεια εχει καθετο διανυσµα n iφ x + jφ y + kφ z i x a + jy b +kz c. και στο σηµειο 1, 1, ) εχει καθετο διανυσµα Οποτε η καθετη ευθεια εχει εξισωσεις n 1 i a + j b +k 4 c. x 1 /a y 1 /b z 4/c. και το εφαπτοµενο επιπεδο εχει εξισωση δηλ. a x 1) + b y 1) + 4 z ) c x a + y b + 4z c a + b + 8 ). c..7. Να υπολογιστει η Λαπλασιανη των παρακατω συναρτησεων.

23 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗ φ για φ x e y+x3. Εδω ειναι φ x φ x ) + y φ y ) x xey+x3 + 3x 4 e y+x3 ) + y x e y+x3 ) e y+x3 + 6x 3 e y+x3 + 1x 3 e y+x3 + 9x 6 e y+x3 + x e y+x3. φ για φ e x+y+z3. Εδω ειναι φ x ex+y+z3 3. φ για φ 1, οποτε y+x 3 ) + y yex+y+z3 ) + z 3z e x+y+z3 ) e x+y+z3 + e x+y+z3 + 4y e x+y+z3 + 6ze x+y+z3 + 9z 4 e x+y+z3 3e x+y+z3 + 4y e x+y+z3 + 6ze x+y+z3 + 9z 4 e x+y+z3 φ x φ x ) + y φ y ) x 3x y + x 3 ) ) + y 1 ) y + x 3) 6x y + x 3 + 6x y + x 3 )3x + y + x3 )3x y + x 3)4 y + x 3 ) 4 6y + x3 ) + 18xy + x 3 ) + 6x y + x 3 ) 6y + x3 ) + 18x 4 + 6x y + x 3 ) 4 y + x 3 ) φ για φ, οποτε x+y +z 3 φ x φ x ) + y φ y ) + z φ z ) x 1 x + y + z 3 ) ) + y y x + y + z 3 ) ) + z 3z x + y + z 3 ) ) x + y + z 3 ) x + y + z 3 ) 3 x + y + z 3 ) + 8y x + y + z 3 ) 6zx + y + z 3 ) 4 x + y + z 3 ) 4 x + y + z 3 ) + 18z4 x + y + z 3 ) 4 x + y + z 3 ) 4 x + y + z 3 ) 3 x + y + z 3 ) + 8y x + y + z 3 ) 6z 3 x + y + z 3 ) + 18z 4 3 x + y + z 3 ) 3.3 Αλυτα Προβληµατα.3.1. Υπολογιστε τις µερικες παραγωγους φ x, φ y, φ xx, φ yy, φ xy της φ x, y) x + xy + y 3 + 4x. Απ. x + y + 4, 3y + x,, 6y,..3.. Υπολογιστε τις µερικες παραγωγους φ x, φ y, φ xx, φ yy, φ xy της φ x, y) x sin x + y). Απ. x sin x + y) + x cos x + y), x cos x + y), sin x + y) + 4x cos x + y) x sin x + y), x sin x + y), x cos x + y) x sin x + y).

24 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗ Υπολογιστε τις µερικες παραγωγους φ x, φ y, φ xx, φ yy, φ xy της φ x, y) x+y Απ. x sin x + y) xy Υπολογιστε τις µερικες παραγωγους φ x, φ y, φ xx, φ yy, φ xy της φ x, y) x sin x + y). Απ. 1 y + 1), 1 x y + 1), y x + 1), x + 1), x+y). xy 1) xy 1) xy 1) 3 xy 1) 3 xy 1) Υπολογιστε τις µερικες παραγωγους φ x, φ y, φ z, φ yy, φ xy της φ x, y, z) x 3 yz + y z 3 + cos xyz). Απ. yz sin xyz 3x ), x 3 z + yz 3 xz sin xyz, x 3 y + 3y z xy sin xyz Υπολογιστε τις µερικες παραγωγους φ x, φ y, φ z, φ yy, φ xy της φ x, y, z) ze sinx+y). Απ. z cos x + y)) e sinx+y), z cos x + y)) e sinx+y), e sinx+y) Υπολογιστε την µερικη παραγωγο φ dφ και την ολικη παραγωγο αν φ x, y) x dx x + y και y x) x 3. Απ. φ dφ x, x + x dx 6x Υπολογιστε το διαφορικο της φ x, y) x sin x + y). Απ. dφ x sin x + y) + x cos x + y)) dx + x cos x + y) dy Υπολογιστε το το διαφορικο της φ x, y) x 3 y + x y. Απ. dφ 3x y + xy ) dx + x 3 + yx ) dy Υπολογιστε το το διαφορικο της φ x, y, z) x + y + z Απ. dφ dx + dy + dz Υπολογιστε το το διαφορικο της φ x, y, z) x y 3 z 4 Απ. dφ xy 3 z 4 dx + 3x y z 4 dy + 4x y 3 z 3 dz Υπολογιστε το το διαφορικο της φ x, y, z) cos x + y + z 3 ) Απ. dφ sin y + z 3 + x) dx y sin y + z 3 + x) dy 3z sin y + z 3 + x) dz Να υπολογιστει το φ και το dφ στο x, y) x, y ) για φ x, y) x y, x, y ) 1, 1), x.1, y.1 Απ. φ.464, dφ Να υπολογιστει το φ και το dφ στο x, y) x, y ) για φ x, y) sin x + y ), x, y ), ), x.1, y.1 Απ. φ , dφ Να ϐρεθει η κλιση φ και να υπολογιστει η τιµη της στο σηµειο x, y, z) 1, 1, 1) για φ x, y, z) x y 3 z Απ. ixy 3 z + j3x y z + kx y 3 και i + j3 + k Να ϐρεθει η κλιση φ και να υπολογιστει η τιµη της στο σηµειο x, y, z) 1, 1, 1) για φ x, y, z) yz sin x + ) x ln z y ) ) Απ. i yz cos x + 1y ln z + j z sin x x ln z + k y sin x + x και i cos 1 + j sin 1 + y yz k sin 1 + 1).

25 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗ Να ϐρεθει η κλιση φ και να υπολογιστει η τιµη της στο σηµειο x, y, z) 1 1, 1, 1) για φ x, y, z). x +y +z y x z Απ. i j k και i j k x +y +z ) x +y +z ) x +y +z ) Να ϐρεθει η κλιση φ και να υπολογιστει η τιµη της στο σηµειο x, y, z) 1, 1, 1) για φ x, y, z) ln x + y + z ) x y z Απ. i + j + k και i + j + k x +y +z x +y +z x +y +z ) ινεται η φ x, y, z) x + xyz 3 + y z. Να υπολογιστει η φ. Απ. + 4z + 6xyz..3.. ινεται η φ x, y, z) sin x + y + z ). Να υπολογιστει η φ. Απ. 6 cos x + y + z ) 4 sin x + y + z )) x 4 sin x + y + z )) y 4 sin x + y + z )) z ) Να ϐρεθει η παραγωγος της φ x, y, z) x + y + z κατα την κατευθυνση i + j k στο σηµειο 1, 3, ). Απ Υπολογιστε την παραγωγο κατα κατευθυνση της z x 3 3x y + 3xy στο σηµειο 3, 1) και κατα την κατευθυνση προς το σηµειο 6, 5). Απ Υπολογιστε την παραγωγο κατα κατευθυνση της z tan 1 xy) στο σηµειο 1, 1) και κατα την κατευθυνση i + j. Απ Υπολογιστε την παραγωγο κατα κατευθυνση της z x y xy 3 3y 1 στο σηµειο, 1) και κατα την κατευθυνση που οδηγει στο, ). Απ Υπολογιστε την παραγωγο κατα κατευθυνση της z ln e x + e y ) στο σηµειο, ) και κατα την κατευθυνση του διανυσµατος που σχηµατιζει γωνια φ µε τον αξονα των x. cos φ+sin φ Απ Να ϐρεθει η παραγωγος της u x, y, z) xyz κατα την κατευθυνση i j k στο σηµειο 1, 3, ). Απ Υπολογιστε την παραγωγο κατα κατευθυνση της u xy + z 3 xyz στο σηµειο 1, 1, ) και κατα την κατευθυνση που σχηµατιζει µε τους αξονες γωνιες π/3, π/4, π/3. Απ Υπολογιστε την παραγωγο κατα κατευθυνση της u xyz στο σηµειο 5, 1, ) και κατα την κατευθυνση προς το σηµειο 9, 4, 14). Απ Υπολογιστε την παραγωγο κατα κατευθυνση της u x y z στο σηµειο 1, 1, 3) και κατα την κατευθυνση προς το σηµειο, 1, 1). Απ..

26 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗ.3.3. Υπολογιστε την παραγωγο κατα κατευθυνση της u 1 r 1 σηµειο και κατα την κατευθυνση u. 1 Απ. r. x +y +z σε τυχον Να υπολογιστει το εφαπτοµενο επιπεδο στην επιφανεια z x + y στο σηµειο 1, 1, 3). Απ. x + 4y z Να υπολογιστει το εφαπτοµενο επιπεδο στην επιφανεια xy z στο σηµειο x, y, z ). Απ. xy + yx zz Να υπολογιστει το εφαπτοµενο επιπεδο στην επιφανεια xyz a 3 στο σηµειο x, y, z ). Απ. xy z + yx z + zx z 3a Να υπολογιστει το εφαπτοµενο επιπεδο στην επιφανεια z c σηµειο x, y, z ). Απ. zz xx c + yy 1. a b ) x Να δειχτει οτι αν F, z, τοτε x z + y z y y x y z. x + y a b Να δειχτει οτι αν F x + y z, x + y ), τοτε x z y z x x y y. ) Να δειχτει οτι 1. r Να δειχτει οτι 1 ). r r Να δειχτει οτι φψ) ψ φ + φ ψ + φ ψ Αν c ειναι σταθερο διανυσµα, να δειχτει οτι c r) c. 1 στο ινονται παραγωγισιµες συναρτησεις P x, y, z), Q x, y, z), R x, y, z). Να δειχτει οτι P Q y x Q φ : P x, y, z) dx + Q x, y, z) dy + R x, y, z) dz dφ) R. z y R P z z.3.4. Μια συναρτηση φ λεγεται αρµονικη ανν φ. ειξτε οτι οι παρακατ συναρτησεις ειναι αρµονικες. 1. φ x, y) ln x + y.. φ x, y, z) 1 x +y +z. 3. φ x, y, z) x x +y +z ) 3/. ) 4. φ x, y, z) ln x + y + z + z 5. φ x, y, z) x x +y ως συναρτηση τριων µεταβλητων!).

27 Κεφάλαιο 3 Αλυσωτη και Πεπλεγµενη Παραγωγιση 3.1 Θεωρια ινεται συναρτηση φ x, y) και υποθετουµε οτι οι x, y ειναι συναρτησεις µιας αλλης µεταβλητης t: x t), y t). Τοτε και η φ ειναι συναρτηση της t: φ x t), y t)). Η παραγωγος της φ ως προς t λεγεται ολικη παραγωγος και ειναι η και dφ dt φ dx x dt + φ dy y dt dφ dt φ i dx ) dt + jdy. dt Παροµοια, για συναρτησεις φ x, y, z) και x t), y t), z t) εχουµε dφ dt φ dx x dt + φ dy y dt + φ dz z dt dφ dt φ i dx ) dt + jdy dt + kdz. dt 3.1) Παροµοια, εστω οτι δινεται συναρτηση φ x, y) και υποθετουµε οτι οι x, y ειναι συναρτησεις αλλων µεταβλητων u, v: x u, v), y u, v). Τοτε φ u φ x x u + φ y y u, η και µε συµβολισµο πινακων) φ [ u φ x φ y ] [ x u y u ], φ v φ x x v + φ y y v, 3.) φ [ v φ x φ y ] [ x Παροµοια, εστω οτι δινεται συναρτηση φ x, y, z) και υποθετουµε οτι οι x, y, z ειναι συναρτησεις αλλων µεταβλητων u, v: x u, v), y u, v), z u, v). Τοτε v y v ]. φ u φ x x u + φ y y u + φ z z u, φ v φ x x v + φ y y v + φ z z v, 3.3) 1

28 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΑΛΥΣΩΤΗ ΚΑΙ ΠΕΠΛΕΓΜΕΝΗ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗ η και φ [ u φ x φ y φ z ] x u y u z u, φ [ v φ x Παροµοια, εστω οτι δινονται συναρτησεις P x, y),q x, y) και υποθετουµε οτι οι x, y ειναι συναρτησεις αλλων µεταβλητων u, v: x u, v), y u, v). Τοτε P u P x x u + P y y u, P v P x x v + P y y v, φ y φ z ] x v y v φ z. Q u Q x x u + Q y y u, 3.4) Q v Q x x v + Q y y v 3.5) Οι παραπανω σχεσεις µπορουν να γραφτουν και µε συµβολισµο πινακων. [ P ] [ ] P P [ x ] [ P ] [ ] P P [ x ] u x y u, v x y v. Q u Q x Q y y u Αντιστοιχα πραγµατα ισχυουν για συναρτησεις P x, y, z),q x, y, z),r x, y, z) και x u, v, w), y u, v, w). Τοτε P u Q u R u P v Q v R v P w Q w R w P x Q x R x P x Q x R x P x Q x R x P y Q y R y P y Q y R y P y Q y R y Q v P z Q z R z P z Q z R z P z Q z R z Εστω οτι P u, v) και Q u, v) εχουν µερικες παραγωγους πρωτης ταξης. Οριζουµε την Ιακωβιανη οριζουσα P, Q) P P u, v) x y Q Q P u P v Q u Q v P uq v P v Q u. x y Εστω οτι P u, v, w), Q u, v, w) και R u, v, w) εχουν µερικες παραγωγους πρωτης ταξης. Οριζουµε την Ιακωβιανη οριζουσα P, Q, R) u, v, w) P u P v P w Q u Q v Q w R u R v R w. x u y u z u x v y v z v x w y w z w Q x,,. Q y y v

29 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΑΛΥΣΩΤΗ ΚΑΙ ΠΕΠΛΕΓΜΕΝΗ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗ Μια ή περισσοτερες συναρτησεις µπορουν να οριστουν εµµεσα. Π.χ. η φ x, y, z) οριζει την z ως συναρτηση των x και y. Τοτε µπορουµε να υπολογισουµε τις z x και z y z x φ x, φ z z x φ y. φ z Παροµοια, µπορει να µας δινονται δυο εξισωσεις της µορφης P x, y, u, v), Q x, y, u, v). 3.6) Κατω απο καταλληλες συνθηκες παραγωγισιµοτητας και συνεχειας), η 3.6) προσδιοριζει τις συναρτησεις u x, y), v x, y) ή, αντιστροφα, τις x u, v), y u, v)). Τοτε µπορουµε να υπολογισουµε τις µερικες παραγωγους u x, u x, u x, u, χωρις να χρειαστει να λυσουµε τις x εξισωσεις 3.6), ως εξησ: u x P,Q) x,v) P,Q) u,v), u y P,Q) y,v) P,Q) u,v), v x P,Q) u,x) P,Q) u,v) Αντιστοιχα πραγµατα ισχυουν αν µας δοθουν τρεις εξισωσεις, v y P,Q) u,y) P,Q) u,v) P x, y, u, v, w), Q x, y, u, v, w), R x, y, u, v, w). Τοτε, κατω απο καταλληλες συνθηκες, εχουµε u x P,Q,R) x,v,w) P,Q,R) u,v,w), v x και µε αντιστιχο τροπο υπολογιζονται οι u, v y y P,Q,R) u,x,w) P,Q,R) u,v,w),,... κτλ. w x P,Q,R) u,v,x) P,Q,R) u,v,w) Ο κανονας της αλυσσωτης παραγωγοσης ισχυει και για τις Ιακωβιανες, µε την εξης εννοια : x, y) x, y) u, v) r, s) u, v) r, s), x, y, z) x, y, z) u, v, w) r, s, t) u, v, w) r, s, t) 3. Λυµενα Προβληµατα. κ.τ.λ Να υπολογιστει η ολικη παραγωγος της φ x, y) x 3 + y 3 ως προς t, οταν x t) t και y t) t t +1. Λυση. Εχουµε dφ dt φ dx x dt + φ y dy dt 3x 1 + 3y t t + 1) 3t + 3 t t + 1 t t + 1) t6 + 3t 4 + 3t + t + 1) 3t t + 1) 3.

30 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΑΛΥΣΩΤΗ ΚΑΙ ΠΕΠΛΕΓΜΕΝΗ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗ Να υπολογιστει η η ολικη παραγωγος της φ x, y) u + v, u sin t, v cos t. Λυση. Εχουµε dφ dt φ du u dt + φ dv u cos t v sin t sin t cos t cos t sin t v dt που ηταν αναµενοµενο, αφου φ u + v sin t + cos t Να υπολογιστει η ολικη παραγωγος της φ x, y, z) sin x + y + z ) ως προς t, οταν x t) t, y t) cos t και z t) e t. Λυση. Εχουµε dφ dt φ du u dt + φ dv v dt + φ dv v dt cos x + y + z ) x 1 y sin t + z e t) cos t + cos t + e t) t cos t sin t + e t) Να υπολογιστουν οι µερικες παραγωγοι φ u, φ v της φ x, y) x 3 + y 3, οταν x u, v) u + v και y u, v) uv. Λυση. Εχουµε [ ] [ ] x φ u φ φ u x y y [ 3x 3y ] [ ] 1 v φ v u 3x + 3y v 3 u + v) + 3u v 3 [ φ x φ y ] [ ] x [ 3x 3y ] [ ] 1 u v y v 3x + 3y u 3 u + v) + 3u 3 v Να υπολογιστουν οι µερικες παραγωγοι φ u, φ v της φ x, y) x + y, οταν x u, v) u + v και y u, v) u. Λυση. Εχουµε [ ] [ ] x φ u φ φ u x y y [ x y ] [ ] u 1 u 4xu + y 4u 3 + 4v u + u Να υπολογιστουν οι µερικες παραγωγοι φ u, φ v της φ x, y, z) x + y + z, οταν x u, v) u + v, y u, v) uv και z u, v) u. Λυση. Εχουµε [ ] φ u φ φ φ x y z [ x y z ] u v 1 x u y u z u z + 4ux + vy u + u u + v ) + uv

31 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΑΛΥΣΩΤΗ ΚΑΙ ΠΕΠΛΕΓΜΕΝΗ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗ 5 φ v [ φ x φ y φ z ] x v y v φ z [ x y z ] v u 1 z + uy + 4vx u + v u + v ) + u v Να υπολογιστουν οι P u, P v, Q u, Q v οταν P x, y) x + y, Q x, y) xy και x u, v) u + v, y u, v) uv. Λυση. Εχουµε [ P ] [ ] P P [ x ] [ ] [ ] u x y Q u x y 1 Q Q y y x 1 u x y u [ ] [ ] x + y u + v + uv x + y u + v + uv και [ P v Q v ] [ ] P P [ x ] [ ] [ ] x y v x y v Q Q y y x u x y v [ ] [ ] xv + yu uv + v + u v yv + xu uv + u. + uv Να υπολογιστουν οι P u, P v, Q u, Q v οταν P x, y) x + y, Q x, y) xy και x u, v) cos u + v), y u, v) sin uv). Λυση. Εχουµε [ P ] [ ] P P [ x ] [ ] [ ] u x y Q u x y sin u + v) Q Q y y x v cos uv) u x y u [ ] [ vy cos uv) x sin u + v) v sin uv) cos uv) cos u + v) sin u + v) vx cos uv) y sin u + v) v cos u + v) cos uv) sin uv) sin u + v) και [ P u Q u ] [ ] P P [ x ] [ ] [ ] x y v x y sin u + v) Q Q y y x u cos uv) x y v [ ] [ ] vy cos uv) x sin u + v) v sin uv) cos uv) sin uv) sin u + v) ux cos uv) y sin u + v) u cos u + v) cos uv) sin uv) sin u + v) Να υπολογιστουν οι z x, z y αν ισχυει φ x, y, z) x + y z 1. a b c Λυση. Εχουµε ) x x a + y b z c x 1) a x c zz x z x c a x z, ) x y a + y b z y c 1) b y c zz y z y c b y z. ]

32 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΑΛΥΣΩΤΗ ΚΑΙ ΠΕΠΛΕΓΜΕΝΗ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗ 6 Μπορουµε επισης να ϐρουµε την απαντηση κατευθειαν χρησιµοποιωντας z x φ x φz x/a z/c c b x z, z y φ y φz y/b z/c c b y z Να υπολογιστουν οι z x, z y αν ισχυει x y + z 6x + 7z 5. Λυση. Εχουµε x y + z 6x + 7z 5 ) x x ) x + zz x 6 + 7z x z x 6 x 7 + z, x y + z 6x + 7z 5 ) y y ) 4y + zz y + 7z y z y 4y 7 + z. Μπορουµε επισης να ϐρουµε την απαντηση κατευθειαν χρησιµοποιωντας z x φ x φz x 6 z + 7, z y φ y φz 4y z Να υπολογιστουν οι z x, z y αν ισχυει z + 3xyz a 3. Λυση. Εχουµε z + 3xyz ) ) a 3 zz x + 3yz + 3xyz x z x 3yz x x z + 3xy και οµοια προκυπτει z y 3xz z + 3xy Μπορουµε επισης να ϐρουµε την απαντηση κατευθειαν χρησιµοποιωντας z x φ x φz 3yz z + 3xy, z y φ y φz 3yz z + 3xy Να υπολογιστει η Ιακωβιανη u,v) x,y) οταν u x y, v xy. Λυση. Εχουµε u, v) x, y) u x u y v x v y x y y x 4x + 4y Να υπολογιστει η Ιακωβιανη x,y) u,v) και η αν x u cos v, y u sin v. u,v) x,y) Λυση. Εχουµε u, v) x, y) u x u y v x v y cos v sin v u sin v u cos v u cos v + sin v ) u.

33 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΑΛΥΣΩΤΗ ΚΑΙ ΠΕΠΛΕΓΜΕΝΗ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗ 7 Εχουµε επισης οτι και αρα x + y u cos v + u sin v u u x + y u, v) x, y) 1 u 1 x + y Να υπολογιστει η Ιακωβιανη u,v,w) x,y,z) αν u x y, v, w x +y +z x +y +z Λυση. Εχουµε u, v, w) x, y, z) u x u y u z v x v y v z w x w y w z. Εχουµε επισης οτι u x x + y + z x + y + z ), u y xy x + y + z ), u z xz x + y + z ). z. x +y +z Με συµµετρικο τροπο υπολογιζουµε και τις υπολοιπες παραγωγους και τελικα εχουµε x +y +z xy xz x u, v, w) x, y, z) +y +z ) x +y +z ) x +y +z ) xy x y +z yz x +y +z ) x +y +z ) x +y +z ) xz x +y +z ) x +y +z ) x +y +z ) yz x +y z 1 x 6 + 3x 4 y + 3x 4 z + 3x y 4 + 6x y z + 3x z 4 + y 6 + 3y 4 z + 3y z 4 + z 6 1 x + y + z ) Να υπολογιστει η Ιακωβιανη x,y,z) u,v,w) αν x u 3v + 4w, y u v w, z u 3 + v Λυση. Εχουµε x, y, z) u, v, w) x u x v x w y u y v y w z u z v z w 3 4 u v w 3u 1 4w + 8u + 18u w + 4u v Να υπολογιστει η Ιακωβιανη u,v,w) x,y,z) αν u x + y, v y + z, w z + x. Λυση. Εχουµε u, v, w) x, y, z) u x u y u z v x v y v z w x w y w z x y y z x z 16xyz Να υπολογιστει η Ιακωβιανη u,v,w) x,y,z) αν u xy, v xyz, w x + y + z Λυση. Εχουµε u, v, w) x, y, z) y xy yz xz xy y zx y 3 x + x y.

34 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΑΛΥΣΩΤΗ ΚΑΙ ΠΕΠΛΕΓΜΕΝΗ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗ Να υπολογιστουν οι u x, u y, v x, v y αν δινεται οτι x + y u + 3v 1 και 3x + y 4u + v. Λυση. Εχουµε και u x u y v x v y P x, y, u, v) x + y u + 3v 1 Q x, y, u, v) 3x + y 4u + v P,Q) x,v) P,Q) u,v) P,Q) y,v) P,Q) u,v) P,Q) u,x) P,Q) u,v) P,Q) u,y) P,Q) u,v) P x Q x P u Q u P y Q y P u Q u P u Q u P u Q u P u Q u P u Q u P v Q v P v Q v P v Q v P v Q v P x Q x P v Q v P y Q y P v Q v Να υπολογιστουν οι u x, v x αν δινεται οτι x +y +u +v και u v xy+y. Λυση. Εχουµε P x, y, u, v) x + y + u + v Q x, y, u, v) u v xy + y και u x v x P,Q) x,v) P,Q) u,v) P,Q) u,x) P,Q) u,v) P x Q x P u Q u P u Q u P u Q u P v Q v P v Q v P x Q x P v Q v x v y v 4xv + 4vy u v y x 8uv u u v u x u y 4yu 4xu u v x + y 8uv v u v

35 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΑΛΥΣΩΤΗ ΚΑΙ ΠΕΠΛΕΓΜΕΝΗ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗ Να υπολογιστουν οι u x, u y, v x, v y αν δινεται οτι x + y uv 1 και xy u + v. Λυση. Εχουµε και u x u y v x v y P,Q) x,v) P,Q) u,v) P,Q) y,v) P,Q) u,v) P,Q) u,x) P,Q) u,v) P,Q) u,y) P,Q) u,v) P x, y, u, v) x + y uv 1 Q x, y, u, v) xy u + v P x Q x P u Q u P y Q y P u Q u P u Q u P u Q u P u Q u P u Q u P v Q v P v Q v P v Q v P v Q v P x Q x P v Q v P y Q y P v Q v x u y 1 x + uy v u u + v 1 1 y u x 1 y + ux v u u + v 1 1 v x 1 y vy + x v u u + v 1 1 v y 1 x vx + y v u u + v ειξτε οτι η συναρτηση φ y x) ικανοποιει xφx + yφ y. Λυση. Θετουµε z y x. Εχουµε οποτε φ x φ z z x φ z y ) ) 1, φ x y φ z z y φ z x xφ x + yφ y xφ z y ) ) 1 + yφ x z φ z y x x + y ) x 3... ειξτε οτι η συναρτηση φ x + y ) ικανοποιει yφ x xφ y. Λυση. Θετουµε z x + y. Εχουµε φ x φ z z x φ z x, φ y φ z z y φ z y οποτε yφ x + xφ y yφ z x xφ z y φ z xy xy).

36 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΑΛΥΣΩΤΗ ΚΑΙ ΠΕΠΛΕΓΜΕΝΗ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗ ειξτε οτι αν z yφ x y ) τοτε 1 x z x + 1 y z y z Λυση. Θετουµε u x y. Εχουµε Οποτε εχουµε z x yφ x y )) yφ u u) u x yφ u x x z y yφ x y )) y y y) φ u) + yφ u u) u y φ yφ u y. 1 x z x + 1 y z y 1 x yφ ux + 1 y φ yφ uy φ y z/y y z y ειξτε οτι αν x ρ cos φ, y ρ sin φ, για καθε συναρτηση u x, y) εχουµε u x ) + u y ) u ρ ) + 1 u ρ φ ). Λυση. Εχουµε [ ] [ ] [ ] x uρ u φ ux u ρ x φ y [ ] [ ] cos φ ρ sin φ u x u y sin φ ρ cos φ Οποτε y ρ y φ y. [ u x cos φ + u y sin φ ρ u x sin φ + u y cos φ) ]. u ρ ) + 1 ρ u φ) u x cos φ + u y sin φ) + 1 ρ ρ u x sin φ + u y cos φ)) u x cos φ + u x cos φ) u y sin φ + u y sin φ + u x sin φ u x cos φ) u y sin φ + u y cos φ u x ) cos φ + sin φ ) + u y ) cos φ + sin φ ) u x ) + uy). 3.3 Αλυτα Προβληµατα Να υπολογιστει η ολικη παραγωγος της φ x, y) x + y ως προς t, οταν x t) t και y t) t t +1. Απ. t t4 +t +). t +1) Να υπολογιστει η για τις παρακατω περιπτωσεις f x, y) u + v, u sin t, v t cos t. Απ Να υπολογιστει η ολικη παραγωγος της φ x, y) cos x + y + z) ως προς t, οταν x t) t, y t) cos t και z t) e t. Απ. sin t + cos t + e t )) e t sin t + 1) Να υπολογιστει η ολικη παραγωγος της φ x, y) sin x + y 3 + z) ως προς t, οταν x t) t, y t) cos t και z t) t Απ. cos 1 t +1. t +1 t3 +t cos 3 t+t +t+cos 3 t) 3 sin t t + 3 sin 3t + 3 t +1) 4 4 t sin t t4 sin t + 3 t sin 3t t4 sin 3t

37 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΑΛΥΣΩΤΗ ΚΑΙ ΠΕΠΛΕΓΜΕΝΗ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗ Να υπολογιστουν οι z x, z y αν ισχυει x Απ. z x c x a z, z y c y b z. + y + z a b c Να υπολογιστουν οι z x, z y αν ισχυει x y + z 4x + z 5. Απ. z x x z+1, z y y. z Να υπολογιστουν οι z x, z y αν ισχυει z 3 + 3xyz a 3. Απ. z x yz, z xy+z y xz. xy+z Να υπολογιστουν οι z x, z y αν ισχυει x + y + z 6x. Απ. z x 3 x z, z y y. z Να υπολογιστουν οι z x, z y αν ισχυει z xy. Απ. z x y z, z y x. z Να υπολογιστουν φ u,φ v οταν φ x, y) sin x + y 3 ), x u, v) u + v, y u, v) u v. Απ. φ u cos u 3 3u v + u + 3uv + uv v 3 + v )) 3u 6uv + u + 3v + v), φ v cos u 3 3u v + u + 3uv + uv v 3 + v )) 3u + 6uv + u 3v + v) Να υπολογιστουν φ u,φ v οταν φ x, y) sin x + y), x u, v) u + v, y u, v) uv. Απ. φ u cos u + uv + v )) u + v), φ v cos u + uv + v )) u + v) Να υπολογιστουν φ u,φ v οταν φ x, y, z) sin x + y + z), x u, v) u + v, y u, v) u, z u, v) 1 Απ. φ u cos 1 φ v cos 1 u+v. u+vu 3 +u v+u +uv +uv+v 3 +1) u+vu 3 +u v+u +uv +uv+v 3 +1) u+v) u 3 + 4u v + u + uv + uv + v 1), u+v) u v + 4uv + v 3 1) Να υπολογιστουν φ u,φ v, φ w οταν φ x, y, z) e x+y+z, x u, v, w) w, y u, v, w) u + v, z u, v, w) u v. Απ. w e w +u+v+u v φ u e w +u, φ v, we w +u Να υπολογιστουν φ u,φ v, φ w οταν φ x, y, z) sin x + y + z), x u, v, w) w sin u cos v, y u, v, w) w sin u sin v, z u, v, w) w cos u. Απ. φ u cos w cos u + w cos v sin u + w sin u sin v)) w cos u cos v w sin u + w cos u sin v), φ v w cos w cos u + w cos v sin u + w sin u sin v) sin u) cos v sin v), φ w cos w cos u + w cos v sin u + w sin u sin v)) cos u sin v + sin u cos v + cos u) Να υπολογιστει η Ιακωβιανη u,v) x,y) οταν u x + y, v xy. Απ. 4x 4y Να υπολογιστει η Ιακωβιανη x,y) u,v) Απ. x,y) cos v u sin v u,v) sin v u cos v και την u,v) x,y) u, u,v) x,y) 1 u. αν x u cos v, y u sin v.

38 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΑΛΥΣΩΤΗ ΚΑΙ ΠΕΠΛΕΓΜΕΝΗ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗ Να υπολογιστει η Ιακωβιανη u,v) x,y) αν u 3x xy, v xy + y 3. Απ. 4x y + 16xy 3y Να υπολογιστει η Ιακωβιανη u,v) x+y αν u x,y) 1 xy, v tan 1 x + tan 1 y. y x + y) 1 x x + y) 1 xy 1) Απ. xy 1 xy 1) xy x +1 y Να υπολογιστει η Ιακωβιανη x,y,z) u,v,w) αν x u v+w, y u v w, z u 3 +v Απ. 6wu + u + 6u v + w Να υπολογιστει η Ιακωβιανη x,y,z) αν x u cos v sin w, y u sin v sin w, z u,v,w) u cos w Απ. u sin w Να υπολογιστει η Ιακωβιανη u,v,w) x,y,z) αν u x y, v zx, w x + y + z Απ. x y zx + x Να υπολογιστουν οι u x, v x, u y, v y για τις παρακατω περιπτωσεις. u + v x + y και u v x cos y v cos y+1 u cos y 1 vx sin y 1 ux sin y+1 Απ. u x, v u+v x, u u+v y, v u+v y. u+v ειξτε οτι η συναρτηση z φ x y) ικανοποιει z x + z y ειξτε οτι η συναρτηση z φ x, y) οπου x s + t και y s t, ικανοποιει z x ) + z y ) z s z t ειξτε οτι η συναρτηση z arctan x y ικανοποιει z u+z v u v οταν x u+v, y u +v u v ειξτε οτι η συναρτηση z y φx y ) ικανοποιει 1 x φ x + 1 y φ y ειξτε οτι αν z xφ x + y) + yψ x + y) τοτε z xx z xy z yy ειξτε οτι αν x ρ cos φ, y ρ sin φ, τοτε u xx + u yy u ρρ + 1 ρ u φφ + 1 ρ u ρ ειξτε οτι η συναρτηση x k φ z, y x x) ικανοποιει xφx + yφ y + zφ z kφ ειξτε οτι καθε συναρτηση της µορφης z f x at) + g x + at) ικανοποιει την σχεση z tt a z xx.

39 Κεφάλαιο 4 Συστηµατα Συντεταγµενων 4.1 Θεωρια Στο Κεφαλαιο ;; προσδιορισαµε την ϑεση ενος σηµειου στον χωρο χρησιµοποιωντας τις Καρτεσιανες συντεταγµενες x, y, z). Σε πολλες εφαρµογες π.χ. στον υπολογισµο ολοκληρωµατων) ειναι πιο ϐολικο να χρησιµοποιησουµε αλλα συστηµατα συντεταγµενων. Π.χ. στο λογισµο συναρτησεων µιας µεταβλητης εχουµε χρησιµοποιησει τις πολικες συντεταγµενες. Στο παρον κεφαλαιο ϑα εξετασουµε διαφορα συστηµατα συντεταγµενων Πολικες Συντεταγµενες. Εστω ενα σηµειο M στον R µε Καρτεσιανες συντεταγµενες x, y). Το M µπορει να προσδιοριστει και µε τις πολικες συντεταγµενες ρ, θ) δες Σχ.5.1). Ισχυουν οι σχεσεις και Σχηµα 5.1 Create PF files without this message by purchasing novapf printer x ρ cos θ, y ρ sin θ, z ρ x + y, θ tan 1 y x, z. Το στοιχειωδες εµβαδον µετασχηµατιζεται σε πολικο συστηµα συντεταγµενων ως εξης x, y) da dxdy ρ, θ) dρdθ cos θ ρ sin θ sin θ ρ cos θ dρdθ ρdρdθ. 33

40 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ Κυλινδρικες Συντεταγµενες. Εστω ενα σηµειο M στον R 3 µε Καρτεσιανες συντεταγµενες x, y, z). Το M µπορει να προσδιοριστει και µε τις κυλινδρικες συντεταγµενες ρ, θ, z) δες Σχ.5.). Ισχυουν οι σχεσεις και Create PF files without this message by purchasing novapf printer Σχηµα 5. x ρ cos θ, y ρ sin θ, z z ρ x + y, θ tan 1 y x, z z. Ο στοιχειωδης ογκος µετασχηµατιζεται σε κυλινδρικο συστηµα συντεταγµενων ως εξης x, y, z) dv dxdydz ρ, θ, z) dρdθ cos θ ρ sin θ sin θ ρ cos θ dρdθdz ρdρdθdz Σφαιρικες Συντεταγµενες. Εστω ενα σηµειο M στον R 3 µε Καρτεσιανες συντεταγµενες x, y, z). Το M µπορει να προσδιοριστει και µε τις σφαιρικες συντεταγµενες

41 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ 35 r, θ, φ) δες Σχ.5.3). Ισχυουν οι σχεσεις και Create PF files without this message by purchasing novapf printer Σχηµα 5.3 x r cos θ sin φ, y r sin θ sin φ, z r cos φ r x + y + z, φ tan 1 y x, θ cos 1 z r. Ο στοιχειωδης ογκος µετασχηµατιζεται σε κυλινδρικο συστηµα συντεταγµενων ως εξης x, y, z) dv dxdydz r, θ, φ) drdθdφ cos θ sin φ sin θ sin φ cos φ r sin θ sin φ r cos θ sin φ r cos θ cos φ r sin θ cos φ r sin φ drdθdφ r sin φdrdθdφ Τα προηγουµενα ηταν ειδικα παραδειγµατα. Στην γενικη περιπτωση εισαγουµε µεταβλητες u, v, w τετοιες ωστε να ισχυει x f u, v, w), y g u, v, w), z h u, v, w). Τοτε σε καθε σηµειο x, y, z) αντιστοιχει το διανυσµα ϑεσης r µε αναπαρασταση r xi + yj + zk x u, v, w) i + y u, v, w) j+z u, v, w) k και το διαφορικο διανυσµα ϑεσης ειναι Αν τωρα ορισουµε a r u, dr r r r du + dv + dw. 4.1) u v w b r v, c r w 4.)

42 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ 36 ϑα εχουµε r u am, r v bn, οπου τα m, n, p ειναι µοναδιαια διανυσµατα : m Απο τις 4.1) 4.4) παιρνουµε r u r u r cp, 4.3) w r r, n v, p w. 4.4) r v dr amdu + bndv + vpdw και ϐλεπουµε οτι τα m, n, p παιζουν τον ϱολο των i, j, k στο νεο συστηµα συντεταγµενων. Επισης ο στοιχειωδης ογκος ειναι dv dxdydz r w x, y, z) dudvdw. 4.5) u, v, w) Απο την 4.5) ϐλεπουµε και την γεωµετρικη σηµασια της Ιακωβιανης οριζουσας. Στο συστηµα συντεταγµενων x, y, z) ο στοιχειωδης ογκος ειναι dv dxdydz και στο u, v, w) ο στοιχειωδης ογκος ειναι du udvdw. Οποτε, αν ξαναγραςουµε την 4.5) ως x, y, z) u, v, w) dudvdw dxdydz du dv δηλ. η Ιακωβιανη οριζουσα ειναι η παραγωγος ογκου. 4. Λυµενα Προβληµατα Ποιες ειναι οι κυλινδρικες και σφαιρικες συντεταγµενες του σηµειου µε ορθογωνιες συντεταγµενες, 1, ); Λυση. Εχουµε x, y, z), 1, ). Αρα, σε κυλινδρικες συντεταγµενες εχουµε ηλ. ρ, θ, z) 1, π/, ). Σε σφαιρικες συντεταγµενες εχουµε Εχουµε ρ x + y 1, θ arctan 1 π, z. x r cos θ sin φ, 1 y r sin θ sin φ, r cos φ. r x + y + z 1. Αρα r cos φ cos φ φ π. Τελος x r cos θ sin φ cos θ θ π. Τελικα λοιπον, σε σφαιρικες συντεταγµενες εχουµε r, θ, φ) 1, π/, π/).

43 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ Ποιες ειναι οι κυλινδρικες και σφαιρικες συντεταγµενες του σηµειου µε ορθογωνιες συντεταγµενες 1, 1, ) ; Λυση. Εχουµε x, y, z) 1, 1, ). Αρα, σε κυλινδρικες συντεταγµενες εχουµε ρ 1 + 1, θ arctan 1 1 π 4, z. ηλ. ρ, θ, z), π/4, ). Σε σφαιρικες συντεταγµενες εχουµε Εχουµε Αρα 1 x r cos θ sin φ, 1 y r sin θ sin φ, r x + y + z. 1 r cos φ cos φ 1 φ π 3. Επισης εχουµε sin φ 1 cos φ 1 1/) 3/. Τελος tan θ r sin θ sin φ r cos θ sin φ x y 1 θ π 4. r cos φ. Τελικα λοιπον, σε σφαιρικες συντεταγµενες εχουµε r, θ, φ), π/4, π/3) Ποιες ειναι οι κυλινδρικες και σφαιρικες συντεταγµενες του σηµειου µε ορθογωνιες συντεταγµενες,, ); Λυση. Εχουµε x, y, z),, ). Αρα, σε κυλινδρικες συντεταγµενες εχουµε ρ +, θ arctan π 4, z. ηλ. ρ, θ, z), π/4, ). Σε σφαιρικες συντεταγµενες εχουµε r x + y + z 3. Αρα 1 r cos φ cos φ 1 φ arccos 1.95 ακτινια. 3 3 Επισης εχουµε sin φ 1 cos φ 1 1/ 3 ) /3. Τελος tan θ r sin θ sin φ r cos θ sin φ x y 1 θ π 4. Τελικα λοιπον, σε σφαιρικες συντεταγµενες εχουµε r, θ, φ), π/4, arccos 1 3 ).